Kako pronaći najveću medijanu trougla. Medijan

Medijan i visina trougla je jedan od najfascinantnijih i zanimljive teme geometrija. Termin "medijan" označava liniju ili segment koji povezuje vrh trougla sa njegovim Suprotna strana. Drugim riječima, medijana je prava koja ide od sredine jedne strane trougla do suprotnog vrha istog trougla. Pošto trougao ima samo tri vrha i tri stranice, to znači da mogu postojati samo tri medijane.

Svojstva medijane trougla

Sve medijane trougla seku se u jednoj tački i tom tačkom su razdvojene u omjeru 2:1, računajući od temena. Dakle, ako nacrtate sve tri medijane u trokutu, tada će ih njihova presječna tačka podijeliti na dva dijela. Dio koji se nalazi bliže tjemenu bit će 2/3 cijele prave, a dio koji se nalazi bliže strani trougla bit će 1/3 prave. Medijani se sijeku u jednoj tački.
Tri medijane nacrtane u jednom trouglu dijele ovaj trougao na 6 malih trouglova, čija će površina biti jednaka.
Što je veća stranica trougla iz kojeg dolazi medijana, to je medijana manja. I obrnuto, najviše kratka strana ima najdužu medijanu.
Median in pravougaonog trougla ima niz svojih karakteristika. Na primjer, ako opišemo kružnicu oko takvog trokuta koji će prolaziti kroz sve vrhove, tada medijana pravi ugao povučena do hipotenuze postaće poluprečnik opisane kružnice (odnosno, njena dužina će biti rastojanje od bilo koje tačke kružnice do njenog centra).

Jednadžba dužine medijane trougla

Formula medijana dolazi iz Stewartove teoreme i kaže da je medijan Kvadratni korijen iz omjera kvadrata zbira stranica trokuta koji čine vrh, minus kvadrat stranice na koju je povučena medijana na četiri. Drugim riječima, da biste saznali dužinu medijane, trebate kvadrirati dužine svake strane trokuta, a zatim to zapisati kao razlomak, čiji će brojnik biti zbir kvadrata stranica koje formiraju ugao iz kojeg dolazi medijana, umanjen za kvadrat treće strane. Imenilac ovdje je broj 4. Zatim trebamo izvući kvadratni korijen iz ovog razlomka, i tada ćemo dobiti dužinu medijane.

Točka preseka medijana trougla

Kao što smo gore napisali, sve medijane jednog trougla seku se u jednoj tački. Ova tačka se naziva središte trougla. Ona dijeli svaku medijanu na dva dijela, čija je dužina proporcionalna 2:1. U ovom slučaju, centar trougla je ujedno i središte kružnice koja je opisana oko njega. I drugi geometrijske figure imaju svoje centre.

Koordinate tačke preseka medijana trougla

Da bismo pronašli koordinate presjeka medijana jednog trougla, koristimo svojstvo tezge, prema kojem dijeli svaku medijanu na segmente 2:1. Označavamo vrhove kao A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

i izračunaj koordinate centra trougla koristeći formulu: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Površina trougla kroz medijanu

Sve medijane jednog trougla dijele ovaj trokut sa 6 jednakih trouglova, a centar trokuta dijeli svaku medijanu u omjeru 2:1. Stoga, ako su poznati parametri svake medijane, možete izračunati površinu trokuta kroz površinu jednog od malih trokuta, a zatim povećati ovaj indikator za 6 puta.

Instrukcije

Da se povuče formula Za medijane u proizvoljnom, potrebno je okrenuti se posljedicama kosinusne teoreme za paralelogram dobiven popunjavanjem trougao. Formula se ovim može dokazati, vrlo je zgodna za rješavanje ako su poznate sve dužine stranica ili se lako mogu pronaći iz drugih početnih podataka zadatka.

U stvari, kosinusna teorema je generalizacija Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: za dvodimenzionalno trougao sa dužinama stranica a, b i c i uglom α nasuprot a, važi sljedeća jednakost: a² = b² + c² – 2 b c cos α.

Opći zaključak iz kosinusne teoreme određuje jednu od najvažnija svojstvačetvorougao: zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata svih njegovih stranica: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Dopuni trougao do paralelograma ABCD dodavanjem pravih paralelnih sa a i c. dakle sa stranicama a i c i dijagonalom b. Najprikladniji način za izgradnju je sljedeći: na pravu liniju kojoj pripada medijana položite segment MD iste dužine, povežite njegov vrh sa vrhovima preostalih A i C.

Prema svojstvu paralelograma, tačkom presjeka dijagonale su podijeljene na jednake dijelove. Primijenite posljedicu kosinusne teoreme, prema kojoj je zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak zbiru dvostrukih kvadrata njegovih stranica: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Pošto je BK = 2 BM, a BM medijan od m, onda je: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², odakle je: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

izneo si formula jedan od trougao za stranu b: mb = m. Slično postoje medijane njegove dvije druge strane:ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²);mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Izvori:

srednja formula
Formule za medijanu trokuta [video]

Medijan trougao naziva se segment koji povezuje bilo koji vrh trougao sa sredine suprotne strane. Tri medijane se seku u jednoj tački uvek unutra trougao. Ova tačka deli svaku medijana u omjeru 2:1.

Instrukcije

Problem nalaženja medijane može se riješiti dodatnim konstrukcijama trougao na paralelogram i kroz teoremu o dijagonalama paralelograma. Proširiti stranice trougao I medijana, gradeći ih do paralelograma. Dakle, medijana trougao bit će polovina dijagonale rezultirajućeg paralelograma, dvije strane trougao- njegovu stranu (a, b) i treću stranu trougao, na koju je povučena medijana, druga je dijagonala rezultirajućeg paralelograma. Prema teoremi, zbir kvadrata paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegovih stranica.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
Gdje
d1, d2 - dijagonale rezultirajućeg paralelograma;
odavde:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Medijan je segment linije koji povezuje vrh trougao i sredinom suprotne strane. Znajući dužine sve tri strane trougao, možete pronaći njegovu medijanu. U posebnim slučajevima jednakokračnih i jednakostraničnih trougao, očigledno, dovoljno je znati, odnosno, dvije (nisu jednake jedna drugoj) i jednu stranu trougao.

Trebaće ti

Vladar

Instrukcije

Hajde da razmotrimo opšti slučaj trougao ABC sa nejednakim prijateljima stranke. Dužina srednjeg AE ovog trougao može se izračunati pomoću formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Preostale medijane su apsolutno slične. Ovo se može zaključiti kroz Stewartov teorem ili kroz proširenje trougao na paralelogram.

Ako je ABC jednakokračan i AB = AC, tada će medijan AE biti oba trougao. Dakle, trougao BEA će biti pravougaoni trougao. Prema Pitagorinoj teoremi, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Od ukupne dužine medijane trougao, za medijane BO i CP vrijedi sljedeće: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Izvori:

Medijane i bezsektorske linije trougla

Medijan je segment koji povezuje vrh trougla i sredinu suprotne strane. Znajući dužine sve tri strane trougla, možete ga pronaći medijane. U posebnim slučajevima jednakokračnih i jednakostranični trougao Očigledno, dovoljno je poznavanje dvije (nisu jednake jedna drugoj) i jedne strane trougla. Medijan se također može pronaći pomoću drugih podataka.

Trebaće ti

Dužine stranica trougla, uglovi između stranica trougla

Instrukcije

Razmotrimo najopštiji slučaj trougao ABC sa tri nejednake strane. Dužina medijane AE ovog trougla može se izračunati pomoću formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Odmori se medijane apsolutno su slični. Ovo se zaključuje kroz Stewartovu teoremu, ili kroz kompletiranje trougla do paralelograma.

Ako je ABC jednakokračan i AB = AC, tada će i AE biti ovaj trougao. Dakle, trougao BEA će biti pravougaoni trougao. Prema Pitagorinoj teoremi, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Od ukupne dužine medijane trougao, za BO i CP važi sledeće: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Medijan trokuta se može naći pomoću drugih podataka. Na primjer, ako su date dužine dviju stranica, jednoj od njih se povlači medijana, na primjer, dužine stranica AB i BC, kao i ugao x između njih. Zatim dužina medijane može se naći kroz kosinusni teorem: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Izvori:

Medijane i simetrale trougla
kako pronaći dužinu medijane

1. Šta je medijana?

Vrlo je jednostavno!

Uzmi trougao:

Označite sredinu na jednoj od njegovih strana.

I povežite se sa suprotnim vrhom!

Rezultirajuća linija i postoji medijana.

2. Svojstva medijane.

Koja dobra svojstva ima medijan?

1) Zamislimo da je trougao pravougaona. Postoje takve stvari, zar ne?

Zašto??? Kakve veze ima pravi ugao?

Gledajmo pažljivo. Samo ne trougao, nego... pravougaonik. Zašto pitate?

Ali hodaš po Zemlji - vidiš li da je okrugla? Ne, naravno, da biste to uradili, morate pogledati Zemlju iz svemira. Dakle, gledamo naš pravougaoni trougao "iz svemira".

Nacrtajmo dijagonalu:

Sjećate li se da su dijagonale pravokutnika jednaka I dijeliti tačka preseka na pola? (ako se ne sjećate, pogledajte temu)

To znači da je polovina druge dijagonale naša medijana. Dijagonale su jednake, a njihove polovice, naravno, također. To je ono što ćemo dobiti

Nećemo dokazivati ovu tvrdnju, ali da biste povjerovali, razmislite sami: postoji li još neki paralelogram s jednakim dijagonalama osim pravokutnika? Naravno da ne! Pa, to znači da medijana može biti jednaka polovini stranice samo u pravokutnom trokutu.

Pogledajmo kako ovo svojstvo pomaže u rješavanju problema.

ovdje, zadatak:
Na strane; . Nacrtano odozgo medijana. Pronađite ako.

Ura! Možete primijeniti Pitagorinu teoremu! Vidite kako je sjajno? Da to nismo znali medijana jednaka polovini strane

Primjenjujemo Pitagorinu teoremu:

2) A sada da imamo ne jednu, već cijelu tri medijane! Kako se ponašaju?

Zapamtite mnogo važna činjenica:

Tesko? Pogledaj sliku:

Medijane i seku se u jednoj tački.

I….(to dokazujemo u, ali za sada Zapamti!):

- duplo više od;
- duplo više od;
- duplo više nego.

Jeste li umorni? Hoćete li biti dovoljno jaki za sljedeći primjer? Sada ćemo primijeniti sve o čemu smo pričali!

Zadatak: U trouglu su povučene medijane i koje se seku u tački. Pronađite ako

Hajde da pronađemo koristeći Pitagorinu teoremu:

Sada primijenimo znanje o tački presjeka medijana.

Hajde da to definišemo. Segment, a. Ako sve nije jasno, pogledajte sliku.

To smo već pronašli.

Sredstva, ; .

U zadatku nam se postavlja pitanje o segmentu.

U našoj notaciji.

Odgovori: .

Sviđa mi se? Sada pokušajte sami primijeniti svoje znanje o medijani!

MEDIAN. PROSJEČAN NIVO

1. Medijan dijeli stranu na pola.

To je sve? Ili možda dijeli nešto drugo na pola? Zamisli to!

2. Teorema: Medijan dijeli površinu na pola.

Zašto? Pamtimo najviše jednostavan oblik površina trougla.

I ovu formulu primjenjujemo dva puta!

Gledajte, medijana je podijeljena na dva trokuta: i. Ali! Imaju istu visinu - ! Samo na ovoj visini pada u stranu, a na - na strani nastavka. Iznenađujuće, i ovo se dešava: trouglovi su različiti, ali visina je ista. A sada ćemo formulu primijeniti dva puta.

Šta bi ovo značilo? Pogledaj sliku. U stvari, postoje dvije tvrdnje u ovoj teoremi. Jeste li primijetili ovo?

Prva izjava: medijane se seku u jednoj tački.

Druga izjava: Točka presjeka medijane podijeljena je u omjeru, računajući od vrha.

Pokušajmo otkriti tajnu ove teoreme:

Povežimo tačke i. Šta se desilo?

Sada nacrtajmo još jednu srednju liniju: označite sredinu - stavite tačku, označite sredinu - stavite tačku.

Sada - srednja linija. To je

paralelno;

Primijetili ste neke slučajnosti? Oba i su paralelni. I, i.

Šta iz ovoga slijedi?

paralelno;

Naravno, samo za paralelogram!

To znači da je paralelogram. Pa šta? Prisjetimo se svojstava paralelograma. Na primjer, šta znate o dijagonalama paralelograma? Tako je, podijeljeni su na pola presječnom tačkom.

Pogledajmo ponovo crtež.

To jest, medijana je podijeljena tačkama na tri jednaka dijela. I potpuno isto.

To znači da su oba medijana razdvojena tačkom u omjeru, odnosno i.

Šta će se dogoditi sa trećom medijanom? Vratimo se na početak. Moj bože?! Ne, sada će sve biti mnogo kraće. Izbacimo medijanu i uradimo medijane i.

Sada zamislite da smo izvršili potpuno isto razmišljanje kao i za medijane i. Šta onda?

Ispada da će medijana podijeliti medijanu na potpuno isti način: u omjeru, računajući od tačke.

Ali koliko točaka može biti na segmentu koji ga dijele u omjeru, računajući od tačke?

Naravno, samo jedan! A mi smo to već vidjeli - to je poenta.

Šta se na kraju dogodilo?

Medijan je definitivno prošao! Sva tri medijana su prolazila kroz njega. I svi su bili podijeljeni u stavovima, računajući od vrha.

Tako smo riješili (dokazali) teoremu. Ispostavilo se da je rješenje paralelogram unutar trougla.

4. Formula za srednju dužinu

Kako pronaći dužinu medijane ako su stranice poznate? Jeste li sigurni da vam ovo treba? Hajde da otvorimo strašna tajna: Ova formula nije baš korisna. Ali ipak ćemo to napisati, ali nećemo dokazivati (ako vas zanima dokaz, pogledajte sljedeći nivo).

Kako možemo razumjeti zašto se to dešava?

Gledajmo pažljivo. Samo ne trougao, već pravougaonik.

Dakle, razmotrimo pravougaonik.

Jeste li primijetili da je naš trokut tačno polovina ovog pravougaonika?

Nacrtajmo dijagonalu

Sjećate li se da su dijagonale pravougaonika jednake i da dijele presječnu tačku? (ako se ne sjećate, pogledajte temu)
Ali jedna od dijagonala je naša hipotenuza! To znači da je tačka presjeka dijagonala sredina hipotenuze. Zvao se naš.

To znači da je polovina druge dijagonale naša medijana. Dijagonale su jednake, a njihove polovice, naravno, također. To je ono što ćemo dobiti

Štaviše, ovo se dešava samo u pravouglom trouglu!

Nećemo dokazivati ovu tvrdnju, ali da biste vjerovali, razmislite sami: postoji li još neki paralelogram jednakih dijagonala, osim pravokutnika? Naravno da ne! Pa, to znači da medijana može biti jednaka polovini stranice samo u pravokutnom trokutu. Pogledajmo kako ovo svojstvo pomaže u rješavanju problema.

Evo zadatka:

Na strane; . Medijan je povučen iz vrha. Pronađite ako.

Ura! Možete primijeniti Pitagorinu teoremu! Vidite kako je sjajno? Da nismo znali da je medijana polovina strane samo u pravouglu, ne postoji način da riješimo ovaj problem. A sada možemo!

Primjenjujemo Pitagorinu teoremu:

MEDIAN. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

1. Medijan dijeli stranu na pola.

2. Teorema: medijana dijeli površinu na pola

4. Formula za srednju dužinu

Obratna teorema: ako je medijana jednaka polovini stranice, tada je trokut pravokutni i ova medijana je povučena prema hipotenuzi.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što je pred njima mnogo otvorenije više mogućnosti i život postaje svetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Medijan je odsječak povučen od vrha trougla do sredine suprotne stranice, odnosno dijeli ga na pola u mjestu presjeka. Tačka u kojoj medijan siječe stranu nasuprot vrhu iz kojeg izlazi naziva se baza. Svaka medijana trougla prolazi kroz jednu tačku, koja se zove tačka preseka. Formula za njegovu dužinu može se izraziti na nekoliko načina.

Formule za izražavanje dužine medijane

Često u zadacima iz geometrije učenici moraju da rade sa segmentom kao što je medijana trougla. Formula za njegovu dužinu je izražena kao strane:

gdje su a, b i c stranice. Štaviše, c je strana na koju medijan pada. Ovako to izgleda jednostavna formula. Medijane trougla su ponekad potrebne za pomoćne proračune. Postoje i druge formule.

Ako su prilikom izračunavanja poznate dvije stranice trokuta i određeni ugao α koji se nalazi između njih, tada će se dužina medijane trougla, spuštena na treću stranu, izraziti na sljedeći način.

Osnovna svojstva

Svi medijani imaju jednu zajednička tačka presjeci O i podijeljeni su u omjeru dva prema jedan, ako se računa od vrha. Ova tačka se naziva težište trougla.
Medijan dijeli trougao na dva druga čije su površine jednake. Takvi trouglovi se nazivaju jednake površine.
Ako nacrtate sve medijane, trokut će biti podijeljen na 6 jednakih figura, koje će također biti trouglovi.
Ako su sve tri strane trougla jednake, onda će svaka od medijana biti i visina i simetrala, odnosno okomita na stranu na koju je povučena, i dijeli kut iz kojeg izlazi.
IN jednakokraki trougao medijan ispušten iz vrha koji je nasuprot strani koja nije jednaka nijednoj drugoj će također biti visina i simetrala. Medijani ispušteni iz drugih vrhova su jednaki. Ovo je takođe neophodno i dovoljno stanje jednakokraki.
Ako je trokut baza pravilne piramide, tada se visina spuštena na datu osnovu projektuje na tačku presjeka svih medijana.

U pravokutnom trokutu, medijana povučena do najduže stranice jednaka je polovini njegove dužine.
Neka je O presjek medijana trougla. Formula ispod bit će tačna za bilo koju tačku M.

Medijan trougla ima još jedno svojstvo. Formula za kvadrat njegove dužine kroz kvadrate stranica prikazana je u nastavku.

Svojstva strana na koje je povučena medijana

Ako spojimo bilo koje dvije točke presjeka medijana sa stranama na koje su ispuštene, tada će rezultujući segment biti srednja linija trokuta i čine jednu polovinu stranice trougla sa kojom on nema zajedničkih tačaka.
Osnove visina i medijana u trouglu, kao i sredine segmenata koji povezuju vrhove trougla sa tačkom preseka visina, leže na istoj kružnici.

Zaključno, logično je reći da je jedan od najvažnijih segmenata medijana trougla. Njegova formula se može koristiti za pronalaženje dužina njegovih drugih strana.