Kako pronaći inverznu determinantu. inverzna matrica

Pronalaženje inverzne matrice.

U ovom članku ćemo se pozabaviti konceptom inverzne matrice, njenim svojstvima i načinima pronalaženja. Zaustavimo se detaljno na rješavanju primjera u kojima je potrebno konstruirati inverznu matricu za datu.

Navigacija po stranici.

Inverzna matrica - definicija.

Pronalaženje inverzne matrice pomoću matrice algebarskih sabiranja.

Svojstva inverzne matrice.

Pronalaženje inverzne matrice Gauss-Jordan metodom.

Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Inverzna matrica - definicija.

Koncept inverzne matrice se uvodi samo za kvadratne matrice čija je determinanta različita od nule, odnosno za nesingularne kvadratne matrice.

Definicija.

Matrixnaziva se inverzno od matrice, čija je determinanta različita od nule, ako su jednakosti tačne , gdje E je matrica identiteta reda n na n.

Pronalaženje inverzne matrice pomoću matrice algebarskih sabiranja.

Kako pronaći inverznu matricu za datu?

Prvo, trebaju nam koncepti transponovana matrica, matrični minor i algebarski komplement matričnog elementa.

Definicija.

Minork-th red matrice A red m na n je determinanta matrice reda k na k, koji se dobija iz elemenata matrice ALI nalazi u odabranom k linije i k kolone. ( k ne prelazi najmanji broj m ili n).

Minor (n-1)th red, koji se sastoji od elemenata svih redova, osim i-th, i sve kolone osim j-th, kvadratna matrica ALI red n na n označimo ga kao .

Drugim riječima, minor se dobiva iz kvadratne matrice ALI red n na n precrtavanje elemenata i-th linije i j-th kolona.

Na primjer, pišemo, maloljetni 2nd red, koji se dobija iz matrice izbor elemenata njegovog drugog, trećeg reda i prvog, trećeg stupca . Prikazujemo i minor koji se dobija iz matrice brisanjem drugog reda i treće kolone . Ilustrujmo konstrukciju ovih minora: i .

Definicija.

Algebarsko sabiranje element kvadratne matrice naziva se minor (n-1)th red, koji se dobija iz matrice ALI, brisanjem njegovih elemenata i-th linije i j-th stupac pomnožen sa .

Algebarski komplement elementa se označava kao . dakle, .

Na primjer, za matricu algebarski komplement elementa je .

Drugo, trebat će nam dva svojstva determinante, o kojima smo raspravljali u odeljku izračunavanje matrične determinante:

Na osnovu ovih svojstava determinante, definicije operacije množenja matrice brojem i koncept inverzne matrice, imamo jednakost , gdje je transponirana matrica čiji su elementi algebarski komplementi .

Matrix je zaista inverzno od matrice ALI, budući da su jednakosti . Hajde da to pokažemo

Hajde da komponujemo inverzni matrični algoritam koristeći jednakost .

Analizirajmo algoritam za pronalaženje inverzne matrice koristeći primjer.

Primjer.

Zadana matrica . Pronađite inverznu matricu.

Rješenje.

Izračunajte determinantu matrice ALI, proširujući ga elementima treće kolone:

Determinanta nije nula, dakle matrica ALI reverzibilan.

Nađimo matricu iz algebarskih sabiranja:

Zbog toga

Izvršimo transpoziciju matrice iz algebarskih sabiranja:

Sada nalazimo inverznu matricu kao :

Provjerimo rezultat:

Jednakost se izvršavaju, dakle, inverzna matrica je ispravno pronađena.

Svojstva inverzne matrice.

Koncept inverzne matrice, jednakost , definicije operacija nad matricama i svojstva determinante matrice omogućavaju da se potkrijepi sljedeće svojstva inverzne matrice:

Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Razmotrite drugi način pronalaženja inverzne matrice za kvadratnu matricu ALI red n na n.

Ova metoda se zasniva na rješenju n sistemi linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi sa n nepoznato. Nepoznate varijable u ovim sistemima jednačina su elementi inverzne matrice.

Ideja je vrlo jednostavna. Označimo inverznu matricu kao X, to je, . Budući da je po definiciji inverzne matrice , onda

Izjednačavajući odgovarajuće elemente po kolonama, dobijamo n sistemi linearnih jednačina

Rješavamo ih na bilo koji način i od pronađenih vrijednosti formiramo inverznu matricu.

Analizirajmo ovu metodu na primjeru.

Primjer.

Zadana matrica . Pronađite inverznu matricu.

Rješenje.

Prihvati . Jednakost nam daje tri sistema linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi:

Nećemo opisivati rješenja ovih sistema; ako je potrebno, pogledajte odjeljak rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Iz prvog sistema jednačina imamo , iz drugog - , iz trećeg - . Prema tome, željena inverzna matrica ima oblik . Preporučujemo da provjerite da li je rezultat tačan.

Sažmite.

Razmatrali smo koncept inverzne matrice, njena svojstva i tri metode za njeno pronalaženje.

Primjer rješenja inverzne matrice

Vježba 1. Riješite SLAE koristeći metodu inverzne matrice. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Početak forme

Kraj forme

Rješenje. Zapišimo matricu u obliku: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Glavna determinanta Minor za (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor za (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor za (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor za (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Mala determinanta ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponovana matrica Algebarski komplementi ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverzna matrica Vektor rezultata X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

vidi takođe SLAE rješenja metodom inverzne matrice online. Da biste to učinili, unesite svoje podatke i donesite odluku s detaljnim komentarima.

Zadatak 2. Napišite sistem jednačina u matričnom obliku i riješite ga pomoću inverzne matrice. Provjerite dobijeno rješenje. Rješenje:xml:xls

Primjer 2. Napišite sistem jednadžbi u matričnom obliku i riješite pomoću inverzne matrice. Rješenje:xml:xls

Primjer. Dat je sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate. Potrebno: 1) pronaći njegovo rješenje koristeći Cramerove formule; 2) zapisati sistem u matričnom obliku i riješiti ga pomoću matričnog računa. Smjernice. Nakon rješavanja Cramerovom metodom, pronaći dugme "Inverzno matrično rješenje za početne podatke". Dobićete odgovarajuću odluku. Dakle, podaci se neće morati ponovo popunjavati. Rješenje. Označiti sa A - matrica koeficijenata za nepoznate; X - kolona matrica nepoznatih; B - matrica-kolona slobodnih članova:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) S obzirom na ove oznake, ovaj sistem jednačina ima sljedeći matrični oblik: A*H = B. Ako je matrica A nesingularna (njena determinanta je različita od nule, tada ima inverzna matrica A -1. Množenjem obje strane jednadžbe sa A -1, dobivamo: A -1 * A * X = A -1 * B, A -1 * A = E. Ova jednakost se zove matrična notacija rješenja sistema linearnih jednačina. Za pronalaženje rješenja sistema jednačina potrebno je izračunati inverznu matricu A -1 . Sistem će imati rješenje ako je determinanta matrice A različita od nule. Nađimo glavnu odrednicu. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Dakle, determinanta je 14 ≠ 0, pa nastavljamo sa resavanjem. Da bismo to učinili, pronalazimo inverznu matricu putem algebarskih sabiranja. Neka imamo nesingularnu matricu A:

Računamo algebarske sabirke.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Ispitivanje. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls odgovor: -1,1,2.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica, u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prelaze iz gornjeg lijevog ugla u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice one. za one matrice koje imaju isti broj redova i stupaca.

Teorema uslova postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, neophodno je i dovoljno da bude nedegenerisana.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegenerisan ako su vektori stupaca linearno nezavisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice potrebno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

U tabelu za rešavanje sistema jednačina Gausovom metodom upisati matricu A i sa desne strane (umesto desnih delova jednačina) dodeliti joj matricu E.
Koristeći Jordan transformacije, dovedite matricu A u matricu koja se sastoji od pojedinačnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
Ako je potrebno, preuredite redove (jednačine) posljednje tablice tako da se matrica identiteta E dobije ispod matrice A originalne tablice.
Napišite inverznu matricu A -1, koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E originalne tablice.

Primjer 1

Za matricu A, pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Zapisujemo matricu A i na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta E. Koristeći Jordanove transformacije, matricu A svodimo na matricu identiteta E. Proračuni su prikazani u tabeli 31.1.

Provjerimo ispravnost proračuna množenjem originalne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrice, dobija se matrica identiteta. Dakle, proračuni su tačni.

odgovor:

Rješenje matričnih jednačina

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C date matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate ovu jednačinu pomnožiti sa lijevom.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe.

Ostale jednačine se rješavaju slično.

Primjer 2

Riješite jednačinu AX = B ako

Rješenje: Pošto je inverz matrice jednak (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Zajedno s drugima, oni također nalaze primjenu matrične metode. Ove metode se zasnivaju na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Ovakve metode se koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno uporediti funkcionisanje organizacija i njihovih strukturnih podjela.

U procesu primjene matričnih metoda analize može se izdvojiti nekoliko faza.

U prvoj fazi vrši se formiranje sistema ekonomskih indikatora i na osnovu njega se sastavlja matrica početnih podataka, koja je tabela u kojoj su brojevi sistema prikazani u pojedinačnim redovima (i = 1,2,....,n), a duž vertikalnih grafikona - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi za svaki vertikalni stupac otkriva se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedinica.

Nakon toga, svi iznosi prikazani u ovoj koloni se dijele sa najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su na kvadrat. Ako imaju različitu važnost, tada se svakom indikatoru matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje stručnjak.

Na poslednjem četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena Rj grupisane po rastućem ili opadajućem redu.

Navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, u komparativnoj analizi različitih investicionih projekata, kao iu procjeni drugih pokazatelja ekonomskog učinka organizacija.

Matrica $A^(-1)$ se naziva inverzna kvadratne matrice $A$ ako je $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdje je $E $ je matrica identiteta, čiji je red jednak redu matrice $A$.

Nesingularna matrica je matrica čija determinanta nije jednaka nuli. Prema tome, degenerirana matrica je ona čija je determinanta jednaka nuli.

Inverzna matrica $A^(-1)$ postoji ako i samo ako je matrica $A$ nesingularna. Ako inverzna matrica $A^(-1)$ postoji, onda je jedinstvena.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje inverza matrice, a mi ćemo pogledati dva od njih. Ova stranica će raspravljati o metodi spojene matrice, koja se smatra standardnom u većini viših matematičkih kurseva. Drugi način pronalaženja inverzne matrice (metoda elementarnih transformacija), koji uključuje korištenje Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode, razmatran je u drugom dijelu.

Metoda adjoint (union) matrice

Neka je data matrica $A_(n\puta n)$. Da bi se pronašla inverzna matrica $A^(-1)$, potrebna su tri koraka:

Pronađite determinantu matrice $A$ i uvjerite se da je $\Delta A\neq 0$, tj. da je matrica A nedegenerisana.
Sastavite algebarske komplemente $A_(ij)$ svakog elementa matrice $A$ i zapišite matricu $A_(n\puta n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ od pronađenog algebarske dopune.
Napišite inverznu matricu uzimajući u obzir formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ se često naziva pridruženom (međusobnom, povezanom) matricom od $A$.

Ako se odluka donosi ručno, tada je prva metoda dobra samo za matrice relativno malog reda: drugi (), treći (), četvrti (). Da bi se pronašla inverzna matrica za matricu višeg reda, koriste se druge metode. Na primjer, Gaussova metoda, o kojoj se govori u drugom dijelu.

Primjer #1

Pronađite matricu inverznu matrici $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(niz) \desno)$.

Pošto su svi elementi četvrtog stupca jednaki nuli, onda je $\Delta A=0$ (tj. matrica $A$ je degenerirana). Pošto je $\Delta A=0$, ne postoji matrica inverzna $A$.

Primjer #2

Pronađite matricu inverznu matrici $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Koristimo metodu spojene matrice. Prvo, pronađimo determinantu date matrice $A$:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Pošto je $\Delta A \neq 0$, onda inverzna matrica postoji, pa nastavljamo sa rješenjem. Pronalaženje algebarskih komplementa

\begin(poravnano) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(poravnano)

Sastavite matricu algebarskih komplemenata: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponirajte rezultirajuću matricu: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (rezultirajuća matrica se često naziva adjuint ili union matrica matrici $A$). Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, imamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(niz) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(niz)\desno) =\left(\begin(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(niz)\desno) $$

Dakle, pronađena je inverzna matrica: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \desno) $. Da biste provjerili istinitost rezultata, dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A^(-1)\cdot A=E$. Da bismo manje radili sa razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ ali kao $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ kraj (niz)\desno)$:

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Primjer #3

Pronađite inverznu vrijednost matrice $A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(niz) \right)$.

Počnimo s izračunavanjem determinante matrice $A$. Dakle, determinanta matrice $A$ je:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(niz) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Pošto je $\Delta A\neq 0$, inverzna matrica postoji, pa nastavljamo sa rješenjem. Pronalazimo algebarske komplemente svakog elementa date matrice:

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja i transponiramo je:

$$ A^*=\left(\begin(niz) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(niz) \desno); \; (A^*)^T=\left(\begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno) $$

Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, dobijamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(niz) \desno)= \lijevo(\begin(niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(niz) \desno) $$

Dakle $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(niz) \desno)$. Da biste provjerili istinitost rezultata, dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A\cdot A^(-1)=E$. Da bismo manje radili sa razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, ali kao $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Provjera je uspješno prošla, inverzna matrica $A^(-1)$ je ispravno pronađena.

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(niz) \desno)$.

Primjer #4

Pronađite matricu inverznu od $A=\left(\begin(niz) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(niz) \desno)$.

Za matricu četvrtog reda, pronalaženje inverzne matrice pomoću algebarskih sabiranja je donekle teško. Međutim, takvi primjeri se nalaze u kontrolnim radovima.

Da biste pronašli inverznu matricu, prvo morate izračunati determinantu matrice $A$. Najbolji način da to učinite u ovoj situaciji je proširenje determinante u nizu (kolona). Odaberemo bilo koji red ili stupac i pronađemo algebarski komplement svakog elementa odabranog reda ili stupca.

Metode za pronalaženje inverzne matrice, . Razmotrimo kvadratnu matricu

Označimo Δ = det A.

Kvadratna matrica A se naziva nedegenerisan, ili nespecijalan ako je njegova determinanta različita od nule, i degenerisati, ili poseban, akoΔ = 0.

Kvadratna matrica B postoji za kvadratnu matricu A istog reda ako je njihov proizvod A B = B A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrice A i B.

Teorema . Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule.

Inverzna matrica prema matrici A, označena sa A- 1 pa B = A - 1 a izračunava se po formuli

, (1)

gdje je A i j - algebarski komplementi elemenata a i j matrice A..

Izračunavanje A -1 po formuli (1) za matrice visokog reda je vrlo naporno, pa je u praksi zgodno pronaći A -1 metodom elementarnih transformacija (EP). Bilo koja nesingularna matrica A može se reducirati pomoću EP samo stupaca (ili samo redova) na matricu identiteta E. Ako se EP-ovi izvedeni na matrici A primjenjuju istim redoslijedom na matricu identiteta E, tada je rezultat inverzna matrica. Pogodno je izvesti EP na matricama A i E istovremeno, pišući obje matrice jednu do druge kroz liniju. Još jednom napominjemo da se prilikom traženja kanonskog oblika matrice, da bismo ga pronašli, mogu koristiti transformacije redova i stupaca. Ako trebate pronaći inverznu matricu, trebali biste koristiti samo redove ili samo stupce u procesu transformacije.

Primjer 2.10. Za matricu naći A -1 .

Rješenje.Prvo ćemo pronaći determinantu matrice A
tako da inverzna matrica postoji i možemo je pronaći po formuli: , gdje je A i j (i,j=1,2,3) - algebarski komplementi elemenata a i j originalne matrice.

Gdje .

Primjer 2.11. Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronađite A -1 za matricu: A=.

Rješenje.Originalnoj matrici s desne strane dodjeljujemo matricu identiteta istog reda: . Uz pomoć elementarnih transformacija stupaca, lijevu “polovinu” reduciramo na identičnu, istovremeno izvodeći upravo takve transformacije na desnoj matrici.
Da biste to učinili, zamijenite prvi i drugi stupac: ~ . Dodamo prvu u treću kolonu, a prvu pomnoženu sa -2 u drugu: . Od prve kolone oduzimamo udvostručeni drugi, a od trećeg - drugi pomnožen sa 6; . Dodajmo treću kolonu prvom i drugom: . Pomnožite posljednju kolonu sa -1: . Kvadratna matrica dobijena desno od vertikalne trake je inverzna matrica datoj matrici A. Dakle,
.

U prvom dijelu razmatrana je metoda za pronalaženje inverzne matrice korištenjem algebarskih sabiranja. Ovdje opisujemo još jednu metodu za pronalaženje inverznih matrica: korištenjem Gaussove i Gauss-Jordan transformacije. Često se ova metoda pronalaženja inverzne matrice naziva metodom elementarnih transformacija.

Metoda elementarnih transformacija

Za primjenu ove metode, data matrica $A$ i matrica identiteta $E$ upisuju se u jednu matricu, tj. formiraju matricu oblika $(A|E)$ (ova matrica se naziva i proširena matrica). Nakon toga, uz pomoć elementarnih transformacija izvedenih sa redovima proširene matrice, matrica lijevo od linije postaje jedinica, a proširena matrica poprima oblik $\left(E| A^(-1) \right )$. Elementarne transformacije u ovoj situaciji uključuju sljedeće radnje:

Zamjena dvije linije.
Množenje svih elemenata niza nekim brojem koji nije nula.
Dodavanje elementima jednog reda odgovarajućih elemenata drugog reda, pomnoženih bilo kojim faktorom.

Ove elementarne transformacije mogu se primijeniti na različite načine. Obično se bira Gaussova metoda ili Gauss-Jordan metoda. Generalno, Gauss i Gauss-Jordan metode su namijenjene za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina, a ne za pronalaženje inverznih matrica. Izraz "primjena Gaussove metode za pronalaženje inverza matrice" ovdje treba shvatiti kao "primjena operacija svojstvenih Gauss metodi na pronalaženje inverza matrice."

Numeracija primjera je nastavljena iz prvog dijela. U primjerima se razmatra i upotreba Gaussove metode za pronalaženje inverzne matrice, a u primjerima se analizira upotreba Gauss-Jordan metode. Treba napomenuti da ako se tokom rješavanja svi elementi nekog reda ili stupca matrice koji se nalaze prije linije postave na nulu, tada inverzna matrica ne postoji.

Primjer #5

Pronađite matricu $A^(-1)$ ako je $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( niz )\desno)$.

U ovom primjeru, inverzna matrica će se naći pomoću Gaussove metode. Proširena matrica, koja je općenito $(A|E)$, u ovom primjeru ima sljedeći oblik: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Svrha: koristeći elementarne transformacije, dovedite proširenu matricu u oblik $\left(E|A^(-1) \right)$. Primjenjujemo iste operacije koje se koriste u rješavanju sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom. Za primjenu Gaussove metode zgodno je kada je prvi element prvog reda proširene matrice jedan. Da bismo to postigli, mijenjamo prvi i treći red proširene matrice, koji postaje: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(niz) \desno)$.

Hajdemo sada do rješenja. Gaussova metoda je podijeljena u dvije faze: naprijed i nazad (detaljan opis ove metode za rješavanje sistema jednačina dat je u primjerima odgovarajuće teme). Ista dva koraka će se primijeniti u procesu pronalaženja inverzne matrice.

udar naprijed

Prvi korak

Uz pomoć prvog reda resetujemo elemente prvog stupca koji se nalazi ispod prvog reda:

Dozvolite mi da malo prokomentarišem šta sam uradio. Oznaka $II-2\cdot I$ znači da su odgovarajući elementi prvog reda, prethodno pomnoženi sa dva, oduzeti od elemenata drugog reda. Ova akcija se može zasebno napisati na sljedeći način:

Akcija $III-7\cdot I$ se izvodi na potpuno isti način. Ako postoje poteškoće s izvođenjem ovih operacija, one se mogu izvesti odvojeno (slično $II-2\cdot I$ radnji prikazanoj gore), a rezultat se zatim unosi u proširenu matricu.

Drugi korak

Uz pomoć drugog reda, resetujemo element drugog stupca koji se nalazi ispod drugog reda:

Podijelite treći red sa 5:

Pravo trčanje je završeno. Svi elementi koji se nalaze ispod glavne dijagonale matrice do linije su vraćeni na nulu.

Obrnuto

Prvi korak

Uz pomoć trećeg reda, resetujemo elemente treće kolone koja se nalazi iznad trećeg reda:

Prije nego pređete na sljedeći korak, podijelite drugi red sa $7$:

Drugi korak

Uz pomoć drugog reda, resetujemo elemente drugog stupca koji se nalazi iznad drugog reda:

Transformacije su završene, inverzna matrica je pronađena Gaussovom metodom: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(niz) \desno)$. Provjera, ako je potrebno, može se izvršiti na isti način kao u prethodnim primjerima. Ako preskočite sva objašnjenja, rješenje će poprimiti oblik:

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(niz) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & -27/5 \end(niz) \desno)$.

Primjer #6

Pronađite matricu $A^(-1)$ ako je $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(niz) \desno)$.

Da bismo pronašli inverznu matricu u ovom primjeru, koristit ćemo iste operacije koje se koriste u rješavanju sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode. Detaljna objašnjenja su data, ali se ovdje ograničavamo na kratke komentare. Napišimo proširenu matricu: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(niz) \desno)$. Zamijenite prvi i četvrti red ove matrice: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(niz) \desno)$.

udar naprijed

Forward run transformacije su završene. Svi elementi koji se nalaze ispod glavne dijagonale matrice lijevo od linije su postavljeni na nulu.

Obrnuto

Pronađen Gausov inverz, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ end( niz)\desno)$. Provjera se, ako je potrebno, vrši na isti način kao u primjerima br. 2 i br. 3.

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(niz) \ desno)$.

Primjer #7

Pronađite matricu $A^(-1)$ ako je $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( niz )\desno)$.

Da bismo pronašli inverznu matricu, primjenjujemo operacije karakteristične za Gauss-Jordanovu metodu. Razlika od Gaussove metode, razmatrane u prethodnim primjerima i , je u tome što se rješenje izvodi u jednoj fazi. Da vas podsjetim da je Gaussova metoda podijeljena u 2 faze: pomak naprijed („napravimo“ nule ispod glavne dijagonale matrice do šipke) i obrnuti potez (resetujemo elemente iznad glavne dijagonale matrice do bara). Za izračunavanje inverzne matrice Gauss-Jordan metodom nisu potrebne dvije faze rješenja. Prvo, napravimo proširenu matricu: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end(niz) \desno) $$

Prvi korak

Postavite sve elemente prve kolone na nulu osim jednog. U prvoj koloni svi elementi su različiti od nule, tako da možemo odabrati bilo koji element. Uzmimo, na primjer, $(-4)$:

Odabrani element $(-4)$ nalazi se u trećem redu, tako da koristimo treći red za nuliranje odabranih elemenata prve kolone:

Napravimo prvi element trećeg reda jednakim jedan. Da bismo to učinili, dijelimo elemente trećeg reda proširene matrice sa $(-4)$:

Sada počnimo s nuliranjem odgovarajućih elemenata prve kolone:

U daljnjim koracima više neće biti moguće koristiti treći red, jer smo ga već primijenili u prvom koraku.

Drugi korak

Odaberimo neki element drugog stupca koji nije nula i postavimo sve ostale elemente druge kolone na nulu. Možemo izabrati bilo koji od dva elementa: $\frac(11)(2)$ ili $\frac(39)(4)$. Element $\left(-\frac(5)(4) \right)$ ne može se odabrati jer se nalazi u trećem redu, što smo koristili u prethodnom koraku. Odaberimo element $\frac(11)(2)$, koji se nalazi u prvom redu. Promijenimo $\frac(11)(2)$ u jedan u prvom redu:

Sada postavimo odgovarajuće elemente druge kolone na nulu:

U daljem rezonovanju, prvi red se ne može koristiti.

Treći korak

Potrebno je resetirati sve elemente treće kolone osim jednog. Moramo izabrati neki element koji nije nula iz treće kolone. Međutim, ne možemo uzeti $\frac(6)(11)$ ili $\frac(13)(11)$ jer se ti elementi nalaze u prvom i trećem redu koje smo koristili ranije. Izbor je mali: ostaje samo element $\frac(2)(11)$, koji se nalazi u drugom redu. Podijelite sve elemente drugog reda sa $\frac(2)(11)$:

Sada postavimo odgovarajuće elemente treće kolone na nulu:

Transformacije Gauss-Jordan metodom su završene. Ostaje samo da matrica do linije postane jedinica. Da biste to učinili, morate promijeniti redoslijed redova. Prvo, zamijenite prvi i treći red:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(niz) \desno) $$

Sada zamenimo drugi i treći red:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(niz) \desno) $$

Dakle $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(niz) \desno)$. Naravno, rješenje se može izvesti na drugačiji način, odabirom elemenata na glavnoj dijagonali. Obično je to upravo ono što oni rade, jer u ovom slučaju, na kraju rješenja, linije neće morati biti zamijenjene. Prethodno rješenje sam dao samo s jednom svrhom: da pokažem da izbor reda u svakom koraku nije fundamentalan. Ako biramo dijagonalne elemente u svakom koraku, rješenje će biti sljedeće.