Iz suprotnog vrha) i podijelite rezultirajući proizvod sa dva. U formi to izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

gdje:
S je površina trokuta,
a je dužina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Dužina i visina strane moraju biti prikazani u istim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se pokazati u odgovarajućim "" jedinicama.

Primjer.
Na jednoj od stranica razmjernog trokuta dužine 20 cm spuštena je okomica iz suprotnog vrha dužine 10 cm.
Površina trougla je potrebna.
Odluka.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako znate dužine bilo koje dvije strane skalenskog trokuta i ugao između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b dužine dvije proizvoljne strane, a γ ugao između njih.

U praksi, na primjer, prilikom mjerenja zemljišne parcele, upotreba gornjih formula je ponekad teška, jer zahtijeva dodatne konstrukcije i mjerenje uglova.

Ako znate dužine sve tri strane skalenskog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c su dužine stranica trokuta,
r – poluperimetar: p = (a+b+c)/2.

Ako je, pored dužina svih stranica, poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, onda koristite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r poluprečnik upisane kružnice (p je poluperimetar).

Da biste izračunali površinu skalenskog trokuta opisanog kruga i dužinu njegovih stranica, koristite formulu:

gdje je: R polumjer opisane kružnice.

Ako je poznata dužina jedne od stranica trokuta i tri ugla (u principu su dovoljna dva - vrijednost treće se izračunava iz jednakosti zbira tri ugla trokuta - 180º), tada koristite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost ugla nasuprot strani a;
β, γ su vrijednosti preostala dva ugla trokuta.

Potreba za pronalaženjem razni elementi, uključujući područje trougao, pojavio se mnogo vekova pre naše ere među astronomima Ancient Greece. Područje trougao može se izračunati Različiti putevi koristeći različite formule. Metoda proračuna zavisi od toga koji elementi trougao poznato.

Uputstvo

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica b, c i ugla koji oni formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica a, b i ugla koji oni ne formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje ugla?, grijeh? = bsin? / a, dalje u tabeli određujemo sam ugao.
Pronalaženje ugla? = 180°-?-?.
Pronađite samu površinu S = (apsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti samo tri strane trougao a, b i c, zatim površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , gdje je p poluperimetar p = (a+b+c)/2

Ako iz uslova zadatka znamo visinu trougao h i stranu na koju se ta visina spušta, zatim površinu trougao ABC po formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo vrijednosti strana trougao a, b, c i poluprečnik opisanog u blizini datog trougao R, zatim područje ovoga trougao ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri strane a, b, c i polumjer upisanog, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluperimetar, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostranična, tada se površina nalazi po formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje po formuli:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje je c trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni trokut, tada se površina određuje po formuli:
S = ab/2, gdje su a i b noge trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokraki trokut, tada je površina određena formulom:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trougao, a=b - noga.

Povezani video zapisi

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trougla

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako znate ugao

Poznavanje samo jednog parametra (vrijednosti ugla) nije dovoljno za pronalaženje površine tre kvadrat . Ako postoje dodatne dimenzije, tada za određivanje površine možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost ugla također koristi kao jedna od poznatih varijabli. Nekoliko najčešće korištenih formula su navedene u nastavku.

Uputstvo

Ako, pored ugla (γ) koji formiraju dvije strane tre kvadrat , tada su poznate i dužine ovih stranica (A i B). području(S) figure se mogu definisati kao polovina proizvoda dužina stranica i sinusa ovog poznatog ugla: S=½×A×B×sin(γ).

Ponekad u životu postoje situacije kada morate zaroniti u sjećanje u potrazi za davno zaboravljenim školsko znanje. Na primjer, morate odrediti površinu parcele trokutastog oblika, ili je došao red na sljedeći popravak u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu trokutastog oblika. Bilo je vremena kada ste takav problem mogli riješiti za nekoliko minuta, a sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne morate da brinete o ovome! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči premjestiti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak iz kojeg ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali da patite u potrazi za zaboravljenim školskim znanjem da biste riješili takav problem, sadrži ovaj članak razne metode, koji olakšavaju pronalaženje željene površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta poligona koji je ograničen na minimum mogući broj strane. U principu, svaki poligon se može podijeliti na nekoliko trouglova spajanjem njegovih vrhova sa segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, poznavajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trouglovima koji se javljaju u životu, mogu se razlikovati sljedeće posebne vrste: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih uglova pravi, tj. pravougaonog trougla. Lako je vidjeti da je to pola pravougaonika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnožaka stranica koje tvore pravi ugao između njih.

Ako znamo visinu trokuta spuštenog iz jednog od njegovih vrhova na Suprotna strana, i dužina ove stranice, koja se zove baza, tada se površina računa kao polovina proizvoda visine i baze. Ovo se piše pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je željena površina trokuta;

b, h - visina i osnova trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta, jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i lako se može izmjeriti. Ako je površina određena, onda je zgodno uzeti dužinu jedne od stranica koje tvore pravi ugao kao visinu.

Sve je to svakako dobro, ali kako odrediti da li je jedan od uglova trougla pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, onda možete koristiti ugao izgradnje, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi predmet sa pravougaonog oblika.

Ali šta ako imamo trouglasto zemljište? U ovom slučaju postupite na sljedeći način: brojite od vrha predloženog pravi ugao na jednoj strani je umnožak udaljenosti od 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani umnožak udaljenosti od 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) se mjeri u istom omjeru. Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih tačaka ova dva segmenta. Ako je vrijednost višestruka od 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), onda se može tvrditi da je ugao pravi.

Ako je poznata vrijednost dužine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Da bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluperimetar. Ovo je zbir svih stranica našeg trougla, podijeljen na pola. Nakon što se izračuna poluperimetar, možete početi određivati ​​površinu pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

kvadrat- Kvadratni korijen;

p je vrijednost poluperimetra (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - ivice (stranice) trougla.

Ali šta ako trougao ima nepravilnog oblika? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru na dva pravokutna trougla, čiji se zbroj površina posebno izračunava, a zatim dodaje. Ili, ako su poznati kut između dvije stranice i veličina ovih stranica, onda primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trougla;

c je ugao između ovih stranica.

Poslednji slučaj u praksi je to rijetko, ali ipak, sve je moguće u životu, pa gornja formula neće biti suvišna. Sretno sa vašim proračunima!

Trougao je dobro poznata figura. I to, uprkos bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravokutni, jednakostranični, akutni, jednakokraki, tupi. Svaki od njih je donekle drugačiji. Ali za bilo koje je potrebno znati površinu trokuta.

Zajedničke formule za sve trokute koji koriste dužine stranica ili visina

U njima usvojene oznake: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n s.

1. Površina trokuta se izračunava kao proizvod ½, stranice i visine spuštene na nju. S = ½ * a * n a. Slično, treba napisati formule za druge dvije strane.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluperimetar (uobičajeno je označavati ga malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Poluperimetar se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve strane i podijelite ih sa 2. Formula poluperimetra: p \u003d (a + b + c) / 2. Tada je jednakost za površinu \ Slika izgleda ovako: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ako ne želite koristiti poluperimetar, onda će vam dobro doći takva formula u kojoj su prisutne samo dužine stranica: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili kako pronaći poluperimetar.

Opće formule u kojima se pojavljuju uglovi trokuta

Oznaka koja je potrebna za čitanje formula: α, β, γ - uglovi. Leže na suprotnim stranama a, b, c, redom.

1. Prema njemu, polovina proizvoda dviju stranica i sinusa ugla između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.

2. Površina trougla može se izračunati iz jedne strane i tri poznata ugla. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula s jednom poznatom stranom i dva ugla koja su joj susjedna. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisanih ili opisanih kružnica

Dodatne oznake: r, R — radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula po kojoj se izračunava površina trokuta odnosi se na poluperimetar. S = r * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve strane trougla i podijeliti ih četverostrukim polumjerom opisane kružnice. AT doslovan izraz izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućava da ne znate stranice, ali su vam potrebne vrijednosti sva tri ugla. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo dužina obje noge. Oni su određeni sa latiničnim slovima a i c. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini površine pravokutnika koji mu se dodaje.

Matematički, to izgleda ovako: S = ½ a * b. Nju je najlakše pamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokraki trokut

Budući da su njegove dvije strane jednake, neke formule za njegovu površinu izgledaju donekle pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga pretvorite, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokraki trokut je napisana na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Nešto lakše nego proizvoljan trougao, formula površine izgleda kao da su poznate stranice i ugao između njih. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima oko njega strana zna ili se nekako može prepoznati. Tada je formula za pronalaženje površine takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Zadaci za pronalaženje površine ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada je pravougaoni trokut nacrtan tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Zatim samo trebate izbrojati broj ćelija koje staju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite sa dva.

Kada je trokut oštar ili tupougao, mora se nacrtati u pravougaonik. Tada će u rezultirajućoj figuri biti 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dat u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravougaona. Područja posljednja dva moraju se odrediti gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i oduzmite od njega one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Mnogo je teža situacija u kojoj se nijedna stranica trokuta ne poklapa sa linijama papira. Zatim se mora upisati u pravougaonik tako da vrhovi originalne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju biće tri pomoćna pravougla trougla.

Primjer problema na Heronovoj formuli

Stanje. Neki trougao ima stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm.Morate znati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. Pod kvadratnim korijenom nalazi se proizvod četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ako vam nije potrebna veća preciznost, onda možete uzeti kvadratni korijen od 14. To je 3,74. Tada će površina biti jednaka 7,48.

Odgovori. S \u003d 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer zadatka s pravokutnim trouglom

Stanje. Jedna kateta pravokutnog trokuta je 31 cm duža od druge. Potrebno je saznati njihove dužine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Odluka. Morate riješiti sistem od dvije jednačine. Prvi se odnosi na područje. Drugi je omjer nogu koji je dat u zadatku.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora biti zamijenjena u prvu jednačinu. Ispada: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu količinu, pa je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada, dobijamo kvadratna jednačina: u 2 + 31 in - 360 = 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor, jer dužina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugi krak: rezultirajućem broju dodajte 31. Ispada 40. To su količine koje se traže u zadatku.

Odgovori. Kraci trougla su 9 i 40 cm.

Zadatak pronalaženja stranice kroz površinu, stranicu i ugao trougla

Stanje. Površina nekog trougla je 60 cm2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih stranica ako je druga strana 15 cm, a ugao između njih 30º.

Odluka. Na osnovu prihvaćene oznake, željena strana "a", poznata "b", unapred određeni ugao"γ". Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stepeni 0,5.

Nakon transformacije, "a" se ispostavi da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Željena strana je 16 cm.

Problem kvadrata upisanog u pravokutni trokut

Stanje. Vrh kvadrata sa stranicom od 24 cm poklapa se sa pravim uglom trokuta. Druga dvojica leže na nogama. Treći pripada hipotenuzi. Dužina jedne od kateta je 42 cm. Kolika je površina pravokutnog trokuta?

Odluka. Razmotrimo dva pravougla trougla. Prvi je naveden u zadatku. Drugi se zasniva na poznata noga originalni trougao. Oni su slični jer imaju zajednički ugao i formiraju ih paralelne linije.

Tada su omjeri njihovih nogu jednaki. Kateti manjeg trougla su 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (data je kateta 42 cm minus stranica kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge veliki trougao- 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 \u003d 24 / x, odnosno x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Tada je površina jednaka proizvodu 56 i 42, podijeljenom sa dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovori. Željena površina je 1176 cm 2.

Koncept područja

Koncept površine bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s takvom figurom kao što je kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi kompletnosti, podsjetimo se dva osnovna svojstva za područje geometrijskih figura.

Nekretnina 1: Ako geometrijske figure su jednake, njihove površine su takođe jednake.

Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štaviše, površina originalne figure jednaka je zbroju vrijednosti ​​površina svih figura koje je čine.

Razmotrimo primjer.

Primjer 1

Očigledno je da je jedna od stranica trougla dijagonala pravougaonika , koji ima jednu stranu dužine $5$ (od $5$ ćelija), a drugu $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15$.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta koristeći visinu i osnovu

Teorema 1

Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice puta visine povučene na tu stranu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ gdje je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dakle, željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka je

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema je dokazana.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na slici ispod, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ ćelija). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Odgovor: 40,5$.

Heronova formula

Teorema 2

Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo

Iz trougla $CBH$, po Pitagorinoj teoremi, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Uputstvo

Zabave a uglovi se smatraju osnovnim elementima a. Trokut je u potpunosti definiran bilo kojim od sljedećih osnovnih elemenata: ili tri strane, ili jedna stranica i dva ugla, ili dvije stranice i ugao između njih. Za postojanje trougao definisane sa tri strane a, b, c, potrebno je i dovoljno da nejednakosti, koje se nazivaju nejednakosti trougao:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Za gradnju trougao na tri strane a, b, c potrebno je iz tačke C segmenta CB=a šestarom nacrtati krug poluprečnika b. Zatim, na sličan način, nacrtajte krug iz tačke B poluprečnika jednaka strani c. Njihova tačka preseka A je treći vrh željenog trougao ABC, gdje je AB=c, CB=a, CA=b - strane trougao. Problem ima , Ako strane a, b, c, zadovoljavaju nejednakosti trougao navedeno u koraku 1.

Ovako konstruisana površina S trougao ABC sa poznate stranke a, b, c, izračunava se Heronovom formulom:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdje su a, b, c stranice trougao, p je poluperimetar.
p = (a+b+c)/2

Ako je trokut jednakostraničan, to jest, sve su mu stranice jednake (a=b=c). trougao izračunato po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Ako je trokut pravougao, odnosno jedan od njegovih uglova je 90°, a stranice koje ga tvore su kraci, treća stranica je hipotenuza. AT ovaj slučaj području jednak je proizvodu nogu podijeljen sa dva.
S=ab/2

Naći području trougao, možete koristiti jednu od mnogih formula. Odaberite formulu ovisno o tome koji su podaci već poznati.

Trebaće ti

• poznavanje formula za pronalaženje površine trokuta

Uputstvo

Ako znate vrijednost jedne od strana i vrijednost visine spuštene na ovu stranu iz suprotnog ugla, tada možete pronaći površinu koristeći sljedeće: S = a*h/2, gdje je S površina ​trougao, a je jedna od stranica trougla, a h - visina, na stranu a.

Poznat je način da se odredi površina trokuta ako su poznate tri njegove stranice. Ona je Heronova formula. Da bi se pojednostavilo njegovo snimanje, uvodi se srednja vrijednost - poluperimetar: p \u003d (a + b + c) / 2, gdje je a, b, c - . Tada je Heronova formula sljedeća: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ eksponencijacija.

Pretpostavimo da znate jednu od stranica trougla i tri ugla. Tada je lako pronaći površinu trokuta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdje je β ugao suprotne strane a, a α i γ su uglovi susjedni strani.

Povezani video zapisi

Bilješka

Najviše opšta formula, koji je pogodan za sve slučajeve - ovo je Heronova formula.

Izvori:

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta s tri strane

Pronalaženje površine trokuta jedan je od najčešćih zadataka u školskoj planimetriji. Poznavanje tri strane trokuta je dovoljno za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima i jednakostraničnim trouglovima dovoljno je znati dužine dvije, odnosno jedne stranice.

Trebaće ti

• dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinusni teorem

Uputstvo

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako obojite poluperimetar p, dobijate: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Također možete izvesti formulu za površinu trokuta iz razmatranja, na primjer, primjenom teoreme kosinusa.

Po zakonu kosinusa, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedenu notaciju, oni također mogu biti u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dakle, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta se također nalazi po formuli S = a*c*sin(ABC)/2 kroz dvije stranice i ugao između njih. Sinus ugla ABC može se izraziti preko njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). trougao ABC.

Povezani video zapisi

Za popravke, možda će biti potrebno izmjeriti području zidovi. Lakše je izračunati potreban iznos farba ili tapeta. Za mjerenja je najbolje koristiti metar ili centimetarsku traku. Merenja treba izvršiti nakon toga zidovi su usklađeni.

Trebaće ti

• -rulet;
• -merdevine.

Uputstvo

Brojati području zidova, potrebno je znati tačnu visinu plafona, kao i izmjeriti dužinu duž poda. To se radi na sljedeći način: uzmite centimetar, položite ga preko postolja. Obično centimetar nije dovoljan za cijelu dužinu, pa ga pričvrstite u kut, a zatim ga odmotajte maksimalna dužina. U ovom trenutku olovkom stavite oznaku, zapišite rezultat i izvršite dalje mjerenje na isti način, počevši od posljednje točke mjerenja.

Standardni stropovi u tipičnom - 2 metra 80 centimetara, 3 metra i 3 metra 20 centimetara, ovisno o kući. Ako je kuća izgrađena prije 50-ih godina, tada je najvjerovatnije stvarna visina nešto niža od naznačene. Ako kalkulišete području za popravke, onda mala marža neće škoditi - razmotrite na osnovu standarda. Ako još trebate znati pravu visinu - izmjerite. Princip je sličan mjerenju dužine, ali će vam trebati ljestve.

Pomnožite rezultirajuće brojke - to je području vaše zidovi. Istina, za slikarski rad ili za to je potrebno oduzeti području otvori za vrata i prozore. Da biste to učinili, položite centimetar duž otvora. Ako mi pričamo o vratima koja ćete naknadno promijeniti, a zatim obavite sa uklonjenim okvirom vrata, uzimajući u obzir samo području samog otvaranja. Površina prozora se izračunava duž perimetra njegovog okvira. Poslije području Izračunate prozore i vrata, oduzmite rezultat od ukupne površine dobijene prostorije.

Imajte na umu da se mjerenja dužine i širine prostorije provode zajedno, lakše je popraviti centimetar ili traku i, shodno tome, dobiti više tačan rezultat. Izvedite isto mjerenje nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete tačni.

Povezani video zapisi

Pronalaženje zapremine trougla je zaista netrivijalan zadatak. Činjenica je da je trokut dvodimenzionalna figura, tj. leži u potpunosti u jednoj ravni, što znači da jednostavno nema zapreminu. Naravno, ne možete pronaći nešto što ne postoji. Ali nemojmo odustati! Možemo napraviti sljedeću pretpostavku - volumen dvodimenzionalne figure, ovo je njena površina. Tražimo površinu trougla.

Trebaće ti

• list papira, olovka, ravnalo, kalkulator

Uputstvo

Nacrtajte na listu papira ravnalom i olovkom. Pažljivim ispitivanjem trougla možete se uvjeriti da ga zaista nema, jer je nacrtan na ravni. Označite stranice trougla: neka jedna strana bude strana "a", druga strana "b", a treća strana "c". Označite vrhove trougla slovima "A", "B" i "C".

Izmjerite bilo koju stranu trokuta ravnalom i zapišite rezultat. Nakon toga vratite okomicu na izmjerenu stranu iz suprotnog vrha, takva okomica će biti visina trokuta. U slučaju prikazanom na slici, okomita "h" se vraća na stranu "c" iz vrha "A". Izmjerite rezultujuću visinu ravnalom i zabilježite rezultat mjerenja.

Može se dogoditi da vam bude teško vratiti tačnu okomicu. U ovom slučaju, trebali biste koristiti drugu formulu. Izmjerite sve strane trougla pomoću ravnala. Nakon toga izračunajte polovinu perimetra trokuta "p" tako što ćete sabrati rezultirajuće dužine stranica i podijeliti njihov zbir na pola. Imajući na raspolaganju vrijednost poluperimetra, možete koristiti Heronovu formulu. Da biste to učinili, morate uzeti kvadratni korijen sljedećeg: p(p-a)(p-b)(p-c).

Dobili ste željenu površinu trokuta. Problem pronalaženja zapremine trougla nije rešen, ali kao što je već pomenuto, zapremina nije . Možete pronaći volumen koji je u suštini trokut trodimenzionalni svijet. Ako zamislimo da je naš izvorni trokut postao trodimenzionalna piramida, tada će volumen takve piramide biti proizvod dužine njene osnove i površine trokuta koji smo dobili.

Bilješka

Izračuni će biti tačniji što pažljivije vršite mjerenja.

Izvori:

• Kalkulator sve-svima - Referentni portal
• volumen trougla u 2019

Tri tačke koje jedinstveno definiraju trokut u Kartezijanski sistem koordinate su njeni vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osa, možete izračunati bilo koje parametre ovoga ravna figura, uključujući i ograničeno svojim perimetrom području. To se može učiniti na nekoliko načina.

Uputstvo

Koristite Heronovu formulu za izračunavanje površine trougao. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa počnite proračune sa. Dužina svake strane mora biti jednaka korijenu zbira kvadrata dužina njenih projekcija na koordinatne ose. Ako označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), dužine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Da biste pojednostavili proračune, unesite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Od toga je ovo polovina zbroja dužina svih strana: P = ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-)) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).