Kako izračunati koordinate vektora. Vektori za lutke

Konačno sam došao u ruke jedne opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno ste se sada sjetili školskog kursa geometrije sa brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta sakriti, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Začudo, analitička geometrija može izgledati zanimljivija i pristupačnija. Šta znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dva utisnuta matematička obrta: „grafička metoda rješenja“ i „analitička metoda rješenja“. Grafička metoda, naravno, povezan je sa konstrukcijom grafova, crteža. Analitički isto metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske operacije. S tim u vezi, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često je dovoljno precizno primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, nikako neće proći bez crteža, osim toga, radi boljeg razumijevanja gradiva, pokušat ću da ih dovedem iznad potrebe.

Otvoreni tok nastave iz geometrije ne pretenduje na teorijsku potpunost, fokusiran je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja ću uključiti samo ono što je, sa moje tačke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija referenca za bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koja je, bez šale, poznata već nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ova vješalica za školsku svlačionicu već je izdržala 20 (!) reizdanja, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za visoko obrazovanje, trebat će vam prvi tom. Zadaci koji se rijetko pojavljuju mogu ispasti iz mog vidnog polja, a tutorijal će mi biti od neprocjenjive pomoći.

Obje knjige su besplatne za preuzimanje na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu sa gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Od alata, opet nudim svoj razvoj - softverski paket na analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa osnovnim geometrijskim pojmovima i figurama: tačka, prava, ravan, trougao, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, zdravo ponavljači)

A sada ćemo uzastopno razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Dalje preporučujem čitanje najvažniji članak Tačkasti proizvod vektora, kao i Vektorski i mješoviti proizvod vektora. Lokalni zadatak neće biti suvišan - Podjela segmenta u tom pogledu. Na osnovu gore navedenih informacija, možete jednačina prave linije u ravni With najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti kako rješavati probleme iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednačina ravni u prostoru, Jednačine prave u prostoru, Osnovni problemi na liniji i ravni , ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Koncept vektora. slobodni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je tačka, a kraj segmenta tačka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno, ako preuredite strelicu na drugi kraj segmenta, dobićete vektor, a ovo je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjećivati ​​koncept vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate priznati da su ulazak na vrata instituta ili napuštanje vrata instituta potpuno različite stvari.

Zgodno je posmatrati pojedinačne tačke ravni, prostor kao tzv nulti vektor. Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: Ovdje i ispod možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravni ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština predstavljenog materijala vrijedi i za ravan i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štap bez strelice u oznaci i rekli da su i na vrhu stavili strelicu! Tako je, možete pisati strelicom: , ali dopušteno i zapis koji ću koristiti kasnije. Zašto? Očigledno se takva navika razvila iz praktičnih razmatranja, moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše raznoliki i čupavi. U obrazovnoj literaturi se ponekad uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime se implicira da se radi o vektoru.

To je bio stil, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati sa dva velika latinična slova:
i tako dalje. Dok je prvo slovo obavezno označava početnu tačku vektora, a drugo slovo označava krajnju tačku vektora.

2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor može biti preimenovan radi kratkoće malim latiničnim slovom.

Dužina ili modul vektor različit od nule naziva se dužina segmenta. Dužina nul-vektora je nula. Logično.

Dužina vektora je označena modulo znakom: ,

Kako pronaći dužinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kako) nešto kasnije.

To su bile osnovne informacije o vektoru, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može izvući iz bilo koje tačke:

Nekada smo takve vektore nazivali jednakim (definicija jednakih vektora će biti data u nastavku), ali sa čisto matematičke tačke gledišta, ovo je ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer u toku rešavanja problema možete „prikačiti“ jedan ili drugi „školski“ vektor za BILO KOJU tačku ravni ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislite usmjereni segment proizvoljne dužine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački u prostoru, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska poslovica: Svaki predavač u f ** u u vektoru. Uostalom, nije samo duhovita rima, sve je gotovo točno - tu se može priložiti i usmjereni segment. Ali nemojte žuriti da se radujete, sami studenti češće pate =)

dakle, slobodni vektor- ovo je mnogo identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku pasusa: „usmjereni segment se naziva vektor ...“, podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz datog skupa, koji je vezan za određenu tačku u ravni ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike, koncept slobodnog vektora generalno netačan, a tačka primjene je bitna. Zaista, dovoljan je direktan udarac iste sile u nos ili u čelo da se razvije moj glupi primjer povlači različite posljedice. Kako god, nije besplatno vektori se takođe nalaze u toku vyshmata (ne idite tamo :)).

Akcije sa vektorima. Kolinearnost vektora

U školskom kursu geometrije razmatraju se brojne radnje i pravila s vektorima: sabiranje po pravilu trougla, sabiranje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektora itd. Kao seme, ponavljamo dva pravila koja su posebno relevantna za rešavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo sabiranja vektora prema pravilu trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i :

Potrebno je pronaći zbir ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, odgađamo vektor iz kraj vektor :

Zbir vektora je vektor . Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega staviti fizičko značenje: neka neko tijelo napravi put duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbir vektora vektor rezultujuće putanje koja počinje u tački polaska i završava se u tački dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbir bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem snažno cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbira.

Usput, ako se vektor odgodi od start vektor , tada dobijamo ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearno ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima. Grubo govoreći, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearno".

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju kosmjeran. Ako strelice gledaju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotno usmerena.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenom ikonom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su kousmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

rad vektora različitog od nule brojem je vektor čija je dužina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti sa slikom:

Razumijemo detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, onda je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Dužina. Ako je faktor sadržan unutar ili , tada je dužina vektora smanjuje se. Dakle, dužina vektora je dvostruko manja od dužine vektora. Ako je modulo množitelj veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . I obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti u terminima drugog, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Na ovaj način: ako pomnožimo vektor brojem, dobićemo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kosmjerni. Vektori i su također kosmjerni. Svaki vektor prve grupe je suprotan bilo kom vektoru druge grupe.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su kosmjerna i imaju istu dužinu. Imajte na umu da ko-smjer implicira da su vektori kolinearni. Definicija će biti netačna (suvišna) ako kažete: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kousmjereni i imaju istu dužinu."

Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, o čemu je već bilo reči u prethodnom pasusu.

Vektorske koordinate na ravni i u prostoru

Prva stvar je razmatranje vektora na ravni. Nacrtajte kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i odvojite ga od početka single vektori i :

Vektori i ortogonalno. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavamo na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi respektivno kolinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora piše se uobičajenim znakom okomice, na primjer: .

Razmatrani vektori se nazivaju koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Šta je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova.Jednostavno, osnova i ishodište koordinata definišu čitav sistem - to je neka vrsta temelja na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se naziva izgrađena osnova ortonormalno osnova ravni: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normalizovan" označava jedinicu, tj. dužine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama, unutar kojih u strogom redu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori zabranjeno je zamijeniti mjesta.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, gdje - brojevi, koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. Ali sam izraz pozvao vektorska dekompozicijaosnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponovanju vektora u smislu baze koriste upravo razmatrani:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla: .

Sada mentalno odvojite vektor iz bilo koje druge tačke na ravni. Sasvim je očigledno da će ga njegova korupcija "nemilosrdno pratiti". Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti odvojeni od ishodišta, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se od ovoga neće promijeniti! Istina, ne morate to da radite, jer će i učitelj pokazati originalnost i nacrtati vam "prolaz" na neočekivanom mjestu.

Vektori, ilustruju tačno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je ko-usmeren sa baznim vektorom, vektor je usmeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, može se precizno napisati na sljedeći način:


A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (u stvari, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto ti nisam rekao za pravilo oduzimanja? Negde u linearnoj algebri, ne sećam se gde, primetio sam da je oduzimanje poseban slučaj sabiranja. Dakle, proširenja vektora "de" i "e" mirno su zapisana kao zbir: . Slijedite crtež da vidite kako dobro staro dobro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta funkcionira u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u sistemu ort(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora, uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori su zapisani na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije snimanja.

Dvoumio sam se da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru, strogo na drugom mestu zapišite koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru. Zaista, i dva su različita vektora.

Shvatili smo koordinate u avionu. Sada razmotrite vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je sve gotovo isto! Samo još jedna koordinata će biti dodana. Teško je izvoditi trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odložiti od početka:

Bilo koji 3D vektor prostora jedini način proširiti u ortonormalnoj bazi:
, gdje su koordinate vektora (broja) u datoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako funkcionišu pravila vektorske akcije. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (magenta strelica). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor zbira počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i završava na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora su, naravno, također slobodni, pokušajte mentalno odgoditi vektor iz bilo koje druge tačke i shvatit ćete da njegovo širenje "ostaje s njim".

Slično kao i kućište aviona, pored pisanja verzije sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako jedan (ili dva) koordinatni vektor nedostaje u ekspanziji, tada se stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) – zapišite ;
vektor (pažljivo ) – zapišite ;
vektor (pažljivo ) – zapišite .

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

Ovdje je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda ima previše pojmova i definicija, pa preporučujem lutkama da ponovo pročitaju i shvate ove informacije. I svakom čitaocu će biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne na osnovnu lekciju radi bolje asimilacije materijala. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u nastavku. Napominjem da materijali sa sajta nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa, kolokvijuma iz geometrije, pošto pažljivo kodiram sve teoreme (osim bez dokaza) - na štetu naučnog stila prezentacije, ali plus za vaše razumevanje subjekta. Za detaljnije teorijske informacije, molim vas da se poklonite profesoru Atanasyanu.

Sada pređimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije sa vektorima u koordinatama

Zadatke koji će se razmatrati, vrlo je poželjno naučiti kako ih rješavati potpuno automatski, a formule zapamtiti, nemojte ga ni namjerno pamtiti, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, jer se ostali problemi analitičke geometrije baziraju na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti neugodno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune. Ne morate da zakopčavate gornje dugmad na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Prezentacija materijala će se odvijati paralelno - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule ... vidjet ćete sami.

Kako pronaći vektor date dvije tačke?

Ako su date dvije tačke ravni i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, iz koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate vektorski početak.

vježba: Za iste tačke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke u ravnini i . Pronađite vektorske koordinate

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeća notacija:

Esteti će odlučiti ovako:

Lično sam navikao na prvu verziju ploče.

odgovor:

Prema uslovu, nije bilo potrebno napraviti crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih lutkama objasnio neke tačke, neću biti previše lijen:

Mora se razumjeti razlika između koordinata tačke i vektorskih koordinata:

Koordinate tačaka su uobičajene koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Mislim da svi znaju crtati tačke na koordinatnoj ravni od 5-6 razreda. Svaka tačka ima striktno mjesto u ravni i ne može se nigdje pomjeriti.

Koordinate istog vektora je njegova ekspanzija u odnosu na osnovu , u ovom slučaju . Svaki vektor je slobodan, pa ga po želji ili potrebi možemo lako odložiti iz neke druge tačke u ravni. Zanimljivo je da za vektore uopšte ne možete da gradite ose, pravougaoni koordinatni sistem, potrebna vam je samo osnova, u ovom slučaju, ortonormalna osnova ravni.

Čini se da su zapisi koordinata tačaka i vektorskih koordinata slični: , i osećaj za koordinate apsolutno drugačije, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, važi i za prostor.

Dame i gospodo, punimo ruke:

Primjer 2

a) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Find Vectors .

Mozda dosta. Ovo su primjeri za samostalnu odluku, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Crteži nisu potrebni. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno u rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je da budete IZUZETNO OPREZNI kako biste izbegli majstorsku grešku „dva plus dva je nula“. Unapred se izvinjavam ako sam pogresio =)

Kako pronaći dužinu segmenta?

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije tačke ravni i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Segment linije - to nije vektor, i ne možete ga nigdje pomjeriti, naravno. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rešenje je kratko, ali postoji nekoliko važnih tačaka koje bih želeo da razjasnim:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obratite pažnju na važan tehnički trik – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u formi neće biti greška – ali je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane nastavnika.

Evo i drugih uobičajenih slučajeva:

Često se dovoljno veliki broj dobije pod korijenom, na primjer. Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, potpuno podijeliti, ovako: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno nije moguće. Pokušavam podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

zaključak: ako ispod korijena dobijemo potpuno neizdvojiv broj, onda pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Prilikom rješavanja raznih zadataka često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne muke sa finaliziranjem svojih rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i drugih potencija:

Pravila za radnje sa stepenom u opštem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je već sve ili skoro sve jasno iz datih primera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Dati bodovi i . Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći dužinu vektora?

Ako je dat ravan vektor, tada se njegova dužina izračunava po formuli.

Ako je dat vektor prostora, onda se njegova dužina izračunava po formuli .

Osi na apscisi i ordinati se nazivaju koordinate vektor. Vektorske koordinate su obično naznačene u obrascu (x, y), a sam vektor kao: = (x, y).

Formula za određivanje koordinata vektora za dvodimenzionalne probleme.

U slučaju dvodimenzionalnog problema, vektor sa poznatim koordinate tačke A(x 1; y 1) i B(x 2 ; y 2 ) može se izračunati:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula za određivanje koordinata vektora za prostorne probleme.

U slučaju prostornog problema, vektor sa poznatim koordinate tačke A (x 1; y 1;z 1 ) i B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) može se izračunati pomoću formule:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinate daju sveobuhvatan opis vektora, pošto je iz koordinata moguće konstruisati sam vektor. Poznavajući koordinate, lako je izračunati i dužina vektora. (Svojstvo 3 ispod).

Vektorska koordinatna svojstva.

1. Bilo koji jednaki vektori u jednom koordinatnom sistemu imaju jednake koordinate.

2. Koordinate kolinearni vektori proporcionalan. Pod uslovom da nijedan od vektora nije jednak nuli.

3. Kvadrat dužine bilo kojeg vektora jednak je zbiru njegovih kvadrata koordinate.

4.Kada operacija vektorska množenja na pravi broj svaka njegova koordinata se množi ovim brojem.

5. U toku operacije sabiranja vektora izračunavamo zbir odgovarajućih vektorske koordinate.

6. Skalarni proizvod dva vektora jednaka je zbroju proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

Pronalaženje koordinata vektora je prilično uobičajen uslov za mnoge probleme u matematici. Sposobnost pronalaženja koordinata vektora pomoći će vam u drugim, složenijim problemima sa sličnim temama. U ovom članku ćemo razmotriti formulu za pronalaženje koordinata vektora i nekoliko zadataka.

Pronalaženje koordinata vektora u ravni

Šta je avion? Ravan je dvodimenzionalni prostor, prostor sa dvije dimenzije (dimenzija x i dimenzija y). Na primjer, papir je ravan. Površina stola je ravna. Svaka nevolumetrijska figura (kvadrat, trokut, trapez) je također ravan. Dakle, ako je u uslovu zadatka potrebno pronaći koordinate vektora koji leži na ravni, odmah se prisjećamo x i y. Koordinate takvog vektora možete pronaći na sljedeći način: AB koordinate vektora = (xB - xA; yB - xA). Iz formule se vidi da se koordinate početne tačke moraju oduzeti od koordinata krajnje tačke.

primjer:

• CD vektor ima početne (5; 6) i krajnje (7; 8) koordinate.
• Pronađite koordinate samog vektora.
• Koristeći gornju formulu, dobijamo sljedeći izraz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Dakle, koordinate CD vektora = (2; 2).
• Prema tome, x koordinata je jednaka dva, y koordinata je također dva.

Pronalaženje koordinata vektora u prostoru

Šta je prostor? Prostor je već trodimenzionalna dimenzija, gdje su date 3 koordinate: x, y, z. Ako trebate pronaći vektor koji leži u prostoru, formula se praktički ne mijenja. Dodaje se samo jedna koordinata. Da biste pronašli vektor, morate oduzeti početne koordinate od krajnjih koordinata. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

primjer:

• Vektor DF ima početni (2; 3; 1) i konačni (1; 5; 2).
• Primjenom gornje formule dobijamo: Vektorske koordinate DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Zapamtite, vrijednost koordinata može biti negativna, s tim nema problema.

Kako pronaći vektorske koordinate na mreži?

Ako iz nekog razloga ne želite sami da pronađete koordinate, možete koristiti online kalkulator. Prvo odaberite dimenziju vektora. Dimenzija vektora je odgovorna za njegove dimenzije. Dimenzija 3 znači da je vektor u prostoru, dimenzija 2 znači da je u ravni. Zatim unesite koordinate tačaka u odgovarajuća polja i program će sam odrediti koordinate vektora. Sve je vrlo jednostavno.

Klikom na dugme, stranica će se automatski pomeriti prema dole i dati vam tačan odgovor zajedno sa koracima za rešenje.

Preporučuje se dobro proučiti ovu temu, jer se koncept vektora nalazi ne samo u matematici, već iu fizici. Temu vektora izučavaju i studenti Fakulteta informacionih tehnologija, ali na složenijem nivou.

Analitička geometrija

		Sedmica	Ocjena modula u bodovima
		kontrola modula
			Maksimum		Minimum
Semestar 1
DZ №1, dio 1
DZ №1, dio 2
Modulo upravljanje br. 1
Nagradni poeni
Modulo upravljanje br. 2
Nagradni poeni

Kontrolne aktivnosti i vrijeme njihove implementacije Modul 1

1. DZ br. 1 deo 1 "Vektorska algebra" Rok za izdavanje 2 nedelje, rok - 7 nedelja

2. DZ br. 1 dio 2 "Linije i ravni"

Rok isporuke 1 sedmica, rok isporuke - 9 sedmica

3. Modulo upravljanje br. 1 (RK br. 1) "Vektorska algebra, prave i ravni." Rok - 10 sedmica

1. DZ br. 2 „Krive i površine 2. narudžba "Period izdavanja 6 sedmica, rok isporuke - 13 sedmica

5. Test „Krive i površine 2. red. Rok - 14 sedmica

6. Modulo upravljanje br. 2 (RK br. 2) "Matrice i sistemi linearnih algebarskih jednadžbi"

Rok - 16 sedmica

Tipični zadaci koji se koriste u formiranju trenutnih opcija kontrole

1. Domaći zadatak broj 1. "Vektorska algebra i analitička geometrija"

Zadate: tačke A (0;3;2), B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0) ; brojevi a 30 ,				b1; ugao
1. Pronađite dužinu vektora |		n | , ako			p aq ,	n bp q	i p, q su jedinice

vektora, ugao između kojih je jednak.

2. Pronađite koordinate tačke M koja dijeli vektor AB u odnosu na a :1 .

3. Provjerite da li je to moguće na vektorima AB i AD konstruišu paralelogram. Ako jeste, onda pronađite dužine stranica paralelograma.

4. Pronađite uglove između dijagonala paralelograma ABCD.

5. Pronađite površinu paralelograma ABCD.

6. Provjerite vektore AB , AD , AA 1 možete izgraditi paralelepiped. Odredite zapreminu ovog paralelepipeda i dužinu njegove visine.

7. Pronađite vektorske koordinate AH , usmjeren duž visine paralelepipeda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , povučen iz tačke A u osnovnu ravninu A 1 B 1 C 1 D 1 ,

koordinate tačke H i koordinate jediničnog vektora koji se poklapaju u pravcu sa vektorom AH .

8. Pronađite dekompoziciju vektora AH po vektorima AB , AD , AA 1 .

9. Pronađite projekciju vektora AH u vektor AA 1 .

10. Napišite jednačine ravnina: a) P koje prolaze kroz tačke A, B, D;

b) P1 koja prolazi kroz tačku A i pravu A1 B1 ;

c) P2 prolazi kroz tačku A1 paralelno sa ravni P; d) P3 koji sadrži linije AD i AA1;

e) P4 prolazi kroz tačke A i C1 okomito na ravan P.

11. Nađite razmak između pravih na kojima leže ivice AB i CC jedan ; napišite kanonske i parametarske jednačine zajedničke okomice na njih.

12. Pronađite tačku A 2, simetričnu tački A1 u odnosu na ravan baze

13. Pronađite ugao između prave na kojoj leži dijagonala A 1 C, i bazna ravan ABCD.

14. Pronađite oštar ugao između ravnina ABC 1 D (ravan P) i ABB1 A1 (ravan P1).

2. Domaći zadatak #2. "Krive i površine drugog reda"

U zadacima 1–2 data je jednadžba linije drugog reda svedena na kanonski oblik i kriva se konstruiše u OXY koordinatnom sistemu.

AT zadatak 3, koristeći date podatke, pronaći jednačinu krive u OXY koordinatnom sistemu. Za zadatke 1–3 označavaju:

1) kanonski oblik jednačine linija;

2) transformacija paralelnog prijenosa koja vodi kanonskom obliku;

3) u slučaju elipse: poluose, ekscentricitet, centar, vrhovi, fokusi, udaljenosti od tačke C do žarišta; u slučaju hiperbole: poluose, ekscentricitet, centar, vrhovi, fokusi, udaljenosti od tačke C do žarišta, jednadžbe asimptote; u slučaju parabole: parametar, vrh, fokus, jednačina direktrise, udaljenosti od tačke C do fokusa i direktrisa;

4) za tačku C provjerite svojstvo koje karakteriše dati tip krivih kao lokus tačaka.

AT U zadatku 4 navedite paralelnu translacionu transformaciju koja datu jednadžbu površine svodi na kanonski oblik, kanonski oblik jednačine površine i tip površine. Konstruisati površinu u kanonskom koordinatnom sistemu OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Parabola je simetrična u odnosu na pravu liniju y 1 0 , ima fokus							; 1 ,
	prelazi osu OX u tački C				; 0 , a njegove grane leže u poluravni	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Modulo upravljanje br. 1 “Vektorska algebra. Analitička geometrija"

1. Desne i lijeve trojke vektora. Definicija unakrsnog proizvoda vektora. Formulirati svojstva vektorskog proizvoda vektora. Izvesti formulu za izračunavanje unakrsnog proizvoda dva vektora data njihovim koordinatama u ortonormalnoj bazi.

vektori

a m n ,

m n ,

1, m, n

Možda,

vektorska dekompozicija

c 3 i

12j6k

vektori

3 j 2 k i b 2 i 3 j 4 k .

Napišite jednačinu za ravan

prolazeći kroz tačke M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3.1 i

okomito na ravan

6x 5y 4z 1 0. Postaviti kanonske jednadžbe

prava linija koja prolazi kroz tačku M 0 0, 2,1 i ortogonalna je na pronađenu ravan.

Test "Krive i površine drugog reda"

1. Definicija elipse kao lokusa tačaka. Derivacija kanonske jednadžbe elipse u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Glavni parametri krive.

2. Jednačina površine x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 vodi kanonskom

um. Napravite crtež u kanonskom koordinatnom sistemu. Odredite naziv ove površine.

3. Napišite jednačinu za hiperbolu sa jednakom osovinom ako su poznati njen centar O 1 1, 1 i jedno od njenih žarišta F 1 3, 1. Napravite crtež.

Modulo upravljanje br. 2 “Krive i površine drugog reda. Matrice i sistemi linearnih algebarskih jednadžbi»

1. Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Oblici pisanja homogene SLAE. Dokaz kriterija za postojanje nenultih rješenja homogene SLAE.

2. Riješite matričnu jednačinu AX B ,

Provjeri.

3. a) Riješite SLAE. b) Naći normalan fundamentalni sistem rješenja odgovarajućeg homogenog sistema, određeno rješenje nehomogenog sistema; napiši kroz njih opšte rešenje ovog nehomogenog sistema:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Pitanja za pripremu za modul kontrole, testove, testove i ispite

1. Geometrijski vektori. Besplatni vektori. Definicija kolinearnih i komplanarnih vektora. Linearne operacije nad vektorima i njihova svojstva.

2. Definicija linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti vektora. Dokazi za uslove linearne zavisnosti 2 i 3 vektora.

3. Definicija baze u prostorima vektora V1, V2, V3. Dokaz teoreme o postojanju i jedinstvenosti ekspanzije vektora u smislu baze. Linearne operacije nad vektorima datim njihovim koordinatama u bazi.

4. Definicija skalarnog proizvoda vektora, njegova veza sa ortogonalnom projekcijom vektora na osu. Svojstva skalarnog proizvoda, njihov dokaz. Derivacija formule za izračunavanje skalarnog proizvoda vektora u ortonormalnoj bazi.

5. Definicija ortonormalne baze. Odnos između koordinata vektora u ortonormalnoj bazi i njegovih ortogonalnih projekcija na vektore ove baze. Izvođenje formula za izračunavanje dužine vektora, njegovih kosinusa pravca, ugla između dva vektora u ortonormalnoj bazi.

6. Desne i lijeve trojke vektora. Definicija unakrsnog proizvoda vektora, njegovo mehaničko i geometrijsko značenje. Unakrsna svojstva proizvoda (bez doc-va). Derivacija formule za izračunavanje unakrsnog proizvoda u ortonormalnoj bazi.

7. Definicija mješovitog proizvoda vektora. Zapremina paralelepipeda i zapremina piramide, izgrađene na nekoplanarnim vektorima. Uvjet komplanarnosti za tri vektora. Osobine mješovitog proizvoda. Izvođenje formule za izračunavanje mješovitog proizvoda u ortonormalnoj osnovi.

8. Definicija pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema. Rješenje najjednostavnijih problema analitičke geometrije.

9. Različite vrste jednačina prave na ravni: vektorske, parametarske, kanonske. Vektor smjera je ravan.

10. Izvođenje jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

11. Dokaz teoreme da u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni jednačina prvog stepena definiše pravu liniju. Definicija vektora normale prave linije.

12. Jednačina sa koeficijentom nagiba, jednačina prave „u segmentima“. Geometrijsko značenje parametara uključenih u jednačine. Ugao između dvije linije. Uslovi paralelizma i okomitosti dviju pravih date njihovim općim ili kanonskim jednačinama.

13. Izvođenje formule za udaljenost od tačke do prave na ravni.

14. Dokaz teoreme da u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu u prostoru jednačina prvog stepena definiše ravan. Opšta jednačina ravni. Definicija vektora normale ravni. Izvođenje jednadžbe ravni koja prolazi kroz tri date tačke. Jednačina ravni “u segmentima”.

15. Ugao između ravnina. Uslovi paralelizma i okomitosti dvije ravni.

16. Izvođenje formule za udaljenost od tačke do ravni.

17. Opšte jednačine prave u prostoru. Izvođenje vektorskih, kanonskih i parametarskih jednačina prave u prostoru.

18. Ugao između dve prave u prostoru, uslovi paralelnosti i okomitosti dve prave. Uslovi da dvije prave pripadaju istoj ravni.

19. Ugao između prave i ravni, uslovi paralelnosti i okomitosti prave i ravni. Uslov pripadanja pravoj liniji date ravni.

20. Problem nalaženja udaljenosti između linija koje se seku ili paralelnih.

21. Definicija elipse kao lokusa tačaka. Izvođenje kanonske jednadžbe elipse.

22. Definicija hiperbole kao lokusa tačaka. Izvođenje kanonske jednadžbe hiperbole.

23. Definicija parabole kao geometrije tačaka. Izvođenje kanonske jednadžbe parabole.

24. Definicija cilindrične površine. Kanonske jednadžbe cilindričnih površina 2. red.

25. Koncept površine revolucije. Kanonske jednadžbe površina formiranih rotacijom elipse, hiperbole i parabole.

26. Kanonske jednadžbe elipsoida i konusa. Ispitivanje oblika ovih površina metodom preseka.

27. Kanonske jednadžbe hiperboloida. Istraživanje oblika hiperboloida metodom presjeka.

28. Kanonske jednadžbe paraboloida. Istraživanje oblika paraboloida metodom presjeka.

29. Koncept matrice. Vrste matrica. Matrična jednakost. Linearne operacije nad matricama i njihovim svojstvima. Matrična transpozicija.

30. Množenje matrice. Svojstva operacije množenja matrice.

31. Definicija inverzne matrice. Dokaz jedinstvenosti inverzne matrice. Dokaz teoreme inverzne matrice za proizvod dvije invertibilne matrice.

32. Kriterijum za postojanje inverzne matrice. Koncept pridružene matrice, njena veza sa inverznom matricom.

33. Izvođenje Cramerovih formula za rješavanje sistema linearnih jednadžbi s nedegeneriranom kvadratnom matricom.

34. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost redova (kolona) matrice. Dokaz kriterija za linearnu zavisnost redova (kolona).

35. Definicija matričnog minora. Osnovni mol. Basis minor teorema (bez doqua). Dokaz njegove posljedice za kvadratne matrice.

36. Fringing minors metoda za određivanje ranga matrice.

37. Elementarne transformacije redova (kolona) matrice. Pronalaženje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija.

38. Teorema o invarijantnosti ranga matrice pod elementarnim transformacijama. Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija.

39. Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Različiti oblici pisanja SLAE. Zglobni i nezglobni SLAE. Dokaz Kronecker-Kapelijevog kriterija SLAE kompatibilnosti.

40. Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Svojstva njihovih rješenja.

41. Definicija fundamentalnog sistema rješenja (FSR) homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Teorema o strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Izgradnja FSR-a.

42. Nehomogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Dokaz teoreme o strukturi općeg rješenja nehomogene SLAE.

Kontrolni događaj	Broj zadataka	Bodovi za zadatak
DZ №1, dio 1
Osvojeni bodovi
Kontrolni događaj	Broj zadataka	Bodovi za zadatak
DZ №1, dio 2
Osvojeni bodovi

Kontrolni događaj				Broj zadataka			Bodovi za zadatak
Modulo upravljanje br. 1				1 teorija i 3 zadatka			teorija - 0; 3; 6
							zadataka - 0; jedan; 2
			Osvojeni bodovi
Kontrolni događaj				Broj zadataka			Bodovi za zadatak
	Osvojeni bodovi
Kontrolni događaj				Broj zadataka			Bodovi za zadatak
				1 teorija i 3 zadatka			teorija - 0; 3; 6
							zadataka - 0; jedan; 2
			Osvojeni bodovi
						01 teorija i 3 problema			teorija - 0; 3; 6
		zadataka - 0; jedan; 2
			Osvojeni bodovi

Pravila bodovanja dnevnika

1. Bodovi za DZ. Bodovi za DZ se postavljaju naredne sedmice nakon roka, prema odgovarajućoj tabeli. Učenik ima pravo da pojedinačne zadatke preda na verifikaciju i pre roka i ispravi greške koje je nastavnik uočio, uz dobijanje potrebnih saveta. Ako do isteka roka za predaju DZ učenik dovede rješenje zadatka na ispravnu opciju, tada mu se za ovaj zadatak daje maksimalan broj bodova. Nakon isteka roka za predaju DZ, učenik koji nije postigao minimalnu ocjenu za DZ može nastaviti sa radom na zadatku. Istovremeno, u slučaju uspješnog rada, studentu se dodjeljuje minimalna ocjena za DZ.

2. Bodovi za CR. Ukoliko student ne postigne minimalni rezultat za CR na vrijeme, onda u toku semestra može dva puta prepisati ovaj rad. Sa pozitivnim rezultatom (skup bodova ne manji od utvrđenog minimuma), studentu se daje minimalni rezultat za KR.

3. Bodovi za "modulo kontrolu". Kao “modulo kontrola” predlaže se pisani rad koji se sastoji od teorijskog i praktičnog dijela. Svaki dio upravljačkog modula se evaluira zasebno. Student koji je dobio ocjenu ne nižu od minimuma u jednom od dijelova kontrole smatra se da je položio ovaj dio i ubuduće se oslobađa od realizacije. Po nahođenju nastavnika može se obaviti intervju o teorijskom dijelu zadatka. Ukoliko student ne postigne minimum za svaki dio rada, onda u toku semestra ima dva pokušaja za svaki dio da ispravi situaciju. Sa pozitivom

Kao rezultat (skup bodova ne manji od utvrđenog minimuma), studentu se daje minimalna ocjena za "kontrolu modula".

4. Ocjena po modulu. Ako je student završio sve tekuće kontrolne aktivnosti modula (osvojio najmanje utvrđeni minimalni rezultat),

tada je ocjena za modul zbir bodova za sve kontrolne aktivnosti modula (u ovom slučaju student automatski postiže najmanje minimalni prag). Završni bodovi za modul se upisuju u dnevnik nakon završetka svih kontrolnih aktivnosti.

5. Ukupan rezultat. Zbir bodova za dva modula.

6. Evaluacija. Završna ovjera (ispit, diferencirani test, test) vrši se na osnovu rezultata rada u semestru nakon što je student odradio planirani obim studijskog rada i dobio ocjenu za svaki modul koja nije niža od utvrđenog minimuma. Maksimalni broj bodova za sve module, uključujući i bodove za marljivost, je 100, a minimalan 60. Zbir bodova za sve module čini ocjenu za disciplinu za semestar. Student koji je položio sve kontrolne mjere dobija konačnu ocjenu iz discipline za semestar prema skali:

		ispitna ocjena,	Procjena na ofsetu
		diferenciran plasman
		zadovoljavajuće
		nezadovoljavajuće

Možete povećati svoju ocjenu, a samim tim i ispitnu ocjenu na završnom ispitu (pismeni rad na gradivu discipline u cjelini izvodi se na ispitnoj sesiji), maksimalna ocjena je 30, minimalna -16. Ovi bodovi se zbrajaju sa osvojenim bodovima za sve module u disciplini. Istovremeno, da bi na ispitu povećao ocjenu na „dobar“, student mora osvojiti najmanje 21 bod, a na „odličan“ ─ najmanje 26 bodova. Za specijalnosti kod kojih je kredit predviđen disciplinom, ocjena se ne povećava. Studenti koji do početka ispitne sesije imaju ocjenu u rasponu od 0-59, stiču neophodan minimum da dobiju pozitivnu ocjenu iz discipline, ponavljajući kontrolne događaje koji ranije nisu bili kreditirani u posebnim modulima. Istovremeno, studenti koji nemaju valjan razlog mogu eventualno (do kraja ispitne sesije) dobiti ocjenu ne veću od „zadovoljavajući“.