Kako izračunati vjerovatnoću događaja. Formula vjerovatnoće događaja

"Slučajnost nije slučajna"... Zvuči kao što je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je sudbina velike nauke matematike. U matematici je slučajnost teorija vjerovatnoće. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke.

Šta je teorija vjerovatnoće?

Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić gore, on može pasti glavom ili repom. Sve dok je novčić u zraku, obje ove mogućnosti su moguće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica je u korelaciji 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila sa 36 karata, tada će vjerovatnoća biti označena kao 1:36. Čini se da nema šta istraživati i predviđati, posebno uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako više puta ponovite određenu radnju, tada možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerovatnoće u klasičnom smislu proučava mogućnost nastanka jednog od mogućih događaja u numeričkom smislu.

Sa stranica istorije

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze sa matematikom. To je bilo opravdano empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce, o kojima su odlučili ispričati javnosti.

Istu tehniku izmislio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerovatnoće", formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.

Od velikog značaja su radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme. Učinili su teoriju vjerovatnoće više kao matematičku disciplinu. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Razvoj

Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste:

Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
Nemoguće. Događaji koji se neće desiti ni u kom scenariju (novčić će ostati da visi u vazduhu).
Slučajno. Oni koji će se desiti ili neće. Na njih mogu uticati različiti faktori koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima su označeni velikim latiničnim slovima, s izuzetkom R, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer:

A = "studenti su došli na predavanje."
Ā = "studenti nisu došli na predavanje".

U praktičnim zadacima događaji se obično bilježe riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali događaji takođe nisu jednako vjerovatni. Ovo se dešava kada neko namerno utiče na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kockice, u kojima je pomaknut centar gravitacije.

Događaji su također kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedan drugog. Na primjer:

A = "student je došao na predavanje."
B = "student je došao na predavanje."

Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog i pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nespojivi događaji su definisani činjenicom da pojava jednog isključuje nastanak drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućava pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Akcije na događaje

Događaji se mogu množiti i sabirati, respektivno, u disciplinu se uvode logički vezivi "AND" i "OR".

Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A, ili B, ili oba mogu dogoditi u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ili A ili B će ispasti.

Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.

Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Firma se nadmeće za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

A = "firma će dobiti prvi ugovor."
A 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
B = "firma će dobiti drugi ugovor."
B 1 = "firma neće dobiti drugi ugovor"
C = "firma će dobiti treći ugovor."
C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."

Pokušajmo izraziti sljedeće situacije koristeći radnje na događaje:

K = "firma će primiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednačina će izgledati ovako: K = ABC.

M = "firma neće dobiti nijedan ugovor."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Komplikujemo zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Kako se ne zna koji će ugovor firma dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti čitav niz mogućih događaja:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji se također bilježe odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava gomilu "ILI". Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tada će kompanija dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično, možete napisati i druge uslove u disciplini "Teorija vjerovatnoće". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerovatnoća

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:

klasična;
statistički;
geometrijski.

Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoća. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P (A) \u003d m / n.

I, zapravo, događaj. Ako se pojavi suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A \u003d "izvucite karticu odijela srca." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerovatnoća da će iz špila bude izvučena karta u obliku srca biće 0,25.

na višu matematiku

Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se sreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerovatnoće se nalazi iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće operišu geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerovatnoće je veoma interesantna. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi učiti od malog - od statističke (ili učestalosti) definicije vjerovatnoće.

Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim pristupom, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojim stepenom vjerovatnoće će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo, na primjer, mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava kvalitet proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 loše kvalitete. Kako pronaći vjerovatnoću frekvencije kvalitetnog proizvoda?

A = "izgled kvalitetnog proizvoda."

W n (A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 provjerenih proizvoda, 3 su se pokazala lošeg kvaliteta. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, ovo je količina kvalitetnog proizvoda.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B na n različitih načina, onda se izbor A i B može napraviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 puteva od grada A do grada B. Postoje 4 rute od grada B do grada C. Na koliko načina se može doći od grada A do grada C?

Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno postoji dvadeset različitih načina da dođete od tačke A do tačke C.

Hajde da otežamo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, trebate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti.

To jest, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Potpišite "!" pored broja označava da se čitav niz brojeva međusobno množi.

U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, smještaj i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, što znači da se jedan element može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja će izgledati ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je bitno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulijeva formula

U teoriji vjerovatnoće, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi istaknutih istraživača u svojoj oblasti koji su je podigli na novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod nezavisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepostojanju istog događaja u prethodnim ili narednim testovima.

Bernulijeva jednačina:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija desiti tačno m puta u n broj eksperimenata će se izračunati po formuli koja je prikazana gore. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji ukazuje na mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).

Zadatak 2: Posjetilac trgovine će obaviti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2. 6 posetilaca je samostalno ušlo u radnju. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?

Rješenje: Pošto nije poznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.

A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (jer u radnji ima 6 kupaca). Broj m će se promijeniti od 0 (nijedan kupac neće izvršiti kupovinu) na 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2621.

Kako se još koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i p otišli. U odnosu na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Pošto je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C=1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerovatnoća da će dva posjetitelja kupiti robu.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednačina se koristi za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija.

osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju, λ = n x p. Evo tako jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3 O: Fabrika je proizvela 100.000 delova. Izgled neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračunavanje koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od drugih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u gornju formulu:

A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."

p = 0,0001 (prema uslovu zadavanja).

n = 100000 (broj delova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formuli i dobivamo:

100000 R (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće), primjeri rješenja za koje su gore napisani, Poissonova jednačina ima nepoznato e. U suštini, može se naći po formuli:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceova teorema

Ako je u Bernoullijevoj šemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama jednaka, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu pokušaja može pronađeno po Laplaceovoj formuli:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će vam pomoći u nastavku.

Prvo nalazimo X m , zamjenjujemo podatke (svi su oni gore navedeni) u formulu i dobivamo 0,025. Pomoću tabela nalazimo broj ϕ (0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

P 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerovatnoća da će letak pogoditi tačno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka uz pomoć kojih će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerovatnoću događaja, na osnovu okolnosti koje bi se mogle povezati s njim. Glavna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) - uslovna verovatnoća, odnosno događaj A može se desiti, pod uslovom da je događaj B tačan.

R (V|A) - uslovna verovatnoća događaja V.

Dakle, završni dio kratkog kursa "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U magacin su doneti telefoni tri firme. Istovremeno, deo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.

A = "slučajno uzet telefon."

B 1 - telefon koji je prva fabrika napravila. Shodno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat, dobijamo:

P (B 1) = 25% / 100% = 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.

Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u firmama:

P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Sada zamjenjujemo podatke u Bayesovu formulu i dobivamo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerovatnoće, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Prostoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga ko je uz njenu pomoć više puta pogodio džekpot.

Vjerovatnoća - stepen (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim. Prevlast pozitivnih osnova nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitom stepenu, zbog čega je vjerovatnoća (i nevjerovatnost) veća ili manja. Stoga se vjerovatnoća često procjenjuje na kvalitativnom nivou, posebno u slučajevima kada je manje ili više tačna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije "nivoa" vjerovatnoće.
Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta je posebna disciplina - teorija vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, koncept vjerovatnoće je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerovatnoće (ili njegova vrijednost) - mjera za skup događaja (podskupovi skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti od
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Značenje
(\displaystyle 1)
Odgovara važećem događaju. Nemogući događaj ima vjerovatnoću 0 (obrnuto općenito nije uvijek tačno). Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi
(\displaystyle p)
Tada je vjerovatnoća da se ne pojavi jednaka
(\displaystyle 1-p)
Konkretno, vjerovatnoća
(\displaystyle 1/2)
Označava jednaku vjerovatnoću nastanka i nenastupanja događaja.
Klasična definicija vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednake vjerovatnoće ishoda. Vjerovatnoća je omjer broja ishoda koji favorizuju dati događaj i ukupnog broja jednako vjerovatnih ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja glave ili repa pri nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da će se pojaviti samo ove dvije mogućnosti i da su jednako vjerovatne. Ova klasična „definicija“ vjerojatnosti može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti – na primjer, ako se događaj može dogoditi s jednakom vjerovatnoćom u bilo kojoj tački (broj tačaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostor (ravan), tada je vjerovatnoća da će se to dogoditi u nekom dijelu ove dopuštene površine jednaka omjeru volumena (površine) ovog dijela prema zapremini (površini) površine svih mogućih tačaka .
Empirijska "definicija" vjerovatnoće se odnosi na učestalost pojave događaja, na osnovu činjenice da kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost treba težiti objektivnom stepenu mogućnosti ovog događaja. U savremenom prikazu teorije vjerovatnoće, vjerovatnoća se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. Ipak, veza između apstraktne mjere i vjerovatnoće, koja izražava stepen mogućnosti nekog događaja, jeste upravo učestalost njegovog posmatranja.
Probabilistički opis određenih pojava je postao široko rasprostranjen u savremenoj nauci, posebno u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sistema, gde je čak iu slučaju klasičnog determinističkog opisa kretanja čestica, deterministički opis čitavog sistema čestica nije praktično moguće i prikladno. U kvantnoj fizici, sami opisani procesi su vjerovatnoće prirode.

Želite li znati koje su matematičke šanse da vaša opklada bude uspješna? Onda imamo dvije dobre vijesti za vas. Prvo: da biste izračunali prohodnost, ne morate vršiti složene proračune i trošiti puno vremena. Dovoljno je koristiti jednostavne formule za koje će vam trebati nekoliko minuta za rad. Drugo, nakon čitanja ovog članka, lako ćete moći izračunati vjerovatnoću da prođete bilo koju od vaših transakcija.

Da biste ispravno odredili prohodnost, morate poduzeti tri koraka:

Izračunajte procenat vjerovatnoće ishoda nekog događaja prema kladioničarskoj kancelariji;
Izračunajte sami vjerovatnoću iz statističkih podataka;
Saznajte vrijednost opklade s obzirom na obje vjerovatnoće.

Razmotrimo detaljno svaki od koraka, koristeći ne samo formule, već i primjere.

Brzi prolaz

Izračunavanje vjerovatnoće ugrađene u kvote klađenja

Prvi korak je saznati s kojom vjerovatnoćom kladionica procjenjuje šanse za određeni ishod. Uostalom, jasno je da kladionice ne klade kvote tek tako. Za to koristimo sljedeću formulu:

PB=(1/K)*100%,

gdje je P B vjerovatnoća ishoda prema kladionici;

K - kladioničarske kvote na ishod.

Recimo da je kvota 4 za pobedu londonskog Arsenala u duelu protiv Bajerna.To znači da se verovatnoća njegove pobede KK smatra (1/4) * 100% = 25%. Ili Đoković igra protiv Juga. Množilac za Novakovu pobedu je 1,2, njegove šanse su jednake (1/1,2)*100%=83%.

Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i tima. Nakon što smo završili prvi korak, prelazimo na drugi.

Proračun vjerovatnoće događaja od strane igrača

Druga tačka našeg plana je naša vlastita procjena vjerovatnoće događaja. Budući da ne možemo matematički uzeti u obzir parametre kao što su motivacija, ton igre, koristit ćemo pojednostavljeni model i koristiti samo statistiku prethodnih susreta. Za izračunavanje statističke vjerovatnoće ishoda koristimo formulu:

PI\u003d (UM / M) * 100%,

gdjePI- vjerovatnoća događaja prema igraču;

UM - broj uspješnih utakmica u kojima se takav događaj održao;

M je ukupan broj utakmica.

Da bi bilo jasnije, navedimo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 mečeva. U 6 od njih zabilježeno je ukupno manje od 21 utakmice, u 8 - ukupno više. Potrebno je saznati vjerovatnoću da će se sljedeći meč odigrati za ukupno više: (8/14)*100=57%. Valensija je na Mestalli protiv Atletica odigrala 74 utakmice u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Verovatnoća pobede Valensije: (29/74)*100%=39%.

A to svi znamo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, takva vjerovatnoća se ne može izračunati za neki novi tim ili igrača, pa je ova strategija klađenja pogodna samo za utakmice u kojima se protivnici ne sastaju prvi put. Sada znamo kako odrediti klađenje i vlastite vjerovatnoće ishoda, i imamo sve znanje da pređemo na posljednji korak.

Određivanje vrijednosti opklade

Vrijednost (vrijednost) opklade i prolaznost su u direktnoj vezi: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:

V=PI*K-100%,

gdje je V vrijednost;

P I - vjerovatnoća ishoda prema boljem;

K - kladioničarske kvote na ishod.

Recimo da želimo da se kladimo da će Milan dobiti meč protiv Rome i izračunali smo da je verovatnoća pobede crveno-crnih 45%. Kladionica nam nudi koeficijent 2,5 za ovaj ishod. Da li bi takva opklada bila vredna? Izvodimo proračune: V = 45% * 2,5-100% = 12,5%. Odlično, imamo vrijednu opkladu sa dobrim šansama za prolaz.

Uzmimo drugi slučaj. Marija Šarapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo da se dogovorimo da Maria pobedi, što prema našim proračunima ima 60% verovatnoće. Kladionice nude množitelj od 1,5 za ovaj ishod. Odredite vrijednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kao što vidite, ova opklada nema nikakvu vrijednost i treba je suzdržati.

U stvari, formule (1) i (2) su kratki zapis uslovne vjerovatnoće zasnovan na tabeli kontingencije karakteristika. Vratimo se na razmatrani primjer (slika 1). Recimo da znamo da će određena porodica kupiti TV sa širokim ekranom. Kolika je vjerovatnoća da će ova porodica zaista kupiti takav televizor?

Rice. 1. Ponašanje kupca za TV sa širokim ekranom

U ovom slučaju trebamo izračunati uslovnu vjerovatnoću P (kupovina je izvršena | kupovina je planirana). Pošto znamo da porodica planira kupovinu, uzorak prostora ne čini svih 1.000 porodica, već samo one koje planiraju kupovinu širokog ekrana. Od 250 takvih porodica, njih 200 je zaista kupilo ovaj televizor. Stoga se vjerovatnoća da će porodica zaista kupiti TV sa širokim ekranom, ako je planirala to učiniti, može izračunati pomoću sljedeće formule:

P (kupovina obavljena | planirana kupovina) = broj porodica koje planiraju i kupuju TV sa širokim ekranom / broj porodica koje planiraju kupiti TV sa širokim ekranom = 200 / 250 = 0,8

Isti rezultat daje formula (2):

gdje je događaj ALI je da porodica planira kupiti TV sa širokim ekranom i događaj AT- da će ga ona zaista kupiti. Zamjenom stvarnih podataka u formulu dobijamo:

drvo odlučivanja

Na sl. 1 porodice su bile podijeljene u četiri kategorije: one koje su planirale kupiti široki ekran i one koje nisu, te one koje su kupile takav televizor i one koje nisu. Slična klasifikacija se može uraditi korišćenjem stabla odlučivanja (slika 2). Drvo prikazano na sl. 2 ima dva ogranka, što odgovara porodicama koje su planirale da kupe TV sa širokim ekranom i porodicama koje nisu. Svaka od ovih filijala je podijeljena na dvije dodatne grane, koje odgovaraju porodicama koje su kupile i nisu kupile TV sa širokim ekranom. Vjerovatnoće zapisane na krajevima dvije glavne grane su bezuslovne vjerovatnoće događaja ALI i ALI'. Vjerovatnoće zapisane na krajevima četiri dodatne grane su uslovne vjerovatnoće svake kombinacije događaja ALI i AT. Uslovne verovatnoće se izračunavaju tako što se zajednička verovatnoća događaja podeli sa odgovarajućom bezuslovnom verovatnoćom svakog od njih.

Rice. 2. Stablo odlučivanja

Na primjer, da bi se izračunala vjerovatnoća da će porodica kupiti TV sa širokim ekranom, ako je to planirala, treba odrediti vjerovatnoću događaja kupovina planirana i završena, a zatim ga podijeliti vjerovatnoćom događaja planirana kupovina. Kretanje duž stabla odlučivanja prikazanog na sl. 2, dobijamo sledeći (sličan prethodnom) odgovor:

Statistička nezavisnost

U primjeru kupovine širokog ekrana, vjerovatnoća da je nasumično odabrana porodica kupila TV sa širokim ekranom s obzirom da su to planirali je 200/250 = 0,8. Podsjetimo da je bezuslovna vjerovatnoća da je nasumično odabrana porodica kupila TV sa širokim ekranom 300/1000 = 0,3. Iz ovoga proizilazi veoma važan zaključak. Apriorna informacija da je porodica planirala kupovinu utiče na verovatnoću same kupovine. Drugim riječima, ova dva događaja zavise jedan od drugog. Za razliku od ovog primjera, postoje statistički nezavisni događaji čije vjerovatnoće ne zavise jedna od druge. Statistička nezavisnost se izražava identitetom: P(A|B) = P(A), gdje P(A|B)- vjerovatnoća događaja ALI pod pretpostavkom da se dogodio događaj AT, P(A) je bezuslovna vjerovatnoća događaja A.

Napominjemo da događaji ALI i AT P(A|B) = P(A). Ako je u tablici nepredviđenih značajki, koja ima veličinu 2 × 2, ovaj uvjet zadovoljen za najmanje jednu kombinaciju događaja ALI i AT, vrijedit će za bilo koju drugu kombinaciju. U našem primjeru, događaji planirana kupovina i kupovina završena nisu statistički nezavisne jer informacije o jednom događaju utiču na verovatnoću drugog.

Pogledajmo primjer koji pokazuje kako testirati statističku nezavisnost dva događaja. Pitajmo 300 porodica koje su kupile TV sa širokim ekranom da li su zadovoljne kupovinom (Sl. 3). Utvrdite da li su stepen zadovoljstva kupovinom i tip televizora povezani.

Rice. 3. Podaci o zadovoljstvu kupaca za televizore sa širokim ekranom

Prema ovim podacima,

U isto vrijeme,

P (kupac zadovoljan) = 240 / 300 = 0,80

Dakle, vjerovatnoća da je kupac zadovoljan kupovinom i da je porodica kupila HDTV je jednaka, a ti događaji su statistički nezavisni, jer nisu međusobno povezani.

Pravilo množenja vjerovatnoće

Formula za izračunavanje uslovne vjerovatnoće omogućava vam da odredite vjerovatnoću zajedničkog događaja A i B. Formula za rješavanje (1)

s obzirom na zajedničku vjerovatnoću P(A i B), dobijamo opšte pravilo za množenje verovatnoća. Vjerovatnoća događaja A i B jednaka je vjerovatnoći događaja ALI pod uslovom da je događaj AT AT:

(3) P(A i B) = P(A|B) * P(B)

Uzmimo, na primjer, 80 domaćinstava koja su kupila HDTV širokog ekrana (Slika 3). Iz tabele se vidi da su 64 porodice zadovoljne kupovinom, a 16 nije. Pretpostavimo da su dvije porodice nasumično odabrane među njima. Odredite vjerovatnoću da će oba kupca biti zadovoljna. Koristeći formulu (3) dobijamo:

P(A i B) = P(A|B) * P(B)

gdje je događaj ALI je da je druga porodica zadovoljna svojom kupovinom i događajem AT- da je prva porodica zadovoljna kupovinom. Vjerovatnoća da će prva porodica biti zadovoljna kupovinom je 64/80. Međutim, vjerovatnoća da će i druga porodica biti zadovoljna kupovinom zavisi od odgovora prve porodice. Ako se prva porodica ne vrati u uzorak nakon ankete (izbor bez povratka), broj ispitanika pada na 79. Ako je prva porodica bila zadovoljna kupovinom, vjerovatnoća da će i druga porodica biti zadovoljna je 63/ 79, budući da su u uzorku porodice ostale samo 63 zadovoljne kupovinom. Dakle, zamjenom određenih podataka u formulu (3) dobijamo sljedeći odgovor:

P(A i B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Dakle, vjerovatnoća da su obje porodice zadovoljne kupovinom iznosi 63,8%.

Pretpostavimo da se nakon ankete prva porodica vrati u uzorak. Odredite vjerovatnoću da će obje porodice biti zadovoljne kupovinom. U ovom slučaju, vjerovatnoće da su obje porodice zadovoljne kupovinom su iste i jednake su 64/80. Dakle, P(A i B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Dakle, vjerovatnoća da su obje porodice zadovoljne kupovinom iznosi 64,0%. Ovaj primjer pokazuje da izbor druge porodice ne zavisi od izbora prve. Dakle, zamjenom u formuli (3) uslovna vjerovatnoća P(A|B) vjerovatnoća P(A), dobijamo formulu za množenje verovatnoća nezavisnih događaja.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja. Ako događaji ALI i AT su statistički nezavisne, vjerovatnoća događaja A i B jednaka je vjerovatnoći događaja ALI pomnoženo sa vjerovatnoćom događaja AT.

(4) P(A i B) = P(A)P(B)

Ako ovo pravilo vrijedi za događaje ALI i AT, što znači da su statistički nezavisni. Dakle, postoje dva načina da se odredi statistička nezavisnost dva događaja:

Razvoj ALI i AT su statistički nezavisni jedno od drugog ako i samo ako P(A|B) = P(A).
Razvoj ALI i B su statistički nezavisni jedno od drugog ako i samo ako P(A i B) = P(A)P(B).

Ako je u tablici kontingentnosti obilježja, koja ima veličinu 2 × 2, jedan od ovih uvjeta zadovoljen za barem jednu kombinaciju događaja ALI i B, vrijedit će za bilo koju drugu kombinaciju.

Bezuslovna vjerovatnoća elementarnog događaja

(5) R(A) = P(A|B 1)R(B 1) + P(A|B 2)R(B 2) + … + P(A|B k)R(B k)

gdje su događaji B 1 , B 2 , … B k međusobno isključivi i iscrpni.

Ilustrujemo primenu ove formule na primeru Sl.1. Koristeći formulu (5) dobijamo:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

gdje P(A)- vjerovatnoća da je kupovina planirana, P(B 1)- vjerovatnoća da je kupovina obavljena, P(B 2)- vjerovatnoća da kupovina nije izvršena.

BAYESOVA TEOREMA

Uslovna vjerovatnoća događaja uzima u obzir informaciju da se dogodio neki drugi događaj. Ovaj pristup se može koristiti kako za preciziranje vjerovatnoće, uzimajući u obzir novoprimljene informacije, tako i za izračunavanje vjerovatnoće da je uočeni efekat rezultat nekog specifičnog uzroka. Procedura za preciziranje ovih vjerovatnoća naziva se Bayesova teorema. Prvi ga je razvio Thomas Bayes u 18. vijeku.

Pretpostavimo da gore pomenuta kompanija istražuje tržište za novi model televizora. U prošlosti je 40% televizora koje je kreirala kompanija bilo uspješno, a 60% modela nije bilo prepoznato. Prije nego što objave novi model, trgovci pažljivo istražuju tržište i hvataju potražnju. U prošlosti je uspjeh 80% modela koji su dobili priznanje unaprijed predviđan, dok se 30% povoljnih prognoza pokazalo pogrešnim. Za novi model, odjel marketinga je dao povoljnu prognozu. Koja je vjerovatnoća da će novi model televizora biti tražen?

Bayesova teorema se može izvesti iz definicija uslovne vjerovatnoće (1) i (2). Za izračunavanje vjerovatnoće R(V|A), uzimamo formulu (2):

i umjesto P(A i B) zamijenimo vrijednost iz formule (3):

P(A i B) = P(A|B) * P(B)

Zamjenom formule (5) umjesto P(A) dobijamo Bayesovu teoremu:

gdje su događaji B 1 , B 2 , ... B k međusobno isključivi i iscrpni.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: događaj S - TV je tražen, događaj S' - TV nije tražen, događaj F - povoljna prognoza, događaj F' - loša prognoza. Recimo da je P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Primjenom Bayesove teoreme dobijamo:

Vjerovatnoća potražnje za novim modelom televizora, uz povoljnu prognozu, iznosi 0,64. Dakle, vjerovatnoća izostanka tražnje pod uslovom povoljne prognoze iznosi 1–0,64=0,36. Proces proračuna je prikazan na sl. četiri.

Rice. 4. (a) Bayesovi proračuni za procjenu vjerovatnoće TV potražnje; (b) Stablo odlučivanja za istraživanje potražnje za novim modelom TV-a

Razmotrimo primjer primjene Bayesove teoreme za medicinsku dijagnostiku. Vjerovatnoća da osoba boluje od određene bolesti je 0,03. Medicinski test vam omogućava da provjerite da li je to tako. Ako je osoba zaista bolesna, vjerovatnoća tačne dijagnoze (da je osoba bolesna kada je stvarno bolesna) je 0,9. Ako je osoba zdrava, vjerovatnoća lažno pozitivne dijagnoze (u kojoj se navodi da je osoba bolesna kada je zdrava) je 0,02. Recimo da je medicinski test bio pozitivan. Kolika je vjerovatnoća da je osoba zaista bolesna? Koja je vjerovatnoća za tačnu dijagnozu?

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: događaj D - covek je bolestan, događaj D' - osoba je zdrava, događaj T - pozitivna dijagnoza, događaj T' - dijagnoza je negativna. Iz uslova zadatka sledi da je R(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, R(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Primjenom formule (6) dobijamo:

Vjerovatnoća da je osoba sa pozitivnom dijagnozom zaista bolesna je 0,582 (vidi i sl. 5). Imajte na umu da je imenilac Bayesove formule jednak vjerovatnoći pozitivne dijagnoze, tj. 0,0464.

Kratka teorija

Za kvantitativno poređenje događaja prema stepenu mogućnosti njihovog nastanka uvodi se numerička mera koja se naziva verovatnoća događaja. Vjerovatnoća slučajnog događaja naziva se broj, koji je izraz mjere objektivne mogućnosti nastanka događaja.

Vrijednosti koje određuju koliko su značajne objektivne osnove za računanje na pojavu događaja karakterizira vjerovatnoća događaja. Mora se naglasiti da je vjerovatnoća objektivna veličina koja postoji nezavisno od spoznajnog i uslovljena je ukupnošću uslova koji doprinose nastanku događaja.

Objašnjenja koja smo dali konceptu vjerovatnoće nisu matematička definicija, jer ne definiraju ovaj koncept kvantitativno. Postoji nekoliko definicija vjerovatnoće slučajnog događaja, koje se široko koriste u rješavanju specifičnih problema (klasični, aksiomatski, statistički itd.).

Klasična definicija vjerovatnoće događaja svodi ovaj koncept na elementarniji koncept jednako vjerovatnih događaja, koji više nije podložan definiciji i pretpostavlja se da je intuitivno jasan. Na primjer, ako je kocka homogena kocka, tada će ispadanje bilo kojeg lica ove kocke biti jednako vjerojatni događaji.

Neka se određeni događaj podijeli na jednako vjerovatne slučajeve, čiji zbir daje događaj. Odnosno, slučajevi iz , na koje se raspada, nazivaju se povoljnim za događaj, jer pojava jednog od njih osigurava ofanzivu.

Vjerovatnoća događaja će biti označena simbolom .

Vjerovatnoća događaja jednaka je odnosu broja slučajeva koji su za njega povoljni, od ukupnog broja jedinstvenih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, prema broju, tj.

Ovo je klasična definicija vjerovatnoće. Dakle, da bi se pronašla vjerovatnoća događaja, potrebno je, nakon razmatranja različitih ishoda testa, pronaći skup jedini mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n, broj slučajeva m koji favorizujte ovaj događaj, a zatim izvršite proračun prema gornjoj formuli.

Vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja ishoda iskustva povoljnog za događaj i ukupnog broja ishoda iskustva naziva se klasična verovatnoća slučajni događaj.

Iz definicije slijede sljedeća svojstva vjerovatnoće:

Svojstvo 1. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan.

Svojstvo 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Svojstvo 3. Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Svojstvo 4. Vjerovatnoća pojave događaja koji čine kompletnu grupu jednaka je jedan.

Svojstvo 5. Vjerovatnoća pojave suprotnog događaja definirana je na isti način kao i vjerovatnoća nastanka događaja A.

Broj pojava koje pogoduju nastanku suprotnog događaja. Dakle, vjerovatnoća da se dogodi suprotan događaj jednaka je razlici između jedinice i vjerovatnoće da se dogodi događaj A:

Važna prednost klasične definicije vjerovatnoće događaja je u tome što se uz njenu pomoć vjerovatnoća događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na osnovu logičkog zaključivanja.

Kada se ispuni niz uslova, određeni događaj će se definitivno desiti, a nemoguće se definitivno neće dogoditi. Među događajima koji se, kada se stvori kompleks uslova, mogu, ali i ne moraju dogoditi, na pojavu jednih može se računati s više razloga, na pojavu drugih s manje razloga. Ako, na primjer, u urni ima više bijelih loptica nego crnih, onda ima više razloga da se nadamo pojavi bijele kuglice kada se nasumično izvadi iz urne nego pojavi crne kugle.

Primjer rješenja problema

Primjer 1

Kutija sadrži 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih loptica. 3 kuglice se izvlače nasumično. Nađite vjerovatnoće sljedećih događaja: - izvučena je najmanje 1 crvena kugla, - postoje najmanje 2 loptice iste boje, - ima najmanje 1 crvena i 1 bela kugla.

Rješenje problema

Ukupan broj rezultata testa nalazimo kao broj kombinacija od 19 (8 + 4 + 7) elemenata od po 3:

Pronađite vjerovatnoću događaja– izvučena najmanje 1 crvena loptica (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj- postoje najmanje 2 lopte iste boje (2 ili 3 bijele, 2 ili 3 crne i 2 ili 3 crvene lopte)

Broj ishoda koji favorizuju događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj– postoji najmanje jedna crvena i jedna bela lopta

(1 crvena, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda koji favorizuju događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

odgovor: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Primjer 2

Bacaju se dvije kocke. Pronađite vjerovatnoću da je zbir bodova najmanje 5.

Rješenje

Neka događaj bude zbir bodova ne manji od 5

Koristimo klasičnu definiciju vjerovatnoće:

Ukupan broj mogućih ishoda ispitivanja

Broj suđenja koja favorizuju događaj koji nas zanima

Na ispuštenoj strani prve kocke može se pojaviti jedan bod, dva boda..., šest bodova. Slično, šest ishoda je moguće na drugom bacanju kocka. Svaki od ishoda prve kocke može se kombinirati sa svakim od ishoda druge. Dakle, ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju plasmana sa ponavljanjima (izbor sa postavljanjem 2 elementa iz seta volumena 6):

Pronađite vjerovatnoću suprotnog događaja - zbir bodova je manji od 5

Sljedeće kombinacije izgubljenih bodova će favorizirati događaj:

№

1. kost

2nd kost

Predstavljena je geometrijska definicija vjerovatnoće i dato je rješenje poznatog problema sastanka.