Vrsta lekcije:

Vrsta lekcije: Predavanje, lekcija rješavanja problema.

Trajanje: 2 sata.

Golovi:1) Naučite grafičku metodu.

2) Prikazati upotrebu programa Maple u rješavanju sistema nejednačina grafičkom metodom.

3) Razviti percepciju i razmišljanje o temi.

Plan lekcije:

Napredak kursa.

Faza 1: Grafička metoda se sastoji u konstruisanju skupa izvodljivih LLP rješenja i pronalaženju tačke u ovom skupu koja odgovara max/min ciljne funkcije.

Zbog ograničenih mogućnosti vizuelnog grafičkog prikaza, ovaj metod se koristi samo za sisteme linearnih nejednačina sa dve nepoznanice i sisteme koji se mogu svesti na ovaj oblik.

Da bismo vizuelno demonstrirali grafičku metodu, rešićemo sledeći problem:

1. U prvoj fazi potrebno je izgraditi područje izvodljivih rješenja. Za ovaj primjer, najpogodnije je izabrati X2 za apscisu, a X1 za ordinatu i zapisati nejednačine u sljedećem obliku:

Pošto su i grafikoni i površina ​​dozvoljenih rješenja u prvom kvartalu. Da bismo pronašli granične tačke, rešavamo jednačine (1)=(2), (1)=(3) i (2)=(3).

Kao što se može vidjeti iz ilustracije, poliedar ABCDE čini područje izvodljivih rješenja.

Ako domen dopuštenih rješenja nije zatvoren, tada je ili max(f)=+ ? ili min(f)= -?.

2. Sada možemo preći na direktno pronalaženje maksimuma funkcije f.

Naizmjenično zamjenjujući koordinate vrhova poliedra u funkciju f i upoređujući vrijednosti, nalazimo da je f(C)=f(4;1)=19 maksimum funkcije.

Ovaj pristup je prilično koristan za mali broj vrhova. Ali ovaj postupak može biti odložen ako ima dosta vrhova.

U ovom slučaju, zgodnije je razmotriti liniju nivoa oblika f=a. Uz monotono povećanje broja a od -? na +? linije f=a su pomerene duž vektora normale. Vektor normale ima koordinate (S1;S2), gde su C1 i C2 koeficijenti nepoznanica u funkciji cilja f=C1?X1+C2?X2+C0.. Ako postoji je neka tačka tokom takvog pomeranja linije nivoa X je prva zajednička tačka oblasti izvodljivih rešenja (politop ABCDE) i linije nivoa, tada je f(X) minimum f na skupu ABCDE. Ako je X posljednja tačka presjeka linije nivoa i skupa ABCDE, tada je f(X) maksimum na skupu mogućih rješenja. Ako za>-? prava f=a siječe skup dopuštenih rješenja, tada je min(f)= -?. Ako se to dogodi kada je a>+?, tada max(f)=+?.

U našem primjeru, prava f=a preseca površinu ABCDE u tački S(4;1). Pošto je ovo poslednja tačka preseka, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Rešite grafički sistem nejednačina. Pronađite rješenja u kutu.

x1>=0, x2>=0

>sa(parceli);

>with(plottools);

> S1:=riješi((f1x = X6, f2x = X6), );

Odgovor: Sve tačke Si gdje su i=1..10 za koje su x i y pozitivni.

Područje ograničeno ovim tačkama: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

Faza 3. Svaki učenik dobija jednu od 20 opcija u kojima se od učenika traži da grafičkom metodom samostalno riješi nejednačinu, a ostale primjere kao domaći zadatak.

Lekcija №4 Grafičko rješenje problema linearnog programiranja

Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.

Vrsta lekcije: Predavanje + lekcija rješavanja problema.

Trajanje: 2 sata.

Ciljevi: 1) Proučite grafičko rješenje problema linearnog programiranja.

2) Naučite koristiti program Maple kada rješavate problem linearnog programiranja.

2) Razvijati percepciju, razmišljanje.

Plan lekcije: Faza 1: učenje novog gradiva.

Faza 2: Razvoj novog materijala u matematičkom paketu Maple.

Faza 3: provjera proučenog gradiva i domaće zadaće.

Napredak kursa.

Grafička metoda je prilično jednostavna i jasna za rješavanje problema linearnog programiranja s dvije varijable. Zasnovan je na geometrijski prikaz prihvatljivih rješenja i digitalni filter problema.

Svaka od nejednakosti problema linearnog programiranja (1.2) definiše određenu poluravninu na koordinatnoj ravni (slika 2.1), a sistem nejednačina u celini definiše presek odgovarajućih ravni. Skup presječnih tačaka ovih poluravnina naziva se domenu izvodljivih rješenja(ODR). ODR je uvijek konveksan figura, tj. koja ima sljedeće svojstvo: ako dvije tačke A i B pripadaju ovoj figuri, tada joj pripada cijeli segment AB. ODR se može grafički predstaviti konveksnim poligonom, neograničenom konveksnom poligonalnom površinom, segmentom, zrakom, jednom tačkom. Ako je sistem ograničenja problema (1.2) nekonzistentan, onda je ODE prazan skup.

Sve navedeno važi i za slučaj kada sistem ograničenja (1.2) uključuje jednakosti, jer svaka jednakost

može se predstaviti kao sistem od dvije nejednakosti (vidi sliku 2.1)

Digitalni filter na fiksnoj vrijednosti definira pravu liniju na ravni. Promjenom vrijednosti L, dobijamo familiju paralelnih linija, tzv linije nivoa.

To je zbog činjenice da će promjena vrijednosti L samo promijeniti dužinu segmenta odsječenog linijom nivoa na osi (početna ordinata), a nagib prave linije će ostati konstantan (vidi Sl. 2.1). Stoga će za rješenje biti dovoljno konstruirati jednu od linija nivoa, proizvoljno birajući vrijednost L.

Vektor sa koordinatama iz CF koeficijenata na i okomit je na svaku od linija nivoa (vidi sliku 2.1). Smjer vektora je isti kao i smjer povećanje CF, što je važna tačka za rešavanje problema. Smjer silazno Digitalni filter je suprotan smeru vektora.

Suština grafičke metode je sljedeća. U smjeru (protiv smjera) vektora u ODR-u vrši se traženje optimalne točke. Optimalna tačka je tačka kroz koju prolazi linija nivoa, koja odgovara najvećoj (najmanjoj) vrednosti funkcije. Optimalno rješenje se uvijek nalazi na ODT granici, na primjer, na posljednjem vrhu ODT poligona kroz koji prolazi ciljna linija, ili na cijeloj njegovoj strani.

Prilikom traženja optimalnog rješenja za probleme linearnog programiranja moguće su sljedeće situacije: postoji jedinstveno rješenje problema; postoji beskonačan broj rješenja (alternativni optium); CF nije ograničen; područje izvodljivih rješenja je jedna tačka; problem nema rješenja.

Slika 2.1 Geometrijska interpretacija ograničenja i CF problema.

Metodologija rješavanja LP zadataka grafičkom metodom

I. U ograničenjima problema (1.2) zamijenite znakove nejednakosti znakovima tačnih jednakosti i konstruirajte odgovarajuće prave.

II. Naći i zasjeniti poluravnine koje dozvoljava svaka od ograničenja nejednakosti problema (1.2). Da biste to učinili, trebate zamijeniti koordinate tačke [na primjer, (0; 0)] u određenu nejednakost i provjeriti istinitost rezultirajuće nejednakosti.

Ako a prava nejednakost,

onda potrebno je zasjeniti poluravninu koja sadrži datu tačku;

inače(nejednakost je netačna) potrebno je zasjeniti poluravninu koja ne sadrži datu tačku.

Pošto i moraju biti nenegativni, njihove važeće vrijednosti će uvijek biti iznad ose i desno od ose, tj. u I kvadrantu.

Ograničenja jednakosti dozvoljavaju samo one tačke koje leže na odgovarajućoj liniji. Stoga je potrebno istaći takve linije na grafikonu.

III. Definirajte ODR kao dio ravni koji istovremeno pripada svim dozvoljenim područjima i odaberite ga. U nedostatku SDE-a, problem nema rješenja.

IV. Ako ODS nije prazan skup, onda je potrebno konstruisati ciljnu liniju, tj. bilo koju od linija nivoa (gdje je L proizvoljan broj, na primjer, višekratnik i, tj. pogodan za proračune). Metoda konstrukcije je slična konstrukciji direktnih ograničenja.

V. Konstruirajte vektor koji počinje u tački (0;0) i završava se u tački. Ako su ciljna linija i vektor ispravno izgrađeni, onda će i biti okomito.

VI. Prilikom traženja maksimuma digitalnog filtera potrebno je pomjeriti ciljnu liniju u pravcu vektor, kada se traži minimum digitalnog filtera - protiv pravca vektor. Posljednji vrh ODR-a u smjeru kretanja bit će maksimalna ili minimalna točka CF-a. Ako ne postoji takva tačka(e), onda to možemo zaključiti neograničenost digitalnog filtera na setu planova odozgo (kada se traži maksimum) ili odozdo (kada se traži minimum).

VII. Odredite koordinate tačke max (min) digitalnog filtera i izračunajte vrijednost digitalnog filtera. Za izračunavanje koordinata optimalne tačke potrebno je rešiti sistem jednačina pravih linija na čijem preseku se ona nalazi.

Riješite problem linearnog programiranja

1. f(x)=2x1+x2 ->ekstr

x1>=0, x2>=0

> parcele((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, opcije izvodljive=(boja=crvena),

optionsopen=(boja=plava, debljina=2),

optionsclosed=(boja=zelena, debljina=3),

optionsexcluded=(boja=žuta));

> sa (jednostavnim):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=podešavanje((x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=osnova(dp);

W displej(C,);

> L:=cterm(C);

W X:=dual(f,C,p);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=minimizirati(f,C,NENEGATIVNO);

f_min:=subs(R1,f);

ODGOVOR: Kada x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; At x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Lekcija #5

Vrsta lekcije: kontrola časa + učenje novog gradiva. Vrsta lekcije: Predavanje.

Trajanje: 2 sata.

Golovi:1) Provjeriti i učvrstiti znanje o prethodnom gradivu u prethodnim lekcijama.

2) Naučite novu metodu za rješavanje matričnih igara.

3) razvijati pamćenje, matematičko razmišljanje i pažnju.

Faza 1: provjeriti domaći zadatak u obliku samostalnog rada.

2. faza: dati kratak opis cik-cak metode

Faza 3: konsolidovati novo gradivo i dati domaći zadatak.

Napredak kursa.

Metode linearnog programiranja - numeričke metode za rješavanje optimizacijskih problema koji se svode na formalne modele linearnog programiranja.

Kao što je poznato, svaki problem linearnog programiranja može se svesti na kanonski model za minimiziranje linearne ciljne funkcije sa ograničenjima linearnog tipa jednakosti. Budući da je broj varijabli u problemu linearnog programiranja veći od broja ograničenja (n > m), rješenje se može dobiti izjednačavanjem (n - m) varijabli sa nulom, tzv. besplatno. Preostalih m varijabli, tzv osnovni, može se lako odrediti iz sistema ograničenja jednakosti uobičajenim metodama linearne algebre. Ako rješenje postoji, onda se ono zove osnovni. Ako je osnovno rješenje prihvatljivo, onda se ono zove osnovno dozvoljeno. Geometrijski, osnovna izvodljiva rješenja odgovaraju vrhovima (ekstremnim tačkama) konveksnog poliedra, što ograničava skup izvodljivih rješenja. Ako problem linearnog programiranja ima optimalna rješenja, onda je barem jedno od njih osnovno.

Navedena razmatranja znače da je pri traženju optimalnog rješenja za problem linearnog programiranja dovoljno da se ograničimo na nabrajanje osnovnih dopuštenih rješenja. Broj osnovnih rješenja jednak je broju kombinacija n varijabli u m:

C = m n! /nm! * (n - m)!

i može biti dovoljno velika da ih nabroji direktnim nabrajanjem u realnom vremenu. Činjenica da nisu sva osnovna rješenja prihvatljiva ne mijenja suštinu problema, jer da bi se ocijenila prihvatljivost osnovnog rješenja, ono se mora dobiti.

Problem racionalnog nabrajanja osnovnih rješenja problema linearnog programiranja prvi je riješio J. Danzig. Simpleks metoda koju je predložio je daleko najčešća opšta metoda linearnog programiranja. Simpleks metoda implementira usmjereno nabrajanje izvodljivih osnovnih rješenja duž odgovarajućih ekstremnih tačaka konveksnog poliedra izvodljivih rješenja kao iterativni proces, gdje se vrijednosti ciljne funkcije striktno smanjuju na svakom koraku. Prijelaz između ekstremnih tačaka se vrši duž rubova konveksnog poliedra izvodljivih rješenja u skladu s jednostavnim linearno-algebarskim transformacijama sistema ograničenja. Pošto je broj ekstremnih tačaka konačan, a ciljna funkcija linearna, onda sortiranjem ekstremnih tačaka u pravcu opadajuće funkcije cilja, simpleks metoda konvergira do globalnog minimuma u konačnom broju koraka.

Praksa je pokazala da za većinu primijenjenih problema linearnog programiranja, simpleks metoda omogućava pronalaženje optimalnog rješenja u relativno malom broju koraka u odnosu na ukupan broj ekstremnih tačaka dopuštenog poliedra. Istovremeno, poznato je da za neke probleme linearnog programiranja sa posebno odabranim oblikom prihvatljivog područja, upotreba simpleks metode dovodi do potpunog nabrajanja ekstremnih tačaka. Ova činjenica je u određenoj mjeri podstakla potragu za novim efikasnim metodama za rješavanje problema linearnog programiranja, zasnovanim na idejama koje nisu simpleks metode, koje omogućavaju rješavanje bilo kojeg problema linearnog programiranja u konačnom broju koraka, znatno manjem od broja ekstremnih bodova.

Među metodama polinomskog linearnog programiranja koje su invarijantne na konfiguraciju opsega dozvoljenih vrijednosti, najčešća je metoda L.G. Khachiyan. Međutim, iako ova metoda ima polinomsku procjenu složenosti u zavisnosti od dimenzije problema, ona se ipak ispostavlja da je nekonkurentna u poređenju sa simpleks metodom. Razlog tome je što je zavisnost broja iteracija simpleks metode od dimenzije problema izražena polinomom 3. reda za većinu praktičnih problema, dok u Khachiyan metodi ova zavisnost uvijek ima red od najmanje 4th. Ova činjenica je od odlučujućeg značaja za praksu, gde su kompleksni primenjeni problemi za simpleks metodu izuzetno retki.

Također treba napomenuti da su za primijenjene probleme linearnog programiranja koji su važni u praktičnom smislu razvijene posebne metode koje uzimaju u obzir specifičnu prirodu ograničenja problema. Konkretno, za homogeni transportni problem koriste se posebni algoritmi za izbor početne baze, od kojih su najpoznatiji metoda sjeverozapadnog ugla i približna Vogelova metoda, a algoritamska implementacija same simpleks metode bliska je specifičnostima problem. Za rješavanje problema linearnog dodjeljivanja (problema izbora), umjesto simpleks metode, obično se koristi ili mađarski algoritam, zasnovan na tumačenju problema u terminima teorije grafova kao problema pronalaženja maksimalno ponderiranog savršenog podudaranja u bipartitnom graf, ili Mack metoda.

Riješite matričnu igru ​​3x3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> sa (jednostavnim):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

W displej(C,);

> izvodljivo(C, NONEGATIVE , "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

W R:=maksimiraj(f,C,NENEGATIVNO);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=minimizirati(S,NENEGATIVNO);

>G:=p1+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Pronađite cijenu igre

> V:=1/f_max;

Pronalaženje optimalne strategije za prvog igrača >X:=V*R1;

Pronalaženje optimalne strategije za drugog igrača

ODGOVOR: Kada je X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Sa Y=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Svaki učenik ima jednu od 20 opcija u kojoj se od učenika traži da samostalno riješi matričnu igru ​​2x2, a ostale primjere kao domaći zadatak.

Ciljevi:

1. Ponoviti znanje o kvadratnoj funkciji.

2. Upoznati se s metodom rješavanja kvadratne nejednačine na osnovu svojstava kvadratne funkcije.

Oprema: multimedija, prezentacija “Rješavanje kvadratnih nejednačina”, kartice za samostalni rad, tabela “Algoritam za rješavanje kvadratnih nejednačina”, kontrolni listovi sa karbonskim papirom.

TOKOM NASTAVE

I. Organizacioni momenat (1 min).

II. Ažuriranje osnovnih znanja(10 min).

1. Iscrtavanje kvadratne funkcije y \u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

• određivanje pravca grana parabole;
• određivanje koordinata vrha parabole;
• određivanje osi simetrije;
• određivanje presječnih tačaka sa koordinatnim osa;
• pronalaženje dodatnih bodova.

2. Iz crteža odrediti predznak koeficijenta a i broj korijena jednačine ax 2 +in+c=0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Prema grafu funkcije y \u003d x 2 -4x + 3, odredite:

• Koje su nule funkcije;
• Pronađite intervale na kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti;
• Pronađite intervale na kojima funkcija poprima negativne vrijednosti;
• Pri kojim vrijednostima x funkcija raste, a pri kojim se smanjuje?<Рисунок 3>

4. Učenje novih znanja (12 min.)

Zadatak 1: Riješite nejednačinu: x 2 +4x-5 > 0.

Nejednakost je zadovoljena x vrijednostima na kojima su vrijednosti funkcije y=x 2 +4x-5 jednake nuli ili pozitivne, odnosno one x vrijednosti na kojima leže tačke parabole na x-osi ili iznad ove ose.

Napravimo graf funkcije y = x 2 + 4x-5.

Sa x-osom: X 2 + 4x-5 = 0. Prema Vietinoj teoremi: x 1 = 1, x 2 = -5. Poeni(1;0),(-5;0).

Sa y-osom: y(0)=-5. Poen (0;-5).

Dodatne točke: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Zaključak: Vrijednosti funkcije su pozitivne i jednake nuli (nenegativno) kada

• Da li je potrebno svaki put detaljno nacrtati kvadratnu funkciju za rješavanje nejednakosti?
• Trebam li pronaći koordinate vrha parabole?
• Šta je važno? (a, x 1, x 2)

Zaključak: Za rješavanje kvadratne nejednakosti dovoljno je odrediti nule funkcije, smjer grana parabole i izgraditi skicu grafa.

Zadatak 2: Riješite nejednačinu: x 2 -6x + 8 < 0.

Rješenje: Odredimo korijene jednačine x 2 -6x+8=0.

Prema Vietinoj teoremi: x 1 = 2, x 2 = 4.

a>0 - grane parabole su usmjerene prema gore.

Napravimo skicu grafa.<Рисунок 5>

Znacima “+” i “–” označavamo intervale na kojima funkcija poprima pozitivne i negativne vrijednosti. Odaberimo interval koji nam je potreban.

Odgovor: X€.

5. Konsolidacija novog materijala (7 min).

br. 660 (3). Učenik odlučuje na tabli.

Riješite nejednakost-x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

korijeni jednadžbe: x 1 \u003d -1, x 2 = -2.

a<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

br. 660 (1) - Rad sa skrivenom pločom.

Riješite nejednačinu x 2 -3x + 2 < 0.

Rješenje: x 2 -3x+2=0.

Nađimo korijene: ; x 1 =1, x 2 =2.

a>0 - grana se. Gradimo skicu grafa funkcije.<Рисунок 7>

algoritam:

1. Pronađite korijene jednadžbe ax 2 + in + c \u003d 0.
2. Označite ih na koordinatnoj ravni.
3. Odrediti smjer grana parabole.
4. Skicirajte grafikon.
5. Označite znakovima “+” i “-”, intervale na kojima funkcija poprima pozitivne i negativne vrijednosti.
6. Odaberite željeni interval.

6. Samostalni rad (10 min.).

(Prijem - karbonski papir).

Kontrolni list se potpisuje i predaje nastavniku na ovjeru i utvrđivanje ispravke.

Samoprovjera odbora.

Dodatni zadatak:

№ 670. Pronađite vrijednosti x kod kojih funkcija poprima vrijednosti ne veće od nule: y=x 2 +6x-9.

7. Domaći (2 min).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Popuni tabelu:

D	Nejednakost	a	Crtanje	Rješenje
D>0	sjekira 2 + in + s > 0	a>0
D>0	sjekira 2 + in + s > 0	a<0
D>0	sjekira 2 + in + s < 0	a>0
D>0	sjekira 2 + in + s < 0	a<0

8. Sažetak lekcije (3 min).

1. Reproducirati algoritam za rješavanje nejednačina.
2. Ko je uradio odličan posao?
3. Šta se činilo teškim?

Grafička metoda je jedna od glavnih metoda za rješavanje kvadratnih nejednačina. U članku ćemo predstaviti algoritam za primjenu grafičke metode, a zatim razmotriti posebne slučajeve na primjerima.

Suština grafičke metode

Metoda je primjenjiva za rješavanje bilo koje nejednačine, a ne samo one kvadratne. Njegova je suština ovo: desni i lijevi dio nejednakosti smatraju se dvije odvojene funkcije y = f (x) i y = g (x), njihovi grafovi su izgrađeni u pravokutnom koordinatnom sistemu i gledaju koji od grafovi se nalaze iznad drugih i na kojim intervalima. Intervali se procjenjuju na sljedeći način:

Definicija 1

• rješenja nejednakosti f(x) > g(x) su intervali u kojima je graf funkcije f viši od grafika funkcije g;
• rješenja nejednačine f (x) ≥ g (x) su intervali u kojima grafik funkcije f nije niži od grafika funkcije g;
• rješenja nejednačine f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• rješenja nejednačine f (x) ≤ g (x) su intervali u kojima grafik funkcije f nije veći od grafika funkcije g;
• apscise presječnih tačaka grafova funkcija f i g rješenja su jednadžbe f(x) = g(x) .

Razmotrite gornji algoritam na primjeru. Da biste to učinili, uzmite kvadratnu nejednačinu a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) i iz njega izvesti dvije funkcije. Lijeva strana nejednakosti će odgovarati y = a x 2 + b x + c (u ovom slučaju f (x) = a x 2 + b x + c), a desna y = 0 (u ovom slučaju g (x) = 0 ).

Graf prve funkcije je parabola, druge je ravna linija koja se poklapa sa x-osom. Analizirajmo položaj parabole u odnosu na x-osu. Da bismo to učinili, izvešćemo šematski crtež.

Grane parabole su usmjerene prema gore. Presijeca x-osu u tačkama x 1 i x2. Koeficijent a to ovaj slučaj pozitivan, jer je on taj koji je odgovoran za smjer grana parabole. Diskriminant je pozitivan, što ukazuje da kvadratni trinom ima dva korijena. a x 2 + b x + c. Označavamo korijene trinoma kao x 1 i x2, i to je prihvaćeno x 1< x 2 , pošto su na osi O x prikazali tačku sa apscisom x 1 lijevo od tačke sa apscisom x2.

Dijelovi parabole koji se nalaze iznad ose O x označeni su crvenom bojom, ispod - plavom bojom. To će nam omogućiti da crtež učinimo vizualnijim.

Odaberimo praznine koje odgovaraju ovim dijelovima i označimo ih na slici poljima određene boje.

Crvenom bojom smo označili intervale (− ∞, x 1) i (x 2, + ∞), na kojima je parabola iznad ose O x. One su a x 2 + b x + c > 0 . Plavom bojom smo označili interval (x 1 , x 2) koji je rješenje nejednačine a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Hajde da ukratko zabilježimo rješenje. Za a > 0 i D = b 2 − 4 a c > 0 (ili D " = D 4 > 0 za paran koeficijent b) dobijamo:

• rješenje kvadratne nejednakosti a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ili na drugi način x< x 1 , x >x2;
• rješenje kvadratne nejednačine a · x 2 + b · x + c ≥ 0 je (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ili u drugim zapisima x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• rješenje kvadratne nejednačine a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• rješenje kvadratne nejednakosti a x 2 + b x + c ≤ 0 je [ x 1 , x 2 ] ili u drugim zapisima x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

gdje su x 1 i x 2 korijeni kvadratnog trinoma a x 2 + b x + c, i x 1< x 2 .

Na ovoj slici parabola dodiruje osu O x samo u jednoj tački, što je označeno kao x0 a > 0. D=0, dakle, kvadratni trinom ima jedan korijen x0.

Parabola se nalazi potpuno iznad ose O x, osim dodirne tačke koordinatne ose. Obojite praznine (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Hajde da zapišemo rezultate. At a > 0 i D=0:

• rješenje kvadratne nejednačine a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) ili u drugim zapisima x ≠ x0;
• rješenje kvadratne nejednačine a x 2 + b x + c ≥ 0 je (− ∞ , + ∞) ili u drugoj notaciji x ∈ R ;
• kvadratna nejednakost a x 2 + b x + c< 0 nema rješenja (nema intervala na kojima se parabola nalazi ispod ose O x);
• kvadratna nejednakost a x 2 + b x + c ≤ 0 ima jedino rešenje x = x0(daje se putem kontaktne tačke),

gdje x0- korijen kvadratnog trinoma a x 2 + b x + c.

Razmotrimo treći slučaj, kada su grane parabole usmjerene prema gore i ne dodiruju os O x. Grane parabole su usmjerene prema gore, što znači da a > 0. Kvadratni trinom nema pravi korijen jer D< 0 .

Na grafu ne postoje intervali u kojima bi parabola bila ispod x-ose. Ovo ćemo uzeti u obzir pri odabiru boje za naš crtež.

Ispostavilo se da kada a > 0 i D< 0 rješenje kvadratnih nejednačina a x 2 + b x + c > 0 i a x 2 + b x + c ≥ 0 je skup svih realnih brojeva i nejednakosti a x 2 + b x + c< 0 i a x 2 + b x + c ≤ 0 nemaju rješenja.

Ostaje nam da razmotrimo tri opcije kada su grane parabole usmjerene prema dolje. Ne trebamo se zadržavati na ove tri opcije, jer množenjem oba dijela nejednakosti sa −1 dobijamo ekvivalentnu nejednakost sa pozitivnim koeficijentom na x 2.

Razmatranje prethodnog dijela članka pripremilo nas je za percepciju algoritma za rješavanje nejednačina grafičkom metodom. Da bismo izvršili proračune, morat ćemo svaki put koristiti crtež koji će prikazati koordinatnu liniju O x i parabolu koja odgovara kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c. U većini slučajeva nećemo prikazati O y os, jer ona nije potrebna za proračune i samo će preopteretiti crtež.

Da bismo konstruirali parabolu, trebat ćemo znati dvije stvari:

Definicija 2

• smjer grana, koji je određen vrijednošću koeficijenta a ;
• prisutnost presječnih točaka parabole i ose apscise, koje su određene vrijednošću diskriminanta kvadratnog trinoma a · x 2 + b · x + c.

Tačke presjeka i dodira označit ćemo na uobičajen način pri rješavanju nestrogih nejednačina i prazne kod rješavanja strogih.

Posjedovanje gotovog crteža omogućava vam da prijeđete na sljedeći korak rješenja. Uključuje određivanje intervala u kojima se parabola nalazi iznad ili ispod ose Ox. Praznine i točke presjeka su rješenje kvadratne nejednakosti. Ako nema tačaka preseka ili dodira i intervala, onda se smatra da nejednakost navedena u uslovima problema nema rešenja.

Sada ćemo riješiti neke kvadratne nejednakosti koristeći gornji algoritam.

Primjer 1

Potrebno je grafički riješiti nejednačinu 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2.

Rješenje

Nacrtajmo grafik kvadratne funkcije y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koeficijent at x2 pozitivno, jer 2 . To znači da će grane parabole biti usmjerene prema gore.

Izračunavamo diskriminant kvadratnog trinoma 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 da bismo saznali da li parabola ima zajedničke tačke sa x-osom. Dobijamo:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Kao što vidite, D je veći od nule, dakle, imamo dvije točke presjeka: x 1 = 5 1 3 - 400 9 2 2 i x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, tj. x 1 = − 3 i x 2 = 1 3.

Rješavamo nestrogu nejednakost, stoga stavljamo obične tačke na graf. Crtamo parabolu. Kao što vidite, crtež ima isti izgled kao u prvom predlošku koji smo pregledali.

Naša nejednakost ima predznak ≤ . Stoga moramo odabrati praznine na grafu gdje se parabola nalazi ispod ose O x i dodati im točke sjecišta.

Interval koji nam treba je − 3 , 1 3 . Dodamo joj presječne tačke i dobijemo numerički segment − 3 , 1 3 . Ovo je rješenje našeg problema. Odgovor se može zapisati kao dvostruka nejednačina: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

odgovor:− 3 , 1 3 ili − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Primjer 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafička metoda.

Rješenje

Kvadrat varijable ima negativan numerički koeficijent, tako da će grane parabole biti usmjerene prema dolje. Izračunajte četvrti dio diskriminanta D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Ovaj rezultat nam govori da će postojati dvije točke sjecišta.

Izračunajmo korijene kvadratnog trinoma: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 i x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 i x2 = 9.

Ispostavilo se da parabola siječe x-osu u tačkama 7 i 9 . Ove tačke na grafu označavamo kao prazne, jer radimo sa strogom nejednakošću. Nakon toga crtamo parabolu koja siječe osu O x u označenim tačkama.

Nas će zanimati intervali u kojima se parabola nalazi ispod ose O x. Označite ove intervale plavom bojom.

Dobijamo odgovor: rješenje nejednakosti su intervali (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

odgovor:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ili drugim oznakama x< 7 , x > 9 .

U slučajevima kada je diskriminanta kvadratnog trinoma nula, mora se voditi računa o tome hoće li se u odgovor uključiti apscisa tačke tangente. Da bi se donijela ispravna odluka, potrebno je uzeti u obzir znak nejednakosti. U strogim nejednačinama dodirna tačka apscisne ose nije rješenje nejednakosti, u nestrogim jeste.

Primjer 3

Riješite kvadratnu nejednačinu 10 x 2 − 14 x + 4 , 9 ≤ 0 grafička metoda.

Rješenje

Grane parabole u ovom slučaju će biti usmjerene prema gore. Dodirnut će O x osu u tački 0, 7, pošto

Nacrtajmo funkciju y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Njegove grane su usmjerene prema gore, budući da je koeficijent at x2 pozitivan, i dodiruje x-osu u tački sa x-osom 0 , 7 , jer D" = (− 7) 2 − 10 4 , 9 = 0, odakle je x 0 = 7 10 ili 0 , 7 .

Stavimo tačku i nacrtamo parabolu.

Nestrogu nejednakost rješavamo sa predznakom ≤ . Shodno tome. Zanimaju nas intervali u kojima se parabola nalazi ispod x-ose i dodirne tačke. Na slici nema intervala koji bi zadovoljili naše uslove. Postoji samo dodirna tačka 0, 7. Ovo je željeno rješenje.

odgovor: Nejednačina ima samo jedno rješenje 0 , 7 .

Primjer 4

Riješite kvadratnu nejednačinu – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Rješenje

Grane parabole usmjerene su prema dolje. Diskriminant je nula. Tačka raskrsnice x0 = 4.

Označavamo dodirnu tačku na x-osi i crtamo parabolu.

Imamo posla sa strogom nejednakošću. Stoga nas zanimaju intervali na kojima se parabola nalazi ispod ose O x. Označimo ih plavom bojom.

Tačka sa apscisom 4 nije rješenje, jer se parabola u njoj ne nalazi ispod ose O x. Dakle, dobijamo dva intervala (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

odgovor: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ili drugim oznakama x ≠ 4 .

Ne uvijek sa negativnom vrijednošću diskriminanta, nejednakost neće imati rješenja. Postoje slučajevi kada će rješenje biti skup svih realnih brojeva.

Primjer 5

Kvadratnu nejednačinu 3 · x 2 + 1 > 0 riješi grafički.

Rješenje

Koeficijent a je pozitivan. Diskriminant je negativan. Grane parabole će biti usmjerene prema gore. Ne postoje tačke preseka parabole sa O x osom. Okrenimo se crtežu.

Radimo sa strogom nejednakošću, koja ima predznak >. To znači da nas zanimaju intervali u kojima se parabola nalazi iznad x-ose. To je upravo slučaj kada je odgovor skup svih realnih brojeva.

odgovor:(− ∞ , + ∞) ili tako x ∈ R .

Primjer 6

Potrebno je pronaći rješenje nejednakosti − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafički način.

Rješenje

Grane parabole usmjerene su prema dolje. Diskriminanta je negativna, dakle, nema zajedničkih tačaka parabole i x-ose. Okrenimo se crtežu.

Radimo sa nestrogom nejednakošću sa predznakom ≥ , stoga nas zanimaju intervali na kojima se parabola nalazi iznad x-ose. Sudeći po rasporedu, takvih praznina nema. To znači da nejednakost data u uslovu problema nema rješenja.

odgovor: Nema rješenja.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prvi nivo

Rješavanje jednačina, nejednačina, sistema korištenjem grafova funkcija. Vizuelni vodič (2019)

Mnogi zadaci koje smo navikli da računamo čisto algebarski mogu se riješiti mnogo lakše i brže, u tome će nam pomoći korištenje grafova funkcija. Kažete "kako to?" nacrtati nešto, a šta nacrtati? Vjerujte mi, ponekad je zgodnije i lakše. Hoćemo li početi? Počnimo s jednačinama!

Grafičko rješenje jednačina

Grafičko rješenje linearnih jednadžbi

Kao što već znate, graf linearne jednačine je prava linija, otuda i naziv ovog tipa. Linearne jednadžbe je prilično lako algebarski riješiti - sve nepoznanice prenosimo na jednu stranu jednačine, sve što znamo - na drugu, i voila! Pronašli smo korijen. Sada ću vam pokazati kako se to radi grafički način.

Dakle, imate jednačinu:

Kako to riješiti?
Opcija 1, a najčešći je pomicanje nepoznatih na jednu stranu, a poznatog na drugu, dobijamo:

A sada gradimo. šta si dobio?

Šta mislite šta je korijen naše jednačine? Tako je, koordinate presečne tačke grafova:

Naš odgovor je

To je sva mudrost grafičkog rješenja. Kao što možete lako provjeriti, korijen naše jednadžbe je broj!

Kao što sam već rekao, ovo je najčešća opcija, bliska algebarskom rješenju, ali je možete riješiti i na drugi način. Da bismo razmotrili alternativno rješenje, vratimo se našoj jednadžbi:

Ovaj put nećemo ništa pomicati s jedne strane na drugu, već ćemo direktno graditi grafikone, kao što su sada:

Izgrađen? Pogledaj!

Koje je rješenje ovog puta? U redu. Ista je koordinata tačke preseka grafova:

I, opet, naš odgovor je .

Kao što vidite, sa linearnim jednadžbama sve je krajnje jednostavno. Vrijeme je da razmislimo o nečemu komplikovanijem... Na primjer, grafičko rješenje kvadratnih jednačina.

Grafičko rješenje kvadratnih jednadžbi

Dakle, krenimo sada s rješavanjem kvadratne jednačine. Recimo da morate pronaći korijene ove jednadžbe:

Naravno, sada možete početi brojati preko diskriminanta, ili prema Vietinoj teoremi, ali mnogi živci griješe pri množenju ili kvadriranju, pogotovo ako je primjer s velikim brojevima, a, kao što znate, nećete imati kalkulator na ispitu... Zato pokušajmo da se malo opustimo i crtamo dok rješavamo ovu jednačinu.

Rješenja ove jednačine možete pronaći grafički. Različiti putevi. Razmotrite različite opcije, a vi ćete sami odabrati koja vam se najviše sviđa.

Metoda 1. Direktno

Samo gradimo parabolu prema ovoj jednadžbi:

Da bude brzo, dat ću vam jedan mali savjet: zgodno je započeti konstrukciju određivanjem vrha parabole. Sljedeće formule pomoći će u određivanju koordinata vrha parabole:

Kažete „Stani! Formula za je vrlo slična formuli za pronalaženje diskriminanta "da, jeste, a to je veliki nedostatak" direktne "gradnje parabole za pronalaženje njenih korijena. Ipak, hajde da brojimo do kraja, a onda ću vam pokazati kako da to učinite mnogo (mnogo!) lakšim!

Jeste li brojali? Koje su koordinate vrha parabole? Hajde da to zajedno shvatimo:

Potpuno isti odgovor? Dobro urađeno! I sada već znamo koordinate vrha, a da bismo izgradili parabolu, potrebno nam je više ... bodova. Šta mislite, koliko minimalnih bodova nam treba? Ispravno, .

Znate da je parabola simetrična oko svog vrha, na primjer:

U skladu s tim, potrebne su nam još dvije točke duž lijeve ili desne grane parabole, a u budućnosti ćemo te točke simetrično odražavati na suprotnoj strani:

Vraćamo se na našu parabolu. Za naš slučaj, poenta. Potrebna su nam još dva boda, odnosno, možemo li uzeti pozitivne, ali možemo li uzeti negativne? Koje su poene najbolje za vas? Meni je zgodnije da radim sa pozitivnim, pa ću izračunati sa i.

Sada imamo tri tačke i lako možemo izgraditi našu parabolu odražavajući posljednje dvije tačke oko njenog vrha:

Šta mislite šta je rješenje jednačine? Tako je, tačke u kojima, to jest, i. Jer.

A ako to kažemo, onda to znači da i ona mora biti jednaka, ili.

Samo? Završili smo rješavanje jednadžbe s vama na složen grafički način, ili će ih biti još!

Naravno, možete provjeriti naš odgovor algebarski - možete izračunati korijene putem Vietine teoreme ili diskriminanta. šta si dobio? isto? Evo vidite! Sada da vidimo jedno vrlo jednostavno grafičko rješenje, siguran sam da će vam se jako svidjeti!

Metoda 2. Podijelite na nekoliko funkcija

Uzmimo sve, također, našu jednačinu: , ali pišemo je na malo drugačiji način, naime:

Možemo li to ovako napisati? Možemo, pošto je transformacija ekvivalentna. Pogledajmo dalje.

Izgradimo dvije funkcije odvojeno:

1. - graf je jednostavna parabola, koju možete lako izgraditi čak i bez definiranja vrha pomoću formula i izrade tablice za određivanje drugih tačaka.
2. - grafik je ravna linija, koju možete isto tako lako izgraditi procjenom vrijednosti i u svojoj glavi čak i bez pribjegavanja kalkulatoru.

Izgrađen? Uporedite sa onim što sam dobio:

Šta mislite da je koren jednačine u ovom slučaju? Ispravno! Koordinate po, koje se dobijaju ukrštanjem dva grafikona, odnosno:

Prema tome, rješenje ove jednačine je:

Šta kažeš? Slažem se, ova metoda rješenja je mnogo lakša od prethodne, pa čak i lakša od traženja korijena kroz diskriminant! Ako je tako, isprobajte ovu metodu da riješite sljedeću jednačinu:

šta si dobio? Uporedimo naše grafikone:

Grafikoni pokazuju da su odgovori:

Jeste li uspjeli? Dobro urađeno! Pogledajmo sada malo složenije jednadžbe, odnosno rješenje mješovitih jednačina, odnosno jednadžbi koje sadrže funkcije različitih tipova.

Grafičko rješenje mješovitih jednačina

Sada pokušajmo riješiti sljedeće:

Naravno, možete sve dovesti do zajedničkog nazivnika, pronaći korijene rezultirajuće jednadžbe, a da pritom ne zaboravite uzeti u obzir ODZ, ali opet ćemo pokušati to riješiti grafički, kao što smo radili u svim prethodnim slučajevima.

Ovaj put nacrtajmo sljedeća 2 grafikona:

1. - graf je hiperbola
2. - Grafikon je ravna linija koju možete lako izgraditi procjenom vrijednosti i u svojoj glavi bez pribjegavanja kalkulatoru.

Realized? Sada počnite da gradite.

Evo šta mi se desilo:

Gledajući ovu sliku, koji su korijeni naše jednadžbe?

Tako je i. Evo potvrde:

Pokušajte ubaciti naše korijene u jednadžbu. Desilo se?

U redu! Slažem se, grafičko rješavanje takvih jednačina je zadovoljstvo!

Pokušajte sami grafički riješiti jednačinu:

Dajem vam savjet: pomaknite dio jednadžbe udesno tako da obje strane imaju najjednostavnije funkcije za izgradnju. Imaš nagoveštaj? Poduzmite akciju!

Sada da vidimo šta ste dobili:

odnosno:

1. - kubna parabola.
2. - obična prava linija.

Pa, gradimo:

Kao što ste dugo pisali, korijen ove jednačine je -.

Pošto sam ovo rešio veliki broj primjera, siguran sam da ste shvatili kako možete jednostavno i brzo grafički rješavati jednačine. Vrijeme je da smislimo kako riješiti sisteme na ovaj način.

Grafičko rješenje sistema

Grafičko rješenje sistema se suštinski ne razlikuje od grafičkog rješenja jednačina. Napravićemo i dva grafika, a njihove presečne tačke će biti koreni ovog sistema. Jedan graf je jedna jednačina, drugi graf je druga jednačina. Sve je krajnje jednostavno!

Počnimo s najjednostavnijim - rješavanjem sistema linearnih jednadžbi.

Rješavanje sistema linearnih jednačina

Recimo da imamo sledeći sistem:

Za početak ćemo ga transformirati na način da na lijevoj strani bude sve što je povezano, a na desnoj - ono s čime je povezano. Drugim riječima, ove jednačine pišemo kao funkciju u uobičajenom obliku za nas:

A sada samo gradimo dvije ravne linije. Koje je rješenje u našem slučaju? Ispravno! Tačka njihovog ukrštanja! I ovde treba da budete veoma, veoma oprezni! Razmislite zašto? Daću vam nagoveštaj: imamo posla sa sistemom: sistem ima i jedno i drugo, i... Razumete?

U redu! Prilikom rješavanja sistema moramo gledati na obje koordinate, a ne samo, kao kod rješavanja jednačina! Još jedna važna stvar je da ih ispravno zapišemo i da ne brkamo gdje imamo vrijednost i gdje je vrijednost! Snimljeno? Sada uporedimo sve po redu:

I odgovara: i. Napravite provjeru - zamijenite pronađene korijene u sistem i uvjerite se da smo to grafički riješili ispravno?

Rješavanje sistema nelinearnih jednačina

Ali šta ako umjesto jedne prave, imamo kvadratnu jednačinu? Uredu je! Vi samo gradite parabolu umjesto prave linije! Ne vjerujete? Pokušajte da rešite sledeći sistem:

Šta je naš sljedeći korak? Tako je, zapišite to da nam bude zgodno da gradimo grafikone:

A sada je sve u malim stvarima - brzo sam je napravio i evo rješenja za vas! zgrada:

Da li je grafika ista? Sada označite rješenja sistema na slici i tačno zapišite otkrivene odgovore!

Sve sam uradio? Uporedite sa mojim beleškama:

U redu? Dobro urađeno! Već ste kliknuli na takve zadatke kao što su orasi! I ako je tako, hajde da vam damo komplikovaniji sistem:

Šta mi radimo? Ispravno! Pišemo sistem tako da je pogodan za izgradnju:

Daću vam mali nagoveštaj, pošto sistem izgleda veoma komplikovano! Kada gradite grafove, gradite ih "više", i što je najvažnije, nemojte se iznenaditi brojem presečnih tačaka.

Pa idemo! Izdahnuo? Sada počnite da gradite!

Pa, kako? Zgodno? Koliko ste raskrsnica dobili? Imam tri! Uporedimo naše grafikone:

Isti način? Sada pažljivo zapišite sva rješenja našeg sistema:

Sada ponovo pogledajte sistem:

Možete li zamisliti da ste to riješili za samo 15 minuta? Slažete se, matematika je i dalje jednostavna, pogotovo kada gledate izraz, ne bojite se pogriješiti, već uzmete i odlučite! Ti si veliki momak!

Grafičko rješenje nejednačina

Grafičko rješenje linearnih nejednačina

Nakon posljednjeg primjera, na visini ste zadatka! Sada izdahnite - u poređenju sa prethodnim odeljcima, ovaj će biti veoma, veoma lak!

Počinjemo, kao i obično, sa grafičkim rješenjem linearne nejednačine. Na primjer, ovaj:

Za početak ćemo provesti najjednostavnije transformacije - otvorit ćemo zagrade savršenih kvadrata i dati slične pojmove:

Nejednakost nije striktna, dakle - nije uključena u interval, a rješenje će biti sve tačke koje su desno, od više, više i tako dalje:

odgovor:

To je sve! Lako? Riješimo jednostavnu nejednakost s dvije varijable:

Nacrtajmo funkciju u koordinatnom sistemu.

Imate li takav grafikon? A sada pažljivo gledamo šta imamo u nejednakosti? Manje? Dakle, slikamo preko svega što je lijevo od naše prave linije. Šta ako ih ima više? Tako je, onda bi prefarbali sve što je desno od naše prave linije. Sve je jednostavno.

Sva rješenja ove nejednakosti osjenčana su narančastom bojom. To je to, nejednakost dvije varijable je riješena. To znači da su koordinate i bilo koja tačka iz zasjenjenog područja rješenja.

Grafičko rješenje kvadratnih nejednačina

Sada ćemo se pozabaviti kako grafički riješiti kvadratne nejednačine.

Ali prije nego što prijeđemo direktno na stvar, ponovimo neke stvari o funkciji kvadrata.

Za šta je odgovoran diskriminator? Tako je, za položaj grafa u odnosu na osu (ako se ne sjećate ovoga, onda svakako pročitajte teoriju o kvadratnim funkcijama).

U svakom slučaju, evo malog podsjetnika za vas:

Sada kada smo osvježili sav materijal u sjećanju, pređimo na posao – grafički ćemo riješiti nejednačinu.

Odmah ću vam reći da postoje dvije opcije za to.

Opcija 1

Zapisujemo našu parabolu kao funkciju:

Koristeći formule, određujemo koordinate vrha parabole (na isti način kao kod rješavanja kvadratnih jednadžbi):

Jeste li brojali? šta si dobio?

Sada uzmimo još dvije različite točke i izračunajmo za njih:

Počinjemo graditi jednu granu parabole:

Mi simetrično odražavamo naše tačke na drugoj grani parabole:

Sada se vratimo na našu nejednakost.

Trebamo da bude manji od nule, odnosno:

Budući da u našoj nejednakosti postoji znak striktno manje, izuzimamo krajnje tačke - "izbijamo".

odgovor:

Dug put, zar ne? Sada ću vam pokazati jednostavniju verziju grafičkog rješenja koristeći istu nejednakost kao primjer:

Opcija 2

Vraćamo se na našu nejednakost i označavamo intervale koji su nam potrebni:

Slažem se, mnogo je brže.

Zapišimo sada odgovor:

Razmotrimo još jednu metodu rješenja koja pojednostavljuje algebarski dio, ali glavna stvar je da se ne zbunite.

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Pokušajte sami riješiti sljedeću kvadratnu nejednačinu na bilo koji način: .

Jeste li uspjeli?

Pogledajte kako je ispao moj grafikon:

odgovor: .

Grafičko rješenje mješovitih nejednačina

Sada pređimo na složenije nejednakosti!

kako vam se dopada ovo:

Užasno, zar ne? Iskreno, nemam pojma kako to algebarski riješiti... Ali, nije potrebno. Grafički, u tome nema ništa komplikovano! Oči se boje, ali ruke rade!

Prva stvar s kojom počinjemo je izrada dva grafikona:

Neću pisati tabelu za svakoga - siguran sam da to možete sami napraviti savršeno (naravno, ima toliko primjera za rješavanje!).

Oslikana? Sada napravite dva grafikona.

Hajde da uporedimo naše crteže?

Da li imate isti? Odlično! Sada postavimo tačke preseka i odredimo bojom koji graf treba da imamo, u teoriji, treba da bude veći, tj. Pogledajte šta se desilo na kraju:

A sada samo gledamo gdje je naš odabrani grafikon viši od grafikona? Slobodno uzmite olovku i obojite ovo područje! To će biti rješenje naše kompleksne nejednakosti!

U kojim intervalima duž ose smo viši od? U redu, . Ovo je odgovor!

Pa, sada se možete nositi sa bilo kojom jednačinom, i bilo kojim sistemom, a još više sa bilo kojom nejednakošću!

UKRATKO O GLAVNOM

Algoritam za rješavanje jednadžbi pomoću grafova funkcija:

1. Ekspresno kroz
2. Definirajte tip funkcije
3. Napravimo grafove rezultirajućih funkcija
4. Pronađite presečne tačke grafova
5. Ispravno zapišite odgovor (uzimajući u obzir znake ODZ i nejednakosti)
6. Provjerite odgovor (zamijenite korijene u jednadžbi ili sistemu)

Za više informacija o crtanju grafova funkcija pogledajte temu "".

Tokom lekcije moći ćete samostalno proučavati temu "Grafičko rješenje jednačina, nejednačina". Nastavnik će na času analizirati grafičke metode za rješavanje jednačina i nejednačina. Naučit će vas kako da napravite grafikone, analizirate ih i dobijete rješenja jednadžbi i nejednačina. Lekcija će se također baviti konkretnim primjerima na ovu temu.

Tema: Numeričke funkcije

Lekcija: Grafičko rješenje jednačina, nejednačina

1. Tema lekcije, uvod

Razmatrali smo grafove elementarnih funkcija, uključujući grafove funkcija stepena s različitim eksponentima. Razmotrili smo i pravila za pomicanje i transformaciju grafova funkcija. Sve ove vještine moraju se primijeniti kada je potrebno. grafičkirješenje jednadžbe ili grafike rješenjenejednakosti.

2. Grafičko rješavanje jednačina i nejednačina

Primjer 1. Grafički riješite jednačinu:

Napravimo grafove funkcija (slika 1).

Grafikon funkcije je parabola koja prolazi kroz tačke

Grafikon funkcije je prava linija, gradićemo ga prema tabeli.

Grafovi se sijeku u tački Nema drugih presječnih tačaka, pošto je funkcija monotono rastuća, funkcija monotono opadajuća, pa je stoga njihova presječna tačka jedinstvena.

Primjer 2. Riješite nejednačinu

a. Da bi nejednakost vrijedila, graf funkcije mora biti smješten iznad prave linije (slika 1). Ovo se radi kada

b. U ovom slučaju, naprotiv, parabola bi trebala biti ispod linije. Ovo se radi kada

Primjer 3. Riješite nejednačinu

Napravimo grafove funkcija (Sl. 2).

Pronađite korijen jednadžbe kada nema rješenja. Postoji jedno rešenje za .

Da bi nejednakost vrijedila, hiperbola mora biti smještena iznad prave. Ovo vrijedi za .

Primjer 4. Riješite grafički nejednačinu:

Domena:

Napravimo grafove funkcija za (slika 3).

a. Graf funkcije treba da se nalazi ispod grafikona; to se radi kada

b. Graf funkcije se nalazi iznad grafa na Ali pošto imamo nestrogi predznak u uvjetu, važno je ne izgubiti izolirani korijen

3. Zaključak

Razmotrili smo grafičku metodu za rješavanje jednačina i nejednačina; razmotrili konkretne primjere u čijem rješavanju smo koristili svojstva funkcija kao što su monotonost i ravnomjernost.

1. Mordkovich A. G. i dr Algebra 9. razred: Proc. Za opšte obrazovanje Institucije - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. razred: Zadatak za učenike obrazovnih institucija / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. razred: udžbenik. za učenike opšteg obrazovanja. institucije / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. izdanje, Rev. i dodatne - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov, Algebra. 9. razred 16th ed. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14:00 Deo 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. izdanje, izbrisano. — M.: 2010. — 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred U 2 sata Deo 2. Zadatak za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i dr.; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. izdanje, Rev. — M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Fakultetsko odjeljenje. ru iz matematike.

2. Internet projekat "Zadaci".

3. Edukativni portal "SOLVE USE".

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. razred: Zadatak za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. br. 355, 356, 364.