Koliki je prirodni logaritam od 1. Prirodni logaritam

često uzimaju broj e = 2,718281828 . Logaritmi u ovoj bazi se nazivaju prirodno. Prilikom izvođenja proračuna prirodnim logaritmima uobičajeno je raditi sa predznakom ln, ali ne log; dok je broj 2,718281828 , definirajući bazu, ne označavaju.

Drugim riječima, formulacija će izgledati ovako: prirodni logaritam brojevi X je eksponent na koji broj treba podići e, Za dobijanje x.

dakle, ln(7,389...)= 2 jer e 2 =7,389... . Prirodni logaritam samog broja e= 1 jer e 1 =e, a prirodni logaritam jedinice jednak je nuli, jer e 0 = 1.

Sam broj e definira granicu monotonog ograničenog niza

izračunao to e = 2,7182818284... .

Vrlo često, da bi se fiksirao broj u memoriji, cifre potrebnog broja povezuju se s nekim izvanrednim datumom. Brzina pamćenja prvih devet cifara broja e nakon decimalnog zareza će se povećati ako napomenete da je 1828. godina rođenja Lava Tolstoja!

Do danas postoje prilično potpune tablice prirodnih logaritama.

prirodni log graf(funkcije y=ln x) je posljedica dijagrama eksponenta kao zrcalne slike u odnosu na pravu liniju y = x i izgleda ovako:

Prirodni logaritam se može naći za svaki pozitivan realan broj a kao površina ispod krive y = 1/x od 1 prije a.

Elementarna priroda ove formulacije, koja se uklapa u mnoge druge formule u kojima je uključen prirodni logaritam, bila je razlog za formiranje naziva "prirodni".

Ako analiziramo prirodni logaritam, kao realna funkcija realne varijable, tada djeluje inverzna funkcija na eksponencijalnu funkciju, koja se svodi na identitete:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Po analogiji sa svim logaritmima, prirodni logaritam pretvara množenje u sabiranje, dijeljenje u oduzimanje:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritam se može naći za svaku pozitivnu bazu koja nije jednaka jedinici, ne samo za e, ali se logaritmi za druge baze razlikuju od prirodnog logaritma samo konstantnim faktorom i obično se definiraju u smislu prirodnog logaritma.

Nakon analize prirodni log graf, dobijamo da postoji za pozitivne vrijednosti varijable x. Ona se monotono povećava u svom domenu definicije.

At x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( -∞ ).At x → +∞ granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞ ). Na slobodi x logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija napajanja x a sa pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma. Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema.

Upotreba prirodni logaritmi veoma racionalan u prelasku više matematike. Stoga je upotreba logaritma pogodna za pronalaženje odgovora na jednadžbe u kojima se nepoznanice pojavljuju kao eksponent. Upotreba prirodnih logaritama u proračunima omogućava znatno olakšanje veliki broj matematičke formule. osnovni logaritmi e prisutni su u rešavanju značajnog broja fizičkih problema i prirodno su uključeni u matematički opis pojedinih hemijskih, bioloških i drugih procesa. Dakle, logaritmi se koriste za izračunavanje konstante raspada za poznato vrijeme poluraspada ili za izračunavanje vremena raspada u rješavanju problema radioaktivnosti. Oni imaju vodeću ulogu u mnogim dijelovima matematike i praktičnih nauka, pribjegavaju im se u oblasti finansija za rješavanje velikog broja problema, uključujući i obračun složenih kamata.

Prilično dobro, zar ne? Dok matematičari traže riječi kako bi vam dali dugu, zamršenu definiciju, pogledajmo pobliže ovu jednostavnu i jasnu definiciju.

Broj e znači rast

Broj e označava kontinuirani rast. Kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, e x nam omogućava da povežemo kamatu i vrijeme: 3 godine sa 100% rasta je isto kao 1 godina sa 300%, podložno "složenoj kamati".

Možete zamijeniti bilo koje procentualne i vremenske vrijednosti (50% tokom 4 godine), ali je bolje postaviti postotak na 100% radi pogodnosti (ispada 100% za 2 godine). Prelaskom na 100%, možemo se fokusirati isključivo na vremensku komponentu:

e x = e postotak * vrijeme = e 1,0 * vrijeme = e vrijeme

Očigledno, e x znači:

koliko će moj doprinos rasti u x jedinicama vremena (pod pretpostavkom 100% kontinuiranog rasta).
na primjer, nakon 3 vremenska intervala dobiću e 3 = 20,08 puta više "stvari".

e x je faktor skaliranja koji pokazuje na koji nivo ćemo rasti u x vremenskim periodima.

Prirodni logaritam znači vrijeme

Prirodni logaritam je inverz od e, tako fensi termin za suprotnost. Govoreći o hirovima; na latinskom se zove logarithmus naturali, otuda i skraćenica ln.

I šta znači ova inverzija ili suprotnost?

e x nam omogućava da uključimo vrijeme i dobijemo rast.
ln(x) nam omogućava da uzmemo rast ili prihod i saznamo koliko je vremena potrebno da ga dobijemo.

Na primjer:

e 3 je 20.08. U tri vremenska raspona imaćemo 20,08 puta više nego što smo započeli.
ln(20.08) će biti oko 3. Ako ste zainteresovani za povećanje od 20,08x, trebat će vam 3 puta (opet, pod pretpostavkom 100% kontinuiranog rasta).

Da li još čitaš? Prirodni logaritam pokazuje vrijeme koje je potrebno da se postigne željeni nivo.

Ovaj nestandardni logaritamski broj

Prošli ste kroz logaritme - oni su čudna stvorenja. Kako su uspjeli da množenje pretvore u sabiranje? Šta je sa deljenjem na oduzimanje? da vidimo.

Čemu je jednako ln(1)? Intuitivno se postavlja pitanje: koliko dugo moram da čekam da dobijem 1 puta više od onoga što imam?

Zero. Zero. Ne sve. Već ga imate jednom. Nije potrebno vreme da se preraste sa nivoa 1 na nivo 1.

log(1) = 0

Dobro, šta je sa razlomkom? Koliko će nam vremena trebati da imamo 1/2 onoga što nam je preostalo? Znamo da sa 100% kontinuiranog rasta, ln(2) znači vrijeme koje je potrebno da se udvostruči. Ako vrati vrijeme(tj. čekati negativno vrijeme), tada ćemo dobiti polovinu onoga što imamo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logično, zar ne? Ako se vratimo (vrijeme unazad) za 0,693 sekunde, naći ćemo polovinu raspoložive količine. U principu, možete okrenuti razlomak i uzeti negativnu vrijednost: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. To znači da ako se vratimo u prošlost na 1,09 puta, naći ćemo samo trećinu trenutnog broja.

Dobro, šta je sa logaritmom negativnog broja? Koliko je vremena potrebno da se kolonija bakterija "izraste" od 1 do -3?

To je nemoguće! Ne možete dobiti negativan broj bakterija, zar ne? Možete dobiti maksimum (uh... minimum) od nule, ali nema šanse da dobijete negativan broj ovih malih stvorenja. Negativan broj bakterija jednostavno nema smisla.

ln(negativan broj) = nedefinisano

"Nedefinirano" znači da nema vremena za čekanje da se dobije negativna vrijednost.

Logaritamsko množenje je jednostavno smiješno

Koliko će vremena trebati da se rast četiri puta poveća? Naravno, možete samo uzeti ln(4). Ali previše je lako, idemo drugim putem.

Možete razmišljati o učetvorostručenju kao udvostručenju (zahteva ln(2) vremenske jedinice), a zatim ponovo udvostručavanju (zahteva još ln(2) vremenske jedinice):

Vrijeme do 4x rasta = ln(4) = Vrijeme da se udvostruči, a zatim ponovo udvostruči = ln(2) + ln(2)

Zanimljivo. Svaka stopa rasta, recimo 20, može se posmatrati kao udvostručenje odmah nakon povećanja od 10x. Ili rast 4 puta, a zatim 5 puta. Ili utrostručenje, a zatim povećanje od 6.666 puta. Vidite uzorak?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritam A puta B je log(A) + log(B). Ovaj odnos odmah ima smisla ako djelujete u smislu rasta.

Ako ste zainteresovani za rast od 30x, možete ili sačekati ln(30) odjednom, ili sačekati da se ln(3) utrostruči, a zatim još jedan ln(10) da se pomnoži sa deset. Krajnji rezultat je isti, tako da naravno vrijeme mora ostati konstantno (i ostaje).

Šta je sa podjelom? Konkretno, ln(5/3) znači: koliko vremena je potrebno da naraste 5 puta, a zatim dobijete 1/3 od toga?

Odlično, faktor 5 je ln(5). Povećanje 1/3 puta će trajati -ln(3) jedinica vremena. dakle,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

To znači: pustite da naraste 5 puta, a zatim se "vratite u prošlost" do tačke u kojoj ostaje samo trećina te količine, tako da dobijete 5/3 rasta. Općenito, ispada

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Nadam se da vam čudna aritmetika logaritama počinje da ima smisla: množenje stopa rasta postaje zbrajanje jedinica vremena rasta, a dijeljenje postaje oduzimanje jedinica vremena. Nemojte pamtiti pravila, pokušajte ih razumjeti.

Korištenje prirodnog logaritma za proizvoljan rast

Pa, naravno, - kažete, - sve je dobro ako je rast 100%, ali šta je sa 5% koje dobijem?

Nema problema. "Vrijeme" koje izračunavamo pomoću ln() je zapravo kombinacija kamatne stope i vremena, isto X iz jednačine e x. Upravo smo odabrali da postavimo postotak na 100% radi jednostavnosti, ali možemo slobodno koristiti bilo koji broj.

Recimo da želimo postići rast od 30x: uzmemo ln(30) i dobijemo 3,4 To znači:

e x = visina
e 3,4 = 30

Očigledno, ova jednačina znači "100% povrata tokom 3,4 godine dovodi do 30 puta." Ovu jednačinu možemo napisati ovako:

e x = e stopa*vrijeme
e 100% * 3,4 godine = 30

Možemo promijeniti vrijednosti "stopa" i "vrijeme", sve dok stopa * vrijeme ostaje 3.4. Na primjer, ako nas zanima rast od 30x, koliko ćemo morati čekati na kamatu od 5%?

log(30) = 3.4
stopa * vrijeme = 3.4
0,05 * vrijeme = 3,4
vrijeme = 3,4 / 0,05 = 68 godina

Razmišljam ovako: "ln(30) = 3,4, tako da će za rast od 100% trebati 3,4 godine. Ako udvostručim stopu rasta, potrebno vrijeme se prepolovi."

100% za 3,4 godine = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% za 1,7 godina = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% za 6,8 godina = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% preko 68 godina = .05 * 68 = 3.4 .

Odlično je, zar ne? Prirodni logaritam se može koristiti sa bilo kojom kamatnom stopom i vremenom, sve dok njihov proizvod ostaje konstantan. Možete pomicati vrijednosti varijabli koliko god želite.

Loš primjer: Pravilo sedamdeset i dva

Pravilo sedamdeset dva je matematička tehnika koja vam omogućava da procijenite koliko će vremena trebati da se vaš novac udvostruči. Sada ćemo ga izvesti (da!), a štaviše, pokušaćemo da shvatimo njegovu suštinu.

Koliko je vremena potrebno da udvostručite svoj novac po stopi od 100% koja se povećava svake godine?

Op-pa. Koristili smo prirodni logaritam za slučaj kontinuiranog rasta, a sada govorite o godišnjem obračunavanju? Ne bi li ova formula postala neprikladna za takav slučaj? Da, hoće, ali za stvarne kamatne stope kao što su 5%, 6%, ili čak 15%, razlika između kompaundiranja godišnje i stalnog rasta bit će mala. Dakle, gruba procjena funkcionira, uh, otprilike, pa ćemo se pretvarati da imamo potpuno kontinuirano obračunavanje.

Sada je pitanje jednostavno: Koliko brzo možete da se udvostručite sa 100% rastom? ln(2) = 0,693. Potrebno je 0,693 jedinice vremena (godine u našem slučaju) da udvostručimo naš iznos uz kontinuirani rast od 100%.

Dakle, šta ako kamata nije 100%, nego recimo 5% ili 10%?

Lako! Budući da je stopa * vrijeme = 0,693, udvostručit ćemo iznos:

stopa * vrijeme = 0,693
vrijeme = 0,693 / stopa

Dakle, ako je rast 10%, biće potrebno 0,693 / 0,10 = 6,93 godina da se udvostruči.

Da bismo pojednostavili proračune, pomnožimo oba dijela sa 100, tada možemo reći "10" a ne "0,10":

vrijeme udvostručavanja = 69,3 / opklada, gdje je opklada izražena u procentima.

Sada je vrijeme da se udvostruči na 5%, 69,3 / 5 = 13,86 godina. Međutim, 69,3 nije najpogodnija dividenda. Odaberimo bliski broj, 72, koji je zgodno djeljiv sa 2, 3, 4, 6, 8 i drugim brojevima.

vrijeme udvostručavanja = 72 / opklada

što je pravilo od sedamdeset dva. Sve je zataškano.

Ako trebate pronaći vremena da utrostručite, možete koristiti ln(3) ~ 109,8 i dobiti

trostruko vrijeme = 110 / opklada

Što je još jedno korisno pravilo. "Pravilo 72" se odnosi na rast kamatnih stopa, rast populacije, kulture bakterija i sve što raste eksponencijalno.

Šta je sledeće?

Nadam se da prirodni logaritam sada ima smisla za vas - on pokazuje vrijeme potrebno da bilo koji broj raste eksponencijalno. Mislim da se to naziva prirodnim jer je e univerzalna mjera rasta, tako da se ln može smatrati univerzalnim načinom da se odredi koliko dugo je potrebno da raste.

Svaki put kada vidite ln(x), sjetite se "vrijeme koje je potrebno da poraste x puta". U narednom članku opisaću e i ln zajedno, tako da će svježa aroma matematike ispuniti zrak.

Komplement: Prirodni logaritam od e

Brzi kviz: koliko će biti ln(e)?

matematički robot će reći: budući da su definirane kao inverzne jedna drugoj, očito je da je ln(e) = 1.
osoba koja razumije: ln(e) je broj puta za povećanje "e" puta (oko 2.718). Međutim, sam broj e je mjera rasta za faktor 1, tako da je ln(e) = 1.

Razmišljaj jasno.

9. septembra 2013

prirodni logaritam

Grafikon funkcije prirodnog logaritma. Funkcija se polako približava pozitivnoj beskonačnosti kao x i brzo se približava negativnoj beskonačnosti kada x teži 0 („sporo“ i „brzo“ u poređenju sa bilo kojom funkcijom snage od x).

prirodni logaritam je osnovni logaritam , gdje e je iracionalna konstanta jednaka približno 2,718281 828 . Prirodni logaritam se obično označava kao ln( x), log e (x) ili ponekad samo prijavite ( x) ako je baza e implicirano.

Prirodni logaritam broja x(napisano kao log(x)) je eksponent na koji želite podići broj e, Za dobijanje x. Na primjer, ln(7,389...) jednako 2 jer e 2 =7,389... . Prirodni logaritam samog broja e (ln(e)) je jednako 1 jer e 1 = e, i prirodni logaritam 1 ( dnevnik(1)) je 0 jer e 0 = 1.

Prirodni logaritam se može definirati za bilo koji pozitivan realan broj a kao površina ispod krive y = 1/x od 1 do a. Jednostavnost ove definicije, koja je u skladu s mnogim drugim formulama koje koriste prirodni logaritam, dovela je do naziva "prirodno". Ova definicija se može proširiti na kompleksne brojeve, o čemu će biti riječi u nastavku.

Ako prirodni logaritam smatramo realnom funkcijom realne varijable, onda je to inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, koja vodi do identiteta:

Kao i svi logaritmi, prirodni logaritam preslikava množenje u sabiranje:

Dakle, logaritamska funkcija je izomorfizam grupe pozitivnih realnih brojeva u odnosu na množenje grupom realnih brojeva sabiranjem, koji se može predstaviti kao funkcija:

Logaritam se može definirati za bilo koju pozitivnu bazu osim 1, ne samo e, ali se logaritmi za druge baze razlikuju od prirodnog logaritma samo konstantnim faktorom i obično se definiraju u smislu prirodnog logaritma. Logaritmi su korisni za rješavanje jednačina u kojima su nepoznate prisutne kao eksponent. Na primjer, logaritmi se koriste za pronalaženje konstante raspada za poznato vrijeme poluraspada ili za pronalaženje vremena raspada u rješavanju problema radioaktivnosti. Oni igraju važnu ulogu u mnogim oblastima matematike i primenjenih nauka, koriste se u oblasti finansija za rešavanje mnogih problema, uključujući i pronalaženje složenih kamata.

Priča

Prvi pomen prirodnog logaritma napravio je Nikola Mercator u svom radu Logarithmotechnia, objavljen 1668. godine, iako je učitelj matematike John Spydell sastavio tablicu prirodnih logaritama još 1619. godine. Ranije se zvao hiperbolički logaritam jer odgovara površini ispod hiperbole. Ponekad se naziva i Napierov logaritam, iako je prvobitno značenje ovog pojma bilo nešto drugačije.

Konvencije o notaciji

Prirodni logaritam se obično označava sa "ln( x)“, logaritam sa bazom 10 kroz „lg( x)", a uobičajeno je da se druge osnove eksplicitno naznače simbolom "log".

U mnogim radovima iz diskretne matematike, kibernetike, informatike, autori koriste oznaku „log( x)" za logaritme na osnovu 2, ali ova konvencija nije univerzalno prihvaćena i zahtijeva pojašnjenje, bilo u listi korištenih notacija ili (ako takva lista ne postoji) fusnotom ili komentarom o prvoj upotrebi.

Zagrade oko argumenta logaritama (ako to ne dovodi do pogrešnog čitanja formule) se obično izostavljaju, a kada se logaritam podiže na stepen, eksponent se pripisuje direktno predznaku logaritma: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-američki sistem

Matematičari, statističari i neki inženjeri obično koriste ili "log( x)", ili "ln( x)" , a za označavanje logaritma bazi 10 - "log 10 ( x)».

Neki inženjeri, biolozi i drugi profesionalci uvijek pišu "ln( x)" (ili povremeno "log e ( x)") kada znače prirodni logaritam i zapis "log( x)" znači dnevnik 10 ( x).

log e je "prirodni" logaritam jer se javlja automatski i vrlo često se pojavljuje u matematici. Na primjer, razmotrite problem derivacije logaritamske funkcije:

Ako je baza b jednaki e, onda je izvod jednostavno 1/ x, i kada x= 1 ovaj izvod je jednak 1. Još jedno opravdanje za koje je baza e logaritam je najprirodniji, jeste da se može vrlo jednostavno definirati u terminima jednostavnog integrala ili Taylorovog reda, što se ne može reći za druge logaritme.

Dalja potvrđivanja prirodnosti nisu povezana sa brojem. Tako, na primjer, postoji nekoliko jednostavnih serija s prirodnim logaritmima. Zvali su ih Pietro Mengoli i Nicholas Mercator logarithmus naturalis nekoliko decenija dok Newton i Leibniz nisu razvili diferencijalni i integralni račun.

Definicija

Formalno ln( a) može se definirati kao površina ispod krive grafikona 1/ x od 1 do a, tj. kao integral:

To je zaista logaritam jer zadovoljava osnovno svojstvo logaritma:

Ovo se može pokazati pretpostavkom sljedećeg:

Numerička vrijednost

Da biste izračunali brojčanu vrijednost prirodnog logaritma broja, možete koristiti njegovu ekspanziju u Taylorov niz u obliku:

Da biste dobili najbolju stopu konvergencije, možete koristiti sljedeći identitet:

pod uslovom da y = (x−1)/(x+1) i x > 0.

Za ln( x), gdje x> 1, što je bliža vrijednost x do 1, to je brža stopa konvergencije. Identiteti povezani s logaritmom mogu se koristiti za postizanje cilja:

Ove metode su korištene i prije pojave kalkulatora, za koje su korištene numeričke tablice i vršene su manipulacije slične gore opisanim.

Visoka tačnost

Za izračunavanje prirodnog logaritma sa mnogo cifara preciznosti, Taylorov red nije efikasan jer je njegova konvergencija spora. Alternativa je korištenje Newtonove metode za invertiranje u eksponencijalnu funkciju, čiji se nizovi brže konvergiraju.

Alternativa za vrlo visoku tačnost proračuna je formula:

gdje M označava aritmetičko-geometrijsku sredinu od 1 i 4/s, i

m izabrano tako da str postignute su ocjene tačnosti. (U većini slučajeva, vrijednost od 8 za m je dovoljna.) Zaista, ako se koristi ova metoda, Newtonova inverzija prirodnog logaritma može se primijeniti za efikasno izračunavanje eksponencijalne funkcije. (Konstante ln 2 i pi mogu se unaprijed izračunati do željene preciznosti koristeći bilo koji od poznatih brzo konvergentnih nizova.)

Računarska složenost

Računska složenost prirodnih logaritama (koristeći aritmetičko-geometrijsku sredinu) je O( M(n)ln n). Evo n je broj cifara preciznosti za koje treba procijeniti prirodni logaritam, i M(n) je računska složenost množenja dva n-cifreni brojevi.

Kontinuirani razlomci

Iako ne postoje prosti razlomci koji predstavljaju logaritam, može se koristiti nekoliko generaliziranih razlomaka, uključujući:

Kompleksni logaritmi

Eksponencijalna funkcija se može proširiti na funkciju koja daje kompleksan broj oblika e x za bilo koji proizvoljni kompleksni broj x, dok se koristi beskonačan niz sa kompleksom x. Ova eksponencijalna funkcija može se invertirati kako bi se formirao složeni logaritam koji će imati većinu svojstava običnih logaritama. Postoje, međutim, dvije poteškoće: nema x, za koji e x= 0, a ispostavilo se da je e 2pi = 1 = e 0 . Pošto je svojstvo multiplikativnosti važeće za kompleksnu eksponencijalnu funkciju, onda e z = e z+2npi za sve složene z i cijeli n.

Logaritam se ne može definirati na cijeloj kompleksnoj ravni, a čak je i viševrijedan - bilo koji kompleksni logaritam može se zamijeniti "ekvivalentnim" logaritmom dodavanjem bilo kojeg cijelog broja višestrukog od 2 pi. Kompleksni logaritam može biti samo jednovrijedan na isječku kompleksne ravni. Na primjer ln i = 1/2 pi ili 5/2 pi ili −3/2 pi, itd., i iako i 4 = 1,4 log i može se definisati kao 2 pi, ili 10 pi ili -6 pi, i tako dalje.

vidi takođe

John Napier - izumitelj logaritama

Bilješke

Matematika za fizičku hemiju. - 3. - Academic Press, 2005. - Str. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Izvod sa strane 9
JJ O "Connor i E F Robertson Broj e . Arhiv MacTutor History of Mathematics (septembar 2001). arhivirano
Cajori Florian Istorija matematike, 5. izd. - Knjižara AMS, 1991. - Str. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Procjena integrala korištenjem polinoma . Arhivirano iz originala 12. februara 2012.

Date su glavne osobine prirodnog logaritma, graf, oblast definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, izvod, integral, proširenje u niz stepena i reprezentacija funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

prirodni logaritam je funkcija y = ln x, inverzno eksponentu, x \u003d e y , a koji je logaritam bazi broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na osnovu definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafikon funkcije y = ln x.

Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz grafika eksponenta refleksijom ogledala oko prave linije y = x .

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti x. Ona se monotono povećava u svom domenu definicije.

Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( - ∞ ).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Svaka funkcija stepena x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Domen definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tabeli.

ln x vrijednosti

log 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima koristeći formulu promjene baze:

Dokazi ovih formula su predstavljeni u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.

Ako onda

Ako onda .

Derivat ln x

Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Integral

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
dakle,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
tada će to biti isti broj za različite n.

Dakle, prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje serije snaga

Za , ekspanzija se odvija:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.