Koji vektor se zove jedinica. Vektori: definicija i osnovni pojmovi

Takav koncept kao vektor razmatra se u gotovo svim prirodnim znanostima, a može imati potpuno različita značenja, tako da je nemoguće dati jednoznačnu definiciju vektora za sva područja. Ali hajde da pokušamo da to shvatimo. Dakle, vektor - šta je to?

Koncept vektora u klasičnoj geometriji

Vektor u geometriji je segment za koji je naznačeno koja je njegova tačka početak, a koja kraj. To jest, pojednostavljeno rečeno, usmjereni segment se naziva vektor.

U skladu s tim, označen je vektor (šta je to - gore je objašnjeno), kao i segment, odnosno dva velika slova latinične abecede s dodatkom linije ili strelice koja pokazuje desno na vrhu. Može se potpisati i malim (malim) slovom latinice sa crticom ili strelicom. Strelica uvek pokazuje udesno i ne menja se u zavisnosti od položaja vektora.

Dakle, vektor ima pravac i dužinu.

Oznaka vektora također sadrži njegov smjer. Ovo je izraženo kao što je prikazano na donjoj slici.

Promjena smjera obrće vrijednost vektora.

Dužina vektora je dužina segmenta od kojeg se formira. Označen je kao modul iz vektora. Ovo je prikazano na donjoj slici.

Prema tome, nula je vektor čija je dužina jednaka nuli. Iz ovoga slijedi da je nulti vektor tačka, štaviše, početna i krajnja tačka se u njemu poklapaju.

Dužina vektora je uvijek nenegativna vrijednost. Drugim riječima, ako postoji segment, onda on nužno ima određenu dužinu ili je tačka, tada je njegova dužina nula.

Sam koncept tačke je osnovni i nema definiciju.

Vektorsko dodavanje

Postoje posebne formule i pravila za vektore koji se mogu koristiti za zbrajanje.

Pravilo trougla. Za dodavanje vektora prema ovom pravilu dovoljno je spojiti kraj prvog vektora i početak drugog, koristeći paralelnu translaciju, i povezati ih. Rezultirajući treći vektor će biti jednak sabiranju druga dva.

pravilo paralelograma. Da biste dodali prema ovom pravilu, morate nacrtati oba vektora iz jedne tačke, a zatim nacrtati drugi vektor sa kraja svakog od njih. Odnosno, drugi će se izvući iz prve, a prvi iz druge. Kao rezultat, dobiće se nova tačka preseka i formiraće se paralelogram. Ako kombiniramo točku presjeka početaka i krajeva vektora, tada će rezultirajući vektor biti rezultat sabiranja.

Slično, moguće je izvršiti oduzimanje.

Vektorska razlika

Slično sabiranju vektora, moguće je izvršiti njihovo oduzimanje. Zasnovan je na principu prikazanom na donjoj slici.

Odnosno, dovoljno je vektor koji treba oduzeti predstaviti kao vektor suprotan njemu i izračunati prema principima sabiranja.

Također, apsolutno svaki vektor različit od nule može se pomnožiti sa bilo kojim brojem k, što će promijeniti njegovu dužinu za k puta.

Osim ovih, postoje i druge vektorske formule (na primjer, za izražavanje dužine vektora u smislu njegovih koordinata).

Lokacija vektora

Sigurno su mnogi naišli na takav koncept kao što je kolinearni vektor. Šta je kolinearnost?

Kolinearnost vektora je ekvivalentna paralelizmu pravih linija. Ako dva vektora leže na linijama koje su međusobno paralelne, ili na istoj pravoj, onda se takvi vektori nazivaju kolinearni.

Smjer. U odnosu jedan na drugi, kolinearni vektori mogu biti kousmjereni ili suprotno usmjereni, što je određeno smjerom vektora. Prema tome, ako je vektor ko-usmjeren s drugim, tada je vektor suprotan njemu usmjeren suprotno.

Prva slika prikazuje dva suprotno usmjerena vektora i treći koji nije kolinearan s njima.

Nakon uvođenja navedenih svojstava, moguće je i definirati jednake vektore - to su vektori koji su usmjereni u istom smjeru i imaju istu dužinu segmenata od kojih su formirani.

U mnogim naukama koristi se i koncept radijus vektora. Takav vektor opisuje položaj jedne tačke ravni u odnosu na drugu fiksnu tačku (često je to ishodište).

Vektori u fizici

Pretpostavimo da se prilikom rješavanja zadatka pojavio uvjet: tijelo se kreće brzinom od 3 m/s. To znači da se tijelo kreće u određenom smjeru u jednoj pravoj liniji, pa će ova varijabla biti vektorska veličina. Da biste ga riješili, važno je znati i vrijednost i smjer, jer ovisno o razmatranju, brzina može biti ili 3 m/s ili -3 m/s.

Općenito, vektor se u fizici koristi za označavanje smjera sile koja djeluje na tijelo i za određivanje rezultante.

Kada su ove sile naznačene na slici, one su označene strelicama sa vektorskom oznakom iznad. Klasično, dužina strelice je jednako važna, uz pomoć nje pokazuju koja je sila jača, ali ovo svojstvo je sekundarno, ne biste se trebali oslanjati na nju.

Vektor u linearnoj algebri i računu

Elementi linearnih prostora nazivaju se i vektori, ali u ovom slučaju oni su uređeni sistem brojeva koji opisuju neke od elemenata. Stoga smjer u ovom slučaju više nije važan. Definicije vektora u klasičnoj geometriji i u matematičkoj analizi su veoma različite.

Vektorska projekcija

Projektovani vektor - šta je to?

Vrlo često, za ispravan i zgodan proračun, potrebno je razložiti vektor koji se nalazi u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom prostoru duž koordinatnih osa. Ova operacija je neophodna, na primjer, u mehanici kada se računaju sile koje djeluju na tijelo. Vektor se u fizici često koristi.

Za izvođenje projekcije dovoljno je spustiti okomice s početka i kraja vektora na svaku od koordinatnih osa, segmenti dobiveni na njima će se zvati projekcija vektora na os.

Da bi se izračunala dužina projekcije, dovoljno je njenu početnu dužinu pomnožiti sa određenom trigonometrijskom funkcijom, koja se dobija rešavanjem mini-problema. U stvari, postoji pravokutni trokut u kojem je hipotenuza originalni vektor, jedna od kateta je projekcija, a druga kateta ispuštena okomica.

Konačno sam došao u ruke jedne opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno ste se sada sjetili školskog kursa geometrije sa brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta sakriti, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Začudo, analitička geometrija može izgledati zanimljivija i pristupačnija. Šta znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dva utisnuta matematička obrta: „grafička metoda rješenja“ i „analitička metoda rješenja“. Grafička metoda, naravno, povezan je sa konstrukcijom grafova, crteža. Analitički isto metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske operacije. S tim u vezi, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često je dovoljno precizno primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, nikako neće proći bez crteža, osim toga, radi boljeg razumijevanja gradiva, pokušat ću da ih dovedem iznad potrebe.

Otvoreni tok nastave iz geometrije ne pretenduje na teorijsku potpunost, fokusiran je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja ću uključiti samo ono što je, sa moje tačke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija referenca za bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koja je, bez šale, poznata već nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ova vješalica za školsku svlačionicu već je izdržala 20 (!) reizdanja, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za visoko obrazovanje, trebat će vam prvi tom. Zadaci koji se rijetko pojavljuju mogu ispasti iz mog vidnog polja, a tutorijal će mi biti od neprocjenjive pomoći.

Obje knjige su besplatne za preuzimanje na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu sa gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Od alata, opet nudim svoj razvoj - softverski paket na analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa osnovnim geometrijskim pojmovima i figurama: tačka, prava, ravan, trougao, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, zdravo ponavljači)

A sada ćemo uzastopno razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Dalje preporučujem čitanje najvažniji članak Tačkasti proizvod vektora, kao i Vektorski i mješoviti proizvod vektora. Lokalni zadatak neće biti suvišan - Podjela segmenta u tom pogledu. Na osnovu gore navedenih informacija, možete jednačina prave linije u ravni With najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti kako rješavati probleme iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednačina ravni u prostoru, Jednačine prave u prostoru, Osnovni problemi na liniji i ravni , ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Koncept vektora. slobodni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je tačka, a kraj segmenta tačka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno, ako preuredite strelicu na drugi kraj segmenta, dobićete vektor, a ovo je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjećivati ​​koncept vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate priznati da su ulazak na vrata instituta ili napuštanje vrata instituta potpuno različite stvari.

Zgodno je posmatrati pojedinačne tačke ravni, prostor kao tzv nulti vektor. Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: Ovdje i ispod možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravni ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština predstavljenog materijala vrijedi i za ravan i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štap bez strelice u oznaci i rekli da su i na vrhu stavili strelicu! Tako je, možete pisati strelicom: , ali dopušteno i zapis koji ću koristiti kasnije. Zašto? Očigledno se takva navika razvila iz praktičnih razmatranja, moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše raznoliki i čupavi. U obrazovnoj literaturi ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime se implicira da je ovo vektor.

To je bio stil, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati sa dva velika latinična slova:
i tako dalje. Dok je prvo slovo obavezno označava početnu tačku vektora, a drugo slovo označava krajnju tačku vektora.

2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor može biti preimenovan radi kratkoće malim latiničnim slovom.

Dužina ili modul vektor različit od nule naziva se dužina segmenta. Dužina nul-vektora je nula. Logično.

Dužina vektora je označena modulo znakom: ,

Kako pronaći dužinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kako) nešto kasnije.

To su bile osnovne informacije o vektoru, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može izvući iz bilo koje tačke:

Nekada smo takve vektore nazivali jednakim (definicija jednakih vektora će biti data u nastavku), ali sa čisto matematičke tačke gledišta, ovo je ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer u toku rješavanja problema možete „prikačiti“ jedan ili drugi vektor za BILO KOJU tačku ravni ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislite vektor proizvoljne dužine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački u prostoru, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska poslovica: Svaki predavač u f ** u u vektoru. Uostalom, ne samo duhovita rima, sve je matematički ispravno - tu se može prikačiti i vektor. Ali nemojte žuriti da se radujete, sami studenti češće pate =)

dakle, slobodni vektor- ovo je mnogo identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku pasusa: „usmjereni segment se naziva vektor ...“, podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz datog skupa, koji je vezan za određenu tačku u ravni ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike koncept slobodnog vektora generalno netačan, a bitna je i tačka primjene vektora. Zaista, dovoljan je direktan udarac iste sile u nos ili u čelo da se razvije moj glupi primjer povlači različite posljedice. Kako god, nije besplatno vektori se takođe nalaze u toku vyshmata (ne idite tamo :)).

Akcije sa vektorima. Kolinearnost vektora

U školskom kursu geometrije razmatraju se brojne radnje i pravila s vektorima: sabiranje po pravilu trougla, sabiranje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektora itd. Kao seme, ponavljamo dva pravila koja su posebno relevantna za rešavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo sabiranja vektora prema pravilu trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i :

Potrebno je pronaći zbir ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, odgađamo vektor iz kraj vektor :

Zbir vektora je vektor . Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega staviti fizičko značenje: neka neko tijelo napravi put duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbir vektora vektor rezultujuće putanje koja počinje u tački polaska i završava se u tački dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbir bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem snažno cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbira.

Usput, ako se vektor odgodi od start vektor , tada dobijamo ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearno ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima. Grubo govoreći, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearno".

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju kosmjeran. Ako strelice gledaju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotno usmerena.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenom ikonom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su kousmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

rad vektora različitog od nule brojem je vektor čija je dužina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti sa slikom:

Razumijemo detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, onda je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Dužina. Ako je faktor sadržan unutar ili , tada je dužina vektora smanjuje se. Dakle, dužina vektora je dvostruko manja od dužine vektora. Ako je modulo množitelj veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . I obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti u terminima drugog, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Na ovaj način: ako pomnožimo vektor brojem, dobićemo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kosmjerni. Vektori i su također kosmjerni. Svaki vektor prve grupe je suprotan bilo kom vektoru druge grupe.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su kosmjerna i imaju istu dužinu. Imajte na umu da ko-smjer implicira da su vektori kolinearni. Definicija će biti netačna (suvišna) ako kažete: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kousmjereni i imaju istu dužinu."

Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, o čemu je već bilo reči u prethodnom pasusu.

Vektorske koordinate na ravni i u prostoru

Prva stvar je razmatranje vektora na ravni. Nacrtajte kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i odvojite ga od početka single vektori i :

Vektori i ortogonalno. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavamo na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi respektivno kolinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora piše se uobičajenim znakom okomice, na primjer: .

Razmatrani vektori se nazivaju koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Šta je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova.Jednostavno, osnova i ishodište koordinata definišu čitav sistem - to je neka vrsta temelja na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se naziva izgrađena osnova ortonormalno osnova ravni: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normalizovan" označava jedinicu, tj. dužine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama, unutar kojih u strogom redu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori zabranjeno je zamijeniti mjesta.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, gdje - brojevi, koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. Ali sam izraz pozvao vektorska dekompozicijaosnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponovanju vektora u smislu baze koriste upravo razmatrani:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla: .

Sada mentalno odvojite vektor iz bilo koje druge tačke na ravni. Sasvim je očigledno da će ga njegova korupcija "nemilosrdno pratiti". Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti odvojeni od ishodišta, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se od ovoga neće promijeniti! Istina, ne morate to da radite, jer će i učitelj pokazati originalnost i nacrtati vam "prolaz" na neočekivanom mjestu.

Vektori, ilustruju tačno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je ko-usmeren sa baznim vektorom, vektor je usmeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, može se precizno napisati na sljedeći način:


A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (u stvari, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto ti nisam rekao za pravilo oduzimanja? Negde u linearnoj algebri, ne sećam se gde, primetio sam da je oduzimanje poseban slučaj sabiranja. Dakle, proširenja vektora "de" i "e" mirno su zapisana kao zbir: . Preuredite pojmove na mjesta i pratite crtež kako jasno dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trougla funkcionira u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u sistemu ort(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora, uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori su zapisani na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije snimanja.

Dvoumio sam se da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru, strogo na drugom mestu zapišite koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru. Zaista, i dva su različita vektora.

Shvatili smo koordinate u avionu. Sada razmotrite vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je sve gotovo isto! Samo još jedna koordinata će biti dodana. Teško je izvoditi trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odložiti od početka:

Bilo koji 3d vektor prostora jedini način proširiti u ortonormalnoj bazi:
, gdje su koordinate vektora (broja) u datoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako funkcionišu pravila vektorske akcije. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (magenta strelica). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor zbira počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i završava na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora su, naravno, također slobodni, pokušajte mentalno odgoditi vektor iz bilo koje druge tačke i shvatit ćete da njegovo širenje "ostaje s njim".

Slično kao i kućište aviona, pored pisanja verzije sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako jedan (ili dva) koordinatni vektor nedostaje u ekspanziji, tada se stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) – zapišite ;
vektor (pažljivo ) – zapišite ;
vektor (pažljivo ) – zapišite .

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

Ovdje je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda ima previše pojmova i definicija, pa preporučujem lutkama da ponovo pročitaju i shvate ove informacije. I svakom čitaocu će biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne na osnovnu lekciju radi bolje asimilacije materijala. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u nastavku. Napominjem da materijali sa sajta nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa, kolokvijuma iz geometrije, pošto pažljivo kodiram sve teoreme (osim bez dokaza) - na štetu naučnog stila prezentacije, ali plus za vaše razumevanje subjekta. Za detaljnije teorijske informacije, molim vas da se poklonite profesoru Atanasyanu.

Sada pređimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije sa vektorima u koordinatama

Zadatke koji će se razmatrati, vrlo je poželjno naučiti kako ih rješavati potpuno automatski, a formule zapamtiti, nemojte ga ni namjerno pamtiti, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, jer se ostali problemi analitičke geometrije baziraju na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti neugodno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune. Ne morate da zakopčavate gornje dugmad na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Prezentacija materijala će se odvijati paralelno - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule ... vidjet ćete sami.

Kako pronaći vektor date dvije tačke?

Ako su date dvije tačke ravni i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, iz koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate vektorski početak.

vježba: Za iste tačke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke u ravnini i . Pronađite vektorske koordinate

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeća notacija:

Esteti će odlučiti ovako:

Lično sam navikao na prvu verziju ploče.

odgovor:

Prema uslovu, nije bilo potrebno napraviti crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih lutkama objasnio neke tačke, neću biti previše lijen:

Mora se razumjeti razlika između koordinata tačke i vektorskih koordinata:

Koordinate tačaka su uobičajene koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Mislim da svi znaju crtati tačke na koordinatnoj ravni od 5-6 razreda. Svaka tačka ima striktno mjesto u ravni i ne može se nigdje pomjeriti.

Koordinate istog vektora je njegova ekspanzija u odnosu na osnovu , u ovom slučaju . Svaki vektor je slobodan, pa ga, ako je potrebno, možemo lako odgoditi iz neke druge tačke u ravni. Zanimljivo je da za vektore uopšte ne možete da gradite ose, pravougaoni koordinatni sistem, potrebna vam je samo osnova, u ovom slučaju, ortonormalna osnova ravni.

Čini se da su zapisi koordinata tačaka i vektorskih koordinata slični: , i osećaj za koordinate apsolutno drugačije, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, važi i za prostor.

Dame i gospodo, punimo ruke:

Primjer 2

a) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Find Vectors .

Mozda dosta. Ovo su primjeri za samostalnu odluku, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Crteži nisu potrebni. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno u rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je da budete IZUZETNO OPREZNI kako biste izbegli majstorsku grešku „dva plus dva je nula“. Unapred se izvinjavam ako sam pogresio =)

Kako pronaći dužinu segmenta?

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije tačke ravni i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Segment linije - to nije vektor, i ne možete ga nigdje pomjeriti, naravno. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rešenje je kratko, ali postoji nekoliko važnih tačaka koje bih želeo da razjasnim:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obratite pažnju na važan tehnički trik – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u formi neće biti greška – ali je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane nastavnika.

Evo i drugih uobičajenih slučajeva:

Često se dovoljno veliki broj dobije pod korijenom, na primjer. Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, potpuno podijeliti, ovako: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno nije moguće. Pokušavam podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

zaključak: ako ispod korijena dobijemo potpuno neizdvojiv broj, onda pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Prilikom rješavanja raznih zadataka često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne muke sa finaliziranjem svojih rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i drugih potencija:

Pravila za radnje sa stepenom u opštem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je već sve ili skoro sve jasno iz datih primera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Dati bodovi i . Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći dužinu vektora?

Ako je dat ravan vektor, tada se njegova dužina izračunava po formuli.

Ako je dat vektor prostora, onda se njegova dužina izračunava po formuli .

VECTOR
U fizici i matematici, vektor je veličina koju karakteriše numerička vrijednost i smjer. U fizici postoje mnoge važne veličine koje su vektori, kao što su sila, položaj, brzina, ubrzanje, moment, moment, električna i magnetska polja. Mogu se suprotstaviti drugim veličinama, kao što su masa, zapremina, pritisak, temperatura i gustina, koje se mogu opisati običnim brojem, a nazivaju se „skalarima“. Vektorska notacija se koristi kada se radi sa veličinama koje se ne mogu u potpunosti specificirati običnim brojevima. Na primjer, želimo opisati položaj objekta u odnosu na neku tačku. Možemo reći koliko je kilometara od tačke do objekta, ali ne možemo u potpunosti odrediti njegovu lokaciju dok ne znamo smjer u kojem se nalazi. Dakle, lokaciju objekta karakterizira numerička vrijednost (udaljenost u kilometrima) i smjer. Grafički, vektori su prikazani kao usmjereni segmenti prave linije određene dužine, kao na sl. 1. Na primjer, da biste grafički predstavili silu od pet kilograma, trebate povući pravu liniju dužine pet jedinica u smjeru sile. Strelica pokazuje da sila djeluje od A do B; ako je sila djelovala od B do A, onda bismo napisali ili Radi praktičnosti, vektori se obično označavaju podebljanim velikim slovima (A, B, C, itd.); vektori A i -A imaju jednake numeričke vrijednosti, ali suprotnog smjera. Numerička vrijednost vektora A naziva se modul ili dužina i označava se sa A ili |A|. Ova veličina je, naravno, skalar. Vektor čiji se početak i kraj podudaraju naziva se nulti vektor i označava se O.

Dva vektora se nazivaju jednaka (ili slobodna) ako su im moduli i smjerovi isti. U mehanici i fizici, međutim, ova definicija se mora koristiti s oprezom, jer će dvije jednake sile primijenjene na različite točke tijela općenito dovesti do različitih rezultata. U tom smislu, vektori se dijele na "povezane" ili "klizne", kako slijedi: Povezani vektori imaju fiksne tačke primjene. Na primjer, radijus vektor pokazuje položaj tačke u odnosu na neko fiksno ishodište. Povezani vektori se smatraju jednakim ako ne samo da imaju iste module i pravce, već imaju i zajedničku tačku primjene. Klizni vektori su jednaki vektori koji se nalaze na istoj pravoj liniji.
Sabiranje vektora. Ideja zbrajanja vektora dolazi iz činjenice da možemo pronaći jedan vektor koji ima isti učinak kao i dva druga vektora zajedno. Ako, da bismo došli do neke tačke, moramo prvo hodati A kilometara u jednom smjeru, a zatim B kilometara u drugom smjeru, tada bismo mogli doći do naše krajnje točke hodajući C kilometara u trećem smjeru (slika 2). U tom smislu se može reći

A+B=C.
Vektor C se naziva "vektor rezultata" od A i B i dat je konstrukcijom prikazanom na slici; paralelogram je izgrađen na vektorima A i B kao na stranicama, a C je dijagonala koja povezuje početak A i kraj B. Sa sl. 2 može se vidjeti da je sabiranje vektora "komutativno", tj. A + B = B + A. Slično, možete dodati nekoliko vektora tako što ćete ih povezati u seriju u "neprekidni lanac", kao što je prikazano na sl. 3 za tri vektora D, E i F. Sa sl. 3 to takođe pokazuje

(D + E) + F = D + (E + F), tj. sabiranje vektora je asocijativno. Bilo koji broj vektora se može sabrati, a vektori ne moraju ležati u istoj ravni. Oduzimanje vektora je predstavljeno kao dodavanje negativnom vektoru. Na primjer, A - B = A + (-B), gdje je, kao što je prethodno definirano, -B vektor jednak B u apsolutnoj vrijednosti, ali suprotnog smjera. Ovo pravilo sabiranja sada se može koristiti kao pravi kriterij za provjeru da li je neka veličina vektor ili ne. Kretanja su obično podložna odredbama ovog pravila; isto se može reći i za brzine; sile se sabiraju na isti način kao što se može vidjeti iz "trougla sila". Međutim, neke veličine koje imaju i numeričke vrijednosti i smjerove ne poštuju ovo pravilo, pa se stoga ne mogu smatrati vektorima. Primjer su konačne rotacije.
Množenje vektora skalarom. Proizvod mA ili Am, gdje je m (m # 0) skalar, a A vektor različit od nule, definiran je kao drugi vektor koji je m puta duži od A i ima isti smjer kao A ako je m pozitivno, i suprotno ako je m negativno, kao što je prikazano na sl. 4, gdje je m 2 i -1/2, respektivno. Osim toga, 1A = A, tj. kada se pomnoži sa 1, vektor se ne mijenja. Vrijednost -1A je vektor jednake dužine A ali suprotnog smjera, obično se piše kao -A. Ako je A nulti vektor i (ili) m = 0, onda je mA nulti vektor. Množenje je distributivno, tj.

Možemo dodati bilo koji broj vektora, a redosled pojmova ne utiče na rezultat. Vrijedi i obrnuto: svaki vektor se razlaže na dvije ili više "komponenti", tj. u dva ili više vektora koji će, kada se zbroje, kao rezultat dati originalni vektor. Na primjer, na sl. 2, A i B su komponente C. Mnoge matematičke operacije s vektorima se pojednostavljuju ako se vektor razloži na tri komponente u tri međusobno okomita smjera. Odaberimo pravi Dekartov koordinatni sistem sa osama Ox, Oy i Oz kao što je prikazano na sl. 5. Pod desnim koordinatnim sistemom podrazumijevamo da su ose x, y i z pozicionirane onako kako se mogu pozicionirati palac, kažiprst i srednji prst desne ruke. Iz jednog desnog koordinatnog sistema uvijek je moguće dobiti drugi desni koordinatni sistem odgovarajućom rotacijom. Na sl. 5 prikazuje dekompoziciju vektora A na tri komponente i oni se sabiraju vektoru A, budući da

shodno tome,

Također se može prvo dodati i dobiti, a zatim dodati Projekcije vektora A na tri koordinatne ose, označene Ax, Ay i Az, nazivaju se "skalarne komponente" vektora A:

gdje su a, b i g uglovi između A i tri koordinatne ose. Sada uvodimo tri vektora jedinične dužine i, j i k (orths) koji imaju isti smjer kao i odgovarajuće x, y i z ose. Zatim, ako se Ax pomnoži sa i, onda je rezultirajući proizvod vektor jednak i

Dva vektora su jednaka ako i samo ako su im odgovarajuće skalarne komponente jednake. Dakle, A = B ako i samo ako je Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Dva vektora se mogu dodati dodavanjem njihovih komponenti:

Osim toga, prema Pitagorinoj teoremi:

Linearne funkcije. Izraz aA + bB, gdje su a i b skalari, naziva se linearna funkcija vektora A i B. Ovo je vektor koji je u istoj ravni kao A i B; ako A i B nisu paralelni, onda kada se a i b promijene, vektor aA + bB će se kretati preko cijele ravni (slika 6). Ako A, B i C ne leže svi u istoj ravni, tada se vektor aA + bB + cC (a, b i c se mijenjaju) kreće kroz prostor. Pretpostavimo da su A, B i C jedinični vektori i, j i k. Vektor ai leži na x-osi; vektor ai + bj se može kretati duž cijele ravni xy; vektor ai + bj + ck se može kretati kroz prostor.

Moglo bi se izabrati četiri međusobno okomita vektora i, j, k i l i definirati četverodimenzionalni vektor kao veličinu A = Axi + Ayj + Azk + Awl
sa dužinom

i može se nastaviti do pet, šest ili bilo koji broj dimenzija. Iako je nemoguće vizualno predstaviti takav vektor, ovdje nema matematičkih poteškoća. Takva notacija je često korisna; na primjer, stanje čestice u pokretu opisuje se šestodimenzionalnim vektorom P (x, y, z, px, py, pz), čije su komponente njena pozicija u prostoru (x, y, z) i impuls (px , py, pz). Takav prostor se naziva "fazni prostor"; ako uzmemo u obzir dvije čestice, onda je fazni prostor 12-dimenzionalan, ako tri, onda 18, i tako dalje. Broj dimenzija se može neograničeno povećavati; međutim, veličine s kojima ćemo se baviti ponašaju se na isti način kao i one koje ćemo razmotriti u ostatku ovog članka, naime, trodimenzionalni vektori.
Množenje dva vektora. Pravilo sabiranja vektora dobijeno je proučavanjem ponašanja veličina predstavljenih vektorima. Nema očiglednog razloga zašto se dva vektora ne bi mogla pomnožiti na neki način, ali ovo množenje će imati smisla samo ako se može pokazati da je matematički ispravno; osim toga, poželjno je da proizvod ima određeno fizičko značenje. Postoje dva načina za množenje vektora koji ispunjavaju ove uslove. Rezultat jednog od njih je skalar, takav proizvod se naziva "skalarni proizvod" ili "unutarnji proizvod" dva vektora i piše se ACHB ili (A, B). Rezultat drugog množenja je vektor koji se naziva "unakrsni proizvod" ili "spoljni proizvod" i piše se A*B ili []. Tačkasti proizvodi imaju fizičko značenje za jednu, dvije ili tri dimenzije, dok su vektorski proizvodi definirani samo za tri dimenzije.
Skalarni proizvodi. Ako se pod dejstvom neke sile F tačka na koju se primenjuje pomeri za rastojanje r, tada je izvršeni rad jednak umnošku r i komponente F u pravcu r. Ova komponenta je jednaka F cos bF, rc, gdje je bF, rc ugao između F i r, tj. Obavljen posao = Fr cos bF, rc. Ovo je primjer fizičke opravdanosti skalarnog proizvoda definiranog za bilo koja dva vektora A, B pomoću formule
A*B = AB cos bA, Bs.
Pošto su sve veličine na desnoj strani jednačine skalarne, onda je A*B = B*A; stoga je skalarno množenje komutativno. Skalarno množenje takođe ima distributivno svojstvo: A*(B + C) = A*B + A*C. Ako su vektori A i B okomiti, tada je cos bA, Bc jednak nuli, i, prema tome, A*B = 0, čak i ako ni A ni B nisu jednaki nuli. Zato ne možemo dijeliti vektorom. Pretpostavimo da smo obje strane jednačine A*B = A*C podijelili sa A. Ovo bi dalo B = C, a ako bi se podjela mogla izvršiti, onda bi ova jednakost bila jedini mogući rezultat. Međutim, ako prepišemo jednačinu A*B = A*C kao A*(B - C) = 0 i zapamtimo da je (B - C) vektor, onda je jasno da (B - C) nije nužno nula i stoga B ne smije biti jednako C. Ovi konfliktni rezultati pokazuju da je podjela vektora nemoguća. Skalarni proizvod daje drugi način za pisanje numeričke vrijednosti (modula) vektora: A*A = AA*cos 0° = A2;
zbog toga

Skalarni proizvod se može napisati i na drugi način. Da biste to učinili, zapamtite: A = Ax i + Ayj + Azk. primeti, to

onda,

Pošto posljednja jednačina sadrži x, y i z kao indekse, čini se da jednačina ovisi o odabranom određenom koordinatnom sistemu. Međutim, to nije slučaj, kao što se vidi iz definicije, koja ne zavisi od odabranih koordinatnih ose.
Vector artwork. Vektor ili eksterni proizvod vektora je vektor čiji je modul jednak proizvodu njihovih modula i sinusa ugla okomitog na originalne vektore i zajedno sa njima čini pravu trojku. Ovaj proizvod se najlakše uvodi uzimajući u obzir odnos između brzine i ugaone brzine. Prvi je vektor; sada ćemo pokazati da se potonji može tumačiti i kao vektor. Ugaona brzina rotirajućeg tijela određuje se na sljedeći način: odaberite bilo koju tačku na tijelu i povucite okomicu iz te točke na os rotacije. Tada je ugaona brzina tijela broj radijana koje je ova linija rotirala u jedinici vremena. Ako je ugaona brzina vektor, ona mora imati numeričku vrijednost i smjer. Numerička vrijednost je izražena u radijanima u sekundi, smjer se može birati duž ose rotacije, može se odrediti usmjeravanjem vektora u smjeru u kojem bi se desni vijak kretao pri rotaciji s tijelom. Razmotrimo rotaciju tijela oko fiksne ose. Ako ovu os ugradimo unutar prstena, koji je zauzvrat fiksiran na os umetnutu unutar drugog prstena, možemo dati rotaciju tijelu unutar prvog prstena ugaonom brzinom w1, a zatim učiniti da se unutrašnji prsten (i tijelo) rotiraju sa ugaona brzina w2. Slika 7 objašnjava suštinu stvari; kružne strelice pokazuju smjer rotacije. Ovo tijelo je čvrsta sfera sa centrom O i poluprečnikom r.

Rice. 7. KUGLA SA CENTROM O, rotira ugaonom brzinom w1 unutar prstena BC, koji se, zauzvrat, rotira unutar prstena DE sa ugaonom brzinom w2. Sfera rotira ugaonom brzinom jednakom zbiru ugaonih brzina i sve tačke na liniji POP" su u stanju trenutnog mirovanja.

Dajmo ovom tijelu kretanje koje je zbir dvije različite ugaone brzine. Ovaj pokret je prilično teško vizualizirati, ali je sasvim očito da se tijelo više ne rotira oko fiksne ose. Međutim, još uvijek možete reći da se rotira. Da bismo to pokazali, izaberimo neku tačku P na površini tijela, koja se u trenutku koji razmatramo nalazi na velikoj kružnici koja povezuje tačke u kojima dvije ose sijeku površinu sfere. Ispustimo okomice iz P na osu. Ove okomice postaju poluprečnici PJ i PK kružnica PQRS i PTUW, respektivno. Nacrtajmo liniju POPŭ koja prolazi kroz centar sfere. Sada se tačka P, u razmatranom trenutku vremena, istovremeno kreće duž kružnica koje se dodiruju u tački P. Za mali vremenski interval Dt, P se kreće na daljinu

Ova udaljenost je nula ako

U ovom slučaju, tačka P je u stanju trenutnog mirovanja, a isto tako i sve tačke na pravoj POP, osi rotacije sfere, baš kao što se točak koji se kotrlja po putu u svakom trenutku vremena okreće oko svoje najniže , pomiče se u vremenu Dt na udaljenost

Na kružnici poluprečnika r sin w1. Po definiciji, ugaona brzina

Iz ove formule i relacije (1) dobijamo

Drugim riječima, ako zapišete numeričku vrijednost i odaberete smjer ugaone brzine kao što je gore opisano, tada se ove veličine zbrajaju kao vektori i mogu se smatrati takvima. Sada možete unijeti unakrsni proizvod; razmotrimo tijelo koje rotira ugaonom brzinom w. Odaberemo bilo koju tačku P na tijelu i bilo koje ishodište O, koje se nalazi na osi rotacije. Neka je r vektor usmjeren od O do P. Tačka P se kreće duž kružnice brzinom V = w r sin (w, r). Vektor brzine V je tangentan na kružnicu i pokazuje smjer prikazan na sl. osam.

Ova jednadžba daje ovisnost brzine V tačke o kombinaciji dva vektora w i r. Koristimo ovu relaciju da definiramo novu vrstu proizvoda i pišemo: V = w * r. Budući da je rezultat takvog množenja vektor, ovaj proizvod se naziva vektorski proizvod. Za bilo koja dva vektora A i B, ako je A * B = C, onda je C = AB sin bA, Bc, a smjer vektora C je takav da je okomit na ravan koja prolazi kroz A i B i pokazuje u istom smjer kao smjer kretanja desnorotacionog vijka ako je paralelan sa C i rotira od A do B. Drugim riječima, možemo reći da A, B i C, tim redoslijedom, čine pravi skup koordinatnih osa. Vektorski proizvod je antikomutativan; vektor B * A ima isti modul kao A * B, ali je usmjeren u suprotnom smjeru: A * B = -B * A. Ovaj proizvod je distributivan, ali nije asocijativan; to se može dokazati

Pogledajmo kako je vektorski proizvod napisan u terminima komponenti i jediničnih vektora. Prije svega, za bilo koji vektor A, A * A = AA sin 0 = 0.
Dakle, u slučaju jediničnih vektora, i * i = j * j = k * k = 0 i i * j = k, j * k = i, k * i = j. onda,

Ova jednakost se može napisati i kao determinanta:

Ako je A * B = 0, onda je ili A ili B 0, ili su A i B kolinearni. Dakle, kao i kod tačkastog proizvoda, podjela vektorom nije moguća. Vrijednost A * B jednaka je površini paralelograma sa stranicama A i B. To je lako vidjeti, budući da je B sin bA, Bc njegova visina, a A baza. Postoje mnoge druge fizičke veličine koje su vektorski proizvodi. Jedan od najvažnijih vektorskih proizvoda pojavljuje se u teoriji elektromagnetizma i naziva se Poyntingov vektor P. Ovaj vektor je definiran na sljedeći način: P = E * H, gdje su E i H vektori električnog i magnetskog polja, respektivno. P vektor se može zamisliti kao dati protok energije u vatima po kvadratnom metru u bilo kojoj tački. Evo još nekoliko primjera: moment sile F (moment) u odnosu na ishodište, koji djeluje na tačku čiji je vektor radijusa r, definiran je kao r * F; čestica koja se nalazi u tački r, sa masom m i brzinom V, ima ugaoni moment mr * V u odnosu na ishodište; sila koja djeluje na česticu koja nosi električni naboj q kroz magnetsko polje B brzinom V je qV * B.
Trostruki radovi. Od tri vektora možemo formirati sljedeće trostruke proizvode: vektor (A*B) * C; vektor (A*B)*C; skalar (A * B)*C. Prvi tip je proizvod vektora C i skalara A*B; već smo govorili o takvim radovima. Drugi tip se naziva dvostruki unakrsni proizvod; vektor A * B je okomit na ravan u kojoj leže A i B, i stoga je (A * B) * C vektor koji leži u ravnini A i B i okomit na C. Stoga, općenito, (A * B) * C nije jednako A * (B * C). Pisanjem A, B i C u smislu njihovih x, y i z koordinata (komponenti) i množenjem, možemo pokazati da je A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A* B). Treći tip proizvoda koji se javlja u proračunima rešetke u fizici čvrstog stanja numerički je jednak volumenu paralelepipeda sa ivicama A, B, C. Pošto (A * B) * C = A * (B * C), predznaci skalarnih i vektorskih množenja mogu se zamijeniti, a proizvod se često piše kao (A B C). Ovaj proizvod je jednak determinanti

Imajte na umu da je (A B C) = 0 ako sva tri vektora leže u istoj ravni ili ako je A = 0 ili (i) B = 0 ili (i) C = 0.
VEKTORSKA DIFERENCIJACIJA
Pretpostavimo da je vektor U funkcija jedne skalarne varijable t. Na primjer, U može biti radijus vektor povučen od početka do tačke kretanja, a t može biti vrijeme. Neka se t promijeni za mali iznos Dt, koji će promijeniti U za DU. Ovo je prikazano na sl. 9. Omjer DU/Dt je vektor usmjeren u istom smjeru kao i DU. Možemo definirati derivaciju U u odnosu na t kao

pod uslovom da takvo ograničenje postoji. S druge strane, može se predstaviti U kao zbir komponenti duž tri ose i napisati

Ako je U radijus vektor r, tada je dr/dt brzina tačke, izražena kao funkcija vremena. Ponovo diferencirajući s obzirom na vrijeme, dobijamo ubrzanje. Pretpostavimo da se tačka kreće duž krive prikazane na Sl. 10. Neka je s udaljenost koju prijeđe tačka duž krive. Tokom malog vremenskog intervala Dt, tačka će proći rastojanje Ds duž krive; pozicija radijus vektora će se promijeniti u Dr. Stoga je Dr/Ds vektor usmjeren poput Dr. Dalje

Dr vektor - promjena radijusa-vektora.

je jedinični vektor tangenta na krivu. To se može vidjeti iz činjenice da kako se tačka Q približava tački P, PQ se približava tangenti, a Dr približava Ds. Formule za diferenciranje proizvoda slične su formulama za diferenciranje proizvoda skalarnih funkcija; međutim, pošto je unakrsni proizvod antikomutativan, red množenja se mora sačuvati. Zbog toga,

Dakle, vidimo da ako je vektor funkcija jedne skalarne varijable, onda možemo predstaviti izvod na skoro isti način kao u slučaju skalarne funkcije.
Vektorska i skalarna polja. Gradijent. U fizici se često mora suočiti sa vektorskim ili skalarnim veličinama koje se mijenjaju od tačke do tačke u datom području. Takva područja se nazivaju "polja". Na primjer, skalar može biti temperatura ili pritisak; vektor može biti brzina pokretnog fluida ili elektrostatičko polje sistema naelektrisanja. Ako smo odabrali neki koordinatni sistem, tada bilo kojoj tački P (x, y, z) u datoj oblasti odgovara neki radijus vektor r (= xi + yj + zk) i također vrijednost vektorske veličine U (r) ili skalar f (r) povezan s njim. Pretpostavimo da su U i f jednoznačno definisani u domeni; one. svaka tačka odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti U ili f, iako različite tačke mogu, naravno, imati različite vrijednosti. Recimo da želimo opisati brzinu kojom se mijenjaju U i f dok se krećemo kroz ovo područje. Jednostavne parcijalne derivacije, kao što su dU / dx i df / dy, nam ne odgovaraju, jer zavise od posebno odabranih koordinatnih osa. Međutim, moguće je uvesti vektorski diferencijalni operator nezavisno od izbora koordinatnih osa; ovaj operator se zove "gradijent". Pozabavimo se skalarnim poljem f. Prvo, kao primjer, razmotrite konturnu kartu područja neke zemlje. U ovom slučaju, f je visina iznad nivoa mora; konturne linije povezuju tačke sa istom f vrednošću. Kada se kreće duž bilo koje od ovih linija, f se ne mijenja; ako se krećemo okomito na ove prave, tada će brzina promjene f biti maksimalna. Svaku tačku možemo povezati s vektorom koji pokazuje veličinu i smjer maksimalne promjene brzine f; takva mapa i neki od ovih vektora prikazani su na sl. 11. Ako ovo uradimo za svaku tačku polja, dobićemo vektorsko polje povezano sa skalarnim poljem f. Ovo je polje vektora zvanog "gradijent" f, koje se piše kao grad f ili Cf (simbol C se takođe naziva "nabla").

U slučaju tri dimenzije, konturne linije postaju površine. Mali pomak Dr (= iDx + jDy + kDz) dovodi do promjene f, koja se zapisuje kao

gdje tačke označavaju pojmove višeg reda. Ovaj izraz se može napisati kao tačkasti proizvod

Podijelite desnu i lijevu stranu ove jednakosti sa Ds, i neka Ds teži nuli; onda

gdje je dr/ds jedinični vektor u odabranom smjeru. Izraz u zagradama je vektor ovisno o odabranoj tački. Dakle, df/ds ima maksimalnu vrijednost kada dr/ds pokazuje u istom smjeru, izraz u zagradi je gradijent. Na ovaj način,

- vektor jednake veličine i poklapa se u pravcu sa maksimalnom brzinom promjene f u odnosu na koordinate. Gradijent f se često piše kao

To znači da operator C postoji sam po sebi. U mnogim slučajevima ponaša se kao vektor i zapravo je "vektorski diferencijalni operator" - jedan od najvažnijih diferencijalnih operatora u fizici. Uprkos činjenici da C sadrži jedinične vektore i, j i k, njegovo fizičko značenje ne zavisi od odabranog koordinatnog sistema. Kakav je odnos između Cf i f? Prije svega, pretpostavimo da f definira potencijal u bilo kojoj tački. Za bilo koji mali pomak Dr, vrijednost f će se promijeniti za

Ako je q veličina (na primjer, masa, naboj) koju pokreće Dr, tada je rad obavljen pri pomjeranju q za Dr jednak

Pošto je Dr pomak, qSf je sila; -Cf je napetost (sila po jedinici količine) povezana sa f. Na primjer, neka je U elektrostatički potencijal; tada je E jačina električnog polja, data formulom E = -SU. Pretpostavimo da je U kreiran tačkastim električnim nabojem od q kulona postavljenim na početku. Vrijednost U u tački P (x, y, z) sa vektorom radijusa r data je formulom

Gdje je e0 dielektrična konstanta slobodnog prostora. Zbog toga

odakle slijedi da E djeluje u pravcu r i njegova veličina je jednaka q/(4pe0r3). Poznavajući skalarno polje, može se odrediti pridruženo vektorsko polje. Moguće je i suprotno. Sa stanovišta matematičke obrade, skalarnim poljima je lakše upravljati od vektorskih, jer su data jednom funkcijom koordinata, dok vektorsko polje zahtijeva tri funkcije koje odgovaraju vektorskim komponentama u tri smjera. Stoga se postavlja pitanje: da li dato vektorsko polje možemo zapisati skalarno polje koje je s njim povezano?
Divergencija i rotor. Vidjeli smo rezultat C koji djeluje na skalarnu funkciju. Šta se dešava ako se C primeni na vektor? Postoje dvije mogućnosti: neka je U (x, y, z) vektor; tada možemo formirati križni i tačkasti proizvod na sljedeći način:

Prvi od ovih izraza je skalar koji se zove divergencija od U (označeno divU); drugi je vektor nazvan rotor U (označen kao rotU). Ove diferencijalne funkcije, divergencija i curl, široko se koriste u matematičkoj fizici. Zamislimo da je U neki vektor i da su on i njegovi prvi derivati ​​kontinuirani u nekom domenu. Neka je P tačka u ovoj oblasti okružena malom zatvorenom površinom S koja ograničava zapreminu DV. Neka je n jedinični vektor okomit na ovu površinu u svakoj tački (n mijenja smjer dok se kreće oko površine, ali uvijek ima jediničnu dužinu); neka n pokazuje prema van. Hajde da to pokažemo

Ovdje S označava da su ovi integrali preuzeti preko cijele površine, da je element površine S. Radi jednostavnosti, izabraćemo pogodan oblik S u obliku malog paralelepipeda (kao što je prikazano na slici 12) sa strane Dx, Dy i Dz; tačka P je centar paralelepipeda. Izračunamo integral iz jednačine (4) prvo preko jedne strane paralelepipeda. Za prednju stranu n = i (jedinični vektor je paralelan sa x-osom); Da = DyDz. Doprinos integralu sa prednje strane je jednak

Na suprotnoj strani n = -i; ovo lice doprinosi integralu

Koristeći Taylorovu teoremu, dobijamo ukupan doprinos dva lica

Imajte na umu da je DxDyDz = DV. Slično, može se izračunati doprinos druga dva para lica. Puni integral je jednak

i ako postavimo DV (r) na 0, onda članovi višeg reda nestaju. Prema formuli (2), izraz u zagradi je divU, što dokazuje jednakost (4). Jednakost (5) se može dokazati na isti način. Koristimo sl. 12; tada će doprinos prednje strane integralu biti jednak

I, koristeći Taylorovu teoremu, dobijamo da ukupni doprinos integralu od dva lica ima oblik

one. ovo su dva člana iz izraza za rotU u jednačini (3). Ostala četiri mandata će se dobiti nakon što se u obzir uzmu doprinosi ostalih četiri lica. Šta ti omjeri zapravo znače? Razmotrimo jednakost (4). Pretpostavimo da je U brzina (na primjer, tekućine). Tada je nČU da = Un da, gdje je Un normalna komponenta vektora U na površinu. Prema tome, Un da ​​je zapremina fluida koji protiče kroz da u jedinici vremena, a zapremina fluida koji teče kroz S po jedinici vremena. shodno tome,

Brzina širenja jedinice zapremine oko tačke P. Ovo je mesto gde divergencija dobija ime; pokazuje brzinu kojom se fluid širi iz (tj. odstupa od) P. Da biste objasnili fizičko značenje rotora U, razmotrite još jedan površinski integral preko malog cilindričnog volumena visine h koji okružuje P; ravni paralelne površine mogu se orijentirati u bilo kojem smjeru koji izaberemo. Neka je k jedinični vektor okomit na svaku površinu, a površina svake površine neka je DA; tada je ukupna zapremina DV = hDA (slika 13). Razmotrimo sada integral

Integrand je prethodno spomenuti trostruki skalarni proizvod. Ovaj proizvod će biti nula na ravnim površinama gdje su k i n paralelni. Na zakrivljenoj površini

Gdje je ds element krive kao što je prikazano na sl. 13. Upoređujući ove jednakosti sa relacijom (5), dobijamo da

I dalje pretpostavljamo da je U brzina. Kolika će biti prosječna ugaona brzina fluida oko k u ovom slučaju? Očigledno je da

ako DA nije jednak 0. Ovaj izraz je maksimalan kada k i rotU upućuju u istom smjeru; to znači da je rotU vektor jednak dvostrukoj ugaonoj brzini fluida u tački P. Ako se fluid rotira oko P, tada je rotU #0 i U vektori će se rotirati oko P. Otuda i naziv rotor. Teorema divergencije (Ostrogradsky-Gaussova teorema) je generalizacija formule (4) za konačne volumene. Ona navodi da je za neki volumen V omeđen zatvorenom površinom S,

Vektor je matematički objekat koji karakteriše pravac i veličina. U geometriji, vektor je segment u ravni ili u prostoru, koji ima svoj specifičan pravac i dužinu.

Vektorska notacija

Za označavanje vektora koristi se jedno malo slovo ili dva velika slova, koja odgovaraju početku i kraju vektora, dok se iznad slova prikazuje horizontalna crtica. Prvo slovo označava početak vektora, drugo - kraj (vidi sliku 1). Grafički prikaz vektora prikazuje strelicu koja pokazuje njegov smjer.

Koje su koordinate vektora na ravni i u prostoru?

Vektorske koordinate su koeficijenti jedine moguće linearne kombinacije baznih vektora u odabranom koordinatnom sistemu. Zvuči komplikovano, ali je zapravo prilično jednostavno. Uzmimo primjer.

Pretpostavimo da trebamo pronaći koordinate vektora a. Postavimo ga u trodimenzionalni koordinatni sistem (vidi sliku 2) i izvršimo projekcije vektora na svaku osu. Vektor a u ovom slučaju biće zapisan na sledeći način: a= a x i+ a y j+ a z k, gde su i, j, k bazni vektori, a x, a y, a z koeficijenti koji određuju koordinate vektora a. Sam izraz će se zvati linearna kombinacija. Na ravni (u pravokutnom koordinatnom sistemu) linearna kombinacija će se sastojati od dvije baze i koeficijenta.

Vektorski odnosi

U teoriji vektora postoji termin kao omjer vektora. Ovaj koncept definira lokaciju vektora u odnosu jedan prema drugom na ravni iu prostoru. Najpoznatiji specijalni slučajevi vektorskih odnosa su:

• kolinearnost;
• ko-usmjerenost;
• komplanarnost;
• jednakost.

Kolinearni vektori leže na istoj pravoj liniji ili su međusobno paralelni, kosmjerni vektori imaju isti smjer, koplanarni vektori se nalaze u istoj ravni ili u paralelnim ravnima, jednaki vektori imaju isti smjer i dužinu.

Vektor je usmjeren segment prave linije u Euklidskom prostoru, u kojem se jedan kraj (tačka A) naziva početak vektora, a drugi kraj (tačka B) kraj vektora (slika 1) . Vektori su označeni:

Ako su početak i kraj vektora isti, tada se vektor naziva nulti vektor i označeno 0 .

Primjer. Neka početak vektora u dvodimenzionalnom prostoru ima koordinate A(12,6) , a kraj vektora su koordinate B(12.6). Tada je vektor nulti vektor.

Dužina rezanja AB pozvao modul (dugo, norma) vektor i označava se sa | a|. Vektor dužine jednak jedan se zove jedinični vektor. Osim modula, vektor karakterizira smjer: vektor ima smjer od A to B. Vektor se zove vektor, suprotno vektor .

Dva vektora se nazivaju kolinearno ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima. Na sl. Od tada su 3 crvena vektora kolinearna leže na istoj pravoj liniji, a plavi vektori su kolinearni, jer leže na paralelnim pravima. Dva kolinearna vektora se nazivaju podjednako usmereno ako njihovi krajevi leže na istoj strani linije koja spaja njihove početke. Dva kolinearna vektora se nazivaju suprotnim pravcima ako njihovi krajevi leže na suprotnim stranama linije koja spaja njihove početke. Ako dva kolinearna vektora leže na istoj liniji, onda se oni nazivaju jednako usmjereni ako jedna od zraka koju formira jedan vektor u potpunosti sadrži zraku koju formira drugi vektor. Inače, vektori se nazivaju suprotno usmjereni. Na slici 3, plavi vektori su u istom smjeru, a crveni u suprotnom smjeru.

Dva vektora se nazivaju jednaka ako imaju jednake module i jednako su usmjereni. Na slici 2, vektori su jednaki jer njihovi moduli su jednaki i imaju isti smjer.

Vektori se nazivaju komplanarno ako leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima.

AT n U dimenzionalnom vektorskom prostoru, razmotrite skup svih vektora čija se početna tačka poklapa sa ishodištem. Tada se vektor može napisati u sljedećem obliku:

(1)

gdje x 1 , x 2 , ..., x n koordinate krajnje tačke vektora x.

Vektor zapisan u obliku (1) se zove vektor reda, a vektor napisan kao

(2)

pozvao vektor kolone.

Broj n pozvao dimenzija (u redu) vektor. Ako a tada se vektor zove nulti vektor(jer je početna tačka vektora ). Dva vektora x i y su jednaki ako i samo ako su im odgovarajući elementi jednaki.