Tema: Izračunavanje površine ravne figure pomoću određenog integrala

Zadaci: naučiti definiciju i formule za pronalaženje površine krivolinijskog trapeza;

razmotriti različite slučajeve pronalaženja površine krivolinijskog trapeza;

Biti u stanju izračunati površinu krivolinijskog trapeza.

Plan:

Krivolinijski trapez.

Formule za izračunavanje površine krivolinijskog trapeza.

Krivolinijski trapez naziva se figura koja je ograničena grafikom neprekidne, nenegativne funkcije f (x) na intervalu , segmentima x=a i x=b, kao i segmentom x-ose između tačaka a i b.

Slike krivolinijskih trapeza:

Sada prijeđimo na moguće opcije za lokaciju figura, čija se površina mora izračunati na koordinatnoj ravnini.

Prvo postojat će najjednostavnija opcija (prva slika), uobičajena krivolinijski trapez, kao u definiciji. Ovdje nema potrebe izmišljati ništa, samo uzmite integral a prije b od funkcije f(x). Pronalazimo integral - znat ćemo površinu ovog trapeza.


U sekunda opcija, naša figura će biti ograničena ne x-osom, već drugom funkcijom g(x). Stoga, pronaći područje CEFD, prvo trebamo pronaći područje AEFB(koristeći integral od f(x)), a zatim pronađite područje ACDB(koristeći integral od g(x)). I željeno područje figure CEFD, bit će razlika između prve i druge oblasti krivolinijskog trapeza. Kako su granice integracije ovdje iste, sve ovo se može napisati pod jednim integralom (vidi formule ispod slike) sve ovisi o složenosti funkcija, u kom slučaju će biti lakše pronaći integral.



Treće vrlo sličan prvom, ali samo je naš trapez postavljen, a ne preko x-osa, i ispod njega. Dakle, ovdje moramo uzeti isti integral, samo sa predznakom minus, jer će vrijednost integrala biti negativna, a vrijednost površine mora biti pozitivna. Ako umjesto funkcije f(x) preuzeti funkciju -f(x), tada će njegov graf biti isti jednostavno simetrično prikazan u odnosu na x-osu.


I četvrto opcija kada je dio naše figure iznad x-ose, a dio ispod nje. Stoga prvo moramo pronaći površinu figure AEFB, kao u prvoj verziji, a zatim područje figure A B C D, kao u trećoj opciji, a zatim ih dodajte. Kao rezultat, dobijamo površinu figure DEFC. Kako su granice integracije ovdje iste, sve ovo se može napisati pod jednim integralom (vidi formule ispod slike) sve ovisi o složenosti funkcija, u kom slučaju će biti lakše pronaći integral.

Pitanja za samoispitivanje:

Koji oblik se naziva krivolinijski trapez?

Kako pronaći površinu krivolinijskog trapeza?

Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure

Sada prelazimo na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak. Kako koristiti određeni integral za izračunavanje površine ravne figure. Konačno, oni koji traže smisao u višoj matematici – neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu, morat ćete približiti ljetnu kućicu s elementarnim funkcijama i pronaći njenu površinu koristeći određeni integral.

Da biste uspješno savladali gradivo, morate:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjem nivou. Stoga, lutke prvo treba da pročitaju lekciju Ne.

2) Biti u stanju primijeniti Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose sa određenim integralima Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo relevantnije pitanje. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnih elementarnih funkcija i, u najmanju ruku, moći izgraditi pravu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (mnogima je potrebno) uz pomoć metodološkog materijala i članka o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, problem pronalaženja površine pomoću određenog integrala svima je poznat još od škole, a mi ćemo ići malo ispred školskog programa. Ovaj članak možda uopće ne postoji, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada studenta omražena kula muči sa entuzijazmom dok savladava predmet više matematike.

Materijali ove radionice predstavljeni su jednostavno, detaljno i sa minimumom teorije.

Počnimo sa krivolinijskim trapezom.

Krivolinijski trapez naziva se ravna figura omeđena osom , pravim linijama i grafom funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral . Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu dovršiti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvi i najvažniji momenat odluke je izrada crteža. Štaviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvo bolje je konstruisati sve linije (ako ih ima) i samo poslije- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Grafove funkcija je isplativije izgraditi tačku po tačku, tehnikom pointwise konstrukcije može se naći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo možete pronaći i materijal koji je vrlo koristan u odnosu na našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Neću šrafirati krivolinijski trapez, jasno je o kojoj oblasti je ovdje riječ. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko ose, zbog toga:

odgovor:

Koji ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , pogledajte predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti otkucano, čini se da je istina. Sasvim je jasno da ako bismo imali, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena greška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama , , i osi

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Šta učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je krivolinijski trapez lociran ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može naći po formuli:
U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati ove dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, pa se stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate završiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. To se može uraditi na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednačinu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.
Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, dok se granice integracije otkrivaju kao „sama po sebi“. Tehnika konstrukcije tačku po tačku za različite grafikone detaljno je razmotrena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ipak ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s navojem nije otkrila granice integracije (mogu biti razlomke ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se kod poentične konstrukcije granice integracije najčešće otkrivaju „automatski“.

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veći ili jednak neka kontinuirana funkcija, tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i pravih linija, može naći po formuli:

Ovdje više nije potrebno razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je grafikon IZNAD(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura je ograničena parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule . Budući da je os dana jednadžbom , a graf funkcije se nalazi ne viši sjekire, dakle

A sada par primjera za samostalnu odluku

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure zatvorene linijama , .

U toku rješavanja zadataka za izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je napravljen ispravno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje ... pronašao površinu pogrešne figure, tako je tvoj poslušni sluga nekoliko puta zeznuo. Evo slučaja iz stvarnog života:

Primjer 7

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Rješenje: Hajde da prvo napravimo crtež:

…Eh, crtež je ispao sranje, ali sve izgleda čitljivo.

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar", da morate pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelenom bojom!

Ovaj primjer je koristan i po tome što se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala. stvarno:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se pravolinijski grafik;

2) Na segmentu iznad ose je graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

odgovor:

Pređimo na još jedan značajniji zadatak.

Primjer 8

Izračunajte površinu figure ograničene linijama,
Hajde da predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku i napravimo crtanje tačku po tačku:

Iz crteža se vidi da je naša gornja granica „dobra“: .
Ali koja je donja granica? Jasno je da ovo nije cijeli broj, ali šta? Možda ? Ali gdje je garancija da je crtež napravljen sa savršenom preciznošću, može se ispostaviti da je tako. Ili root. Šta ako uopće nismo dobili grafik?

U takvim slučajevima potrebno je potrošiti dodatno vrijeme i analitički precizirati granice integracije.

Nađimo tačke preseka prave i parabole.
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:


,

Zaista, .

Dalje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima, kalkulacije ovdje nisu najlakše.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Pa, na kraju lekcije, razmotrit ćemo dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , ,

Rješenje: Nacrtajte ovu figuru na crtežu.

Prokletstvo, zaboravio sam da se potpišem na rasporedu, i prepravljam sliku, sorry, ne hotz. Nije crtež, ukratko, danas je dan =)

Za konstrukciju tačku po tačku potrebno je znati izgled sinusoida (a općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se naći u trigonometrijska tabela. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju), dozvoljeno je napraviti šematski crtež, na kojem se grafovi i granice integracije moraju u principu ispravno prikazati.

Ovdje nema problema sa granicama integracije, one slijede direktno iz uslova: - "x" se mijenja od nule do "pi". Donosimo dalju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad ose, dakle:

Figura ograničena grafikom neprekidne nenegativne funkcije $f(x)$ na intervalu $$ i linijama $y=0, \ x=a$ i $x=b$ naziva se krivolinijski trapez.

Površina odgovarajućeg krivolinijskog trapeza izračunava se po formuli:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Probleme pronalaženja površine krivolinijskog trapeza uslovno ćemo podijeliti na tipove od 4$. Razmotrimo svaku vrstu detaljnije.

Tip I: krivolinijski trapez je dat eksplicitno. Zatim odmah primijenite formulu (*).

Na primjer, pronađite površinu krivolinijskog trapeza ograničenu grafom funkcije $y=4-(x-2)^(2)$ i linijama $y=0, \ x=1$ i $x =3$.

Nacrtajmo ovaj krivolinijski trapez.

Primjenom formule (*) nalazimo površinu ovog krivolinijskog trapeza.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\levo((1)^(3)-(-1)^(3)\desno) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip II: krivolinijski trapez je specificiran implicitno. U ovom slučaju, prave linije $x=a, \ x=b$ obično nisu specificirane ili su djelimično specificirane. U ovom slučaju, morate pronaći točke presjeka funkcija $y=f(x)$ i $y=0$. Ove tačke će biti tačke $a$ i $b$.

Na primjer, pronađite područje figure ograničeno grafovima funkcija $y=1-x^(2)$ i $y=0$.

Hajde da pronađemo tačke preseka. Da bismo to učinili, izjednačavamo prave dijelove funkcija.

Dakle, $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo ovaj krivolinijski trapez.

Pronađite površinu ovog krivolinijskog trapeza.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \levo(1+1\desno) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip III: površina figure ograničena presjekom dviju neprekidnih nenegativnih funkcija. Ova brojka neće biti krivolinijski trapez, što znači da pomoću formule (*) ne možete izračunati njegovu površinu. Kako biti? Ispada da se površina ove figure može naći kao razlika između površina krivolinijskih trapeza ograničenih gornjom funkcijom i $y=0$ ($S_(uf)$) i donjom funkcijom i $y= 0$ ($S_(lf)$), pri čemu ulogu $x=a, \ x=b$ imaju $x$ koordinate presječnih tačaka ovih funkcija, tj.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Najvažnija stvar pri izračunavanju takvih površina je da ne “promašite” sa izborom gornje i donje funkcije.

Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu funkcijama $y=x^(2)$ i $y=x+6$.

Nađimo tačke preseka ovih grafova:

Prema Vietovoj teoremi,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

To jest, $a=-2, \ b=3$. Nacrtajmo figuru:

Dakle, gornja funkcija je $y=x+6$, a donja je $y=x^(2)$. Zatim pronađite $S_(uf)$ i $S_(lf)$ koristeći formulu (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\levo.\frac(x^(2))(2)\desno|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (jedinica $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Zamjena pronađena u (**) i dobijete:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jedinica $^(2)$).

Tip IV: površina figure ograničena funkcijom(ama) koja ne zadovoljava uvjet nenegativnosti. Da biste pronašli površinu takve figure, morate biti simetrični oko ose $Ox$ ( drugim riječima, stavite "minuse" ispred funkcija) prikažite područje i, koristeći metode opisane u tipovima I - III, pronađite područje prikazanog područja. Ovo područje će biti potrebno područje. Prvo, možda ćete morati pronaći točke presjeka grafova funkcija.

Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu grafovima funkcija $y=x^(2)-1$ i $y=0$.

Nađimo točke presjeka grafova funkcija:

one. $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo područje.

Prikažimo područje simetrično:

$y=0 \ \Strelica desno \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Strelica desno \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Dobijate krivolinijski trapez omeđen grafikom funkcije $y=1-x^(2)$ i $y=0$. Ovo je problem nalaženja krivolinijskog trapeza drugog tipa. Već smo to riješili. Odgovor je bio: $S= 1\frac(1)(3)$ (jedinice $^(2)$). Dakle, površina željenog krivolinijskog trapeza jednaka je:

$S=1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Razmotrimo krivolinijski trapez omeđen osom Ox, krivulju y = f (x) i dvije prave: x = a i x = b (slika 85). Uzmite proizvoljnu vrijednost x (samo ne a i ne b). Dajmo mu prirast h = dx i razmotrimo traku ograničenu pravim linijama AB i CD, osom Ox i lukom BD koji pripada krivoj koja se razmatra. Ova traka će se zvati elementarna traka. Površina elementarne trake razlikuje se od površine pravokutnika ACQB zakrivljenim trokutom BQD, a površina potonjeg je manja od površine pravokutnika BQDM sa stranicama BQ = =h= dx) QD=Ay i površina jednaka hAy = Ay dx. Kako se strana h smanjuje, tako se smanjuje i strana Du i istovremeno sa h teži nuli. Stoga je površina BQDM beskonačno mala drugog reda. Površina elementarne trake je prirast površine, a površina pravougaonika ACQB, jednaka AB-AC==/(x) dx> je diferencijalna površina. Dakle, nalazimo samo područje integracijom njegovog diferencijala. U granicama prikazane slike, nezavisna varijabla l: mijenja se iz a u b, pa će tražena površina 5 biti jednaka 5= \f (x) dx. (I) Primjer 1. Izračunajte površinu ograničenu parabolom y - 1 -x *, pravim linijama X = Fj-, x = 1 i osom O * (Sl. 86). na sl. 87. Fig. 86. 1 Ovdje je f(x) = 1 - l?, granice integracije a = - i t = 1, dakle 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primjer 2. Izračunajte površinu ograničenu sinusoidom y = sinXy, osa Ox i prava linija (slika 87). Primjenom formule (I) dobijamo L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf sa Ox osom (na primjer, između početka i tačke sa apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dvostruko veće od površine prethodnog primjera. Međutim, hajde da uradimo proračune: i 5= | s \ nxdx = [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Doista, naša se pretpostavka pokazala pravednom. Primjer 4. Izračunajte površinu ograničenu sinusoidom i ^ osom Ox na jednoj periodi (Sl. 88). Preliminarne prosudbe ras-figure sugeriraju da će se ispostaviti da će površina biti četiri puta veća nego u pr. 2. Međutim, nakon izvršenih proračuna, dobijamo „i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da bismo razjasnili suštinu stvari, također izračunavamo površinu ograničenu istom sinusoidom y = sin l: i osom Ox u rasponu od l do 2n. Primjenom formule (I) dobijamo Dakle, vidimo da je ova oblast ispala negativna. Upoređujući ga s površinom izračunatom u primjeru 3, nalazimo da su njihove apsolutne vrijednosti iste, ali su predznaci različiti. Ako primenimo svojstvo V (videti Pogl. XI, § 4), dobijamo slučajno. Uvijek se površina ispod x-ose, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja s lijeva na desno, dobiva izračunavanjem pomoću negativnih integrala. U ovom kursu uvijek ćemo uzeti u obzir nepotpisana područja. Stoga će odgovor u upravo analiziranom primjeru biti sljedeći: tražena površina je jednaka 2 + |-2| = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu BAB prikazane na sl. 89. Ova oblast je ograničena osom Ox, parabolom y = - xr i pravom linijom y - = -x + \. Područje krivolinijskog trapeza Tražena površina OAB sastoji se od dva dijela: OAM i MAB. Pošto je tačka A tačka preseka parabole i prave linije, njene koordinate ćemo pronaći rešavanjem sistema jednadžbi 3 2 Y = mx. (treba nam samo pronaći apscisu tačke A). Rješavajući sistem, nalazimo l; =~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prvi pl. OAM, a zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [zamjena:

] =

Dakle, nepravilni integral konvergira i njegova vrijednost je jednaka .