Kada su vektori okomiti. Pronalaženje vektora okomitog na dati vektor, primjeri i rješenja

Uputstvo

Ako je originalni vektor na crtežu prikazan u pravougaonom dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu, a na istom mestu je potrebno izgraditi okomit, poći od definicije okomitosti vektora na ravan. Navodi da ugao između takvog para usmjerenih segmenata mora biti jednak 90°. Moguće je konstruisati beskonačan broj takvih vektora. Dakle, nacrtajte bilo koju povoljna lokacija ravan okomita na originalni vektor, odvojite segment na njemu, jednaka dužini dat uređeni par tačaka i jedan od njegovih krajeva dodijeli kao početak okomiti vektor. Učinite to kutomjerom i ravnalom.

Ako je originalni vektor zadan dvodimenzionalnim koordinatama ā = (X₁;Y₁), polazite od činjenice da skalarni proizvod para okomitih vektora mora biti jednak nuli. To znači da za željeni vektor ō = (X₂,Y₂) treba izabrati takve koordinate na kojima će vrijediti jednakost (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Ovo se može učiniti ovako: izaberite bilo koja vrijednost različita od nule za X₂ koordinatu i izračunajte Y₂ koordinate koristeći formulu Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Na primjer, za vektor ā = (15;5) postojat će vektor ō, sa apscisom, jednako jedan, a ordinata jednaka -(15*1)/5 = -3, tj. ō = (1;-3).

Za trodimenzionalni i bilo koji drugi ortogonalni koordinatni sistem važi isti neophodan i dovoljan uslov za okomitost vektora - njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli. Stoga, ako je originalni usmjereni segment zadan koordinatama ā = (X₁,Y₁,Z₁), za uređeni par tačaka ō = (X₂,Y₂,Z₂) okomito na njega, odaberite koordinate koje zadovoljavaju uvjet (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Najlakši način je dodijeliti pojedinačne vrijednosti X₂ i Y₂ i izračunati Z₂ iz pojednostavljene jednačine Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Na primjer, za vektor ā = (3,5,4) ovo će imati sljedeći oblik: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Zatim uzmite apscisu i ordinatu okomiti vektor kao jedinica, au ovom slučaju će biti jednak -(3+5)/4 = -2.

Izvori:

• nađi vektor ako je okomit

Okomite se nazivaju vektor, ugao između kojih je 90º. Okomiti vektori se grade pomoću alata za crtanje. Ako su njihove koordinate poznate, onda možete provjeriti ili pronaći okomitost vektora analitičke metode.

Trebaće ti

• - kutomjer;
• - kompas;
• - vladar.

Uputstvo

Konstruisati vektor okomit na dati. Da biste to učinili, u tački koja je početak vektora, vratite okomitu na njega. To se može učiniti kutomjerom, ostavljajući ugao od 90º. Ako nema kutomjera, napravite ga šestarom.

Postavite ga na početnu tačku vektora. Nacrtajte krug proizvoljnog radijusa. Zatim izgradite dva centrirana u tačkama gdje prvi krug siječe liniju na kojoj leži vektor. Polumjeri ovih kružnica moraju biti međusobno jednaki i veći od prve konstruirane kružnice. U tačkama preseka kružnica konstruišite pravu liniju koja će biti okomita na prvobitni vektor u tački njegovog početka, i na njoj odvojite vektor okomit na dati.

Ovaj članak otkriva značenje okomitosti dva vektora na ravni u trodimenzionalnom prostoru i pronalaženje koordinata vektora okomitog na jedan ili cijeli par vektora. Tema je primjenjiva na probleme koji se odnose na jednačine pravih i ravni.

Razmotrićemo neophodan i dovoljan uslov da dva vektora budu okomiti, odlučiti se za način nalaženja vektora okomitog na dati i dotaknuti se situacije u pronalaženju vektora koji je okomit na dva vektora.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neophodan i dovoljan uslov da dva vektora budu okomiti

Primijenimo pravilo o okomitim vektorima na ravni i u trodimenzionalnom prostoru.

Definicija 1

S obzirom da je vrijednost ugla između dva vektora različita od nule jednaka 90° (π 2 radijana) naziva se okomito.

Šta to znači i u kojim situacijama je potrebno znati njihovu okomitost?

Uspostavljanje okomitosti moguće je kroz crtež. Kada crtate vektor na ravni iz datih tačaka, možete geometrijski izmjeriti ugao između njih. Okomitost vektora, ako je uspostavljena, nije sasvim tačna. Stoga vam ovi zadaci najčešće ne dopuštaju da to učinite kutomjerom ovu metodu primjenjiv samo kada ništa drugo nije poznato o vektorima.

Većina slučajeva dokazivanja okomitosti dva vektora različita od nule na ravni ili u prostoru radi se pomoću neophodan i dovoljan uslov za okomitost dva vektora.

Teorema 1

Skalarni proizvod dva vektora različita od nule a → i b → jednaka nuli da bi se ispunila jednakost a → , b → = 0 je dovoljna za njihovu okomitost.

Dokaz 1

Neka su dati vektori a → i b → okomiti, tada ćemo dokazati jednakost a ⇀ , b → = 0 .

Iz definicije tačkasti proizvod vektora znamo da je jednako proizvod dužina datih vektora i kosinusa ugla između njih. Po uslovu, a → i b → su okomiti, pa je, prema definiciji, ugao između njih 90°. Tada imamo a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Drugi dio dokaza

Pod uslovom kada je a ⇀ , b → = 0 dokazati okomitost a → i b → .

U stvari, dokaz je obrnut od prethodnog. Poznato je da su a → i b → različiti od nule, pa iz jednakosti a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ nalazimo kosinus. Tada dobijamo cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Pošto je kosinus nula, možemo zaključiti da je ugao a → , b → ^ vektora a → i b → 90°. Po definiciji, ovo je neophodno i dovoljno svojstvo.

Okomito stanje na koordinatnoj ravni

Poglavlje tačkasti proizvod u koordinatama pokazuje nejednakost (a → , b →) = a x b x + a y b y , koja važi za vektore sa koordinatama a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) , na ravni i (a → , b → ) = a x b x + a y b y za vektore a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) u prostoru. Neophodan i dovoljan uslov da dva vektora budu okomita koordinatna ravan ima oblik a x b x + a y b y = 0 , za trodimenzionalni prostor a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Hajde da to primenimo u praksi i pogledajmo primere.

Primjer 1

Provjerite svojstvo okomitosti dva vektora a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Rješenje

Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći skalarni proizvod. Ako će po uslovu biti jednako nuli, onda su oni okomiti.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Uslov je zadovoljen, što znači da su dati vektori okomiti na ravan.

odgovor: da, dati vektori a → i b → su okomiti.

Primjer 2

Dati koordinatni vektori i → , j → , k → . Provjerite da li vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → mogu biti okomiti.

Rješenje

Da biste zapamtili kako se određuju koordinate vektora, morate pročitati članak o tome vektorske koordinate u pravougaoni sistem koordinate. Tako dobijamo da dati vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → imaju odgovarajuće koordinate (1, - 1, 0) i (1, 2, 2). Zamena numeričke vrijednosti i dobijamo: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Izraz nije nula, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , što znači da vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomito jer uslov nije zadovoljen.

odgovor: ne, vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomiti.

Primjer 3

Dati vektori a → = (1 , 0 , - 2) i b → = (λ , 5 , 1) . Odrediti vrijednost λ za koju su dati vektori okomiti.

Rješenje

Koristimo uslov okomitosti dva vektora u prostoru u kvadratni oblik, onda dobijamo

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

odgovor: vektori su okomiti na vrijednosti λ = 2.

Postoje slučajevi kada je pitanje okomitosti nemoguće čak i pod neophodnim i dovoljnim uslovom. Sa poznatim podacima o tri strane trougla na dva vektora, moguće je pronaći ugao između vektora i provjeri.

Primjer 4

Dat je trokut A B C sa stranicama A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Provjerite okomite vektore A B → i A C →.

Rješenje

Kada su vektori A B → i A C → okomiti, trougao A B C se smatra pravougaonim. Zatim primjenjujemo Pitagorinu teoremu, gdje je BC hipotenuza trougla. Jednakost B C 2 = A B 2 + A C 2 mora biti zadovoljena. Iz toga slijedi da je 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Dakle, A B i A C su katete trougla A B C, pa su A B → i A C → okomite.

Važno je naučiti kako pronaći koordinate vektora okomitog na dati. To je moguće i na ravni i u prostoru, pod uslovom da su vektori okomiti.

Pronalaženje vektora okomitog na dati u ravni.

Vektor različit od nule a → može imati beskonačan broj okomitih vektora u ravni. Hajde da ga predstavimo na koordinatnoj liniji.

Dat je vektor različit od nule a → , koji leži na pravoj a. Tada data b → , koja se nalazi na bilo kojoj pravoj okomitoj na pravu a, postaje okomita i a → . Ako je vektor j → ili bilo koji od vektora λ j → okomit na vektor i → sa λ jednako bilo kojoj pravi broj osim nule, tada se pronalaženje koordinata vektora b → okomito na a → = (a x, a y) svodi na beskonačan skup rješenja. Ali potrebno je pronaći koordinate vektora okomitog na a → = (a x , a y) . Da biste to učinili, potrebno je zapisati uslov okomitosti vektora u obliku a x · b x + a y · b y = 0 . Imamo b x i b y , koje su željene koordinate okomitog vektora. Kada je a x ≠ 0, vrijednost b y je različita od nule i b x se izračunava iz nejednakosti a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Kada je a x = 0 i a y ≠ 0, dodjeljujemo b x bilo koju vrijednost osim nule, a b y se nalazi iz izraza b y = - a x · b x a y .

Primjer 5

Dat je vektor sa koordinatama a → = (- 2 , 2) . Naći vektor okomit na dati.

Rješenje

Označite željeni vektor kao b → (b x , b y) . Njegove koordinate možete pronaći iz uslova da su vektori a → i b → okomiti. Tada dobijamo: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Dodijeli b y = 1 i zamijeni: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Dakle, iz formule dobijamo b x = - 2 - 2 = 1 2 . Dakle, vektor b → = (1 2 , 1) je vektor okomit na a → .

odgovor: b → = (1 2 , 1) .

Ako se postavi pitanje trodimenzionalnog prostora, problem se rješava po istom principu. At dati vektor a → = (a x , a y , a z) postoji beskonačan skup okomiti vektori. Popravit će to na koordinatama trodimenzionalna ravan. Zadano a → leži na pravoj a . Ravan okomita na pravu a je označena sa α. U ovom slučaju, bilo koji vektor različit od nule b → iz ravni α je okomit na a → .

Potrebno je pronaći koordinate b → okomito na vektor različit od nule a → = (a x , a y , a z) .

Neka je b → dat sa koordinatama b x , b y i b z . Da bismo ih pronašli, potrebno je primijeniti definiciju uvjeta okomitosti dvaju vektora. Jednakost a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 mora vrijediti. Iz uslova a → - nije nula, što znači da jedna od koordinata ima vrijednost koja nije jednaka nuli. Pretpostavimo da je a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 ili a z ≠ 0). Dakle, imamo pravo podijeliti cijelu nejednakost a x b x + a y b y + a z b z = 0 ovom koordinatom, dobićemo izraz b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Dodjeljujemo bilo koju vrijednost koordinatama b y i b x , izračunavamo vrijednost b x , na osnovu formule, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Željeni okomiti vektor će imati vrijednost a → = (a x, a y, a z).

Pogledajmo dokaz na primjeru.

Primjer 6

Dat je vektor sa koordinatama a → = (1 , 2 , 3) ​​  . Naći vektor okomit na dati.

Rješenje

Označite željeni vektor kao b → = (b x , b y , b z) . Na osnovu uslova da su vektori okomiti, skalarni proizvod mora biti jednak nuli.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Ako je vrijednost b y = 1 , b z = 1 , tada je b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Iz toga slijedi da su koordinate vektora b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → je jedan od vektora okomitih na dati.

odgovor: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Pronalaženje koordinata vektora okomitog na dva data vektora

Morate pronaći koordinate vektora u trodimenzionalnom prostoru. Ona je okomita na nekolinearne vektore a → (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Pod uslovom da su vektori a → i b → kolinearni, u zadatku će biti dovoljno pronaći vektor okomit na a → ili b → .

Prilikom rješavanja koristi se koncept vektorskog proizvoda vektora.

Unakrsni proizvod vektora a → i b → je vektor koji je istovremeno okomit na a → i b → . Za rješavanje ovog problema koristi se vektorski proizvod a → × b →. Za trodimenzionalni prostor ima oblik a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Analizirajmo vektorski proizvod detaljnije koristeći primjer problema.

Primjer 7

Dati su vektori b → = (0, 2, 3) i a → = (2, 1, 0). Pronađite koordinate bilo kojeg okomitog vektora na podatke u isto vrijeme.

Rješenje

Da biste to riješili, morate pronaći unakrsni proizvod vektora. (Mora se odnositi na paragraf proračuni matričnih determinanti pronaći vektor). Dobijamo:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

odgovor: (3 , - 6 , 4) - koordinate vektora koji je istovremeno okomit na date a → i b → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Uvjet okomitosti vektora

Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov dot proizvod jednak nuli.

Dana su dva vektora a(xa;ya) i b(xb;yb). Ovi vektori će biti okomiti ako je izraz xaxb + yayb = 0.

Vektori su paralelni ako je njihov unakrsni proizvod nula

Jednačina prave linije na ravni. Osnovni zadaci na pravoj liniji u ravni.

Bilo koja prava linija na ravni može se dati jednačinom prvog reda Ax + Vy + C = 0, a konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A2 + B2  0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina ravno. Ovisno o vrijednostima konstanta A, B i C mogući su sljedeći posebni slučajevi: - C = 0, A  0, B  0 - prava prolazi kroz početak - A = 0, B  0, C  0 ( Po

C \u003d 0) - prava linija je paralelna s osi Ox - B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - ravna linija je paralelna s osom Oy - B \u003d C \u003d 0, A  0 - prava linija se poklapa sa osom Oy - A \u003d C \u003d 0, B  0 - prava linija se poklapa sa osom Ox Jednačina prave linije može se predstaviti u razne forme zavisno od datih početnih uslova.

Ako je barem jedan od koeficijenata A, B, C ur-i Ax+By+C=0 je 0, ur-e
pozvao nepotpuna. Po obliku jednačine prave linije može se suditi o njenom položaju
prokletstvo ohh. Mogući slučajevi:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) zadovoljava ovu jednačinu, što znači prava
prolazi kroz ishodište
2 A=0 L: Wu+C=0 - normalan v-r n=(0,B) je odavde okomito na OX osu
slijedi da je prava paralelna sa x-osi
3 V = 0 L: Ay + C = 0 0 - normalna v-r n = (A, 0) je okomita na osu OY odavde
slijedi da je prava paralelna y-osi
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - ne prolazi kroz ishodište i seče
obe ose.

Jednačina ravno　u avionu prolazeći kroz dva date bodove i :

Ugao između ravnina.

Izračunavanje determinanti

Izračunavanje determinanti zasniva se na njihovim poznatim svojstvima, koja se odnose na determinante svih redova. Ova svojstva su:

1. Ako preuredite dva reda (ili dvije kolone) determinante, tada će determinanta promijeniti predznak.

2. Ako su odgovarajući elementi dva stupca (ili dva reda) determinante jednaki ili proporcionalni, onda je determinanta jednaka nuli.

3. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se redovi i kolone zamjene, čuvajući njihov redoslijed.

4. Ako svi elementi bilo kog reda (ili kolone) imaju zajednički faktor, onda se može izbaciti iz predznaka determinante.

5. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (ili kolone) dodaju elementima jednog reda (ili kolone), pomnoženim istim brojem.

Matrica i akcija na njima

Matrix- matematički objekat napisan kao pravokutna tablica brojeva (ili prstenastih elemenata) i koji omogućava algebarske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje, itd.) između njega i drugih sličnih objekata. Obično su matrice predstavljene dvodimenzionalnim (pravokutnim) tablicama. Ponekad se razmatraju višedimenzionalne matrice ili nepravokutne matrice.

Matrica se obično označava veliko slovo latinica i dodijelite zagradama "(...)" (postoji i izbor uglaste zagrade"[…]" ili dvostruke prave linije "||…||").

Brojevi koji čine matricu (elementi matrice) često se označavaju istim slovom kao i sama matrica, ali malim slovima (na primjer, a11 je element matrice A).

Svaki element matrice ima 2 indeksa (aij) - prvi "i" označava broj reda u kojem se element nalazi, a drugi "j" je broj kolone. Kažu "matrica dimenzija", što znači da matrica ima m redova i n kolona. Uvek u istoj matrici

Matrične operacije

Neka su aij elementi matrice A i bij elementi matrice B.

Linearne operacije:

Množenje matrice A brojem λ (oznaka: λA) sastoji se od konstruisanja matrice B čiji se elementi dobijaju množenjem svakog elementa matrice A ovim brojem, odnosno svaki element matrice B je jednak to

Sabiranje matrica A + B je operacija pronalaženja matrice C čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrice A i B, odnosno svaki element matrice C jednak je

Oduzimanje matrica A − B definira se slično kao sabiranje, to je operacija pronalaženja matrice C čiji elementi

Zbrajanje i oduzimanje su dozvoljeni samo za matrice iste veličine.

Postoji nulta matrica Θ takva da njeno dodavanje drugoj matrici A ne mijenja A, tj.

Svi elementi nulte matrice su jednaki nuli.

Nelinearne operacije:

Množenje matrice (oznaka: AB, rijetko sa predznakom množenja) je operacija za izračunavanje matrice C, čiji su elementi jednaki zbroju proizvoda elemenata u odgovarajućem redu prvog faktora i stupcu matrice second.cij = ∑ aikbkj k

Prvi množitelj mora imati onoliko kolona koliko ima redova u drugom. Ako matrica A ima dimenziju B - , tada je dimenzija njihovog proizvoda AB = C. Množenje matrice nije komutativno.

Množenje matrice je asocijativno. Samo kvadratne matrice se mogu podići na stepen.

Transpozicija matrice (simbol: AT) je operacija u kojoj se matrica reflektuje duž glavne dijagonale, tj.

Ako je A matrica veličine, onda je AT matrica veličine

Derivat složena funkcija

Kompleksna funkcija ima oblik: F(x) = f(g(x)), tj. je funkcija funkcije. Na primjer, y = sin2x, y = ln(x2+2x), itd.

Ako je u tački x funkcija g (x) izvod g "(x), a u tački u \u003d g (x) funkcija f (u) ima izvod f" (u), tada je izvod od kompleksna funkcija f (g (x)) u tački x postoji i jednaka je f"(u)g"(x).

Derivat implicitna funkcija

U mnogim problemima, funkcija y(x) je specificirana na indirektan način. Na primjer, za funkcije ispod

nemoguće je eksplicitno dobiti zavisnost y(x).

Algoritam za izračunavanje derivacije y "(x) implicitne funkcije je sljedeći:

Prvo, trebate razlikovati obje strane jednadžbe u odnosu na x, pod pretpostavkom da je y diferencijabilna funkcija od x i koristeći pravilo za izračunavanje izvoda kompleksne funkcije;

Riješi rezultirajuću jednadžbu s obzirom na izvod y "(x).

Pogledajmo nekoliko primjera za ilustraciju.

Razlikujte funkciju y(x) datu jednadžbom.

Razlikujte obje strane jednadžbe s obzirom na varijablu x:

što dovodi do rezultata

Lapitalovo pravilo

L'Hopitalovo pravilo. Neka f-cija f(x) i g(x) ima u env. t-ki x0 pr-nye f‘ i g‘ isključujući mogućnost ovog samog t-ku x0. Neka je lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 tako da f(x)/g(x) za x®x0 daje 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) kada se poklapa sa granicom omjera funkcije lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Kriterij za monotonost funkcije koja ima izvod na intervalu) Neka funkcija kontinuirano uključeno

(a,b), i ima derivaciju f"(x) u svakoj tački. Tada

1)f se povećava za (a,b) ako i samo ako

2) opada na (a,b) ako i samo ako

2. (Dovoljno stanje stroga monotonost funkcije koja ima izvod na intervalu) Neka funkcija je kontinuiran na (a,b) i ima derivaciju f"(x) u svakoj tački. Tada

1) ako je tada f strogo rastuća na (a,b);

2) ako je tada f striktno opadajuća na (a,b).

Obratno uglavnom nije tačno. Izvod striktno monotone funkcije može nestati. Međutim, skup tačaka u kojima derivacija nije jednaka nuli mora biti gust na intervalu (a,b). Tačnije, odvija se.

3. (Kriterijum za strogu monotonost funkcije koja ima izvod na intervalu) Neka a derivacija f"(x) je definirana svuda na intervalu. Tada f striktno raste na intervalu (a,b) ako i samo ako su ispunjena sljedeća dva uslova:

Skalarni proizvod vektora. Ugao između vektora. Uvjet paralelizma ili okomitosti vektora.

Skalarni proizvod vektora je proizvod njihovih dužina i kosinusa ugla između njih:

Na potpuno isti način kao u planimetriji, dokazuju se sljedeće tvrdnje:

Skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ti vektori okomiti.

Tačkasti kvadrat vektora, tj. tačkasti proizvod sebe i sebe, jednak je kvadratu njegove dužine.

Skalarni proizvod dva vektora i dan njihovim koordinatama može se izračunati po formuli

Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov dot proizvod jednak nuli. Primjer. S obzirom na dva vektora i . Ovi vektori će biti okomiti ako je izraz x1x2 + y1y2 = 0. Ugao između vektora koji nisu nula je ugao između linija za koje su ovi vektori vodilice. Ugao između bilo kojeg vektora i nultog vektora se, po definiciji, smatra jednakim nuli. Ako je ugao između vektora 90°, onda se takvi vektori nazivaju okomiti. Ugao između vektora će biti označen na sljedeći način: