Vibracije i talasi. prigušene vibracije

Poglavlje 5

VREMENSKA ZAVISNOST AMPLITUDA

§ 1. Atomi u mirovanju; stacionarna stanja

§ 2. Ujednačeno kretanje

§ 3. Potencijalna energija; očuvanje energije

§ 4. Snage; klasična granica

§ 5. "Precesija" čestice sa spinom 1/2

ponoviti: ch. 17 (br. 2) "Prostor-vrijeme"; ch. 48 (4. izdanje) "Beats"

§ 1. Atomi u mirovanju; stacionarna stanja

Sada želimo malo razgovarati o tome kako se amplitude vjerovatnoće ponašaju tokom vremena. Kažemo "malo" jer, zapravo, ponašanje u vremenu nužno uključuje i ponašanje u prostoru. Dakle, u želji da sa svom tačnošću i detaljima opišemo ponašanje, odmah se nalazimo u veoma teškoj poziciji. Pred nama se javlja naša stalna poteškoća - ili da proučavamo nešto strogo logički, ali apsolutno apstraktno, ili da ne razmišljamo o strogosti, već da damo neku ideju o pravom stanju stvari, odlažući temeljitije proučavanje za kasnije. Sada, kada govorimo o zavisnosti amplituda od energije, namjeravamo izabrati drugu metodu. Biće dat niz izjava. Pri tome nećemo težiti da budemo rigorozni, već ćemo vam jednostavno reći šta je pronađeno kako biste mogli osjetiti kako se amplitude ponašaju tokom vremena. Kako budemo napredovali, tačnost opisa će se povećavati, stoga nemojte biti nervozni što vidite kako mađioničar izvlači stvari iz zraka. Oni zaista dolaze iz nečeg nematerijalnog – iz duha eksperimenta i iz mašte mnogih ljudi. Ali prolazak kroz sve faze istorijskog razvoja subjekta je veoma duga stvar, nešto će jednostavno morati da se preskoči. Moglo bi se uroniti u apstrakcije i sve strogo zaključiti (ali teško da biste to razumjeli) ili proći kroz mnoge eksperimente, potvrđujući svaku svoju tvrdnju njima. Mi ćemo izabrati nešto između.

Jedan elektron u praznom prostoru može, pod određenim uslovima, imati dobro definisanu energiju.Na primer, ako miruje (tj. nema ni pomeranje, ni impuls, ni kinetičku energiju), onda ima energiju mirovanja. Složeniji objekat, kao što je atom, takođe može, u mirovanju, imati određenu energiju, ali se može ispostaviti i da je interno pobuđen - uzbuđen na drugačiji energetski nivo. (Mehanizam za ovo ćemo opisati kasnije.) Često smo opravdani u pretpostavci da atom u pobuđenom stanju ima određenu energiju; međutim, u stvarnosti je to tačno samo približno. Atom ne ostaje zauvek uzbuđen, jer uvek nastoji da isprazni svoju energiju interakcijom sa elektromagnetnim poljem. Dakle, uvijek postoji određena amplituda da će nastati novo stanje - s atomom u najnižem stanju pobuđenosti i elektromagnetnim poljem u najvišem. Ukupna energija sistema prije i poslije je ista, ali energija atom smanjuje se. Dakle, nije baš tačno reći da pobuđeni atom ima siguran energija; ali često je zgodno reći tako i nije baš pogrešno.

[Usput, zašto sve teče u jednom pravcu, a ne u drugom? Zašto atom emituje svetlost? Odgovor ima veze sa entropijom.Kada je energija u elektromagnetnom polju, postoji toliko različitih puteva pred njom - toliko različitih mesta na koja može doći - da smo, tražeći ravnotežni uslov, uvereni da je u najverovatnije položaj polje se ispostavlja da je pobuđeno jednim fotonom, a atom - nepobuđen. A fotonu je potrebno dosta vremena da se vrati i otkrije da može pobuditi atom nazad.Ovo je potpuno analogno klasičnom problemu: zašto ubrzano naelektrisanje zrači? Ne zato što "želi" da izgubi energiju, ne, jer zapravo, kada zrači, energija svijeta ostaje ista kao prije. Samo što emisija ili apsorpcija uvijek ide u smjeru rasta. entropija.

Nukleusi mogu postojati i na različitim energetskim nivoima, a u aproksimaciji kada se zanemare elektromagnetni efekti, imamo pravo reći da jezgra u pobuđenom stanju to i ostaje. Iako znamo da to neće ostati tako zauvijek, često je korisno započeti s donekle idealiziranom aproksimacijom koju je lakše razmotriti. Osim toga, u nekim okolnostima, ovo je pravna aproksimacija. (Kada smo prvi put uvodili klasične zakone pada tijela, nismo uzeli u obzir trenje, a skoro se nikada ne dešava da trenje uopšte nije imao.)

Osim toga, postoje i "čudne čestice" različitih masa. Ali oni masivniji se raspadaju u lakše, pa bi opet bilo pogrešno reći da je njihova energija tačno određena. To bi bila istina da su zauvijek ustrajali. Dakle, kada ih približno smatramo da imaju određenu energiju, zaboravljamo da se moraju raspasti. Ali sada ćemo namjerno zaboraviti na takve procese, a kasnije ćemo, vremenom, naučiti i da ih vodimo računa.

Neka postoji atom (ili elektron, ili bilo koja čestica) koji ima određenu energiju u mirovanju E 0 . Pod energijom E 0 mislimo na masu svega ovoga, pomnoženu sa With 2. Masa uključuje bilo koju unutrašnju energiju; stoga se masa pobuđenog atoma razlikuje od mase istog atoma, ali u osnovnom stanju. (Osnovni stanje znači stanje sa najnižom energijom.) Pozovimo E 0 energija odmora. Za atom u državi odmor, kvantno mehanički amplituda nađi negde svuda isto; sa njene pozicije ne zavisi. To, naravno, to znači vjerovatnoća pronalaska atom bilo gdje je isti. Ali to znači još više. Vjerovatnoća nije mogao zavisiti od situacije, ali amplitudna faza i dalje se može mijenjati od tačke do tačke. Ali za česticu koja miruje, ukupna amplituda je svuda ista. Međutim, to zavisi od vrijeme. Za česticu u stanju određene energije E 0 , amplituda detektovanja čestice u tački (x, y, z) u momentu t je jednako

gdje a - neka konstanta. Amplituda zadržavanja u toj i toj tački prostora je ista za sve tačke, ali zavisi od vremena prema (5.1). Jednostavno ćemo pretpostaviti da je ovo pravilo uvijek tačno.

Naravno, (5.1) se može napisati i na sljedeći način:

a M je masa mirovanja atomskog stanja ili čestice. Postoje tri različita načina za određivanje energije: frekvencijom amplitude, energijom u klasičnom smislu ili inercijskom masom. Svi su jednaki; oni su samo različiti načini izražavanja iste stvari.

Možda vam se čini čudnim da zamislite da se "čestica" s istim amplitudama pojavljuje bilo gdje u svemiru. Uostalom, između ostalog, uvijek zamišljamo „česticu“ kao mali objekt koji se nalazi „negdje“. Ali ne zaboravite na princip nesigurnosti. Ako čestica ima određenu energiju, onda ima određeni impuls. Ako je nesigurnost momenta nula, tada je relacija nesigurnosti D R D x=h kaže da nesigurnost u poziciji mora biti beskonačna; to je ono što govorimo kada kažemo da postoji ista amplituda za detekciju čestice u svim tačkama u prostoru.

Ako su unutrašnji dijelovi atoma u različitom stanju s različitom ukupnom energijom, tada amplituda varira s vremenom na drugačiji način. A ako ne znate u kakvom je stanju atom, tada će postojati neka amplituda bivanja u jednom stanju i neka amplituda bivanja u drugom, i svaka od ovih amplituda će imati svoju frekvenciju. Između ove dvije različite komponente, postojat će smetnje poput otkucaja, što se može pojaviti kao promjenjiva vjerovatnoća. Unutar atoma će se nešto "kuhati", čak i ako on "miruje" u smislu da se njegov centar mase ne kreće. Ako atom ima samo jednu određenu energiju, tada je amplituda data formulom (5.1) i kvadrat amplitudnog modula ne ovisi o vremenu. Dakle, to vidite ako je energija neke stvari određena, i ako postavite pitanje o vjerovatnoće nešto u ovoj stvari, onda odgovor ne zavisi od vremena. Iako sami amplituda zavisi od vremena, ali ako energija siguran, mijenjaju se kao imaginarni eksponent i njihova apsolutna vrijednost (modul) se ne mijenja.

Zbog toga često kažemo da je atom na određenom energetskom nivou unutra stacionarno stanje. Ako izmjerite nešto unutar njega, otkrićete da se ništa (vjerovatno) ne mijenja tokom vremena. Da bi se vjerovatnoća promijenila tokom vremena, mora postojati interferencija dvije amplitude na dvije različite frekvencije, što bi značilo da se ne zna kolika je energija. Objekt bi imao jednu amplitudu postojanja u stanju s jednom energijom i drugu amplitudu postojanja u stanju s drugom energijom. Dakle, u kvantnoj mehanici se nešto opisuje ako ponašanje ovo "nešto" zavisi od vremena.

Ako postoji slučaj da su dva različita stanja sa različitim energijama pomešana, tada se amplitude svakog od dva stanja menjaju tokom vremena prema jednačini (5.2), recimo, kao

A ako postoji kombinacija ova dva stanja, onda će se pojaviti smetnje. Ali imajte na umu da dodavanje iste konstante objema energijama ništa ne mijenja. Ako bi neko drugi koristio drugačiju skalu energija, na kojoj su sve energije pomerene za konstantu (recimo, za ALI), onda bi amplitude koje bi bile u ova dva stanja, sa njegove tačke gledišta, bile

Sve njegove amplitude bile bi pomnožene istim faktorom

exp[- i(A/h)/t], i u svim linearnim kombinacijama, u svim smetnjama, ulazio bi isti množitelj. Izračunavajući module za određivanje vjerovatnoća, on bi došao do istih odgovora. Odabir referentne tačke na našoj skali energija ne mijenja ništa; energija se može računati od bilo koje nule. U relativističkim problemima ugodnije je izmjeriti energiju na način da uključuje masu mirovanja, ali za mnoge druge nerelativističke svrhe često je bolje oduzeti standardnu ​​vrijednost od svih energija koje se pojavljuju. Na primjer, u slučaju atoma obično je zgodno oduzeti energiju M s od 2 , gdje je M s - težina pojedinac njegovi dijelovi, jezgro i elektroni, razlikuju se, naravno, od mase samog atoma. U drugim problemima korisno je oduzeti broj od svih energija M g c 2 , gdje M g - masa celog atoma uglavnom država; tada je preostala energija jednostavno energija pobude atoma. To znači da ponekad imamo pravo na pomak, naša energetska nula je vrlo, vrlo jaka, i još uvijek ništa ne mijenja (pod uslovom da su sve energije u ovom konkretnom proračunu pomjerene za isti broj). Na ovom ćemo se rastati sa česticama u mirovanju.

§ 2. Ujednačeno kretanje

Ako pretpostavimo da je teorija relativnosti tačna, onda čestica koja miruje u jednom inercijskom okviru može biti u ravnomjernom kretanju u drugom inercijskom okviru. U okviru mirovanja čestice, amplituda vjerovatnoće za sve x, y i z isto, ali zavisi od t. Vrijednost amplitude za sve t isto, i faza zavisi od t. Možemo dobiti sliku ponašanja amplitude ako nacrtamo linije jednake faze (recimo, nule) kao funkcije X i t. Za česticu koja miruje, ove linije jednake faze su paralelne sa osom X i nalaze se duž ose t na jednakim udaljenostima (prikazano isprekidanim linijama na slici 5.1).

Fig. 5.1. Relativistička transformacija amplitude u mirovanju. čestice u x-t sistem.

U drugom sistemu X", y", z", t", krećući se u odnosu na česticu, recimo, u smjeru X, koordinate X" i t" neka privatna tačka u prostoru povezana sa X i t Lorentzova transformacija. Ova transformacija se može grafički prikazati crtanjem osi X" i t", kao što je prikazano na Sl. 5.1 [vidi ch. 17 (br. 2), sl. 17.2]. Vidite to u sistemu x"--t" tačke jednake faze duž ose t" nalaze na različitim udaljenostima, pa je učestalost vremenskih promjena već različita. Osim toga, faza se mijenja X". tj. amplituda vjerovatnoće mora biti funkcija X".

Pod Lorentzovom transformacijom za brzinu v usmjerene, recimo, u negativnom smjeru X. vrijeme t vezano za vrijeme t" formula

a sada se naša amplituda mijenja ovako:

U šrafiranom sistemu, varira u prostoru i vremenu. Ako se amplituda zapiše kao

to je jasno E" R =E 0 /C( 1-v 2 /s 2). Ovo je energija izračunata prema klasičnim pravilima za česticu sa energijom mirovanja E 0 , krećući se brzinom v; p"=E" str v/c 2 - odgovarajući impuls čestice.

Znaš li to X m =(t, x, y, z) i R m =(E, str X , R y , R G ) su četiri vektora, a str m x m = Et-r x-skalarna invarijanta. U okviru za mirovanje čestica str m x m samo jednako Et; znači, kada se konvertuje u drugi sistem Et treba zamijeniti sa

Dakle, amplituda vjerovatnoće za česticu čiji je impuls R, biće proporcionalna

gdje E R - energija čestica sa impulsom R, tj.

a E 0 , kao i ranije, energija odmora. U nerelativističkim problemima može se pisati

gdje W str - višak (ili nedostatak) energije u poređenju sa energijom mirovanja M s iz 2 dijela atoma. Općenito, u W str i kinetička energija atoma i njegova energija vezivanja ili pobuđivanja, koja se može nazvati "unutrašnjom" energijom, morale bi ući. Onda bismo pisali

a amplitude bi izgledale tako

Sve proračune ćemo provesti nerelativistički, pa ćemo koristiti ovu vrstu amplituda vjerovatnoće.

Imajte na umu da nam je naša relativistička transformacija pružila formulu za promjenu amplitude atoma koji se kreće kroz prostor bez potrebe za dodatnim pretpostavkama. Talasni broj njegovih promjena u prostoru, kao što slijedi iz (5.9), jednak je

a samim tim i talasnu dužinu

Ovo je ista talasna dužina koju smo prethodno koristili za čestice sa impulsom R. Na taj način je de Broglie prvi došao do ove formule. Za česticu koja se kreće frekvencija promjena amplitude je i dalje data formulom

Apsolutna vrijednost (5.9) je jednostavno jednaka jedan, tako da za česticu koja se kreće s određenu energiju vjerovatnoća da ćete ga pronaći bilo gdje je svuda ista i ne mijenja se tokom vremena. (Važno je napomenuti da je amplituda sveobuhvatan talas. Ako bismo koristili pravu sinusoidu, tada bi se njen kvadrat od tačke do tačke mijenjao, što bi bilo pogrešno.)

Naravno, znamo da postoje slučajevi kada se čestice kreću s jednog mjesta na drugo, tako da vjerovatnoća ovisi o lokaciji i mijenja se tokom vremena. Kako bi se takvi slučajevi trebali opisati? To se može učiniti razmatranjem amplituda koje su superpozicija dvije ili više amplituda za stanja s određenom energijom. O ovoj situaciji smo već govorili u pogl. 48 (4. izdanje), a to je za amplitude vjerovatnoće! Zatim smo otkrili da je zbir dvije amplitude s različitim valnim brojevima k(tj. impulsa) i frekvencija w (tj. energije) dovodi do interferencijskih udara, ili otkucaja, tako da kvadrat amplitude varira kako u prostoru tako iu vremenu. Takođe smo otkrili da se ovi otkucaji kreću sa takozvanom "brzinom grupe" definisanom formulom

gdje su Dk i Dw razlike između talasnih brojeva i frekvencija dva talasa. U složenijim talasima, sastavljenim od zbira mnogih amplituda sa bliskim frekvencijama, grupna brzina je

Od w =E R /h, a k = p/h onda

Ali iz (5.6) to slijedi

i od tada E str =Mc 2 , onda

a ovo je samo klasična brzina čestice. Čak i koristeći nerelativističke izraze, imaćemo

odnosno opet klasična brzina.

Naš rezultat je, dakle, da ako postoji nekoliko amplituda za čista energetska stanja sa gotovo istom energijom, onda njihova interferencija dovodi do "rafala" vjerovatnoće koji se kreću kroz prostor brzinom jednakom onoj klasične čestice s istom energijom. . Ali treba napomenuti, međutim, da kada kažemo da možemo sabrati dvije amplitude s različitim valnim brojevima da bismo dobili pakete koji odgovaraju pokretnoj čestici, mi uvodimo nešto novo – nešto što se ne može izvesti iz teorije relativnosti. Rekli smo kako se mijenja amplituda stacionarne čestice, a zatim smo iz toga zaključili kako bi se promijenila da se čestica kreće. Ali iz ovih razmatranja mi nesposoban zaključiti šta bi se dogodilo da ih ima dva talasi koji se kreću različitim brzinama. Ako zaustavimo jednog od njih, ne možemo zaustaviti ni drugog. Pa smo tiho dodali još jedan hipoteza: pored činjenice da je (5.9). moguće odluka, mi. pretpostavljamo da isti sistem može imati više rješenja sa svim mogućim str i da će se različiti termini mešati.

§ 3. Potencijalna energija; uštedu energije

A sada bismo želeli da razjasnimo pitanje šta se dešava; kada se energija čestice može promijeniti. Počnimo s razmišljanjem o čestici koja se kreće u polju sila koje opisuje potencijal. Razmotrimo prvo uticaj konstantnog potencijala. Pretpostavimo da imamo veliku metalnu kutiju, koju smo napunili na neki elektrostatički potencijal j (slika 5.2).

Fig. 5.2. Čestica mase M i impulsa p u području konstantnog potencijala.

Ako se unutar kutije nalaze nabijeni objekti, tada će njihova potencijalna energija biti jednaka q j; ovaj broj ćemo označiti slovom v. Po stanju je potpuno nezavisan od položaja samog objekta. Od nametanja potencijala neće doći do fizičkih promjena unutar kutije, jer konstantni potencijal ne mijenja ništa u onome što se dešava unutar kutije. To znači da se zakon po kojem će se amplituda sada mijenjati ne može ni na koji način izvesti. Može se samo nagađati. Evo ga, tačan odgovor - izgleda otprilike kao što biste očekivali: umjesto energije, trebate staviti zbir potencijalne energije V i energiju E R , koja je sama po sebi zbir unutrašnje i kinetičke energije. Tada će amplituda biti proporcionalna

Opšti princip je to koeficijent t, koji bi se mogao pozvati sa uvijek je dat puna energija sistem: unutrašnja energija ("energija mase") plus kinetička energija plus potencijalna energija:

Ili u nerelativističkom slučaju

Pa, šta je sa fizičkim fenomenima unutar kutije? Ako fizičko stanje nije jedno, već nekoliko, šta ćemo onda dobiti? Amplituda svakog stanja uključivat će isti dodatni faktor

e -( i / h ) Vt

iznad onoga što je bilo V=0. Ovo se ne razlikuje od pomaka nule na našoj energetskoj skali. Dobiće se isti pomak svih faza svih amplituda, a to, kao što smo ranije vidjeli, ne mijenja nikakve vjerovatnoće. Sve fizičke pojave ostaju iste. (Pretpostavili smo da govorimo o različitim stanjima istog naelektrisanog objekta, tako da q j svi imaju isto. Kada bi objekt mogao promijeniti svoj naboj iz jednog stanja u drugo, tada bismo došli do potpuno drugačijeg rezultata, ali nas očuvanje naboja sprječava u tome.)

Do sada je naša pretpostavka bila u skladu s onim što bi se očekivalo od jednostavne promjene referentnog nivoa energije. Ali ako je to zaista tačno, onda mora važiti i za potencijalnu energiju, koja nije samo konstantna. Uglavnom V može proizvoljno varirati u vremenu i prostoru, a konačni rezultat za amplitudu mora biti izražen jezikom diferencijalnih jednačina. Ali ne želimo da skačemo odmah u opšti slučaj, već ćemo se ograničiti na neku ideju o tome šta se dešava. Dakle, za sada ćemo razmatrati samo potencijal koji je konstantan u vremenu i koji se polako mijenja u prostoru. Tada ćemo moći da uporedimo klasične i kvantne reprezentacije.

Pretpostavimo da razmišljamo o slučaju prikazanom na sl. 5.3, gdje se dvije kutije održavaju na konstantnim potencijalima j 1 i j 2 , a u području između njih potencijal se glatko mijenja od j 1 do j 2 .

Fig. 5.3. Amplituda za česticu koja ide od jednog potencijala do drugog.

Zamislimo da neka čestica ima amplitudu da se nalazi u jednom od ovih područja. Pretpostavimo i da je impuls dovoljno velik tako da je u bilo kojoj maloj regiji koja sadrži mnogo valnih dužina potencijal gotovo konstantan. Tada imamo pravo pretpostaviti da u bilo kom dijelu prostora amplituda mora izgledati kao (5.18), samo V svaki dio prostora će imati svoj.

Razmotrimo poseban slučaj kada je j 1 =0, tako da je potencijalna energija u prvom polju jednaka nuli, u drugom neka q j 2 će biti negativan, tako da će klasično čestica u njemu imati veću kinetičku energiju. U klasičnom smislu, brže će se kretati u drugom polju, pa će imati veći zamah. Hajde da vidimo kako ovo može ispasti iz kvantne mehanike.

Pod našim pretpostavkama, amplituda u prvom polju je trebala biti proporcionalna sa

Pretpostavićemo da su svi potencijali konstantni u vremenu, tako da se ništa ne menja u uslovima. Tada pretpostavljamo da promjene amplitude (tj. njene faze) svuda imaju iste frekvencija, jer u "okruženju" između kutija nema, da tako kažem, ničega što bi zavisilo od vremena. Ako se ništa ne mijenja u prostoru, onda možemo pretpostaviti da val u jednom području “generira” pomoćne valove u cijelom prostoru, koji svi osciliraju istom frekvencijom i, poput svjetlosnih valova koji prolaze kroz tvar koja miruje, ne mijenjaju svoju frekvenciju. Ako su frekvencije u (5.21) i (5.22) iste, onda je jednakost

Ovdje, na obje strane, postoje jednostavno klasične ukupne energije, tako da je (5.23) tvrdnja o održanju energije. Drugim riječima, klasična tvrdnja o očuvanju energije prilično je ekvivalentna kvantnomehaničkoj izjavi da su frekvencije čestice svuda iste ako se uslovi ne mijenjaju tokom vremena. Sve ovo je u skladu sa idejom da h w =E.

U konkretnom slučaju kada je V 1 =0 i V 2 negativan (5.23) znači da str Još 2 R 1, t. To jest, u regionu 2, talasi su kraći. Površine jednake faze prikazane su na sl. 5.3 tačkasta linija. Tu je i grafik realnog dijela amplitude, iz kojeg se vidi i kako se talasna dužina smanjuje pri kretanju iz regije 1 u regiju 2. Grupna brzina talasa, jednaka r/m, također raste kako bi se očekivalo od klasičnog očuvanja energije, jer se jednostavno poklapa sa (5.23).

Postoji zanimljiv poseban slučaj kada V 2 postaje toliko velik da V 2 - V 1 već premašuje str 2 1 /2M. Onda str 2 2 , dato formulom

postaje negativan. A to znači to R 2 je, recimo, imaginarni broj ip". Klasično bismo rekli da čestica nikada neće doći u područje 2, neće imati dovoljno energije da se popne na potencijalno brdo. Međutim, u kvantnoj mehanici, amplituda je i dalje predstavljena jednačinom (5.22); njegove promjene u prostoru i dalje slijede zakon

Ali vremena str 2 je imaginarni broj, tada se prostorna zavisnost pretvara u realni eksponent. Ako se, recimo, čestica prvo pomaknula u smjeru +x, tada će se amplituda promijeniti kao

Sa rastom X ona brzo pada.

Zamislimo da se oba područja s različitim potencijalima nalaze vrlo blizu jedno drugom, tako da se potencijalna energija naglo mijenja od V 1 to V 2 (Sl. 5.4, a).

Fig. 5.4. Amplituda za česticu koja se približava snažnom odbojnom potencijalu.

Crtanjem grafika realnog dela amplitude verovatnoće dobijamo zavisnost prikazanu na Sl. 5.4, b. Talas u području 1 odgovara čestici koja pokušava ući u područje 2, ali amplituda tamo brzo opada. Postoji izvesna šansa da će biti primećena u oblasti 2, gde se nalazi klasično za ništa Ispostavilo se da nije, ali je amplituda ovoga vrlo mala (osim mjesta blizu same granice). Stanje stvari je vrlo slično onome što smo pronašli za ukupnu unutrašnju refleksiju svjetlosti. Obično ne izlazi svjetlost, ali se i dalje može vidjeti ako je nešto postavljeno talasnu dužinu ili dvije od površine.

Podsjetimo da ako drugu površinu postavite blizu granice gdje se svjetlost u potpunosti reflektira, tada možete osigurati da se dio svjetlosti i dalje širi u drugom komadu materije. Ista stvar se dešava sa česticama u kvantnoj mehanici. Ako postoji usko područje sa tako velikim potencijalom V, da je klasična kinetička energija tamo negativna, onda čestica nikada neće proći kroz nju. Ali u kvantnoj mehanici, eksponencijalno opadajuća amplituda može probiti ovo područje i dati malu šansu da se čestica nađe na drugoj strani - gdje je kinetička energija opet pozitivna. Sve je to prikazano na sl. 5.5.

Fig. 5.5. Amplitudni prodor kroz potencijalnu barijeru.

Efekat se naziva kvantnomehaničkim "prodiranjem kroz barijeru".

Prodor kvantnomehaničke amplitude kroz barijeru daje objašnjenje (ili opis) a-raspada jezgra uranijuma. Potencijalna energija a-čestice kao funkcija udaljenosti od centra prikazana je na Sl. 5.6, a.

Fig. 5.6. Potencijal a-čestice u jezgru uranijuma (a) i kvalitativni oblik amplitude vjerovatnoće (b).

Ako bismo pokušali da ispalimo a-česticu sa energijom E do srži tada bi osjetila elektrostatičku odbojnost nuklearnog naboja z a prema klasičnim kanonima ne bi prišli bliže jezgru nego na takvoj udaljenosti r 1 pri kojoj njegova ukupna energija postaje jednaka potencijalu v. Ali negdje unutar jezgre, potencijalna energija će biti mnogo niža zbog snažnog privlačenja nuklearnih sila kratkog dometa. Kako onda objasniti zašto tokom radioaktivnog raspada nalazimo a-čestice, za koje se, u početku nalazeći unutar jezgra, zatim ispostavlja da su s energijom izvan njega E?Zato što oni. pod naponom od početka E, "procurila" kroz potencijalnu barijeru. Šematski prikaz amplitude vjerovatnoće je dat na Sl. 5.6, b, iako je u stvarnosti eksponencijalni pad mnogo jači nego što je prikazano. Zanimljivo je da prosječno vrijeme života a-čestice u jezgru uranijuma dostiže 4 1/2 milijarde godina, dok su prirodne oscilacije unutar jezgra izuzetno brze, ima ih 10 22 u sekundi! Kako je moguće od 10 -2 2 sec dobiti broj reda od 10 9 godina? Odgovor je da eksponent daje nečuveno mali faktor reda veličine 10 -4 5 , što dovodi do vrlo male, iako sasvim izvjesne vjerovatnoće curenja. Ako je a-čestica već udarila u jezgro, tada gotovo da nema amplitude da je detektuje izvan jezgra; ako, međutim, uzmete više ovih jezgri i pričekate još malo, onda ćete možda imati sreće i vidjeti kako će čestica iskočiti.

§ 4. Snage; klasična granica

Pretpostavimo da se čestica kreće kroz područje u kojem postoji potencijal koji se mijenja tokom kretanja. Klasično, opisali bismo ovaj slučaj kao što je prikazano na Sl. 5.7.

Fig. 5.7. Devijacija čestice poprečnim gradijentom potencijala.

Ako se čestica kreće u smjeru X i ulazi u regiju u kojoj postoji potencijal koji varira y, tada će čestica dobiti poprečno ubrzanje od sile F=-dV/dy. Ako je sila prisutna samo u ograničenom području širine w, onda će to raditi samo neko vrijeme w/v.Čestica će dobiti poprečni impuls

str y = Fw/v

Tada će ugao otklona dq biti jednak

gdje R - početni impuls. Zamjena umjesto F broj - dV / dy, dobijamo

Sada moramo saznati da li se ovaj rezultat može dobiti korištenjem ideje da se valovi povinuju jednačini (5.20). Istu pojavu ćemo razmotriti kvantnomehanički, uz pretpostavku da su sve skale u njoj mnogo veće od talasnih dužina naših amplituda verovatnoće. U bilo kojoj maloj regiji, možemo pretpostaviti da amplituda varira kao

Možemo li vidjeti kako će otklon čestica proizaći iz ovoga kada V hoće li postojati poprečni gradijent? Na SI. Na slici 5.8 skicirali smo kako će izgledati valovi amplitude vjerovatnoće.

Fig. 5.8. Amplituda vjerojatnosti u području s poprečnim gradijentom potencijala.

Nacrtali smo niz "talasnih čvorova" koje možete zamisliti kao, recimo, površine na kojima je faza amplitude nula. U bilo kojoj maloj oblasti, talasna dužina (udaljenost između susednih čvorova) je

gdje R povezano sa V formula

Na području gdje V više tamo R manji i duži talasi. Stoga se smjer linija čvorova valova postupno mijenja, kao što je prikazano na slici.

Da biste pronašli promjenu nagiba linija čvorova valova, imajte na umu da na dva puta a i b postoji razlika potencijala D V=(dV/dy)D, i otuda razlika D R između impulsa. Ova razlika se može dobiti iz (5.28):

talasni broj p/h stoga je i različit na različitim putevima, što znači da faze rastu duž njih različitim brzinama. Razlika u stopi rasta faze je D k=D R/h, i akumulirano do kraja w fazna razlika će biti jednaka

Ovaj broj pokazuje koliko je, do trenutka izlaska iz benda, faza duž putanje b"vodi" fazu duž putanje a. Ali na izlazu iz opsega, takvo napredovanje faze odgovara napredovanju talasnog čvora za vrednost

Pozivajući se na Sl. 5.8, vidimo da će front novog talasa rotirati kroz ugao dq dat formulom

tako da imamo

A to se poklapa sa (5.26) ako zamijenimo r/m na v, a D V/D na dV/dy.

Rezultat koji smo upravo dobili je istinit samo kada se potencijal polako i glatko mijenja – u tzv klasična granica. Pokazali smo da pod ovim uslovima dobijamo ista kretanja čestica koja bi bila dobijena iz F=ma, ako pretpostavimo da potencijal doprinosi fazi amplitude vjerovatnoće jednakoj Vt/h. U klasičnoj granici ispada da je kvantizovana mehanika u skladu sa Njutnovskom mehanikom.

§ 5. "Precesija" čestice sa spinom 1 / 2

Imajte na umu da nismo pretpostavili da imamo neku posebnu potencijalnu energiju, to je jednostavno energija čiji derivat daje silu. Na primjer, u eksperimentu Stern-Gerlach, energija je imala oblik U=-m B; dakle, u prisustvu prostorne varijacije u B, sila je dobijena. Ako bi nam bio potreban kvantnomehanički opis iskustva, morali bismo reći da se za čestice u jednom snopu energija mijenja u jednom smjeru, au drugom snopu - u suprotnom smjeru, (magnetska energija U može se ubaciti bilo u potencijalnu energiju V, ili "unutrašnja" energija W; tačno gde, uopšte nije važno.) Zbog varijacija energije, talasi se prelamaju, snopovi se savijaju gore ili dole. (Sada znamo da kvantna mehanika predviđa istu krivinu koja slijedi iz proračuna u klasičnoj mehanici.)

Iz ovisnosti amplitude o potencijalnoj energiji također slijedi da se za česticu koja se nalazi u jednoličnom magnetskom polju usmjerenom duž ose z, amplituda vjerovatnoće mora mijenjati s vremenom prema zakonu

iznad onoga što bi bilo bez polja. Budući da za česticu sa spinom 1/2, vrijednost m z može biti jednaka plus ili minus nekom broju, recimo m, tada će se za dva zamisliva stanja u uniformnom polju faze mijenjati istom brzinom u suprotnim smjerovima. Amplitude će biti pomnožene sa

Ovaj rezultat dovodi do zanimljivih posljedica. Neka čestica sa spinom 1/2 bude u nekom stanju koje nije ni stanje čistog spina naviše ni stanje čistog spina prema dole. Može se opisati u smislu amplituda boravka u ova dva stanja. Ali u magnetskom polju, faze ova dva stanja će početi da se menjaju različitim brzinama. A ako postavimo bilo koje pitanje o amplitudama, onda će odgovor zavisiti od toga koliko je vremena čestica provela u ovom polju.

Kao primjer, razmotrimo raspad miona u magnetskom polju. Kada mioni dolaze iz raspada p mezona, oni su polarizovani (drugim riječima, imaju preferirani smjer okretanja). Mioni se, pak, raspadaju (u prosjeku nakon 2,2 mikrosek), emitirajući elektron i par neutrina:

U ovom raspadu ispada da se (barem pri visokim energijama) elektroni emituju pretežno u smjeru suprotnom od smjera spina miona.

Pretpostavimo onda da postoji eksperimentalni uređaj (slika 5.9): polarizirani mioni ulaze s lijeve strane iu blok materije ALI zaustaviti, a zatim se raspasti malo kasnije.

Fig.. 5.9. Eksperiment raspada miona.

Emitirani elektroni izlaze, općenito govoreći, u svim zamislivim smjerovima. Zamislite, međutim, da svi mioni ulaze u blok usporavanja ALI tako da su im leđa okrenuta u pravcu X. Bez magnetnog polja, tamo bi se uočila neka vrsta kutne distribucije pravaca raspadanja; želimo da znamo kako bi se ova distribucija promenila u prisustvu magnetnog polja. Može se očekivati ​​da će se to vremenom nekako promijeniti. Možete saznati šta se dešava pitanjem kolika će biti amplituda u svakom trenutku činjenice da se mion nalazi u stanju (+ x).

Ovaj problem se može formulirati na sljedeći način: neka se zna da je u trenutku t=0 mionski spin usmjeren duž + X; kolika je amplituda činjenice da će u trenutku t biti u istom stanju? I iako ne znamo pravila ponašanja čestice sa spinom 1/2 u magnetskom polju okomitom na spin, ali znamo šta se dešava sa stanjima kada su spinovi usmereni gore ili dole u polju - tada su njihove amplitude pomnoženo izrazom (5.34) . Naš postupak bi tada bio da odaberemo reprezentaciju u kojoj su osnovna stanja smjerovi okretanja prema gore ili prema dolje u odnosu na z(u odnosu na smjer polja). I svako pitanje se tada može izraziti kroz amplitude ovih stanja.

Neka |y(t)> predstavlja stanje miona. Kad uđe u blok ALI, njegovo stanje je |y (0)>, a mi. želim znati |y (t)> kasnije t. Ako su dva osnovna stanja označena sa (+z) i (-z), tada znamo amplitude i - one su poznate jer znamo da je |y (0)> stanje sa spinom u smjeru (+ x). Iz prethodnog poglavlja slijedi da su ove amplitude jednake

Ispostavilo se da su isti. Pošto se odnose na poziciju na t=0, označavamo ih OD+ (0) i OD - (0).

Ali ako znamo C + (t) i C - (t), onda imamo sve da znamo uslove u ovom trenutku t. Postoji samo još jedna poteškoća koju treba savladati: potrebna nam je vjerovatnoća da će spin (u ovom trenutku t) će biti usmjereno duž + X. Ali naša opšta pravila uzimaju u obzir i ovaj zadatak. Pišemo da je amplituda bivanja u stanju (+x) u momentu t[da ga označimo A + (t)]tu je

Opet koristeći rezultat posljednjeg poglavlja (ili bolje, jednakost

* iz pogl. 3), pišemo

Dakle, u (5.37) sve je poznato. Dobijamo

Zapanjujuće jednostavan rezultat! Imajte na umu da je odgovor u skladu s onim što se očekivalo kada t= 0. Dobijamo ALI + (0)= 1, i to je sasvim tačno, jer se u početku pretpostavljalo da kada t=0 mion je bio u stanju (+ x).

Vjerovatnoća R + da će mion biti u stanju (+x) u momentu t, tu je (ALI+) 2 , tj.

Verovatnoća se kreće od nule do jedan, kao što je prikazano na slici. 5.10.

Fig. 5.10. Vremenska zavisnost vjerovatnoće toga. da je čestica sa spinom 1 / 2 će biti u (+) stanju u odnosu na x-osu.

Imajte na umu da se vjerovatnoća vraća na jedan kao m Bt/h=p (a ne kada 2p). Budući da je kosinus na kvadrat, vjerovatnoća se ponavlja sa frekvencijom 2mV/h.

Tako smo otkrili da je šansa da se uhvati u elektronski brojač prikazan na Sl. 5.9, raspadajući elektron se periodično mijenja sa vrijednošću vremenskog intervala tokom kojeg je mion sjedio u magnetnom polju. Frekvencija zavisi od magnetnog momenta (L. Na taj način je zapravo izmeren magnetni moment miona.

Ista metoda se, naravno, može koristiti za odgovor na druga pitanja o raspadu miona. Na primjer, kako to ovisi o vremenu t prilika da se uoči raspadajući elektron u pravcu y, 90° u pravcu X, ali i dalje pod pravim uglom u odnosu na polje? Ako riješite ovaj problem, vidjet ćete da je vjerovatnoća da ćete moći (+y) promjene poput cos 2 ((m bt/h)-(p/4)); fluktuira sa istim periodom, ali dostiže maksimum četvrt ciklusa kasnije, kada je mVt/h=p/4. Ono što se zapravo događa je da s vremenom mion prolazi kroz niz stanja koja odgovaraju punoj polarizaciji u smjeru koji se kontinuirano rotira oko ose z. Ovo se može opisati tako što ćete reći da precese centrifuge sa frekvencijom

Trebalo bi da vam bude jasno kakav oblik kvantnomehanički opis poprima kada opisujemo ponašanje nečega tokom vremena.

* Ako ste propustili pog. 4, onda možete smatrati (5.35) nedovoljno prihvaćenim pravilom za sada. Kasnije, u gl. 8, detaljnije ćemo analizirati spinsku precesiju, te će se dobiti i ove amplitude.

* Pretpostavljamo da faze moraju imati istu vrijednost u odgovarajućim tačkama u dva koordinatna sistema. Međutim, ovo je vrlo delikatno pitanje, budući da je u kvantnoj mehanici faza uglavnom proizvoljna. Da bi se ova pretpostavka u potpunosti opravdala, potrebna su detaljnija razmatranja koja uzimaju u obzir smetnje dvije ili više amplituda.

Oscilatorno kretanje je svaki pokret koji se periodično ponavlja. Stoga se ovisnosti koordinate i brzine tijela o vremenu za vrijeme oscilacija opisuju periodičnim funkcijama vremena. U školskom predmetu fizike razmatraju se takve oscilacije u kojima su zavisnosti i brzine tijela trigonometrijske funkcije , ili njihova kombinacija, gdje je neki broj. Takve oscilacije se nazivaju harmonijske (funkcije i često se nazivaju harmonijske funkcije). Za rješavanje zadataka za oscilacije uključene u program Jedinstvenog državnog ispita iz fizike, potrebno je znati definicije glavnih karakteristika oscilatornog kretanja: amplituda, period, frekvencija, kružna (ili ciklička) frekvencija i faza oscilacija. Dajmo ove definicije i povežimo nabrojane veličine sa parametrima zavisnosti koordinate tela od vremena , što se u slučaju harmonijskih oscilacija uvek može predstaviti kao

gdje , i su neki brojevi.

Amplituda oscilacije je maksimalno odstupanje tijela koje oscilira od ravnotežnog položaja. Kako je maksimalna i minimalna vrijednost kosinusa u (11.1) jednaka ±1, onda je amplituda oscilacija tijela koje oscilira (11.1) jednaka . Period oscilovanja je minimalno vrijeme nakon kojeg se kretanje tijela ponavlja. Za zavisnost (11.1), period se može postaviti iz sljedećih razmatranja. Kosinus je periodična funkcija s periodom. Dakle, kretanje se potpuno ponavlja kroz takvu vrijednost da . Odavde dobijamo

Frekvencija kružne (ili ciklične) oscilacije je broj oscilacija u jedinici vremena. Iz formule (11.3) zaključujemo da je kružna frekvencija vrijednost iz formule (11.1).

Faza oscilovanja je argument trigonometrijske funkcije koji opisuje ovisnost koordinate o vremenu. Iz formule (11.1) vidimo da je faza oscilacija tijela, čije je kretanje opisano zavisnošću (11.1), jednaka . Vrijednost faze oscilovanja u trenutku = 0 naziva se početna faza. Za zavisnost (11.1) početna faza oscilacija jednaka je vrijednosti . Očigledno, početna faza oscilacija zavisi od izbora vremenske referentne tačke (moment = 0), koja je uvek uslovna. Promjenom ishodišta vremenske reference, početna faza oscilacija uvijek se može "učiniti" jednakom nuli, a sinus u formuli (11.1) "pretvoren" u kosinus ili obrnuto.

Program jedinstvenog državnog ispita uključuje i poznavanje formula za frekvenciju oscilovanja opruge i matematičkog klatna. Uobičajeno je da se opružnim klatnom naziva tijelo koje može oscilirati na glatkoj horizontalnoj površini pod djelovanjem opruge, čiji je drugi kraj fiksiran (lijeva slika). Matematičko klatno je masivno tijelo čije se dimenzije mogu zanemariti, koje oscilira na dugoj, bestežinskoj i nerastezljivoj niti (desna slika). Naziv ovog sistema - "matematičko klatno" je zbog činjenice da je apstraktan matematički pravi model ( fizički) klatna. Potrebno je zapamtiti formule za period (ili frekvenciju) oscilacija opruge i matematičkog klatna. Za opružno klatno

gdje je dužina niti, je ubrzanje slobodnog pada. Razmotrite primjenu ovih definicija i zakona na primjeru rješavanja problema.

Da biste pronašli cikličku frekvenciju opterećenja u zadatak 11.1.1 hajde da prvo pronađemo period oscilovanja, a zatim upotrebimo formulu (11.2). Kako je 10 m 28 s 628 s, a za to vrijeme teret napravi 100 oscilacija, period oscilovanja tereta je 6,28 s. Stoga je frekvencija cikličkih oscilacija 1 s -1 (odgovor 2 ). AT zadatak 11.1.2 opterećenje je napravilo 60 oscilacija za 600 s, pa je frekvencija oscilacija 0,1 s -1 (odgovor 1 ).

Da shvatimo kojim putem će teret ići za 2,5 perioda ( zadatak 11.1.3), pratite njegovo kretanje. Nakon određenog perioda, opterećenje će se vratiti na tačku maksimalnog otklona, ​​čineći potpunu oscilaciju. Dakle, za to vrijeme, opterećenje će preći udaljenost jednaku četiri amplitude: do ravnotežnog položaja - jedna amplituda, od ravnotežnog položaja do tačke maksimalnog odstupanja u drugom smjeru - druga, nazad u ravnotežni položaj - treći, od ravnotežnog položaja do početne tačke – četvrti. Tokom drugog perioda, opterećenje će ponovo proći četiri amplitude, a za preostalu polovinu perioda - dvije amplitude. Dakle, pređeni put je jednak deset amplituda (odgovor 4 ).

Količina kretanja tijela je udaljenost od početne do krajnje točke. Za 2,5 perioda u zadatak 11.1.4 tijelo će imati vremena da izvrši dvije pune i polupune oscilacije, tj. će biti na maksimalnom odstupanju, ali na drugoj strani ravnotežnog položaja. Dakle, količina pomaka je jednaka dvije amplitude (odgovor 3 ).

Po definiciji, faza oscilacija je argument trigonometrijske funkcije, koja opisuje ovisnost koordinate oscilirajućeg tijela o vremenu. Stoga je tačan odgovor zadatak 11.1.5 - 3 .

Period je vrijeme potpune oscilacije. To znači da povratak tijela u istu tačku iz koje se tijelo počelo kretati ne znači da je period prošao: tijelo se mora vratiti u istu tačku istom brzinom. Na primjer, tijelo, koje je započelo oscilacije iz ravnotežnog položaja, tokom perioda će imati vremena da odstupi za maksimalnu vrijednost u jednom smjeru, vrati se, odstupi do maksimuma u drugom smjeru i ponovo se vrati. Dakle, tokom perioda, telo će imati vremena da dva puta odstupi za maksimalnu vrednost od ravnotežnog položaja i vrati se nazad. Dakle, prelazak iz ravnotežnog položaja do tačke maksimalnog odstupanja ( zadatak 11.1.6) tijelo provodi četvrti dio menstruacije (odgovor 3 ).

Takve oscilacije nazivaju se harmonijskim, u kojima se ovisnost koordinate tijela koje oscilira o vremenu opisuje trigonometrijskom (sinusnom ili kosinusnom) funkcijom vremena. AT zadatak 11.1.7 ovo su funkcije i , uprkos činjenici da su parametri uključeni u njih označeni kao 2 i 2 . Funkcija je trigonometrijska funkcija kvadrata vremena. Stoga su fluktuacije samo količina i harmonične (odgovor 4 ).

Kod harmonijskih oscilacija brzina tijela se mijenja po zakonu , gdje je amplituda oscilacija brzine (vremenska referenca je odabrana tako da početna faza oscilacija bude jednaka nuli). Odavde nalazimo zavisnost kinetičke energije tijela o vremenu
(zadatak 11.1.8). Koristeći dobro poznatu trigonometrijsku formulu, dobijamo

Iz ove formule proizilazi da se kinetička energija tijela mijenja tokom harmonijskih oscilacija također po harmonijskom zakonu, ali sa udvostručenom frekvencijom (odgovor je 2 ).

Iza omjera između kinetičke energije tereta i potencijalne energije opruge ( zadatak 11.1.9) može se lako pratiti iz sljedećih razmatranja. Kada se tijelo maksimalno odmakne od ravnotežnog položaja, brzina tijela je nula, pa je stoga potencijalna energija opruge veća od kinetičke energije tereta. Nasuprot tome, kada tijelo prijeđe ravnotežni položaj, potencijalna energija opruge je nula, pa je stoga kinetička energija veća od potencijalne energije. Dakle, između prolaska ravnotežnog položaja i maksimalnog odstupanja, kinetička i potencijalna energija se uspoređuju jednom. A pošto tokom perioda telo pređe četiri puta iz ravnotežnog položaja do maksimalnog odstupanja ili obrnuto, tada se tokom perioda kinetička energija tereta i potencijalna energija opruge upoređuju jedna s drugom četiri puta (odgovor je 2 ).

Amplituda fluktuacija brzine ( zadatak 11.1.10) je najlakše pronaći po zakonu održanja energije. U tački maksimalnog otklona energija oscilatornog sistema jednaka je potencijalnoj energiji opruge , gdje je koeficijent krutosti opruge, je amplituda oscilacije. Prilikom prolaska kroz ravnotežni položaj, energija tijela jednaka je kinetičkoj energiji , gdje je masa tijela, je brzina tijela pri prolasku kroz ravnotežni položaj, što je najveća brzina tijela u procesu oscilovanja i, prema tome, predstavlja amplitudu oscilacija brzine. Izjednačavajući ove energije, nalazimo

(odgovor 4 ).

Iz formule (11.5) zaključujemo ( zadatak 11.2.2) da njegov period ne zavisi od mase matematičkog klatna, a sa povećanjem dužine za 4 puta, period oscilovanja se povećava za 2 puta (odgovor je 1 ).

Sat je oscilatorni proces koji se koristi za mjerenje vremenskih intervala ( zadatak 11.2.3). Reči sat "žurba" znače da je period ovog procesa kraći nego što bi trebalo da bude. Stoga, da bi se razjasnio tok ovih taktova, potrebno je povećati period procesa. Prema formuli (11.5), da bi se povećao period oscilovanja matematičkog klatna, potrebno je povećati njegovu dužinu (odgovor je 3 ).

Da biste pronašli amplitudu oscilacija u zadatak 11.2.4, potrebno je zavisnost koordinata tijela o vremenu predstaviti u obliku jedne trigonometrijske funkcije. Za funkciju datu u uvjetu, to se može učiniti uvođenjem dodatnog kuta. Množenje i dijeljenje ove funkcije sa i koristeći formulu za sabiranje trigonometrijskih funkcija, dobijamo

gdje je ugao takav da . Iz ove formule slijedi da je amplituda oscilacija tijela (odgovor 4 ).

Prigušenje oscilacija je postepeno smanjenje amplitude oscilacija tokom vremena, zbog gubitka energije oscilatornog sistema.

Prirodne vibracije bez prigušenja su idealizacija. Razlozi blijeđenja mogu biti različiti. U mehaničkom sistemu, vibracije su prigušene prisustvom trenja. U elektromagnetnom kolu gubici toplote u provodnicima koji formiraju sistem dovode do smanjenja energije oscilacija. Kada se potroši sva energija pohranjena u oscilirajućem sistemu, oscilacije će prestati. Dakle, amplituda prigušene oscilacije smanjuje se dok ne postane nula.

Prigušene oscilacije, kao i prirodne, u sistemima koji su po prirodi različiti, mogu se posmatrati sa jedne tačke gledišta – zajedničkih karakteristika. Međutim, takve karakteristike kao što su amplituda i period zahtijevaju redefiniranje, dok druge zahtijevaju dodatke i pojašnjenja u poređenju sa istim karakteristikama za prirodne neprigušene oscilacije. Opći znaci i koncepti prigušenih oscilacija su sljedeći:

Diferencijalna jednačina se mora dobiti uzimajući u obzir smanjenje energije vibracija u procesu oscilacija.

Jednačina oscilovanja je rješenje diferencijalne jednadžbe.

Amplituda prigušenih oscilacija zavisi od vremena.

Frekvencija i period zavise od stepena prigušenja oscilacija.

Faza i početna faza imaju isto značenje kao i za neprigušene oscilacije.

3.1. Mehaničke prigušene vibracije

mehanički sistem: opružno klatno podložno silama trenja.

Sile koje djeluju na klatno:

Elastična sila. , gdje je k koeficijent krutosti opruge, h je pomak klatna iz ravnotežnog položaja.

Sila otpora. Razmotrimo silu otpora proporcionalnu brzini v kretanja (takva zavisnost je tipična za veliku klasu otpornih sila): . Znak minus pokazuje da je smjer sile otpora suprotan smjeru brzine tijela. Koeficijent otpora r je numerički jednak sili otpora koja se javlja pri jediničnoj brzini tijela:

Zakon kretanja opružno klatno je drugi Newtonov zakon:

m a = F ex. + F otpor.

S obzirom na to i , pišemo drugi Newtonov zakon u obliku:

.

Podijelimo sve članove jednačine sa m, pomjerimo ih sve na desnu stranu, dobivamo diferencijalna jednadžba prigušene oscilacije:

Označimo , gdje je β faktor prigušenja, , gdje je ω 0 frekvencija neprigušenih slobodnih oscilacija u odsustvu gubitaka energije u oscilatornom sistemu.

U novoj notaciji, diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija ima oblik:

.

Ovo je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda.

Jednačina prigušenih oscilacija je rješenje sljedeće diferencijalne jednadžbe:

U Prilogu 1 prikazano je rješenje diferencijalne jednadžbe prigušenih oscilacija metodom promjene varijabli.

Prigušena frekvencija oscilacija:

(dakle, samo pravi korijen ima fizičko značenje).

Period prigušenih oscilacija:

.

Značenje koje je stavljeno u koncept perioda za neprigušene oscilacije nije pogodno za prigušene oscilacije, jer se oscilatorni sistem nikada ne vraća u prvobitno stanje zbog gubitka oscilatorne energije. U prisustvu trenja, oscilacije su sporije: .

Period prigušenih oscilacija naziva se minimalni vremenski interval za koji sistem prođe dvostruko ravnotežni položaj u istom smjeru.

Za mehanički sistem opružnog klatna imamo:

, .

Amplituda prigušenih oscilacija:

Za opružno klatno.

Amplituda prigušenih oscilacija nije konstantna vrijednost, već se mijenja s vremenom što je brže što je koeficijent β veći. Stoga se definicija amplitude, data ranije za neprigušene slobodne oscilacije, mora promijeniti za prigušene oscilacije.

Za mala prigušenja amplituda prigušenih oscilacija naziva se najvećim odstupanjem od ravnotežnog položaja za period.

Grafovi Krive pomaka u odnosu na vrijeme i amplituda u odnosu na vrijeme prikazane su na slikama 3.1 i 3.2.

Slika 3.1 - Ovisnost pomaka o vremenu za prigušene oscilacije

Slika 3.2 - Zavisnosti amplitude od vremena za prigušene oscilacije

3.2. Elektromagnetne prigušene oscilacije

Elektromagnetne prigušene oscilacije nastaju u e elektromagnetni oscilatorni sistem, nazvan LCR - kontura (slika 3.3).

Slika 3.3.

Diferencijalna jednadžba dobijamo koristeći drugi Kirchhoffov zakon za zatvoreni LCR - krug: zbir pada napona na aktivnom otporu (R) i kondenzatoru (C) jednak je indukcijskom EMF-u razvijenom u krugu:

pad napona:

O aktivnom otporu: , gdje je I jačina struje u kolu;

Na kondenzatoru (C): , gdje je q količina naboja na jednoj od ploča kondenzatora.

EMF razvijen u krugu je EMF indukcije koja se javlja u induktoru kada se struja u njemu mijenja, a samim tim i magnetni tok kroz njegov poprečni presjek: (Faradayev zakon).

Zamijenimo vrijednosti U R , U C , u jednadžbu koja odražava Kirchhoffov zakon, dobićemo:

.

Snaga struje je tada definirana kao derivacija naboja, a diferencijalna jednadžba ima oblik:

.

Označimo , , u ovim zapisima dobijamo diferencijalnu jednadžbu prigušenih oscilacija u obliku:

Rješenje diferencijalne jednadžbe ili jednadžba oscilacije naboja na pločama kondenzatora izgleda ovako:

Amplituda prigušenih oscilacija naboja izgleda kao:

Prigušena frekvencija oscilacija u LCR kolu:

.

Period prigušene elektromagnetne oscilacije:

.

Uzmimo onda jednadžbu za naboj u obliku jednačina naprezanja na pločama kondenzatora može se napisati kao
.

Vrijednost se poziva amplituda napona na kondenzatoru.

Current u kolu se mijenja s vremenom. Trenutna jednačina u konturi se može dobiti pomoću omjera i vektorskog dijagrama.

Konačna jednačina za jačinu struje je:

gdje - početna faza.

Ona nije jednaka α, jer se jačina struje ne mijenja duž sinusa, što bi dalo derivat naboja, već duž kosinusa.

Energija oscilacije u kolu se sastoje od energije električnog polja

i energija magnetnog polja

ukupna energija u bilo kom trenutku:

gdje W0 je ukupna energija kola u trenutku t=0 .

3.3. Karakteristike prigušenih oscilacija

1.Faktor slabljenja β.

Promjena amplitude prigušenih oscilacija događa se prema eksponencijalnom zakonu:

Neka se amplituda oscilacije smanji za "e" puta tokom vremena τ ("e" je osnova prirodnog logaritma, e ≈ 2,718). Tada, s jedne strane, , a sa druge strane, obojivši amplitude A zat. (t) i A at. (t+τ), imamo . Ove relacije impliciraju βτ = 1, dakle

Vremenski interval τ, tokom kojeg se amplituda smanjuje za "e" puta, naziva se vrijeme opuštanja.

Faktor slabljenjaβ je vrijednost obrnuto proporcionalna vremenu relaksacije.

2. Logaritamski dekrement prigušenja δ- fizička veličina brojčano jednaka prirodnom logaritmu omjera dvije uzastopne amplitude razdvojene u vremenu periodom.

§6 Prigušene vibracije

Smanjenje slabljenja. Dekrement logaritamskog prigušenja.

Slobodne vibracije tehničkih sistema u realnim uslovima nastaju kada na njih deluju otporne sile. Djelovanje ovih sila dovodi do smanjenja amplitude oscilirajuće veličine.

Oscilacije čija amplituda s vremenom opada zbog gubitaka energije realnog oscilatornog sistema nazivaju se fading.

Najčešći slučajevi su kada je sila otpora proporcionalna brzini kretanja.

gdje r- srednji koeficijent otpora. Znak minus to pokazujeF Cusmjerena u smjeru suprotnom brzini.

Napišimo jednadžbu oscilacija u tački koja osciluje u mediju čiji je koeficijent otporar. Prema drugom Newtonovom zakonu

gdje je β faktor prigušenja. Ovaj koeficijent karakterizira brzinu prigušenja oscilacija.U prisustvu sila otpora energija oscilirajućeg sistema će se postepeno smanjivati, oscilacije će prigušiti.

- diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija.

At izjednačavanje prigušenih oscilacija.

ω - frekvencija prigušenih oscilacija:

Period prigušenih oscilacija:

Prigušene oscilacije, striktno uzeti u obzir, nisu periodične. Stoga možemo govoriti o periodu prigušenih oscilacija kada je β mali.

Ako su slabljenja slabo izražena (β→0), onda. prigušene oscilacije mogu

smatraju se harmonijskim oscilacijama čija amplituda varira prema eksponencijalnom zakonu

U jednadžbi (1) A 0 i φ 0 su proizvoljne konstante u zavisnosti od izbora trenutka vremena, počevši od kojeg razmatramo oscilacije

Razmotrimo oscilaciju tokom nekog vremena τ, tokom kojeg će se amplituda smanjiti u e jednom

τ - vrijeme opuštanja.

Faktor prigušenja β je obrnuto proporcionalan vremenu tokom kojeg se amplituda smanjuje u e jednom. Međutim, koeficijent prigušenja nije dovoljan da okarakteriše prigušenje oscilacija. Zbog toga je potrebno uvesti takvu karakteristiku prigušenja oscilacija, koja uključuje vrijeme jedne oscilacije. Takva karakteristika je dekrement(na ruskom: smanjenje) slabljenje D, što je jednako omjeru amplituda razdvojenih u vremenu periodom:

Dekrement logaritamskog prigušenja jednak je logaritmu D :

Logaritamski dekrement prigušenja obrnuto je proporcionalan broju oscilacija, zbog čega se amplituda oscilacija smanjila u e jednom. Logaritamski dekrement prigušenja je konstantna vrijednost za dati sistem.

Još jedna karakteristika oscilatornog sistema je faktor kvalitetaQ.

Faktor kvaliteta je proporcionalan broju oscilacija koje vrši sistem tokom vremena relaksacije τ.

Qoscilatorni sistem je mjera relativne disipacije (disipacije) energije.

Qoscilatorni sistem naziva se broj koji pokazuje koliko je puta elastična sila veća od sile otpora.

Što je veći faktor kvalitete, sporije dolazi do prigušenja, prigušene oscilacije su bliže slobodnim harmonijskim.

§7 Prisilne vibracije.

Rezonancija

U brojnim slučajevima postaje neophodno kreirati sisteme koji izvode neprigušene oscilacije. Moguće je dobiti neprigušene oscilacije u sistemu ako se gubici energije kompenzuju djelovanjem na sistem periodično promjenjivom silom.

Neka

Zapišimo izraz za jednadžbu kretanja materijalne tačke koja vrši harmonijsko oscilatorno kretanje pod dejstvom pokretačke sile.

Prema drugom Newtonovom zakonu:

(1)

Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija.

Ova diferencijalna jednadžba je linearno nehomogena.

Njegovo rješenje je jednako zbroju općeg rješenja homogene jednačine i posebnog rješenja nehomogene jednačine:

Nađimo određeno rješenje nehomogene jednadžbe. Da bismo to učinili, prepisujemo jednačinu (1) u sljedećem obliku:

(2)

Potražićemo određeno rješenje ove jednadžbe u obliku:

Onda

Zamjena u (2):

jer izvedeno za bilo kojet, tada mora vrijediti jednakost γ = ω, dakle,

Ovaj kompleksni broj se može zgodno predstaviti kao

gdje ALI određuje se formulom (3 ispod), a φ - formulom (4), stoga rješenje (2), u kompleksnom obliku, ima oblik

Njegov realni dio, koji je bio rješenje jednačine (1), jednak je:

gdje

(3)

(4)

Pojam H o.o. igra značajnu ulogu samo u početnoj fazi kada se oscilacije uspostavljaju sve dok amplituda prinudnih oscilacija ne dostigne vrijednost utvrđenu jednakošću (3). U ustaljenom stanju, prisilne oscilacije se javljaju frekvencijom ω i harmonijske su. Amplituda (3) i faza (4) prisilnih oscilacija zavise od frekvencije pokretačke sile. Na određenoj frekvenciji pokretačke sile, amplituda može dostići vrlo velike vrijednosti. Oštar porast amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija pokretačke sile približi prirodnoj frekvenciji mehaničkog sistema naziva se rezonancija.

Frekvencija ω pokretačke sile na kojoj se uočava rezonancija naziva se rezonantna. Da bi se pronašla vrijednost ω res, potrebno je pronaći uvjet za maksimalnu amplitudu. Da bismo to učinili, potrebno je odrediti minimalni uslov za nazivnik u (3) (tj. ispitati (3) za ekstremum).

Zavisnost amplitude oscilirajuće veličine od frekvencije pokretačke sile naziva se rezonantna kriva. Rezonantna kriva će biti veća, što je manji faktor prigušenja β i sa smanjenjem β, maksimum rezonancijskih krivulja će se pomjeriti udesno. Ako je β = 0, onda

ω res = ω 0 .

Kod ω→0 sve krive dolaze do vrijednosti- statičko odstupanje.

Parametarska rezonanca nastaje kada periodična promjena jednog od parametara sistema dovodi do naglog povećanja amplitude oscilirajućeg sistema. Na primjer, kabine koje prave "sunce" promjenom položaja centra gravitacije sistema (Isto u "čamcima".) Vidi §61 .t. 1 Saveliev I.V.

Samooscilacije se nazivaju takve oscilacije, čija se energija periodično obnavlja kao rezultat utjecaja samog sistema zbog izvora energije koji se nalazi u istom sistemu. Vidi §59 v.1 Savelyev I.V.

Smanjenje energije oscilatornog sistema dovodi do postepenog smanjenja amplitude oscilacija, jer

U ovom slučaju to kažu fluktuacije su prigušene .

Slična situacija se razvija u oscilatornom krugu. Prava zavojnica, koja je dio kola, uvijek ima aktivni otpor. Kada struja teče kroz aktivni otpor zavojnice, džulova toplota će se osloboditi. U tom slučaju će se smanjiti energija kruga, što će dovesti do smanjenja amplitude naboja, napona i strujnih oscilacija.

Naš zadatak- saznati po kom zakonu dolazi do smanjenja amplitude oscilacija, po kom se zakonu mijenja sama oscilirajuća vrijednost, s kojom frekvencijom se javljaju prigušene oscilacije, koliko dugo oscilacije „nestaju“.

§1 Prigušivanje vibracija u sistemima sa viskoznim trenjem

Zamislite oscilatorni sistem u kojem djeluje sila viskoznog trenja. Primjer takvog oscilatornog sistema je matematičko klatno koje oscilira u zraku.

U ovom slučaju, kada se sistem izvuče iz ravnoteže za

na klatno će djelovati dvije sile: kvazielastična sila i sila otpora (sila viskoznog trenja).

Njutnov drugi zakon je napisan na sledeći način:

(1)

Znamo da je pri malim brzinama viskozna sila trenja proporcionalna brzini kretanja:

Uzimamo u obzir da je projekcija brzine prvi izvod koordinate tijela, a projekcija ubrzanja drugi izvod koordinate:

Tada će jednačina (2) poprimiti oblik:

dobijamo jednacinu kretanja u sledecem obliku:

(3)

gdje je d koeficijent prigušenja, ovisi o koeficijentu trenja r,

w 0 - ciklična frekvencija idealnih oscilacija (u odsustvu trenja).

Prije rješavanja jednačine (3), razmotrite oscilatorno kolo. Aktivni otpor zavojnice povezan je serijski sa kapacitivnošću C i induktivnošću L.

Zapišimo drugi Kirchhoffov zakon

Uzmimo u obzir to, , .

Tada Kirchhoffov drugi zakon poprima oblik:

Podijelite obje strane jednačine sa:

Hajde da uvedemo notaciju

Konačno dobijamo

Obratite pažnju na matematički identitet diferencijalnih jednadžbi (3) i (3'). Nema ništa iznenađujuće. Već smo pokazali apsolutni matematički identitet procesa oscilovanja klatna i elektromagnetnih oscilacija u kolu. Očigledno se na isti način odvijaju i procesi prigušenja oscilacija u kolu iu sistemima sa viskoznim trenjem.

Rješavanjem jednačine (3) dobićemo odgovore na sva gornja pitanja.

Znamo rješenje ove jednačine

Tada za željenu jednačinu (3) dobijamo konačni rezultat

Lako je vidjeti da će se naboj kondenzatora u stvarnom oscilatornom krugu mijenjati prema zakonu

Analiza rezultata:

1 Kao rezultat zajedničkog djelovanja kvazielastične sile i sile otpora, sistem možda napraviti oscilirajući pokret. Za to mora biti zadovoljen uslov w 0 2 - d 2 > 0. Drugim rečima, trenje u sistemu mora biti malo.

2 Frekvencija prigušenih oscilacija w se ne poklapa sa frekvencijom oscilovanja sistema u odsustvu trenja w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Vremenom, frekvencija prigušenih oscilacija ostaje nepromijenjena.

Ako je koeficijent prigušenja d mali, tada je frekvencija prigušenih oscilacija bliska prirodnoj frekvenciji w 0 .

Ovo smanjenje amplitude događa se eksponencijalno.

4 Ako je w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

gdje .

Direktnom zamjenom, lako je provjeriti da je funkcija (4) zaista rješenje jednačine (3). Očigledno, zbir dvije eksponencijalne funkcije nije periodična funkcija. Sa fizičke tačke gledišta, to znači da neće biti oscilacija u sistemu. Nakon uklanjanja sistema iz ravnotežnog položaja, on će se polako vratiti u njega. Takav proces se zove aperiodično .

§2 Koliko brzo opadaju oscilacije u sistemima sa viskoznim trenjem?

Smanjenje prigušenja

vrijednost količine. Može se vidjeti da vrijednost d karakterizira brzinu prigušenja oscilacija. Iz tog razloga, d se naziva faktor prigušenja.

Za električne oscilacije u krugu, koeficijent slabljenja ovisi o parametrima zavojnice: što je veći aktivni otpor zavojnice, to se brže smanjuje amplituda naboja na kondenzatoru, napon i struja.

Funkcija je proizvod opadajuće eksponencijalne funkcije i harmonijske funkcije, dakle funkcija nije harmonična. Ali ima određeni stepen "ponovljivosti", koji se sastoji u činjenici da se maksimumi, minimumi, nule funkcije javljaju u pravilnim intervalima. Graf funkcije je sinusoida ograničena sa dva eksponenta.

Nađimo omjer dvije uzastopne amplitude razdvojene vremenskim intervalom od jednog perioda. Ovaj odnos se zove dekrement prigušenja

Imajte na umu da rezultat ne zavisi od toga da li uzimate u obzir dva uzastopna perioda - na početku oscilatornog kretanja ili nakon nekog vremena. Za svaki period mijenja se amplituda oscilacija nije iste veličine, ali isti broj puta !!

Lako je to vidjeti za bilo koje različite vremenske intervale, amplituda prigušenih oscilacija se smanjuje za isti broj puta.

Vrijeme za opuštanje

Vrijeme opuštanja se zove vrijeme tokom kojeg se amplituda prigušenih oscilacija smanjuje za e puta:

Onda .

Odavde nije teško ustanoviti fizičko značenje koeficijenta prigušenja:

Dakle, faktor prigušenja je recipročan u odnosu na vrijeme relaksacije. Neka je, na primjer, u oscilatornom krugu koeficijent prigušenja jednak . To znači da će se nakon vremena s amplituda oscilacija smanjiti za e jednom.

Dekrement logaritamskog prigušenja

Često, brzinu prigušenja oscilacija karakterizira logaritamski dekrement prigušenja. Da biste to učinili, uzmite prirodni logaritam omjera amplituda razdvojenih vremenskim periodom.

Hajde da saznamo fizičko značenje logaritamskog dekrementa prigušenja.

Neka je N broj oscilacija koje sistem izvodi tokom vremena relaksacije, odnosno broj oscilacija tokom kojih se amplituda oscilovanja smanjuje u e jednom. Očigledno, .

Može se vidjeti da je logaritamski dekrement prigušenja recipročan od broja oscilacija, nakon čega se amplituda smanjuje za e jednom.

Pretpostavimo, , to znači da će se nakon 100 oscilacija amplituda smanjiti za e jednom.

Faktor kvaliteta oscilatornog sistema

Pored logaritamskog dekrementa prigušenja i vremena relaksacije, brzina prigušenja oscilacija može se okarakterizirati takvom vrijednošću kao što je faktor kvaliteta oscilacionog sistema . Pod faktorom kvaliteta

To se može pokazati za slabo prigušene oscilacije

Energija oscilatornog sistema u proizvoljnom trenutku je jednaka . Gubitak energije tokom perioda može se naći kao razlika između energije u određenom trenutku i energije nakon vremena jednakog periodu:

Onda

Eksponencijalna funkcija se može proširiti u niz at<< 1. после подстановки получаем .

Prilikom povlačenja uveli smo ograničenje<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Formule koje smo dobili za faktor kvaliteta sistema još ne govore ništa. Recimo da proračun daje vrijednost faktora kvaliteta Q = 10. Šta to znači? Koliko brzo opadaju vibracije? Je li ovo dobro ili loše?

Obično se uslovno smatra da su oscilacije praktički prestale ako se njihova energija smanjila za 100 puta (amplituda - za 10). Hajde da saznamo koliko je oscilacija sistem napravio do ovog trenutka:

Na prethodno postavljeno pitanje možemo odgovoriti: N = 8.

Koji oscilatorni sistem je bolji - sa velikim ili malim faktorom kvaliteta? Odgovor na ovo pitanje zavisi od toga šta želite da dobijete od oscilacionog sistema.

Ako želite da sistem napravi što više oscilacija prije zaustavljanja, potrebno je povećati faktor kvalitete sistema. Kako? Budući da je faktor kvaliteta određen parametrima samog oscilatornog sistema, potrebno je pravilno odabrati ove parametre.

Na primjer, Foucaultovo klatno, postavljeno u katedrali Svetog Isaka, trebalo je da izvodi slabo prigušene oscilacije. Onda

Najlakši način da povećate faktor kvaliteta klatna je da ga otežate.

U praksi se često javljaju inverzni problemi: potrebno je što prije ugasiti nastale oscilacije (na primjer, oscilacija strelice mjernog instrumenta, vibracije karoserije automobila, vibracije broda itd. .) uređaji koji omogućavaju povećanje slabljenja u sistemu nazivaju se amortizeri (ili amortizeri). Na primjer, automobilski amortizer u prvoj aproksimaciji je cilindar napunjen uljem (viskozna tekućina), u kojem se može kretati klip s nizom malih rupa. Klipnjača je spojena na karoseriju, a cilindar na osovinu točka. Nastale vibracije tijela brzo izumiru, jer pokretni klip nailazi na veliki otpor na svom putu od viskozne tekućine koja ispunjava cilindar.

§ 3 Prigušivanje vibracija u sistemima sa suvim trenjem

Prigušenje oscilacija se događa suštinski drugačije ako u sistemu djeluje sila trenja klizanja. Upravo je ona razlog zaustavljanja opružnog klatna, koje oscilira duž bilo koje površine.

Pretpostavimo da je opružno klatno koje se nalazi na horizontalnoj površini dovedeno u oscilatorno kretanje sabijanjem opruge i oslobađanjem tereta, odnosno iz krajnjeg položaja. U procesu premještanja tereta iz jednog ekstremnog položaja u drugi, na njega utječu sila gravitacije i sila reakcije oslonca (vertikalno), sila elastičnosti i sila trenja klizanja (po površini).

Imajte na umu da je u procesu kretanja s lijeva na desno sila trenja nepromijenjena u smjeru i modulu.

Ovo nam omogućava da tvrdimo da je tokom prve polovine perioda opružno klatno u konstantnom polju sile.

Pomak ravnotežnog položaja može se izračunati iz uvjeta da je rezultanta jednaka nuli u ravnotežnom položaju:
Važno je da tokom prve polovine perioda oscilovanja klatna harmonic !

Kada se kreće u suprotnom smjeru - s desna na lijevo - sila trenja će promijeniti smjer, ali će tokom cijelog prijelaza ostati konstantna po veličini i smjeru. Ova situacija opet odgovara oscilacijama klatna u konstantnom polju sile. Samo što je sada ovo polje drugačije! Promijenio je smjer. Posljedično, promijenio se i položaj ravnoteže pri kretanju s desna na lijevo. Sada se pomaknuo udesno za iznos D l 0 .

Opišimo zavisnost koordinata tijela o vremenu. Pošto je za svaku polovinu perioda kretanje harmonijska oscilacija, graf će biti polovice sinusoida, od kojih je svaka izgrađena u odnosu na svoj ravnotežni položaj. Izvršićemo operaciju "šivaćih rješenja".

Pokažimo kako se to radi na konkretnom primjeru.

Neka masa tereta pričvršćenog za oprugu bude 200 g, krutost opruge 20 N/m, a koeficijent trenja između tereta i površine stola 0,1. Klatno je dovedeno u oscilatorno kretanje istezanjem opruge

6,5 cm.

Za razliku od oscilatornih sistema sa viskoznim trenjem, u sistemima sa suhim trenjem amplituda oscilacija opada s vremenom prema linearnom zakonu - za svaki period se smanjuje za dvije širine zone stagnacije.

Još jedna karakteristična karakteristika je da se oscilacije u sistemima sa suhim trenjem, čak ni teoretski, ne mogu dešavati beskonačno. Prestaju čim se tijelo zaustavi u "zoni stagnacije".

§4 Primjeri rješavanja problema

Problem 1 Priroda promjene amplitude prigušenih oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem

Amplituda prigušenih oscilacija klatna za vrijeme t 1 = 5 min smanjila se za 2 puta. Za koje vrijeme t 2 će se amplituda oscilacija smanjiti za 8 puta? Nakon kojeg vremena t 3 možemo smatrati da su oscilacije klatna prestale?

Rješenje:

Amplituda oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem tokom vremena

opada eksponencijalno, gdje je amplituda oscilacije u početnom trenutku vremena, je faktor prigušenja.

1 Zapišimo zakon promjene amplitude dva puta

2 Zajedno rješavamo jednačine. Uzimajući logaritam svake jednačine, dobijamo

Podijelimo drugu jednačinu, a ne prvu i nađemo vrijeme t 2

4

Nakon transformacije, dobijamo

Podijelite posljednju jednačinu jednačinom (*)

Zadatak 2 Period prigušenih oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem

Odredite period prigušenih oscilacija sistema T, ako je period prirodnih oscilacija T 0 \u003d 1 s, i logaritamski dekrement prigušenja. Koliko će oscilacija napraviti ovaj sistem prije nego što se potpuno zaustavi?

Rješenje:

1 Period prigušenih oscilacija u sistemu sa viskoznim trenjem je veći od perioda prirodnih oscilacija (u odsustvu trenja u sistemu). Frekvencija prigušenih oscilacija je, naprotiv, manja od prirodne frekvencije i jednaka je , gdje je koeficijent slabljenja.

2 Izrazite cikličku frekvenciju kroz period. i uzeti u obzir da je logaritamski dekrement prigušenja jednak:

3 Nakon transformacija, dobivamo .

Energija sistema jednaka je maksimalnoj potencijalnoj energiji klatna

Nakon transformacije, dobijamo

5 Izražavamo koeficijent slabljenja u smislu logaritamskog dekrementa , Dobijamo

Broj oscilacija koje će sistem napraviti prije zaustavljanja jednak je

Zadatak 3 Broj oscilacija koje vrši klatno dok se amplituda ne prepolovi

Logaritamski dekrement prigušenja klatna jednak je q = 3×10 -3 . Odrediti broj potpunih oscilacija koje klatno mora napraviti da bi se amplituda njegovih oscilacija smanjila za 2 puta.

Rješenje:

3 Lako je vidjeti da je to logaritamski dekrement prigušenja. Dobijamo

Pronalaženje broja vibracija

Zadatak 4 Faktor kvaliteta oscilatornog sistema

Odredite faktor kvaliteta klatna, ako je za vrijeme u kojem je napravljeno 10 oscilacija, amplituda se smanjila za 2 puta. Koliko je potrebno da se klatno zaustavi?

Rješenje:

1 Amplituda oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem opada eksponencijalno s vremenom, gdje je amplituda oscilacija u početnom trenutku vremena, koeficijent prigušenja.

Pošto se amplituda oscilovanja smanjuje za 2 puta, dobijamo

2 Vrijeme oscilacije može se predstaviti kao proizvod perioda oscilacija po njihovom broju:

Zamijenite rezultirajuću vrijednost vremena u izraz (*)

3 Lako je vidjeti da je to logaritamski dekrement prigušenja. Dobijamo logaritamski dekrement prigušenja jednak

4 Faktor kvaliteta oscilatornog sistema

Energija sistema jednaka je maksimalnoj potencijalnoj energiji klatna

Nakon transformacije, dobijamo

Pronađite vrijeme nakon kojeg će oscilacije prestati .

Zadatak 5 Vibracije magneta

Vasya Lisichkin, poznati eksperimentator u školi, odlučio je da magnetna figurica njegovog omiljenog književnog heroja Koloboka vibrira duž zida frižidera. Figuricu je pričvrstio na oprugu krutosti k = 10 N/m, istegnuo je za 10 cm i pustio je. Koliko će oscilacija napraviti Gingerbread Man ako je masa figurice m = 10 g, koeficijent trenja između figurice i zida μ = 0,4, a može se otkinuti sa zida silom F = 0,5 N .

Rješenje:

1 Prilikom prelaska iz krajnje donje u krajnje gornje pozicije, kada je brzina tereta usmjerena prema gore, sila trenja klizanja usmjerena je naniže i brojčano je jednaka . Dakle, opružno klatno je u stalnom polju sila koje stvaraju sile gravitacije i trenja. U konstantnom polju sile, klatno pomera svoj ravnotežni položaj:

gdje je istezanje opruge u novom "ravnotežnom položaju".

2 Prilikom prelaska iz krajnje gornje u krajnje donje pozicije, kada je brzina tereta usmjerena naniže, sila trenja klizanja usmjerena je prema gore i brojčano je jednaka . Tako je opružno klatno ponovo u stalnom polju sila koje stvaraju sile gravitacije i trenja. U konstantnom polju sile, klatno pomera svoj ravnotežni položaj:

gdje je deformacija opruge u novom "ravnotežnom položaju", znak "-" govori da je u ovom položaju opruga stisnuta.

3 Zona stagnacije ograničena je deformacijama opruge od - 1 cm do 3 cm i iznosi 4 cm. Sredina zone stagnacije, u kojoj je deformacija opruge 1 cm, odgovara položaju tereta u kojem nema trenja. sila. U zoni stagnacije elastična sila opruge je manja po modulu od rezultantne maksimalna statička sila trenja i gravitacije. Ako se klatno zaustavi u zoni stagnacije, oscilacije prestaju.

4 Za svaki period deformacija opruge se smanjuje za dvije širine zone stagnacije, tj. za 8 cm.Nakon jedne oscilacije deformacija opruge će postati jednaka 10cm - 8cm=2cm.To znači da nakon jednog oscilovanja figura Koloboka ulazi u zonu stagnacije i njene oscilacije prestaju.

§5 Zadaci za samostalno rješavanje

Testirajte "prigušene vibracije"

1 Prigušenje vibracija se podrazumijeva kao...

A) smanjenje frekvencije oscilacija; B) smanjenje perioda oscilacija;

C) smanjenje amplitude oscilacija; D) smanjenje faze oscilacija.

2 Razlog za prigušivanje slobodnih vibracija je

A) uticaj na sistem slučajnih faktora koji inhibiraju oscilacije;

B) dejstvo spoljne sile koja se periodično menja;

C) prisustvo sile trenja u sistemu;

D) postepeno smanjenje kvazielastične sile, koja teži da vrati klatno u ravnotežni položaj.

?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm;

D) Nije moguće dati odgovor, jer je vrijeme nepoznato.

6 Dva identična klatna, koja se nalaze u različitim viskoznim medijima, osciliraju. Amplituda ovih oscilacija se mijenja tokom vremena kao što je prikazano na slici. Koji medij ima veće trenje?

7 Dva klatna, u istom okruženju, osciliraju. Amplituda ovih oscilacija se mijenja tokom vremena kao što je prikazano na slici. Koje klatno ima najveću masu?

C) Nemoguće je dati odgovor, jer skala nije postavljena duž koordinatnih ose i nemoguće je izvršiti proračune.

8 Koja slika ispravno prikazuje zavisnost koordinata prigušenih oscilacija u sistemu sa viskoznim trenjem o vremenu?

A) 1; B) 2; AT 3; D) Svi grafikoni su tačni.

9 Uspostaviti korespondenciju između fizičkih veličina koje karakterišu prigušenje oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem i njihove definicije i fizičkog značenja. Popunite tabelu

A) Ovo je omjer amplituda oscilacija nakon vremena jednakog periodu;

B) Ovo je prirodni logaritam odnosa amplituda oscilacija nakon vremena jednakog periodu;

C) Ovo je vrijeme za koje se amplituda oscilacija smanjuje e jednom;

G) D) E)

G) Ova vrijednost je recipročna od broja oscilacija, za koje se amplituda oscilacija smanjuje za e jednom;

H) Ova vrijednost pokazuje koliko puta se amplituda oscilacija smanjuje tokom vremena jednakog periodu oscilacija.

10 Dajte tačnu izjavu.

Dobrota znači...

A) odnos ukupne energije sistema E povećan za faktor 2p prema energiji W raspršenoj tokom perioda;

B) odnos amplituda nakon vremenskog perioda koji je jednak periodu;

C) broj oscilacija koje sistem napravi do trenutka kada se amplituda smanji za e puta.

Faktor kvaliteta se izračunava prema formuli ...

ALI) B) C)

Faktor kvaliteta oscilatornog sistema zavisi od…

A) energija sistema;

B) gubici energije za period;

C) parametri oscilatornog sistema i trenja u njemu.

Što je veći faktor kvaliteta oscilatornog sistema, to je ...

A) oscilacije sporije opadaju;

B) fluktuacije opadaju brže.

11 Matematičko klatno se pokreće u oscilatorno kretanje, odstupajući ovjes od ravnotežnog položaja u prvom slučaju za 15°, u drugom za 10°. U kom slučaju će klatno napraviti više oscilacija prije nego što se zaustavi?

A) Kada je vješalica skrenuta za 15°;

B) Kada je vješalica skrenuta za 10°;

C) U oba slučaja klatno će napraviti isti broj oscilacija.

12 kuglica istog radijusa pričvršćene su na dva navoja iste dužine - aluminij i bakar. Klatna su postavljena u oscilatorno kretanje, odbijajući ih pod istim uglovima. Koje će klatno napraviti najveći broj oscilacija prije zaustavljanja?

A) aluminijum; B) Bakar;

C) Oba klatna će napraviti isti broj oscilacija.

13 Opružno klatno, koje se nalazi na horizontalnoj površini, dovedeno je u oscilaciju istezanjem opruge za 9 cm, a nakon tri potpune oscilacije klatno je bilo na udaljenosti od 6 cm od položaja nedeformisane opruge. Koliko će klatno biti udaljeno od položaja nedeformisane opruge nakon naredne tri oscilacije?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm.