U crtežu sa tri projekcije, dubina tačke AA 2 se projektuje bez izobličenja na ravni P 1 i P 2 (Sl. 62, a). Ova okolnost nam omogućava da konstruišemo treću - frontalnu projekciju tačke ALI duž njegove horizontale A 1 i frontalni A 2 projekcije (sl. 62, in). Da biste to učinili, kroz frontalnu projekciju točke, morate nacrtati horizontalnu liniju komunikacije A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Zatim, bilo gdje na crtežu, nacrtajte os projekcija P 2 / P 3 _|_ A 2 A 3, izmjeriti dubinu f tačke na horizontali projekcijsko polje i odvojiti ga duž horizontalne linije komunikacije od ose projekcija P 2 /P 3 . Get projekcija profila A 3 bodova ALI.

Dakle, u složenom crtežu koji se sastoji od tri ortogonalne projekcije tačke, dvije projekcije su na istoj liniji komunikacije; komunikacijske linije su okomite na odgovarajuće osi projekcije; dvije projekcije tačke u potpunosti određuju položaj njene treće projekcije.

Treba napomenuti da u složenim crtežima, po pravilu, ravni projekcije nisu ograničene i njihov položaj je postavljen osama (Sl. 62, c). U slučajevima kada uslovi problema to ne zahtijevaju

Ispostavilo se da se projekcije tačaka mogu dati bez prikazivanja osi (Sl. 63, a, b). Takav sistem se naziva neosnovan. Komunikacione linije se mogu povući i sa razmakom (Sl. 63, b).

62.gif

slika:

63.gif

slika:

34. Položaj tačke u prostoru trodimenzionalnog ugla

§ 34. Položaj tačke u prostoru trodimenzionalnog ugla

Položaj projekcija tačaka na složenom crtežu zavisi od položaja tačke u prostoru trodimenzionalnog ugla. Razmotrimo neke slučajeve:

• tačka se nalazi u prostoru (vidi sliku 62). U ovom slučaju, ima dubinu, visinu i širinu;
• tačka se nalazi na ravni projekcije P 1- nema visinu, P 2 - nema dubine, Pz - nema širine;
• tačka se nalazi na osi projekcija, P 2 / P 1 nema dubinu i visinu, P 2 / P 3 - nema dubinu i geografsku širinu i P 1 / P 3 nema visinu i širinu.

35. Takmičarski bodovi

§ 35. Konkursne tačke

Dvije tačke u prostoru mogu se locirati na različite načine. U određenom slučaju mogu se locirati tako da im se projekcije na nekoj ravni projekcije poklapaju. Takve tačke se nazivaju nadmetanje. Na sl. 64, a dat je složeni crtež tačaka ALI i AT. Nalaze se tako da im se projekcije poklapaju na ravni P 1 [A 1 = B 1]. Takve tačke se nazivaju horizontalno takmiče. Ako su projekcije tačaka A i B poklapaju u avionu

P 2(Sl. 64, b) oni se zovu frontalno konkurentan. A ako su projekcije tačaka ALI i AT poklapaju se na ravni P 3 [A 3 = B 3] (slika 64, c), nazivaju se profil konkurentan.

Konkurentne tačke određuju vidljivost na crtežu. Horizontalno konkurentne tačke videće onu sa većom visinom, frontalno konkurentne - onu sa većom dubinom, a profilne konkurentne - onu sa više geografske širine.

64.gif

slika:

36. Zamjena ravni projekcije

§ 36. Zamjena ravni projekcije

Svojstva troprojekcijskog crteža tačke omogućavaju da se na druge projekcijske ravni, uvedene umesto datih, izgradi treća, koristeći njene horizontalne i frontalne projekcije.

Na sl. 65 a prikazuje tačku ALI a njegove projekcije - horizontalne A 1 i frontalni A 2 . Prema uslovima zadatka potrebno je zamijeniti ravni P 2 . Označimo novu ravan projekcije P 4 i postavimo je okomito P 1. Na raskrsnici ravnina P 1 i P 4 dobijamo novu osu P 1 / P 4 . Nova projekcija tačke A 4će se nalaziti na komunikaciona linija koja prolazi kroz tačku A 1 i okomito na osu P 1 / P 4 .

Od novog aviona P 4 zamjenjuje ravninu frontalne projekcije P 2 , visina tačke ALI prikazani podjednako u punoj veličini i na ravni P 2 i na ravni P 4 .

Ova okolnost nam omogućava da odredimo položaj projekcije A 4 , u sistemu aviona P 1 _|_ P 4(Sl. 65, b) na složenom crtežu. Da biste to učinili, dovoljno je izmjeriti visinu tačke na zamijenjenoj ravni

sti projekcija P 2, staviti na novu liniju komunikacije sa nove ose projekcija - i novu projekciju tačke A 4će biti izgrađena.

Ako se umjesto horizontalne ravni projekcije uvede nova ravan projekcije, tj. P 4 _ | _ P 2 (Sl. 66, a) tada će u novom sistemu ravnina nova projekcija tačke biti na istoj liniji komunikacije sa frontalnom projekcijom, i A 2 A 4 _|_. U ovom slučaju, dubina tačke je ista na ravni P 1, i u avionu P 4 . Na osnovu toga grade A 4(Sl. 66, b) na liniji komunikacije A 2 A 4 na takvoj udaljenosti od nove ose P 1 / P 4 na čemu A 1 nalazi se od ose P 2 /P 1.

Kao što je već napomenuto, izgradnja novih dodatnih projekcija uvijek je povezana sa specifičnim zadacima. U budućnosti će se razmatrati brojni metrički i pozicioni problemi koji se rješavaju metodom zamjene projekcijskih ravnina. U zadacima kod kojih uvođenje jedne dodatne ravni neće dati željeni rezultat, uvodi se još jedna dodatna ravan koja se označava sa P 5 . Postavlja se okomito na već uvedenu ravan P 4 (Sl. 67, a), tj. P 5 P 4 i proizvesti konstrukciju sličnu prethodno razmatranim. Sada se mjere udaljenosti na zamijenjenoj drugoj od glavnih ravni projekcije (na slici 67, b na površini P 1) i deponovati ih na novu liniju komunikacije A 4 A 5, sa nove projekcijske ose P 5 /P 4 . U novom sistemu ravnina P 4 P 5 dobija se novi crtež sa dve projekcije koji se sastoji od ortogonalnih projekcija A 4 i A 5 , povezan komunikacijskom linijom

Projekcioni aparati

Projekcioni aparat (slika 1) uključuje tri ravni projekcije:

π 1 - horizontalna projekcijska ravan;

π 2 - ravnina frontalne projekcije;

π 3– profilna ravan projekcija .

Ravnine projekcije su međusobno okomite ( π 1^ π 2^ π 3), a njihove presečne linije formiraju ose:

Raskrsnica ravnine π 1 i π 2 formiraju osu 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Raskrsnica ravnine π 1 i π 3 formiraju osu 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Raskrsnica ravnine π 2 i π 3 formiraju osu 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Tačka preseka osa (OH∩OY∩OZ=0) smatra se referentnom tačkom (tačka 0).

Budući da su ravni i ose međusobno okomite, takav je aparat sličan Dekartovom koordinatnom sistemu.

Projekcione ravni dijele cijeli prostor na osam oktanata (na sl. 1 označeni su rimskim brojevima). Projekcione ravni se smatraju neprozirnim, a posmatrač je uvek unutra I th oktan.

Projekcija ortogonalna sa projekcijskim centrima S1, S2 i S3 za horizontalnu, frontalnu i profilnu projekcijsku ravninu.

ALI.

Iz projekcionih centara S1, S2 i S3 izlaze projektovane grede l 1, l 2 i l 3 ALI

- A 1 ALI;

- A 2 – prednja projekcija bodova ALI;

- A 3– profilna projekcija tačke ALI.

Tačku u prostoru karakteriziraju njene koordinate A(x,y,z). bodova Sjekira, A y i Az odnosno na osovinama 0X, 0Y i 0Z pokazati koordinate x, y i z bodova ALI. Na sl. 1 daje sve potrebne oznake i pokazuje odnos između tačaka ALI prostor, njegove projekcije i koordinate.

dijagram tačaka

Zacrtati tačku ALI(sl. 2), u projekcijskom aparatu (sl. 1) ravan π 1 A 1 0X π 2. Onda avion π 3 sa projekcijom tačke A 3, rotirajte u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko ose 0Z, dok se ne poklopi sa ravninom π 2. Smjer rotacije ravnina π 2 i π 3 prikazano na sl. 1 strelica. Istovremeno, direktno A 1 A x i A 2 A x 0X okomito A 1 A 2, i prave linije A 2 A x i A 3 A xće se nalaziti zajedno sa osom 0Z okomito A 2 A 3. Ove linije će se nazivati vertikalno i horizontalno priključne linije.

Treba napomenuti da prilikom prijelaza sa projekcijskog aparata na dijagram projektirani objekt nestaje, ali se čuvaju svi podaci o njegovom obliku, geometrijskim dimenzijama i položaju u prostoru.

ALI(x A , y A , z Ax A , y A i z A u sledećem nizu (slika 2). Ova sekvenca se naziva tehnika crtanja tačaka.

1. Ose se crtaju ortogonalno OX, OY i oz.

2. Na osi OX x A bodova ALI i dobiti poziciju tačke Sjekira.

3. Kroz tačku Sjekira okomito na osu OX

Sjekira u smjeru ose OY numerička vrijednost koordinate je odgođena y A bodova ALI A 1 na parceli.

Sjekira u smjeru ose oz numerička vrijednost koordinate je odgođena zA bodova ALI A 2 na parceli.

6. Kroz tačku A 2 paralelno sa osom OX nacrtana je vodoravna linija. Presjek ove linije i ose ozće dati poziciju tačke A z.

7. Na horizontalnoj liniji od tačke A z u smjeru ose OY numerička vrijednost koordinate je odgođena y A bodova ALI i određuje se položaj profilne projekcije tačke A 3 na parceli.

Tačkasta karakteristika

Sve tačke prostora su podeljene na tačke privatne i opšte pozicije.

Privatne pozicije. Tačke koje pripadaju projekcijskom aparatu nazivaju se tačke određenog položaja. To uključuje tačke koje pripadaju ravnima projekcije, osovinama, ishodištu i centrima projekcije. Karakteristične karakteristike tačaka privatnog položaja su:

Metamatematički - jedna, dvije ili sve numeričke vrijednosti koordinata jednake su nuli i (ili) beskonačnosti;

Na dijagramu - dvije ili sve projekcije točke nalaze se na osi i (ili) nalaze se u beskonačnosti.

Poeni u općem položaju. Tačke opšte pozicije uključuju tačke koje ne pripadaju projekcionom aparatu. Na primjer, tačka ALI na sl. 1 i 2.

U općenitom slučaju, numeričke vrijednosti koordinata točke karakteriziraju njenu udaljenost od ravnine projekcije: koordinata X iz aviona π 3; koordinata y iz aviona π 2; koordinata z iz aviona π 1. Treba napomenuti da predznaci na numeričkim vrijednostima koordinata ukazuju na smjer uklanjanja točke iz ravnina projekcije. Ovisno o kombinaciji znakova za numeričke vrijednosti koordinata točke, ovisi u kojem se oktanu nalazi.

Metod dvije slike

U praksi se, pored metode pune projekcije, koristi i metoda dvije slike. Razlikuje se po tome što je u ovoj metodi isključena treća projekcija objekta. Da bi se dobio projekcijski aparat za metodu dvije slike, ravan projekcije profila sa svojim projekcijskim centrom isključena je iz kompletnog projekcijskog aparata (slika 3). Osim toga, na osi 0X ishodište je dodijeljeno (tačka 0 ) i od njega okomito na osu 0X u ravnima projekcije π 1 i π 2 potrošiti os 0Y i 0Z respektivno.

U ovom aparatu ceo prostor je podeljen u četiri kvadranta. Na sl. 3 su označene rimskim brojevima.

Projekcione ravni se smatraju neprozirnim, a posmatrač je uvek unutra I th kvadrant.

Razmotrite rad uređaja na primjeru projektovanja tačke ALI.

Iz projekcionih centara S1 i S2 izlaze projektovane grede l 1 i l 2. Ovi zraci prolaze kroz tačku ALI a sijeku se sa ravnima projekcije formiraju njegove projekcije:

- A 1- horizontalna projekcija tačke ALI;

- A 2– frontalna projekcija tačke ALI.

Zacrtati tačku ALI(sl. 4), u projekcijskom aparatu (sl. 3) ravan π 1 sa rezultujućom projekcijom tačke A 1 rotirati u smjeru kazaljke na satu oko ose 0X, dok se ne poklopi sa ravninom π 2. Pravac rotacije ravni π 1 prikazano na sl. 3 strelice. Istovremeno, na dijagramu tačke dobijene metodom dve slike ostaje samo jedna tačka. vertikalno komunikacijska linija A 1 A 2.

U praksi, crtanje tačke ALI(x A , y A , z A) vrši se prema brojčanim vrijednostima njegovih koordinata x A , y A i z A u sledećem nizu (slika 4).

1. Nacrtana je os OX a ishodište je dodijeljeno (tačka 0 ).

2. Na osi OX numerička vrijednost koordinate je odgođena x A bodova ALI i dobiti poziciju tačke Sjekira.

3. Kroz tačku Sjekira okomito na osu OX nacrtana je vertikalna linija.

4. Na okomitoj liniji od tačke Sjekira u smjeru ose OY numerička vrijednost koordinate je odgođena y A bodova ALI i određuje se položaj horizontalne projekcije tačke A 1 OY nije ucrtan, ali se pretpostavlja da su njegove pozitivne vrijednosti ispod ose OX, dok su negativni veći.

5. Na okomitoj liniji od tačke Sjekira u smjeru ose oz numerička vrijednost koordinate je odgođena zA bodova ALI i određuje se položaj frontalne projekcije tačke A 2 na parceli. Treba napomenuti da je na dijagramu os oz nije nacrtana, ali se pretpostavlja da se njegove pozitivne vrijednosti nalaze iznad ose OX, dok su negativni niži.

Konkursne tačke

Tačke na istoj projektovanoj zraki nazivaju se konkurentske tačke. Imaju zajedničku projekciju u pravcu projekcije grede, tj. njihove projekcije se identično poklapaju. Karakteristična karakteristika konkurentskih tačaka na dijagramu je identična podudarnost njihovih istoimenih projekcija. Konkurencija je u vidljivosti ovih projekcija u odnosu na posmatrača. Drugim riječima, u prostoru za posmatrača, jedna od tačaka je vidljiva, druga nije. I, shodno tome, na crtežu: jedna od projekcija konkurentskih tačaka je vidljiva, a projekcija druge tačke je nevidljiva.

Na modelu prostorne projekcije (slika 5) iz dvije konkurentske tačke ALI i AT vidljiva tačka ALI na dva međusobno komplementarna osnova. Prema lancu S 1 →A→B dot ALI bliže posmatraču od tačke AT. I, shodno tome, dalje od ravni projekcije π 1(oni. zA > zA).

Rice. 5 Sl.6

Ako je sama tačka vidljiva A, tada je vidljiva i njegova projekcija A 1. U odnosu na projekciju koja se s njim poklapa B1. Radi jasnoće i, ako je potrebno, na dijagramu, nevidljive projekcije tačaka obično se stavljaju u zagrade.

Uklonite tačke na modelu ALI i AT. Njihove podudarne projekcije na ravni će ostati π 1 i odvojene projekcije - na π 2. Uslovno ostavljamo frontalnu projekciju posmatrača (⇩), koja se nalazi u centru projekcije S1. Zatim duž lanca slika ⇩ → A2 → B2 o tome će se moći suditi zA > z B i da je sama tačka vidljiva ALI i njegovu projekciju A 1.

Slično, razmotrite konkurentne tačke OD i D očigledno u odnosu na ravan π 2 . Pošto je zajednička projektovana greda ovih tačaka l 2 paralelno sa osom 0Y, zatim znak vidljivosti konkurentskih tačaka OD i D je određena nejednakošću yC > yD. Dakle, poenta D zatvoreno tačkom OD i, shodno tome, projekcija tačke D2 biće pokriveni projekcijom tačke Od 2 na površini π 2.

Razmotrimo kako se određuje vidljivost konkurentskih tačaka na složenom crtežu (slika 6).

Prema podudarnim projekcijama A 1≡U 1 same tačke ALI i AT nalaze se na istoj izbačenoj gredi paralelnoj sa osi 0Z. Dakle, koordinate treba uporediti zA i z B ove tačke. Da bismo to učinili, koristimo ravninu frontalne projekcije s odvojenim slikama tačaka. AT ovaj slučaj zA > z B. Iz ovoga slijedi da je projekcija vidljiva A 1.

bodova C i D na složenom crtežu koji se razmatra (slika 6) su takođe na istoj izbačenoj gredi, ali samo paralelno sa osom 0Y. Dakle, iz poređenja yC > yD zaključujemo da je projekcija C 2 vidljiva.

Opšte pravilo . Vidljivost za podudarne projekcije konkurentskih tačaka utvrđuje se poređenjem koordinata ovih tačaka u pravcu zajedničkog projekcijskog snopa. Vidljiva je projekcija tačke za koju je ova koordinata veća. U ovom slučaju, poređenje koordinata se vrši na ravni projekcija sa odvojenim slikama tačaka.

U ovom članku ćemo pronaći odgovore na pitanja kako napraviti projekciju točke na ravan i kako odrediti koordinate te projekcije. U teorijskom dijelu ćemo se osloniti na koncept projekcije. Dat ćemo definicije pojmova, popratiti informacije ilustracijama. Učvrstimo stečeno znanje rješavanjem primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Projekcija, vrste projekcija

Za praktičnost razmatranja prostornih figura, koriste se crteži koji prikazuju ove figure.

Definicija 1

Projekcija figure na ravan- crtež prostorne figure.

Očigledno, postoji niz pravila koja se koriste za konstruiranje projekcije.

Definicija 2

projekcija- proces konstruisanja crteža prostorne figure na ravni koristeći pravila konstrukcije.

Projekciona ravan je ravan u kojoj je slika izgrađena.

Upotreba određenih pravila određuje vrstu projekcije: centralno ili paralelno.

poseban slučaj paralelna projekcija je okomita projekcija ili ortogonalna: u geometriji se uglavnom koristi. Zbog toga se u govoru često izostavlja i sam pridjev “okomito”: u geometriji jednostavno kažu “projekcija figure” i pod tim podrazumijevaju konstrukciju projekcije metodom okomite projekcije. U posebnim slučajevima, naravno, može se odrediti drugačije.

Primjećujemo činjenicu da je projekcija figure na ravan, u stvari, projekcija svih tačaka ove figure. Stoga, da bismo mogli proučiti prostornu figuru na crtežu, potrebno je dobiti osnovna vještina projektuje tačku na ravan. O čemu ćemo pričati u nastavku.

Podsjetimo da najčešće u geometriji, govoreći o projekciji na ravan, misle na korištenje okomite projekcije.

Napravićemo konstrukcije koje će nam omogućiti da dobijemo definiciju projekcije tačke na ravan.

Pretpostavimo da je dat trodimenzionalni prostor, au njemu ravan α i tačka M 1 koja ne pripada ravni α. Hajde da prođemo dati poen M 1 ravno a okomito na datu ravan α. Tačka preseka prave a i ravni α označićemo kao H 1 , po konstrukciji će služiti kao osnova okomice spuštene iz tačke M 1 na ravan α .

Ako je data tačka M 2 koja pripada datoj ravni α, tada će M 2 služiti kao projekcija samog sebe na ravan α.

Definicija 3

je ili sama tačka (ako pripada datoj ravni), ili osnova okomice spuštene iz date tačke u datu ravan.

Nalaženje koordinata projekcije tačke na ravan, primjeri

Neka je u trodimenzionalnom prostoru dat: pravougaoni koordinatni sistem O x y z, ravan α, tačka M 1 (x 1, y 1, z 1) . Potrebno je pronaći koordinate projekcije tačke M 1 na datu ravan.

Rješenje očito slijedi iz gornje definicije projekcije tačke na ravan.

Projekciju tačke M 1 na ravan α označavamo sa H 1 . Prema definiciji, H 1 je tačka preseka date ravni α i prave a kroz tačku M 1 (upravno na ravan). One. koordinate projekcije tačke M 1 koje su nam potrebne su koordinate tačke preseka prave a i ravni α.

Dakle, da bismo pronašli koordinate projekcije tačke na ravan, potrebno je:

Dobiti jednačinu ravni α (u slučaju da nije postavljena). Ovdje će vam pomoći članak o vrstama ravninskih jednačina;

Odrediti jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita na ravan α (proučiti temu jednačine prave koja prolazi kroz datu tačku okomita na datu ravan);

Naći koordinate tačke preseka prave a i ravni α (članak - nalaženje koordinata presečne tačke ravni i prave). Dobijeni podaci će biti koordinate projekcije tačke M 1 na ravan α koja nam je potrebna.

Razmotrimo teoriju na praktičnim primjerima.

Primjer 1

Odredite koordinate projekcije točke M 1 (- 2, 4, 4) na ravninu 2 x - 3 y + z - 2 = 0.

Rješenje

Kao što vidimo, data nam je jednačina ravni, tj. nema potrebe da ga komponujete.

Napišimo kanonske jednačine prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita je na datu ravan. U te svrhe određujemo koordinate usmjeravajućeg vektora prave a. Kako je prava a okomita na datu ravan, tada je usmjeravajući vektor prave a vektor normale ravni 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Na ovaj način, a → = (2 , - 3 , 1) – vektor pravca a .

Sada sastavljamo kanonske jednadžbe prave linije u prostoru koja prolazi kroz tačku M 1 (- 2, 4, 4) i ima vektor smjera a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Da biste pronašli željene koordinate, sljedeći korak je da odredite koordinate točke presjeka prave x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 i ravni 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . U tu svrhu krećemo od kanonske jednačine na jednačine dvije ravnine koje se seku:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Napravimo sistem jednačina:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

I riješite ga pomoću Cramerove metode:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ - z ⇒ 140 - 28 = 5

Dakle, željene koordinate date tačke M 1 na datoj ravni α će biti: (0, 1, 5) .

odgovor: (0 , 1 , 5) .

Primjer 2

AT pravougaoni sistem koordinate O x y z trodimenzionalni prostor date tačke A (0, 0, 2); U (2, - 1, 0) ; C (4, 1, 1) i M 1 (-1, -2, 5). Potrebno je pronaći koordinate projekcije M 1 na ravan A B C

Rješenje

Pre svega, napišemo jednačinu ravni koja prolazi kroz tri date tačke:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Hajde da zapišemo parametarske jednačine prava linija a, koja će prolaziti kroz tačku M 1 okomito na ravan A B C. Ravan x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ima normalni vektor sa koordinatama (1, - 2, 2), tj. vektor a → = (1 , - 2 , 2) – vektor pravca a .

Sada, imajući koordinate tačke prave M 1 i koordinate usmeravajućeg vektora ove prave, pišemo parametarske jednačine prave u prostoru:

Zatim odredimo koordinate tačke presjeka ravnine x - 2 y + 2 z - 4 = 0 i prave

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Da bismo to učinili, zamjenjujemo u jednadžbu ravnine:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Sada, koristeći parametarske jednačine x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, nalazimo vrijednosti varijabli x, y i z na λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Tako će projekcija tačke M 1 na ravan A B C imati koordinate (- 2, 0, 3) .

odgovor: (- 2 , 0 , 3) .

Zaustavimo se posebno na pitanju pronalaženja koordinata projekcije točke na koordinatne ravnine i ravnine koje su paralelne s koordinatnim ravnima.

Neka su date tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i koordinatne ravni O x y , O x z i O y z. Koordinate projekcije ove tačke na ove ravni će biti redom: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) i (0 , y 1 , z 1) . Uzmite u obzir i ravni paralelne datim koordinatnim ravnima:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

A projekcije date tačke M 1 na ove ravni će biti tačke sa koordinatama x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 i - D A , y 1 , z 1 .

Hajde da pokažemo kako je došlo do ovog rezultata.

Kao primjer, definirajmo projekciju tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravan A x + D = 0. Ostali slučajevi su slični.

Data ravan je paralelna sa koordinatnom ravninom O y z i i → = (1 , 0 , 0) je njena normalni vektor. Isti vektor služi kao usmjeravajući vektor prave linije okomite na ravan O y z . Tada će parametarske jednadžbe prave linije povučene kroz tačku M 1 i okomite na datu ravan izgledati ovako:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Pronađite koordinate tačke preseka ove prave i date ravni. Prvo zamjenjujemo u jednačinu A x + D = 0 jednakosti: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 i dobijamo: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x jedan

Zatim izračunavamo željene koordinate koristeći parametarske jednadžbe prave linije za λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Odnosno, projekcija tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravan će biti tačka sa koordinatama - D A , y 1 , z 1 .

Primjer 2

Potrebno je odrediti koordinate projekcije tačke M 1 (- 6 , 0 , 1 2) na koordinatna ravan O x y i na ravan 2 y - 3 = 0 .

Rješenje

Koordinatna ravan O x y će odgovarati nekompletnom opšta jednačina ravan z = 0 . Projekcija tačke M 1 na ravan z = 0 imat će koordinate (- 6, 0, 0) .

Jednačina ravni 2 y - 3 = 0 može se napisati kao y = 3 2 2 . Sada samo napišite koordinate projekcije tačke M 1 (- 6 , 0 , 1 2) na ravan y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

odgovor:(- 6 , 0 , 0) i - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

PROJEKCIJA TAČKE NA DVIJE RAVNE PROJEKCIJA

Formiranje pravolinijskog segmenta AA 1 može se predstaviti kao rezultat kretanja tačke A u bilo kojoj ravni H (slika 84, a), a formiranje ravni se može predstaviti kao pomeranje pravolinijskog segmenta AB ( 84, b).

Tačka - glavna geometrijski element linijama i površinama, pa proučavanje pravokutne projekcije objekta počinje izradom pravokutnih projekcija tačke.

U prostor diedarskog ugla kojeg čine dvije okomite ravni - frontalna (vertikalna) ravan projekcija V i horizontalna ravan projekcija H, postavljamo tačku A (Sl. 85, a).

Linija presjeka ravnina projekcije je prava linija, koja se naziva osa projekcije i označava se slovom x.

Ovdje je V ravan prikazana kao pravougaonik, a H ravan kao paralelogram. Kosa strana ovog paralelograma se obično crta pod uglom od 45° u odnosu na njegovu horizontalnu stranu. Dužina nagnute strane uzima se jednakom 0,5 njene stvarne dužine.

Iz tačke A, okomice se spuštaju na ravni V i H. Tačke a" i a presjeka okomica sa ravninama projekcije V i H su pravougaone projekcije tačke A. Lik Aaa x a "u prostoru je pravougaonik. Strana aa ovog pravougaonika na vizuelnoj slici je smanjena za 2 puta.

Poravnajmo H ravan sa V ravninom rotirajući V oko linije preseka x ravni. Rezultat je složeni crtež tačke A (slika 85, b)

Da bi se pojednostavio složeni crtež, granice projekcijskih ravni V i H nisu naznačene (Sl. 85, c).

Okomite povučene iz tačke A na ravni projekcije nazivaju se projekcijske prave, a osnove ovih projekcijskih pravih - tačke a i a "se nazivaju projekcije tačke A: a" je frontalna projekcija tačke A, a horizontalna projekcija tačka A.

Prava a "a naziva se vertikalna linija projekcijske veze.

Položaj projekcije tačke na složenom crtežu zavisi od položaja ove tačke u prostoru.

Ako tačka A leži na horizontalnoj projekcijskoj ravni H (slika 86, a), tada se njena horizontalna projekcija a poklapa sa datom tačkom, a frontalna projekcija a" nalazi se na osi. Kada se tačka B nalazi na frontalnoj projekciji ravni V, njena frontalna projekcija se poklapa sa ovom tačkom, a horizontalna projekcija leži na x-osi. Horizontalna i frontalna projekcija date tačke C, koja leži na x-osi, poklapaju se sa ovom tačkom. Kompleksni crtež tačaka A , B i C je prikazano na slici 86, b.

PROJEKCIJA TAČKE NA TRI PROJEKCIJE

U slučajevima kada je oblik predmeta nemoguće zamisliti iz dvije projekcije, on se projektuje na tri projekcijske ravni. U ovom slučaju se uvodi profilna ravan projekcija W, okomito na ravni V i H. Vizuelni prikaz sistema od tri projekcijske ravni dat je na sl. 87 a.

Rubovi trokutnog ugla (presjek ravnina projekcije) nazivaju se osi projekcije i označavaju se sa x, y i z. Presjek osi projekcije naziva se početak osi projekcije i označava se slovom O. Spustimo okomicu iz tačke A na ravninu projekcije W i, označavajući osnovu okomice slovom a, dobićemo projekcija profila tačke A.

Da bi se dobio složeni crtež, tačke A ravnina H i W su poravnate sa V ravninom, rotirajući ih oko ose Ox i Oz. Složeni crtež tačke A prikazan je na sl. 87b i c.

Segmenti projektovanih pravih od tačke A do ravni projekcije nazivaju se koordinate tačke A i označavaju se: x A, y A i z A.

Na primjer, koordinata z A tačke A, jednaka segmentu a "a x (sl. 88, a i b), je rastojanje od tačke A do horizontalne ravni projekcije H. Koordinata u tački A, jednaka je segment aa x, je rastojanje od tačke A do frontalne ravni projekcija V. Koordinata x A jednaka segmentu aa y je rastojanje od tačke A do profilne ravni projekcija W.

Dakle, udaljenost između projekcije tačke i ose projekcije određuje koordinate tačke i ključna je za čitanje njenog složenog crteža. Sa dvije projekcije tačke mogu se odrediti sve tri koordinate tačke.

Ako su date koordinate tačke A (na primjer, x A = 20 mm, y A = 22 mm i z A = 25 mm), tada se mogu izgraditi tri projekcije ove točke.

Da biste to učinili, od početka koordinata O u pravcu ose Oz, polaže se koordinata z A i polaže koordinata y A. segmenti jednaki x koordinati A. Rezultirajuće tačke a" i a su frontalne i horizontalne projekcije tačke A.

Prema dvije projekcije a" i tački A, njena profilna projekcija se može konstruirati na tri načina:

1) iz ishodišta O povuče se pomoćni luk poluprečnika Oa y jednakim koordinatama (sl. 87, b i c), iz dobijene tačke a y1 povuče se prava linija paralelna osi Oz i položi a segment jednak z A;

2) iz tačke a y povlači se pomoćna prava linija pod uglom od 45° u odnosu na osu Oy (slika 88, a), dobija se tačka a y1 itd.;

3) iz ishodišta O povući pomoćnu pravu liniju pod uglom od 45° prema osi Oy (slika 88, b), dobiti tačku a y1 itd.

Metoda projekcije je osnova teorije konstrukcije crtežnih slika u inženjerskoj grafici. Najčešće se koristi kada je potrebno pronaći sliku tijela u obliku njegove projekcije na ravan ili dobiti podatke o njegovom položaju u prostoru.

Uputstvo

• U višedimenzionalnom prostoru, bilo koja slika objekta na ravni može se dobiti pomoću projekcije. Međutim, ne treba suditi o geometrijskom obliku tijela ili obliku najjednostavnijih slika u geometriji na osnovu jedne projekcije tačke. Većina pune informacije o slici geometrijskog tijela daje nekoliko projekcija tačaka. Zašto koristiti projekcije tačaka tijela u najmanje dvije ravni.
• Na primjer, trebate izgraditi projekcija tačka A. Da biste to učinili, postavite dvije ravni okomito jedna na drugu. Jedan je horizontalan, nazivamo ga horizontalnim avion i označava sve projekcije elemenata sa indeksom 1. Drugi - vertikalno. Nazovite ga, respektivno, frontalno avion, i projekcijama elemenata dodijelite indeks 2. Smatrajte da su obje ove ravni beskonačne i neprozirne. Linija njihovog preseka postaje koordinatna osa OX.
• Zatim prihvatite kao činjenicu da je prostor između ravni projekcije konvencionalno podijeljen na četvrtine. Nalazite se u prvom kvadrantu i vidite samo linije i tačke koje se nalaze u tom području diedralnog ugla.
• Suština procesa projekcije je proći zrak kroz datu tačku dok se zrak ne sretne avion projekcije. Ova metoda nazvana metodom ortogonalne projekcije. Prema tome, spustite okomicu iz tačke A na horizontalnu i frontalnu ravan. Osnova ove okomice će biti samo horizontalna projekcija tačke A1 ili frontalna projekcija tačke A2. Na taj način ćete dobiti poziciju te tačke u prostoru dati avioni projekcije.