Krug sinusa i kosinusa sa znacima. trigonometrijski krug

Ako ste već upoznati sa trigonometrijski krug , a želite samo da osvježite pojedine elemente u sjećanju, ili ste potpuno nestrpljivi, evo ga, :

Ovdje ćemo sve detaljno analizirati korak po korak.

Trigonometrijski krug nije luksuz, već potreba

Trigonometrija mnogi su povezani s neprohodnom šikarom. Odjednom se nakupi toliko vrijednosti trigonometrijskih funkcija, toliko formula... Ali, na kraju krajeva, isprva nije išlo, i... stalno i stalno... čisti nesporazum... .

Veoma je važno da ne odmahnete rukom vrijednosti trigonometrijskih funkcija, - kažu, uvijek možete pogledati špur sa tablicom vrijednosti.

Ako stalno gledate u tablicu sa vrijednostima trigonometrijskih formula, riješimo se ove navike!

Spasiće nas! Radit ćete s njim nekoliko puta, a onda će vam se sam pojaviti u glavi. Zašto je bolje od stola? Da, u tabeli ćete naći ograničen broj vrijednosti, ali u krugu - SVE!

Na primjer, recimo, gledam standardna tablica vrijednosti trigonometrijskih formula , što je sinus od, recimo, 300 stepeni, ili -45.

Nema šanse?.. možete se, naravno, povezati formule redukcije... A gledajući trigonometrijski krug, lako možete odgovoriti na takva pitanja. I uskoro ćete znati kako!

A kod rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednačina bez trigonometrijskog kruga - nigdje.

Uvod u trigonometrijski krug

Idemo redom.

Prvo zapišite sljedeću seriju brojeva:

A sad ovo:

I na kraju ovaj:

Naravno, jasno je da je, zapravo, na prvom mjestu, na drugom mjestu je, a na posljednjem -. Odnosno, bićemo više zainteresovani za lanac.

Ali kako je lepo ispalo! U tom slučaju ćemo obnoviti ove “divne ljestve”.

A zašto nam treba?

Ovaj lanac je glavne vrijednosti sinusa i kosinusa u prvom tromjesečju.

Nacrtajmo krug jediničnog radijusa u pravougaonom koordinatnom sistemu (to jest, uzmemo bilo koji poluprečnik duž dužine i proglasimo njegovu dužinu jediničnom).

Od grede "0-Start" odvajamo uglove u smjeru strelice (vidi sliku).

Dobijamo odgovarajuće tačke na kružnici. Dakle, ako projiciramo tačke na svaku od osa, dobićemo tačno vrednosti iz gornjeg lanca.

Zašto je to, pitate se?

Nemojmo sve rastavljati. Razmislite princip, što će vam omogućiti da se nosite s drugim, sličnim situacijama.

Trokut AOB je pravokutni trokut sa . A znamo da naspram ugla leži krak dvostruko manji od hipotenuze (naša hipotenuza = poluprečnik kružnice, to jest 1).

Dakle, AB= (i stoga OM=). I po Pitagorinoj teoremi

Nadam se da je sada nešto jasno.

Dakle, tačka B će odgovarati vrednosti, a tačka M će odgovarati vrednosti

Slično i sa ostalim vrijednostima prvog kvartala.

Kao što razumijete, osa poznata nama (vol) bit će kosinus osa, a os (oy) - sinusna osovina . kasnije.

Lijevo od nule na kosinusnoj osi (ispod nule na osi sinusa) biće, naravno, negativne vrijednosti.

Dakle, evo ga, SVEMOĆNOG, bez kojeg nigdje u trigonometriji.

Ali kako koristiti trigonometrijski krug, razgovarat ćemo u nastavku.

Šta je jedinični krug. Jedinični krug je krug poluprečnika 1 sa centrom u početku. Podsjetimo da jednačina kružnice izgleda kao x 2 + y 2 =1. Takav krug se može koristiti za pronalaženje nekih "posebnih" trigonometrijskih odnosa, kao iu konstrukciji grafičkih slika. Uz pomoć njega i linije u njemu, mogu se procijeniti i numeričke vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Zapamtite 6 trigonometrijskih omjera. zapamtite da

sinθ=suprotno/hipotenuza
cosθ=susedna/hipotenuza
tgθ=suprotna noga/susedna noga
cosecθ=1/sin
secθ=1/cos
ctgθ=1/tg.

Šta je radijan. Radijan je jedna od mjera za određivanje veličine ugla. Jedan radijan je vrijednost ugla između dva polumjera nacrtana tako da je dužina luka između njih jednaka vrijednosti radijusa. Imajte na umu da veličina i lokacija kruga ne igraju nikakvu ulogu. Takođe bi trebalo da znate koliki je broj radijana za puni krug (360 stepeni). Podsjetimo da je obim kruga 2πr, što je 2π puta dužina polumjera. Pošto je, po definiciji, 1 radijan ugao između krajeva luka čija je dužina jednaka poluprečniku, u punom krugu postoji ugao jednak 2π radijana.

Znati kako pretvoriti radijane u stupnjeve. Pun krug sadrži 2π radijana ili 360 stepeni. Na ovaj način:

2π radijana=360 stepeni
1 radijan=(360/2π) stepeni
1 radijan=(180/π) stepeni
360 stepeni=2π radijana
1 stepen=(2π/360) radijan
1 stepen=(π/180) radijan

Naučite "posebne" uglove. Ovi uglovi u radijanima su π/6, π/3, π/4, π/2, π i proizvodi ovih veličina (na primjer, 5π/6)

Naučite i zapamtite značenje trigonometrijskih funkcija za posebne uglove. Da biste odredili njihove veličine, morate pogledati jedinični krug. Zamislite segment poznate dužine zatvoren u jedinični krug. Tačka na kružnici odgovara broju radijana u formiranom kutu. Na primjer, ugao π/2 odgovara tački na kružnici, čiji poluprečnik čini ugao od π/2 sa pozitivnim horizontalnim radijusom. Da bi se pronašla vrijednost trigonometrijske funkcije bilo kojeg kuta, određuju se koordinate točke koja odgovara ovom kutu. Hipotenuza je uvijek jednaka jedan, budući da je radijus kružnice, i budući da je svaki broj podijeljen sa 1 jednak sebi, a suprotni krak jednak dužini duž ose Oy, slijedi da je vrijednost sinus bilo kojeg ugla je y-koordinata odgovarajućih tačaka na kružnici. Vrijednost kosinusa se može naći na sličan način. Kosinus je jednak dužini susjednog kraka podijeljenoj s dužinom hipotenuze; budući da je potonji jednak jedan, a dužina susjednog kraka jednaka je x-koordinati tačke na kružnici, slijedi da je kosinus jednak vrijednosti ove koordinate. Pronalaženje tangente je malo teže. Tangenta ugla pravouglog trougla jednaka je suprotnom kraku podeljenom sa susednim krakom. U ovom slučaju, za razliku od prethodnih, količnik nije konstanta, pa su proračuni nešto složeniji. Podsjetimo da je dužina suprotnog kraka jednaka y koordinati, a susjedni krak jednak x koordinati točke na jediničnom krugu; zamjenom ovih vrijednosti dobijamo da je tangent jednak y / x. Dijeljenjem 1 vrijednostima koje se nalaze iznad, lako se mogu pronaći odgovarajuće inverzne trigonometrijske funkcije. Dakle, moguće je izračunati sve glavne trigonometrijske funkcije:

sinθ=y
cosθ=x
tgθ=y/x
cosec=1/y
sec=1/x
ctg=x/y

Pronađite i zapamtite vrijednosti šest trigonometrijskih funkcija za uglove koji leže na koordinatnoj osi, odnosno uglovi koji su višekratnici π/2, kao što su 0, π/2, π, 3π/2, 2π, itd. e. Za tačke kružnice koje se nalaze na koordinatnim osa, to ne predstavlja nikakav problem. Ako tačka leži na x-osi, sinus je nula, a kosinus je 1 ili -1, ovisno o smjeru. Ako tačka leži na osi Oy, sinus će biti jednak 1 ili -1, a kosinus će biti 0.

Pronađite i zapamtite vrijednosti 6 trigonometrijskih funkcija za poseban ugao π/6. Primijenite ugao π/6 na jedinični krug. Znate kako pronaći dužine svih stranica posebnih pravokutnih trougla (sa uglovima 30-60-90 i 45-45-90) s obzirom na dužinu jedne od stranica, a pošto je π/6=30 stepeni, ovaj trokut je jedan od posebnih slučajeva. Za njega je, kao što se sjećate, kratka noga jednaka 1/2 hipotenuze, odnosno y koordinata je 1/2, a duga noga je √3 puta duža od kratke, tj. jednako (√3)/2, pa će x koordinata biti (√3)/2. Tako dobijamo tačku na jediničnom krugu sa sljedećim koordinatama: ((√3)/2,1/2). Koristeći gornje jednačine, nalazimo:

sinπ/6=1/2
cosπ/6=(√3)/2
tanπ/6=1/(√3)
cosecπ/6=2
secπ/6=2/(√3)
ctgπ/6=√3

Pronađite i zapamtite vrijednosti 6 trigonometrijskih funkcija za poseban ugao π/3. Ugao π/3 je na kružnici predstavljen tačkom čija je x-koordinata jednaka y-koordinati ugla π/6 i čija je y-koordinata ista kao i x-koordinata za taj ugao. Dakle, tačka ima koordinate (1/2, √3/2). Kao rezultat, dobijamo:

sinπ/3=(√3)/2
cosπ/3=1/2
tgπ/3=√3
cosecπ/3=2/(√3)
secπ/3=2
ctgπ/3=1/(√3)

Pronađite i zapamtite vrijednosti 6 trigonometrijskih funkcija za poseban ugao π/4. Dužina hipotenuze pravouglog trokuta sa uglovima 45-45-90 povezana je sa dužinama njegovih krakova kao √2 do 1, a biće povezane i vrednosti koordinata tačke na jediničnom krugu. Kao rezultat, imamo:

sinπ/4=1/(√2)
cosπ/4=1/(√2)
tgπ/4=1
cosecπ/4=√2
secπ/4=√2
ctgπ/4=1

Odredite je li vrijednost funkcije pozitivna ili negativna. Svi uglovi koji pripadaju istoj porodici daju iste apsolutne vrijednosti trigonometrijskih funkcija, ali se ove vrijednosti mogu razlikovati u predznaku (jedan je pozitivan, drugi negativan).

Ako je ugao u prvom kvadrantu, sve trigonometrijske funkcije su pozitivne.
Za ugao u drugom kvadrantu, sve funkcije osim sin i cosec su negativne.
U trećem kvadrantu vrijednosti svih funkcija, osim tg i ctg, manje su od nule.
U četvrtom kvadrantu sve funkcije, osim cos i sec, imaju negativne vrijednosti.

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Vikipedija," Zenonove Aporije "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela stoji na različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiseta opisane na Wikipediji. Gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, na kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...

A sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Ja ću vam pokazati, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se pronašao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Bilješka. Ova tablica vrijednosti za trigonometrijske funkcije koristi znak √ za označavanje kvadratnog korijena. Za označavanje razlomka - simbol "/".

vidi takođe korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na presjeku linije koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus od 30 stepeni - tražimo stupac sa naslovom sin (sinus) i nalazimo presjek ove kolone tabele sa linijom "30 stepeni", na njihovom presjeku čitamo rezultat - jedan sekunda. Slično, nalazimo kosinus 60 stepeni, sinus 60 stepeni (još jednom, na preseku sinusne kolone i reda od 60 stepeni, nalazimo vrednost sin 60 = √3/2), itd. Na isti način se pronalaze vrijednosti sinusa, kosinusa i tangenta drugih "popularnih" uglova.

Sinus od pi, kosinus od pi, tangent od pi i drugi uglovi u radijanima

Tabela kosinusa, sinusa i tangenta ispod je također pogodna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dato u radijanima. Da biste to učinili, koristite drugu kolonu vrijednosti uglova. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih uglova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo ugao od 60 stepeni u prvom redu i ispod njega pročitamo njegovu vrijednost u radijanima. 60 stepeni je jednako π/3 radijana.

Broj pi jedinstveno izražava zavisnost obima kruga od stepena mere ugla. Dakle, pi radijani je jednako 180 stepeni.

Bilo koji broj izražen u pi (radijan) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom broja pi (π) sa 180.

Primjeri:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stepeni i jednak je nuli.

2. kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dakle, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stepeni i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
dakle, tangent od pi je isti kao tangent od 180 stepeni i jednak je nuli.

Tabela vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta za uglove 0 - 360 stepeni (česte vrijednosti)

ugao α (stepeni)	ugao α u radijanima (preko pi)	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)	sec (sekantna)	uzrok (kosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija, umjesto vrijednosti funkcije, naznačena crtica (tangenta (tg) 90 stepeni, kotangens (ctg) 180 stepeni), tada je za datu vrijednost mjere stepena ugao, funkcija nema određenu vrijednost. Ako nema crtice, ćelija je prazna, tako da još nismo unijeli željenu vrijednost. Zanima nas po kojim zahtjevima nam se korisnici obraćaju i dopunjuju tablicu novim vrijednostima, uprkos činjenici da su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangenta najčešćih vrijednosti uglova dovoljni za rješavanje većine probleme.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije uglove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stepeni
(numeričke vrijednosti "prema Bradisovim tabelama")

vrijednost ugla α (stepeni)	vrijednost ugla α u radijanima	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

U ovom članku ćemo detaljno analizirati definiciju numeričkog kruga, saznati njegovo glavno svojstvo i urediti brojeve 1,2,3, itd. O tome kako označiti druge brojeve na krugu (na primjer, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π)) ( 6)\)) razumije .

Brojčani krug nazovimo krug jediničnog radijusa, čije tačke odgovaraju uređeno prema sljedećim pravilima:

1) Početna tačka je u krajnjoj desnoj tački kružnice;

2) U smjeru suprotnom od kazaljke na satu - pozitivan smjer; u smjeru kazaljke na satu - negativno;

3) Ako ucrtamo rastojanje \(t\) na kružnicu u pozitivnom smjeru, onda ćemo doći do tačke s vrijednošću \(t\);

4) Ako razmak \(t\) nanesemo na kružnicu u negativnom smjeru, onda ćemo doći do točke s vrijednošću \(–t\).

Zašto se krug zove broj?
Jer ima brojeve na sebi. U tome je krug sličan brojevnoj osi - na krugu, kao i na osi, za svaki broj postoji određena tačka.

Zašto znati šta je brojčani krug?
Uz pomoć numeričkog kruga određuje se vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stoga, da biste poznavali trigonometriju i položili ispit sa 60+ bodova, neophodno je razumjeti šta je brojevni krug i kako se na njega stavljaju tačke.

Šta riječi "...jediničnog polumjera ..." znače u definiciji?
To znači da je polumjer ove kružnice \(1\). A ako konstruiramo takav krug sa središtem u nultu, onda će se on sjeći sa osama u tačkama \(1\) i \(-1\).

Nije potrebno crtati malo, možete promijeniti "veličinu" podjela duž osi, tada će slika biti veća (vidi dolje).

Zašto je radijus tačno jedan? To je zgodnije, jer u ovom slučaju, kada izračunavamo obim pomoću formule \(l=2πR\), dobijamo:

Dužina brojčanog kruga je \(2π\) ili približno \(6,28\).

A šta znači "... čije tačke odgovaraju realnim brojevima"?
Kao što je gore spomenuto, na brojevnom krugu za bilo koji realni broj sigurno će biti njegovo „mjesto“ - tačka koja odgovara ovom broju.

Zašto odrediti početak i smjer na brojevnom krugu?
Glavna svrha brojčanog kruga je da jedinstveno odredi svoju tačku za svaki broj. Ali kako možete odrediti gdje stati na kraj ako ne znate odakle da računate i kuda da se krećete?

Ovdje je važno ne brkati ishodište na koordinatnoj liniji i na brojevnom krugu - to su dva različita referentna sistema! Također, nemojte brkati \(1\) na osi \(x\) i \(0\) na kružnici - to su tačke na različitim objektima.

Koje tačke odgovaraju brojevima \(1\), \(2\), itd?

Zapamtite, pretpostavili smo da je radijus brojevne kružnice \(1\)? Ovo će biti naš pojedinačni segment (po analogiji s brojevnom osom), koji ćemo staviti na krug.

Da biste označili tačku na brojevnoj kružnici koja odgovara broju 1, trebate prijeći od 0 udaljenost jednaku polumjeru u pozitivnom smjeru.

Da biste označili tačku na kružnici koja odgovara broju \(2\), trebate prijeći udaljenost jednaku dva polumjera od početka, tako da je \(3\) udaljenost jednaka tri poluprečnika, itd.

Gledajući ovu sliku, možda ćete imati 2 pitanja:
1. Šta će se dogoditi kada se krug "završi" (tj. napravimo puni krug)?
Odgovor: idemo u drugi krug! A kad se završi drugi, idemo na treći i tako dalje. Dakle, beskonačan broj brojeva može se primijeniti na krug.

2. Gdje će biti negativni brojevi?
Odgovor: tu! Oni se također mogu rasporediti, računajući od nule potreban broj radijusa, ali sada u negativnom smjeru.

Nažalost, teško je odrediti cijele brojeve na brojevnom krugu. To je zbog činjenice da dužina numeričkog kruga neće biti cijeli broj: \ (2π \). A na najpovoljnijim mjestima (u točkama sjecišta s osama) također neće biti cijeli brojevi, već razlomci