Kvadratne jednadžbe - primjeri sa rješenjima, karakteristikama i formulama. Opšti pogled na kvadratnu jednačinu

Važne napomene!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

u terminu " kvadratna jednačina Ključna riječ je "kvadrat". To znači da jednačina mora nužno sadržavati promjenljivu (isti X) u kvadratu, a u isto vrijeme ne bi trebalo biti X u trećem (ili većem) stepenu.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješenje kvadratnih jednačina.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednačinu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Oslobodite se nazivnika i svaki član jednačine pomnožite sa

Pomerimo sve na lijevu stranu i rasporedimo članove u opadajućem redoslijedu po stepenu x

Sada to sa sigurnošću možemo reći zadata jednačina je kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je prvobitno bila u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Strašno? Četvrti i drugi stepen... Međutim, ako izvršimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednačinu:

Primjer 4

Čini se da jeste, ali hajde da pogledamo izbliza. Pomerimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednačina!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednačina kvadratne, a koje nisu:

primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ne kvadratna;
4. ne kvadratna;
5. ne kvadratna;
6. kvadrat;
7. ne kvadratna;
8. kvadrat.

Matematičari uslovno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dato su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednačina iz primjera jedan ne samo potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Nepotpune su jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat !!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednačina.

Zašto su smislili takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva podjela je zbog metoda rješavanja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, fokusirajmo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su mnogo jednostavnije!

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tipova:

1. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Pošto znamo kako da izvučemo Kvadratni korijen, onda izrazimo iz ove jednačine

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednačina nema rješenja.

A ako, onda dobijamo dva korijena. Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar je da uvijek znate i zapamtite da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednačinu

Sada ostaje izvući korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako izvaditi korijenje?

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednačinu

Jao! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

bez korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvukli root.
Primjer 8:

Riješite jednačinu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

dakle,

Ova jednadžba ima dva korijena.

odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je kompletna kvadratna jednadžba jednačina oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje punih kvadratnih jednadžbi je malo složenije (samo malo) od navedenih.

zapamti, bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je vrlo jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednačina ima korijen Posebna pažnja nacrtaj korak. Diskriminant () nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, onda će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednačina će imati samo korijen.
• Ako, onda nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednačinu

Korak 1 preskoči.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

Korak 3

odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednačinu

Jednačina je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskoči.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednačina ima jedan korijen.

odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednačinu

Jednačina je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskoči.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

odgovor: nema korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju redukovane (kada je koeficijent a jednak):

Takve jednačine je vrlo lako riješiti korištenjem Vietine teoreme:

Zbir korijena dato kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednačinu

Ova jednadžba je pogodna za rješenje pomoću Vietine teoreme, jer .

Zbir korijena jednadžbe je, tj. dobijamo prvu jednačinu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sistem:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i su rješenje sistema:

odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednačinu

Jednačina je redukovana, što znači:

odgovor:

KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Šta je kvadratna jednačina?

Drugim riječima, kvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi, štaviše.

Broj se naziva najvišim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, a - besplatni član.

Zašto? Jer ako, jednačina će odmah postati linearna, jer će nestati.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj se jednadžba stolice naziva nepotpuna. Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednačina je potpuna.

Rješenja različitih tipova kvadratnih jednadžbi

Metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednačina:

I. , u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svakog od ovih podtipova.

Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zbog toga:

ako, onda jednačina nema rješenja;

ako imamo dva korena

Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

nema korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

odgovor:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednačina ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

primjer:

Riješite jednačinu.

Odluka:

Faktorizujemo lijevu stranu jednačine i nalazimo korijene:

odgovor:

Metode za rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti pomoću diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u korijenskoj formuli? Ali diskriminant može biti negativan. sta da radim? Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednačine.

• Ako, onda jednačina ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali u stvari, jedan korijen:

  Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim korijenima.

• Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Zašto je to moguće različit iznos roots? Hajde da se okrenemo geometrijskog smisla kvadratna jednačina. Grafikon funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka sa x-osom (osom). Parabola možda uopće ne prelazi os, ili je može sjeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije tačke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietin teorem

Korištenje Vietine teoreme je vrlo jednostavno: samo trebate odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietina teorema može primijeniti samo na date kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednačinu.

Odluka:

Ova jednadžba je pogodna za rješenje pomoću Vietine teoreme, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbir korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Odaberimo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak, i provjerimo da li je njihov zbir jednak:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i su rješenje sistema:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Odluka:

Odabiremo takve parove brojeva koji daju u proizvodu, a zatim provjeravamo da li je njihov zbir jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, na kraju krajeva, posao.

odgovor:

Primjer #3:

Odluka:

Slobodni član jednadžbe je negativan, a time i proizvod korijena - negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbir korijena je razlike njihovih modula.

Odabiremo takve parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - pogodan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Pošto njihov zbir mora biti jednak, tada korijen koji je manji po apsolutnoj vrijednosti mora biti negativan: . Provjeravamo:

odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednačinu.

Odluka:

Jednačina je redukovana, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je proizvod jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očigledno, samo korijeni i pogodni su za prvi uvjet:

odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednačinu.

Odluka:

Jednačina je redukovana, što znači:

Zbir korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Odabiremo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak:

Očigledno, korijeni su brojevi i.

odgovor:

Slažete se, vrlo je zgodno - izmisliti korijene usmeno, umjesto da brojite ovaj gadni diskriminator. Pokušajte koristiti Vietinu teoremu što je češće moguće.

Ali Vietina teorema je potrebna kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da bi vam bilo isplativo da ga koristite, morate radnje dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietina teorema:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietovoj teoremi:

Kao i obično, odabir počinjemo s proizvodom:

Nije prikladno zbog količine;

: iznos je ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naša omiljena Vieta teorema: zbir bi trebao ispasti, ali je proizvod jednak.

Ali pošto ne bi trebalo biti, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve termine prenijeti u jedan dio:

Zbir korijena jednak je proizvodu.

Da, stani! Jednačina nije data. Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u datim jednačinama. Dakle, prvo morate donijeti jednačinu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednačinu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

U redu. Tada je zbir korijena jednak proizvodu.

Ovdje je lakše pokupiti: na kraju krajeva - prost broj (izvinite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni termin je negativan. Šta je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih znakova. A sada, tokom odabira, ne provjeravamo zbir korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, već proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je sa minusom. Vietina teorema nam govori da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, pošto.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Šta prvo treba uraditi? Tako je, dajte jednačinu:

Opet: biramo faktore broja, a njihova razlika bi trebala biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbir mora biti jednak, što znači da će sa minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

Dozvolite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem se koristi samo u datim kvadratnim jednačinama.
2. Koristeći Vietinu teoremu, korijene možete pronaći odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije data ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, onda nema cjelobrojnih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljaju kao članovi iz formula skraćenog množenja – kvadrata zbira ili razlike – onda se nakon promjene varijabli jednačina može predstaviti kao nepotpuna kvadratna jednačina tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednačinu: .

Odluka:

odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednačinu: .

Odluka:

odgovor:

Generalno, transformacija će izgledati ovako:

Ovo implicira: .

Zar te ne podsjeća ni na šta? To je diskriminator! Upravo tako je dobijena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznata, su koeficijenti kvadratne jednačine, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Redukovana kvadratna jednačina- jednačina u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednačina ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednačina ima oblik: ,
• ako i, jednačina ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazite nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednačina nema rješenja,
• ako, onda jednačina ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednačina oblika gdje

2.1. Rješenje korištenjem diskriminanta

1) Dovodimo jednačinu na standardni pogled: ,

2) Izračunajte diskriminanta koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednačine:

3) Pronađite korijene jednačine:

• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednačina nema korijena.

2.2. Rješenje korištenjem Vietine teoreme

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe (jednačina oblika gdje je) jednak je, a proizvod korijena jednak, tj. , a.

2.3. Potpuno kvadratno rješenje

Ako kvadratna jednadžba oblika ima korijen, onda se može napisati u obliku: .

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje ispita, za prijem u institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se mnogo toga otvara pred njima. više mogućnosti i život postaje svetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rešenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije studiranja specifične metode rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu uvjetno podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijene;
2. Imaju tačno jedan koren;
3. Uzmi dva drugačiji korijen.

Ovo je važna razlika između kvadratne i linearne jednadžbe, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac .

Ova formula se mora znati napamet. Odakle dolazi sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

1. Ako je D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemo koeficijente za prvu jednačinu i nalazimo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Na isti način analiziramo i drugu jednačinu:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Ostaje posljednja jednačina:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su za svaku jednačinu ispisani koeficijenti. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete mešati šanse i nećete praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati ​​sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada idemo na rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobijate isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju kada se negativni koeficijenti zamijene u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: doslovno pogledajte formulu, obojite svaki korak - i riješite se grešaka vrlo brzo.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da je kvadratna jednačina nešto drugačija od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Lako je vidjeti da jedan od članova nedostaje u ovim jednačinama. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne moraju čak ni izračunati diskriminanta. Pa hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednadžba poprima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.

Hajde da razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0. Lagano je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednakost (−c / a ) ≥ 0, postojaće dva korijena. Formula je data gore;
2. Ako (−c / a )< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminanta nije bila potrebna - u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopće nema složenih proračuna. Zapravo, nije ni potrebno zapamtiti nejednakost (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrade

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potiču korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Uputstvo

Postoje dva načina za pronalaženje korijena jednadžbe: preko diskriminanta (označenog slovom D) ili korištenjem Vietine teoreme. Rješenje preko diskriminanta zahtijeva poznavanje sljedećih formula: zapravo pronalaženje diskriminanta D= b2-4ac; izračunavanje korijena jednačine x=(-b±√D)/2a.

Broj korijena ovisi o rezultirajućem diskriminantu. Ako je D>0, onda jednačina ima dva različita korijena. Sa D=0, odgovor će biti jedini korijen x=(-b)/2a. Ako je D0, postojaće dva rešenja: x=(-3+√49)/(2*2)=1; x=(-3-√49)/(2*2)=-2,5. Rezultat je -2,5 i 1.

Rješenje kroz Vietinu teoremu sastoji se u odabiru korijena bez dugih proračuna. karakteristika ovu metodu je da koeficijent a mora biti jednako jedan. Neka je x1 prvi korijen, a x2 drugi korijen. Ako uzmete opšta formula kvadratna jednačina ax2+bx+c=0, tada će prema ovoj teoremi izrazi x1+x2=-b i x1*x2=c biti tačni. Da biste razumjeli suštinu rješenja, razmotrite primjer.

Dat nam je uslov x2-2x-8=0, gdje je a=1, b=-2 i c=-8. Hajde da pokupimo takva dva broja, množeći jedan s drugim možete dobiti 8. To mogu biti parovi 2; 4 i 1; 8. Jer broj c je negativan, jedan od faktora također mora biti negativan.

Obratite pažnju na koeficijent b koji se mora dobiti zbirom brojeva. Logično, par brojeva 1; 8 ne može biti tačno. Stoga ostaje samo par 2; 4. Zapamtite da je jedan od brojeva negativan.

Najvjerovatnije će broj 4 biti sa predznakom minus, jer samo zbirom brojeva -4 i 2 možete dobiti broj b = -2. Dakle, željeni korijeni su -4 i 2. Da biste potvrdili ovaj odgovor, zamijenite ove vrijednosti u izraze x1 + x2 = -b i x1 * x2 = c. -4+2=-2; -2=-2. -4*2=-8;-8=-8. Iz toga slijedi da je jednačina ispravno riješena. Ali zapamtite da se svaka kvadratna jednadžba ne može riješiti korištenjem ove teoreme. Ako ne možete pronaći brojeve, koristite diskriminantnu formulu za rješavanje.

Postoje jednadžbe oblika ax2+bx=0 ili ax2+c=0. To su takozvani nepotpuni. Njihova razlika od standardnog izraza je odsustvo jednog od pojmova. Rješenje takvih jednačina. Neka je zadan uslov 2x2-4=0, gde je a=2 i c=-4. Da biste pronašli korijene takve jednadžbe, postoji sljedeći x \u003d ± √ (-c / a). Zamjenom vrijednosti koeficijenata u formulu, dobivate dva korijena: -2 i 2. Važno je zapamtiti da ako se ispod korijena dobije negativan broj, jednadžba nema korijena. Neka je zadan uslov 4x2+8b=0, gde je a=4 i b=8. AT ovaj slučaj prvi korijen x1 je uvijek jednak nuli, a drugi se izračunava po formuli x2=- b/a. U ovom slučaju x2=-2.

Koju god kvadratnu jednačinu da riješite, uvijek koristite najpogodniji način da pronađete njene korijene. Tako ćete biti sigurni da je zadatak ispravno obavljen.

“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo istražiti šta je kvadratna jednačina i kako to riješiti.

Šta je kvadratna jednačina

Bitan!

Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalni stepen do kojeg stoji nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Bitan! Opšti oblik kvadratna jednadžba izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" i "c" - dati brojevi.

• "a" - prvi ili viši koeficijent;
• "b" - drugi koeficijent;
• "c" je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c" Morate usporediti svoju jednadžbu s općim oblikom kvadratne jednadžbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednačina	Odds
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednačine

Za razliku od linearne jednačine za rješavanje kvadratnih jednadžbi, poseban formula za pronalaženje korijena.

Zapamtite!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0". To jest, samo "0" treba da ostane na desnoj strani;
• koristite formulu za korijene:

Upotrijebimo primjer da shvatimo kako primijeniti formulu da pronađemo korijene kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Jednačina "x 2 - 3x - 4 = 0" je već svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, potrebno je samo primijeniti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednačinu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uz nju se rješava svaka kvadratna jednadžba.

U formuli "x 1; 2 \u003d" korijenski izraz se često zamjenjuje
"b 2 − 4ac" na slovo "D" i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji "Šta je diskriminant".

Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku, prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c". Hajdemo prvo dovesti jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Odgovor: x = 3

Postoje trenuci kada u kvadratnim jednačinama nema korijena. Ova situacija se događa kada se u formuli ispod korijena pojavi negativan broj.

Neka je data kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0.
Na kvadratni trinom ax 2 + bx + c primjenjujemo iste transformacije koje smo izveli u § 13 kada smo dokazali teoremu da je graf funkcije y = ax 2 + bx + c parabola.
Imamo

Obično se izraz b 2 - 4ac označava slovom D i naziva se diskriminantom kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 (ili diskriminantom kvadratni trinom ax + bx + c).

Dakle

Dakle, kvadratna jednadžba ax 2 + njihov + c \u003d O može se prepisati kao

Bilo koja kvadratna jednadžba se može transformirati u oblik (1), što je pogodno, kao što ćemo sada vidjeti, za određivanje broja korijena kvadratne jednadžbe i pronalaženje ovih korijena.

Dokaz. Ako je D< 0, то desni deo jednadžba (1) je negativan broj; istovremeno, lijeva strana jednadžbe (1) uzima nenegativne vrijednosti za bilo koju vrijednost x. To znači da ne postoji niti jedna vrijednost x koja bi zadovoljila jednačinu (1), te stoga jednačina (1) nema korijen.

Primjer 1 Riješite jednačinu 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Odluka. Ovdje a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Od D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dokaz. Ako je D = 0, tada jednačina (1) poprima oblik

je jedini korijen jednačine.

Napomena 1. Sjećate li se da je x \u003d - apscisa vrha parabole, koja služi kao graf funkcije y = ax 2 + ux + c? Zašto je ovo
Ispostavilo se da je vrijednost jedini korijen kvadratne jednadžbe ax 2 + x + c - 0? "Kovčeg" se otvara jednostavno: ako je D 0, tada, kao što smo ranije utvrdili,

Grafikon iste funkcije je parabola sa vrhom u tački (vidi, na primjer, sliku 98). Dakle, apscisa vrha parabole i jedini korijen kvadratne jednadžbe za D = 0 su isti broj.

Primjer 2 Riješite jednačinu 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Odluka. Ovdje a = 4, b = -20, c = 25, D \u003d b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Kako je D = 0, onda prema teoremi 2 ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Ovaj korijen se nalazi po formuli

Odgovor: 2.5.

Napomena 2. Imajte na umu da 4x 2 - 20x +25 - pun kvadrat: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Da smo to odmah primijetili, riješili bismo jednačinu ovako: (2x - 5) 2 = 0, što znači 2x - 5 = 0, iz čega dobijamo x = 2,5. Općenito, ako je D = 0, onda

ax 2 + bx + c = - to smo primijetili ranije u napomeni 1.
Ako je D > 0, tada kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c \u003d 0 ima dva korijena, koji se nalaze po formulama

Dokaz. Kvadratnu jednačinu ax 2 + b x + c = 0 prepisujemo u obliku (1)

Hajde da stavimo
Prema pretpostavci, D > 0, što znači da je desna strana jednačine pozitivan broj. Tada iz jednačine (2) dobijamo to

Dakle, data kvadratna jednadžba ima dva korijena:

Napomena 3. U matematici se rijetko dešava da uvedeni pojam nema, slikovito rečeno, svakodnevnu pozadinu. Uzmimo novi
koncept je diskriminirajući. Zapamtite riječ "diskriminacija". Šta to znači? To znači ponižavanje jednih i uzdizanje drugih, tj. različiti stavovi
nie raznim pudjama. Obje riječi (i diskriminacija i diskriminacija) potiču od latinskog discriminans - „razlikovanje“. Diskriminant razlikuje kvadratne jednadžbe po broju korijena.

Primjer 3 Riješite jednačinu 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Odluka. Ovdje a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Pošto je D > 0, onda prema teoremi 3 ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovi korijeni se nalaze po formulama (3)

U stvari, razvili smo sljedeće pravilo:

Pravilo rješavanja jednačina
ax 2 + bx + c = 0

Ovo pravilo je univerzalno, primjenjuje se i na potpune i na nepotpune kvadratne jednadžbe. Međutim, nepotpune kvadratne jednadžbe se obično ne rješavaju prema ovom pravilu, prikladnije ih je riješiti kao što smo to učinili u prethodnom pasusu.

Primjer 4 Riješite jednačine:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Rješenje a) Ovdje je a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. jedan . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Pošto je D > 0, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovi korijeni se nalaze po formulama (3)

B) Kao što pokazuje iskustvo, pogodnije je raditi sa kvadratnim jednačinama u kojima je vodeći koeficijent pozitivan. Stoga, prvo pomnožimo obje strane jednačine sa -1, dobićemo

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Ovdje a = 9, b = -6, c = 1, D \u003d b 2 - 4ac = 36 - 36 \u003d 0.
Pošto je D = 0, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Ovaj korijen se nalazi po formuli x \u003d -. znači,

Ova jednačina bi se mogla riješiti na drugi način: pošto
9x 2 - 6x + 1 = (Zx - IJ, tada dobijamo jednačinu (3x - I) 2 = 0, iz koje nalazimo Zx - 1 = 0, tj. x \u003d.

c) Ovdje a = 2, b = 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Pošto je D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematičari su praktični, ekonomični ljudi. Zašto, kažu, koristite tako dugo pravilo za rješavanje kvadratne jednadžbe, bolje je odmah napisati opću formulu:

Ako se pokaže da je diskriminant D \u003d b 2 - 4ac negativan broj, tada napisana formula nema smisla (negativan broj je ispod predznaka kvadratnog korijena), što znači da nema korijena. Ako se ispostavi da je diskriminant jednak nuli, dobijamo

To jest, jedan korijen (također kažu da kvadratna jednadžba u ovom slučaju ima dva identična korijena:

Konačno, ako se pokaže da je b 2 - 4ac > 0, tada se dobijaju dva korijena x 1 i x 2, koji se izračunavaju pomoću istih formula (3) kao što je gore navedeno.

Sam broj u ovom slučaju je pozitivan (kao i svaki kvadratni korijen pozitivnog broja), a dvostruki predznak ispred njega znači da se u jednom slučaju (pri pronalaženju x 1) ovaj pozitivni broj dodaje broju - b, i u drugom slučaju (pri pronalaženju x 2) je pozitivan broj vi-
čitati od broja - b.

Imate slobodu izbora. Ako želite, detaljno riješite kvadratnu jednadžbu koristeći gore formulirano pravilo; ako želite, odmah zapišite formulu (4) i njome izvucite potrebne zaključke.

Primjer 5. Riješite jednačine:

Rješenje, a) Naravno, formule (4) ili (3) se mogu koristiti s obzirom da je u ovom slučaju Ali zašto izvoditi operacije s razlomcima kada je lakše i, što je najvažnije, ugodnije raditi s cijelim brojevima? Oslobodimo se nazivnika. Da biste to učinili, trebate pomnožiti obje strane jednadžbe sa 12, tj. s najmanjim zajednički imenilac razlomci koji služe kao koeficijenti jednačine. Get

odakle je 8x 2 + 10x - 7 = 0.

A sada koristimo formulu (4)

B) Opet imamo jednačinu sa fractional kvote: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Pomnožite obje strane jednačine sa 100, tada ćemo dobiti jednačinu s cjelobrojnim koeficijentima:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Zatim koristimo formulu (4):

Jednostavno nagađanje pokazuje da je diskriminant (radikalni izraz) negativan broj. Dakle, jednačina nema korijen.

Primjer 6 riješi jednačinu
Odluka. Ovdje je, za razliku od prethodnog primjera, poželjnije djelovati po pravilu, a ne prema reduciranoj formuli (4).

Imamo a \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. pet . 1 = 60 - 20 = 40. Kako je D > 0, kvadratna jednadžba ima dva korijena, koje ćemo tražiti pomoću formula (3)

Primjer 7 riješi jednačinu
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

Odluka. Ova kvadratna jednadžba se razlikuje od svih do sada razmatranih kvadratnih jednadžbi po tome što koeficijenti nisu konkretni brojevi, a doslovni izrazi. Takve jednačine se nazivaju jednadžbe sa slovnim koeficijentima ili jednadžbe s parametrima. U ovom slučaju, parametar (slovo) p je uključen u drugi koeficijent i slobodni član jednačine.
Nađimo diskriminanta:

Primjer 8. Riješite jednačinu px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Odluka. Ovo je također jednadžba s parametrom p, ali se, za razliku od prethodnog primjera, ne može odmah riješiti formulama (4) ili (3). Činjenica je da navedene formule primjenjuju se na kvadratne jednadžbe i oko zadata jednačina ovo još ne možemo reći. Zaista, šta ako je p = 0? Onda
jednačina će imati oblik 0 . x 2 + (1-0)x- 1 = 0, tj. x - 1 = 0, od čega dobijamo x = 1. Sada, ako to sigurno znate, onda možete primijeniti formule korijena kvadratne jednadžbe: