Istorija kvadratnih jednadžbi. Jednačine u starom Babilonu

Iz istorije nastanka kvadratnih jednačina

Algebra je nastala u vezi s rješavanjem raznih problema korištenjem jednadžbi. Obično je u zadacima potrebno pronaći jednu ili više nepoznanica, uz poznavanje rezultata nekih radnji izvršenih na željenim i datim veličinama. Takvi se problemi svode na rješavanje jedne ili sistema od više jednačina, na pronalaženje željenih uz pomoć algebarskih operacija nad datim veličinama. Algebra proučava opšta svojstva akcija na veličine.

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednačina bile su poznate još prije 4000 godina u starom Babilonu.

Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Babilonci su znali kako riješiti kvadratne jednačine oko 2000. godine prije Krista. Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, navedeno u vavilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih sastavljanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 2. "Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96."

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka slijedi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov proizvod bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovina njihovog zbira, tj. .10 + x. Drugi je manji, tj. 10 - x. Razlika između njih je 2x. Otuda jednačina:

(10+x)(10-x)=96,

Otuda je x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12, drugi je 8. Rešenje x = - 2 za Diofanta ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako riješimo ovaj problem, odabirom jednog od nepoznatih brojeva kao nepoznatog, možemo doći do rješenja jednadžbe:

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednačine.

Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskoj raspravi Aryabhattam, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>

U jednačini (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

U Indiji su javna takmičenja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.“ Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednačina.

Jednačina koja odgovara problemu 3 je:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 na obje strane, dobivajući tada:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmijeve kvadratne jednadžbe

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki broju“, tj. ax2 = c.

3) "Korijeni su jednaki broju", odnosno sjekira \u003d c.

4) “Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima”, odnosno ax2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c.

6) “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimanje. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulu rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Uzmimo primjer.

Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen ”(podrazumijeva se korijen jednadžbe x2 + 21 = 10x).

Rješenje: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostane 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Al-Khwarizmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

Kvadratne jednačine u EvropiXII- XVIIin.

Forme za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu Al-Khwarizmija u Evropi su prvi put opisane u "Knjizi Abacusa", napisanoj 1202. godine. Italijanski matematičar Leonard Fibonači. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz ove knjige preneti su u skoro sve evropske udžbenike 14.-17. veka. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bx = c sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulisao je u Evropi 1544. godine M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. uzeti u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik..

Poreklo algebarskih metoda za rešavanje praktičnih problema povezano je sa naukom antičkog sveta. Kao što je poznato iz istorije matematike, značajan deo problema matematičke prirode, koje su rešavali egipatski, sumerski, vavilonski pisari-računari (XX-VI vek pre nove ere), imao je proračunsku prirodu. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima je željena vrijednost veličine određena nekim indirektnim uvjetima, koji su zahtijevali, sa naše moderne tačke gledišta, formulaciju jednačine ili sistema jednačina. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Kasnije su se počeli formirati počeci algebarskih reprezentacija. Na primjer, babilonski kalkulatori su mogli riješiti probleme koji se, sa stanovišta moderne klasifikacije, svode na jednačine drugog stepena. Stvorena je metoda za rješavanje tekstualnih zadataka, koja je kasnije poslužila kao osnova za isticanje algebarske komponente i njeno samostalno proučavanje.

Ovu studiju su već izveli u neko drugo doba, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X stoljeće nove ere), koji su izdvojili karakteristične radnje kojima se jednačine svode na standardni oblik, redukciju sličnih članova, prijenos pojmova iz jednog dijela jednačina na drugu sa promjenom predznaka. A onda su evropski matematičari renesanse, kao rezultat dugog traganja, stvorili jezik moderne algebre, upotrebu slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prelazu iz 16. 17. vijeka. Algebra kao poseban dio matematike, koji ima svoj predmet, metodu, područja primjene, već je formirana. Njegov dalji razvoj, do našeg vremena, sastojao se u poboljšanju metoda, proširenju obima primjene, razjašnjavanju pojmova i njihovih veza sa pojmovima drugih grana matematike.

Dakle, s obzirom na važnost i obimnost materijala koji je povezan sa konceptom jednačine, njeno proučavanje u savremenoj metodologiji matematike povezano je sa tri glavna područja njenog nastanka i funkcionisanja.

Da biste riješili bilo koju kvadratnu jednačinu, morate znati:

formula za pronalaženje diskriminanta;

formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe;

· Algoritmi za rješavanje jednačina ovog tipa.

rješavati nepotpune kvadratne jednadžbe;

riješiti potpune kvadratne jednadžbe;

riješiti date kvadratne jednačine;

pronaći greške u riješenim jednačinama i ispraviti ih;

Proveri.

Rješenje svake jednadžbe sastoji se od dva glavna dijela:

transformacija ove jednadžbe u najjednostavnije;

rješavanje jednačina prema poznatim pravilima, formulama ili algoritmima.

Generalizacija metoda aktivnosti učenika u rješavanju kvadratnih jednačina odvija se postepeno. Prilikom proučavanja teme "Kvadratne jednadžbe" mogu se razlikovati sljedeće faze:

Faza I - "Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi."

Faza II - "Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi."

Faza III - "Rješenje redukovane kvadratne jednadžbe."

U prvoj fazi razmatraju se nepotpune kvadratne jednadžbe. Pošto su u početku matematičari naučili rješavati nepotpune kvadratne jednadžbe, jer za to nisu morali ništa, kako kažu, izmišljati. Ovo su jednadžbe oblika: ax2 = 0, ax2 + c = 0, gdje je c≠ 0, ax2 + bx = 0, gdje je b ≠ 0. Razmotrimo rješenje nekoliko ovih jednačina:

1. Ako je ax2 = 0. Jednačine ovog tipa rješavaju se prema algoritmu:

1) naći x2;

2) naći x.

Na primjer, 5x2 = 0. Podijeleći obje strane jednačine sa 5, ispada: x2 = 0, dakle x = 0.

2. Ako je ax2 + c = 0, c≠ 0 Jednačine ovog tipa rješavaju se prema algoritmu:

1) pomeriti pojmove na desnu stranu;

2) pronaći sve brojeve čiji su kvadrati jednaki broju c.

Na primjer, x2 - 5 = 0, Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi x2 = 5. Dakle, morate pronaći sve brojeve čiji su kvadrati jednaki broju 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> i nema drugih korijena.

3. Ako je ah2 + bh = 0, b ≠ 0. Jednačine ove vrste se rješavaju prema algoritmu:

1) pomeriti zajednički faktor iz zagrada;

2) naći x1, x2.

Na primjer, x2 - 3x = 0. Prepišimo jednačinu x2 - 3x = 0 u obliku x (x - 3) = 0. Ova jednadžba očito ima korijene x1 = 0, x2 = 3. nema drugih korijena, jer ako u zamjenu za bilo koji broj osim nule i 3 umjesto x, tada na lijevoj strani jednadžbe x (x - 3) = 0 dobivate broj koji nije jednak nuli.

Dakle, ovi primjeri pokazuju kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe:

1) ako jednačina ima oblik ax2 = 0, tada ima jedan korijen x = 0;

2) ako jednačina ima oblik ax2 + bx = 0, tada se koristi metoda faktorizacije: x (ax + b) = 0; dakle ili x = 0 ili ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> U slučaju -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdje je m>0, jednadžba x2 = m ima dva korijena

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (u ovom slučaju je dozvoljena kraća oznaka =.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba može imati dva korijena, jedan korijen, bez korijena.

U drugoj fazi se vrši prijelaz na rješenje potpune kvadratne jednadžbe. To su jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c dati brojevi, a ≠ 0, x je nepoznata.

Svaka potpuna kvadratna jednadžba se može pretvoriti u oblik , kako bi se odredio broj korijena kvadratne jednadžbe i pronašao te korijene. Razmatraju se sljedeći slučajevi rješavanja potpunih kvadratnih jednačina: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Ako D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Na primjer, 2x2 + 4x + 7 = 0. Rješenje: ovdje je a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Od D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima jedan korijen, koji se nalazi po formuli.

Na primjer, 4x - 20x + 25 = 0. Rješenje: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac = (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 \u003d 0.

Pošto je D = 0, ova jednadžba ima jedan korijen. Ovaj korijen se nalazi pomoću formule ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Sastavljen je algoritam za rješavanje jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0.

1. Izračunajte diskriminanta D koristeći formulu D = b2 - 4ac.

2. Ako D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji se nalazi po formuli

4..gif" width="101" height="45">.

Ovaj algoritam je univerzalan, primjenjiv je i na nepotpune i na potpune kvadratne jednadžbe. Međutim, nepotpune kvadratne jednadžbe se obično ne rješavaju ovim algoritmom.

Matematičari su praktični, ekonomični ljudi, pa koriste formulu: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> ima isti predznak kao D..gif" width="89" height="49"> tada jednadžba (3) ima dva korijena;

2) ako tada jednačina ima dva podudarna korijena;

3) ako tada jednačina nema korijena.

Važna tačka u proučavanju kvadratnih jednadžbi je razmatranje Vietine teoreme, koja navodi postojanje veze između korena i koeficijenata redukovane kvadratne jednačine.

Vietin teorem. Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

Drugim riječima, ako su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0, tada

Ove formule se zovu Vietine formule u čast francuskog matematičara F. Viete (), koji je uveo sistem algebarskih simbola, razvio osnove elementarne algebre. Bio je jedan od prvih koji je brojeve počeo označavati slovima, što je značajno razvilo teoriju jednadžbi.

Na primjer, gornja jednadžba x2 - 7x +10 \u003d 0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Može se vidjeti da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu , uzet sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

Postoji i teorema suprotna Vietinoj teoremi.

Teorema inverzna Vietinoj teoremi. Ako formule (5) vrijede za brojeve x1, x2, p, q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0.

Vietina teorema i njena inverzna teorema se često koriste u rješavanju različitih problema.

Na primjer. Napišimo datu kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi 1 i -3.

Prema Vietinim formulama

– p = x1 + x2 = - 2,

Prema tome, željena jednačina ima oblik x2 + 2x - 3 = 0.

Složenost savladavanja Vietine teoreme povezana je s nekoliko okolnosti. Prije svega, potrebno je uzeti u obzir razliku između direktnih i inverznih teorema. U Vietinoj direktnoj teoremi, date su kvadratna jednadžba i njeni korijeni; u inverzu postoje samo dva broja, a kvadratna jednadžba se pojavljuje na kraju teoreme. Učenici često griješe potkrepljujući svoje razmišljanje netačnim pozivanjem na direktnu ili inverznu Vietinu teoremu.

Na primjer, kada se odabirom pronalaze korijeni kvadratne jednadžbe, morate se pozvati na inverznu Vietinu teoremu, a ne na direktnu, kao što studenti često rade. Da bismo proširili Vietine teoreme na slučaj nulte diskriminante, moramo se složiti da u ovom slučaju kvadratna jednadžba ima dva jednaka korijena. Pogodnost takvog dogovora očituje se u faktorizaciji kvadratnog trinoma.

Početna > Prijavi

MOU srednja škola nazvana po Herojima Sovjetskog Saveza
Sotnikova A.T. i Shepeleva N. G. s. Uritskoe

Izvještaj na temu:

„Istorija nastanka

kvadratne jednadžbe"

Pripremljen od:Izotova Julia,
Ampleeva Elena,
Šepelev Nikolaj,

Dyachenko Yuri.

Oh matematika. Vekovima si prekriven slavom,

Svetiljka svih zemaljskih svetiljki.

Ti veličanstvena kraljice

Nije ni čudo što je Gauss kršten.

Strog, logičan, veličanstven,

Vitka u letu, kao strijela,

Tvoja večna slava

Kroz vekove je stekla besmrtnost.

Hvalimo ljudski um

Dela njegovih magičnih ruku,

Nada ovog doba

Kraljica svih zemaljskih nauka.

Želimo vam reći danas

Istorija pojave

Šta svaki učenik treba da zna

Istorija kvadratnih jednačina.

Euklid, u III veku pre nove ere. e. u svojim "Načelima" posvetio je geometrijskoj algebri cijelu drugu knjigu, koja sadrži sav potreban materijal za rješavanje kvadratnih jednačina.

Euklid (Eνκλειδηζ), starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je došla do nas

Podaci o Euklidu su izuzetno oskudni. Može se smatrati pouzdanim samo da se njegova naučna aktivnost odvijala u Aleksandriji u 3. veku pre nove ere. e. Euklid je prvi matematičar Aleksandrijske škole. Njegovo glavno djelo "Počeci" (u latiniziranom obliku - "Elementi") sadrži prikaz planimetrije, stereometrije i niz pitanja iz teorije brojeva; u njemu je sumirao prethodni razvoj grčke matematike i postavio temelje za dalji razvoj matematike. Heron - Grčki matematičar i inženjer po prvi put u Grčkoj u 1. veku nove ere. daje čisto algebarski način rješavanja kvadratne jednačine.

Heron od Aleksandrije; Čaplja, I c. n. e., grčki mehaničar i matematičar. Vrijeme njegovog života je neizvjesno, poznato je samo da je citirao Arhimeda (koji je umro 212. pne), njega samog citira Papus (oko 300. godine nove ere). Trenutno preovlađuje mišljenje da je živio u 1. vijeku. n. e. Studirao je geometriju, mehaniku, hidrostatiku, optiku; izumio prototip parne mašine i precizne instrumente za nivelisanje. Najpopularniji automati bili su automatska pozorišta, fontane i dr. G. je opisao teodolit, oslanjajući se na zakone statike i kinetike, i dao opis poluge, bloka, propelera i vojnih vozila. U optici je formulisao zakone refleksije svjetlosti, u matematici - metode za mjerenje najvažnijih geometrijskih oblika. G.-ova glavna djela su Ietrica, Pneumatika, Autopoetika, Mehanika (francuski; djelo je u potpunosti sačuvano na arapskom), Catoptics (nauka o ogledalima; sačuvana je samo u latinskom prijevodu) itd. G. je koristio dostignuća njegovih prethodnika: Euklida, Arhimeda, Stratona od Lampsaka. Njegov stil je jednostavan i jasan, iako ponekad previše lakonski ili nestrukturiran. Interesovanje za spise G. pojavilo se u III veku. n. e. Grčki, a potom i vizantijski i arapski studenti komentirali su i prevodili njegova djela.

Diofant- grčki naučnik je u 3. veku nove ere, ne pribegavajući geometriji, rešio neke kvadratne jednačine na čisto algebarski način, a sama jednačina i njeno rešenje su zapisani u simboličkom obliku

“Reći ću vam kako je grčki matematičar Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine. Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka:"Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96."

1. Iz uslova zadatka proizilazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio 96, već 100.

2. Dakle. jedan od njih će biti više od polovine njihove sume, tj. 10 + x, drugi je manji, tj. 10 - x.

3. Razlika između njih je 2x.

4. Otuda jednačina (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. Odgovor x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12,
ostalo - 8. Rješenje x = - 2 za Diofanta ne postoji, jer Grčka matematika je znala samo pozitivne brojeve.” Diofant je znao da rešava veoma složene jednačine, koristio je slovne oznake za nepoznate, uveo poseban simbol za računanje, koristio je skraćenice reči. Bhaskare - Akaria- Indijski matematičar u XII veku nove ere. otkrio opću metodu za rješavanje kvadratnih jednačina.

Analizirajmo jedan od problema indijskih matematičara, na primjer, problem Bhaskare:

“Jato majmuna se zabavlja: osmina od ukupnog broja njih na kvadratu se brčka u šumi, preostalih dvanaest vrište na vrhu humka. Reci mi koliko ima majmuna?"

Komentarišući problem, želio bih reći da jednačina (x/8) 2 + 12 = x odgovara problemu. Bhaskara piše kao x 2 - 64x \u003d - 768. Dodavanjem kvadrata 32 na oba dijela, jednadžba će dobiti oblik:

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Nakon izvlačenja kvadratnog korijena, dobijamo: x - 32 = 16.

“U ovom slučaju, kaže Bhaskara, negativne jedinice prvog dijela su takve da su jedinice drugog dijela manje od njih, pa se potonji mogu smatrati i pozitivnim i negativnim, i dobijamo dvostruku vrijednost nepoznate : 48 i 16.”

Mora se zaključiti da Bhaskarino rješenje ukazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednačina.

Predlaže se rješavanje starog indijskog Bhaskara problema:

„Kvadrat petine majmuna, smanjen za tri, sakrio se u pećini, jedan majmun se popeo na drvo, bio je vidljiv. Koliko je majmuna bilo? Treba napomenuti da se ovaj problem rješava elementarno, svodeći se na kvadratnu jednačinu.

Al - Khorezmi - arapski učenjak koji je 825. godine napisao knjigu "Knjiga obnove i opozicije". Bio je to prvi udžbenik algebre na svijetu. Dao je i šest vrsta kvadratnih jednačina i za svaku od šest jednačina u verbalnom obliku formulisao posebno pravilo za njeno rješavanje. U raspravi, Horezmi navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1. "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 = in.

2. "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax 2 = s.

3. "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4. "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c \u003d in.

5. "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ax 2 + in = s.

6. "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. u + c \u003d ah 2.

Analizirajmo problem al-Khwarizmija, koji se svodi na rješavanje kvadratne jednadžbe. "Kvadrat i broj jednaki su korijenima." Na primjer, jedan kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena istog kvadrata, tj. postavlja se pitanje od čega se formira kvadrat koji, nakon što mu se doda 21, postaje jednak sa 10 korijena istog kvadrata?

I koristeći 4. formulu al-Khwarizmija, učenici moraju zapisati: x 2 + 21 = 10x

François Viet - Francuski matematičar, formulisao je i dokazao teoremu o zbiru i proizvodu korena date kvadratne jednačine.

Umjetnost koju predstavljam je nova, ili je barem toliko iskvarena utjecajem varvara da sam smatrao prikladnim da joj dam potpuno novi izgled.

François Viet

Ipak, François (1540-13.12. 1603) rođen je u gradu Fontenay-le-Comte u provinciji Poitou, nedaleko od čuvene tvrđave La Rochelle. Nakon što je stekao diplomu pravnika, od svoje devetnaeste godine uspješno se bavio advokaturom u svom rodnom gradu. Kao advokat, Viet je uživao ugled i poštovanje među stanovništvom. Bio je široko obrazovana osoba. Poznavao je astronomiju i matematiku i sve svoje slobodno vrijeme posvetio je ovim naukama.

Vietina glavna strast bila je matematika. Duboko je proučavao djela klasika Arhimeda i Diofanta, neposrednih prethodnika Cardana, Bombellija, Stevina i drugih. Vieta im se ne samo divio, već je u njima vidio veliku manu, a to je bilo teško razumijevanje zbog verbalne simbolike: Gotovo sve radnje i znakovi su zabilježeni riječima, nije bilo ni nagoveštaja onih zgodnih, gotovo automatskih pravila koja sada koristimo . Bilo je nemoguće zapisati i, prema tome, započeti u opštem obliku, algebarska poređenja ili bilo koje druge algebarske izraze. Svaka vrsta jednadžbe sa numeričkim koeficijentima rješavana je prema posebnom pravilu. Stoga je bilo potrebno dokazati da postoje takve opće akcije na sve brojeve koje ne zavise od samih brojeva. Viet i njegovi sljedbenici su ustanovili da nije bitno da li je broj u pitanju broj objekata ili dužina segmenta. Glavna stvar je da je moguće izvoditi algebarske operacije s ovim brojevima i, kao rezultat, opet dobiti brojeve iste vrste. Stoga se mogu označiti nekim apstraktnim znakovima. Viet je upravo to uradio. On ne samo da je uveo svoj doslovni račun, već je napravio fundamentalno novo otkriće, postavljajući sebi cilj da proučava ne brojeve, već radnje na njima. Ovakav način pisanja omogućio je Vieti da napravi važna otkrića u proučavanju opštih svojstava algebarskih jednačina. Nije slučajno što Vieta nazivaju "ocem" algebre, osnivačem slovnih simbola.

Informativni izvori:

http :// som. fio. en/ resurse/ Karpuhina/2003/12/ Završeno%20 rad/ Koncert/ index1. htm

http :// stranice. marsu. en/ iac/ škola/ s4/ stranica74. html

Iz istorije kvadratnih jednačina Autor: učenica 9 "A" razreda Radčenko Svetlana Rukovodilac: Alabugina I.A. nastavnik matematike MBOU „Srednja škola br. 5 Guryevsk“ Kemerovske oblasti Predmetna oblast prezentacije: matematika Napravljeno da pomognem nastavniku Ukupno 20 slajdova Sadržaj Uvod……………………………………………………… ……………… ……………3 Iz istorije nastanka kvadratnih jednadžbi Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu………………………………….4 Kvadratne jednačine u Indiji…………… …………………………… ………...5 Al-Khwarizmijeve kvadratne jednačine……………………………………………6 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe…… …………………………… 7 Kvadratne jednadžbe u Evropi Xll - XVll stoljeća…………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..10 Metodologija za proučavanje kvadrata jednadžbe…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………..10 10 načina rješavanja kvadratnih jednačina………………………………….12 Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina………… …… …………13 Algoritam za rješavanje kompletne kvadratne jednadžbe…………………………..14 rješavanje primijenjenih problema………………………………………………………………… …………………………….16 5. Zaključak. …………………………………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Spisak korištene literature………………………… ……… …………….19 2 Uvod Smatrati nesretnim taj dan ili sat u kojem niste naučili ništa novo, ništa niste dodali vašem obrazovanju. Jan Amos Komenski 3 Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Široko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednačina i nejednačina. Kvadratne jednačine u školskom kursu algebre zauzimaju vodeće mjesto. Dosta školskog vremena u matematici je posvećeno njihovom proučavanju. U osnovi, kvadratne jednadžbe služe specifičnim praktičnim svrhama. Većina problema o prostornim oblicima i kvantitativnim odnosima stvarnog svijeta svodi se na rješavanje različitih vrsta jednadžbi, uključujući i one kvadratne. Savladavajući načine njihovog rješavanja, ljudi pronalaze odgovore na razna pitanja iz nauke i tehnologije. Iz istorije nastanka kvadratnih jednačina Drevni Babilon: već oko 2000 godina pre nove ere, Babilonci su znali kako da rešavaju kvadratne jednačine. Poznate su metode za rješavanje potpunih i nepotpunih kvadratnih jednadžbi. Na primjer, u Drevnom Babilonu su riješene sljedeće kvadratne jednačine: 4 Indija Problemi riješeni uz pomoć kvadratnih jednačina nalaze se u raspravi o astronomiji "Arijabhattiam", koju je napisao indijski astronom i matematičar Aryabhata 499. godine. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta, iznio je univerzalno pravilo za rješavanje kvadratne jednačine svedene na kanonski oblik: ax2+bx=c; štaviše, pretpostavljeno je da svi koeficijenti u njemu, osim "a", mogu biti negativni. Pravilo koje je formulisao naučnik u suštini se poklapa sa savremenim. 5 Al-Khwarizmijeve kvadratne jednadžbe: Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednačina. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način: „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.; "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax2 = c; "Korijeni su jednaki broju", tj. ax \u003d c; "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax2 + c = bx; "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ax2 + bx = c; "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx + c = ax2. 6 Kako je Diofant sastavio i rešio kvadratne jednačine: Jedan od najčudnijih starogrčkih matematičara bio je Diofant Aleksandrijski. Do sada nisu razjašnjeni ni godina rođenja ni datum Diofantove smrti; Veruje se da je živeo u 3. veku. AD Od Diofantovih djela najvažnije je Aritmetika, od kojih je do danas sačuvano 13 knjiga samo 6. Diofantova "Aritmetika" ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži niz problema praćenih objašnjenjima i rješavanih sastavljanjem jednačina različitih stupnjeva. Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje. 7 Kvadratne jednačine u Evropi XII-XVII stoljeće: Italijanski matematičar Leonard Fibonacci samostalno je razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi je u Evropi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bx = c sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulisao je u Evropi 1544. Michael Stiefel. 8 Francois Viet Francuski matematičar F. Viet (1540-1603), uveo je sistem algebarskih simbola, razvio osnove elementarne algebre. Bio je jedan od prvih koji je brojeve počeo označavati slovima, što je značajno razvilo teoriju jednadžbi. Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. 9 Kvadratne jednačine danas Sposobnost rješavanja kvadratnih jednačina služi kao osnova za rješavanje drugih jednačina i njihovih sistema. Učenje rješavanja jednadžbi počinje s njihovim najjednostavnijim tipovima, a program uzrokuje postupno gomilanje i njihovih tipova i „fonda“ identičnih i ekvivalentnih transformacija, pomoću kojih proizvoljnu jednačinu možete dovesti do najjednostavnije. U tom pravcu treba graditi i proces formiranja generalizovanih metoda za rešavanje jednačina u školskom kursu algebre. Na predmetu matematike u srednjoj školi, učenici se suočavaju sa novim klasama jednačina, sistema ili sa detaljnim proučavanjem već poznatih jednačina. Ovu temu karakteriše velika dubina izlaganja i bogatstvo veza uspostavljenih uz pomoć u učenju, logička valjanost izlaganja. Stoga zauzima izuzetan položaj u nizu jednačina i nejednačina. Važna tačka u proučavanju kvadratnih jednadžbi je razmatranje Vietine teoreme, koja navodi postojanje veze između korena i koeficijenata redukovane kvadratne jednačine. Složenost savladavanja Vietine teoreme povezana je s nekoliko okolnosti. Prije svega, potrebno je uzeti u obzir razliku između direktnih i inverznih teorema. 11 10 načina rješavanja kvadratnih jednačina: Faktoriranje lijeve strane jednačine. Metoda odabira punog kvadrata. Rješenje kvadratnih jednadžbi po formuli. Rješenje jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Rješavanje jednadžbi metodom "transfera" Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe. Rješavanje kvadratnih jednadžbi šestarom i ravnalom. 12 Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma. Geometrijski način rješavanja kvadratnih jednačina. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina 1) ako jednačina ima oblik ax2 = 0, tada ima jedan korijen x = 0; 2) ako jednačina ima oblik ax2 + bx = 0, tada se koristi metoda faktorizacije: x (ax + b) = 0; pa je ili x = 0 ili ax + b = 0. Kao rezultat, dobijaju se dva korijena: x1 = 0; x2 = 3) ako jednačina ima oblik ax2 + c = 0, tada se pretvara u oblik ax2 = - c, a zatim x2. = U slučaju kada -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - \u003d m, gdje je m>0, jednadžba x2 = m ima dva korijena. Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba može imati dva korijena, jedan korijen, bez korijena. 13 Algoritam za rješavanje kompletne kvadratne jednačine. To su jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c dati brojevi, a ≠ 0, x je nepoznata. Svaka potpuna kvadratna jednadžba se može pretvoriti u oblik kako bi se odredio broj korijena kvadratne jednadžbe i pronašli ti korijeni. Razmatraju se sljedeći slučajevi rješavanja potpunih kvadratnih jednačina: D< 0, D = 0, D >0. 1. Ako je D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, tada kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dva korijena, koji se nalaze po formulama: ; 14 Rješenje redukovanih kvadratnih jednadžbi F. Vietin teorem: Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Drugim riječima, ako su x1 i x2 korijeni jednačine x2 +px + q = 0, tada je x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Obrati teoremu Vietinoj teoremi: Ako formule (*) vrijede za brojeve x1, x2, p, q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0. 15 Praktične primjene Kvadratne jednadžbe za rješavanje primijenjenih Bhaskar problema (1114-1185) - najveći indijski matematičar i astronom XII vijeka. Bio je na čelu astronomske opservatorije u Ujjainu. Bhaskara je napisao raspravu "Siddhanta-shiromani" ("Kruna učenja"), koja se sastoji od četiri dijela: "Lilavati" je posvećena aritmetici, "Bizhdaganita" - algebri, "Goladhaya" - sferi, "Granhaganita" - na teoriju kretanja planeta. Bhaskara je dobio negativne korijene jednadžbi, iako je sumnjao u njihov značaj. On je vlasnik jednog od najranijih projekata perpetual motion-a. 16 Jedan od problema poznatog indijskog matematičara XII veka. Bhaskara: Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednadžbi. 17 Zaključak Razvoj nauke o rješavanju kvadratnih jednačina prošao je dug i trnovit put. Tek nakon djela Stiefela, Viete, Tartaglie, Cardana, Bombellija, Girarda, Descartesa, Newtona, nauka o rješavanju kvadratnih jednačina poprimila je moderan oblik. Vrijednost kvadratnih jednačina nije samo u eleganciji i kratkoći rješavanja problema, iako je to vrlo važno. Ništa manje važna je činjenica da se kao rezultat upotrebe kvadratnih jednadžbi u rješavanju problema često otkrivaju novi detalji, mogu se napraviti zanimljive generalizacije i dorade, koje su podstaknute analizom dobijenih formula i relacija. Proučavajući literaturu i internet resurse vezane za istoriju razvoja kvadratnih jednačina, zapitao sam se: „Šta je motivisalo naučnike koji su živeli u tako teškom vremenu da se bave naukom, čak i pod pretnjom smrću?“ Vjerovatno je, prije svega, radoznalost ljudskog uma, koja je ključ razvoja nauke. Pitanja o suštini Sveta, o mestu čoveka na ovom svetu u svakom trenutku progone misleće, radoznale, razumne ljude. Ljudi su nastojali da shvate sebe, svoje mjesto u svijetu u svakom trenutku. Pogledajte i sebe, možda pati vaša prirodna radoznalost, jer ste podlegli svakodnevici, lenjosti? Sudbina mnogih naučnika - 18 primjera za praćenje. Nisu sva imena poznata i popularna. Razmislite: šta sam ja za ljude oko sebe? Ali najvažnije je kako se osjećam prema sebi, da li zaslužujem poštovanje? Razmislite o tome... Literatura 1. Zvavich L.I. “Algebra razred 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. „Enciklopedijski rečnik mladog matematičara“, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev „Algebra 8. razred“, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org rudn.ru/nfpk/matemat/ 05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Hvala na pažnji 20

Iz istorije kvadratnih jednačina.

a) Kvadratne jednačine u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena još u antici bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišta i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvoj same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su uspjele riješiti oko 2000 godina prije Krista. Babilonci. Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x =, x 2 - x \u003d 14

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u vavilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rješavanih sastavljanjem jednačina različitih stupnjeva.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 2. "Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96."

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti više od polovine njihovog zbir, tj. .10 + x. Drugi je manji, tj. 10 - x. Razlika između njih je 2x. Otuda jednačina:

(10+x)(10-x)=96,

ili

100 -x 2 = 96.

Otuda je x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12, drugi je 8. Rešenje x = - 2 za Diofanta ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako riješimo ovaj problem, birajući jedan od nepoznatih brojeva kao nepoznatu, onda možemo doći do rješenja jednadžbe:

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednačine.
b) Kvadratne jednačine u Indiji.

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattayam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabahatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik

Oh 2 + bx = c, a > 0

U jednadžbi, koeficijenti , osim a, može biti negativan. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Zadatak 3.

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednačina.

Jednačina koja odgovara problemu 3 je:

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = - 768

i, da dovršimo lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodamo 32 2 na obje strane, a zatim dobijemo:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmijeve kvadratne jednačine

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

„Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax 2 = bx.
"Kvadrati su jednaki broju", tj. sjekira 2 = c.
"Korijeni su jednaki broju", tj. ax = c.
"Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c \u003d bx.
"Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ax 2 + bx \u003d c.
“Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c == ax 2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimanje. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor izlaže metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulu rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Uzmimo primjer.

Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen "(što znači korijen jednadžbe x 2 + 21 \u003d 10x).

Al-Khwarizmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

d) Kvadratne jednačine u Evropi XIII-XVII vijeka.

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abacusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike i iz zemalja islama i iz antičke Grčke, odlikuje se potpunošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz Knjige Abakusa ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16.-17. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik

x 2 + bx \u003d c,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b, With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, međutim, Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan izgled.

Poreklo algebarskih metoda za rešavanje praktičnih problema povezano je sa naukom antičkog sveta. Kao što je poznato iz istorije matematike, značajan deo problema matematičke prirode, koje su rešavali egipatski, sumerski, vavilonski pisari-računari (XX-VI vek pre nove ere), imao je proračunski karakter. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima se željena vrijednost neke veličine postavljala nekim indirektnim uvjetima, koji su zahtijevali, sa naše moderne tačke gledišta, formulaciju jednačine ili sistema jednačina. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Kasnije su se počeli formirati počeci algebarskih reprezentacija. Na primjer, babilonski kalkulatori su mogli riješiti probleme koji se, sa stanovišta moderne klasifikacije, svode na jednačine drugog stepena. Stvorena je metoda za rješavanje tekstualnih zadataka, koja je kasnije poslužila kao osnova za isticanje algebarske komponente i njeno samostalno proučavanje.

Ovu studiju su već izveli u neko drugo doba, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X stoljeće nove ere), koji su izdvojili karakteristične radnje kojima se jednačine svode na standardni oblik, redukciju sličnih članova, prijenos pojmova iz jednog dijela jednačina na drugu sa promjenom predznaka. A onda su evropski matematičari renesanse, kao rezultat dugog traganja, stvorili jezik moderne algebre, upotrebu slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prelazu iz 16. 17. vijeka. algebra kao poseban dio matematike, koji ima svoj predmet, metodu, područja primjene, već je formirana. Njegov dalji razvoj, do našeg vremena, sastojao se u poboljšanju metoda, proširenju obima primjene, razjašnjavanju pojmova i njihovih veza sa pojmovima drugih grana matematike.

Dakle, s obzirom na važnost i obimnost materijala koji je povezan sa konceptom jednačine, njegovo proučavanje u savremenoj metodologiji matematike povezano je sa tri glavna područja njegovog pojavljivanja i funkcionisanja.

Istorija razvoja rješenja kvadratnih jednačina

Aristotel

D.I. Mendeljejev

Pronađite stranice polja koje ima oblik pravokutnika ako je njegova površina 12 , a

Hajde da razmotrimo ovaj problem.

Neka je x dužina polja, a zatim njegova širina,
je njegova oblast.
Napravimo kvadratnu jednačinu:
Papirus daje pravilo za njegovu odluku: "Podeli 12 sa".
12: .
Dakle, .
"Dužina polja je 4", - stoji u papirusu.

Redukovana kvadratna jednačina
gdje su realni brojevi.

U jednom od babilonskih zadataka bilo je potrebno odrediti i dužinu pravokutnog polja (označimo ga) i njegovu širinu ().

Zbrajanjem dužine i dvije širine pravokutnog polja, dobijete 14, a površina polja je 24. Pronađite njegove stranice.

Napravimo sistem jednačina:

Odavde dobijamo kvadratnu jednačinu.

Da bismo to riješili, izrazu dodajemo određeni broj,

da dobijete pun kvadrat:

Shodno tome, .

Općenito, kvadratna jednačina

Ima dva korijena:

DIOPHANT
Drevni grčki matematičar koji je vjerovatno živio u 3. vijeku prije nove ere. e. Autor "Aritmetike" - knjige posvećene rješenju algebarskih jednačina.
Danas se pod "diofantovim jednadžbama" obično podrazumijevaju jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima, čija se rješenja moraju naći među cijelim brojevima. Diofant je takođe bio jedan od prvih koji je razvio matematičku notaciju.

"Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96."

Jedan od brojeva će biti više od polovine njihovog zbira, odnosno 10+, drugi manji, odnosno 10-.

Otuda jednačina ()()=96

Evo jednog od problema poznatih

Indijski matematičar iz 12. veka Bhaskara:

Žustro jato majmuna

Dobro jesti, zabavljati se.

Njihov kvadratni dio osam

Zabavljati se na livadi.

I dvanaest u vinovoj lozi...

Počeli su skakati, vješati se...

Koliko je majmuna bilo

Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednačina.
Odgovarajuće rješenje jednačine

Bhaskara piše u obliku i, da bismo dovršili lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, dodajemo 32 2 na obje strane, dobivajući

"AL-JEBR" - OBNOVA - AL-KHOREZMI JE NAZVAO OPERACIJU ISKLJUČIVANJA IZ OBA DIJELA JEDNAČINE NEGATIVNIH ČLANOVA DODAVANJEM JEDNAKIH ČLANOVA, ALI SUPROTNO U ZNAKU.

"AL-MUKABALA" - OPOZICIJA - SMANJENJE U DIJELOVIMA JEDNAČINE ISTIH ČLANOVA.

PRAVILO "AL-JABRA"

PRILIKOM REŠAVANJA JEDNAČINE

AKO U PRVOM DJELU,

NIJE VAŽNO ŠTA

UPOZNAJTE NEGATIVNOG ČLANA,

MI SMO ZA OBA DJELA

DAJEMO RAVNOPRAVNOG ČLANA,

SAMO SA DRUGIM ZNAKOM,

I NAĆIĆEMO POZITIVAN REZULTAT.

1) kvadrati su jednaki korenima, tj.

2) kvadrati su jednaki broju, tj.

3) koreni su jednaki broju, tj.

4) kvadrati i brojevi su jednaki korenima, tj.;

5) kvadrati i koreni su jednaki broju, tj.;

6) korijeni i brojevi su jednaki kvadratima, tj.

Zadatak . Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen.

Rješenje. Podijelite broj korijena na pola - dobijete 5, pomnožite 5 sam sa sobom,

Od proizvoda oduzmite 21, ostavljajući 4.

Uzmite kvadratni korijen od 4 i dobijete 2.

Oduzmite 2 od 5 - dobijete 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte na 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Fibonači je rođen u italijanskom trgovačkom centru u Pizi, verovatno 1170-ih. . Godine 1192. imenovan je da predstavlja trgovačku koloniju Pizan u sjevernoj Africi. Na zahtjev svog oca preselio se u Alžir i tamo studirao matematiku. Godine 1200. Leonardo se vratio u Pizu i počeo pisati svoje prvo djelo, Knjigu o Abakusu. [ . Prema istoričaru matematike A.P. Yushkevichu Knjiga abakusa” naglo se uzdiže iznad evropske aritmetičke i algebarske književnosti XII-XIV veka po raznovrsnosti i snazi metoda, bogatstvu problema, dokazima prezentacije... Kasniji matematičari su iz nje uveliko izvlačili i probleme i metode za njihovo rješavanje ».

Nacrtajmo funkciju

Graf je parabola čije su grane usmjerene prema gore, jer

2) Koordinate vrha parabole

W. Sauer je govorio :

„Često je korisnije za studenta algebre da riješi isti problem na tri različita načina nego da riješi tri ili četiri različita problema. Rešavanjem jednog problema različitim metodama moguće je upoređivanjem saznati koji je kraći i efikasniji. Tako se stvara iskustvo."

"Grad je jedinstvo različitih"

Aristotel

„Broj izražen decimalnim znakom čitaće Nemac, Rus, Arap i Jenki na isti način“