Matematički znak između. Matematička notacija

Apstraktna algebra u velikoj meri koristi simbole za pojednostavljenje i skraćivanje teksta, kao i standardnu ​​notaciju za neke grupe. Slijedi lista najčešćih algebarskih zapisa, odgovarajućih naredbi u... Wikipediji

Matematičke notacije su simboli koji se koriste za pisanje matematičkih jednačina i formula na kompaktan način. Pored brojeva i slova raznih abeceda (latinica, uključujući gotski, grčki i hebrejski), ... ... Wikipedia

Članak sadrži listu najčešće korištenih skraćenica za matematičke funkcije, operatore i druge matematičke termine. Sadržaj 1 Skraćenice 1.1 Latinica 1.2 Grčko pismo ... Wikipedia

Unicode, ili Unicode (eng. Unicode) je standard za kodiranje znakova koji vam omogućava da predstavite znakove gotovo svih pisanih jezika. Standard je 1991. godine predložila neprofitna organizacija Unicode Consortium (eng. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Spisak specifičnih simbola koji se koriste u matematici može se videti u članku Tabela matematičkih simbola Matematička notacija („jezik matematike“) je složen sistem grafičkih oznaka koji se koristi za predstavljanje apstraktnih ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Plus minus (značenja). ± ∓ Znak plus minus (±) je matematički simbol koji se postavlja ispred nekog izraza i znači da vrijednost ovog izraza može biti i pozitivna i ... Wikipedia

Potrebno je provjeriti kvalitet prijevoda i uskladiti članak sa stilskim pravilima Wikipedije. Možete pomoći... Wikipedia

Ili su matematički simboli znakovi koji svojim argumentima simboliziraju određene matematičke operacije. Najčešći su: Plus: + Minus:, - Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja::, ∕, ÷ Znak ekspozicije u ... ... Wikipedia

Znakovi operacija ili matematički simboli su znakovi koji simboliziraju određene matematičke operacije sa svojim argumentima. Najčešći su: Plus: + Minus:, - Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja::, ∕, ÷ Konstrukcijski znak ... ... Wikipedia

od dva), 3 > 2 (tri je veće od dva) itd.

Razvoj matematičke simbolike bio je usko povezan s općim razvojem pojmova i metoda matematike. Prvo Matematički znakovi postojali su znakovi za prikazivanje brojeva - brojevi, čija je pojava, po svemu sudeći, prethodila pisanju. Najstariji sistemi brojeva - babilonski i egipatski - pojavili su se već u 3 1/2 milenijuma pre nove ere. e.

Prvo Matematički znakovi jer su se proizvoljne vrijednosti pojavile mnogo kasnije (počevši od 5.-4. stoljeća prije Krista) u Grčkoj. Količine (površina, zapremine, uglovi) su prikazane kao segmenti, a proizvod dve proizvoljne homogene veličine - kao pravougaonik izgrađen na odgovarajućim segmentima. u "Počecima" Euclid (3. vek pne) količine su označene sa dva slova – početnim i završnim slovom odgovarajućeg segmenta, a ponekad i jednim. At Arhimed (3. vek pne) potonji metod postaje uobičajen. Takva oznaka je sadržavala mogućnosti za razvoj doslovnog računa. Međutim, u klasičnoj antičkoj matematici doslovni račun nije stvoren.

Počeci predstavljanja slova i računanja nastaju u kasnoj helenističkoj eri kao rezultat oslobađanja algebre od geometrijskog oblika. Diofant (vjerovatno 3. vijek) zapisao nepoznato ( X) i njegove stepeni sa sljedećim predznacima:

[ - od grčkog izraza dunamiV (dynamis - snaga), koji označava kvadrat nepoznatog, - od grčkog cuboV (k_ybos) - kocka]. Desno od nepoznatog ili njegovih stupnjeva, Diofant je napisao koeficijente, na primjer, prikazano je 3x5

(gdje je = 3). Prilikom sabiranja, Diofant je međusobno pripisivao pojmove, za oduzimanje koristio je poseban znak; Diofant je označavao jednakost slovom i [od grčkog isoV (isos) - jednak]. Na primjer, jednadžba

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X

Diofant bi to napisao ovako:

(ovdje

znači da jedinica nema množitelj u obliku stepena nepoznate).

Nekoliko vekova kasnije, Indijanci su uveli razne Matematički znakovi za nekoliko nepoznanica (skraćenice za nazive boja koje označavaju nepoznanice), kvadrat, kvadratni korijen, oduzeti broj. Dakle, jednačina

3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

U snimku Brahmagupta (7. vek) bi izgledalo ovako:

Ya va 3 ya 10 ru 8

Ya va 1 ya 0 ru 1

(ya - od yavat - tawat - nepoznato, va - od varga - kvadratni broj, ru - od rupa - novčić rupija - slobodan član, tačka iznad broja označava broj koji treba oduzeti).

Stvaranje modernog algebarskog simbolizma datira iz 14.-17. vijeka; određen je uspjesima praktične aritmetike i proučavanja jednačina. U raznim zemljama se spontano pojavljuju Matematički znakovi za neke radnje i za moći nepoznate veličine. Mnogo decenija, pa čak i vekova, prođu pre nego što se razvije jedan ili drugi pogodan simbol. Dakle, krajem 15. i. N. Shuke i L. Pacioli koristili znakove sabiranja i oduzimanja

(od lat. plus i minus), njemački matematičari su uveli moderni + (vjerovatno skraćenica od lat. et) i -. Još u 17. veku mogu izbrojati desetak Matematički znakovi za operaciju množenja.

bili različiti i Matematički znakovi nepoznata i njeni stepeni. U 16. - ranom 17. vijeku. više od deset notacija se natjecalo samo za kvadrat nepoznatog, na primjer se(iz popisa - latinski izraz koji je služio kao prijevod grčkog dunamiV, Q(od kvadrata), , A (2), , Aii, aa, a 2 itd. Dakle, jednačina

x 3 + 5 x = 12

italijanski matematičar G. Cardano (1545) imao bi oblik:

od njemačkog matematičara M. Stiefela (1544):

od italijanskog matematičara R. Bombellija (1572):

Francuski matematičar F. Vieta (1591.):

od engleskog matematičara T. Harriota (1631.):

U 16. i ranom 17. vijeku U upotrebu dolaze znaci jednakosti i zagrade: kvadrat (R. Bombelli , 1550), krug (N. Tartaglia, 1556), kovrčava (F. viet, 1593). U 16. veku moderni oblik uzima oznaku razlomaka.

Značajan korak naprijed u razvoju matematičkog simbolizma bilo je uvođenje Viete (1591.) Matematički znakovi za proizvoljne konstante u obliku velikih suglasnika latinice B, D, što mu je omogućilo prvi put da zapiše algebarske jednačine sa proizvoljnim koeficijentima i operiše s njima. Nepoznati Viet je prikazivao samoglasnike velikim slovima A, E,... Na primjer, zapis Vieta

U našim simbolima to izgleda ovako:

x 3 + 3bx = d.

Viet je bio tvorac algebarskih formula. R. Descartes (1637) dao je znakovima algebre moderan izgled, označavajući nepoznanice posljednjim slovima lat. abeceda x, y, z, i proizvoljno date količine - početnim slovima a, b, c. On također posjeduje trenutni rekord diploma. Descartesova notacija imala je veliku prednost u odnosu na sve prethodne. Stoga su ubrzo dobili univerzalno priznanje.

Dalji razvoj Matematički znakovi bio je usko povezan sa stvaranjem infinitezimalne analize, za razvoj simbolike čiji je temelj već u velikoj meri pripremljen u algebri.

Datumi pojave nekih matematičkih znakova

sign	značenje	Ko je uveo	Kada je uveden
Znakovi pojedinačnih objekata
¥	beskonačnost	J. Wallis	1655
e	baza prirodnih logaritama	L. Euler	1736
str	odnos obima i prečnika	W. Jones L. Euler	1706
i	kvadratni korijen od -1	L. Euler	1777. (u štampi 1794.)
i j k	jedinični vektori, orts	W. Hamilton	1853
P (a)	ugao paralelizma	N.I. Lobachevsky	1835
Znakovi varijabilnih objekata
x,y,z	nepoznanice ili varijable	R. Descartes	1637
r	vektor	O. Koshy	1853
Znakovi pojedinačnih operacija
+	dodatak	njemački matematičari	Krajem 15. vijeka
–	oduzimanje
´	množenje	W. Outred	1631
×	množenje	G. Leibniz	1698
:	divizije	G. Leibniz	1684
a 2 , a 3 ,…, a n	stepeni	R. Descartes	1637
		I. Newton	1676
	korijenje	K. Rudolph	1525
		A. Girard	1629
Dnevnik	logaritam	I. Kepler	1624
log		B. Cavalieri	1632
grijeh	sinus	L. Euler	1748
cos	kosinus
tg	tangenta	L. Euler	1753
arc sin	arcsine	J. Lagrange	1772
Sh	hiperbolički sinus	V. Riccati	1757
Ch	hiperbolički kosinus
dx, ddx, …	diferencijal	G. Leibniz	1675 (u štampi 1684)
d2x, d3x,…
	integral	G. Leibniz	1675 (u štampi 1686)
	derivat	G. Leibniz	1675
¦¢x	derivat	J. Lagrange	1770, 1779
y'
¦¢(x)
Dx	razlika	L. Euler	1755
	parcijalni derivat	A. Legendre	1786
	definitivni integral	J. Fourier	1819-22
	suma	L. Euler	1755
P	rad	K. Gauss	1812
!	faktorijel	K. Crump	1808
|x|	modul	K. Weierstrass	1841
lim	limit	W. Hamilton, mnogi matematičari	1853, početkom 20. veka
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x	zeta funkcija	B. Riemann	1857
G	gama funkcija	A. Legendre	1808
AT	beta funkcija	J. Binet	1839
D	delta (Laplaceov operator)	R. Murphy	1833
Ñ	nabla (Hamiltonov operater)	W. Hamilton	1853
Znakovi varijabilnih operacija
jx	funkcija	I. Bernoulli	1718
f(x)		L. Euler	1734
Znakovi individualnih odnosa
=	jednakost	R. Zapis	1557
>	više	T. Harriot	1631
<	manje
º	uporedivost	K. Gauss	1801
	paralelizam	W. Outred	1677
^	okomitost	P. Erigon	1634

I. newton u svojoj metodi fluksa i fluenta (1666. i naredne godine) uveo je znakove za uzastopne fluksije (izvode) veličine (u obliku

i za beskonačno mali prirast o. Nešto ranije, J. Wallis (1655) predložio je znak beskonačnosti ¥.

Tvorac modernog simbolizma diferencijalnog i integralnog računa je G. Leibniz. On, posebno, pripada trenutno korištenim Matematički znakovi diferencijali

dx, d 2 x, d 3 x

i integralni

Ogromna zasluga u stvaranju simbolike moderne matematike pripada L. Euler. On je (1734) uveo u opštu upotrebu prvi znak operacije promenljive, odnosno znak funkcije f(x) (od lat. functio). Nakon Eulerovog rada, znaci za mnoge pojedinačne funkcije, kao što su trigonometrijske funkcije, dobili su standardni karakter. Ojler posjeduje notaciju za konstante e(baza prirodnih logaritama, 1736), p [vjerovatno od grčkog perijereia (periphereia) - obim, periferija, 1736], imaginarna jedinica

(od francuskog imaginaire - imaginarij, 1777, objavljen 1794).

U 19. vijeku uloga simbolike raste. U ovom trenutku, znaci apsolutne vrijednosti |x| (TO. Weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), odrednica

(ALI. Cayley, 1841) i dr. Mnoge teorije koje su nastale u 19. veku, kao što je Tenzorski račun, nisu se mogle razviti bez odgovarajuće simbolike.

Zajedno sa navedenim procesom standardizacije Matematički znakovi u modernoj književnosti se često može naći Matematički znakovi koje su pojedini autori koristili samo u okviru ove studije.

Sa stanovišta matematičke logike, među Matematički znakovi mogu se izdvojiti sljedeće glavne grupe: A) znakovi objekata, B) znakovi operacija, C) znaci odnosa. Na primjer, znakovi 1, 2, 3, 4 prikazuju brojeve, odnosno predmete koje proučava aritmetika. Znak sabiranja + sam po sebi ne predstavlja nikakav objekat; prima sadržaj predmeta kada se naznači koji se brojevi dodaju: oznaka 1 + 3 prikazuje broj 4. Znak > (veći od) je znak odnosa između brojeva. Znak relacije dobija sasvim određen sadržaj kada se naznači između kojih objekata se odnos razmatra. Na gornje tri glavne grupe Matematički znakovičetvrtom se pridružuje: D) pomoćni znakovi koji utvrđuju redoslijed kombinacije glavnih znakova. Dovoljnu ideju o takvim znakovima daju zagrade koje označavaju redoslijed izvođenja radnji.

Znakovi svake od tri grupe A), B) i C) su dvije vrste: 1) pojedinačni znakovi dobro definiranih objekata, operacija i odnosa, 2) opći znakovi "neponavljajućih" ili "nepoznatih" objekata , operacije i odnosi.

Primjeri znakova prve vrste mogu poslužiti (vidi i tabelu):

A 1) Zapis prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transcendentalni brojevi e i p; imaginarna jedinica i.

B 1) Znaci aritmetičkih operacija +, -, ·, ´,:; vađenje korijena, diferencijacija

znaci zbira (unije) È i proizvoda (presjeka) Ç skupova; ovo također uključuje znakove pojedinačnih funkcija sin, tg, log, itd.

1) Znaci jednakosti i nejednakosti =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Znakovi druge vrste prikazuju proizvoljne objekte, operacije i odnose određene klase ili objekte, operacije i odnose podložne nekim unaprijed određenim uslovima. Na primjer, kada pišete identitet ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 slova a i b označavaju proizvoljne brojeve; prilikom proučavanja funkcionalne zavisnosti at = X 2 slova X i y - proizvoljni brojevi povezani datim omjerom; prilikom rješavanja jednačine

X označava bilo koji broj koji zadovoljava datu jednadžbu (kao rezultat rješavanja ove jednadžbe saznajemo da samo dvije moguće vrijednosti +1 i -1 odgovaraju ovom uvjetu).

Sa logičke tačke gledišta, legitimno je takve opšte znakove nazvati znakovima varijabli, kao što je uobičajeno u matematičkoj logici, ne plašeći se okolnosti da se „područje promjene“ varijable može ispostaviti da se sastoji od jedne objekt ili čak „prazan” (na primjer, u slučaju jednačina bez rješenja). Daljnji primjeri takvih znakova su:

A 2) Označavanje tačaka, pravih, ravni i složenijih geometrijskih oblika slovima u geometriji.

B 2) Zapis f, , j za funkcije i notaciju operatorskog računa, kada je jedno slovo L prikazati, na primjer, proizvoljan operator u obliku:

Oznaka za "varijabilne omjere" je manje uobičajena i koristi se samo u matematičkoj logici (usp. Algebra logike ) iu relativno apstraktnim, uglavnom aksiomatskim, matematičkim studijama.

Lit.: Cajori, Istorija matematičkih notacija, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Članak o riječi Matematički znakovi" u Velikoj sovjetskoj enciklopediji pročitan je 39765 puta

Kao što znate, matematika voli točnost i sažetost - nije bez razloga da jedna formula može zauzeti pasus u verbalnom obliku, a ponekad i cijelu stranicu teksta. Stoga su grafički elementi koji se koriste širom svijeta u nauci dizajnirani da povećaju brzinu pisanja i kompaktnost prezentacije podataka. Osim toga, standardiziranu grafiku može prepoznati izvorni govornik bilo kojeg jezika koji ima osnovno znanje iz relevantne oblasti.

Istorija matematičkih znakova i simbola seže mnogo vekova unazad – neki od njih su izmišljeni nasumično i namenjeni su da označe druge fenomene; drugi su postali proizvod aktivnosti naučnika koji namerno formiraju veštački jezik i rukovode se isključivo praktičnim razmatranjima.

Plus i minus

Istorija nastanka simbola koji označavaju najjednostavnije aritmetičke operacije nije pouzdana. Međutim, postoji prilično vjerojatna hipoteza o porijeklu znaka plus, koji izgleda kao ukrštene horizontalne i vertikalne linije. U skladu s njim, simbol dodavanja potječe od latinskog union et, koji se na ruski prevodi kao "i". Postupno, kako bi se ubrzao proces pisanja, riječ je svedena na okomito orijentiran križ, nalik na slovo t. Najraniji pouzdani primjer takve redukcije datira iz 14. stoljeća.

Općeprihvaćeni znak minus pojavio se, očigledno, kasnije. U 14., pa čak i u 15. veku, u naučnoj literaturi je korišćen niz simbola koji označavaju operaciju oduzimanja, a tek u 16. veku „plus” i „minus” u svom modernom obliku počinju da se pojavljuju zajedno u matematičkim radovima. .

Množenje i dijeljenje

Ironično, matematički znakovi i simboli za ove dvije aritmetičke operacije danas nisu u potpunosti standardizirani. Popularna oznaka za množenje je dijagonalni krst koji je predložio matematičar Oughtred u 17. veku, a koji se može videti, na primer, na kalkulatorima. Na časovima matematike u školi, ista operacija se obično predstavlja kao tačka - ovaj metod je u istom veku predložio Leibniz. Drugi način predstavljanja je zvjezdica, koja se najčešće koristi u kompjuterskom predstavljanju raznih proračuna. Predloženo je da se sve to koristi u istom 17. veku, Johann Rahn.

Za operaciju podjele, predviđeni su znak kose crte (koji je predložio Ougtred) i horizontalna linija sa tačkama iznad i ispod (simbol je uveo Johann Rahn). Prva verzija oznake je popularnija, ali je i druga prilično česta.

Matematički znakovi i simboli i njihova značenja se ponekad mijenjaju tokom vremena. Međutim, sve tri metode grafičkog prikaza množenja, kao i obje metode dijeljenja, u određenoj su mjeri dosljedne i relevantne danas.

Jednakost, identitet, ekvivalencija

Kao i kod mnogih drugih matematičkih znakova i simbola, oznaka jednakosti je izvorno bila verbalna. Dugo vremena općeprihvaćena oznaka bila je skraćenica ae od latinskog aequalis („jednak“). Međutim, u 16. veku, velški matematičar po imenu Robert Rekord predložio je dve horizontalne linije, jednu ispod druge, kao simbol. Prema naučniku, nemoguće je smisliti nešto što je međusobno jednakije od dva paralelna segmenta.

Unatoč činjenici da je sličan znak korišten za označavanje paralelizma linija, novi simbol jednakosti postupno je stekao popularnost. Inače, znakovi poput "više" i "manje", koji prikazuju krpelje okrenute u različitim smjerovima, pojavili su se tek u 17.-18. Danas se svakom učeniku čine intuitivnim.

Nešto složeniji znakovi ekvivalencije (dvije valovite linije) i identiteti (tri horizontalne paralelne linije) ušli su u upotrebu tek u drugoj polovini 19. stoljeća.

Znak nepoznatog - "X"

Istorija pojave matematičkih znakova i simbola takođe poznaje veoma zanimljive slučajeve preispitivanja grafike kako se nauka razvija. Simbol za nepoznato, danas nazvan "x", potiče sa Bliskog istoka u zoru prošlog milenijuma.

Još u 10. veku, u arapskom svetu, poznatom po svojim naučnicima u tom istorijskom periodu, koncept nepoznatog označavan je rečju koja se doslovno prevodi kao „nešto“ i počinje glasom „Sh“. Kako bi se uštedio materijal i vrijeme, riječ u raspravama počela se svoditi na prvo slovo.

Mnogo decenija kasnije, pisani radovi arapskih naučnika završili su u gradovima na Iberijskom poluostrvu, na teritoriji savremene Španije. Naučne rasprave su se počele prevoditi na nacionalni jezik, ali se pojavila poteškoća - na španskom nema fonema "Sh". Pozajmljene arapske riječi koje počinju s njim pisane su po posebnom pravilu, a prethodilo im je slovo X. Naučni jezik tog vremena bio je latinski, u kojem se odgovarajući znak naziva "X".

Dakle, znak je, na prvi pogled, samo nasumično odabran simbol, ima duboku istoriju i izvorno je skraćenica od arapske riječi za „nešto“.

Obilježavanje ostalih nepoznanica

Za razliku od "X", Y i Z, nama poznati iz škole, kao i a, b, c, imaju mnogo prozaičniju istoriju porekla.

U 17. veku objavljena je Dekartova knjiga pod nazivom "Geometrija". U ovoj knjizi autor je predložio standardizaciju simbola u jednačinama: u skladu sa njegovom idejom, posljednja tri slova latinice (počevši od "X") počela su označavati nepoznate, a prva tri - poznate vrijednosti.

Trigonometrijski pojmovi

Istorija takve riječi kao što je sinus je zaista neobična.

Odgovarajuće trigonometrijske funkcije su izvorno nazvane u Indiji. Riječ koja odgovara konceptu sinusa doslovno je značila "string". U doba vrhunca arapske nauke, indijski traktati su prevođeni, a koncept koji nije imao analoga na arapskom je transkribovan. Igrom slučaja, ono što se dogodilo u pismu ličilo je na stvarnu riječ "šuplje", čija semantika nije imala nikakve veze s originalnim izrazom. Kao rezultat toga, kada su arapski tekstovi prevedeni na latinski u 12. vijeku, nastala je riječ "sine", što znači "depresija" i fiksirana kao novi matematički koncept.

Ali matematički znakovi i simboli za tangentu i kotangens još uvijek nisu standardizirani - u nekim zemljama se obično pišu kao tg, au drugim - kao tan.

Neki drugi znakovi

Kao što se može vidjeti iz gore opisanih primjera, pojava matematičkih znakova i simbola uglavnom se dogodila u 16.-17. stoljeću. U istom periodu pojavili su se i danas uobičajeni oblici bilježenja pojmova kao što su procenat, kvadratni korijen, stepen.

Procenat, tj. stoti dio, dugo se označavao kao cto (skraćeno od latinskog cento). Vjeruje se da se danas općenito prihvaćen znak pojavio kao rezultat tiskarske greške prije otprilike četiri stotine godina. Rezultirajuća slika je percipirana kao dobar način za smanjenje i ukorijenjena.

Korijenski znak je prvobitno bilo stilizirano slovo R (skraćeno od latinske riječi radix, "korijen"). Gornji red, ispod kojeg je izraz danas napisan, služio je kao zagrade i bio je poseban znak, odvojen od korijena. Zagrade su izmišljene kasnije - ušle su u široku cirkulaciju zahvaljujući aktivnostima Leibniza (1646-1716). Zahvaljujući njegovom vlastitom radu, integralni simbol je uveden i u nauku, koji izgleda kao izduženo slovo S - skraćenica za riječ "sum".

Konačno, znak eksponencijalnosti izmislio je Descartes, a Njutn usavršio u drugoj polovini 17. veka.

Kasnije oznake

S obzirom da su poznate grafičke slike “plus” i “minus” puštene u promet tek prije nekoliko stoljeća, ne čini se iznenađujućim da su se matematički znakovi i simboli koji označavaju složene pojave počeli koristiti tek u pretprošlom stoljeću.

Dakle, faktorijel, koji izgleda kao uzvičnik iza broja ili varijable, pojavio se tek početkom 19. stoljeća. Otprilike u isto vrijeme pojavilo se veliko "P" koje označava djelo i simbol granice.

Pomalo je čudno da su se znakovi za broj Pi i algebarski zbir pojavili tek u 18. stoljeću – kasnije od, na primjer, integralnog simbola, iako se intuitivno čini da su češći. Grafički prikaz odnosa obima kruga i njegovog prečnika dolazi od prvog slova grčkih reči koje znače "obim" i "perimetar". A znak "sigma" za algebarski zbir predložio je Ojler u poslednjoj četvrtini 18. veka.

Nazivi simbola na različitim jezicima

Kao što znate, jezik nauke u Evropi dugi niz vekova bio je latinski. Fizički, medicinski i mnogi drugi termini često su posuđivani u obliku transkripcija, mnogo rjeđe u obliku paus papira. Tako se mnogi matematički znakovi i simboli na engleskom nazivaju gotovo isto kao na ruskom, francuskom ili njemačkom. Što je suština fenomena složenija, veća je vjerovatnoća da će na različitim jezicima imati isto ime.

Računarska notacija matematičkih simbola

Najjednostavniji matematički znakovi i simboli u Wordu označeni su uobičajenom kombinacijom tipki Shift + broj od 0 do 9 na ruskom ili engleskom rasporedu. Odvojeni tasteri su rezervisani za neke široko korišćene znakove: plus, minus, jednakost, kosa crta.

Ako želite da koristite grafičke prikaze integrala, algebarskog zbroja ili proizvoda, Pi broja itd., potrebno je da otvorite karticu „Insert“ u Wordu i pronađete jedno od dva dugmeta: „Formula“ ili „Simbol“. U prvom slučaju otvorit će se konstruktor koji vam omogućava da napravite cijelu formulu unutar jednog polja, au drugom tablicu simbola u kojoj možete pronaći bilo koji matematički simbol.

Kako zapamtiti matematičke simbole

Za razliku od hemije i fizike, gdje broj simbola za pamćenje može premašiti stotinu jedinica, matematika operira s relativno malim brojem simbola. Najjednostavnije od njih učimo u ranom djetinjstvu, učeći sabiranje i oduzimanje, a tek na fakultetu u određenim specijalnostima upoznajemo se s nekoliko složenih matematičkih znakova i simbola. Slike za djecu pomažu u nekoliko sedmica da se postigne trenutno prepoznavanje grafičke slike potrebne operacije, možda će biti potrebno mnogo više vremena da se savlada vještina samog izvođenja ovih operacija i shvati njihova suština.

Dakle, proces pamćenja znakova odvija se automatski i ne zahtijeva mnogo truda.

Konačno

Vrijednost matematičkih znakova i simbola leži u činjenici da ih lako razumiju ljudi koji govore različite jezike i nosioci su različitih kultura. Iz tog razloga, izuzetno je korisno razumjeti i biti u stanju reproducirati grafičke prikaze različitih pojava i operacija.

Visok nivo standardizacije ovih znakova uslovljava njihovu upotrebu u raznim oblastima: u oblasti finansija, informacionih tehnologija, inženjeringa itd. postaje vitalna potreba..

Matematička notacija(„jezik matematike“) - složena grafička notacija koja služi za predstavljanje apstraktnih matematičkih ideja i sudova u ljudskom čitljivom obliku. On čini (u svojoj složenosti i raznolikosti) značajan udio ne-govornih znakovnih sistema koje koristi čovječanstvo. Ovaj članak opisuje općeprihvaćenu međunarodnu notaciju, iako su različite kulture prošlosti imale svoje, a neke od njih čak i ograničenu upotrebu do sada.

Imajte na umu da se matematička notacija, po pravilu, koristi u sprezi sa pisanim oblikom nekih prirodnih jezika.

Pored fundamentalne i primijenjene matematike, matematička notacija ima široku primjenu u fizici, kao i (u svom nepotpunom obimu) u inženjerstvu, računarstvu, ekonomiji, pa i u svim područjima ljudske djelatnosti gdje se koriste matematički modeli. O razlikama između odgovarajućeg matematičkog i primijenjenog stila notacije će se raspravljati u toku teksta.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Prijavite se / u matematici

✪ Matematika 3. razred. Tabela cifara višecifrenih brojeva

✪ Skupovi u matematici

✪ Matematika 19. Matematička zabava - Shishkin škola

Titlovi

Zdravo! Ovaj video nije o matematici, već o etimologiji i semiotici. Ali siguran sam da će ti se svidjeti. Idi! Jeste li svjesni da je potraga za rješenjem kubnih jednačina u opštem obliku matematičarima trajala nekoliko stoljeća? Ovo je dijelom i zašto? Jer nije bilo jasnih simbola za jasne misli, bilo da je naše vrijeme. Ima toliko likova da se možete zbuniti. Ali ne možete nas prevariti, hajde da shvatimo. Ovo je obrnuto veliko slovo A. Ovo je zapravo englesko slovo, prvo navedeno u riječima "sve" i "bilo koje". Na ruskom se ovaj simbol, ovisno o kontekstu, može čitati ovako: za svakoga, svakoga, svakoga, svakoga itd. Takav hijeroglif će se zvati univerzalni kvantifikator. A evo još jednog kvantifikatora, ali već postoji. Englesko slovo e odrazilo se u Paintu s lijeva na desno, nagoveštavajući na taj način prekomorski glagol "exist", po našem mišljenju čitaćemo: postoji, postoji, postoji još jedan sličan način. Uzvičnik bi dodao jedinstvenost takvom egzistencijalnom kvantifikatoru. Ako je ovo jasno, idemo dalje. Vjerovatno ste u jedanaestom razredu naišli na neodređene integrale, pa bih vas podsjetio da ovo nije samo neka vrsta antiderivata, već zbirka svih antiderivata integranda. Zato ne zaboravite na C - konstantu integracije. Inače, sama integralna ikona je samo izduženo slovo s, odjek latinske riječi sum. To je upravo geometrijsko značenje određenog integrala: traženje površine figure ispod grafa zbrajanjem beskonačno malih vrijednosti. Za mene je ovo najromantičnija aktivnost u matematici. Ali školska geometrija je najkorisnija jer uči logičkoj strogosti. Do prvog kursa, trebalo bi da imate jasno razumevanje šta je posledica, šta je ekvivalencija. Pa, ne možete se zbuniti između neophodnosti i dovoljnosti, razumete? Pokušajmo čak i da kopamo malo dublje. Ako odlučite da se bavite višom matematikom, onda zamišljam kako su loše stvari s vašim privatnim životom, ali zato ćete sigurno pristati da savladate malu vježbu. Ovdje postoje tri tačke, svaka ima lijevu i desnu stranu, koje trebate povezati s jednim od tri nacrtana simbola. Zastanite, isprobajte sami, a zatim poslušajte šta imam da vam kažem. Ako je x=-2, onda |x|=2, ali s lijeva na desno, tako da je fraza već izgrađena. U drugom pasusu na lijevoj i desnoj strani piše apsolutno isto. I treću tačku možemo komentirati na sljedeći način: svaki pravougaonik je paralelogram, ali nije svaki paralelogram pravougaonik. Da, znam da više niste mali, ali ipak moj aplauz onima koji su se snašli u ovoj vježbi. Pa, dobro, dosta, prisjetimo se skupova brojeva. Prirodni brojevi se koriste u brojanju: 1, 2, 3, 4 i tako dalje. U prirodi, -1 jabuka ne postoji, ali, usput, cijeli brojevi vam omogućavaju da pričate o takvim stvarima. Slovo ℤ nam vrišti o važnoj ulozi nule, skup racionalnih brojeva je označen slovom ℚ, i to nije slučajno. Na engleskom, riječ "količnik" znači "stav". Inače, ako vam negdje u Bruklinu priđe Afroamerikanac i kaže: "Neka bude realno!", možete biti sigurni da ste matematičar, obožavatelj realnih brojeva. Pa, trebalo bi da pročitate nešto o kompleksnim brojevima, biće korisnije. Sada ćemo se vratiti nazad, vratiti se u prvi razred najobičnije grčke škole. Ukratko, prisjetimo se drevne abecede. Prvo slovo je alfa, zatim betta, ova udica je gama, zatim delta, zatim epsilon, i tako dalje, do posljednjeg slova omega. Možete biti sigurni da i Grci imaju velika slova, ali nećemo sada pričati o tužnim stvarima. Bolje smo o veselim - o granicama. Ali ovdje jednostavno nema zagonetki, odmah je jasno iz koje riječi se pojavio matematički simbol. Dakle, možemo prijeći na završni dio videa. Molimo pokušajte zvučati definiciju granice niza brojeva, koja je sada napisana pred vama. Kliknite radije pauzirajte i razmislite, i neka vam bude sreća jednogodišnjeg djeteta koje je naučilo riječ "majka". Ako za bilo koji epsilon veći od nule postoji prirodan broj N, takav da je za sve brojeve numeričkog niza veće od N, nejednakost |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Opće informacije

Sistem je evoluirao kao prirodni jezici, istorijski (vidi istoriju matematičke notacije), i organizovan je kao pisanje prirodnih jezika, pozajmljujući mnoge simbole i odatle (prvenstveno iz latinskog i grčkog alfabeta). Simboli su, kao i u običnom pisanju, prikazani kontrastnim linijama na jednoličnoj podlozi (crno na bijelom papiru, svjetlo na tamnoj ploči, kontrastno na monitoru itd.), a njihovo značenje je određeno prvenstveno oblikom i odnosom. pozicija. Boja se ne uzima u obzir i obično se ne koristi, ali kada se koriste slova, njihove karakteristike poput stila, pa čak i slova, koje ne utiču na značenje u običnom pisanju, mogu igrati semantičku ulogu u matematičkoj notaciji.

Struktura

Obična matematička notacija (posebno tzv matematičke formule) su općenito napisani u nizu s lijeva na desno, ali ne moraju nužno činiti uzastopni niz znakova. Odvojeni blokovi znakova mogu se nalaziti u gornjoj ili donjoj polovini reda, čak iu slučaju kada se znakovi ne preklapaju okomito. Također, neki dijelovi se nalaze potpuno iznad ili ispod linije. S gramatičke strane, gotovo svaka "formula" može se smatrati hijerarhijski organiziranom strukturom tipa stabla.

Standardizacija

Matematička notacija predstavlja sistem u smislu odnosa njegovih komponenti, ali, generalno, nečine formalni sistem (u razumijevanju same matematike). Oni se, u bilo kom komplikovanom slučaju, ne mogu ni programski rastaviti. Kao i svaki prirodni jezik, „jezik matematike“ je pun nedosljednih oznaka, homografija, različitih (među svojim govornicima) tumačenja onoga što se smatra ispravnim, itd. Ne postoji čak ni predvidljiva abeceda matematičkih simbola, a posebno zato što Pitanje nije uvijek jednoznačno riješeno da li dvije oznake smatrati različitim licima ili različitim pisanjima jednog znaka.

Neki od matematičkih zapisa (uglavnom koji se odnose na mjerenja) su standardizirani u ISO 31 -11, ali općenito, standardizacija notacije prije ne postoji.

Elementi matematičke notacije

Brojevi

Ako je potrebno, primenite brojevni sistem sa osnovom manjom od deset, baza se piše u podpisu: 20003 8 . Brojevni sistemi sa bazama većim od deset ne koriste se u opšteprihvaćenoj matematičkoj notaciji (iako ih, naravno, proučava sama nauka), jer za njih nema dovoljno brojeva. U vezi s razvojem informatike, postao je aktualan heksadecimalni brojevni sistem u kojem su brojevi od 10 do 15 označeni sa prvih šest latiničnih slova od A do F. Za označavanje takvih brojeva u informatici koristi se nekoliko različitih pristupa. , ali se ne prenose na matematiku.

Gornji i indeksni znakovi

Zagrade, slični simboli i graničnici

Koriste se zagrade "()":

Uglaste zagrade "" se često koriste u grupisanju značenja kada morate koristiti mnogo parova zagrada. U ovom slučaju, postavljeni su spolja i (sa urednom tipografijom) imaju veću visinu od zagrada koje se nalaze unutra.

Kvadratne "" i okrugle "()" zagrade se koriste za označavanje zatvorenih i otvorenih prostora, respektivno.

Kovrčave zagrade "()" se obično koriste za , iako se za njih primjenjuje isto upozorenje kao i za uglaste zagrade. Lijeve "(" i desne ")" zagrade se mogu koristiti odvojeno; opisana je njihova svrha.

Simboli ugaonih zagrada " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» s urednom tipografijom treba imati tupe uglove i tako se razlikovati od sličnih koji imaju pravi ili oštar ugao. U praksi se tome ne treba nadati (pogotovo kada se formule piše ručno) i treba ih razlikovati uz pomoć intuicije.

Parovi simetričnih (u odnosu na vertikalnu os) simbola, uključujući one koji nisu navedeni, često se koriste za isticanje dijela formule. Opisana je svrha uparenih zagrada.

Indeksi

Ovisno o lokaciji, razlikuju se superskript i donji indeks. Gornji indeks može značiti (ali ne znači nužno) eksponencijaciju do , o drugim upotrebama .

Varijable

U znanostima postoje skupovi veličina, a bilo koja od njih može uzeti ili skup vrijednosti i nazvati se varijabla vrijednost (varijanta), ili samo jednu vrijednost i naziva se konstantom. U matematici se veličine često skreću sa fizičkog značenja, a onda se varijabla pretvara u apstraktno(ili numerička) varijabla, označena nekim simbolom koji nije zauzet posebnom notacijom koja je gore spomenuta.

Varijabilna X smatra se datim ako je naveden skup vrijednosti koje uzima (x). Pogodno je smatrati konstantnu vrijednost kao varijablu za koju je odgovarajući skup (x) sastoji se od jednog elementa.

Funkcije i operatori

Matematički, nema značajne razlike između operater(unarno), mapiranje i funkcija.

Međutim, podrazumijeva se da ako je za snimanje vrijednosti preslikavanja iz datih argumenata potrebno navesti , tada simbol ovog preslikavanja označava funkciju, u drugim slučajevima vjerovatnije je da se govori o operatoru. Simboli nekih funkcija jednog argumenta koriste se sa i bez zagrada. Mnoge elementarne funkcije, na primjer sin ⁡ x (\displaystyle \sin x) ili grijeh ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), ali se uvijek pozivaju elementarne funkcije funkcije.

Operatori i relacije (unarni i binarni)

Funkcije

Funkcija se može pozvati u dva smisla: kao izraz njene vrijednosti sa datim argumentima (pisanim f (x) , f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) itd.) ili zapravo kao funkcija. U potonjem slučaju stavlja se samo simbol funkcije, bez zagrada (iako ga često pišu nasumično).

Postoje mnoge oznake za uobičajene funkcije koje se koriste u matematičkom radu bez dodatnog objašnjenja. Inače, funkcija se mora na neki način opisati, a u fundamentalnoj matematici se suštinski ne razlikuje od i takođe se označava proizvoljnim slovom na isti način. Slovo f je najpopularnije za varijabilne funkcije, g i većina grčkih se također često koriste.

Unaprijed definirane (rezervisane) oznake

Međutim, jednoslovnim oznakama može se, po želji, dati drugačije značenje. Na primjer, slovo i se često koristi kao indeks u kontekstu u kojem se ne koriste kompleksni brojevi, a slovo se može koristiti kao varijabla u nekoj kombinatorici. Također, simbole teorije skupova (kao što je " ⊂ (\displaystyle \subset)" i " ⊃ (\displaystyle \supset)”) i propozicioni račun (kao što je “ ∧ (\displaystyle \wedge )" i " ∨ (\displaystyle\vee )”) može se koristiti u drugom smislu, obično kao relacija poretka i binarna operacija, respektivno.

Indeksiranje

Indeksiranje je ucrtano (obično na dnu, ponekad na vrhu) i predstavlja, na neki način, način da se proširi sadržaj varijable. Međutim, koristi se u tri malo različita (iako se preklapaju) smisla.

Zapravo brojevi

Možete imati više različitih varijabli označavajući ih istim slovom, slično kao kada koristite . Na primjer: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots). Obično ih povezuje neka zajednička svojstva, ali općenito to nije potrebno.

Štaviše, kao "indekse" možete koristiti ne samo brojeve, već i bilo koje znakove. Međutim, kada je druga varijabla i izraz napisan kao indeks, ovaj unos se tumači kao "promjenjiva s brojem određen vrijednošću izraza indeksa."

U tenzorskoj analizi

U linearnoj algebri, tenzorskoj analizi, diferencijalnoj geometriji sa indeksima (u obliku varijabli) zapisuju se

Kurs koristi geometrijski jezik, koju čine oznake i simboli usvojeni u predmetu matematike (posebno u novom predmetu geometrije u srednjoj školi).

Čitav niz oznaka i simbola, kao i veze između njih, mogu se podijeliti u dvije grupe:

grupa I - oznake geometrijskih figura i odnosi između njih;

grupa II oznake logičkih operacija, koje čine sintaksičku osnovu geometrijskog jezika.

U nastavku slijedi kompletna lista matematičkih simbola koji se koriste u ovom kursu. Posebna pažnja posvećena je simbolima koji se koriste za označavanje projekcija geometrijskih oblika.

Grupa I

SIMBOLI OZNAČENI GEOMETRIJSKIM FIGURIMA I ODNOSI IZMEĐU NJIH

A. Označavanje geometrijskih oblika

1. Geometrijska figura je označena - F.

2. Bodovi su označeni velikim slovima latinične abecede ili arapskim brojevima:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linije koje se proizvoljno nalaze u odnosu na ravni projekcije označene su malim slovima latinice:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Linije nivoa su označene: h - horizontalno; f- frontalni.

Sljedeća notacija se također koristi za prave linije:

(AB) - prava linija koja prolazi kroz tačke A i B;

[AB) - zraka sa početkom u tački A;

[AB] - segment prave linije omeđen tačkama A i B.

4. Površine su označene malim slovima grčke abecede:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Da biste naglasili način na koji je površina definirana, trebali biste navesti geometrijske elemente pomoću kojih je definirana, na primjer:

α(a || b) - ravan α određena je paralelnim pravima a i b;

β(d 1 d 2 gα) - površina β određena je vodilicama d 1 i d 2 , generatricom g i ravninom paralelizma α.

5. Uglovi su naznačeni:

∠ABC - ugao sa vrhom u tački B, kao i ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Ugao: vrijednost (mjera stepena) je označena znakom koji se postavlja iznad ugla:

Vrijednost ugla ABC;

Vrijednost ugla φ.

Pravi ugao je označen kvadratom sa tačkom unutra

7. Udaljenosti između geometrijskih figura su označene sa dva vertikalna segmenta - ||.

Na primjer:

|AB| - rastojanje između tačaka A i B (dužina segmenta AB);

|Aa| - udaljenost od tačke A do prave a;

|Aα| - udaljenosti od tačke A do površine α;

|ab| - rastojanje između linija a i b;

|αβ| udaljenost između površina α i β.

8. Za ravni projekcije prihvaćene su sljedeće oznake: π 1 i π 2, gdje je π 1 horizontalna ravan projekcije;

π 2 -frjuntalna ravan projekcija.

Prilikom zamjene ravni projekcije ili uvođenja novih ravni, ove posljednje označavaju π 3, π 4, itd.

9. Osi projekcije su označene: x, y, z, gdje je x x-osa; y je y-osa; z - aplicirana osa.

Konstantna linija Mongeovog dijagrama je označena sa k.

10. Projekcije tačaka, pravih, površina, bilo koje geometrijske figure označene su istim slovima (ili brojevima) kao i original, uz dodatak superskripta koji odgovara projekcijskoj ravni na kojoj su dobijeni:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalne projekcije tačaka; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontalne projekcije tačaka; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalne projekcije pravih; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... frontalne projekcije linija; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površina; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontalne projekcije površina.

11. Tragovi ravni (površina) označeni su istim slovima kao i horizontalni ili frontalni, uz dodatak indeksa 0α, naglašavajući da ove prave leže u ravni projekcije i pripadaju ravni (površini) α.

Dakle: h 0α - horizontalni trag ravni (površine) α;

f 0α - frontalni trag ravni (površine) α.

12. Tragovi pravih linija (linija) označeni su velikim slovima, kojima počinju riječi koje određuju naziv (u latinskoj transkripciji) ravni projekcije koju linija prelazi, sa indeksom koji označava pripadnost pravoj.

Na primjer: H a - horizontalni trag prave (linije) a;

F a - frontalni trag prave (linije) a.

13. Niz tačaka, linija (bilo koje figure) označen je indeksima 1,2,3,...,n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n itd.

Pomoćna projekcija tačke, dobijena kao rezultat transformacije da bi se dobila stvarna vrijednost geometrijske figure, označena je istim slovom sa indeksom 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Aksonometrijske projekcije

14. Aksonometrijske projekcije tačaka, pravih, površina označene su istim slovima kao i priroda sa dodatkom superskripta 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundarne projekcije su označene dodavanjem superskripta 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Kako bi se olakšalo čitanje crteža u udžbeniku, u dizajnu ilustrativnog materijala korišteno je nekoliko boja, od kojih svaka ima određeno semantičko značenje: crne linije (tačke) označavaju početne podatke; zelena boja se koristi za linije pomoćnih grafičkih konstrukcija; crvene linije (tačke) prikazuju rezultate konstrukcija ili onih geometrijskih elemenata na koje treba obratiti posebnu pažnju.

B. Simboli koji označavaju odnose između geometrijskih figura

br.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije
1	≡	Match	(AB) ≡ (CD) - prava linija koja prolazi kroz tačke A i B, poklapa se sa pravom koja prolazi kroz tačke C i D
2	≅	Kongruentno	∠ABC≅∠MNK - ugao ABC je kongruentan uglu MNK
3	∼	Slično	ΔABS∼ΔMNK - trokuti ABC i MNK su slični
4	||	Paralelno	α||β - ravan α je paralelna ravni β
5	⊥	Okomito	a⊥b - prave a i b su okomite
6		križanje	sa d - prave c i d se seku
7		Tangente	t l - prava t je tangenta na pravu l. βα - ravan β tangenta na površinu α
8	→	Prikazuju se	F 1 → F 2 - figura F 1 je mapirana na figuru F 2
9	S	projekcijski centar. Ako centar projekcije nije odgovarajuća tačka, njegov položaj je označen strelicom, koji označava pravac projekcije	-
10	s	Smjer projekcije	-
11	P	Paralelna projekcija	p s α Paralelna projekcija - paralelna projekcija na ravan α u pravcu s

B. Teorijska notacija skupova

br.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije	Primjer simboličke notacije u geometriji
1	M,N	Setovi	-	-
2	A,B,C,...	Set elemenata	-	-
3	{ ... }	Sadrži...	F(A, B, C,... )	F(A, B, C,...) - figura F se sastoji od tačaka A, B, C, ...
4	∅	Prazan set	L - ∅ - skup L je prazan (ne sadrži elemente)	-
5	∈	Pripada, je element	2∈N (gdje je N skup prirodnih brojeva) - broj 2 pripada skupu N	A ∈ a - tačka A pripada pravoj a (tačka A leži na pravoj a)
6	⊂	Uključuje, sadrži	N⊂M - skup N je dio (podskup) skupa M svih racionalnih brojeva	a⊂α - prava a pripada ravni α (shvaćeno u smislu: skup tačaka prave a je podskup tačaka ravni α)
7	∪	Udruženje	C \u003d A U B - skup C je unija skupova A i B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - izlomljena linija, ABCD je unija segmenata [AB], [BC],
8	∩	Raskrsnica mnogih	M=K∩L - skup M je presek skupova K i L (sadrži elemente koji pripadaju i skupu K i skupu L). M ∩ N = ∅- presek skupova M i N je prazan skup (skupovi M i N nemaju zajedničke elemente)	a = α ∩ β - prava a je presek ravni α i β i ∩ b = ∅ - prave a i b se ne seku (nemaju zajedničke tačke)

Grupa II SIMBOLI KOJI OZNAČAVAJU LOGIČKE OPERACIJE

br.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije
1	∧	spoj rečenica; odgovara uniji "i". Rečenica (p∧q) je istinita ako i samo ako su i p i q tačni	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Presjek površina α i β je skup tačaka (prava), koja se sastoji od svih onih i samo onih tačaka K koje pripadaju i površini α i površini β
2	∨	Disjunkcija rečenica; odgovara uniji "ili". Rečenica (p∨q) istina kada je barem jedna od rečenica p ili q tačna (tj. ili p ili q ili oboje).	-
3	⇒	Implikacija je logična posljedica. Rečenica p⇒q znači: "ako je p, onda q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Ako su dvije prave paralelne s trećom, onda su paralelne jedna s drugom.
4	⇔	Rečenica (p⇔q) se razumije u smislu: "ako je p, onda q; ako q, onda p"	A∈α⇔A∈l⊂α. Tačka pripada ravni ako pripada nekoj pravoj koja pripada toj ravni. Vrijedi i obrnuto: ako tačka pripada nekoj pravoj, pripada ravni, onda pripada i samoj ravni.
5	∀	Opšti kvantifikator glasi: za svakoga, za svakoga, za bilo koga. Izraz ∀(x)P(x) znači: "za bilo koje x: svojstvo P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) Za bilo koji (za bilo koji) trokut, zbir vrijednosti njegovih uglova na vrhovima je 180°
6	∃	Egzistencijalni kvantifikator glasi: postoji. Izraz ∃(x)P(x) znači: "postoji x koji ima svojstvo P(x)"	(∀α)(∃a). Za bilo koju ravan α postoji prava a koja ne pripada ravni α i paralelno sa ravninom α
7	∃1	Kvantifikator jedinstvenosti postojanja glasi: postoji jedinstvenost (-th, -th)... Izraz ∃1(x)(Px) znači: "postoji jedinstven (samo jedan) x, ima svojstvo Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za bilo koje dvije različite točke A i B postoji jedinstvena prava a, prolazeći kroz ove tačke.
8	(px)	Negacija iskaza P(x)	ab(∃α)(α⊃a, b). Ako se prave a i b sijeku, onda ne postoji ravan a koja ih sadrži
9	\	Negativan znak	≠ - odsječak [AB] nije jednak segmentu .a?b - prava a nije paralelna pravoj b