Uvod

Svi dijelovi deskriptivne geometrije koriste istu metodu - metodu projekcije, pa se crteži koji se koriste ne samo u deskriptivnoj geometriji nazivaju projekcijski crteži.

Metoda projekcije leži u činjenici da se bilo koja od tačaka skupa tačaka u prostoru može projektovati projektovanjem zraka na bilo koju površinu. Da biste to učinili, zamislite neku datu površinu (slika 1) i tačku ALI u svemiru. Prilikom provođenja zraka S kroz tačku ALI u pravcu površine, potonja će je preseći u tački ALI jedan . Poenta ALI pozvao projektovana tačka. Ravan α na kojoj se dobija projekcija naziva se ravni projekcije. Tačka presjeka zraka sa ravninom naziva se projekcija tačke ALI. Pravo ALIALI 1 (greda), zv projektovana greda.

Fig.1.

Centralna (konusna ili polarna) metoda projekcije zasniva se na činjenici da prilikom projektovanja na ravan niz tačaka ( ALI, B, C itd.) sve projektovane zrake prolaze kroz jednu tačku, tzv projekcijski centar, ili pole.

Zamislite trougao u svemiru ABC i projektovanje zraka koje prolaze kroz dati pol S i niz tačaka ABC trouglovi povučeni u presek sa ravninom α. Trougao ALI 1 B 1 C 1 će biti centralna projekcija trougla ABC(Sl. 2).

Metoda centralne projekcije ne zadovoljava niz uslova neophodnih za tehnički crtež, a to su: ne daje ujednačenu sliku, potpunu jasnoću svih geometrijskih oblika, nema čitljivost, nema jednostavnost slike.

Metoda paralelne (kose) projekcije je da sve projektovane zrake prolaze kroz tačke trougla ABC, biće paralelne jedna s drugom (slika 3). Ova metoda proizilazi iz metode centralne projekcije, dok se stup mora udaljiti na beskonačnu udaljenost od ravni na koju se projektira objekt.

Metoda ortogonalne (pravokutne) projekcije - metoda kada su projektovane zrake paralelne jedna s drugom i okomite na ravan projekcije (slika 4). Ova metoda je poseban slučaj paralelne projekcije.

Tako se na ravan projekcije može projektovati bilo koja tačka u prostoru: na horizontalnu P 1 , frontalnu P 2 i profil P 3 . Horizontalna projekcija tačke je označena ALI 1 ili ALI′, frontalni ALI 2 ili ALI″ profil ALI 3 ili ALI′″ (sl. 5).

Paralelna projekcija se može posmatrati kao poseban slučaj centralne projekcije.

Ako se centar projekcija na centralnom projekcijskom aparatu pomjeri u beskonačnost, tada se projekcije zraka mogu smatrati paralelnim. Dakle, aparat za paralelnu projekciju sastoji se od ravni projekcije P i pravca R. Kod centralne projekcije, projektovane zrake izlaze iz jedne tačke, a kod paralelne projekcije su međusobno paralelne.

U zavisnosti od smjera projekcijskih greda, paralelna projekcija može biti koso, kada su projekcijske grede nagnute prema ravni projekcije, i pravokutna (ortogonalna), kada su projekcijske grede okomite na ravan projekcije.

Razmotrimo primjer kose paralelne projekcije.

Konstruišemo paralelnu projekciju A1B1 segmenta AB, na ravan P1, za dati pravac projekcije P, a ne P1. Za to je potrebno povući projektovane prave kroz tačke A i B paralelno sa smerom projekcije P. Kada se projekcije prave seku sa ravni P1, dobiće se paralelne projekcije A1 i B1 tačaka A i B. Povezivanjem paralelne projekcije A1 i B1, dobijamo paralelnu projekciju A1B1 segmenta AB.

Slično, moguće je konstruisati paralelnu projekciju A1V1S1D1 četvorougla ABCD na ravan P1, sa datim smerom projekcije P koji nije okomit na P1.

Da biste to učinili, potrebno je povući projektovane prave kroz tačke A, B, C, D, paralelno sa pravcem projekcije P. Kada se projekcije prave seku sa ravninom P1, paralelne projekcije A1, B1, C1, D1 tačaka Dobiće se A, B, C, D. Spajanjem paralelnih projekcija A1, B1, C1, D1 dobijamo paralelnu projekciju A1B1C1D1 četvorougla ABCD.

Svojstva projekcija u paralelnoj projekciji:

Prvih šest svojstava centralne projekcije važe i za paralelnu projekciju. Navodimo još nekoliko svojstava svojstvenih paralelnoj projekciji:

1. Projekcije paralelnih pravih su paralelne.

Iz slike se vidi da su linije AA 1 , BB 1 , SS 1 i DD 1 formiraju dve paralelne ravni a i b. Ove dvije ravni se seku P 1. Dakle, linije njihovog preseka A 1 B 1 i C 1 D 1 biće paralelni.

2. Ako tačka dijeli dužinu segmenta u odnosu na m:n, tada projekcija ove tačke dijeli dužinu projekcije segmenta u istom omjeru.

Pusti poentu OD pripada segmentu AB, i |AC| : |CB| = 2:1. Napravimo paralelnu projekciju A 1 B 1 segment AB. Dot Od 1 A 1 B 1. Hajde da potrošimo AC' || A 1 C 1 i CB' || C 1 B 1, dobijamo dva slična trougla ACC' i CBB'. Iz njihove sličnosti slijedi proporcionalnost strana: |AC| : |CB| = |AC'| : |CB'|, ali |CB'| = |S1V1|, a |AC'| = |A 1 C 1 |, dakle |AC| : |CB| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. Ravna figura paralelna sa ravninom projekcije se projektuje bez izobličenja.

Uzmimo trougao ABC i projektuju ga na dvije paralelne projekcijske ravni P 1 ‘ i P 1. Pošto su dužine segmenata jednake |A 1 A 1 '| = |B 1 B 1 ‘| = |C 1 C 1 ‘| a segmenti su paralelni, zatim četvorouglovi A 1 A 1 'B 1 B 1 ', B 1 B 1 ' C 1 C 1 ', C 1 C 1 'A 1 A 1 ' su paralelogrami. Stoga su njihove suprotne strane jednake po dužini. A 1 B 1 | = | A 1 'B 1 '|, | B 1 C 1 | = |B 1 'C 1 '|, |A 1 C 1 | = |A 1 'C 1 '|, pa su trouglovi podudarni.

Slično, isto se može dokazati i za bilo koju drugu ravnu figuru. Paralelna projekcija, za razliku od centralne, ima manju jasnoću, ali pruža lakoću konstrukcije i veći odnos sa originalom.

Paralelna projekcija(Sl. 1.6) se može posmatrati kao poseban slučaj centralne projekcije, u kojoj je centar projekcije uklonjen u beskonačnost ( S∞). Kod paralelne projekcije koriste se paralelne projekcijske linije, povučene u datom smjeru u odnosu na ravan projekcije

cije. Ako je pravac projekcije okomit na ravan projekcije, tada se projekcije nazivaju pravokutnim ili ortogonalnim. u drugim slučajevima - koso (na slici 1.6 smjer projekcije je označen strelicom pod uglom u odnosu na ravninu projekcije).

Paralelna projekcija čuva sva svojstva centralne projekcije, a uvodi i sljedeća nova svojstva.

1. Paralelne projekcije međusobno paralelnih pravih su paralelne, a odnos dužina segmenata tih pravih jednak je odnosu dužina njihovih projekcija.

Ako je ravno MN i KL(Sl. 1.7) su paralelne, onda su ravni projekcije i paralelne, pošto su prave koje se seku u ovim ravnima međusobno paralelne: - po uslovu,

Prema tome, projekcije i su paralelne kao linije preseka paralelnih ravni p i y sa ravninom l.

Napomena na pravoj liniji MN proizvoljan segment A B i na pravoj liniji KL proizvoljan segment CD. Povucite ravan p kroz tačku ALI prava i u ravni y kroz tačku C prava linija C - . Segmenti kao segmenti paralelnih između paralelnih. Segmenti i, prema tome, . Segmenti, jer su im sve strane međusobno paralelne. Iz sličnosti trokuta slijedi:

Iz onoga što je razmatrano slijedi:

a) ako je dužina pravolinijskog segmenta podijeljena točkom u bilo kojem omjeru, tada se dužina projekcije segmenta dijeli sa projekcijom ove tačke u istom omjeru (slika 1.8):

b) projekcije odsječaka međusobno paralelnih pravih jednakih dužina međusobno su paralelne i jednake po dužini.

Ovo je očigledno, budući da (vidi sliku 1.7) na će biti . Dakle, kosom projekcijom, u opštem slučaju, paralelogram, romb, pravougaonik, kvadrat se projektuju u paralelogram.

• 2. Ravna figura paralelna ravni projekcija se projektuje prilikom paralelne projekcije na ovu ravan u istu figuru.
• 3. Paralelni prijenos figure u prostoru ili u ravni projekcija ne mijenja vrstu i veličinu projekcije figure.

Paralelne projekcije, poput centralnih sa jednim projekcijskim centrom, takođe ne daju reverzibilnost crteža.

Koristeći metode paralelne projekcije tačke i prave moguće je graditi paralelne projekcije površine i tijela.

Paralelne projekcije koriste se za konstruiranje vizualnih slika različitih tehničkih uređaja i njihovih detalja.

Pravokutna (ortogonalna) projekcija

Poseban slučaj paralelne projekcije, u kojem je pravac projekcije okomit na ravan projekcije, naziva se pravougaona ili ortogonalna projekcija. Pravougaona (ortogonalna) projekcija tačke je osnova okomice povučene iz tačke na ravan projekcije. Pravokutna projekcija D 0 bodova D prikazano na sl. 1.9.

Zajedno sa svojstvima paralelnih (kosih) projekcija ortogonalna projekcija ima sljedeće svojstvo: ortogonalne projekcije dvije međusobno okomite prave, od kojih je jedna paralelna s ravninom projekcije, a druga nije okomita na nju, međusobno su okomite.

Na sl. 1.10 Dokažimo to

Projekciona linija je okomita na ravan projekcija, projekcije i prave VA. Ravan ) je okomita na pravu VA, budući da je okomita na dvije prave linije ove ravni koje se seku ( - po uvjetu, ali po konstrukciji). Projekcija je okomita na ravninu, budući da . Dakle, projekcija ravni na ravan je prava linija KL okomito na projekciju, ali sa ravnom linijom KL koincidira projekcija U °C 0, tj. što je trebalo dokazati.

U zadacima iz geometrije uspjeh ne zavisi samo od poznavanja teorije, već i od kvalitetnog crteža.
Sa ravnim crtežima sve je manje-više jasno. Ali u stereometriji, situacija je složenija. Na kraju krajeva, potrebno je prikazati trodimenzionalni telo na stan crtež, i to na način da i vi sami i onaj koji gleda vaš crtež vidite isto trodimenzionalno tijelo.

Kako uraditi?
Naravno, svaka slika trodimenzionalnog tijela na ravni bit će uslovna. Međutim, postoji određeni skup pravila. Postoji općeprihvaćen način izrade nacrta − paralelna projekcija.

Uzmimo čvrsto tijelo.
Hajde da izaberemo ravni projekcije.
Kroz svaku tačku volumetrijskog tijela povlačimo prave linije, paralelne jedna s drugom i sijeku ravninu projekcije pod nekim uglom. Svaka od ovih linija siječe ravan projekcije u nekoj tački. Zajedno, ove tačke se formiraju projekcija volumetrijsko tijelo na ravni, odnosno njegova ravna slika.

Kako izgraditi projekcije volumetrijskih tijela?
Zamislite da imate okvir trodimenzionalnog tijela - prizmu, piramidu ili cilindar. Osvjetljavajući ga paralelnim snopom svjetlosti, dobijamo sliku - sjenu na zidu ili na ekranu. Imajte na umu da se različite slike dobijaju iz različitih uglova, ali neki uzorci su i dalje prisutni:

Projekcija segmenta će biti segment.

Naravno, ako je segment okomit na ravan projekcije, biće prikazan u jednoj tački.

U opštem slučaju, projekcija kružnice će biti elipsa.

Projekcija pravougaonika je paralelogram.

Evo kako izgleda projekcija kocke na ravan:

Ovdje su prednja i stražnja strana paralelne s ravninom projekcije

Možete to učiniti drugačije:

Koji god ugao da izaberemo, projekcije paralelnih segmenata na crtežu će takođe biti paralelni segmenti. Ovo je jedan od principa paralelne projekcije.

Crtamo projekcije piramide,

cilindar:

Još jednom ponavljamo osnovni princip paralelne projekcije. Odaberemo ravninu projekcije i povučemo ravne linije paralelne jedna s drugom kroz svaku tačku volumetrijskog tijela. Ove linije sijeku ravninu projekcije pod nekim uglom. Ako je ovaj ugao 90°, onda je pravougaona projekcija. Uz pomoć pravokutne projekcije grade se crteži trodimenzionalnih dijelova u inženjerstvu. U ovom slučaju govorimo o pogledu odozgo, prednjim i bočnim pogledom.

Poseban slučaj centralne projekcije sa središtem projekcija koje se nalazi u beskonačnosti (u nepravilnoj tački O). Izvodi ga hrpa zraka određenog smjera S(Sl. 2).

Aparat za paralelnu projekciju:

  ravan projekcije;

S- smjer projekcije;

[O  A][ O  B]  S

A  = [OA]  - paralelna projekcija tačke A na ravan;

l  = (aa   BB) je paralelna projekcija prave na ravan .

Ne postoji reverzibilnost. Jedna centralna projekcija tačke ne dozvoljava da se proceni položaj tačke u prostoru. A = D

Geometrijske figure se projektuju na ravan projekcije, generalno, sa izobličenjem. Priroda distorzije zavisi od aparata za projekciju i položaja projektovane figure u odnosu na ravan projekcije.

Konkretno, tokom paralelne projekcije, metričke karakteristike geometrijskih figura su narušene (linearne i kutne vrijednosti su iskrivljene). Neka svojstva figure su sačuvana na njenoj projekciji.

Svojstva figure koja su sačuvana u projekciji nazivaju se nezavisnim ili INVARIANTNIM. Ova invarijantna svojstva često se skraćeno nazivaju invarijantama.

Invarijante paralelne projekcije

Projekcija tačke je tačka (sl. 1; sl. 2)

Projekcija prave linije je prava linija (sl. 1; sl. 2)



3 . Projekcija tačke koja pripada pravoj liniji pripada projekciji.

ova prava linija (sl. 1; sl. 2)

Projekcija tačke preseka pravih određena je presekom projekcija ovih pravih (slika 3)

Projekcije međusobno paralelnih pravih su međusobno paralelne (slika 4)

Odnos dužina segmenata međusobno paralelnih pravih jednak je omjeru dužina njihovih projekcija (slika 4)

POSLJEDICA: ako je pravolinijski segment podijeljen točkom u bilo kojem omjeru, tada se projekcija segmenta dijeli sa projekcijom ove tačke u istom omjeru (slika 5)

7 . Ravna figura paralelna ravnini projekcija se projektuje na ovu ravan u kongruentnu figuru (slika 6)

Rice. 3 Fig. četiri

Rice. 5 Fig. 6

1. Pravokutna (ortogonalna) projekcija

Poseban slučaj paralelne projekcije, u kojoj je pravac projekcije okomit na ravan projekcije (slika 7)

U nastavku se bezuslovno koristi ortogonalna projekcija.

Ortografska projekcija zadržava sva svojstva paralelne projekcije. Osim toga, za ortogonalnu projekciju vrijedi teorema projekcije pravog ugla (vidi temu br. 6) i primjenjujemo metodu za određivanje udaljenosti između tačaka (tj. dužine segmenta, vidi temu br. 3), tzv. metoda pravouglog trougla.

Rice. 7

DETALJNO...

Položaj objekta u prostoru određuju njegove četiri tačke koje ne leže u istoj ravni. Slika prostornog objekta na crtežu svodi se na konstrukciju projekcija skupa tačaka ovog objekta na ravan R(naziva se ravnina projekcije) koristeći prave linije (projicirajuće zrake) koje prolaze kroz tačke objekta i usmjerene su prema centru projekcije S.

Međutim, da bi se napravila projekcija objekta, nije potrebno izgraditi sve njegove tačke. Dovoljno je pronaći samo projekcije karakterističnih tačaka (vrhova, ivica, itd.), koje se zatim povezuju odgovarajućom linijom.

Projicirane zrake zajedno se formiraju projektovana površina. Dakle, kada se projektuje prava linija AB, projektovana površina je ravan AB ba(pirinač.).

Linija raskrsnice ab projektovanje ravni sa ravninom R je projekcija prave linije AB, koji se sastoji od projekcija njegovih pojedinačnih tačaka.

Projekcija je poput sjene bačene sa objekta obasjanog lampom ili suncem.

Prilikom projektovanja zakrivljene linije u prvom slučaju, projektovane zrake formiraju konusnu površinu sa vrhom u tački S, ispostavilo se to onična (perspektivna) slika krive (slika 2). U drugom slučaju, konus projektovanih zraka pretvara se u cilindar i konusna slika postaje cilindrična (paralelna) (slika 2). Projekcija krive linije se u ovom slučaju smatra linijom presjeka projektovane površine sa ravninom R.

U perspektivi, predmet je prikazan onako kako se čini oku posmatrača. Očno sočivo je centar projekcije. Svako od nas je upoznat sa sljedećim fenomenom: ako pogledamo duž željezničke pruge, čini nam se da se šine približavaju jedna drugoj i konvergiraju na horizontu u jednu tačku (centar), a oslonci koji se nalaze uz pruge se smanjuju dok se udaljavaju.

Paralelna projekcija - poseban slučaj perspektive. Suština paralelne projekcije je sljedeća: ako uslovno uklonimo centar projekcije u beskonačnost, tada se zrake koje se projektuju mogu smatrati paralelnim.

Dakle, da se napravi paralelna projekcija trougla ABC(sl.), potrebno je podesiti: R- ravan projekcije (nije paralelna i ne poklapa se sa pravcem projektovanih zraka); S- smjer projekcije zraka (smjer projekcije).

Nadalje, projektovane zrake prolaze kroz karakteristične tačke objekta Ah,Vb i ss paralelno sa smjerom projekcije, a zatim pronađite tačke a,b i od njihovog preseka sa ravninom R. Ove tačke su željene paralelne projekcije tačaka ALI,AT i OD dati trougao.

Projekcija abc- linija presjeka isturene prizmatične površine sa ravninom R. Oblik i dimenzije paralelne projekcije objekta za dati pravac projekcije zavise samo od izbora pravca ravni projekcije i ne zavise od njene udaljenosti od objekta. Trougao koji se nalazi u ravni R 1, paralelno sa ravninom projekcije, projektovana je jednaka datoj. U ovom slučaju ab=AB,bc=BC,ac=AC.

U zavisnosti od ugla nagiba projektovane grede prema ravni projekcije, paralelna projekcija se deli na dva tipa: pravougaoni i kosi.

RECTANGULAR(ili ortogonalna) projekcija se naziva kada je pravac projekcije odabran okomit na ravan projekcije. Inače se zove OBLIQUE.

Kod pravokutne projekcije (slika 7), vrijednost koeficijenta distorzije ne može biti veća od jedinice.

U kosim projekcijama (slika 5), ​​koeficijent distorzije ( To=ab/AB) ovog segmenta AB može uzeti bilo koje numeričke vrijednosti ovisno o nagibu segmenta i zrakama koje se projektuju na ravninu projekcije. Konkretno, ako se smjer segmenta poklapa sa smjerom projekcije, tada će projekcija ovog segmenta biti točka, a koeficijent izobličenja je nula.

Paralelna projekcija se čuva osnovna svojstva perspektive su:

1) projekcija tačke je tačka;

2) projekcija prave u opštem slučaju biće prava;

3) svaka tačka koja pripada bilo kojoj pravoj odgovara projekciji ove tačke na projekciju ove prave.

Osim toga, paralelna projekcija ima niz (samo inherentnih) svojstava:

4) ako tačka leži na pravolinijskom segmentu, tada projekcija ove tačke dijeli projekciju segmenta u istom omjeru kao

tačka deli segment, tj. AC/CB=as/cb(Sl. 5);

5) projekcija segmenata koji se ukrštaju takođe će biti segmenti koji se seku, a tačka njihovog preseka biće projekcija presečne tačke ovih segmenata (slika 3);

6) projekcije paralelnih odsječaka su paralelne, istog smjera, a njihov odnos je jednak odnosu dužina odsječaka, tj. abcd i AB/CD=ab/cd(Sl. 4);

u pravougaonoj projekciji, pravi ugao se projektuje pod pravim uglom samo ako mu je jedna strana paralelna sa ravninom projekcije, a druga nije projekcijska greda (teorema projekcije pravog ugla).