Moment sile i moment inercije

U dinamiku translacionog kretanja materijalne tačke, pored kinematičkih karakteristika, uvedeni su pojmovi sile i mase. Prilikom proučavanja dinamike rotacionog kretanja uvode se fizičke veličine - obrtni moment i moment inercije, čije će fizičko značenje biti razmotreno u nastavku.

Neka je neko tijelo pod djelovanjem sile primijenjene u tački ALI, dolazi u rotaciju oko ose OO" (slika 5.1).

Slika 5.1 - Do zaključka koncepta momenta sile

Sila djeluje u ravni okomitoj na osu. Perpendicular R, pao sa tačke O(koji leži na osi) u smjeru sile, tzv rame snage. Proizvod sile na ramenu određuje modul moment sile u odnosu na tačku O:

(5.1)

Trenutak snage je vektor određen vektorskim proizvodom radijus-vektora tačke primjene sile i vektora sile:

(5.2)

Jedinica momenta sile - njutn metar(H . m). Smjer vektora momenta sile nalazi se pomoću pravila desnog zavrtnja.

Mjera inercije tijela u translatornom kretanju je masa. Inercija tijela za vrijeme rotacionog kretanja ovisi ne samo o masi, već i o njenoj distribuciji u prostoru u odnosu na os rotacije. Mjera inercije tokom rotacionog kretanja je veličina koja se naziva moment inercije tela oko ose rotacije.

Moment inercije materijalne tačke u odnosu na os rotacije - proizvod mase ove tačke na kvadrat udaljenosti od ose:

moment inercije tela oko ose rotacije - zbir momenata inercije materijalnih tačaka koje čine ovo tijelo:

(5.4)

U opštem slučaju, ako je telo čvrsto i predstavlja skup tačaka sa malim masama dm, moment inercije je određen integracijom:

, (5.5)

gdje r- udaljenost od ose rotacije do elementa mase d m.

Ako je tijelo homogeno i njegova gustina ρ = m/V, zatim moment inercije tijela

(5.6)

Moment inercije tijela ovisi o tome koju os ono rotira i kako je masa tijela raspoređena po volumenu.

Najjednostavnije se određuje moment inercije tijela koja imaju ispravan geometrijski oblik i ravnomjernu raspodjelu mase po volumenu.

Moment inercije homogenog štapa oko ose koja prolazi kroz centar inercije i okomita na štap,

Moment inercije homogenog cilindra oko osi koja je okomita na njegovu osnovu i koja prolazi kroz centar inercije,

(5.8)

Moment inercije cilindra sa tankim zidovima ili obruča oko ose koja je okomita na ravan njegove osnove i koja prolazi kroz njen centar,

Trenutak inercije lopte u odnosu na prečnik

(5.10)

Odredimo moment inercije diska oko ose koja prolazi kroz centar inercije i okomita na ravan rotacije. Neka je masa diska m, a njegov polumjer je R.

Područje prstena (slika 5.2) zatvoreno između r i , je jednako .

Slika 5.2 - Do zaključka momenta inercije diska

Područje diska. Sa konstantnom debljinom prstena,

odakle ili .

Tada je moment inercije diska,

Radi jasnoće, slika 5.3 prikazuje homogena čvrsta tijela različitih oblika i ukazuje na momente inercije ovih tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase.

Slika 5.3 - Momenti inercije I C neke homogene čvrste materije.

Steinerova teorema

Gore navedene formule za momente inercije tijela date su pod uvjetom da osa rotacije prolazi kroz centar inercije. Za određivanje momenata inercije tijela oko proizvoljne ose treba koristiti Steinerova teorema : moment inercije tela oko proizvoljne ose rotacije jednak je zbiru momenta inercije J 0 oko ose koja je paralelna datoj i koja prolazi kroz centar inercije tela, i vrednosti md 2:

(5.12)

gdje m- tjelesna masa, d- udaljenost od centra mase do odabrane ose rotacije. Jedinica momenta inercije - kilogram-metar na kvadrat (kg . m 2).

Dakle, moment inercije homogenog štapa dužine l u odnosu na osu koja prolazi kroz njen kraj, prema Steinerovoj teoremi je jednako

Razmotrite sada problem određivanje momenta inercije razna tijela. Generale formula za pronalaženje momenta inercije objekat u odnosu na z-osu ima oblik

Drugim riječima, trebate sabrati sve mase, pomnoživši svaku od njih s kvadratom udaljenosti od ose (x 2 i + y 2 i). Imajte na umu da ovo vrijedi čak i za trodimenzionalno tijelo, iako udaljenost ima takav "dvodimenzionalni izgled". Međutim, u većini slučajeva ćemo se ograničiti na dvodimenzionalna tijela.

Kao jednostavan primjer, razmotrite štap koji rotira oko ose koja prolazi kroz njegov kraj i okomita na njega (slika 19.3). Sada trebamo sabrati sve mase pomnožene kvadratima udaljenosti x (u ovom slučaju, sve y su nula). Pod zbirom, naravno, mislim na integral od x 2 pomnožen sa "elementima" mase. Ako štap podijelimo na komade dužine dx, tada će odgovarajući element mase biti proporcionalan dx, a da je dx dužina cijelog štapa, tada bi njegova masa bila jednaka M.

Dimenzija momenta inercije je uvijek jednaka masi puta kvadratu dužine, tako da je jedina značajna vrijednost koju smo izračunali faktor 1/3.

A koliki će biti moment inercije I ako osa rotacije prođe kroz sredinu štapa? Da bismo ga pronašli, opet trebamo uzeti integral, ali već u rasponu od -1/2L do +1/2L. Imajte na umu, međutim, jednu karakteristiku ovog slučaja. Takav štap sa osom koja prolazi kroz centar može se zamisliti kao dva štapa sa osom koja prolazi kroz kraj, a svaki ima masu M/2 i dužinu L/2. Momenti inercije dva takva štapa su međusobno jednaki i izračunavaju se po formuli (19.5). Dakle, moment inercije cijelog štapa je

Dakle, štap je mnogo lakše uvrnuti na sredini nego na kraju.

Moguće je, naravno, nastaviti računanje momenata inercije drugih tijela od interesa za nas. Ali budući da ovakvi proračuni zahtijevaju mnogo iskustva u izračunavanju integrala (što je samo po sebi vrlo važno), oni nas, kao takvi, malo zanimaju. Međutim, ovdje postoje neke vrlo zanimljive i korisne teoreme. Neka postoji neko tijelo i želimo ga znati moment inercije oko neke ose. To znači da želimo pronaći njegovu inerciju pri rotaciji oko ove ose. Ako pomičemo tijelo štapom koji podržava njegovo središte mase tako da se ne okreće prilikom rotacije oko ose (u ovom slučaju na njega ne djeluju momenti inercijskih sila, pa se tijelo neće okretati kada ga počnemo kretati) , tada je za okretanje potrebna ista sila kao da je sva masa koncentrisana u centru mase i moment inercije bi jednostavno bio jednak I 1 = MR 2 c.m. , gdje je R c.m udaljenost od centra mase do ose rotacije. Međutim, ova formula je, naravno, netačna. Ne daje tačan moment inercije tijela. Uostalom, u stvarnosti, prilikom okretanja, tijelo se rotira. Ne samo da se centar mase vrti (što bi dalo vrijednost I 1), samo tijelo mora također rotirati u odnosu na centar mase. Dakle, momentu inercije I 1 treba dodati I c - moment inercije oko centra mase. Tačan odgovor je da je moment inercije oko bilo koje ose

Ova teorema se naziva teorema translacije paralelne ose. Dokazuje se vrlo lako. Moment inercije oko bilo koje ose jednak je zbroju masa pomnoženog sa zbrojem kvadrata x i y, tj. I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Sada ćemo fokusirati našu pažnju na x, ali isto se može reći i za y. Neka je x-koordinata udaljenost date određene tačke od početka; da vidimo, međutim, kako se stvari mijenjaju ako izmjerimo udaljenost x` od centra mase umjesto x od početka. Da saznamo, moramo pisati
x i = x` i + X c.m.
Kvadrirajući ovaj izraz, nalazimo
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

Šta će se dogoditi ako ga pomnožite sa m i i zbrojite sve r? Uzimajući konstante iz predznaka sumiranja, nalazimo

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm i

Treći zbir je lako izračunati; to je samo MX 2 ts.m. . Drugi član se sastoji od dva faktora, od kojih je jedan Σm i x` i ; jednaka je x`-koordinati centra mase. Ali ovo mora biti nula, jer se x` mjeri od centra mase, a u ovom koordinatnom sistemu, prosječna pozicija svih čestica, ponderisana njihovim masama, je nula. Prvi član je, očigledno, dio x iz I c. Tako dolazimo do formule (19.7).

Provjerimo formulu (19.7) na jednom primjeru. Provjerimo samo da li će to biti primjenjivo za štap. Već smo utvrdili da moment inercije štapa u odnosu na njegov kraj mora biti jednak ML 2 /3. A centar mase štapa je, naravno, na udaljenosti od L/2. Dakle, trebali bismo dobiti da je ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Pošto jedna četvrtina + jedna dvanaestina = jedna trećina, nismo napravili nikakvu grešku.

Inače, za pronalaženje momenta inercije (19.5) uopće nije potrebno izračunati integral. Može se jednostavno pretpostaviti da je jednak vrijednosti ML 2 pomnoženoj sa nekim nepoznatim koeficijentom γ. Nakon toga se može koristiti razmišljanje o dvije polovine i dobiti koeficijent 1/4γ za moment inercije (19.6). Koristeći sada teoremu translacije paralelne ose, dokazujemo da je γ=1/4γ + 1/4, odakle je γ=1/3. Uvijek se može naći neki obilazni put!

Prilikom primjene teoreme o paralelnoj osi, važno je zapamtiti da I os mora biti paralelna s osom oko koje želimo izračunati moment inercije.

Možda je vrijedno spomenuti još jedno svojstvo koje je često vrlo korisno u pronalaženju momenta inercije nekih vrsta tijela. Sastoji se u sljedećem: ako imamo ravnu figuru i trostruku koordinatnu os s ishodištem smještenim u ovoj ravni i z-osom usmjerenom okomito na nju, tada je moment inercije ove figure oko z-ose jednak na zbir momenata inercije oko x i y osa . Dokazuje se prilično jednostavno. primeti, to

Moment inercije homogene pravokutne ploče, na primjer, mase M, širine ω i dužine L oko ose koja je okomita na nju i koja prolazi kroz njeno središte, je jednostavno

budući da je moment inercije oko ose koja leži u ravni ploče i paralelna s njenom dužinom jednak Mω 2 /12, odnosno potpuno isti kao za štap dužine ω, a moment inercije oko druge ose u ista ravan jednaka je ML 2 / 12, isto kao i za štap dužine L.

Dakle, hajde da navedemo svojstva momenta inercije oko date ose, koju ćemo nazvati z-os:

1. Moment inercije je

2. Ako se predmet sastoji od više dijelova, a poznat je moment inercije svakog od njih, tada je ukupan moment inercije jednak zbiru momenata inercije ovih dijelova.
3. Moment inercije oko bilo koje date ose jednak je momentu inercije oko paralelne ose kroz centar mase, plus proizvod ukupne mase pomnožen kvadrata udaljenosti te ose od centra mase.
4. Moment inercije ravne figure oko ose koja je okomita na njenu ravan jednak je zbiru momenata inercije oko bilo koje druge međusobno okomite ose koje leže u ravni figure i sijeku se sa okomitom osom.

U tabeli. 19.1 prikazani su momenti inercije nekih elementarnih figura koje imaju ujednačenu gustinu mase, a u tabeli. 19.2 - momenti inercije nekih figura, koji se mogu dobiti iz tabele. 19.1 koristeći gore navedena svojstva.

Naziv parametra	Značenje
Tema članka:	Moment inercije
Rubrika (tematska kategorija)	Mehanika

Posmatrajmo materijalnu tačku mase m, koja se nalazi na udaljenosti r od fiksne ose (slika 26). Moment inercije J materijalne tačke oko ose obično se naziva skalarna fizička veličina jednaka umnošku mase m i kvadrata udaljenosti r do ove ose:

J = mr 2(75)

Moment inercije sistema od N materijalnih tačaka biće jednak zbiru momenata inercije pojedinačnih tačaka

(76)

Definiciji momenta inercije tačke

Ako se masa kontinuirano raspoređuje u prostoru, tada se zbrajanje zamjenjuje integracijom. Tijelo je podijeljeno na elementarne zapremine dv, od kojih svaka ima masu dm. Rezultat je sljedeći izraz:

(77)

Za tijelo homogeno po zapremini, gustina ρ je konstantna, a zapisivanje elementarne mase u obliku

dm = ρdv, transformiramo formulu (70) na sljedeći način:

(78)

Dimenzija momenta inercije je kg * m 2.

Moment inercije tijela je mjera inercije tijela u rotacionom kretanju, kao što je masa tijela mjera njegove inercije u translatornom kretanju.

Moment inercije je mjera inercijskih svojstava krutog tijela tokom rotacionog kretanja, ovisno o raspodjeli mase u odnosu na osu rotacije. Drugim riječima, moment inercije ovisi o masi, obliku, dimenzijama tijela i položaju ose rotacije.

Svako tijelo, bez obzira da li se okreće ili miruje, ima moment inercije oko bilo koje ose, kao što tijelo ima masu, bez obzira da li se kreće ili miruje. Kao i masa, moment inercije je aditivna veličina.

U nekim slučajevima, teorijski proračun momenta inercije je prilično jednostavan. Ispod su momenti inercije nekih čvrstih tijela pravilnog geometrijskog oblika oko ose koja prolazi kroz centar gravitacije.

Moment inercije beskonačno ravnog diska polumjera R oko ose okomite na ravan diska:

Moment inercije lopte poluprečnika R:

Moment inercije štapa sa dužinom L u odnosu na osu koja prolazi kroz sredinu štapa okomito na nju:

Moment inercije beskonačno tankog obruča poluprečnika R oko ose koja je okomita na njegovu ravan:

Moment inercije tijela oko proizvoljne ose izračunava se pomoću Steinerove teoreme:

Moment inercije tijela oko proizvoljne ose jednak je zbiru momenta inercije oko ose koja prolazi kroz centar mase paralelan datom, i umnožak mase tijela pomnožen kvadrata udaljenosti između sjekire.

Koristeći Steinerovu teoremu, izračunavamo moment inercije štapa s dužinom L oko ose koja prolazi kroz kraj okomit na njega (slika 27).

Za proračun momenta inercije štapa

Prema Steinerovoj teoremi, moment inercije štapa oko ose O′O′ jednak je momentu inercije oko OO ose plus md 2. Odavde dobijamo:

Očigledno: moment inercije nije isti u odnosu na različite ose, pa se stoga pri rješavanju zadataka o dinamici rotacionog kretanja svaki put mora tražiti moment inercije tijela u odnosu na osu koja nas zanima. odvojeno. Tako, na primjer, pri projektovanju tehničkih uređaja koji sadrže rotirajuće dijelove (u željezničkom transportu, u zrakoplovnoj konstrukciji, elektrotehnici itd.), potrebno je poznavanje vrijednosti momenata inercije ovih dijelova. Sa složenim oblikom tijela, teorijski proračun njegovog momenta inercije može biti teško izvesti. U tim slučajevima, poželjno je empirijski izmjeriti moment inercije nestandardnog dijela.

Moment sile F u odnosu na tačku O

Moment inercije - pojam i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Moment inercije" 2017, 2018.

- Moment inercije tijela oko proizvoljne ose.

Sl.35 Povučemo proizvoljne ose Cx"y"z" kroz centar mase C tela, i kroz bilo koju tačku O na osi Cx" - ose Oxyz, tako da je Oy½½Sy", Oz½½Cz" (Sl. 35 ). Rastojanje između osa Cz" i Oz označavamo sa d. Zatim, kao što se može vidjeti sa slike, za bilo koju tačku tijela ili, a. Zamjena ... .

- Moment inercije tijela

Moment inercije tijela je veličina koja određuje njegovu inerciju u rotacionom kretanju. U dinamici translacijskog kretanja inercija tijela je u potpunosti karakterizirana njegovom masom. Pokazalo se da je utjecaj vlastitih svojstava tijela na dinamiku rotacionog kretanja složeniji, ... .

- Predavanje 4-5. Moment sile oko fiksne tačke i ose. Moment inercije, ugaoni moment materijalne tačke i mehaničkog sistema u odnosu na fiksnu tačku i osu.

Predavanje 3. Sile. Masa, impuls materijalne tačke i mehanički sistem. Dinamika translacionog kretanja u inercijalnim referentnim sistemima. Zakon promjene količine gibanja mehaničkog sistema. Zakon održanja impulsa. Dinamika proučava kretanje tijela, uzimajući u obzir uzroke, ... .

- Moment inercije krutog tijela.

Analizirajmo formulu za moment inercije krutog tijela. Moment inercije zavisi od 1) mase tela, 2) oblika i dimenzija tela, 3) položaja ose rotacije u odnosu na telo (slika 2). 2a Sl.2b Dakle, moment inercije je mjera inercije tijela pri rotacionom kretanju,... .

- Moment inercije oko centralne ose naziva se centralni moment inercije.

Moment inercije oko bilo koje ose jednak je momentu inercije oko središnje ose paralelne datoj, plus proizvod površine figure i kvadrata udaljenosti između osi. Iz formule se može vidjeti da je moment inercije oko središnje ose manji od momenta ...

Moment inercije
Da bismo izračunali moment inercije, moramo mentalno podijeliti tijelo na dovoljno male elemente, čije se točke mogu smatrati da se nalaze na istoj udaljenosti od osi rotacije, zatim pronaći proizvod mase svakog elementa na kvadrat njegove udaljenosti od ose i, konačno, zbrojiti sve rezultirajuće proizvode. Očigledno, ovo je vrlo radno intenzivan zadatak. Za brojanje
momente inercije tijela pravilnog geometrijskog oblika, u nekim slučajevima se mogu koristiti metode integralnog računa.
Pronalaženje konačnog zbira momenata inercije elemenata tijela bit će zamijenjeno zbrajanjem beskonačno velikog broja momenata inercije izračunatih za beskonačno male elemente:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (u ∆m → 0).
Izračunajmo moment inercije homogenog diska ili čvrstog cilindra visine h oko svoje ose simetrije

Podijelimo disk na elemente u obliku tankih koncentričnih prstenova sa centrima na osi njegove simetrije. Dobijeni prstenovi imaju unutrašnji prečnik r i eksterne r + dr, i visina h. Jer dr<< r , tada možemo pretpostaviti da je udaljenost svih tačaka prstena od ose r.
Za svaki pojedinačni prsten, moment inercije
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
gdje ΣΔm je masa cijelog prstena.
Jačina zvona 2prhdr. Ako je gustina materijala diska ρ , zatim masa prstena
ρ2prhdr.
Moment inercije prstena
i = 2πρhr 3dr.
Da bi se izračunao moment inercije cijelog diska, potrebno je zbrojiti momente inercije prstenova od centra diska ( r = 0) do njegove ivice ( r = R), tj. izračunaj integral:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
ili
I = (1/2)πρhR 4.
Ali masa diska m = ρπhR 2, Shodno tome,
I = (1/2)mR 2.
Prikazujemo (bez proračuna) momente inercije za neka tijela pravilnog geometrijskog oblika, napravljena od homogenih materijala


 1. Moment inercije tankog prstena oko ose koja prolazi kroz njegovo središte okomito na njegovu ravninu (ili šupljeg cilindra tankih zidova oko njegove ose simetrije):
I = mR 2.
 2. Moment inercije cilindra debelog zida oko ose simetrije:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
gdje R1− interne i R2− vanjski radijusi.
 3. Moment inercije diska oko ose koja se poklapa s jednim od njegovih promjera:
I = (1/4)mR 2.
 4. Moment inercije čvrstog cilindra oko ose koja je okomita na generatricu i koja prolazi kroz njegovu sredinu:
I \u003d m (R 2 / 4 + h 2 / 12)
gdje R- poluprečnik osnove cilindra, h je visina cilindra.
 5. Moment inercije tankog štapa oko ose koja prolazi kroz njegovu sredinu:
I = (1/12) ml 2,
gdje l je dužina štapa.
 6. Moment inercije tankog štapa oko ose koja prolazi kroz jedan od njegovih krajeva:
I = (1/3) ml 2
7. Moment inercije lopte oko ose koja se poklapa sa jednim od njenih prečnika:
I = (2/5)mR 2.

Ako je poznat moment inercije tijela oko ose koja prolazi kroz njegovo središte mase, onda se moment inercije oko bilo koje druge ose paralelne prvoj može naći na osnovu takozvane Huygens-Steinerove teoreme.
moment inercije tela I u odnosu na bilo koju osu jednak je momentu inercije tijela I s oko ose paralelne datoj i koja prolazi kroz centar mase tela, plus masa tela m puta kvadrata udaljenosti l između osovina:
I \u003d I c + ml 2.
Kao primjer, izračunavamo moment inercije lopte poluprečnika R i težinu m okačen na niti dužine l, u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku ovjesa O. Masa konca je mala u odnosu na masu kuglice. Od momenta inercije lopte oko ose koja prolazi kroz centar mase Ic = (2/5)mR 2, i udaljenost
između osovina ( l + R), zatim moment inercije oko ose koja prolazi kroz tačku ovjesa:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Dimenzija momenta inercije:
[I] = [m] × = ML 2.

U odnosu na fiksnu osu ("aksijalni moment inercije") naziva se vrijednost J a jednak zbiru proizvoda masa svih n materijalne tačke sistema u kvadrate njihovih udaljenosti do ose:

• m i- težina i-ta tačka,
• r i- udaljenost od i-ta tačka na osi.

Aksijalni moment inercije tijelo J a je mjera inercije tijela u rotacijskom kretanju oko ose, kao što je masa tijela mjera njegove inercije u translatornom kretanju.

Ako je tijelo homogeno, odnosno njegova gustina je svuda ista

Huygens-Steinerova teorema

Moment inerciječvrstog tijela u odnosu na bilo koju osu ne zavisi samo od mase, oblika i veličine tijela, već i od položaja tijela u odnosu na ovu os. Prema Steinerovoj teoremi (Huygens-Steinerova teorema), moment inercije tijelo J u odnosu na proizvoljnu osu jednak je zbiru moment inercije ovo tijelo Jc u odnosu na osu koja prolazi središtem mase tijela paralelno s razmatranom osom, i umnožak mase tijela m po kvadratnoj udaljenosti d između osovina:

gdje je ukupna masa tijela.

Na primjer, moment inercije štapa oko ose koja prolazi kroz njegov kraj je:

Aksijalni momenti inercije nekih tijela

Trenuci inercije homogena tijela najjednostavnijeg oblika u odnosu na neke ose rotacije

Tijelo	Opis	Položaj osovine a	Moment inercije J a
	Materijalna tačka mase m	Na daljinu r sa tačke, fiksno
	Šuplji cilindar tankih zidova ili prsten radijusa r i mase m	Osa cilindra
	Puni polumjer cilindra ili diska r i mase m	Osa cilindra
	Šuplji masni cilindar debelih zidova m sa spoljnim radijusom r2 i unutrašnji radijus r1	Osa cilindra
	Čvrsta dužina cilindra l, radijus r i mase m
	Dužina šupljeg cilindra tankog zida (prstena). l, radijus r i mase m	Osa je okomita na cilindar i prolazi kroz njegovo središte mase
	Ravno tanka dužina štapa l i mase m	Osa je okomita na štap i prolazi kroz njegovo središte mase
	Ravno tanka dužina štapa l i mase m	Os je okomita na štap i prolazi kroz njegov kraj
	Tankozidna sfera polumjera r i mase m	Osa prolazi kroz centar sfere
	polumjer lopte r i mase m	Osa prolazi kroz centar lopte
	Radijus konusa r i mase m	konusna osovina
	Jednakokraki trougao sa visinom h, baza a i težinu m	Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz vrh
	Pravougli trokut sa stranom a i težinu m	Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz centar mase
	Kvadrat sa stranom a i težinu m	Osa je okomita na ravan kvadrata i prolazi kroz centar mase

Izvođenje formula

Tankozidni cilindar (prsten, obruč)

Izvođenje formule

Moment inercije tijela jednak je zbiru momenata inercije njegovih sastavnih dijelova. Podjela tankozidnog cilindra na elemente s masom dm i momente inercije DJ i. Onda

Budući da su svi elementi tankozidnog cilindra na istoj udaljenosti od ose rotacije, formula (1) se pretvara u oblik

Cilindar debelih zidova (prsten, obruč)

Izvođenje formule

Neka postoji homogeni prsten sa spoljnim radijusom R, unutrašnji radijus R 1, debljina h i gustina ρ. Izlomimo ga na tanke kolutiće debljine dr. Masa i moment inercije tankog prstena poluprečnika r bice

Moment inercije debelog prstena nalazimo kao integral

Pošto su zapremina i masa prstena jednake

dobijamo konačnu formulu za moment inercije prstena

Homogeni disk (puni cilindar)

Izvođenje formule

Razmatrajući cilindar (disk) kao prsten sa nultim unutrašnjim radijusom ( R 1 = 0), dobijamo formulu za moment inercije cilindra (diska):

čvrsti konus

Izvođenje formule

Podijelite konus na tanke diskove debljine dh, okomito na os konusa. Radijus takvog diska je

gdje R je poluprečnik osnove stošca, H je visina stošca, h je udaljenost od vrha konusa do diska. Masa i moment inercije takvog diska će biti

Integrisanje, dobijamo

Čvrsta uniformna lopta

Izvođenje formule

Podijelite lopticu na tanke diskove dh, okomito na os rotacije. Radijus takvog diska koji se nalazi na visini h iz centra sfere, nalazimo po formuli

Masa i moment inercije takvog diska će biti

Moment inercije sfere nalazimo integracijom:

sfera tankih zidova

Izvođenje formule

Za izvođenje koristimo formulu za moment inercije homogene lopte poluprečnika R:

Izračunajmo koliko će se promijeniti moment inercije lopte ako se pri konstantnoj gustoći ρ njen polumjer poveća za beskonačno malu vrijednost dR.

Tanka šipka (os prolazi kroz centar)

Izvođenje formule

Podijelite štap na male fragmente dužine dr. Masa i moment inercije takvog fragmenta je

Integrisanje, dobijamo

Tanka šipka (os prolazi kroz kraj)

Izvođenje formule

Prilikom pomicanja osi rotacije od sredine štapa do njegovog kraja, težište štapa se pomiče u odnosu na os za razdaljinu l/2. Prema Steinerovoj teoremi, novi moment inercije će biti jednak

Bezdimenzionalni momenti inercije planeta i njihovih satelita

Od velikog značaja za proučavanje unutrašnje strukture planeta i njihovih satelita su njihovi bezdimenzijski momenti inercije. Bezdimenzionalni moment inercije tijela poluprečnika r i mase m jednak je omjeru njenog momenta inercije oko osi rotacije i momenta inercije materijalne tačke iste mase u odnosu na fiksnu os rotacije koja se nalazi na udaljenosti r(jednak gospodin 2). Ova vrijednost odražava distribuciju mase po dubini. Jedna od metoda za njegovo mjerenje na planetama i satelitima je određivanje Doplerovog pomaka radio signala koji AMS prenosi oko određene planete ili satelita. Za sferu tankih zidova, bezdimenzionalni moment inercije jednak je 2/3 (~0,67), za homogenu kuglu - 0,4, a općenito što je manji, to je veća masa tijela koncentrisana u njegovom središtu. Na primjer, Mjesec ima bezdimenzionalni moment inercije blizu 0,4 (jednako 0,391), pa se pretpostavlja da je relativno homogen, njegova gustina se malo mijenja sa dubinom. Bezdimenzionalni moment inercije Zemlje manji je od momenta homogene lopte (jednak 0,335), što je argument u prilog postojanja gustog jezgra u njoj.

centrifugalni moment inercije

Centrifugalni momenti inercije tijela u odnosu na osi pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema su sljedeće veličine:

gdje x, y i z- koordinate malog elementa tijela sa zapreminom dV, gustina ρ i težinu dm.

Osa OX se zove glavna osa inercije tela ako su centrifugalni momenti inercije Jxy i Jxz su istovremeno nula. Kroz svaku tačku tijela mogu se povući tri glavne osi inercije. Ove ose su međusobno okomite jedna na drugu. Momenti inercije tijela u odnosu na tri glavne osi inercije povučene u proizvoljnoj tački O tijela se nazivaju glavni momenti inercije tela.

Glavne osi inercije koje prolaze kroz centar mase tijela nazivaju se glavne centralne osi inercije tela, a momenti inercije oko ovih osa su njegovi glavni centralni momenti inercije. Osa simetrije homogenog tijela uvijek je jedna od njegovih glavnih centralnih osi inercije.

Geometrijski moment inercije

Geometrijski moment inercije - geometrijska karakteristika presjeka pogleda

gdje je udaljenost od centralne ose do bilo koje elementarne površine u odnosu na neutralnu osu.

Geometrijski moment inercije nije povezan s kretanjem materijala, on samo odražava stepen krutosti presjeka. Koristi se za izračunavanje radijusa rotacije, otklona grede, odabira presjeka greda, stubova itd.

SI jedinica mjere je m 4 . U građevinskim proračunima, literaturi i asortimanima valjanog metala, posebno je naznačeno u cm 4.

Iz njega se izražava modul presjeka:

.

Geometrijski momenti inercije nekih figura
Visina i širina pravougaonika:
Pravokutni kutijasti presjek sa visinom i širinom duž vanjskih kontura i , te duž unutrašnjeg, odnosno
Prečnik kruga

Centralni moment inercije

Centralni moment inercije(ili moment inercije oko tačke O) je količina

Centralni moment inercije može se izraziti kroz glavne aksijalne ili centrifugalne momente inercije: .

Tenzor inercije i elipsoid inercije

Moment inercije tijela oko proizvoljne ose koja prolazi kroz centar mase i ima smjer zadan jediničnim vektorom može se predstaviti kao kvadratni (bilinearni) oblik:

(1),

gdje je tenzor inercije. Matrica tenzora inercije je simetrična, ima dimenzije i sastoji se od komponenti centrifugalnog momenta:

,
.

Izborom odgovarajućeg koordinatnog sistema, matrica tenzora inercije može se svesti na dijagonalni oblik. Da biste to učinili, morate riješiti problem svojstvenih vrijednosti za tenzorsku matricu:
,
gdje je ortogonalna prijelazna matrica na vlastitu bazu tenzora inercije. U vlastitoj osnovi, koordinatne ose su usmjerene duž glavnih osa tenzora inercije i također se poklapaju s glavnim poluosama elipsoida tenzora inercije. Veličine su glavni momenti inercije. Izraz (1) u vlastitom koordinatnom sistemu ima oblik:

,

odakle dolazi jednačina