Pronađite bočnu površinu stošca. Površina bočne i ukupne površine konusa

Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, trebate razumjeti koliko će tijesta utrošiti na pravljenje korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno da se napravi krov zamka od cigle?

Mjerenje bočne površine konusa jednostavno se ne može uraditi. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. To će uspjeti ravna figura, možemo pronaći njegovu površinu.

Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise

Uradimo isto sa konusom. Hajde da ga "presečemo". bočna površina duž bilo koje generatrike, na primjer (vidi sliku 1).

Sada "odmotamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Središte ovog sektora je vrh stošca, poluprečnik sektora jednak je generatrisi stošca, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove stošca. Takav sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Rice. 2. Razvoj bočne površine

Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedemo notaciju: neka ugao na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo morati da se nosimo sa uglom na vrhu zahvata u problemima. Za sada, pokušajmo odgovoriti na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, zar se ne bi ispostavilo da bi se preklapanje sam po sebi preklopio? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Neka skeniranje „superponira“ samo po sebi. To znači da je dužina luka sweep veća od dužine kruga radijusa. Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je dužina kruga radijusa. A polumjer baze stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je noga pravougaonog trougla manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generator , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. Imamo:

Konačno dobijamo: .

Uz površinu bočne površine, može se pronaći i područje puna površina. Da biste to učinili, površina baze se mora dodati površini bočne površine. Ali baza je krug radijusa, čija je površina prema formuli jednaka .

Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatriksa.

Rešimo nekoliko zadataka koristeći date formule.

Rice. 4. Potreban ugao

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).

Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus

Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generator: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, znamo to .

Primjer 2. Aksijalna površina poprečnog presjeka konusa je jednaka , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako si zainteresovan ovo djelo, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije:čas učenja novog gradiva koristeći elemente problemske razvojne nastavne metode.

Ciljevi lekcije:

edukativni:
- upoznavanje sa novim matematički koncept;
- formiranje novih centara za obuku;
- formiranje praktičnih vještina rješavanja problema.
razvijanje:
- razvoj samostalnog mišljenja učenika;
- razvoj vještina korektan govorškolska djeca.
edukativni:
- razvijanje vještina timskog rada.

Oprema za nastavu: magnetna tabla, kompjuter, platno, multimedijalni projektor, konusni model, prezentacija lekcije, materijali.

Ciljevi časa (za učenike):

upoznaj nove ljude geometrijski koncept- kornet;
izvući formulu za izračunavanje površine konusa;
naučiti primijeniti stečeno znanje u rješavanju praktičnih zadataka.

Tokom nastave

Faza I. Organizacijski.

Vraćanje notesa od kuće testni rad na obrađenu temu.

Učenici su pozvani da kroz rješavanje zagonetke saznaju temu predstojećeg časa (slajd 1):

Slika 1.

Najavljivanje teme i ciljeva časa učenicima (slajd 2).

Faza II. Objašnjenje novog materijala.

1) Predavanje nastavnika.

Na tabli je tablica sa slikom konusa. Novi materijal je objašnjeno uz programski materijal “Stereometrija”. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika konusa. Nastavnik daje definiciju konusa i govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je konus tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trougla u odnosu na nogu. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika skeniranja bočne površine konusa. (slajd 6)

2) Praktični rad.

Ažuriranje osnovnih znanja: ponovite formule za izračunavanje površine kruga, površine sektora, dužine kruga, dužine luka kružnice. (slajdovi 7–10)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka grupa dobija skeniranu bočnu površinu konusa isečenog od papira (sektor kruga sa dodeljenim brojem). Učenici vrše potrebna mjerenja i izračunavaju površinu rezultirajućeg sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za izvođenje radova, pitanja - iskazi problema (slajdovi 11–14). Predstavnik svake grupe zapisuje rezultate proračuna u tabelu pripremljenu na tabli. Učesnici u svakoj grupi zalijepe jedan model konusa po uzorku koji imaju. (slajd 15)

3) Iskaz i rješenje problema.

Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i dužina generatrike stošca? (slajd 16)

Svaka grupa vrši potrebna mjerenja i pokušava da izvede formulu za izračunavanje potrebne površine koristeći dostupne podatke. Pri izvođenju ovog rada učenici treba da uoče da je obim osnove konusa jednak dužini luka sektora – razvijenosti bočne površine ovog konusa. (slajdovi 17–21) Koristeći potrebne formule, prikazuje se potrebna formula. Argumenti učenika bi trebali izgledati otprilike ovako:

Radijus zahvatanja sektora je jednak l, stepen mera lukovi – φ. Površina sektora se izračunava po formuli: dužina luka koji omeđuje ovaj sektor jednaka je polumjeru osnove stošca R. Dužina kruga koji leži u osnovi stošca je C = 2πR . Imajte na umu da pošto je površina bočne površine stošca jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada

Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se po formuli S BOD = πRl.

Nakon izračunavanja površine bočne površine konusnog modela pomoću formule koja je nezavisno izvedena, predstavnik svake grupe upisuje rezultat proračuna u tablicu na tabli u skladu s brojevima modela. Rezultati proračuna u svakoj liniji moraju biti jednaki. Na osnovu toga nastavnik utvrđuje tačnost zaključaka svake grupe. Tabela rezultata bi trebala izgledati ovako:

Model br.	I zadatak	II zadatak

	(125/3)π ~ 41,67 π

	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π ~ 59,89 π

Parametri modela:

l=12 cm, φ =120°
l=10 cm, φ =150°
l=15 cm, φ =120°
l=10 cm, φ =170°
l=14 cm, φ =110°

Aproksimacija proračuna povezana je s greškama mjerenja.

Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje izlaz formula za površine bočnih i ukupnih površina konusa (slajdovi 22–26), učenici vode bilješke u sveskama.

Faza III. Konsolidacija proučenog materijala.

1) Studentima se nudi zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.

Pronađite površine potpunih površina čunjeva prikazanih na slikama (slajdovi 27–32).

2) Pitanje: Jesu li površine površina čunjeva koje nastaju rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Hipoteza se provjerava rješavanjem zadataka i zapisuje je učenik na tabli.

Dato:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

VAA", AVV" – tijela rotacije.

Pronađite: S PPK 1, S PPK 2.

Slika 5. (slajd 33)

Rješenje:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Ako je S PPK 1 = S PPK 2, onda a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Jer a, b, c – pozitivnim brojevima (dužine stranica trokuta), jednakost je istinita samo ako a =b.

zaključak: Površine dva konusa su jednake samo ako su stranice trokuta jednake. (slajd 34)

3) Rješavanje zadatka iz udžbenika: br. 565.

Faza IV. Sumiranje lekcije.

Zadaća: st. 55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)

Objava dodijeljenih ocjena.

Zaključci tokom lekcije, ponavljanje glavnih informacija dobijenih tokom lekcije.

Književnost (slajd 36)

Geometrija 10-11 - Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i dr., M., "Prosveshchenie", 2008.
« Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udalcova, biblioteka "Prvi septembar", serija "MATEMATIKA", broj 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Površina konusa (ili jednostavno površina konusa) jednaka je zbroju površina baze i bočne površine.

Površina bočne površine konusa izračunava se po formuli: S = πR l, gdje je R polumjer osnove konusa, i l- formiranje konusa.

Budući da je površina osnove stošca jednaka πR 2 (kao površina kruga), površina ukupne površine stošca bit će jednaka: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Dobivanje formule za površinu bočne površine stošca može se objasniti sljedećim obrazloženjem. Neka crtež pokaže razvoj bočne površine konusa. Podijelimo luk AB na moguće veći broj jednaki dijelovi i povežite sve tačke podjele sa središtem luka, a susjedne jedna s drugom tetivama.

Dobili smo seriju jednakih trouglova. Površina svakog trougla je ah / 2 gdje A- dužina osnove trougla, a h- njegova visoka.

Zbir površina svih trouglova će biti: ah / 2 n = anh / 2 gdje n- broj trouglova.

At veliki broj podjele, zbir površina trokuta postaje vrlo blizak površini razvoja, odnosno površini bočne površine stošca. Zbir osnova trouglova, tj. an, postaje vrlo blizak dužini luka AB, tj. obimu osnove stošca. Visina svakog trougla postaje veoma bliska poluprečniku luka, tj. generatrisi konusa.

Zanemarujući manje razlike u veličinama ovih veličina, dobijamo formulu za površinu bočne površine stošca (S):

S=C l / 2, gdje je C obim osnove stošca, l- formiranje konusa.

Znajući da je C = 2πR, gdje je R polumjer kružnice osnove stošca, dobijamo: S = πR l.

Bilješka. U formuli S = C l / 2 postoji znak tačne, a ne približne jednakosti, iako bismo na osnovu gornjeg rezonovanja ovu jednakost mogli smatrati približnom. Ali u srednjoj školi srednja škola dokazano je da je jednakost

S=C l / 2 je tačno, nije približno.

Teorema. Bočna površina stošca jednaka je proizvodu obima baze i polovine generatrise.

Upišimo u konus (sl.) neke ispravna piramida i označiti slovima R I l brojevi koji izražavaju dužinu perimetra osnove i apotema ove piramide.

Tada će njegova bočna površina biti izražena umnoškom 1/2 R l .

Pretpostavimo sada da se broj stranica poligona upisanog u bazu neograničeno povećava. Zatim perimetar R težit će granici uzetoj kao dužina C obima baze i apoteme l imat će za granicu generatrisu stošca (pošto ΔSAK slijedi da SA - SK
1 / 2 R l, težit će granici od 1/2 C L. Ova granica se uzima kao veličina bočne površine konusa. Označavajući bočnu površinu stošca slovom S, možemo napisati:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Posljedice.
1) Pošto je C = 2 π R, tada se bočna površina stošca izražava formulom:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) Dobijamo punu površinu stošca ako površini baze dodamo bočnu površinu; dakle, označavajući kompletnu površinu sa T, imaćemo:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Bočna površina skraćeni konus jednak je proizvodu polovine zbira dužina kružnica baza i generatora.

Upišimo u skraćeni konus (sl.) neki pravilan krnje piramide i označiti slovima r, r 1 i l brojevi koji u identičnim linearnim jedinicama izražavaju dužine opsega donje i gornje osnove i apotema ove piramide.

Tada je bočna površina upisane piramide jednaka 1/2 ( p + p 1) l

Uz neograničeno povećanje broja bočnih strana upisane piramide, perimetri R I R 1 teži granicama uzetim kao dužine C i C 1 osnovnih kružnica, a apotema l ima za granicu generator L krnjeg konusa. Shodno tome, veličina bočne površine upisane piramide teži granici koja je jednaka (C + C 1) L. Ova granica se uzima kao veličina bočne površine krnjeg konusa. Označavajući bočnu površinu skraćenog konusa slovom S, imamo:

S = 1 / 2 (C + C 1) L

Posljedice.
1) Ako R i R 1 znače polumjere kružnica donje i gornje baze, tada će bočna površina skraćenog konusa biti:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Ako u trapezu OO 1 A 1 A (sl.), od čije rotacije se dobije krnji konus, nacrtamo srednja linija pne, tada dobijamo:

BC = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

dakle,

S=2 π BC L,

tj. bočna površina krnjeg konusa jednaka je proizvodu obima srednjeg presjeka i generatrikse.

3) Ukupna površina T odsječenog konusa bit će izražena na sljedeći način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Tela rotacije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i lopta.

Ako u zadatku na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike trebate izračunati volumen konusa ili površinu kugle, smatrajte da ste sretnici.

Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, konusa i sfere. Svi su na našoj tabeli. Naučiti napamet. Ovdje počinje poznavanje stereometrije.

Ponekad je dobro crtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.

2. Koliko puta je zapremina konusa opisanog oko pravilne četvorougaone piramide veća od zapremine konusa upisanog u ovu piramidu?

Jednostavno je - nacrtajte pogled odozdo. Vidimo da je poluprečnik većeg kruga puta veći od poluprečnika manjeg. Visine oba konusa su iste. Stoga će volumen većeg konusa biti dvostruko veći.

Drugi važna tačka. Zapamtite da u problemima dijela B Opcije objedinjenog državnog ispita u matematici se odgovor piše kao cijeli ili konačan broj decimalni. Prema tome, ne bi trebalo da ih ima ili u vašem odgovoru u dijelu B. Nema potrebe za zamjenom približne vrijednosti broja! Definitivno se mora smanjiti! U tu svrhu je u nekim problemima zadatak formuliran, na primjer, na sljedeći način: "Pronađi površinu bočne površine cilindra podijeljenu sa."

Gdje se još koriste formule za volumen i površinu okretnih tijela? Naravno, u zadatku C2 (16). Takođe ćemo vam reći o tome.