24.1. Koncept diferencijala funkcija

Neka funkcija y=ƒ(x) ima derivaciju različitu od nule u tački x.

Zatim, prema teoremi o povezanosti funkcije, njenoj granici i beskonačno maloj funkciji, možemo napisati D y / D x \u003d ƒ "(x) + α, gdje je α → 0 za ∆x → 0, ili ∆y \u003d ƒ" (x) ∆h+α ∆h.

Dakle, prirast funkcije ∆u je zbir dva člana ƒ "(h) ∆h i a ∆h, koji su beskonačno mali na ∆x→0. U ovom slučaju, prvi član je beskonačno mala funkcija od isti red sa ∆h, pošto a drugi član je beskonačno mala funkcija višeg reda od ∆x:

Stoga se prvi član ƒ "(x) ∆x naziva glavni dio prirasta funkcije ∆u.

diferencijalna funkcija y \u003d ƒ (x) u tački x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak umnošku derivacije funkcije i prirasta argumenta, i označava se du (ili dƒ (x)):

dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24.1)

Diferencijal du se također naziva diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, odnosno diferencijal funkcije y=x.

Pošto je y"=x"=1, onda prema formuli (24.1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.

Stoga se formula (24.1) može napisati na sljedeći način:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (24.2)

drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Iz formule (24.2) slijedi jednakost dy / dx \u003d ƒ "(x). Sada je oznaka

derivacija dy/dx se može posmatrati kao omjer diferencijala dy i dx.

<< Пример 24.1

Naći diferencijal funkcije ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Rješenje: Prema formuli dy \u003d ƒ "(x) dx nalazimo

dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx = (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

Pronađite diferencijal funkcije

Izračunajte dy na x=0, dx=0,1.

Rješenje:

Zamjenom x=0 i dx=0.1 dobijamo

24.2. Geometrijsko značenje diferencijala funkcije

Hajde da saznamo geometrijsko značenje diferencijala.

Da bismo to učinili, crtamo tangentu MT na graf funkcije y \u003d ƒ (x) u tački M (x; y) i razmatramo ordinatu ove tangente za tačku x + ∆x (vidi sliku 138 ). Na slici ½ AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Iz pravouglog trougla MAB imamo:

Ali, prema geometrijskom značenju derivacije, tga \u003d ƒ "(x). Dakle, AB = ƒ" (x) ∆x.

Upoređujući rezultat dobijen formulom (24.1), dobijamo dy=AB, tj. diferencijal funkcije y=ƒ(x) u tački x jednak je prirastu ordinate tangente na graf funkcije u ovom trenutku, kada x primi prirast ∆x.

Ovo je geometrijsko značenje diferencijala.

24.3 Osnovne diferencijalne teoreme

Glavne teoreme o diferencijalima je lako dobiti koristeći relaciju između diferencijala i izvoda funkcije (dy=f"(x)dx) i odgovarajućih teorema o derivacijama.

Na primjer, budući da je derivacija funkcije y \u003d c jednaka nuli, tada je diferencijal konstantne vrijednosti jednak nuli: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.

Teorema 24.1. Diferencijal zbira, proizvoda i količnika dvije diferencibilne funkcije definiran je sljedećim formulama:

Dokažimo, na primjer, drugu formulu. Po definiciji diferencijala imamo:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teorema 24.2. Diferencijal kompleksne funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije u odnosu na međuargument i diferencijal ovog međuargumena.

Neka su y=ƒ(u) i u=φ(x) dvije diferencibilne funkcije koje formiraju kompleksnu funkciju y=ƒ(φ(x)). Po teoremi o izvodu složene funkcije može se pisati

y" x = y" u u" x .

Množenjem oba dijela ove jednakosti sa dx, saznajemo y "x dx \u003d y" u u "x dx. Ali y" x dx = dy i u "x dx \u003d du. Stoga se posljednja jednakost može prepisati kao slijedi:

dy=y" u du.

Upoređujući formule dy=y "x dx i dy=y" u du, vidimo da je prvi diferencijal funkcije y=ƒ(x) određen istom formulom, bez obzira da li je njen argument nezavisna varijabla ili je funkcija drugog argumenta.

Ovo svojstvo diferencijala naziva se invarijantnost (invarijantnost) oblika prvog diferencijala.

Formula dy \u003d y "x dx po izgledu podudara se s formulom dy \u003d y" u du, ali postoji temeljna razlika između njih: u prvoj formuli x je nezavisna varijabla, dakle, dx \u003d ∆x, u drugoj formuli i postoji funkcija od x , dakle, općenito govoreći, du≠∆u.

Uz pomoć definicije diferencijala i osnovnih teorema o diferencijalima, lako je transformirati tablicu derivacija u tablicu diferencijala.

Na primjer: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Diferencijalna tablica

24.5. Primjena diferencijala na približne proračune

Kao što je već poznato, prirast ∆u funkcije y=ƒ(h) u tački x može se predstaviti kao ∆u=ƒ"(h) ∆h+α ∆h, gdje je α→0 kao ∆h→0, ili dy+α ∆x Odbacivanjem infinitezimalnog α ∆x višeg reda od ∆x, dobijamo približnu jednakost

∆u≈dy, (24.3)

štaviše, ova jednakost je točnija što je ∆x manji.

Ova jednakost nam omogućava da izračunamo približno prirast bilo koje diferencijabilne funkcije sa velikom preciznošću.

Diferencijal se obično nalazi mnogo lakše od priraštaja funkcije, pa se formula (24.3) široko koristi u računarskoj praksi.

<< Пример 24.3

Pronađite približnu vrijednost prirasta funkcije y = x 3 -2x + 1 za x = 2 i ∆x = 0,001.

Rešenje: Primenjujemo formulu (24.3): ∆u≈dy=(h 3 -2h+1)" ∆h=(3h 2 -2) ∆h.

Dakle, ∆u» 0,01.

Pogledajmo koja je greška napravljena izračunavanjem diferencijala funkcije umjesto njenog prirasta. Da bismo to učinili, nalazimo ∆u:

∆y = ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);

Apsolutna greška aproksimacije je jednaka

|∆u-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Zamjenom u jednakost (24.3) vrijednosti ∆u i dy dobijamo

ƒ(h+∆h)-ƒ(h)≈ƒ"(h)∆h

ƒ(h+∆h)≈ƒ(h)+ƒ"(h) ∆h. (24.4)

Formula (24.4) se koristi za izračunavanje približnih vrijednosti funkcija.

<< Пример 24.4

Izračunajte približno arctg(1.05).

Rješenje: Razmotrimo funkciju ƒ(h)=arctgx. Prema formuli (24.4) imamo:

arctg(x+∆h)≈arctgx+(arctgx)" ∆h,

tj.

Pošto je x+∆x=1,05, onda za x=1 i ∆x=0,05 dobijamo:

Može se pokazati da apsolutna greška formule (24.4) ne prelazi vrijednost M (∆x) 2, gdje je M najveća vrijednost |ƒ"(x)| na segmentu [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Koju će udaljenost preći tijelo u slobodnom padu na Mjesecu za 10,04 s od početka pada. Jednačina slobodnog pada tijela

H \u003d g l t 2 /2, g l \u003d 1,6 m / s 2.

Rješenje: Potrebno je pronaći H(10,04). Koristimo približnu formulu (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Pri t=10 s i ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, nalazimo

Zadatak (za samostalno rješenje). Tijelo mase m=20 kg kreće se brzinom ν=10,02 m/s. Približno izračunajte kinetičku energiju tijela

24.6. Diferencijali višeg reda

Neka je y=ƒ(x) diferencijabilna funkcija, a njen argument x je nezavisna varijabla. Tada je njegov prvi diferencijal dy=ƒ"(x)dx također funkcija od x; može se pronaći diferencijal ove funkcije.

Poziva se diferencijal od diferencijala funkcije y=ƒ(x). njen drugi diferencijal(ili diferencijal drugog reda) i označava se d 2 y ili d 2 ƒ(x).

Dakle, po definiciji d 2 y=d(dy). Nađimo izraz za drugi diferencijal funkcije y=ƒ(x).

Budući da dx=∆x ne zavisi od x, pretpostavljamo da je dx konstantan pri diferenciranju:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 tj.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)

Ovdje dx 2 označava (dx) 2 .

Diferencijal trećeg reda je definiran i pronađen na sličan način

d 3 y \u003d d (d 2 y) = d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

I, općenito, diferencijal n-tog reda je diferencijal diferencijala (n-1)-tog reda: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Otuda nalazimo da je, posebno, za n=1,2,3

odnosno dobijamo:

tj. derivacija funkcije se može posmatrati kao omjer njenog diferencijala odgovarajućeg reda i odgovarajuće snage diferencijala nezavisne varijable.

Imajte na umu da su sve gornje formule važeće samo ako je x nezavisna varijabla. Ako je funkcija y \u003d ƒ (x), gdje je x - funkcija neke druge nezavisne varijable, onda diferencijali drugog i višeg reda nemaju svojstvo invarijantnosti oblika i izračunavaju se pomoću drugih formula. Pokažimo to na primjeru diferencijala drugog reda.

Koristeći diferencijalnu formulu proizvoda (d(uv)=vdu+udv), dobijamo:

d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) = ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , tj.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24.6)

Uspoređujući formule (24.5) i (24.6), vidimo da se u slučaju kompleksne funkcije mijenja diferencijalna formula drugog reda: pojavljuje se drugi član ƒ "(x) d 2 x.

Jasno je da ako je x nezavisna varijabla, onda

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

a formula (24.6) prelazi u formulu (24.5).

<< Пример 24.6

Pronađite d 2 y ako je y=e 3x i x je nezavisna varijabla.

Rješenje: Kako je y"=3e 3x, y"=9e 3x, onda po formuli (24.5) imamo d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Naći d 2 y ako je y=x 2 i x=t 3 +1 i t je nezavisna varijabla.

Rješenje: Koristimo formulu (24.6): pošto

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,

onda d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Drugo rješenje: y=x 2 , x=t 3 +1. Dakle, y = (t 3 +1) 2. Tada po formuli (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2 ,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Diferencijali višeg reda.

Neka je funkcija y= ¦(x) definirana u nekom intervalu X (na primjer, interval) i ima derivate svih redova u svakoj unutrašnjoj tački. Tada je njegov diferencijal dy=y 1 dx. Nazvat ćemo ga diferencijalom prvog reda.

U svakoj određenoj tački, diferencijal funkcije je broj. Na intervalu je to funkcija od x. Stoga možemo govoriti o diferencijalu od prvog diferencijala.

Definicija: Diferencijal prvog reda diferencijala funkcije y = ¦ (x) naziva se diferencijalom drugog reda ove funkcije i simbolički se piše d (dy) = d 2 y.

Generalno: diferencijal n-tog reda funkcije y \u003d ¦ (x) naziva se diferencijal diferencijala (n-1) reda funkcije d n y = d (d n-1 y).

Oznake d¦(x) , d 2 ¦(x) , d n ¦(x) su također primjenjive

Diferencijali višeg reda od prvog nazivaju se diferencijalima višeg reda.

Prilikom izračunavanja diferencijala višeg reda mora se uzeti u obzir da je dx proizvoljan broj koji ne zavisi od x, a kada se diferencira u odnosu na x mora se smatrati konstantnim faktorom.

Dakle, dy = y 1 dx, d 2 y = d (dy) = d (y 1 dx) = dx d (y 1) = dx (y 11 dx) = y 11 (dx) 2 . Uobičajeno je da se stepen diferencijala piše bez zagrada (dx) 2 = dx 2.

Dakle, d 2 y \u003d y ''dx 2, ali ovo ne treba brkati sa d (x 2) = 2xdx

Slično: d 3 y = d (y 11 dx 2) = dx 2 d (y 11) = dx 2 (y 111 dx) = y 111 dx 3; d 3 y = y 111 dx 3.

Ovdje opet dx 3 = dx dx dx, a ne d (x 3) = 3x 2 dx

d n y \u003d y n dx n

Ovdje dx n = (dx) n kao i prije.

Iz opće formule za diferencijal n-tog reda, posebno, slijedi formula za izvod n-tog reda.

Y (n) \u003d d n y / dx n, tj. derivacija n-tog reda je količnik n-tog diferencijala funkcije i n-tog stepena razlike. nezavisni promijeniti.

Vidjeli smo da oblik prvog diferencijala dy=y 1 dx ne ovisi o tome da li je x nezavisna varijabla ili je x samo po sebi funkcija neke varijable t.

Forma diferencijala reda n=2 u ovom slučaju više nije sačuvana, nema invarijantnost.

U slučaju nezavisne varijable x d 2 y \u003d y 11 dx 2 je diferencijal drugog reda. Neka je sada h= , du 1 =u 1 dh. Ali sada dx više nije proizvoljna konstanta, dx = dt, tj. dx- je funkcija od t i stoga, kada nađemo d 2 y, ne možemo uzeti dx iz diferencijalnog predznaka.

d 2 y = d (y 1 dx) = d (y 1) dx + y 1 d (dx) \u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, tj.

d 2 y \u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x - oblik diferencijala je promijenjen, dodan je izraz y 1 d 2 x. Štaviše, oblik d n y nije sačuvan. Dakle, u slučaju kada x nije nezavisna varijabla, oznaku y (n) = d p y / dx p treba shvatiti kao jedan simbol, a ne kao omjer diferencijala.

Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti, možda, najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, suočavaju sa parcijalnim derivatima u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek nalazi na ispitu.

Kako biste efikasno proučili sljedeći materijal, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "uobičajene" derivate funkcije jedne varijable. U lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? i Derivat kompleksne funkcije. Potrebna nam je i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tabele.

Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dve varijable, pokušaću da se ograničim na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: - funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable je najčešće površina trodimenzionalnog prostora (ravan, cilindar, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je već više analitička geometrija, a na dnevnom redu imamo matematičku analizu, koju mi ​​profesor nikad nije dao da otpišem je moj „konj“.

Prelazimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one od vas koji su popili nekoliko šoljica kafe i raspoloženi za nezamislivo težak materijal: parcijalni derivati ​​su skoro isti kao i "obični" derivati ​​funkcije jedne varijable.

Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika koje ćemo sada upoznati:

... da, usput, za ovu temu jesam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da "napunite ruku" za samo par sati. Ali, koristeći stranicu, vi ćete, naravno, dobiti i rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, nalazimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Notacija:
ili - parcijalni izvod u odnosu na "x"
ili - djelomični izvod u odnosu na "y"

Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijabla smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari na preduzete radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradama ispod crtice sa indeksom.

Pažnja važna! Subscripts NE GUBE u toku rješenja. U ovom slučaju, ako negdje bez crtanja nacrtate „šlog“, onda ga učitelj barem može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio bodova zbog nepažnje).

(2) Koristite pravila diferencijacije , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se mogu primijeniti u istom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvući iz predznaka derivacije, onda ga vadimo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma – „sedam“.

(3) Koristimo tablične derivate i .

(4) Mi pojednostavljujemo, ili, kako ja volim da kažem, "kombinujemo" odgovor.

Sad . Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na "y", tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).

(1) Koristimo ista pravila diferencijacije , . U prvom članu vadimo konstantu izvan znaka derivacije, u drugom se ne može ništa izvaditi jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Mentalno promijenite u tabeli sve "X" u "Y". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Šta je značenje parcijalnih izvoda?

U svojoj osnovi parcijalni derivati ​​1. reda liče "obični" derivat:

- ovo je funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i respektivno. Tako, na primjer, funkcija karakteriše strmine "uspona" i "padina" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o "reljefu" iste površine u smjeru ose ordinate.

! Bilješka : ovdje se odnosi na upute koje su paralelne koordinatne ose.

Radi boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku ravnine i izračunamo vrijednost funkcije (“visine”) u njoj:
- a sada zamislite da ste ovdje (NA SAMOJ površini).

Izračunavamo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:

Negativni predznak derivata "X" nam govori o tome silazno funkcionira u tački u smjeru x-ose. Drugim riječima, ako napravimo mali-mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), zatim se spustite niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru y-ose:

Izvod u odnosu na "y" je pozitivan, dakle, u tački duž ose, funkcija povećava. Ako je sasvim jednostavno, onda nas čeka uspon uzbrdo.

Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u relevantnom pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo- što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru ose apscise je strmiji od "planine" u smjeru ose ordinate.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da od tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje tačke date površine) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Stoga postoji interes za sastavljanje opće "navigacijske karte" koja bi nam govorila o "pejzažu" površine. ako je moguće u svakoj tački opseg ove funkcije na sve dostupne načine. O ovome i drugim zanimljivostima govoriću u jednoj od narednih lekcija, ali za sada, vratimo se tehničkoj strani problema.

Sistematiziramo elementarna primijenjena pravila:

1) Kada razlikujemo po , tada se varijabla smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i važe za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) u odnosu na koju se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivate drugog reda. Ima ih četiri.

Notacija:
ili - drugi izvod u odnosu na "x"
ili - drugi derivat u odnosu na "y"
ili - mješovito izvod "x po y"
ili - mješovito izvedenica "Y sa X"

Sa drugom izvodom nema problema. jednostavnim riječima, drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo nalazimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju već sa "y".

Slično:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Nalazimo drugu derivaciju u odnosu na "x".
Nema izuma, pretpostavljamo i ponovo ga razlikovati sa "X":

Slično:

Treba napomenuti da kada pronađete , morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih testirale.

Drugi derivati ​​također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u točki . Pronađite derivate drugog reda.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti kako pronaći slične derivate u hodu.

Punimo ruku složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Nalazimo parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno pisati u zagradama da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Izvodimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije, u ovom slučaju konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dvije funkcije, stoga trebamo koristiti pravilo diferencijacije proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni tačni.

Napišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcije dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, u formuli trebate samo glupo samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati brojiocima:

I na ponovljeni zahtjev čitalaca, puni diferencijal drugog reda.

izgleda ovako:

PAŽLJIVO pronađite "jednoslovne" izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto činilo teškim, uvijek se kasnije možete vratiti na derivate, nakon što naučite tehniku ​​diferencijacije:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Razmotrimo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Rješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Neću objavljivati ​​kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbira

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od "x" - samo "y". Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da se umjesto nje zada funkcija - to je ovdje bitno proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", te stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži "y", stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: . Drugi član zavisi SAMO od "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.

Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam staru Mekhmatovljevu anegdotu za detant:

Jednom se u prostoru funkcija pojavio zli derivat i kako je sve razlikovao. Sve funkcije se raspršuju u svim smjerovima, nitko se ne želi okretati! I samo jedna funkcija ne bježi nigdje. Izvod mu prilazi i pita:

"Zašto ne bježiš od mene?"

- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na stepen x", a ti mi ništa ne možeš!

Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:

- Tu grešiš, ja ću te razlikovati po "y", pa ti neka bude nula.

Ko je shvatio šalu, savladao je derivate, bar za "trojku").

Primjer 8

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.

Pa, to je skoro sve. Konačno, ne mogu a da ne obradujem matematičare još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke obučenosti - ima ljudi (i ne tako rijetkih) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko komplikovan koliko glomazan u smislu proračuna.

Neka je y \u003d f (x) diferencijabilna funkcija, a njen argument x je nezavisna varijabla. Tada je njegov prvi diferencijal dy = f ′ (x )dx također funkcija otx; pronađite diferencijal ove funkcije.

Diferencijal od diferencijala funkcije y \u003d f (x) naziva se njegovim drugi diferencijal(ili diferencijal drugog reda) i označava se d 2 y ili d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Ovdje dx 2 predstavlja (dx )2.

Diferencijal trećeg reda je definisan i pronađen na sličan način: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3 .

Općenito, diferencijal n-tog reda je diferencijal diferencijala (n-1)-tog reda: d n y \u003d d (d n - 1 y ) = f (n) (x) (dx) n.

Odavde nalazimo da je f (n) (x) = d n y . Konkretno, za n = 1, 2, 3, respektivno, dobijamo: dx n

f′(x)=			f′′(x)=	d2y		f′′′(x ) =	d 3 g	One. Derivat funkcije se može posmatrati kao

odnos njegovog diferencijala odgovarajućeg reda prema odgovarajućem stepenu diferencijala nezavisne varijable.

Imajte na umu da su sve gornje formule važeće samo ako je x nezavisna varijabla.

Primjer. Naći d 2 y ako je y = e 3 x njihov nezavisna varijabla Rješenje: pošto je y ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x , onda imamo d 2 y = 9e 3 x dx 2 .

Pravila L'Hospitala

L'Hopitalova pravila se koriste za otkrivanje nesigurnosti oblika 0 0 i ∞ ∞, koje se nazivaju osnovnim.

Teorema 3. (L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika 0 0 ).

Neka su funkcije f (x) i g (x) kontinuirane i diferencijabilne u blizini tačaka 0 i

nestaju u ovoj tački: f (x 0 ) =g (x 0 ) = 0. Neka je g ′ (x )≠ 0 u blizini tačke x 0 . Ako a

postoji granica

f'(x)

L, onda

f(x)

f'(x)

g(x)

g (x)

x → x0

x → x0

x → x0

Primjer. Naći lim1 − cos6 x .

x → 0

2x2

Rješenje: lim

1− cos 6x

p. L.

6sin 6x

p. L.

36 cos 6x

x → 0

x → 0

x → 0

Teorema 4. (L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika ∞ ∞).

Neka su funkcije f (x) i g (x) kontinuirane i diferencijabilne u susjedstvu tačaka 0 (osim,
možda tačke x 0 ), u ovoj okolini limf (x ) = limg (x ) = ∞ ,g ′ (x )≠ 0. Ako postoji
	f'(x)			f(x)			f'(x)	x → x0	x → x0
limit lim
	g (x)			g(x)
x → x0			x → x0			x → x0	g (x)

tg 3x

Primjer. Pronađite lim tg 5x

x → π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim3cos

p. L.

p. L.

x→

tg5x

x→

x→

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10x

5 x →

− 6 cos 3x sin 3x

x→

sin6x

x→

6cos6x

Nesigurnosti oblika , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], svode se na dva glavna načina identičnih transformacija.

Neka je f (x) → 0, a g (x) → 0 kao x → x 0. Tada su očigledne sljedeće transformacije:

lim(f (x ) g (x)) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x → x

x → x

x → x

g(x)

g(x)

Pronađite lim tg

x

(2 − x ).

x → 2

2 − x

0=lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

p. L.

x → 2

x → 2

x

ctg 4

x → 2

2 x

Neka je f (x) → ∞, i g (x) → ∞ kao x → x 0. Tada možete uraditi ovo:

lim (f (x) −g (x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x → x0

x → x0

x → x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Neka je f (x) → 1, i g (x) → ∞, ili f (x) → ∞, i g (x) → 0, ili f (x) → 0, i g (x) → 0 sa x → x 0.

Da bismo pronašli granicu oblika lim f (x) g (x) prisjetimo se svojstva logaritma

x → x0

e lnf (x) g (x) \u003d f (x) g (x).

Primjer. Naći lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .