Pronađite čvor i čvor tri. Nod i nok brojeva - najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva

Počnimo proučavati najmanji zajednički umnožak dva ili više brojeva. U ovom dijelu ćemo definirati pojam, razmotriti teoremu koja uspostavlja vezu između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja i dati primjere rješavanja problema.

Uobičajeni višekratnici – definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo uobičajeni višekratnici cijelih brojeva koji nisu nula.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih datih brojeva. U stvari, to je bilo koji cijeli broj koji se može podijeliti bilo kojim od datih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gore datoj definiciji, zajednički višekratnici broja 12 su 3 i 2. Takođe, broj 12 će biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 su zajednički višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istovremeno, zajednički višekratnik brojeva 2 i 3 bit će brojevi 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 i cela linija bilo koje druge.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem para, a nisu djeljivi drugim, onda takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16, − 27, 5009, 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva osim nule.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti u odnosu na suprotni brojevi, onda se ispostavlja da će neki cijeli broj k biti zajednički umnožak ovih brojeva, baš kao i broj - k. To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Da li je moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik se može naći za bilo koji cijeli broj.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dato k cijeli brojevi a 1 , a 2 , … , a k. Broj koji dobijemo množenjem brojeva a 1 · a 2 · … · a k prema svojstvu djeljivosti, bit će podijeljen na svaki od faktora koji su bili uključeni u originalni proizvod. To znači da je proizvod brojeva a 1 , a 2 , … , a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ovi cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajednički višekratnici. U stvari, njihov broj je beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k. Tada će proizvod brojeva k · z, gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z. S obzirom da je broj brojeva beskonačan, broj zajedničkih višekratnika je beskonačan.

Najmanji zajednički višestruki (LCM) – definicija, notacija i primjeri

Prisjetimo se koncepta najmanji broj od dati set brojeva, koje smo pogledali u odjeljku „Upoređivanje cijelih brojeva“. Uzimajući u obzir ovaj koncept, formuliramo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji od svih zajedničkih višekratnika ima najveći praktični značaj.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik datih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj datih brojeva. Najčešće korištena skraćenica za pojam u referentnoj literaturi je NOC. Kratak unos najmanji zajednički višekratnik za brojeve a 1 , a 2 , … , a k imaće oblik LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik 6 i 7 je 42. One. LCM(6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik od četiri broja 2, 12, 15 i 3 je 60. Kratka notacija će izgledati kao LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Najmanji zajednički višekratnik nije očigledan za sve grupe datih brojeva. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC-a i GCD-a

Najmanji zajednički višestruki i najveći zajednički djelitelj međusobno povezani. Odnos između pojmova je uspostavljen teoremom.

Teorema 1

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku a i b podijeljenom sa najvećim zajedničkim djeliteljem a i b, odnosno LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Dokazi 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M, koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv sa a, postoji i neki cijeli broj z , pod kojim je jednakost istinita M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M djeljivo sa b, pa onda a · k podijeljena b.

Ako uvedemo novu notaciju za gcd (a, b) as d, onda možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d. U ovom slučaju, obje jednakosti će biti relativno prosti brojevi.

To smo već utvrdili iznad a · k podijeljena b. Sada se ovaj uslov može napisati na sljedeći način:
a 1 d k podijeljena b 1 d, što je ekvivalentno uslovu a 1 k podijeljena b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema imovini obostrano primarni brojevi, Ako a 1 I b 1– međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljivo sa b 1 unatoč činjenici da a 1 k podijeljena b 1, To b 1 mora se dijeliti k.

U ovom slučaju, bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od tada b 1 = b: d, To k = b: d t.

Sada umjesto k zamenimo u jednakosti M = a k izraz forme b: d t. To nam omogućava da postignemo jednakost M = a b: d t. At t = 1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednaka a b: d, pod uslovom da su brojevi a i b pozitivno.

Tako smo dokazali da je LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućava vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dva ili više datih brojeva.

Definicija 3

Teorema ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dva broja su isti kao zajednički višekratnici ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom proizvodu.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b je definiran jednakošću M = LCM (a, b) · t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Pošto su a i b relativno prosti, onda je gcd (a, b) = 1, dakle, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da bi se pronašao najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva, potrebno je sekvencijalno pronaći LCM dva broja.

Teorema 2

Hajde da se pretvaramo a 1 , a 2 , … , a k- ovo su neki cijeli brojevi pozitivni brojevi. Da bi se izračunao LCM m k ove brojeve moramo sekvencijalno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Dokazi 2

Prvi zaključak iz prve teoreme o kojoj se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo valjanost druge teoreme. Obrazloženje se zasniva na sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 I a 2 poklapaju se sa višekratnicima njihovog LCM, u stvari, poklapaju se sa višekratnicima broja m 2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 I a 3 m 2 I a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1 , a 2 , … , a k poklapaju se sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 I a k, dakle, poklapaju se sa višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , … , a k je m k.

Ovako smo dokazali teoremu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCD) i najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) prirodnih brojeva.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktor 5 koji nedostaje iz proširenja drugog broja. Dobijamo: 2*2*3*5*5=300. Pronašli smo NOC, tj. ovaj iznos = 300. Ne zaboravite dimenziju i napišite odgovor:
Odgovor: Mama daje 300 rubalja.

GCD definicija: Najveći zajednički djelitelj (GCD) prirodni brojevi A I V nazovi najveći prirodni broj c, na koji a, And b podijeljeno bez ostatka. One. c je najmanji prirodni broj za koji i A I b su višestruki.

dopis: Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva

• brojevi koji se koriste u: popisivanju (numeraciji) objekata (prvi, drugi, treći, ...); - u školama je obično ovako.
• oznaka broja stavki (bez Pokemona - nula, jedan Pokemon, dva Pokemona, ...).

Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi nisu prirodni brojevi. Neki autori uključuju nulu u skup prirodnih brojeva, drugi ne. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N

dopis: Delitelj prirodnog broja a imenovati broj b, na koji a podijeljeno bez ostatka. Višestruki prirodni broj b pozvati prirodni broj a, koji je djeljiv sa b bez traga. Ako je broj b- djelitelj brojeva a, To a višestruki broj b. Primjer: 2 je djelitelj od 4, a 4 je višekratnik od dva. 3 je djelitelj broja 12, a 12 je višekratnik broja 3.
dopis: Prirodni brojevi se nazivaju prosti ako su djeljivi bez ostatka samo sa sobom i 1. Koprosti brojevi su oni koji imaju samo jedan zajednički djelitelj jednak 1.

Određivanje kako pronaći GCD u opšti slučaj: Da biste pronašli GCD (najveći zajednički djelitelj) potrebno je nekoliko prirodnih brojeva:
1) Raširite ih u primarni faktori. (Tabela prostih brojeva može biti vrlo korisna za ovo.)
2) Zapišite faktore uključene u proširenje jednog od njih.
3) Precrtajte one koji nisu uključeni u proširenje preostalih brojeva.
4) Pomnožite faktore dobijene u koraku 3).

Problem 2 na (NOK): Kolja Puzatov je za Novu godinu kupio 48 hrčaka i 36 lonaca za kafu u gradu. Fekla Dormidontova, kao najpoštenija devojka u odeljenju, dobila je zadatak da ovu imovinu podeli na što veći broj poklon setova za nastavnike. Koliko ste setova dobili? Koji je sadržaj kompleta?

Primjer 2.1. rješavanje problema nalaženja GCD. Pronalaženje GCD odabirom.
Rješenje: Svaki od brojeva 48 i 36 mora biti djeljiv sa brojem poklona.
1) Zapišite djelitelje 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Zapisujemo djelitelje 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Odaberite najveći zajednički djelitelj. Vau-la-la! Otkrili smo da je broj kompleta 12 komada.
3) Podijelite 48 sa 12 da dobijete 4, podijelite 36 sa 12 da dobijete 3. Ne zaboravite dimenziju i napišite odgovor:
Odgovor: Dobićete 12 kompleta od 4 hrčka i 3 posude za kafu u svakom setu.

Materijal predstavljen u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), And Posebna pažnja Fokusirajmo se na rješavanje primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon ovoga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM-a od tri i više brojeva, a obratite pažnju i na izračunavanje LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD

Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD omogućava nam da izračunamo najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a koristeći datu formulu.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.

Rješenje.

U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo vezu između LCM i GCD, izraženu formulom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva koristeći napisanu formulu.

Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

odgovor:

LCM(126, 70)=630 .

Primjer.

Čemu je jednako LCM(68, 34)?

Rješenje.

Jer 68 je djeljivo sa 34, tada je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

odgovor:

LCM(68, 34)=68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore

Drugi način za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako sastavite proizvod od svih prostih faktora datih brojeva, a zatim iz ovog proizvoda izuzmete sve zajedničke proste faktore prisutne u proširenjima datih brojeva, tada će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku datih brojeva .

Navedeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) jednak proizvodu svi prosti faktori koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD pomoću proširenja brojeva u proste faktore).

Dajemo primjer. Javite nam da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo proizvod od svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog proizvoda isključujemo sve faktore prisutne u proširenju broja 75 i proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku 75 i 210, tj. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Primjer.

Faktorite brojeve 441 i 700 u proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Rješenje.

Razložimo brojeve 441 i 700 u proste faktore:

Dobijamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.

Sada napravimo proizvod od svih faktora uključenih u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. dakle, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

odgovor:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM koristeći faktorizaciju brojeva u proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako se faktori koji nedostaju iz proširenja broja b dodaju faktorima iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihove dekompozicije na proste faktore su sljedeće: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijamo proizvod 2·3·5·5·7, čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Rješenje.

Prvo dobijamo dekompozicije brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik od 84 i 648 je 4,536.

odgovor:

LCM(84, 648)=4,536 .

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetimo se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Rješenje.

U ovom primjeru, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo nađemo m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Da bismo to uradili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1 , odakle GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Odnosno, m 2 =1 260.

Sada pronalazimo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz GCD(1 260, 54), koji takođe određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, od čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.

Ostaje samo pronaći m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Da bismo to uradili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dakle, GCM(3,780, 250)=10, odakle je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. To jest, m 4 =94,500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.

odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

U mnogim slučajevima, zgodno je pronaći najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju morate se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje rezultujućim faktorima, i tako dalje.

Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću faktorizacije.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Rješenje.

Prvo, dobijamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se sa njegovom dekompozicijom na proste faktore) i 143=11·13.

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Dekompozicija broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u dekompoziciji prvog broja 84. Zatim, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebe za dodavanjem množitelja ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.

Pogledajmo tri načina da pronađemo najmanji zajednički višekratnik.

Pronalaženje faktorizacijom

Prva metoda je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem datih brojeva u proste faktore.

Recimo da treba da nađemo LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to uradili, razložimo svaki od ovih brojeva u proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv sa 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da sadrži sve proste činioce ovih djelitelja. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveći mogući stepen i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13.860 Nijedan drugi broj manji od 13.860 nije djeljiv sa 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik datih brojeva, rastavite ih u njihove proste faktore, zatim uzmete svaki prosti faktor s najvećim eksponentom u kojem se pojavljuje i pomnožite te faktore zajedno.

Pošto relativno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik je jednak proizvodu ovih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su relativno prosti. Zbog toga

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Isto se mora učiniti kada se pronađe najmanji zajednički višekratnik različitih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Druga metoda je pronalaženje najmanje zajedničkog višekratnika odabirom.

Primjer 1. Kada se najveći od datih brojeva podijeli sa drugim datim brojem, tada je LCM ovih brojeva jednak najvećem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, koristi se sljedeći postupak:

1. Odredite najveći broj od datih brojeva.
2. Zatim ćemo pronaći brojeve koji su višestruki najveći broj, množenjem sa cijeli brojevi uzlaznim redoslijedom i provjeravanjem da li su preostali brojevi djeljivi s rezultirajućim umnoškom.

Primjer 2. Zadata su tri broja 24, 3 i 18. Određujemo najveći od njih - to je broj 24. Zatim nalazimo brojeve koji su višestruki od 24, provjeravajući da li je svaki od njih djeljiv sa 18 i 3:

24 · 1 = 24 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 · 2 = 48 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 · 3 = 72 - djeljivo sa 3 i 18.

Dakle, LCM (24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim pronalaženjem LCM

Treća metoda je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika sekvencijalnim pronalaženjem LCM.

LCM dva data broja jednak je umnošku ovih brojeva podijeljen sa njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Pronađite LCM dva data broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo sa njihovim gcd-om:

Dakle, LCM (12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristite sljedeću proceduru:

1. Prvo, pronađite LCM bilo koja dva od ovih brojeva.
2. Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg dati broj.
3. Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, itd.
4. Stoga se potraga za LCM nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Pronađite LCM tri podatka brojevi: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje da pronađemo najmanji zajednički umnožak broja 24 i trećeg datog broja - 9. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (24, 9) = 3. Pomnožite LCM sa brojem 9:

Proizvod dijelimo sa njihovim gcd-om:

Dakle, LCM (12, 8, 9) = 72.

GCD je najveći zajednički djelitelj.

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva potrebno vam je:

• odrediti faktore zajedničke za oba broja;
• pronaći proizvod zajedničkih faktora.

Primjer pronalaženja GCD:

Nađimo gcd brojeva 315 i 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Zapišimo faktore zajedničke za oba broja:

3. Pronađite proizvod zajedničkih faktora:

GCD(315, 245) = 5 * 7 = 35.

Odgovor: GCD(315, 245) = 35.

Pronalaženje NOC-a

LCM je najmanji umnožak.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, potrebno je:

• faktorske brojeve u proste faktore;
• zapišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
• Dodajmo im faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja;
• naći proizvod rezultujućih faktora.

Primjer pronalaženja LOC-a:

Nađimo LCM brojeva 236 i 328:

1. Razložimo brojeve u proste faktore:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Zapišimo faktore uključene u proširenje jednog od brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Pronađite proizvod rezultujućih faktora:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Odgovor: LCM(236, 328) = 19352.

Da biste pronašli GCD (najveći zajednički djelitelj) dva broja potrebno je:

2. Naći (podvući) sve zajedničke proste faktore u rezultirajućim proširenjima.

3. Pronađite proizvod zajedničkih prostih faktora.

Da biste pronašli LCM (najmanji zajednički višekratnik) dva broja trebate:

1. Podijelite date brojeve na proste faktore.

2. Proširenje jednog od njih je dopunjeno onim faktorima proširenja drugog broja koji nisu u proširenju prvog.

3. Izračunajte proizvod rezultujućih faktora.