U matematici, aritmetička sredina brojeva (ili jednostavno prosjek) je zbir svih brojeva u datom skupu podijeljen njihovim brojem. Ovo je najopćenitiji i najrašireniji koncept prosječne vrijednosti. Kao što ste već shvatili, da biste pronašli morate zbrojiti sve brojeve koji su vam dati, a rezultat podijeliti s brojem pojmova.

Šta je aritmetička sredina?

Pogledajmo primjer.

Primjer 1. Dati su brojevi: 6, 7, 11. Potrebno je pronaći njihovu prosječnu vrijednost.

Odluka.

Prvo, hajde da nađemo zbir svih datih brojeva.

Sada podijelimo rezultirajuću sumu sa brojem članova. Pošto imamo tri člana, respektivno, podelićemo sa tri.

Dakle, prosek od 6, 7 i 11 je 8. Zašto 8? Da, jer će zbir 6, 7 i 11 biti isti kao tri osmice. Ovo se jasno vidi na ilustraciji.

Prosječna vrijednost donekle podsjeća na "poravnanje" niza brojeva. Kao što vidite, gomile olovaka su postale jedan nivo.

Razmotrite još jedan primjer kako biste konsolidirali stečeno znanje.

Primjer 2 Dati su brojevi: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.

Odluka.

Nalazimo sumu.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podijelite s brojem pojmova (u ovom slučaju 15).

Dakle, prosječna vrijednost ove serije brojeva je 22.

Sada razmotrite negativne brojeve. Prisjetimo se kako ih sažeti. Na primjer, imate dva broja 1 i -4. Nađimo njihov zbir.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Znajući ovo, razmotrite još jedan primjer.

Primjer 3 Pronađite prosječnu vrijednost niza brojeva: 3, -7, 5, 13, -2.

Odluka.

Pronalaženje zbira brojeva.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Pošto postoji 5 članova, dobijeni zbir podijelimo sa 5.

Dakle, aritmetička sredina brojeva 3, -7, 5, 13, -2 je 2,4.

U našem vremenu tehnološkog napretka mnogo je zgodnije koristiti kompjuterske programe za pronalaženje prosječne vrijednosti. Microsoft Office Excel je jedan od njih. Pronalaženje prosjeka u Excelu je brzo i jednostavno. Štaviše, ovaj program je uključen u softverski paket iz Microsoft Office-a. Hajde da razmotrimo kratku instrukciju, vrednost korišćenja ovog programa.

Da biste izračunali prosječnu vrijednost niza brojeva, morate koristiti funkciju AVERAGE. Sintaksa za ovu funkciju je:
=Prosjek(argument1, argument2, ... argument255)
gdje su argument1, argument2, ... argument255 ili brojevi ili reference na ćelije (ćelije znače opsege i nizove).

Da bude jasnije, hajde da testiramo stečeno znanje.

1. Unesite brojeve 11, 12, 13, 14, 15, 16 u ćelije C1 - C6.
2. Odaberite ćeliju C7 klikom na nju. U ovoj ćeliji ćemo prikazati prosječnu vrijednost.
3. Kliknite na karticu "Formule".
4. Odaberite Više funkcija > Statistički za otvaranje
5. Odaberite PROSJEČNO. Nakon toga bi se trebao otvoriti dijaloški okvir.
6. Odaberite i povucite ćelije C1-C6 tamo da biste postavili raspon u dijaloškom okviru.
7. Potvrdite svoje radnje tipkom "OK".
8. Ako ste sve uradili ispravno, u ćeliji C7 bi trebalo da imate odgovor - 13.7. Kada kliknete na ćeliju C7, funkcija (=Prosjek(C1:C6)) će se prikazati u traci formule.

Vrlo je korisno koristiti ovu funkciju za računovodstvo, fakture ili kada jednostavno trebate pronaći prosjek za veoma dug raspon brojeva. Stoga se često koristi u uredima i velikim kompanijama. To vam omogućava da evidenciju vodite uredno i omogućava brzo izračunavanje nečega (na primjer, prosječni mjesečni prihod). Također možete koristiti Excel da pronađete srednju vrijednost funkcije.

Kako izračunati prosjek brojeva u Excelu

Pomoću funkcije možete pronaći aritmetičku sredinu brojeva u Excelu.

Sintaksa AVERAGE

=PROSEK(broj1,[broj2],…) - ruska verzija

Argumenti AVERAGE

• broj 1- prvi broj ili raspon brojeva, za izračunavanje aritmetičke sredine;
• broj2(Neobavezno) – drugi broj ili raspon brojeva za izračunavanje aritmetičke sredine. Maksimalan broj argumenata funkcije je 255.

Za izračunavanje uradite sljedeće korake:

• Odaberite bilo koju ćeliju;
• Napišite formulu u njemu =PROSJEČNO(
• Odaberite opseg ćelija za koji želite da napravite proračun;
• Pritisnite taster "Enter" na tastaturi

Funkcija će izračunati prosječnu vrijednost u navedenom rasponu među ćelijama koje sadrže brojeve.

Kako pronaći prosječnu vrijednost danog teksta

Ako postoje prazni redovi ili tekst u rasponu podataka, onda ih funkcija tretira kao "nula". Ako među podacima postoje logički izrazi FALSE ili TRUE, tada funkcija FALSE percipira kao “nula”, a TRUE kao “1”.

Kako pronaći aritmetičku sredinu po uslovu

Funkcija se koristi za izračunavanje prosjeka prema uvjetu ili kriteriju. Na primjer, recimo da imamo podatke o prodaji proizvoda:

Naš zadatak je izračunati prosječnu prodaju olovaka. Da bismo to učinili, poduzet ćemo sljedeće korake:

• U ćeliji A13 napišite naziv proizvoda „Olovke“;
• U ćeliji B13 unesimo formulu:

=PROSJEČNOIF(A2:A10,A13,B2:B10)

Raspon ćelija” A2:A10” ukazuje na listu proizvoda u kojima ćemo tražiti riječ “olovke”. Argument A13 ovo je link do ćelije s tekstom koji ćemo tražiti među cijelom listom proizvoda. Raspon ćelija” B2:B10” je raspon s podacima o prodaji proizvoda, među kojima će funkcija pronaći “Olovke” i izračunati prosječnu vrijednost.

Prosječna vrijednost je generalizirajući indikator koji karakteriše tipičan nivo pojave. Izražava vrijednost atributa u odnosu na jedinicu populacije.

Prosječna vrijednost je:

1) najtipičniju vrijednost atributa za populaciju;

2) obim predznaka stanovništva, ravnomjerno raspoređen na jedinice stanovništva.

Karakteristika za koju se izračunava prosječna vrijednost se u statistici naziva „prosječnom“.

Prosek uvek generalizuje kvantitativnu varijaciju osobine, tj. u prosječnim vrijednostima poništavaju se individualne razlike u jedinicama stanovništva zbog slučajnih okolnosti. Za razliku od prosjeka, apsolutna vrijednost koja karakterizira nivo obilježja pojedine jedinice populacije ne dopušta poređenje vrijednosti obilježja za jedinice koje pripadaju različitim populacijama. Dakle, ako treba da uporedite nivoe zarada radnika u dva preduzeća, onda ne možete porediti dva radnika različitih preduzeća po ovom osnovu. Plate radnika odabranih za poređenje možda nisu tipične za ova preduzeća. Ako uporedimo veličinu fondova zarada u preduzećima koja se razmatraju, onda se ne uzima u obzir broj zaposlenih i stoga je nemoguće utvrditi gde je nivo zarada veći. Na kraju krajeva, mogu se porediti samo prosjeci, tj. Koliko u svakom preduzeću u prosjeku zarađuje jedan radnik? Dakle, postoji potreba da se izračuna prosječna vrijednost kao generalizirajuća karakteristika populacije.

Važno je napomenuti da u procesu usrednjavanja zbirna vrijednost nivoa atributa ili njegova konačna vrijednost (u slučaju izračunavanja prosječnih nivoa u vremenskoj seriji) mora ostati nepromijenjena. Drugim riječima, prilikom izračunavanja prosječne vrijednosti, volumen ispitivane osobine ne bi trebao biti iskrivljen, a izrazi koji se daju prilikom izračunavanja prosjeka moraju nužno imati smisla.

Izračunavanje prosjeka je jedna uobičajena tehnika generalizacije; prosječni indikator negira ono opšte koje je tipično (tipično) za sve jedinice proučavane populacije, istovremeno zanemaruje razlike između pojedinačnih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija slučajnosti i nužnosti. Prilikom izračunavanja prosjeka, zbog djelovanja zakona velikih brojeva, slučajnost se međusobno poništava, balansira, tako da možete apstrahirati od beznačajnih karakteristika fenomena, od kvantitativnih vrijednosti atributa u svakom konkretnom slučaju. U sposobnosti da se apstrahuje od slučajnosti pojedinačnih vrednosti, fluktuacija, leži naučna vrednost proseka kao generalizujućih karakteristika agregata.

Da bi prosjek bio istinski tipičan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Zaustavimo se na nekim općim principima za primjenu prosjeka.

1. Prosjek treba odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek treba izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.

3. Prosjek treba izračunati za populaciju čije su jedinice u normalnom, prirodnom stanju.

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

5.2. Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Razmotrimo sada vrste prosjeka, karakteristike njihovog izračunavanja i područja primjene. Prosječne vrijednosti podijeljene su u dvije velike klase: prosječne snage, strukturne prosječne vrijednosti.

Prosjeci po stepenu uključuju najpoznatije i najčešće korištene tipove, kao što su geometrijska sredina, aritmetička sredina i srednji kvadrat.

Mod i medijan se smatraju strukturnim prosjecima.

Hajde da se zadržimo na prosecima snage. Prosjeci snage, u zavisnosti od prezentacije početnih podataka, mogu biti jednostavni i ponderisani. jednostavan prosek izračunava se iz negrupisanih podataka i ima sljedeći opći oblik:

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) prosječne karakteristike;

n je broj opcija.

Prosjećna težina izračunava se na osnovu grupisanih podataka i ima opšti oblik

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) prosječne karakteristike ili srednja vrijednost intervala u kojem se varijanta mjeri;

m je eksponent srednje vrijednosti;

f i - frekvencija koja pokazuje koliko puta se pojavljuje i-e vrijednost prosječne karakteristike.

Ako izračunamo sve vrste prosjeka za iste početne podatke, onda njihove vrijednosti neće biti iste. Ovdje se primjenjuje pravilo većine prosjeka: sa povećanjem eksponenta m raste i odgovarajuća prosječna vrijednost:

U statističkoj praksi, češće od drugih tipova ponderisanih prosjeka, koriste se aritmetički i harmonički ponderirani prosjeki.

Vrste moćnih sredstava

Vrsta snage srednji	Indikator stepeni (m)	Formula za izračun
		Jednostavno	ponderisano
harmonično
Geometrijski
Aritmetika
kvadratni
kubni

Harmonska sredina ima složeniju strukturu od aritmetičke sredine. Harmonična sredina se koristi za proračune kada težine nisu jedinice populacije - nosioci osobine, već proizvodi tih jedinica i vrijednosti osobine (tj. m = Xf). Prosečno vreme harmonijskog zastoja treba koristiti u slučajevima određivanja, na primer, prosečnih troškova rada, vremena, materijala po jedinici proizvodnje, po delu za dva (tri, četiri, itd.) preduzeća, radnika angažovanih u proizvodnji isti tip proizvoda, isti dio, proizvod.

Glavni zahtjev za formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti je da sve faze proračuna imaju stvarno smisleno opravdanje; rezultirajuća prosječna vrijednost treba zamijeniti pojedinačne vrijednosti atributa za svaki objekt bez prekida veze između pojedinačnih i zbirnih indikatora. Drugim riječima, prosječnu vrijednost treba izračunati na način da kada se svaka pojedinačna vrijednost prosječnog indikatora zamijeni njegovom prosječnom vrijednošću, neki konačni zbirni pokazatelj, na ovaj ili onaj način povezan sa prosječnim, ostane nepromijenjen. Ovaj rezultat se zove utvrđivanje budući da priroda njegovog odnosa sa pojedinačnim vrijednostima određuje konkretnu formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti. Pokažimo ovo pravilo na primjeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

najčešće se koristi pri izračunavanju prosječne vrijednosti pojedinačnih relativnih vrijednosti dinamike.

Geometrijska sredina se koristi ako je dat niz lančanih relativnih vrijednosti dinamike, što ukazuje, na primjer, na povećanje proizvodnje u odnosu na nivo prethodne godine: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Očigledno, obim proizvodnje u prošloj godini određen je njenim početnim nivoom (q 0) i kasnijim rastom tokom godina:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Uzimajući q n kao indikator koji određuje i zamjenjujući pojedinačne vrijednosti indikatora dinamike prosječnim, dolazimo do relacije

Odavde

Posebna vrsta prosječnih vrijednosti - strukturni prosjeci - koristi se za proučavanje unutrašnje strukture serije distribucije vrijednosti atributa, kao i za procjenu prosječne vrijednosti (vrste snage), ako, prema dostupnim statističkim podacima, njegov obračun se ne može izvršiti (npr. ako u razmatranom primeru nema podataka) i o obimu proizvodnje, i o visini troškova po grupama preduzeća).

Indikatori se najčešće koriste kao strukturni prosjeci. moda - najčešće ponavljana vrijednost karakteristike - i medijan - vrijednost značajke koja dijeli uređeni niz njegovih vrijednosti na dva dijela jednaka po broju. Kao rezultat toga, u jednoj polovini populacijskih jedinica vrijednost atributa ne prelazi srednji nivo, au drugoj polovini nije manja od njega.

Ako karakteristika koja se proučava ima diskretne vrijednosti, onda nema posebnih poteškoća u izračunavanju moda i medijana. Ako se podaci o vrijednostima atributa X prezentiraju u obliku uređenih intervala njegove promjene (intervalne serije), izračunavanje moda i medijana postaje nešto složenije. Budući da vrijednost medijane dijeli cijelu populaciju na dva dijela jednaka po broju, ona završava u jednom od intervala karakteristike X. Interpolacijom se srednja vrijednost nalazi u ovom srednjem intervalu:

,

gdje je X Me donja granica srednjeg intervala;

h Me je njegova vrijednost;

(Zbir m) / 2 - polovina ukupnog broja posmatranja ili polovina zapremine indikatora koji se koristi kao ponder u formulama za izračunavanje prosečne vrednosti (u apsolutnom ili relativnom smislu);

S Me-1 je zbir zapažanja (ili volumena ponderiranja) akumuliranih prije početka srednjeg intervala;

m Me je broj zapažanja ili volumen ponderirane karakteristike u srednjem intervalu (također u apsolutnom ili relativnom smislu).

Prilikom izračunavanja modalne vrijednosti obilježja prema podacima niza intervala, potrebno je obratiti pažnju na to da su intervali isti, budući da od toga zavisi indikator učestalosti vrijednosti svojstva X. Za intervalni niz sa jednakim intervalima, vrijednost moda se određuje kao

,

gdje je X Mo donja vrijednost modalnog intervala;

m Mo je broj zapažanja ili zapremina ponderisane karakteristike u modalnom intervalu (u apsolutnom ili relativnom smislu);

m Mo-1 - isto za interval koji prethodi modalnom;

m Mo+1 - isto za interval nakon modalnog;

h je vrijednost intervala promjene svojstva u grupama.

ZADATAK 1

Za grupu industrijskih preduzeća za izvještajnu godinu dostupni su sljedeći podaci

№ preduzeća	Obim proizvodnje, milion rubalja		Prosječan broj zaposlenih, osoba	Dobit, hiljada rubalja
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Potrebno je izvršiti grupisanje preduzeća za razmenu proizvoda u sledećim intervalima:

do 200 miliona rubalja


od 200 do 400 miliona rubalja


1. od 400 do 600 miliona rubalja
   

   Za svaku grupu i za sve zajedno odrediti broj preduzeća, obim proizvodnje, prosječan broj zaposlenih, prosječan učinak po zaposlenom. Rezultate grupisanja treba prikazati u obliku statističke tabele. Formulirajte zaključak.
   

   ODLUKA
   

   Napravimo grupisanje preduzeća za razmjenu proizvoda, obračun broja preduzeća, obima proizvodnje, prosječnog broja zaposlenih po formuli jednostavnog prosjeka. Rezultati grupisanja i proračuna su sažeti u tabeli.
   

   Grupe po obimu proizvodnje	№ preduzeća	Obim proizvodnje, milion rubalja	Prosječni godišnji trošak osnovnih sredstava, miliona rubalja	prosečan san sočan broj zaposlenih, osoba.	Dobit, hiljada rubalja	Prosječan učinak po radniku
   1 grupa do 200 miliona rubalja	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Srednji nivo		198,3			24,9
   2 grupa od 200 do 400 miliona rubalja	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Srednji nivo		282,3	37,6	1530	64,0
   3 grupa od 400 do 600 miliona	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Srednji nivo		512,9	34,4	1421	120,9
   Ukupno ukupno		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Agregatni prosjek		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Zaključak. Dakle, u posmatranom agregatu, najveći broj preduzeća u pogledu proizvodnje spada u treću grupu - sedam, odnosno polovina preduzeća. U ovoj grupi je i vrijednost prosječne godišnje vrijednosti osnovnih sredstava, kao i velika vrijednost prosječnog broja zaposlenih - 9974 lica, preduzeća prve grupe su najmanje profitabilna.
   

   ZADATAK 2
   

   Imamo sljedeće podatke o preduzećima kompanije
   

   Broj preduzeća koje pripada kompaniji	I četvrtina		II kvartal
   	Izlaz, hiljada rubalja		Radilo po radnim radnim danima	Prosječna proizvodnja po radniku dnevno, rub.
   	59390,13

Tema 5. Prosjeci kao statistički pokazatelji

Koncept prosjeka. Opseg prosječnih vrijednosti u statističkoj studiji

Prosječne vrijednosti se koriste u fazi obrade i sumiranja dobijenih primarnih statističkih podataka. Potreba za određivanjem prosječnih vrijednosti je zbog činjenice da za različite jedinice proučavanih populacija pojedinačne vrijednosti iste osobine, u pravilu, nisu iste.

Prosječna vrijednost nazovite indikator koji karakterizira generaliziranu vrijednost osobine ili grupe karakteristika u populaciji proučavanja.

Ako se proučava populacija sa kvalitativno homogenim karakteristikama, onda se prosječna vrijednost ovdje pojavljuje kao tipičan prosek. Na primjer, za grupe radnika određene djelatnosti sa fiksnim nivoom prihoda utvrđuje se tipična prosječna potrošnja na osnovne potrepštine, tj. tipični prosjek generalizira kvalitativno homogene vrijednosti atributa u datoj populaciji, što je udio troškova radnika ove grupe na esencijalna dobra.

U proučavanju populacije sa kvalitativno heterogenim karakteristikama, atipični prosječni pokazatelji mogu doći do izražaja. Takvi su, na primjer, prosječni pokazatelji proizvedenog nacionalnog dohotka po glavi stanovnika (različite starosne grupe), prosječni prinosi žitarica širom Rusije (područja različitih klimatskih zona i različite žitarice), prosječne stope nataliteta stanovništva u sve regije zemlje, prosječna temperatura za određeni period itd. Ovdje prosječne vrijednosti generaliziraju kvalitativno heterogene vrijednosti obilježja ili sistemskih prostornih agregata (međunarodna zajednica, kontinent, država, regija, okrug, itd.) ili dinamičkih agregata produženih u vremenu (stoljeće, decenija, godina, godišnje doba itd. ) . Ovi prosjeci se nazivaju sistemske proseke.

Dakle, značenje prosječnih vrijednosti sastoji se u njihovoj generalizujućoj funkciji. Prosječna vrijednost zamjenjuje veliki broj pojedinačnih vrijednosti osobine, otkrivajući zajednička svojstva svojstvena svim jedinicama populacije. Ovo, zauzvrat, omogućava izbjegavanje slučajnih uzroka i identifikaciju uobičajenih obrazaca zbog uobičajenih uzroka.

Vrste prosječnih vrijednosti i metode za njihovo izračunavanje

U fazi statističke obrade mogu se postaviti različiti istraživački zadaci za čije je rješavanje potrebno odabrati odgovarajući prosjek. U ovom slučaju potrebno je voditi se sljedećim pravilom: vrijednosti koje predstavljaju brojnik i nazivnik prosjeka moraju biti logički povezane jedna s drugom.

prosjeci snage;

strukturni proseci.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

Vrijednosti za koje se izračunava prosjek;

Prosjek, gdje linija iznad označava da se vrši usrednjavanje pojedinačnih vrijednosti;

Učestalost (ponovljivost vrijednosti pojedinačnih osobina).

Različite sredine su izvedene iz opšte formule srednje vrednosti snage:

(5.1)

za k = 1 - aritmetička sredina; k = -1 - harmonijska sredina; k = 0 - geometrijska sredina; k = -2 - srednji kvadrat.

Prosjeci su jednostavni ili ponderisani. ponderisani proseci nazivaju se količine koje uzimaju u obzir da neke varijante vrijednosti atributa mogu imati različite brojeve, pa se stoga svaka varijanta mora pomnožiti s tim brojem. Drugim riječima, "težine" su brojevi jedinica stanovništva u različitim grupama, tj. svaka opcija je "ponderisana" svojom frekvencijom. Frekvencija f se zove statistička težina ili prosjek težine.

Aritmetička sredina- najčešći tip medija. Koristi se kada se proračun vrši na negrupisanim statističkim podacima, gdje se želi dobiti prosječan sabir. Aritmetička sredina je takva prosječna vrijednost obilježja, po prijemu koje ukupan obim obilježja u populaciji ostaje nepromijenjen.

Formula aritmetičke sredine (jednostavna) ima oblik

gdje je n veličina populacije.

Na primjer, prosječna plata zaposlenih u preduzeću izračunava se kao aritmetički prosjek:

Odlučujući indikatori ovde su plate svakog zaposlenog i broj zaposlenih u preduzeću. Prilikom izračunavanja prosjeka ukupan iznos zarada je ostao isti, ali raspoređen, takoreći, jednako na sve radnike. Na primjer, potrebno je izračunati prosječnu platu zaposlenih u maloj kompaniji u kojoj je zaposleno 8 ljudi:

Prilikom izračunavanja prosjeka, pojedinačne vrijednosti atributa koji se prosječuje mogu se ponoviti, pa se prosjek izračunava pomoću grupisanih podataka. U ovom slučaju govorimo o korištenju ponderisana aritmetička sredina, što izgleda

(5.3)

Dakle, treba da izračunamo prosječnu cijenu dionica akcionarskog društva na berzi. Poznato je da su transakcije obavljene u roku od 5 dana (5 transakcija), a broj prodatih akcija po prodajnom kursu je raspoređen na sledeći način:

1 - 800 ak. - 1010 rubalja

2 - 650 ak. - 990 rub.

3 - 700 ak. - 1015 rubalja.

4 - 550 ak. - 900 rub.

5 - 850 ak. - 1150 rubalja.

Početni omjer za određivanje prosječne cijene dionice je omjer ukupnog iznosa transakcija (TCA) i broja prodatih dionica (KPA):

OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

U ovom slučaju, prosječna cijena dionice bila je jednaka

Neophodno je poznavati svojstva aritmetičke sredine, što je veoma važno kako za njenu upotrebu, tako i za njeno izračunavanje. Tri su glavna svojstva koja su najviše dovela do široke upotrebe aritmetičke sredine u statističkim i ekonomskim proračunima.

Svojstvo jedan (nula): zbir pozitivnih odstupanja pojedinačnih vrijednosti osobine od srednje vrijednosti jednak je zbiru negativnih odstupanja. Ovo je vrlo važno svojstvo, jer pokazuje da će se sva odstupanja (i sa + i sa -) zbog slučajnih uzroka međusobno poništavati.

dokaz:

Drugo svojstvo (minimum): zbir kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti atributa od aritmetičke sredine je manji nego od bilo kojeg drugog broja (a), tj. je minimalni broj.

Dokaz.

Sastavite zbir kvadrata odstupanja od varijable a:

(5.4)

Da bi se pronašao ekstremum ove funkcije, potrebno je njenu derivaciju u odnosu na a izjednačiti sa nulom:

Odavde dobijamo:

(5.5)

Stoga se ekstremum zbira kvadrata odstupanja postiže na . Ovaj ekstrem je minimum, jer funkcija ne može imati maksimum.

Treće svojstvo: aritmetička sredina konstante jednaka je ovoj konstanti: pri a = const.

Pored ova tri najvažnija svojstva aritmetičke sredine, postoje i tzv svojstva dizajna, koji zbog upotrebe elektronskih računara postepeno gube na značaju:

ako se pojedinačna vrijednost predznaka svake jedinice pomnoži ili podijeli sa konstantnim brojem, tada će se aritmetička sredina povećati ili smanjiti za isti iznos;

aritmetička sredina se neće promijeniti ako se težina (učestalost) svake vrijednosti karakteristike podijeli sa konstantnim brojem;

ako se pojedinačne vrijednosti atributa svake jedinice smanjuju ili povećavaju za isti iznos, tada će se aritmetička sredina smanjiti ili povećati za isti iznos.

Prosječni harmonik. Ovaj prosjek se naziva recipročnim aritmetičkim prosjekom, jer se ova vrijednost koristi kada je k = -1.

Jednostavna harmonijska sredina koristi se kada su težine karakterističnih vrijednosti iste. Njegova formula se može izvesti iz osnovne formule zamjenom k ​​= -1:

Na primjer, trebamo izračunati prosječnu brzinu dva automobila koji su prošli isti put, ali različitim brzinama: prvi 100 km/h, drugi 90 km/h. Koristeći metodu harmonijske sredine izračunavamo prosječnu brzinu:

U statističkoj praksi češće se koristi harmonijsko ponderisanje čija formula ima oblik

Ova formula se koristi u slučajevima kada težine (ili zapremine fenomena) za svaki atribut nisu jednake. U originalnom omjeru, brojilac je poznat za izračunavanje prosjeka, ali je imenilac nepoznat.

Prosta aritmetička sredina je prosječan pojam, u kojem se određuje ukupni volumen datog atributa agregati podaci su podjednako raspoređeni među svim jedinicama uključenim u ovaj skup. Dakle, prosječna godišnja proizvodnja po radniku je takva vrijednost obima proizvodnje koja bi pala na svakog zaposlenog da je cjelokupni obim proizvodnje jednako raspoređen na sve zaposlene u organizaciji. Prosta aritmetička srednja vrijednost izračunava se po formuli:

jednostavna aritmetička sredina- Jednako omjeru zbira pojedinačnih vrijednosti atributa i broja atributa u zbiru

Primjer 1. Tim od 6 radnika prima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 hiljada rubalja mjesečno.

Pronađite prosječnu platu Rješenje: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 hiljade rubalja.

Aritmetički ponderisani prosjek

Ako je volumen skupa podataka velik i predstavlja seriju distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderisana prosečna cena po jedinici proizvodnje: ukupni trošak proizvodnje (zbir proizvoda njene količine i cene jedinice proizvodnje) se deli sa ukupnom količinom proizvodnje.

Ovo predstavljamo u obliku sljedeće formule:

Ponderisana aritmetička sredina- jednak je omjeru (zbir proizvoda vrijednosti atributa na učestalost ponavljanja ovog atributa) prema (zbir frekvencija svih atributa). Koristi se kada se varijante proučavane populacije javljaju nejednak broj puta.

Primjer 2. Pronađite prosječne mjesečne plate radnika u radnji

Plata jednog radnika hiljadu rubalja; X	Broj radnika F

Prosječna plata se može dobiti dijeljenjem ukupne plate sa ukupnim brojem radnika:

Odgovor: 3,35 hiljada rubalja.

Aritmetička sredina za intervalni niz

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija, prvo odredite prosjek za svaki interval kao polovični zbir gornje i donje granice, a zatim prosjek cijele serije. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala je određena vrijednošću intervala koji su im susjedni.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni.

Primjer 3. Odrediti prosječnu starost učenika na večernjem odjeljenju.

Starost u godinama!!x??	Broj učenika	Intervalna sredina	Umnožak sredine intervala (starosti) i broja učenika
		(18 + 20) / 2 =19 18 u ovom slučaju, granica donjeg intervala. Izračunato kao 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 ili više		(30 + 34) / 2 = 32

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stepen njihove aproksimacije zavisi od toga koliko je stvarna distribucija jedinica stanovništva unutar intervala ujednačena.

Prilikom izračunavanja prosjeka, ne samo apsolutne, već i relativne vrijednosti (učestalost) mogu se koristiti kao težine.