Objašnjenje teme transformacija izraza koji sadrže kvadratne korijene. Korištenje svojstava korijena pri transformaciji iracionalnih izraza, primjera, rješenja

Video lekcija "Transformacija izraza koja sadrži operaciju vađenja kvadratnog korijena" je vizualno pomagalo uz koje nastavnik lakše formira vještine i sposobnosti u rješavanju zadataka koji sadrže izraze s kvadratnim korijenom. Tokom lekcije podsjećaju se teorijske osnove koje služe kao osnova za izvođenje operacija nad brojevima i varijablama koje se nalaze u korijenskom izrazu, rješavanje mnogih vrsta problema koji mogu zahtijevati sposobnost korištenja formula za pretvaranje izraza koji sadrže kvadrat opisan je korijen, date su metode za otklanjanje iracionalnosti u nazivniku razlomka.

Video tutorijal počinje demonstracijom naslova teme. Napominje se da su ranije u nastavi vršene transformacije racionalnih izraza. Istovremeno su korištene teorijske informacije o monomima i polinomima, metode rada s polinomima, algebarski razlomci, kao i skraćene formule za množenje. Ovaj video vodič uvodi uvođenje operacije kvadratnog korijena za transformaciju izraza. Učenici se podsjećaju na svojstva operacije kvadratnog korijena. Među ovim svojstvima je naznačeno da se nakon vađenja kvadratnog korijena iz kvadrata broja dobije sam broj, korijen proizvoda dva broja jednak je proizvodu dva korijena ovih brojeva, korijenu broja količnik dva broja jednak je količniku korijena članova količnika. Posljednje svojstvo koje se razmatra je ekstrakcija kvadratnog korijena broja podignutog na paran stepen √a 2 n , koji kao rezultat formira broj na stepen a n . Razmatrana svojstva vrijede za sve nenegativne brojeve.

Razmatraju se primjeri u kojima su potrebne transformacije izraza koji sadrže kvadratni korijen. Naznačeno je da je u ovim primjerima predviđeno da su a i b nenegativni brojevi. U prvom primjeru potrebno je pojednostaviti izraze √16a 4 /9b 4 i √a 2 b 4 . U prvom slučaju se primjenjuje svojstvo koje određuje da je kvadratni korijen proizvoda dva broja jednak proizvodu njihovih korijena. Kao rezultat transformacije dobija se izraz ab 2. Drugi izraz koristi formulu za pretvaranje kvadratnog korijena količnika u količnik korijena. Rezultat transformacije je izraz 4a 2 /3b 3 .

U drugom primjeru potrebno je ukloniti faktor ispod znaka kvadratnog korijena. Razmatra se rješenje izraza √81a, √32a 2 , √9a 7 b 5. Na primjeru transformacije četiri izraza pokazano je kako se za rješavanje ovakvih problema koristi formula za transformaciju korijena proizvoda više brojeva. Istovremeno, posebno se beleže slučajevi kada izrazi sadrže numeričke koeficijente, parametre u parnom, neparnom stepenu. Kao rezultat transformacije dobijaju se izrazi √81a=9√a, √32a 2 =4a√2, √9a 7 b 5 =3a 3 b 2 √ab.

U trećem primjeru potrebno je izvršiti operaciju suprotnu onoj u prethodnom zadatku. Za unos faktora ispod predznaka kvadratnog korijena potrebno je također znati koristiti proučavane formule. U izrazima 2√2 i 3a√b/√3a predlaže se uvođenje množitelja ispred zagrada ispod predznaka korijena. Koristeći dobro poznate formule, faktor ispred znaka korena se kvadrira i stavlja kao faktor u proizvod ispod predznaka korena. U prvom izrazu, kao rezultat transformacije, dobija se izraz √8. U drugom izrazu, formula konja proizvoda se prvo koristi za pretvaranje brojnika, a zatim se formula privatnog korijena koristi za pretvaranje cijelog izraza. Nakon smanjenja brojnika i nazivnika u radikalnom izrazu, dobije se √3ab.

U primjeru 4, potrebno je izvršiti radnje u izrazima (√a+√b)(√a-√b). Da bi se riješio ovaj izraz, uvode se nove varijable koje zamjenjuju monome koji sadrže predznak korijena √a=x i √b=y. nakon zamjene novih varijabli očigledna je mogućnost korištenja skraćene formule množenja, nakon čega izraz poprima oblik x 2 -y 2. Vraćajući se na originalne varijable, dobijamo a-b. Drugi izraz (√a+√b) 2 se takođe može pretvoriti pomoću formule za redukovano množenje. Nakon proširenja zagrada dobijamo rezultat a+2√ab+b.

U primjeru 5, izrazi 4a-4√ab+b i x√x+1 su faktorizovani. Za rješavanje ovog problema potrebno je izvršiti transformacije, odabrati zajedničke faktore. Nakon primjene svojstava kvadratnog korijena za rješavanje prvog izraza, zbir se pretvara u kvadrat razlike (2√a-√b) 2 . Za rješavanje drugog izraza potrebno je upisati množitelj ispod korijena prije predznaka korijena, a zatim primijeniti formulu za zbir kocki. Rezultat transformacije je izraz (√x+1)(x 2 -√x+1).

Primjer 6 pokazuje rješenje zadatka gdje je potrebno pojednostaviti izraz (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a). Problem se rješava u četiri koraka. U prvom koraku, brojilac se pretvara u proizvod koristeći skraćenu formulu množenja - zbir kocki dva broja. U drugom koraku transformira se imenilac izraza koji ima oblik a-√3a+3. Nakon konverzije, postaje moguće smanjiti frakciju. U posljednjem koraku se također primjenjuje formula reduciranog množenja, što pomaže da se dobije konačni rezultat a-3.

U sedmom primjeru, potrebno je riješiti se kvadratnog korijena u nazivnicima razlomaka 1/√2 i 1/(√3-√2). Prilikom rješavanja zadatka koristi se glavno svojstvo razlomka. Da biste se riješili korijena u nazivniku, brojilac i nazivnik se množe istim brojem, što kvadrira korijen izraz. Kao rezultat proračuna, dobijamo 1/√2=√2/2 i 1/(√3-√2)=√3+√2.

Karakteristike matematičkog jezika su naznačene kada se radi s izrazima koji sadrže korijen. Primjećuje se da sadržaj kvadratnog korijena u nazivniku razlomka znači sadržaj iracionalnosti. A oslobađanje od predznaka korijena u takvom nazivniku se kaže da je oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku. Opisane su metode kako se riješiti iracionalnosti - da bi se imenilac oblika √a transformirao, potrebno je brojnik istovremeno sa nazivnikom pomnožiti brojem √a, a eliminirati iracionalnost za imenilac oblika √a -√b, brojilac i imenilac se množe konjugiranim izrazom √a+√ b. Primjećuje se da oslobađanje od iracionalnosti u takvom nazivniku uvelike olakšava rješavanje problema.

Na kraju video tutorijala, razmatra se pojednostavljenje izraza 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Da bismo pojednostavili izraz, primjenjuju se gore navedene metode rješavanja iracionalnosti u nazivniku razlomaka. Dobijeni izrazi se dodaju, nakon čega pojednostavljeni oblik izraza izgleda kao √5-2√3.

Video lekciju "Konverzija izraza koji sadrži operaciju vađenja kvadratnog korijena" preporučujemo koristiti na tradicionalnom školskom času za razvijanje vještina za rješavanje zadataka koji sadrže kvadratni korijen. U istu svrhu, video može koristiti nastavnik u toku učenja na daljinu. Takođe, materijal se može preporučiti studentima za samostalan rad kod kuće.

Odjeljci: Matematika

Ciljevi lekcije:

Ponovite definiciju aritmetičkog kvadratnog korijena, svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena.
Sumirati i sistematizovati znanja učenika o ovoj temi.
Učvrstiti vještine i sposobnosti rješavanja primjera za identične transformacije izraza koji sadrže aritmetičke kvadratne korijene.
Dati svakom učeniku priliku da razvije svoj potencijal u najvećoj mogućoj mjeri.
Proširite njihove vidike i upoznajte učenike sa matematičarima srednjeg vijeka.

Vrsta lekcije: praktična lekcija.

Oprema za nastavu: materijali, kreda u boji, grafoskop, portret Renea Descartesa, posteri sa formulama.

Tokom nastave

I.Organiziranje vremena.

Tema naše lekcije je "Konverzija izraza koji sadrže aritmetičke kvadratne korijene." Danas ćemo u lekciji ponoviti pravila za pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene. To uključuje transformaciju korijena iz proizvoda, razlomka i stepena, množenje i dijeljenje korijena, vađenje faktora iz predznaka korijena, stavljanje faktora u znak korijena, dovođenje sličnih pojmova i oslobađanje od iracionalnosti u imenilac razlomka.

II. Usmena anketa o teoriji.

Definirajte aritmetički kvadratni korijen. ( Aritmetički kvadratni korijen od a je nenegativan broj čiji je kvadrat a).
Navedite svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena. ( Aritmetički kvadratni korijen proizvoda nenegativnih faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora. Aritmetički kvadratni korijen razlomka čiji je brojilac nenegativan i čiji je imenilac pozitivan jednak je korijenu brojila podijeljenog s korijenom nazivnika).
Kolika je vrijednost aritmetičkog kvadratnog korijena od x 2? ( |x| ).
Kolika je vrijednost aritmetičkog kvadratnog korijena od x 2 ako je x≥0? X<0? (X. -X).

III. usmeni rad. (Napisano na tabli).

Pronađite vrijednost korijena:

Pronađite vrijednost izraza:

Unesite množitelj ispod predznaka korijena:

uporedi:

IV. Razvoj znanja o temi. (Na stolovima svaki list sa zadacima).

1. Preduzmite akciju.

Kako ćemo riješiti primjere a i b? ( Otvorite zagrade, dajte slične uslove).
Kako ćemo riješiti primjere c i d? ( Primijenite formulu razlike kvadrata).
Kako ćemo riješiti primjere e i e? ( Uzimamo faktor iz predznaka korijena i dajemo slične pojmove).






	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Učenici prate opcije u svojim sveskama, 6 učenika rješava 1 primjer na zadnjoj tabli).

– Provjera kroz grafički projektor. Svaki odgovor odgovara određenom slovu. Rezultat je riječ: Descartes.

V. Istorijska referenca.

Učenik daje kratku prezentaciju.

Godine 1626. holandski matematičar A. Shirar uveo je notaciju za korijen V, blisku modernom. Ako je broj 2 stajao iznad ovog znaka, to je značilo kvadratni korijen, ako je 3 - kubni. Ova oznaka počela je zamjenjivati znak Rx. Međutim, dugo vremena su pisali Va + b vodoravnom linijom iznad zbroja. Tek je 1637. Rene Descartes povezao korijenski znak s horizontalnom linijom, koristeći moderni korijenski znak u svojoj Geometriji. Ovaj znak je ušao u opštu upotrebu tek početkom 18. veka. ( Na tabli - portret Rene Descartesa, crtež).

VI. Razvoj znanja o temi.

2. Factor out.

a i b - proširimo formulom razlike kvadrata, c i d - koristeći definiciju aritmetičkog kvadratnog korijena, zamijenimo 7 i 13 kvadratima iz kvadratnih korijena, a zatim izvadimo zajednički faktor iz zagrada).

a) a - 9, a≥0
b) 16 – c, c≥0

Učenici rješavaju u sveskama prema opcijama, 2 osobe (po jedan iz svake opcije) odlučuju za tablom.

- Ispit.

3. Smanjite razlomak.

Kako ćemo izvršiti ovaj zadatak? ( Faktoriziramo ili brojnik ili imenilac, a zatim smanjimo).

Učenici odlučuju u sveskama prema opcijama, 4 osobe odlučuju na tabli. Primjeri e i f dodatno odlučuju ko će stići na vrijeme.

- Ispit.

4. Oslobodite se iracionalnosti u nazivniku razlomka.

Šta ćemo raditi na ovom zadatku? ( Razlomak transformiramo tako da nazivnik ne sadrži kvadratni korijen: a i b pomnožit ćemo i brojnik i imenilac kvadratnim korijenom zapisanim u nazivniku; c i d ćemo pomnožiti sa zbirom ili razlikom izraza zapisanog u nazivniku da bismo dobili razliku kvadrata).

Učenici odlučuju po opcijama, 2 osobe rješavaju 2 primjera na tabli.

- Ispit.

VII. Pisanje testova.

Svi na svojim stolovima imaju list sa testnim zadacima ( Prilog 1). Potpisali su list i izvršili zadatke u istom listu. Nakon što su napisani rad, predali su ga, provjerili odgovore i preko grafičkog projektora otkrili zašto je to tako.

VIII. Zadaća. With. 109 br. 503 (a–d), 504.

Materijal ovog članka treba uzeti u obzir kao dio teme transformacije iracionalnih izraza. Ovdje ćemo, koristeći primjere, analizirati sve suptilnosti i nijanse (kojih ima mnogo) koje nastaju prilikom izvođenja transformacija na temelju svojstava korijena.

Navigacija po stranici.

Prisjetite se svojstava korijena

Budući da ćemo se baviti transformacijom izraza koristeći svojstva korijena, ne škodi zapamtiti glavne, ili još bolje, zapisati ih na papir i staviti ispred sebe.

Prvo se proučavaju kvadratni korijeni i njihova sljedeća svojstva (a, b, a 1, a 2, ..., a k su realni brojevi):

A kasnije se proširuje ideja o korijenu, uvodi se definicija korijena n-tog stepena i razmatraju se takva svojstva (a, b, a 1, a 2, ..., a k su realni brojevi, m, n, n 1, n 2, ... , n k - prirodni brojevi):

Pretvaranje izraza s brojevima pod predznacima korijena

Kao i obično, prvo uče raditi s numeričkim izrazima, a tek nakon toga prelaze na izraze s varijablama. Uradićemo isto, a prvo ćemo se pozabaviti transformacijom iracionalnih izraza koji sadrže samo numeričke izraze pod predznacima korena, a već dalje u sledećem paragrafu ćemo uvesti varijable pod predznacima korena.

Kako se ovo može koristiti za transformaciju izraza? Vrlo jednostavno: na primjer, možemo zamijeniti iracionalan izraz izrazom, ili obrnuto. Odnosno, ako konvertovani izraz sadrži izraz koji odgovara izrazu iz lijevog (desnog) dijela bilo kojeg od navedenih svojstava korijena, tada se može zamijeniti odgovarajućim izrazom iz desnog (lijevog) dijela. Ovo je transformacija izraza korištenjem svojstava korijena.

Uzmimo još nekoliko primjera.

Hajde da pojednostavimo izraz . Brojevi 3, 5 i 7 su pozitivni, tako da možemo sigurno primijeniti svojstva korijena. Ovdje možete postupiti drugačije. Na primjer, korijen zasnovan na svojstvu može se predstaviti kao , a korijen zasnovan na svojstvima sa k=3 kao , s ovim pristupom, rješenje će izgledati ovako:

Bilo je moguće učiniti drugačije, zamijenivši sa , a zatim sa , u ovom slučaju bi rješenje izgledalo ovako:

Moguća su i druga rješenja, na primjer:

Pogledajmo još jedan primjer. Hajde da transformišemo izraz. Gledajući listu svojstava korijena, iz nje biramo svojstva koja su nam potrebna za rješavanje primjera, jasno je da su dva od njih i ovdje korisna, koja vrijede za bilo koji a . Imamo:

Alternativno, možete prvo transformirati izraze pod korijenskim znakovima koristeći

a zatim primijeniti svojstva korijena

Do ove tačke smo konvertovali izraze koji sadrže samo kvadratne korijene. Vrijeme je za rad s korijenima koji imaju druge pokazatelje.

Primjer.

Transformirajte iracionalni izraz .

Rješenje.

Po imovini prvi faktor datog proizvoda može se zamijeniti brojem −2:

Pomakni se. Drugi faktor zbog imovine može se predstaviti kao, i ne škodi 81 zamijeniti četverostrukim stepenom tri, jer se broj 3 pojavljuje u preostalim faktorima pod znacima korijena:

Preporučljivo je zamijeniti korijen razlomka omjerom korijena oblika , koji se može dalje transformirati: . Imamo

Rezultirajući izraz nakon izvođenja operacija s dvojkama poprimiće oblik , i ostaje transformirati proizvod korijena.

Za transformaciju proizvoda korijena, oni se obično svode na jedan indikator, za koji je preporučljivo uzeti indikatore svih korijena. U našem slučaju, LCM(12, 6, 12)=12, i samo će se korijen morati svesti na ovaj indikator, pošto druga dva korijena već imaju takav indikator. Za rješavanje ovog zadatka omogućava jednakost, koja se primjenjuje s desna na lijevo. Dakle . S obzirom na ovaj rezultat, imamo

Sada se proizvod korijena može zamijeniti korijenom proizvoda i preostale, već očigledne, transformacije se mogu izvesti:

Napravimo kratku verziju rješenja:

odgovor:

Posebno ističemo da je za primjenu svojstava korijena potrebno uzeti u obzir ograničenja nametnuta brojevima pod predznacima korijena (a≥0, itd.). Njihovo zanemarivanje može dovesti do pogrešnih rezultata. Na primjer, znamo da svojstvo vrijedi za nenegativno a . Na osnovu toga možemo sigurno ići, na primjer, od do, jer je 8 pozitivan broj. Ali ako uzmemo smisleni korijen negativnog broja, na primjer, , i, na osnovu gornjeg svojstva, zamijenimo ga sa , tada ćemo zapravo zamijeniti −2 sa 2 . Zaista, , a . To jest, za negativno a, jednakost može biti netačna, kao što druga svojstva korijena mogu biti lažna bez uzimanja u obzir uvjeta koji su navedeni za njih.

Ali ono što je rečeno u prethodnom pasusu uopće ne znači da se izrazi s negativnim brojevima ispod predznaka korijena ne mogu transformirati korištenjem svojstava korijena. Samo ih je potrebno prethodno “pripremiti” primjenom pravila operacija s brojevima ili korištenjem definicije korijena neparnog stepena iz negativnog broja, što odgovara jednakosti , gdje je −a negativan broj (u ovom slučaju, a je pozitivan). Na primjer, ne može se odmah zamijeniti s , budući da su −2 i −3 negativni brojevi, ali nam omogućava da se pomaknemo od korijena do , a zatim primijenimo svojstvo korijena iz proizvoda: . A u jednom od prethodnih primjera bilo je potrebno preći od korijena do korijena osamnaestog stepena , i tako .

Dakle, potrebno je da transformišete izraze koristeći svojstva korijena

izaberite odgovarajuću nekretninu sa liste,
pobrinite se da brojevi ispod korijena zadovoljavaju uvjete za odabrano svojstvo (u suprotnom morate izvršiti preliminarne transformacije),
i izvršiti planiranu transformaciju.

Pretvaranje izraza s varijablama pod predznacima korijena

Za transformaciju iracionalnih izraza koji sadrže ne samo brojeve već i varijable pod predznakom korijena, svojstva korijena navedena u prvom paragrafu ovog članka moraju se pažljivo primijeniti. To je uglavnom zbog uslova koje moraju zadovoljiti brojevi uključeni u formule. Na primjer, na osnovu formule, izraz se može zamijeniti izrazom samo za one x vrijednosti koje zadovoljavaju uslove x≥0 i x+1≥0, pošto je navedena formula postavljena za a≥0 i b≥ 0 .

Koja je opasnost od ignorisanja ovih uslova? Odgovor na ovo pitanje jasno pokazuje sljedeći primjer. Recimo da trebamo izračunati vrijednost izraza kada je x=−2. Ako odmah zamijenimo broj −2 umjesto varijable x, onda ćemo dobiti vrijednost koja nam je potrebna . A sada zamislimo da smo, na osnovu nekih razmatranja, konvertovali dati izraz u oblik i tek nakon toga odlučili izračunati vrijednost. Zamjenjujemo broj −2 umjesto x i dolazimo do izraza , što nema smisla.

Hajde da pogledamo šta se dešava sa opsegom važećih vrednosti (ODV) varijable x dok se krećemo od izraza do izraza. ODZ smo spomenuli ne slučajno, jer je ovo ozbiljan alat za kontrolu prihvatljivosti izvršenih transformacija, a promjena ODZ-a nakon transformacije izraza bi barem trebala upozoriti. Nije teško pronaći ODZ za ove izraze. Za izraz, ODZ je određen iz nejednakosti x (x+1)≥0, njegovo rješenje daje numerički skup (−∞, −1]∪∪)