Vrlo kratka istorija rješavanja kvadratnih jednačina. Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju

Iz istorije nastanka kvadratnih jednačina

Algebra je nastala u vezi s rješavanjem raznih problema korištenjem jednadžbi. Obično je u zadacima potrebno pronaći jednu ili više nepoznanica, uz poznavanje rezultata nekih radnji izvršenih na željenim i datim veličinama. Takvi se problemi svode na rješavanje jedne ili sistema od više jednačina, na pronalaženje željenih uz pomoć algebarskih operacija nad datim veličinama. Algebra proučava opšta svojstva akcija na veličine.

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednačina bile su poznate još prije 4000 godina u starom Babilonu.

Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Babilonci su znali kako riješiti kvadratne jednačine oko 2000. godine prije Krista. Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, navedeno u vavilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih sastavljanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 2. "Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96."

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka slijedi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov proizvod bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovina njihovog zbira, tj. .10 + x. Drugi je manji, tj. 10 - x. Razlika između njih je 2x. Otuda jednačina:

(10+x)(10-x)=96,

Otuda je x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12, drugi je 8. Rešenje x = - 2 za Diofanta ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako riješimo ovaj problem, odabirom jednog od nepoznatih brojeva kao nepoznatog, možemo doći do rješenja jednadžbe:

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednačine.

Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskoj raspravi Aryabhattam, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>

U jednačini (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

U Indiji su javna takmičenja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.“ Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednačina.

Jednačina koja odgovara problemu 3 je:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 na obje strane, dobivajući tada:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmijeve kvadratne jednadžbe

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki broju“, tj. ax2 = c.

3) "Korijeni su jednaki broju", odnosno sjekira \u003d c.

4) “Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima”, odnosno ax2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c.

6) “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimanje. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulu rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Uzmimo primjer.

Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen ”(podrazumijeva se korijen jednadžbe x2 + 21 = 10x).

Rješenje: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostane 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Al-Khwarizmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

Kvadratne jednačine u EvropiXII- XVIIin.

Forme za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu Al-Khwarizmija u Evropi su prvi put opisane u "Knjizi Abacusa", napisanoj 1202. godine. Italijanski matematičar Leonard Fibonači. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz ove knjige preneti su u skoro sve evropske udžbenike 14.-17. veka. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bx = c sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulisao je u Evropi 1544. godine M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. uzeti u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik..

Poreklo algebarskih metoda za rešavanje praktičnih problema povezano je sa naukom antičkog sveta. Kao što je poznato iz istorije matematike, značajan deo problema matematičke prirode, koje su rešavali egipatski, sumerski, vavilonski pisari-računari (XX-VI vek pre nove ere), imao je proračunsku prirodu. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima je željena vrijednost veličine određena nekim indirektnim uvjetima, koji su zahtijevali, sa naše moderne tačke gledišta, formulaciju jednačine ili sistema jednačina. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Kasnije su se počeli formirati počeci algebarskih reprezentacija. Na primjer, babilonski kalkulatori su mogli riješiti probleme koji se, sa stanovišta moderne klasifikacije, svode na jednačine drugog stepena. Stvorena je metoda za rješavanje tekstualnih zadataka, koja je kasnije poslužila kao osnova za isticanje algebarske komponente i njeno samostalno proučavanje.

Ovu studiju su već izveli u neko drugo doba, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X stoljeće nove ere), koji su izdvojili karakteristične radnje kojima se jednačine svode na standardni oblik, redukciju sličnih članova, prijenos pojmova iz jednog dijela jednačina na drugu sa promjenom predznaka. A onda su evropski matematičari renesanse, kao rezultat dugog traganja, stvorili jezik moderne algebre, upotrebu slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prelazu iz 16. 17. vijeka. Algebra kao poseban dio matematike, koji ima svoj predmet, metodu, područja primjene, već je formirana. Njegov dalji razvoj, do našeg vremena, sastojao se u poboljšanju metoda, proširenju obima primjene, razjašnjavanju pojmova i njihovih veza sa pojmovima drugih grana matematike.

Dakle, s obzirom na važnost i obimnost materijala koji je povezan sa konceptom jednačine, njeno proučavanje u savremenoj metodologiji matematike povezano je sa tri glavna područja njenog nastanka i funkcionisanja.

Da biste riješili bilo koju kvadratnu jednačinu, morate znati:

formula za pronalaženje diskriminanta;

formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe;

· Algoritmi za rješavanje jednačina ovog tipa.

rješavati nepotpune kvadratne jednadžbe;

riješiti potpune kvadratne jednadžbe;

riješiti date kvadratne jednačine;

pronaći greške u riješenim jednačinama i ispraviti ih;

Proveri.

Rješenje svake jednadžbe sastoji se od dva glavna dijela:

transformacija ove jednadžbe u najjednostavnije;

rješavanje jednačina prema poznatim pravilima, formulama ili algoritmima.

Generalizacija metoda aktivnosti učenika u rješavanju kvadratnih jednačina odvija se postepeno. Prilikom proučavanja teme "Kvadratne jednadžbe" mogu se razlikovati sljedeće faze:

Faza I - "Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi."

Faza II - "Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi."

Faza III - "Rješenje redukovane kvadratne jednadžbe."

U prvoj fazi razmatraju se nepotpune kvadratne jednadžbe. Pošto su u početku matematičari naučili rješavati nepotpune kvadratne jednadžbe, jer za to nisu morali ništa, kako kažu, izmišljati. Ovo su jednadžbe oblika: ax2 = 0, ax2 + c = 0, gdje je c≠ 0, ax2 + bx = 0, gdje je b ≠ 0. Razmotrimo rješenje nekoliko ovih jednačina:

1. Ako je ax2 = 0. Jednačine ovog tipa rješavaju se prema algoritmu:

1) naći x2;

2) naći x.

Na primjer, 5x2 = 0. Podijeleći obje strane jednačine sa 5, ispada: x2 = 0, dakle x = 0.

2. Ako je ax2 + c = 0, c≠ 0 Jednačine ovog tipa rješavaju se prema algoritmu:

1) pomeriti pojmove na desnu stranu;

2) pronaći sve brojeve čiji su kvadrati jednaki broju c.

Na primjer, x2 - 5 = 0, Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi x2 = 5. Dakle, morate pronaći sve brojeve čiji su kvadrati jednaki broju 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> i nema drugih korijena.

3. Ako je ah2 + bh = 0, b ≠ 0. Jednačine ove vrste se rješavaju prema algoritmu:

1) pomeriti zajednički faktor iz zagrada;

2) naći x1, x2.

Na primjer, x2 - 3x = 0. Prepišimo jednačinu x2 - 3x = 0 u obliku x (x - 3) = 0. Ova jednadžba očito ima korijene x1 = 0, x2 = 3. nema drugih korijena, jer ako u zamjenu za bilo koji broj osim nule i 3 umjesto x, tada na lijevoj strani jednadžbe x (x - 3) = 0 dobivate broj koji nije jednak nuli.

Dakle, ovi primjeri pokazuju kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe:

1) ako jednačina ima oblik ax2 = 0, tada ima jedan korijen x = 0;

2) ako jednačina ima oblik ax2 + bx = 0, tada se koristi metoda faktorizacije: x (ax + b) = 0; dakle ili x = 0 ili ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> U slučaju -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdje je m>0, jednadžba x2 = m ima dva korijena

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (u ovom slučaju je dozvoljena kraća oznaka =.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba može imati dva korijena, jedan korijen, bez korijena.

U drugoj fazi se vrši prijelaz na rješenje potpune kvadratne jednadžbe. To su jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c dati brojevi, a ≠ 0, x je nepoznata.

Svaka potpuna kvadratna jednadžba se može pretvoriti u oblik , kako bi se odredio broj korijena kvadratne jednadžbe i pronašao te korijene. Razmatraju se sljedeći slučajevi rješavanja potpunih kvadratnih jednačina: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Ako D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Na primjer, 2x2 + 4x + 7 = 0. Rješenje: ovdje je a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Od D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima jedan korijen, koji se nalazi po formuli.

Na primjer, 4x - 20x + 25 = 0. Rješenje: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac = (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 \u003d 0.

Pošto je D = 0, ova jednadžba ima jedan korijen. Ovaj korijen se nalazi pomoću formule ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Sastavljen je algoritam za rješavanje jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0.

1. Izračunajte diskriminanta D koristeći formulu D = b2 - 4ac.

2. Ako D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji se nalazi po formuli

4..gif" width="101" height="45">.

Ovaj algoritam je univerzalan, primjenjiv je i na nepotpune i na potpune kvadratne jednadžbe. Međutim, nepotpune kvadratne jednadžbe se obično ne rješavaju ovim algoritmom.

Matematičari su praktični, ekonomični ljudi, pa koriste formulu: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> ima isti predznak kao D..gif" width="89" height="49"> tada jednadžba (3) ima dva korijena;

2) ako tada jednačina ima dva podudarna korijena;

3) ako tada jednačina nema korijena.

Važna tačka u proučavanju kvadratnih jednadžbi je razmatranje Vietine teoreme, koja navodi postojanje veze između korena i koeficijenata redukovane kvadratne jednačine.

Vietin teorem. Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

Drugim riječima, ako su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0, tada

Ove formule se zovu Vietine formule u čast francuskog matematičara F. Viete (), koji je uveo sistem algebarskih simbola, razvio osnove elementarne algebre. Bio je jedan od prvih koji je brojeve počeo označavati slovima, što je značajno razvilo teoriju jednadžbi.

Na primjer, gornja jednadžba x2 - 7x +10 \u003d 0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Može se vidjeti da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu , uzet sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

Postoji i teorema suprotna Vietinoj teoremi.

Teorema inverzna Vietinoj teoremi. Ako formule (5) vrijede za brojeve x1, x2, p, q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0.

Vietina teorema i njena inverzna teorema se često koriste u rješavanju različitih problema.

Na primjer. Napišimo datu kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi 1 i -3.

Prema Vietinim formulama

– p = x1 + x2 = - 2,

Prema tome, željena jednačina ima oblik x2 + 2x - 3 = 0.

Složenost savladavanja Vietine teoreme povezana je s nekoliko okolnosti. Prije svega, potrebno je uzeti u obzir razliku između direktnih i inverznih teorema. U Vietinoj direktnoj teoremi, date su kvadratna jednadžba i njeni korijeni; u inverzu postoje samo dva broja, a kvadratna jednadžba se pojavljuje na kraju teoreme. Učenici često griješe potkrepljujući svoje razmišljanje netačnim pozivanjem na direktnu ili inverznu Vietinu teoremu.

Na primjer, kada se odabirom pronalaze korijeni kvadratne jednadžbe, morate se pozvati na inverznu Vietinu teoremu, a ne na direktnu, kao što studenti često rade. Da bismo proširili Vietine teoreme na slučaj nulte diskriminante, moramo se složiti da u ovom slučaju kvadratna jednadžba ima dva jednaka korijena. Pogodnost takvog dogovora očituje se u faktorizaciji kvadratnog trinoma.

Još ne postoji HTML verzija rada.

Slični dokumenti

Povijest razvoja formula za korijene kvadratnih jednadžbi. Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu. Diofantovo rješenje kvadratnih jednadžbi. Kvadratne jednačine u Indiji, Horezmiji i Evropi u 13. - 17. veku. Vietin teorem, moderna algebarska notacija.

test, dodano 27.11.2010

Istorija kvadratnih jednačina: jednačine u starom Babilonu i Indiji. Formule za paran koeficijent na x. Kvadratne jednadžbe određene prirode. Vietin teorem za polinome viših stupnjeva. Proučavanje bikvadratnih jednadžbi. Suština Cordanove formule.

sažetak, dodan 05.09.2009

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u historiji matematike. Komparativna analiza tehnologija različitih metoda za rješavanje jednačina drugog stepena, primjeri njihove primjene. Kratka teorija rješavanja kvadratnih jednačina, sastavljanje knjige zadataka.

sažetak, dodan 18.12.2012

Značaj matematike u našem životu. Istorija računa. Razvoj metoda računske matematike u današnje vrijeme. Upotreba matematike u drugim naukama, uloga matematičkog modeliranja. Stanje matematičkog obrazovanja u Rusiji.

članak, dodan 01.05.2010

grčka matematika. Srednji vijek i renesansa. Počeci moderne matematike. Moderna matematika. Matematika se ne zasniva na logici, već na zdravoj intuiciji. Problemi osnova matematike su filozofski.

sažetak, dodan 09.06.2006

Istorija razvoja matematičke nauke u Evropi 6.-14. veka, njeni predstavnici i dostignuća. Razvoj matematike u renesansi. Stvaranje literalnog računa, aktivnost Françoisa Viete. Poboljšanja u računarstvu u kasnom 16. - ranom 16. veku

prezentacija, dodano 20.09.2015

Pregled razvoja evropske matematike u XVII-XVIII vijeku. Neravnomjeran razvoj evropske nauke. Analitička geometrija. Izrada matematičke analize. Lajbnicova naučna škola. Opšte karakteristike nauke u XVIII veku. Pravci razvoja matematike.

prezentacija, dodano 20.09.2015

Period rađanja matematike (do 7.-5. vijeka prije nove ere). Vreme matematike konstanti (7.-5. vek pne - XVII vek nove ere). Matematika varijabli (XVII-XIX vijek). Savremeni period razvoja matematike. Karakteristike računarske matematike.

prezentacija, dodano 20.09.2015

Dostignuća starogrčkih matematičara koji su živeli između 6. veka pre nove ere. i 5. vek nove ere. Osobine početnog perioda razvoja matematike. Uloga pitagorejske škole u razvoju matematike: Platon, Eudoks, Zenon, Demokrit, Euklid, Arhimed, Apolonije.

test, dodano 17.09.2010

Istorija nastanka matematike kao nauke. Razdoblje osnovne matematike. Period stvaranja matematike varijabli. Izrada analitičke geometrije, diferencijalnog i integralnog računa. Razvoj matematike u Rusiji u XVIII-XIX vijeku.

Istraživački rad

Na temu

"Metode za rješavanje kvadratnih jednačina"

Izvedeno:
grupa 8 "G" razred

Rukovodilac posla:
Benkovskaya Maria Mikhailovna

Ciljevi i zadaci projekta.

1. Pokažite da matematika, kao i svaka druga nauka, ima dovoljno svojih neriješenih misterija.
2. Naglasite da se matematičari razlikuju po nestandardnom razmišljanju. A ponekad su domišljatost i intuicija dobrog matematičara jednostavno za divljenje!
3. Pokazati da je sam pokušaj rješavanja kvadratnih jednačina doprinio razvoju novih pojmova i ideja u matematici.
4. Naučite raditi s različitim izvorima informacija.
5. Nastaviti istraživački rad iz matematike

Faze istraživanja

1. Istorija nastanka kvadratnih jednačina.

2. Definicija kvadratne jednadžbe i njeni tipovi.

3. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminantne formule.

4. Francois Viet i njegova teorema.

5. Svojstva koeficijenata za brzo pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

6. Praktična orijentacija.

Kroz jednačine, teoreme

Rešio sam dosta problema.

(Chaucer, engleski pjesnik, srednji vijek.)

pozornici. Istorija nastanka kvadratnih jednačina.

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišta i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i za razvoj same astronomije i matematike.

Babilonci su bili u stanju da reše kvadratne jednačine oko 2000. godine pre nove ere. Pravilo za rješavanje ovih jednačina, navedeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa modernim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Diofantova aritmetika sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih formulisanjem jednačina različitih stepena, ali ne sadrži sistematski prikaz algebre.

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskim raspravama "Aryabhattiam", sastavljenim 499. godine. Indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor ima 6 vrsta jednačina. Za al-Khwarizmija, koji nije znao negativne brojeve, članovi svake jednačine su zbrajanja, a ne oduzimanja. Istovremeno, jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja se namjerno ne uzimaju u obzir; pri rješavanju nepotpune kvadratne jednačine, al-Khwarizmi, kao i svi naučnici prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje.

Traktat al-Khwarizmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i formule za njihovo rješavanje.

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacusa koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovaj obimni rad odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske metode za rješavanje problema, te je prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz Knjige Abakusa prešli su u gotovo sve evropske udžbenike 16.-17. i djelimično 18. vijeka.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik sa svim mogućim kombinacijama predznaka koeficijenata b,c formulisao je u Evropi tek 1544. godine M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima su u 16. veku uzeli u obzir ne samo pozitivne, već i negativne korene. Tek u 17. vijeku, zahvaljujući radovima Girrarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina dobija moderan oblik.

ISPADA:

Zadaci o kvadratnim jednačinama nalaze se već u 499.

U staroj Indiji bila su uobičajena javna takmičenja u rješavanju teških problema - OLIMPIJADE .

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 2016-04-11

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih sastavljanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti više od polovine njihovog zbir, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x .

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, onda ćemo doći do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednačine već se nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.“ Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razžureno jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se...

Osmi dio njih u kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabavljati se na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednačina (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, on sabira obje strane 32 2 , dobijajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su zbrajanja, a ne oduzimanja. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našim. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što ono nije bitno u konkretnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim i geometrijske dokaze, koristeći određene numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, vi ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al - Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski navedena klasifikacija kvadratnih jednačina i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII vekovima

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu al-Horezmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abacusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama tako i u staroj Grčkoj, odlikuje se i potpunošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abakusa" ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16. - 17. vijeka. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, način rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, koja nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine na sljedeći način: „Ako B + D pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki AT i jednaki D ».

Da biste razumeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio nepoznato (naš X), samoglasnici AT, D- koeficijenti za nepoznato. Na jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednačina općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Viete je još uvijek daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.

Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine. Otuda jednačina: (10 + x) (10 - x) = 96 ili: 100 - x2 = 96 x2 - 4 = 0 (1) Rješenje x = -2 za Diofanta ne postoji, budući da grčka matematika znao samo pozitivne brojeve.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG: Kvadratne jednadžbe u Indiji. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju. 1) "Kvadrati su jednaki korijenima", odnosno ax2 + c \u003d bx. 2) „Kvadrati su jednaki broju“, tj. ax2 = c. 3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah \u003d c. 4) “Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima”, odnosno ax2 + c = bx. 5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c. 6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx + c \u003d ax2.

Kvadratne jednačine u Evropi u 13.–17. veku. x2 + bx = c, sa svim mogućim kombinacijama predznaka koeficijenata b, c formulisao je u Evropi tek 1544. godine M. Stiefel.

O Vietinoj teoremi. "Ako je B + D puta A - A 2 jednako BD, onda je A jednako B i jednako D." U jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači: ako je (a + b)x - x2 = ab, tj. x2 - (a + b)x + ab = 0, tada je x1 = a, x2 = b.

Metode rješavanja kvadratnih jednačina. 1. METODA: Dekompozicija lijeve strane jednačine na faktore. Riješite jednačinu x2 + 10 x - 24 = 0. Faktorizirajte lijevu stranu: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Prema tome, jednačina se može prepisati na sljedeći način: (x + 12) (x - 2) = 0 Pošto je proizvod nula, onda je barem jedan njegov faktor jednak nuli. Dakle, lijeva strana jednačine nestaje pri x = 2, a također i pri x = - 12. To znači da su brojevi 2 i - 12 korijeni jednačine x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODA: Metoda odabira punog kvadrata. Rešimo jednačinu x2 + 6 x - 7 = 0. Odaberite pun kvadrat na lijevoj strani. Da bismo to učinili, zapisujemo izraz x2 + 6 x u sljedećem obliku: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. U rezultirajućem izrazu, prvi član je kvadrat broja x, a drugi je dvostruki proizvod x sa 3. Dakle, da biste dobili pun kvadrat, trebate dodati 32, jer x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Sada transformiramo lijevu stranu jednačine x2 + 6 x - 7 \u003d 0, dodajući joj i oduzimajući 32. Imamo: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16. Dakle, ova jednačina se može napisati na sljedeći način: (x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Dakle, x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1, ili x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODA: Rješenje kvadratnih jednadžbi po formuli. Pomnožimo obje strane jednačine ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 sa 4 a i sukcesivno imamo: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. METODA: Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Kao što znate, data kvadratna jednadžba ima oblik x2 + px + c \u003d 0. (1) Njeni korijeni zadovoljavaju Vietinu teoremu, koja za a = 1 ima oblik x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 \u003d - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 i x 2 = 1, pošto je q = 2 > 0 i p = - 3 0 i p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 i x 2 = 1, budući da je q = - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 i x 2 = - 1, budući da je q \u003d - 9

5. METODA: Rješavanje jednadžbi metodom "transfer". Razmotrimo kvadratnu jednačinu ax2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0. Množenjem oba njegova dijela sa a, dobijamo jednačinu a 2 x2 + abx + ac = 0. Neka je ax = y, odakle je x \ u003d y / a; tada dolazimo do jednačine y2 + by + ac = 0, koja je ekvivalentna datoj. Njegove korijene y1 i y2 nalazimo pomoću Vietine teoreme. Konačno, dobijamo x1 = y1/a i x1 = y2/a.

Primjer. Rešimo jednačinu 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Rješenje. “Baci” koeficijent 2 na slobodni član, kao rezultat dobijamo jednačinu y2 - 11 y + 30 = 0. Prema Vietinoj teoremi y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Odgovor : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. METODA: Osobine koeficijenata kvadratne jednačine. A. Neka je data kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0. 1) Ako je a + b + c = 0 (tj. zbroj koeficijenata je nula), tada je x1 \u003d 1, x2 \u003d c / a. Dokaz. Podijelite obje strane jednadžbe sa a ≠ 0, dobićemo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + b / a x + c / a = 0. Prema Vietinoj teoremi x 1 + x 2 = - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. Po uslovu a - b + c = 0, odakle je b = a + c. Dakle, x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), tj. x1 = -1 i x2 = c / a, što je trebalo dokazati.

B. Ako je drugi koeficijent b = 2 k paran broj, tada je korijenska formula C. Gornja jednadžba x2 + px + q \u003d 0 poklapa se s općom jednadžbom, u kojoj je a = 1, b = p i c \u003d q. Dakle, za redukovanu kvadratnu jednadžbu, formula za korijene

7. METODA: Grafičko rješenje kvadratne jednačine. Ako u jednačini x2 + px + q = 0 prebacimo drugi i treći član na desnu stranu, onda ćemo dobiti x2 = - px - q. Napravimo grafove zavisnosti y = x2 i y = - px - q.

Primjer 1) Rešimo grafički jednačinu x2 - 3 x - 4 = 0 (slika 2). Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku x2 = 3 x + 4. Konstruiramo parabolu y = x2 i pravu liniju y = 3 x + 4. Prava linija y = 3 x + 4 može se izgraditi pomoću dva tačke M (0; 4) i N (3; 13) . Odgovor: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODA: Rješavanje kvadratnih jednadžbi šestarom i ravnalom. pronalaženje korijena četvrtastog šestara i ravnala (slika 5). Jednačine Zatim, prema teoremu o sekanti, imamo OB OD = OA OC, odakle je OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 sa

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="(!LANG:1) Radijus kruga veći od središnje ordinate (AS > SK, ili R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODA: Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma. z 2 + pz + q = 0. Krivolinijska skala nomograma se gradi prema formulama (Sl. 11): Uz pretpostavku OS = p, ED = q, OE = a (sve u cm), Iz sličnosti trouglova SAN i CDF dobijamo proporciju

Primjeri. 1) Za jednačinu z 2 - 9 z + 8 = 0, nomogram daje korijene z 1 = 8, 0 i z 2 = 1, 0 (slika 12). 2) Pomoću nomograma rješavamo jednačinu 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Podijelimo koeficijente ove jednačine sa 2, dobićemo jednačinu z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogram daje korijeni z 1 = 4 i z 2 = 0, 5. 3) Za jednadžbu z 2 - 25 z + 66 \u003d 0, koeficijenti p i q su van skale, vršimo zamjenu z = 5 t, dobijemo jednačinu t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, koju rješavamo nomogramima i dobijemo t 1 = 0,6 i t 2 = 4,4, odakle je z 1 = 5 t 1 = 3,0 i z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. METODA: Geometrijski način rješavanja kvadratnih jednačina. Primjeri. 1) Rešimo jednačinu x2 + 10 x = 39. U originalu, ovaj problem je formulisan na sledeći način: "Kvadrat i deset korena su jednaki 39" (slika 15). Za željenu stranu x originalnog kvadrata dobijamo

y2 + 6 y - 16 = 0. Rješenje je prikazano na sl. 16, gdje je y2 + 6 y = 16, ili y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Rješenje. Izrazi y2 + 6 y + 9 i 16 + 9 su geometrijski isti kvadrat, a originalna jednadžba y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 je ista jednačina. Odakle dobijamo da je y + 3 = ± 5, ili y1 = 2, y2 = - 8 (Sl. 16).