Kvadratnih oblika.
Značaj formi. Silvesterov kriterijum

Pridjev "kvadrat" odmah sugerira da je ovdje nešto povezano s kvadratom (drugi stepen), a vrlo brzo ćemo znati to "nešto" i šta je oblik. Ispalo je odmah :)

Dobrodošli na moju novu lekciju, a kao trenutno zagrijavanje pogledat ćemo prugasti oblik linearno. Linearni oblik varijable pozvao homogena polinom 1. stepena:

- neke specifične brojke * (pretpostavljamo da je barem jedan od njih različit od nule), i su varijable koje mogu uzeti proizvoljne vrijednosti.

* U ovoj temi ćemo samo razmotriti realni brojevi .

Već smo se susreli sa terminom "homogen" u lekciji o homogeni sistemi linearnih jednačina, a u ovom slučaju to implicira da polinom nema dodanu konstantu .

Na primjer: – linearni oblik dvije varijable

Sada je oblik kvadratan. kvadratni oblik varijable pozvao homogena polinom 2. stepena, čiji svaki termin sadrži ili kvadrat varijable ili duplo proizvod varijabli. Tako, na primjer, kvadratni oblik dvije varijable ima sljedeći oblik:

Pažnja! Ovo je standardni unos i ne morate ništa mijenjati u njemu! Unatoč „užasnom“ izgledu, ovdje je sve jednostavno - dvostruki indeksi konstanti signaliziraju koje su varijable uključene u jedan ili drugi pojam:
– ovaj izraz sadrži proizvod i (kvadrat);
- evo posla;
- i evo posla.

- Odmah predvidim grubu grešku kada izgube "minus" koeficijenta, ne shvatajući da se to odnosi na pojam:

Ponekad postoji "školska" verzija dizajna u duhu, ali samo ponekad. Usput, imajte na umu da nam konstante ovdje ne govore baš ništa, pa je stoga teže zapamtiti „laku notaciju“. Pogotovo kada ima više varijabli.

A kvadratni oblik tri varijable već sadrži šest članova:

... zašto se množitelji "dva" stavljaju u "mješovite" pojmove? Ovo je zgodno i uskoro će biti jasno zašto.

Međutim, zapisat ćemo opću formulu, zgodno je urediti je "listom":

- pažljivo proučite svaki red - u tome nema ništa loše!

Kvadratni oblik sadrži članove sa kvadratnim varijablama i članove sa njihovim par proizvoda (cm. kombinatorne formule kombinacija) . Ništa drugo - nema "usamljenog x" i nema dodane konstante (onda ne dobijate kvadratni oblik, već heterogena polinom 2. stepena).

Matrična notacija kvadratnog oblika

Ovisno o vrijednostima, razmatrani oblik može imati i pozitivne i negativne vrijednosti, a isto vrijedi i za bilo koji linearni oblik - ako je barem jedan od njegovih koeficijenata različit od nule, onda se može pokazati pozitivnim ili negativnim (u zavisnosti o vrijednostima).

Ovaj oblik se zove naizmjenično. A ako je sve transparentno sa linearnom formom, onda su stvari mnogo interesantnije sa kvadratnom formom:

Sasvim je jasno da ovaj oblik može poprimiti vrijednosti bilo kojeg znaka, dakle, kvadratni oblik također može biti naizmjeničan.

Možda nije:

– uvijek, osim ako su oba jednaka nuli.

- za bilo koga vektor osim nule.

I generalno govoreći, ako za bilo koji ne-nula vektor , , tada se kvadratni oblik naziva pozitivno definitivno; ako onda negativno određeno.

I sve bi bilo u redu, ali određenost kvadratnog oblika vidljiva je samo u jednostavnim primjerima, a ta vidljivost se gubi već uz malu komplikaciju:
– ?

Moglo bi se pretpostaviti da je forma pozitivno definisana, ali da li je zaista tako? Odjednom postoje vrijednosti na kojima je manji od nule?

Na ovaj račun, tamo teorema: Ako svi sopstvene vrijednosti matrice kvadratnog oblika su pozitivne * , tada je pozitivno definisano. Ako su svi negativni, onda je negativan.

* U teoriji je dokazano da su sve vlastite vrijednosti realne simetrične matrice validan

Napišimo matricu gornjeg oblika:
i iz jednačine hajde da je nađemo sopstvene vrijednosti:

Rešavamo staro dobro kvadratna jednačina:

, dakle forma je pozitivno definisana, tj. za bilo koje vrijednosti različite od nule, veći je od nule.

Čini se da razmatrana metoda funkcionira, ali postoji jedno veliko ALI. Već za matricu "tri sa tri" traženje svojstvenih vrijednosti je dug i neugodan zadatak; sa velikom verovatnoćom dobijate polinom 3. stepena sa iracionalnim korenima.

Kako biti? Postoji lakši način!

Silvesterov kriterijum

Ne, ne Sylvester Stallone :) Prvo da vas podsjetim na šta angular minors matrice. to odrednice koje "rastu" iz svog gornjeg lijevog ugla:

a posljednja je tačno jednaka determinanti matrice.

Sada, u stvari, kriterijum:

1) Definisan kvadratni oblik pozitivno ako i samo ako su SVI njegovi ugaoni minori veći od nule: .

2) Definisan kvadratni oblik negativan ako i samo ako se njegovi ugaoni minori smenjuju u znaku, dok je 1. minor manji od nule: , , ako je paran ili , ako je neparan.

Ako barem jedan kutni minor ima suprotan predznak, tada oblik naizmjenično znakovno. Ako su ugaoni minori predznaka „onaj“, ali među njima ima nula, onda je ovo poseban slučaj, koji ću analizirati malo kasnije, nakon što pređemo na uobičajenije primjere.

Analizirajmo ugaone minore matrice :

I to nam odmah govori da forma nije negativno određena.

Zaključak: svi manji uglovi su veći od nule, dakle oblik pozitivno definisano.

Postoji li razlika s metodom vlastitih vrijednosti? ;)

Pišemo matricu oblika iz Primjer 1:

njegov prvi ugaoni minor, a drugi , odakle proizilazi da je oblik znakovno-alternirajući, tj. ovisno o vrijednostima, može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, ovo je tako očigledno.

Uzmite oblik i njegovu matricu iz Primjer 2:

ovde uopšte bez uvida da ne razumem. Ali sa Sylvesterovim kriterijumom, nije nas briga:
, stoga oblik definitivno nije negativan.

, i definitivno nije pozitivan. (jer svi manji uglovi moraju biti pozitivni).

Zaključak: oblik se mijenja.

Primjeri zagrijavanja za samostalno rješavanje:

Primjer 4

Istražite kvadratne forme za predznak-definitivnost

a)

U ovim primjerima sve je glatko (pogledajte kraj lekcije), ali u stvari, izvršiti takav zadatak Silvesterov kriterijum možda neće biti dovoljan.

Poenta je da postoje "granični" slučajevi, naime: ako postoji ne-nula vektor , tada je oblik definiran nenegativan, ako onda nepozitivna. Ovi oblici imaju ne-nula vektori za koje .

Ovdje možete donijeti takvu "harmoniku":

Isticanje pun kvadrat, odmah vidimo nenegativnost oblik: , štoviše, jednak je nuli za bilo koji vektor s jednakim koordinatama, na primjer: .

Primjer "ogledala". nepozitivna određeni oblik:

i još trivijalniji primjer:
– ovdje je oblik jednak nuli za bilo koji vektor , gdje je proizvoljan broj.

Kako otkriti nenegativnost ili nepozitivnost forme?

Za ovo nam je potreban koncept glavni maloljetnici matrice. Glavni mol je mol sastavljen od elemenata koji se nalaze na preseku redova i kolona sa istim brojevima. Dakle, matrica ima dva glavna minora 1. reda:
(element je na raskrsnici 1. reda i 1. kolone);
(element je na raskrsnici 2. reda i 2. kolone),

i jedan veliki mol 2. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone.

Matrica "tri sa tri" Postoji sedam glavnih minora, a ovdje već morate mahati bicepsima:
- tri maloletna lica I reda,
tri maloletnika 2. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone;
- sastavljena od elemenata 1., 3. reda i 1., 3. kolone;
- sastoji se od elemenata 2., 3. reda i 2., 3. kolone,
i jedan mol 3. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2., 3. reda i 1., 2. i 3. kolone.
Vježba za razumijevanje: zapišite sve glavne sporedne vrijednosti matrice .
Provjeravamo na kraju lekcije i nastavljamo.

Švarcenegerov kriterijum:

1) Definisan kvadratni oblik koji nije nula* nenegativan ako i samo ako SVI njegovi glavni maloljetnici nenegativan(veće ili jednako nuli).

* Nulti (degenerisani) kvadratni oblik ima sve koeficijente jednake nuli.

2) Nenulti kvadratni oblik sa definisanom matricom nepozitivna ako i samo ako je:
– glavni maloljetnici 1. reda nepozitivna(manje ili jednako nuli);
su glavni maloljetnici 2. reda nenegativan;
– glavni maloljetnici 3. reda nepozitivna(alternacija je počela);
…
– dur mol . reda nepozitivna, ako je neparan ili nenegativan, ako je paran.

Ako je barem jedan maloljetnik suprotnog predznaka, tada je oblik predznak naizmjeničan.

Pogledajmo kako funkcionira kriterij u gornjim primjerima:

Napravimo matricu oblika i kao prvo izračunajmo ugaone minore - šta ako je definisan pozitivno ili negativno?

Dobijene vrijednosti ne zadovoljavaju Sylvesterov kriterij, međutim, drugi minor nije negativan, a zbog toga je potrebno provjeriti 2. kriterij (u slučaju 2. kriterijuma, neće se automatski ispuniti, odnosno odmah se donosi zaključak o promeni predznaka forme).

Glavni maloletnici 1. reda:
- su pozitivni
2. red dur mol:
- nije negativan.

Dakle, SVI glavni minori su nenegativni, dakle oblik nenegativan.

Napišimo matricu oblika , za koje, očigledno, Silvesterov kriterijum nije zadovoljen. Ali također nismo dobili suprotne predznake (jer su oba ugaona minora jednaka nuli). Stoga provjeravamo ispunjenost kriterija nenegativnosti/nepozitivnosti. Glavni maloletnici 1. reda:
- nije pozitivno
2. red dur mol:
- nije negativan.

Dakle, prema Schwarzeneggerovom kriteriju (tačka 2), forma je određena nepozitivno.

Sada, potpuno naoružani, analiziraćemo zabavniji problem:

Primjer 5

Ispitajte kvadratnu formu na znak-definitivnost

Ovaj obrazac je ukrašen redoslijedom "alfa", koji može biti jednak bilo kojem realnom broju. Ali biće samo zabavnije odlučiti.

Prvo, zapišimo matricu obrazaca, vjerovatno su se mnogi već prilagodili da to urade usmeno: na glavna dijagonala stavljamo koeficijente na kvadrate, a na simetrična mjesta - polovične koeficijente odgovarajućih "mješovitih" proizvoda:

Izračunajmo ugaone minore:

Proširiću treću odrednicu duž 3. retka:

Kvadratni oblik je homogeni polinom 2. stepena u nekoliko varijabli.

Kvadratni oblik u varijablama sastoji se od dva tipa pojmova: kvadrata varijabli i njihovih parnih proizvoda s nekim koeficijentima. Uobičajeno je da se kvadratni oblik piše u obliku sljedeće kvadratne sheme:

Parovi sličnih članova zapisuju se sa istim koeficijentima, tako da je svaki od njih polovina koeficijenta odgovarajućeg proizvoda varijabli. Dakle, svaki kvadratni oblik je prirodno povezan sa svojom matricom koeficijenata, koja je simetrična.

Također je prikladno predstaviti kvadratni oblik u sljedećoj matričnoj notaciji. Označite sa X stupac varijabli sa X - red, tj. matrica transponovana sa X. Tada

Kvadratni oblici se nalaze u mnogim granama matematike i njenim primjenama.

U teoriji brojeva i kristalografiji, kvadratni oblici se razmatraju pod pretpostavkom da varijable imaju samo cjelobrojne vrijednosti. U analitičkoj geometriji, kvadratni oblik je dio jednadžbe krive (ili površine) reda. U mehanici i fizici se čini da kvadratni oblik izražava kinetičku energiju sistema u smislu komponenti generalizovanih brzina, itd. Ali, osim toga, proučavanje kvadratnih oblika je takođe neophodno u analizi kada se proučavaju funkcije mnogih varijabli, u pitanjima za čije je rješavanje važno saznati kako data funkcija u blizini date tačke odstupa od linearne funkcije koja je aproksimira. Primjer problema ovog tipa je proučavanje funkcije za maksimum i minimum.

Razmotrimo, na primjer, problem istraživanja maksimuma i minimuma za funkciju dvije varijable koja ima kontinuirane parcijalne izvode do reda. Neophodan uslov da bi tačka dala maksimum ili minimum funkcije je jednakost parcijalnih izvoda reda u tački sa nulom. Pretpostavimo da je ovaj uslov ispunjen. Varijablama x i y dajemo male priraštaje i uzimamo u obzir odgovarajući prirast funkcije. Prema Taylorovoj formuli, ovaj prirast, do malih viših redova, jednak je kvadratnom obliku gdje su vrijednosti drugog derivacije izračunate u tački Ako je ovaj kvadratni oblik pozitivan za sve vrijednosti i k (osim tada funkcija ima minimum u tački; ​​ako je negativna, onda ima maksimum. Konačno, ako oblik poprimi i pozitivne i negativne vrijednosti, tada neće biti ni maksimuma ni minimuma. Na sličan način se proučavaju funkcije većeg broja varijabli.

Proučavanje kvadratnih oblika uglavnom se sastoji u proučavanju problema ekvivalencije oblika u odnosu na jedan ili drugi skup linearnih transformacija varijabli. Za dva kvadratna oblika se kaže da su ekvivalentna ako se jedan od njih može prevesti u drugi pomoću jedne od transformacija datog skupa. Usko vezan za problem ekvivalencije je i problem redukcije forme, tj. pretvarajući ga u neki moguće najjednostavniji oblik.

U raznim pitanjima vezanim za kvadratne forme razmatraju se i različiti skupovi dozvoljenih transformacija varijabli.

U pitanjima analize, primjenjuju se sve nesingularne transformacije varijabli; Za potrebe analitičke geometrije od najvećeg su interesa ortogonalne transformacije, odnosno one koje odgovaraju prelasku iz jednog sistema promenljivih Dekartovih koordinata u drugi. Konačno, u teoriji brojeva i u kristalografiji, razmatraju se linearne transformacije sa cjelobrojnim koeficijentima i s determinantom jednakom jedan.

Razmotrit ćemo dva od ovih problema: pitanje redukcije kvadratnog oblika na njegov najjednostavniji oblik pomoću bilo koje nesingularne transformacije i isto pitanje za ortogonalne transformacije. Prije svega, hajde da saznamo kako se matrica kvadratnog oblika transformira pod linearnom transformacijom varijabli.

Neka je , gdje je A simetrična matrica koeficijenata oblika, X je stupac varijabli.

Napravimo linearnu transformaciju varijabli, pišući je u skraćenom obliku. Ovdje C označava matricu koeficijenata ove transformacije, X je stupac novih varijabli. Tada i stoga, tako da je matrica transformiranog kvadratnog oblika

Matrica se automatski ispostavi da je simetrična, što se lako provjerava. Dakle, problem svođenja kvadratne forme na njen najjednostavniji oblik je ekvivalentan problemu svođenja simetrične matrice na njen najjednostavniji oblik množenjem s lijeve i desne strane međusobno transponovanim matricama.

Koncept kvadratne forme. Matrica kvadratne forme. Kanonski oblik kvadratnog oblika. Lagrangeova metoda. Normalni oblik kvadratnog oblika. Rang, indeks i potpis kvadratnog oblika. Pozitivno određeni kvadratni oblik. Kvadrica.

Koncept kvadratnog oblika: funkcija na vektorskom prostoru zadata homogenim polinomom drugog stepena u koordinatama vektora.

kvadratni oblik iz n nepoznato naziva se zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od ovih nepoznanica, ili proizvod dvije različite nepoznanice.

Kvadratna matrica: Matrica se naziva matrica kvadratnog oblika u datoj bazi. Ako karakteristika polja nije jednaka 2, možemo pretpostaviti da je matrica kvadratnog oblika simetrična, tj.

Napišite matricu kvadratnog oblika:

shodno tome,

U obliku vektorske matrice, kvadratni oblik je:

A, gde

Kanonski oblik kvadratnog oblika: Kvadratni oblik se naziva kanonskim ako je sve tj.

Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem linearnih transformacija. U praksi se obično koriste sljedeće metode.

Lagrangeova metoda : uzastopni izbor punih kvadrata. Na primjer, ako

Zatim se sličan postupak radi s kvadratnim oblikom itd. Ako je u kvadratnom obliku sve osim zatim se, nakon prethodne transformacije, stvar svodi na razmatranu proceduru. Dakle, ako, na primjer, onda postavljamo

Normalni oblik kvadratnog oblika je: Normalni kvadratni oblik je kanonski kvadratni oblik u kojem su svi koeficijenti jednaki +1 ili -1.

Rang, indeks i potpis kvadratnog oblika: Rang kvadratnog oblika ALI naziva rang matrice ALI. Rang kvadratnog oblika se ne menja pod nedegenerisanim transformacijama nepoznatih.

Broj negativnih koeficijenata naziva se indeks negativnog oblika.

Broj pozitivnih članova u kanonskom obliku naziva se pozitivni indeks inercije kvadratnog oblika, a broj negativnih članova naziva se negativni indeks. Razlika između pozitivnih i negativnih indeksa naziva se potpisom kvadratnog oblika

Pozitivno određeni kvadratni oblik: Realni kvadratni oblik naziva se pozitivno-definirano (negativno-definirano) ako za bilo koje realne vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli

. (36)

U ovom slučaju, matrica se naziva i pozitivno određena (negativno određena).

Klasa pozitivno-definitivnih (negativno-definitivnih) oblika je dio klase nenegativnih (odnosno, ne-pozitivnih) oblika.

četvorke: Quadric - n-dimenzionalna hiperpovršina u n+1-dimenzionalni prostor, definisan kao skup nula polinoma drugog stepena. Ako unesete koordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (u euklidskom ili afinom prostoru), opća kvadratna jednadžba ima oblik

Ova jednadžba se može prepisati kompaktnije u matričnom zapisu:

gdje je x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) je vektor reda, x T je transponovani vektor, Q je matrica veličine ( n+1)×( n+1) (pretpostavlja se da je barem jedan njegov element različit od nule), P je vektor reda, i R je konstanta. Najčešće se kvadrike razmatraju nad realnim ili kompleksnim brojevima. Definicija se može proširiti na kvadrike u projektivnom prostoru, vidi dolje.

Općenito, skup nula sistema polinomskih jednačina poznat je kao algebarska raznolikost. Dakle, kvadrika je (afina ili projektivna) algebarska varijanta drugog stepena i kodimenzije 1.

Transformacije aviona i prostora.

Definicija transformacije ravnine. Definicija kretanja. svojstva kretanja. Dvije vrste pokreta: kretanje prve vrste i kretanje druge vrste. Primjeri pokreta. Analitički izraz kretanja. Klasifikacija ravninskih kretanja (u zavisnosti od prisustva fiksnih tačaka i nepromenljivih linija). Grupa kretanja ravnine.

Definicija transformacije ravni: Definicija. Zove se transformacija ravnine koja čuva udaljenost između tačaka pokret(ili pomicanje) ravnine. Transformacija ravni se zove afine, ako uzima bilo koje tri tačke koje leže na istoj pravoj do tri tačke koje takođe leže na istoj pravoj i istovremeno čuva jednostavnu relaciju tri tačke.

Definicija pokreta: Ovo je transformacija oblika koja čuva udaljenosti između tačaka. Ako su dvije figure međusobno točno spojene pomoću kretanja, onda su te figure iste, jednake.

Svojstva kretanja: svako kretanje ravni koje održava orijentaciju je ili paralelna translacija ili rotacija; svako kretanje ravni koje mijenja orijentaciju je ili aksijalna simetrija ili klizna simetrija. Tačke koje leže na pravoj liniji pri kretanju prelaze u tačke koje leže na pravoj liniji, a redoslijed njihovog međusobnog rasporeda se čuva. Prilikom kretanja, uglovi između poluprava su očuvani.

Dvije vrste pokreta: kretanje prve vrste i kretanje druge vrste: Pokreti prve vrste su oni pokreti koji čuvaju orijentaciju baza određene figure. Mogu se realizovati kontinuiranim pokretima.

Pokreti druge vrste su oni pokreti koji mijenjaju orijentaciju baza na suprotno. Ne mogu se ostvariti kontinuiranim pokretima.

Primjeri kretanja prve vrste su translacija i rotacija oko prave linije, a kretanja druge vrste su centralna i zrcalna simetrija.

Kompozicija bilo kojeg broja pokreta prve vrste je kretanje prve vrste.

Kompozicija parnog broja pokreta druge vrste je pokret 1. vrste, a kompozicija neparnog broja pokreta 2. vrste je pokret 2. vrste.

Primjeri pokreta:Paralelni prijenos. Neka je a dati vektor. Paralelni prijenos na vektor a je preslikavanje ravni na sebe, u kojem se svaka tačka M preslikava u tačku M 1, pri čemu je vektor MM 1 jednak vektoru a.

Paralelno prevođenje je kretanje jer je preslikavanje ravni na samu sebe, uz očuvanje udaljenosti. Vizuelno, ovo kretanje se može predstaviti kao pomeranje cele ravni u pravcu datog vektora a po njegovoj dužini.

Okreni se. Označimo tačku O na ravni ( centar okretanja) i postavite ugao α ( ugao rotacije). Rotacija ravni oko tačke O za ugao α je preslikavanje ravni na sebe, pri čemu je svaka tačka M preslikana u tačku M 1, da je OM = OM 1 i da je ugao MOM 1 jednak α. U tom slučaju, tačka O ostaje na svom mjestu, tj. prikazuje se sama po sebi, a sve ostale točke rotiraju oko točke O u istom smjeru - u smjeru kazaljke na satu ili suprotno od kazaljke na satu (slika prikazuje rotaciju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).

Skretanje je kretanje jer je preslikavanje ravnine na sebe, koje čuva udaljenosti.

Analitički izraz pokreta: analitička veza između koordinata predslike i slike tačke ima oblik (1).

Klasifikacija kretanja u ravnini (u zavisnosti od prisustva fiksnih tačaka i nepromenljivih linija): Definicija:

Tačka u ravni je invarijantna (fiksna) ako se pod datom transformacijom transformiše u sebe.

Primjer: Kod centralne simetrije, tačka centra simetrije je invarijantna. Prilikom okretanja, tačka centra rotacije je nepromjenjiva. Kod aksijalne simetrije, prava je nepromjenjiva - osa simetrije je linija invarijantnih tačaka.

Teorema: Ako kretanje nema nepromjenjivu tačku, onda ima barem jedan nepromjenjiv smjer.

Primjer: Paralelni prijenos. Zaista, linije paralelne ovom pravcu su nepromenljive kao figura u celini, iako se ne sastoje od nepromenljivih tačaka.

Teorem: Ako se neka zraka kreće, zrak se prevodi u sebe, tada je ovo kretanje ili identična transformacija, ili simetrija u odnosu na pravu koja sadrži datu zraku.

Stoga, prema prisutnosti nepromjenjivih tačaka ili figura, moguće je klasificirati pokrete.

Naziv pokreta	Invarijantne tačke	Invarijantne linije
Pokret prve vrste.
1. - okret	(centar) - 0	br
2. Transformacija identiteta	sve tačke ravni	sve u redu
3. Centralna simetrija	tačka 0 - centar	sve prave koje prolaze kroz tačku 0
4. Paralelni prijenos	br	sve u redu
Pokret druge vrste.
5. Aksijalna simetrija.	skup tačaka	osa simetrije (ravna) sve ravno

Grupa kretanja aviona: U geometriji, samopodudarne grupe figura igraju važnu ulogu. Ako je - neka figura na ravni (ili u prostoru), onda možemo smatrati skup svih onih kretanja ravni (ili prostora), u kojima figura prelazi u sebe.

Ovaj set je grupa. Na primjer, za jednakostranični trokut, grupa ravninskih kretanja koja transformiraju trokut u sebe sastoji se od 6 elemenata: rotacije za uglove oko tačke i simetrije oko tri prave.

Oni su prikazani na sl. 1 sa crvenim linijama. Elementi grupe samokoincidencija pravilnog trougla mogu se specificirati na drugi način. Da bismo ovo pojasnili, numerirajmo vrhove pravilnog trougla brojevima 1, 2, 3. može se uslovno uneti u obliku jedne od ovih zagrada:

itd.

gdje brojevi 1, 2, 3 označavaju brojeve onih vrhova u koje vrhovi 1, 2, 3 prelaze kao rezultat razmatranog kretanja.

Projektivni prostori i njihovi modeli.

Koncept projektivnog prostora i model projektivnog prostora. Osnovne činjenice projektivne geometrije. Skup linija sa središtem u tački O je projektivni ravan model. projektivne tačke. Produžena ravan je model projektivne ravni. Prošireni trodimenzionalni afini ili euklidski prostor je projektivni model prostora. Slike ravnih i prostornih figura u paralelnom dizajnu.

Koncept projektivnog prostora i model projektivnog prostora:

Projektivni prostor nad poljem je prostor koji se sastoji od linija (jednodimenzionalnih podprostora) nekog linearnog prostora nad datim poljem. Pravi prostori se nazivaju tačke projektivnog prostora. Ova definicija se može generalizovati na proizvoljno tijelo

Ako ima dimenziju , tada se dimenzija projektivnog prostora naziva broj , a sam projektivni prostor se označava i naziva asociranim (da bi se to ukazalo, usvojena je notacija).

Prijelaz iz vektorskog prostora dimenzije u odgovarajući projektivni prostor naziva se projektivizacija prostori.

Tačke se mogu opisati pomoću homogenih koordinata.

Osnovne činjenice projektivne geometrije: Projektivna geometrija je grana geometrije koja proučava projektivne ravni i prostore. Glavna karakteristika projektivne geometrije je princip dualnosti, koji dodaje gracioznu simetriju mnogim dizajnima. Projektivna geometrija se može proučavati i sa čisto geometrijske tačke gledišta, i sa analitičke (koristeći homogene koordinate) i salgebarske tačke gledišta, posmatrajući projektivnu ravan kao strukturu nad poljem. Često, i istorijski, stvarna projektivna ravan se tretira kao euklidska ravan sa dodatkom "linije u beskonačnosti".

Dok su svojstva figura kojima se bavi euklidska geometrija metrički(specifične vrijednosti uglova, segmenata, površina), a ekvivalentnost figura je ekvivalentna njihovoj kongruencija(tj., kada se figure mogu prevesti jedna u drugu pomoću kretanja uz očuvanje metričkih svojstava), postoje više "dubljih" osobina geometrijskih figura koje se čuvaju transformacijama općenitijeg tipa od kretanja. Projektivna geometrija proučava svojstva figura koje su invarijantne prema klasi projektivne transformacije, kao i same ove transformacije.

Projektivna geometrija nadopunjuje Euklidsku pružajući lijepa i jednostavna rješenja za mnoge probleme komplikovane prisustvom paralelnih linija. Projektivna teorija konusnih presjeka je posebno jednostavna i elegantna.

Postoje tri glavna pristupa projektivnoj geometriji: nezavisna aksiomatizacija, komplement euklidske geometrije i struktura nad poljem.

Aksiomatizacija

Projektivni prostor se može definirati korištenjem drugačijeg skupa aksioma.

Coxeter pruža sljedeće:

1. Postoji prava i tačka nije na njoj.

2. Na svakoj liniji postoje najmanje tri tačke.

3. Kroz dvije tačke može se povući tačno jedna prava linija.

4. Ako A, B, C, i D različite tačke i AB i CD presecati, onda AC i BD presecati.

5. Ako ABC je ravan, onda postoji barem jedna tačka koja nije u ravni ABC.

6. Dvije različite ravni se seku u najmanje dvije tačke.

7. Tri dijagonalne tačke potpunog četvorougla nisu kolinearne.

8. Ako postoje tri tačke na pravoj liniji X X

Projektivna ravan (bez treće dimenzije) definirana je nešto drugačijim aksiomima:

1. Kroz dvije tačke može se povući tačno jedna prava.

2. Bilo koje dvije prave se sijeku.

3. Postoje četiri tačke, od kojih ne postoje tri kolinearne.

4. Tri dijagonalne tačke potpunih četverougla nisu kolinearne.

5. Ako postoje tri tačke na pravoj liniji X su invarijantne prema projektivnosti φ, onda su sve tačke na X su invarijantne u odnosu na φ.

6. Desarguesova teorema: Ako su dva trougla perspektivna kroz tačku, onda su perspektivna kroz pravu.

U prisustvu treće dimenzije, Desarguesova teorema se može dokazati bez uvođenja idealne tačke i prave.

Produžena ravan - model projektivne ravni: u afinom prostoru A3, uzmimo snop pravih S(O) sa centrom u tački O i ravan Π koja ne prolazi kroz centar snopa: O 6∈ Π. Skup linija u afinom prostoru je model projektivne ravni. Postavimo preslikavanje skupa tačaka ravnine Π u skup linija skupa S (Jebote, molite se ako imate ovo pitanje, žao mi je)

Prošireni trodimenzionalni afini ili euklidski prostor - projektivni prostorni model:

Da bismo mapiranje učinili surjektivnim, ponavljamo proces formalnog proširenja afine ravni Π na projektivnu ravan, Π, dopunjujući ravan Π skupom nepravilnih tačaka (M∞) tako da je: ((M∞)) = P0(O). Kako je u preslikavanju inverzna slika svake ravni snopa ravnina S(O) prava na ravni d, očigledno je da je skup svih nepravilnih tačaka proširene ravni: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), je nepravilna prava d∞ proširene ravni koja je inverzna slika singularne ravni Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Složimo se da ćemo ovdje i dalje posljednju jednakost P0(O) = Π0 shvatiti u smislu jednakosti skupova tačaka, ali sa različitim strukturama. Dopunjujući afinu ravan neispravnom linijom, osigurali smo da preslikavanje (I.21) postane bijektivno na skupu svih tačaka proširene ravni:

Slike ravnih i prostornih figura u paralelnom dizajnu:

U stereometriji se proučavaju prostorne figure, ali su na crtežu prikazane kao ravne figure. Kako bi onda prostorna figura trebala biti prikazana na ravni? Obično se u geometriji za to koristi paralelni dizajn. Neka je p neka ravan, l- prava linija koja ga seče (slika 1). Kroz proizvoljnu tačku A, ne pripada liniji l nacrtati liniju paralelnu sa linijom l. Tačka preseka ove prave sa ravninom p naziva se paralelna projekcija tačke A na ravan p u pravcu prave l. Označimo ga A Ako je poenta A pripada liniji l, zatim paralelna projekcija A na ravan p smatra se tačkom preseka prave l sa avionom str.

Dakle, svaka tačka A prostor se preslikava na njegovu projekciju A" na ravan p. Ova korespondencija se naziva paralelna projekcija na ravan p u pravcu prave l.

Grupa projektivnih transformacija. Primjena za rješavanje problema.

Koncept projektivne transformacije ravni. Primjeri transformacija projektivne ravni. Svojstva projektivnih transformacija. Homologija, svojstva homologije. Grupa projektivnih transformacija.

Koncept transformacije projektivne ravni: Pojam projektivne transformacije generalizira pojam centralne projekcije. Ako izvršimo centralnu projekciju ravni α na neku ravan α 1 , onda je projekcija α 1 na α 2 , α 2 na α 3 , ... i, konačno, na neku ravan α n opet na α 1 , tada je kompozicija svih ovih projekcija projektivna transformacija ravni α; takav lanac može uključivati ​​paralelne projekcije.

Primjeri transformacija projektivne ravnine: Projektivna transformacija proširene ravni je njeno jedno-prema jedan preslikavanje na samu sebe, čime se čuva kolinearnost tačaka, ili, drugim riječima, slika bilo koje prave linije je prava linija. Svaka projektivna transformacija je sastav lanca centralnih i paralelnih projekcija. Afina transformacija je poseban slučaj projektivne, u kojoj linija u beskonačnosti ide u samu sebe.

Svojstva projektivnih transformacija:

Pod projektivnom transformacijom, tri tačke koje nisu na pravoj se preslikavaju u tri tačke koje nisu na pravoj.

Pod projektivnom transformacijom, okvir prelazi na okvir.

Pod projektivnom transformacijom, linija ide u pravu liniju, snop ide u snop.

Homologija, svojstva homologije:

Projektivna transformacija ravni koja ima liniju invarijantnih tačaka i stoga olovku invarijantnih linija naziva se homologija.

1. Prava koja prolazi kroz odgovarajuće nepodudarne homološke tačke je invarijantna prava;

2. Prave koje prolaze kroz odgovarajuće nepodudarne homološke tačke pripadaju istoj olovci, čiji je centar invarijantna tačka.

3. Tačka, njena slika i centar homologije leže na istoj pravoj liniji.

Grupa projektivnih transformacija: razmotrimo projektivno preslikavanje projektivne ravni P 2 na samu sebe, odnosno projektivnu transformaciju ove ravni (P 2 ’ = P 2).

Kao i ranije, kompozicija f projektivnih transformacija f 1 i f 2 projektivne ravni P 2 rezultat je uzastopnog izvođenja transformacija f 1 i f 2: f = f 2 °f 1 .

Teorema 1: Skup H svih projektivnih transformacija projektivne ravni P 2 je grupa pod kompozicijom projektivnih transformacija.

Pozitivno određeni kvadratni oblici

Definicija. Kvadratni oblik iz n nepoznato se zove pozitivno definitivno, ako je njegov rang jednak pozitivnom indeksu inercije i jednak broju nepoznatih.

Teorema. Kvadratični oblik je pozitivno određen ako i samo ako uzima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabilnih vrijednosti koji nije nula.

Dokaz. Neka je kvadratni oblik nedegenerirana linearna transformacija nepoznatih

vratio u normalu

.

Za bilo koji skup varijabilnih vrijednosti različit od nule, barem jedan od brojeva različito od nule, tj. . Neophodnost teoreme je dokazana.

Pretpostavimo da kvadratni oblik ima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabli koji nije nula, ali je njegov indeks inercije pozitivan. Nedegeneriranom linearnom transformacijom nepoznatih

Hajde da to vratimo u normalu. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da u ovom normalnom obliku kvadrat posljednje varijable ili nema ili ulazi u njega sa predznakom minus, tj. , gdje ili . Pretpostavimo da je skup vrijednosti varijabli različit od nule, dobivenih kao rezultat rješavanja sistema linearnih jednadžbi

U ovom sistemu, broj jednačina je jednak broju varijabli, a determinanta sistema je različita od nule. Prema Cramerovoj teoremi, sistem ima jedinstveno rješenje i ono je različito od nule. Za ovaj set. Kontradikcija sa uslovom. Dolazimo do kontradikcije sa pretpostavkom, što dokazuje dovoljnost teoreme.

Koristeći ovaj kriterij, nije moguće iz koeficijenata utvrditi da li je kvadratni oblik pozitivno-definitan. Odgovor na ovo pitanje daje još jedna teorema, za čiju formulaciju uvodimo još jedan koncept. Glavna dijagonalna matrična manjina su maloljetnici smješteni u njegovom gornjem lijevom uglu:

, , , … , .

Teorema.Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi njegovi glavni dijagonalni minori pozitivni.

Dokaz izvršićemo metodom potpune matematičke indukcije na broj n varijable kvadratnog oblika f.

Hipoteza indukcije. Pretpostavimo da za kvadratne forme sa manje varijabli n izjava je tačna.

Razmotrimo kvadratni oblik iz n varijable. Sakupite u jednu zagradu sve pojmove koji sadrže . Preostali članovi formiraju kvadratni oblik u varijablama. Prema hipotezi indukcije, tvrdnja je tačna za njega.

Pretpostavimo da je kvadratni oblik pozitivno određen. Tada je kvadratni oblik također pozitivno određen. Ako pretpostavimo da to nije slučaj, onda postoji skup promenljivih vrednosti koji nije nula , za koji i shodno tome, , što je u suprotnosti s činjenicom da je kvadratni oblik pozitivno određen. Po hipotezi indukcije, svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika su pozitivni, tj. svi prvi glavni minori kvadratnog oblika f su pozitivni. Zadnji glavni mol kvadratnog oblika – je determinanta njegove matrice. Ova determinanta je pozitivna, jer se njen predznak poklapa sa predznakom matrice njenog normalnog oblika, tj. sa predznakom determinante matrice identiteta.

Neka su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni. Tada su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni iz jednakosti . Po hipotezi indukcije, kvadratni oblik je pozitivno određen, tako da postoji nedegenerirana linearna transformacija varijabli koja formu svodi na oblik sume kvadrata novih varijabli. Ova linearna transformacija se može proširiti na nedegenerisanu linearnu transformaciju svih varijabli postavljanjem . Kvadratni oblik se ovom transformacijom svodi na oblik

Kvadratni oblici

kvadratni oblik f(x 1, x 2,..., x n) od n varijabli naziva se zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A, sastavljena od ovih koeficijenata, naziva se matrica kvadratnog oblika. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Zaista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima na kvadratima varijabli, a preostali elementi jednaki su polovini odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Zbog toga

Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nedegenerirana matrica reda n. Zatim kvadratni oblik
f(X) = X T AX = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y.

Dakle, pod nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika poprima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2) dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled) ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz ovdje nije dat). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, svodimo na kanonski oblik kvadratni oblik
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat za varijablu x 1:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada biramo puni kvadrat za varijablu x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika definiran dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o tome kako se oblik svodi na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će biti dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo tako što ćemo isti kvadratni oblik na drugačiji način svesti na kanonski oblik. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:
f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje je pozitivan koeficijent 2 na y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) na y 1 i y 2 (i koristeći drugu metodu, dobili smo pozitivan koeficijent 2 na y 1 i dva negativna koeficijenta - (-5) na y 2 i (-1 /20) za y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno (negativan) siguran, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi predznačnu određenost kvadratnog oblika, pa se za to koristi jedna od sljedećih teorema (formuliramo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorema (Sylvesterov kriterijum). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi glavni minori matrice ovog oblika pozitivni.

Dur (ugao) mol K-ti red matrice A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redova i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno-definirane kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitujemo kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 za predznak-definiranost.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 = 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno određen.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za predznak-određenost, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.