Osnovni trigonometrijski identitet. Prezentacija za čas iz algebre (9. razred) na temu: Prezentacija za čas: "Osnovni trigonometrijski identiteti

Trigonometrijske funkcije- Zahtjev "grijeh" je preusmjeren ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja. "Sine" preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia

Tan

Rice. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekansa, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Kosinus- Pirinač. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekansa, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Kotangens- Pirinač. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekansa, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Secant- Pirinač. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekansa, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Istorija trigonometrije- Geodetska mjerenja (XVII vijek) ... Wikipedia

Formula tangente poluugla- U trigonometriji, formula za tangentu pola ugla povezuje tangentu pola ugla sa trigonometrijskim funkcijama punog ugla: Različite varijacije ove formule su sledeće... Wikipedia

Trigonometrija- (od grčkog τρίγονο (trokut) i grčkog μετρειν (mjera), odnosno mjerenje trouglova) grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene na geometriju. Ovaj izraz se prvi put pojavio 1595. godine kao ... ... Wikipedia

Rešavanje trouglova- (lat. solutio triangulorum) istorijski pojam koji označava rješenje glavnog trigonometrijskog problema: koristeći poznate podatke o trouglu (stranice, uglovi itd.), pronaći ostale njegove karakteristike. Trougao se može nalaziti na ... ... Wikipediji

Knjige

Set stolova. Algebra i počeci analize. 10. razred. 17 tabela + metodologija, . Tabele su štampane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet sadrži brošuru sa metodološkim preporukama za nastavnike. Studijski album od 17 listova... Kupite za 3944 rub
Tabele integrala i drugih matematičkih formula, G. B. Dwight. Deseto izdanje čuvenog priručnika sadrži vrlo detaljne tabele neodređenih i određenih integrala, kao i veliki broj drugih matematičkih formula: proširenja nizova, ...

Ovo je posljednja i najvažnija lekcija potrebna za rješavanje problema B11. Već znamo kako pretvoriti uglove iz radijana u stepene (pogledajte lekciju " Radijan i stepen mjera ugla”), a znamo i kako odrediti predznak trigonometrijske funkcije, fokusirajući se na koordinatne četvrti (vidi lekciju “ Znakovi trigonometrijskih funkcija »).

Stvar ostaje mala: izračunati vrijednost same funkcije - samog broja koji je napisan u odgovoru. Ovdje u pomoć dolazi osnovni trigonometrijski identitet.

Osnovni trigonometrijski identitet. Za bilo koji ugao α, tvrdnja je tačna:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ova formula povezuje sinus i kosinus jednog ugla. Sada, znajući sinus, lako možemo pronaći kosinus - i obrnuto. Dovoljno je uzeti kvadratni korijen:

Obratite pažnju na znak "±" ispred korena. Činjenica je da iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nije jasno šta su bili originalni sinus i kosinus: pozitivan ili negativan. Uostalom, kvadriranje je parna funkcija koja "spaljuje" sve minuse (ako ih ima).

Zato u svim zadacima B11 koji se nalaze u USE iz matematike, nužno postoje dodatni uvjeti koji pomažu da se riješe nesigurnosti znakovima. Obično je to indikacija koordinatne četvrti po kojoj se može odrediti znak.

Pažljivi čitatelj će sigurno pitati: "Šta je s tangentom i kotangensom?" Nemoguće je direktno izračunati ove funkcije iz gornjih formula. Međutim, postoje važne posljedice iz osnovnog trigonometrijskog identiteta koje već sadrže tangente i kotangense. naime:

Važan zaključak: za bilo koji ugao α, osnovni trigonometrijski identitet se može prepisati na sljedeći način:

Ove jednačine se lako izvode iz osnovnog identiteta - dovoljno je obje strane podijeliti sa cos 2 α (da bi se dobila tangenta) ili sa sin 2 α (za kotangens).

Pogledajmo sve ovo na konkretnim primjerima. Slijede stvarni B11 problemi uzeti iz testova USE matematike iz 2012. godine.

Znamo kosinus, ali ne znamo sinus. Glavni trigonometrijski identitet (u svom "čistom" obliku) povezuje upravo ove funkcije, pa ćemo s njim raditi. Imamo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Da bismo riješili problem, ostaje pronaći znak sinusa. Pošto je ugao α ∈ (π /2; π ), onda se u stepenskoj meri piše na sledeći način: α ∈ (90°; 180°).

Dakle, ugao α leži u II koordinatnoj četvrtini - svi sinusi su pozitivni. Stoga je sin α = 0,1.

Dakle, znamo sinus, ali moramo pronaći kosinus. Obje ove funkcije su u osnovnom trigonometrijskom identitetu. Zamjenjujemo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Ostaje da se pozabavimo znakom ispred razlomka. Šta odabrati: plus ili minus? Po uslovu, ugao α pripada intervalu (π 3π /2). Pretvorimo uglove iz radijanske mjere u mjeru stepena - dobijamo: α ∈ (180°; 270°).

Očigledno, ovo je III koordinatna četvrtina, gdje su svi kosinusi negativni. Prema tome, cosα = −0,5.

Zadatak. Pronađite tg α ako znate sljedeće:

Tangenta i kosinus su povezani jednačinom koja slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:

Dobijamo: tg α = ±3. Predznak tangente je određen uglom α. Poznato je da je α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo uglove iz radijanske mjere u mjeru stepena - dobićemo α ∈ (270°; 360°).

Očigledno, ovo je IV koordinatna četvrtina, gdje su sve tangente negativne. Prema tome, tgα = −3.

Zadatak. Pronađite cos α ako znate sljedeće:

Opet, sinus je poznat, a kosinus nepoznat. Zapisujemo glavni trigonometrijski identitet:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Znak je određen uglom. Imamo: α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo uglove iz stepeni u radijane: α ∈ (270°; 360°) je IV koordinatna četvrtina, kosinusi su tamo pozitivni. Dakle, cos α = 0,6.

Zadatak. Pronađite sin α ako znate sljedeće:

Napišimo formulu koja slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta i direktno povezuje sinus i kotangens:

Odavde dobijamo da je sin 2 α = 1/25, tj. sin α = ±1/5 = ±0,2. Poznato je da je ugao α ∈ (0; π /2). U stepenima, to se piše na sljedeći način: α ∈ (0°; 90°) - I koordinatna četvrtina.

Dakle, kut je u I koordinatnoj četvrti - sve trigonometrijske funkcije su tamo pozitivne, stoga sin α = 0,2.

U ovom članku ćemo sveobuhvatno pogledati . Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla i omogućavaju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.

Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete, koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tabelu, a u nastavku dajemo izvođenje ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog ugla

Ponekad se ne govori o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tabeli, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet vrsta . Objašnjenje za ovu činjenicu je prilično jednostavno: jednakosti se dobijaju iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nakon što se oba njegova dijela podijele sa i, redom, i jednakosti i slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim paragrafima.

Odnosno, jednakost je od posebnog interesa, kojoj je dato ime glavnog trigonometrijskog identiteta.

Prije nego što dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla identično je jednak jedinici. A sada da dokažemo.

Osnovni trigonometrijski identitet se vrlo često koristi u transformacija trigonometrijskih izraza. Omogućava da se zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla zamijeni jednim. Ništa manje često se osnovni trigonometrijski identitet koristi obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangenta i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangentu i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog ugla oblika i odmah slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Zaista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangenta je omjer ordinate prema apscisi, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zbog ove očiglednosti identiteta i često se definicije tangenta i kotangensa ne daju kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangent ugla je omjer sinusa i kosinusa ovog ugla, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

Da zaključimo ovaj dio, treba napomenuti da su identiteti i vrijedi za sve takve kutove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koje drugo osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje nulom), a formula - za sve , različito od , gdje je z bilo koji .

Odnos između tangente i kotangensa

Još očigledniji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangentu i kotangens jednog ugla oblika . Jasno je da se to odvija za bilo koje uglove osim , inače ni tangenta ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule veoma jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz je mogao biti izveden na malo drugačiji način. Od i , onda .

Dakle, tangenta i kotangens jednog ugla, pod kojim imaju smisla, jeste.

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Neka je engleski nekome drag, nekome je bitna hemija, bez matematike, svi mi, ali ni ovde ni tamo nemamo jednacine kao pesme I sinusi podupiru duh Imamo kosinuse, kao pesme, a formule trigonometrije miluju uho !

Tema lekcije: „Osnovni trigonometrijski identiteti. Rješavanje problema”. Znati: Biti u stanju: Svrha lekcije:

ZNAM! MOGU! ODLUČUJEM! I

Šta je jedinični krug? x y α R

Koji su pravci rotacije jediničnog radijusa poznati? x y α R

U kojim jedinicama se mjeri ugao rotacije jediničnog radijusa? x y α R

Koliki je ugao od jednog radijana? Koliko otprilike stepeni sadrži ugao od 1 radijana? x y α R

Formulirajte pravila za pretvaranje stepena mjere ugla u radijansku mjeru i obrnuto.

Formulirajte pravila za pretvaranje stepena mjere ugla u radijansku mjeru i obrnuto. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

Koje trigonometrijske funkcije poznajete?

Koje trigonometrijske funkcije poznajete? Što određuje vrijednost trigonometrijskih funkcija?

Koja je četvrtina ugla α ako je: α =15° α =190° α =100°

Ugao čije četvrtine je ugao α ako je: α = -20° α = -110° α = 289°

Grupni rad Pravila grupnog rada: Grupa zajedno raspravlja i odlučuje da li će iznijeti ideje ili ih opovrgnuti. Svaki član grupe mora raditi najbolje što može. Dok radite, ponašajte se s poštovanjem prema svojim drugovima: prihvatite ili odbacite ideju, učinite to pristojno. Zapamtite da svako ima pravo na greške. Zapamtite da uspjeh grupe zavisi od toga u kojoj mjeri svi pokazuju svoju vrijednost.

Grupni rad

0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Tabela vrijednosti trigonometrijske funkcije

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 do K 8 L 9 do i M 10 do i N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriterijumi ocjenjivanja: 10 zadataka - ocjena "5". 8-9 zadataka - ocjena "4". 5-7 zadataka - ocjena "3". 1-4 zadatka - ocjena "2". Uspostavite korespondenciju između lijevog i desnog dijela identiteta.

1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 do A 8 K 9 do i H 10 do i D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriterijumi ocjenjivanja: 10 zadataka - ocjena "5". 8-9 zadataka - ocjena "4". 5-7 zadataka - ocjena "3". 1-4 zadatka - ocjena "2". Uspostavite korespondenciju između lijevog i desnog dijela identiteta.

Osnovni trigonometrijski identitet "trigonometrijska jedinica"

Osnovni trigonometrijski identitet "trigonometrijska jedinica" Kosinusni kvadrat Vrlo sretan. Brat Sinus Square dolazi k njemu! Kada se sretnu, Krug će se iznenaditi: Izaći će cijela porodica, odnosno jedna!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) na α =90° 3. 1- sin 2 40 0 4. 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 - sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α i sa t P do y 1 cos 2 40 ° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dobiti ime matematičara u čijoj se knjizi prvi put pojavljuje pojam trigonometrija. 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i s k u s 2-2 cos(-60 0)

Pitiscus

Al-Batuni Al-Khwarizmi

Bhaskara Naseereddin Tusi

Leonard Euler

S obzirom na vrijednost trigonometrijske funkcije, pronađite vrijednost druge funkcije Zadato četvrtina: Nađite: Rješenje: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

S obzirom na vrijednost trigonometrijske funkcije, pronađite vrijednost druge funkcije.

S obzirom na vrijednost trigonometrijske funkcije, pronađite vrijednost druge funkcije Zadato četvrtina: Nađite: Rješenje: II cosα= sinα = =

S obzirom na vrijednost trigonometrijske funkcije, pronađite vrijednost druge funkcije Zadana četvrtina: Nađite: Rješenje: III tgα= ctgα ctgα = = =

S obzirom na vrijednost trigonometrijske funkcije, pronađite vrijednost druge funkcije Zadato četvrtina: Nađite: Rješenje: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

Primjena trigonometrije u ljudskom životu.

Poruka za domaći zadatak: “Trigonometrija u ljudskom životu” br. 304 str.111

y=sinx Hvala na lekciji!

1 sin 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos 300 °) 14 tg Odredi predznak izraza - - - - - - + + + + + + +

Na temu: metodološke izrade, prezentacije i bilješke

U prezentaciji su predstavljena rješenja ključnih zadataka školskog predmeta matematika za pronalaženje svih vrsta udaljenosti i uglova u prostoru prema algoritmu, što vam omogućava da ga koristite i pri učenju...

Prezentacija za lekciju: "Ugao između ravni. Rješavanje problema različitim metodama"

Ova prezentacija se može koristiti za preglednost u nastavi ponavljanja, za pripremu za Jedinstveni državni ispit pri rješavanju zadataka tipa C-2 ....