Obim jednakokračnog trougla tablica 3 rješenje. Obim i površina trokuta

Perimetar trougla, kao iu drugim stvarima i bilo kojoj figuri, naziva se zbir dužina svih strana. Često ova vrijednost pomaže u pronalaženju područja ili se koristi za izračunavanje drugih parametara figure.
Formula za obim trokuta izgleda ovako:

Primjer izračunavanja perimetra trokuta. Neka je zadan trokut sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Zamijenite podatke u formulu: cm

Formula za izračunavanje perimetra jednakokraki trougao izgledat će ovako:

Formula za izračunavanje perimetra jednakostranični trougao:

Primjer izračunavanja perimetra jednakostraničnog trokuta. Kada su sve strane figure jednake, onda se jednostavno mogu pomnožiti sa tri. Recimo da je u ovom slučaju dat pravilan trougao sa stranicom od 5 cm: cm

Općenito, kada su date sve strane, pronalaženje perimetra je prilično lako. U drugim situacijama potrebno je pronaći veličinu stranice koja nedostaje. U pravokutnom trokutu možete pronaći treću stranu Pitagorina teorema. Na primjer, ako su poznate dužine kateta, hipotenuzu možete pronaći pomoću formule:

Razmotrimo primjer izračunavanja perimetra jednakokračnog trokuta, pod uvjetom da znamo dužinu kateta u pravokutnom jednakokračnom trokutu.
Dat je trokut s kracima a = b = 5 cm. Pronađite obim. Prvo, pronađimo stranu koja nedostaje sa . cm
Sada izračunajmo obim: cm
Opseg pravokutnog jednakokračnog trougla bit će 17 cm.

U slučaju kada su poznate hipotenuza i dužina jednog kraka, onaj koji nedostaje može se pronaći pomoću formule:
Ako su hipotenuza i jedan od oštrih uglova poznati u pravokutnom trokutu, tada se strana koja nedostaje nalazi po formuli.

Bilo koji trougao jednak je zbiru dužina njegove tri strane. Opća formula za pronalaženje perimetra trokuta je:

P = a + b + c

gdje P je obim trougla a, b i c- njegove strane.

Može se naći tako što se dužine njegovih stranica zbrajaju u nizu ili tako da se dužina stranice pomnoži sa 2 i doda dužina baze proizvodu. Opća formula za pronalaženje perimetra jednakokračnih trokuta izgledat će ovako:

P = 2a + b

gdje P je obim jednakokračnog trougla, a- bilo koju stranu, b- baza.

Možete ga pronaći dodavanjem dužina njegovih stranica u nizu ili množenjem dužine bilo koje od njegovih stranica sa 3. Opća formula za pronalaženje perimetra jednakostraničnih trokuta izgledat će ovako:

P = 3a

gdje P je obim jednakostraničnog trougla, a- bilo koju njegovu stranu.

Square

Da biste izmjerili površinu trokuta, možete ga usporediti s paralelogramom. Zamislite trougao ABC:

Ako uzmete trokut jednak njemu i pričvrstite ga tako da dobijete paralelogram, dobićete paralelogram iste visine i osnove kao i ovaj trokut:

U ovom slučaju, zajednička stranica trokuta presavijenih zajedno je dijagonala formiranog paralelograma. Iz svojstva paralelograma se zna da dijagonala uvijek dijeli paralelogram na dva jednaka trokuta, što znači da je površina svakog trokuta jednaka polovini površine paralelograma.

Pošto je površina paralelograma jednaka umnošku njegove osnove i visine, površina trokuta će biti jednaka polovini ovog proizvoda. Dakle za Δ ABC površina će biti jednaka

Sada razmotrite pravougli trokut:

Dva jednaka pravougaona trougla mogu se saviti u pravougaonik ako su hipotenuzom naslonjeni jedan na drugi. Budući da je površina pravokutnika jednaka umnošku njegovih susjednih stranica, površina datog trokuta je:

Iz ovoga možemo zaključiti da je površina bilo kojeg pravokutnog trokuta jednaka umnošku nogu podijeljenih sa 2.

Iz ovih primjera može se zaključiti da površina bilo kojeg trokuta jednaka je umnošku dužine baze i visine spuštene na bazu, podijeljeno sa 2. Opća formula za pronalaženje površine trokuta izgledat će ovako:

S =	ah a
	2

gdje S je površina trougla, a- njen temelj h a- visina spuštena do osnove a.

Preliminarne informacije

Opseg bilo koje ravne geometrijske figure u ravni definiran je kao zbir dužina svih njegovih strana. Trougao nije izuzetak od ovoga. Prvo dajemo pojam trokuta, kao i vrste trokuta u zavisnosti od stranica.

Definicija 1

Trougao ćemo nazvati geometrijskom figurom, koja se sastoji od tri tačke povezane segmentima (slika 1).

Definicija 2

Tačke unutar Definicije 1 zvaćemo vrhove trougla.

Definicija 3

Segmenti u okviru definicije 1 zvaćemo stranice trougla.

Očigledno je da će svaki trougao imati 3 vrha kao i 3 stranice.

Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na skale, jednakokračne i jednakostranične.

Definicija 4

Za trokut se kaže da je razmjeran ako nijedna njegova stranica nije jednaka nijednoj drugoj.

Definicija 5

Trougao ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake jedna drugoj, ali nisu jednake trećoj strani.

Definicija 6

Trokut se naziva jednakostraničan ako su mu sve stranice jednake jedna drugoj.

Sve vrste ovih trouglova možete vidjeti na slici 2.

Kako pronaći obim razmjernog trougla?

Neka nam je dat skalirani trokut sa dužinama stranica jednakim $α$, $β$ i $γ$.

zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, zbrojite sve dužine njegovih stranica.

Primjer 1

Nađite obim razmjernog trougla jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Odgovor: $57 vidi.

Primjer 2

Pronađite obim pravouglog trougla čiji su kraci $6$ i $8$ cm.

Prvo, pronalazimo dužinu hipotenusa ovog trokuta koristeći Pitagorinu teoremu. Označi ga onda sa $α$

$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje obima skalenskog trougla dobijamo

$P=10+8+6=24$ cm

Odgovor: $24 vidi.

Kako pronaći obim jednakokračnog trougla?

Neka nam je dat jednakokraki trougao čije će stranice biti jednake $α$, a dužina baze jednaka $β$.

Po definiciji perimetra ravne geometrijske figure, dobijamo to

$P=α+α+β=2α+β$

zaključak: Da biste pronašli obim jednakokračnog trougla, dodajte dvostruku dužinu njegovih stranica dužini njegove osnove.

Primjer 3

Nađite obim jednakokračnog trougla ako su njegove stranice $12$ cm, a osnova $11$ cm.

Iz gornjeg primjera to vidimo

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Odgovor: $35 vidi.

Primjer 4

Pronađite obim jednakokračnog trougla ako je njegova visina povučena do osnove $8$ cm, a osnova $12$ cm.

Razmotrite cifru prema stanju problema:

Pošto je trougao jednakokračan, $BD$ je također medijana, dakle $AD=6$ cm.

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ADB$ nalazimo stranicu. Označi ga onda sa $α$

Prema pravilu za izračunavanje perimetra jednakokračnog trougla, dobijamo

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Odgovor: $32 vidi.

Kako pronaći obim jednakostraničnog trougla?

Neka nam je dat jednakostranični trokut sa dužinama svih strana jednakim $α$.

Po definiciji perimetra ravne geometrijske figure, dobijamo to

$P=α+α+α=3α$

zaključak: Da biste pronašli obim jednakostraničnog trougla, pomnožite dužinu stranice trokuta sa 3$.

Primjer 5

Nađite obim jednakostraničnog trougla ako je njegova stranica $12$ cm.

Iz gornjeg primjera to vidimo

$P=3\cdot 12=36$ cm

Preliminarne informacije

Opseg bilo koje ravne geometrijske figure u ravni definiran je kao zbir dužina svih njegovih strana. Trougao nije izuzetak od ovoga. Prvo dajemo pojam trokuta, kao i vrste trokuta u zavisnosti od stranica.

Definicija 1

Trougao ćemo nazvati geometrijskom figurom, koja se sastoji od tri tačke povezane segmentima (slika 1).

Definicija 2

Tačke unutar Definicije 1 zvaćemo vrhove trougla.

Definicija 3

Segmenti u okviru definicije 1 zvaćemo stranice trougla.

Očigledno je da će svaki trougao imati 3 vrha kao i 3 stranice.

Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na skale, jednakokračne i jednakostranične.

Definicija 4

Za trokut se kaže da je razmjeran ako nijedna njegova stranica nije jednaka nijednoj drugoj.

Definicija 5

Trougao ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake jedna drugoj, ali nisu jednake trećoj strani.

Definicija 6

Trokut se naziva jednakostraničan ako su mu sve stranice jednake jedna drugoj.

Sve vrste ovih trouglova možete vidjeti na slici 2.

Kako pronaći obim razmjernog trougla?

Neka nam je dat skalirani trokut sa dužinama stranica jednakim $α$, $β$ i $γ$.

zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, zbrojite sve dužine njegovih stranica.

Primjer 1

Nađite obim razmjernog trougla jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Odgovor: $57 vidi.

Primjer 2

Pronađite obim pravouglog trougla čiji su kraci $6$ i $8$ cm.

Prvo, pronalazimo dužinu hipotenusa ovog trokuta koristeći Pitagorinu teoremu. Označi ga onda sa $α$

$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje obima skalenskog trougla dobijamo

$P=10+8+6=24$ cm

Odgovor: $24 vidi.

Kako pronaći obim jednakokračnog trougla?

Neka nam je dat jednakokraki trougao čije će stranice biti jednake $α$, a dužina baze jednaka $β$.

Po definiciji perimetra ravne geometrijske figure, dobijamo to

$P=α+α+β=2α+β$

zaključak: Da biste pronašli obim jednakokračnog trougla, dodajte dvostruku dužinu njegovih stranica dužini njegove osnove.

Primjer 3

Nađite obim jednakokračnog trougla ako su njegove stranice $12$ cm, a osnova $11$ cm.

Iz gornjeg primjera to vidimo

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Odgovor: $35 vidi.

Primjer 4

Pronađite obim jednakokračnog trougla ako je njegova visina povučena do osnove $8$ cm, a osnova $12$ cm.

Razmotrite cifru prema stanju problema:

Pošto je trougao jednakokračan, $BD$ je također medijana, dakle $AD=6$ cm.

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ADB$ nalazimo stranicu. Označi ga onda sa $α$

Prema pravilu za izračunavanje perimetra jednakokračnog trougla, dobijamo

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Odgovor: $32 vidi.

Kako pronaći obim jednakostraničnog trougla?

Neka nam je dat jednakostranični trokut sa dužinama svih strana jednakim $α$.

Po definiciji perimetra ravne geometrijske figure, dobijamo to

$P=α+α+α=3α$

zaključak: Da biste pronašli obim jednakostraničnog trougla, pomnožite dužinu stranice trokuta sa 3$.

Primjer 5

Nađite obim jednakostraničnog trougla ako je njegova stranica $12$ cm.

Iz gornjeg primjera to vidimo

$P=3\cdot 12=36$ cm

Perimetar je zbir svih strana figure. Ova karakteristika, zajedno sa površinom, podjednako je tražena za sve figure. Formula za obim jednakokračnog trokuta logično slijedi iz njegovih svojstava, ali formula nije toliko komplicirana kao stjecanje i konsolidacija praktičnih vještina.

Formula perimetra

Stranice jednakokračnog trougla jednake su jedna drugoj. Ovo proizilazi iz definicije i jasno je vidljivo čak i iz naziva figure. Iz ovog svojstva slijedi formula perimetra:

P=2a+b, gdje je b osnova trougla, a vrijednost stranice.

Rice. 1. Jednakokraki trougao

Iz formule se vidi da je za pronalaženje perimetra dovoljno znati veličinu baze i jedne od stranica. Razmotrite nekoliko problema o pronalaženju perimetra jednakokračnog trougla. Probleme ćemo rješavati kako se kompleksnost povećava, to će nam omogućiti da bolje razumijemo način razmišljanja koji treba slijediti da bismo pronašli perimetar.

Zadatak 1

• U jednakokračnom trouglu, osnova je 6, a visina povučena do ove osnove je 4. Potrebno je pronaći obim figure.

Rice. 2. Crtež za zadatak 1

Visina jednakokračnog trougla povučena do osnove je također medijana i visina. Ovo svojstvo se vrlo često koristi u rješavanju problema vezanih za jednakokračne trouglove.

Trougao ABC visine VM podeljen je na dva pravougla trougla: ABM i BCM. U trouglu AVM poznat je krak VM, krak AM jednak je polovini osnovice trougla ABC, pošto je VM medijan simetrale i visine. Koristeći Pitagorinu teoremu, nalazimo vrijednost hipotenuze AB.

$$AB^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Pronađite obim: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Zadatak 2

• U jednakokračnom trouglu visina povučena do osnove je 10, a oštar ugao u osnovi je 30 stepeni. morate pronaći obim trougla.

Rice. 3. Crtež za zadatak 2

Ovaj zadatak je kompliciran nedostatkom informacija o stranicama trokuta, ali znajući vrijednost visine i ugla, može se pronaći krak AH u pravokutnom trokutu ABH i tada će rješenje slijediti isti scenario kao u zadatku 1.

Nađimo AH kroz vrijednost sinusa:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - sinus od 30 stepeni je tabela.

Izrazimo željenu stranu:

$$AB=((BH\preko (1\preko 2))) =BH*2=10*2=20$$

Preko kotangensa nalazimo vrijednost AH:

$$ctg(BAH)=(AH\preko BH)=(1\preko\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17,32$$ - zaokružite rezultujuću vrijednost na najbližu stotu.

Nađimo bazu:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Sada kada su pronađene sve tražene vrijednosti, definirajmo perimetar:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Zadatak 3

• Jednakokraki trougao ABC ima površinu jednaku $$16\over\sqrt(3)$$ i oštar ugao u osnovi od 30 stepeni. Pronađite obim trougla.

Vrijednosti u uvjetu se često daju kao proizvod korijena i broja. Ovo se radi kako bi se naknadna odluka što je više moguće zaštitila od grešaka. Bolje je zaokružiti rezultat na kraju proračuna

Uz takvu formulaciju problema može se činiti da rješenja nema, jer je iz dostupnih podataka teško izraziti jednu od strana ili visinu. Hajde da pokušamo da odlučimo drugačije.

Visinu i polovinu osnove označimo latiničnim slovima: BH=h i AH=a

Tada će baza biti: AC=AH+HC=AH*2=2a

Područje: $$S=(1\preko 2)*AC*BH=(1\preko 2)*2a*h=ah$$

S druge strane, vrijednost h može se izraziti iz trougla ABH u terminima tangente oštrog ugla. Zašto tangenta? Jer u trouglu ABH smo već označili dva kraka a i h. Jedno se mora izraziti u terminima drugog. Dva kraka zajedno povezuju tangentu i kotangens. Tradicionalno, kotangens i kosinus se koriste samo kada se tangenta ili sinus ne uklapaju. Ovo nije pravilo, možete odlučiti koliko je zgodno, jednostavno je prihvaćeno.

$$tg(BAH)=(h\preko(a))=(1\preko\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

Zamijenite rezultirajuću vrijednost u formulu površine.

$$S=a*h=a*(a\preko\sqrt(3))=((a^2)\preko\sqrt(3))$$

Izrazite a:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\preko\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

Zamijenite vrijednost a u formulu površine i odredite vrijednost visine:

$$S=a*h=(16\preko\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2,31$$- primljena vrijednost zaokružena na stotinke.

Kroz Pitagorinu teoremu nalazimo stranu trougla:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

Zamijenite vrijednosti u formulu perimetra:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Šta smo naučili?

Detaljno smo shvatili sve zamršenosti pronalaženja perimetra jednakokračnog trougla. Riješili smo tri zadatka različitog nivoa složenosti, pokazujući na primjeru kako se rješavaju tipični problemi za rješavanje jednakokračnog trougla.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.4. Ukupno primljenih ocjena: 83.