Uvod

Ovaj kurs je dizajniran da:

1) konsoliduju, produbljuju i proširuju teorijska znanja iz oblasti metoda za modelovanje površina i objekata, praktične veštine i veštine softverske implementacije metoda;

2) unaprediti veštine samostalnog rada;

3) razvijanje sposobnosti formulisanja sudova i zaključaka, njihovog logičkog i konačnog iznošenja.

Platonove čvrste materije

Platonova tijela su konveksni poliedri, čija su sva lica pravilni poligoni. Svi poliedarski uglovi pravilnog poliedra su podudarni. Kao što već slijedi iz izračunavanja zbira ravnih uglova na vrhu, ne postoji više od pet konveksnih pravilnih poliedara. Na dole naznačen način može se dokazati da postoji tačno pet pravilnih poliedara (ovo je dokazao Euklid). To su pravilni tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, dodekaedar i ikosaedar. Nazivi ovih pravilnih poliedara potiču iz Grčke. U doslovnom prijevodu sa grčkog "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar", "dodekaedar", "ikosaedar" znači: "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar". dodekaedar, dodekaedar.

Tabela br. 1

Tabela broj 2

ime:	Radijus opisane sfere	Poluprečnik upisane sfere
Tetrahedron
Heksaedar
Dodecahedron
ikosaedar

Tetrahedron- tetraedar, čije su sve strane trouglovi, tj. trokutasta piramida; pravilan tetraedar je omeđen sa četiri jednakostranična trougla. (Sl. 1).

Kocka ili pravilni heksaedar- pravilna četverokutna prizma s jednakim rubovima, ograničena sa šest kvadrata. (Sl. 1).

Oktaedar- oktaedar; tijelo omeđeno sa osam trouglova; pravilni oktaedar omeđen je sa osam jednakostraničnih trouglova; jedan od pet pravilnih poliedara. (Sl. 1).

Dodecahedron- dodekaedar, tijelo omeđeno sa dvanaest poligona; pravilan pentagon. (Sl. 1).

ikosaedar- dvadesetostrano tijelo, tijelo omeđeno sa dvadeset poligona; pravilan ikosaedar je omeđen sa dvadeset jednakostraničnih trouglova. (Sl. 1).

Kocka i oktaedar su dualni, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Dodekaedar i ikosaedar su na sličan način dualni. Tetraedar je dualan samom sebi. Pravilan dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem „krova“ na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice. Tako se iz kocke dobijaju svi drugi pravilni poliedri. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je zadivljujuća – na kraju krajeva, na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Svi pravilni poliedri bili su poznati u staroj Grčkoj, a njima je posvećena 13. knjiga Euklidovih "Početaka". Nazivaju se i Platonovim telima, jer. zauzimali su važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira. Četiri poliedra personificirala su u njemu četiri esencije ili "elementa". Tetraedar je simbolizirao vatru, jer. vrh mu je usmjeren prema gore; ikosaedar? vode, jer on je „najstroženiji“; kocka - zemlja, kao "najstabilnija"; oktaedar? vazduha, kao naj"prozračnije". Peti poliedar, dodekaedar, oličavao je "sve što postoji", simbolizirao je cijeli univerzum i smatrao se glavnim.

Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom svemira, pa su četiri elementa bila povezana takvim omjerom: zemlja / voda = zrak / vatra.

U vezi sa ovim tijelima, valjalo bi reći da je prvi sistem elemenata, koji je uključivao četiri elementa? zemlja, voda, vazduh i vatra - kanonizovan od strane Aristotela. Ovi elementi su ostali četiri kamena temeljca univerzuma tokom mnogih vekova. Sasvim ih je moguće poistovjetiti sa četiri nama poznata stanja materije - čvrstom, tekućem, plinovitom i plazmom.

U sistemu harmonične strukture sveta I. Keplera značajno mesto zauzimaju pravilni poliedri. Ista ista vjera u harmoniju, ljepotu i matematički pravilnu strukturu svemira dovela je I. Keplera do ideje da, pošto postoji pet pravilnih poliedara, njima odgovara samo šest planeta. Po njegovom mišljenju, sfere planeta su međusobno povezane platonskim telima upisanim u njih. Pošto se za svaki pravilan poliedar poklapaju centri upisane i opisane sfere, ceo model će imati jedno središte, u kojem će se nalaziti Sunce.

Obavivši ogroman računski posao, I. Kepler je 1596. objavio rezultate svog otkrića u knjizi "Tajna svemira". On upisuje kocku u sferu Saturnove orbite, u kocku? sfera Jupitera, sfera Jupitera - tetraedar, i tako dalje uzastopno se uklapaju jedna u drugu sfera Marsa? dodekaedar, sfera zemlje? ikosaedar, sfera Venere? oktaedar, sfera Merkura. Čini se da je tajna univerzuma otvorena.

Danas se sa sigurnošću može reći da udaljenosti između planeta nisu povezane ni sa jednim poliedrom. Međutim, moguće je da bez "Tajne univerzuma", "Harmonije sveta" I. Keplera, pravilnih poliedara ne bi postojala tri poznata zakona I. Keplera, koji igraju važnu ulogu u opisivanju kretanja. planeta.

Gdje još možete vidjeti ova nevjerovatna tijela? U knjizi njemačkog biologa s početka prošlog stoljeća, E. Haeckel, "Ljepota oblika u prirodi", mogu se pročitati sljedeći redovi: "Priroda hrani u svojim nedrima neiscrpni broj čudesnih stvorenja koja, u ljepota i raznolikost, daleko nadmašuju sve oblike stvorene ljudskom umjetnošću." Kreacije prirode u ovoj knjizi su lijepe i simetrične. Ovo je neodvojivo svojstvo prirodnog sklada. Ali ovdje možete vidjeti i jednoćelijske organizme? feodarii, čiji oblik tačno prenosi ikosaedar. Šta je uzrokovalo takvu prirodnu geometrizaciju? Možda zbog svih poliedara sa istim brojem lica, ikosaedar ima najveći volumen i najmanju površinu. Ovo geometrijsko svojstvo pomaže morskom mikroorganizmu da savlada pritisak vodenog stupca.

Zanimljivo je i da je upravo ikosaedar bio u fokusu pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. Da bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre, usmjerili svjetlost na njih pod istim uglovima kao i protok atoma do virusa. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu? ikosaedar. Njegova geometrijska svojstva, spomenuta gore, omogućavaju čuvanje genetskih informacija. Pravilni poliedri? najprofitabilnije brojke. I priroda to koristi. Kristali nekih nama poznatih supstanci su u obliku pravilnih poliedara. Dakle, kocka prenosi oblik kristala natrijum hlorida NaCl, monokristal aluminijum-kalijum stipse (KAlSO4) 2 12H2O ima oblik oktaedra, kristal sumpornog pirita FeS ima oblik dodekaedra, antimon natrijum sulfat je tetraedar, bor je ikosaedar. Pravilni poliedri određuju oblik kristalne rešetke nekih hemikalija.

Dakle, pravilni poliedri otkrili su nam pokušaje naučnika da se približe tajni svjetske harmonije i pokazali neodoljivu privlačnost i ljepotu ovih geometrijskih figura.

Pravilni poliedri su od antičkih vremena privlačili pažnju filozofa, graditelja, arhitekata, umjetnika i matematičara. Bili su zapanjeni ljepotom, savršenstvom, harmonijom ovih figura.

Pravilan poliedar je volumetrijska konveksna geometrijska figura, čije su sve strane isti pravilni mnogouglovi i svi poliedarski uglovi na vrhovima su međusobno jednaki. Postoji mnogo pravilnih poligona, ali postoji samo pet pravilnih poliedara. Nazivi ovih poliedara potiču iz antičke Grčke, a označavaju broj („tetra” - 4, „hexa” - 6, „octa” - 8, „dodeca” - 12, „ikosa” - 20) lica („hedra” ”) .

Ovi pravilni poliedri su nazvani Platonskim čvrstim tijelom po starogrčkom filozofu Platonu, koji im je dao mistično značenje, ali su bili poznati i prije Platona. Tetraedar je personificirao vatru, jer je njegov vrh usmjeren prema gore, poput plamena; ikosaedar - kao najstrožija - voda; kocka - najstabilnija figura - zemlja, a oktaedar - vazduh. Dodekaedar je identificiran sa cijelim svemirom i smatran je najvažnijim.

Pravilni poliedri se nalaze u prirodi. Na primjer, skelet jednoćelijskog organizma feodarije po obliku podsjeća na ikosaedar. Kristal pirita (sumporni pirit, FeS2) ima oblik dodekaedra.

Tetraedar je pravilna trouglasta piramida, a heksaedar je kocka - figure koje se stalno susrećemo u stvarnom životu. Da biste bolje osjetili oblik drugih Platonovih tijela, trebali biste ih sami kreirati od debelog papira ili kartona. Nije teško napraviti ravno skeniranje figura. Stvaranje pravilnih poliedara je izuzetno zabavno samim procesom oblikovanja.

Potpuni i bizarni oblici pravilnih poliedara naširoko se koriste u dekorativnoj umjetnosti. Volumetrijske figure mogu se učiniti zabavnijim ako su ravni pravilni poligoni predstavljeni drugim oblicima koji se uklapaju u poligon. Na primjer: pravilan pentagon može se zamijeniti zvijezdom. Takva trodimenzionalna figura neće imati ivice. Možete ga prikupiti tako što ćete vezati krajeve zraka zvijezda. I 10 zvjezdica će biti ravno skeniranje. Trodimenzionalna figura se dobija nakon fiksiranja preostale 2 zvjezdice.

Ako vaše dijete voli da pravi zanate svojim vještim rukama, pozovite ga da sastavi trodimenzionalnu figuru poliedra dodekaedra od ravnih plastičnih zvijezda. Rezultat rada zadovoljit će vaše dijete: on će vlastitim rukama napraviti originalan ukrasni dizajn koji se može koristiti za uređenje dječje sobe. Ali, najzanimljivije je to što ažurna lopta svijetli u mraku. Plastične zvijezde su napravljene uz dodatak moderne bezopasne supstance - fosfora.

Platonu pripada razvoj nekih važnih metodoloških problema matematičkog znanja: aksiomatska konstrukcija matematike, proučavanje odnosa između matematičkih metoda i dijalektike, analiza glavnih oblika matematičkog znanja. Dakle, proces dokazivanja nužno povezuje skup dokazanih propozicija u sistem zasnovan na nekim nedokazivim propozicijama. Činjenica da su počeci matematičkih nauka "suština nagađanja" može dovesti u sumnju istinitost svih kasnijih konstrukcija. Platon je takvu sumnju smatrao neosnovanom. Prema njegovom objašnjenju, iako ih same matematičke nauke, "koristeći pretpostavke, ostavljaju nepokretnima i ne mogu im dati osnove", pretpostavke nalaze temelje dijalektikom. Platon je izrazio niz drugih odredbi koje su se pokazale plodonosnim za razvoj matematike. Dakle, u dijalogu „Gozba“ se iznosi koncept granice; ideja se ovdje pojavljuje kao granica nastajanja stvari.

PLATONOVA TIJELA.

Platonova tijela su konveksni poliedri, čija su sva lica pravilni poligoni. Svi poliedarski uglovi pravilnog poliedra su podudarni. Kao što već slijedi iz izračunavanja zbira ravnih uglova na vrhu, ne postoji više od pet konveksnih pravilnih poliedara. Na dole naznačen način može se dokazati da postoji tačno pet pravilnih poliedara (ovo je dokazao Euklid). To su pravilni tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar.

TABELA #1

TABELA #2

ime:	Radijus opisane sfere	Poluprečnik upisane sfere	Volume
Tetrahedron	a\/6 4	a\/6 12	a3\/2 12
Kocka	a\/3 2	a 2	a3
Oktaedar	a\/2 2	a\/6 6	a3\/2 12
Dodecahedron	a 4 \/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
ikosaedar	a 12(3+\/5)\/3	5 12 a3(3+\/5)

Tetraedar je tetraedar čija su sva lica trouglovi, tj. trokutasta piramida; pravilan tetraedar je omeđen sa četiri jednakostranična trougla; jedan od pet pravilnih poligona. (Sl. 1).

Kocka ili pravilni heksaedar je pravilna četvorougaona prizma sa jednakim ivicama, ograničena sa šest kvadrata. (Sl. 2).

Oktaedar-oktaedar; tijelo omeđeno sa osam trouglova; pravilni oktaedar omeđen je sa osam jednakostraničnih trouglova; jedan od pet pravilnih poliedara. (Sl. 3).

Dodekaedar dodekaedar, tijelo omeđeno sa dvanaest poligona; regular pentagon; jedan od pet pravilnih poliedara. (Sl. 4).

Ikosaedar-dvadtsatiedar, tijelo omeđeno sa dvadeset poligona; pravilni ikosaedar omeđen je sa dvadeset jednakostraničnih trouglova; jedan od pet pravilnih poliedara. (Sl.5).

Kocka i oktaedar su dualni, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Dodekaedar i ikosaedar su na sličan način dualni. Tetraedar je dualan samom sebi. Pravilan dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem "krova" na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice. Tako se iz kocke dobijaju svi drugi pravilni poliedri. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je zadivljujuća – na kraju krajeva, na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Svi pravilni poliedri bili su poznati u staroj Grčkoj, a njima je posvećena poslednja, XII knjiga čuvenih Euklidovih principa. Ovi poliedri se često nazivaju i Platonovim telima u idealističkoj slici svijeta koju je dao veliki starogrčki mislilac Platon. Četiri od njih personificiraju četiri elementa: tetraedar-vatru, kocku-zemlju, ikosaedar-vodu i oktaedar-vazduh; peti poliedar, dodekaedar, simbolizirao je cijeli svemir; na latinskom su ga počeli zvati quintaessentia („peta suština“). Očigledno, nije bilo teško smisliti pravilan tetraedar, kocku, oktaedar, pogotovo jer ovi oblici imaju prirodne kristale, na primjer: kocka-monokristal natrijevog hlorida (NaCl), oktaedar-monokristal kalijum aluma ( (KalSO4) 2 * 12H2O). Postoji pretpostavka da su stari Grci dobili oblik dodekaedra razmatrajući kristale pirita (sumporni pirit FeS). Imajući dodekaedar, nije teško izgraditi ikosaedar: njegovi vrhovi će biti središta dvanaest lica dodekaedra.

Bibliografija

1. "Sovjetska enciklopedija" Moskva 1979

2. Matematički enciklopedijski rečnik / "Sovjetska enciklopedija", 1988.

3. Matematika: Školska enciklopedija / Pogl. ed. M 34 S.M. Nikolsky. - M.: Naučna izdavačka kuća "Velika ruska enciklopedija", 1996,-527 C.: mulj

Pravilni poliedri se nazivaju Platonska tijela, oni zauzimaju istaknuto mjesto u filozofskoj slici svijeta koju je razvio veliki mislilac antičke Grčke, Platon.

Dakle, Platon je poznavao pet pravilnih poliedara, a broj elemenata (vatra, vazduh, voda i zemlja) bio je tačno četiri. Dakle, od pet poliedara moraju se izabrati četiri koja bi se mogla porediti sa elementima.

Koji su bili Platonovi razlozi za ovo? Prije svega, činjenica da neki elementi, kako je vjerovao, mogu preći jedan u drugi. Transformacija nekih poliedara u druge mogla bi se izvršiti preuređivanjem njihove unutrašnje strukture. Ali za to je u ovim tijelima bilo potrebno pronaći takve strukturne elemente koji bi im bili zajednički. Iz izgleda pravilnih poliedara jasno je da lica tri poliedra - tetraedar, oktaedar, ikosaedar - imaju oblik jednakostraničnog trougla. Dva preostala poliedra - kocka i dodekaedar - izgrađena su: prvi je od kvadrata, a drugi od pravilnih peterokuta, tako da se ne mogu transformirati ni jedan u drugi ni u tri razmatrana tijela. To znači da ako česticama tri elementa damo oblik tetraedra, oktaedra i ikosaedra, onda će se čestice četvrtog elementa smatrati kockama ili dodekaedarima, ali ovaj četvrti element ne može preći u ostala tri, već će uvijek ostati sam. Platon je odlučio da samo zemlja može biti takav element, te da najmanje čestice koje čine zemlju moraju biti kocke. Tetraedar, oktaedar i ikosaedar bili su povezani sa vatrom, vazduhom i vodom.

Što se tiče petog poliedra - dodekaedra, on ostaje van funkcije. U vezi s njim, Platon se u Timeju ograničava na opasku da je "njegov bog odredio Univerzum i pribjegao njemu kada ga je slikao i ukrašavao".

Postavlja se pitanje: "Koji su obziri vodili Platona, pripisujući oblik tetraedra česticama vatre, oblik kocke česticama zemlje, itd.?" Ovdje on uzima u obzir senzualno percipirana svojstva odgovarajućih elemenata. Vatra je najpokretniji element, ima destruktivno dejstvo, prodire u druga tela (sagoreva ili topi, ili ih isparava); kada smo u kontaktu sa njim, osećamo bol, kao da smo ubodeni ili posečeni.

Koje bi čestice mogle izazvati sva ova svojstva i radnje? Očigledno, najpokretnije i najlakše čestice, i, osim toga, imaju rezne ivice i uglove probijanja. Od četiri poliedra o kojima se može raspravljati, tetraedar najviše zadovoljava. Stoga, kaže Platon, slika piramide (tj. tetraedra) mora biti u skladu s ispravnim rasuđivanjem i vjerodostojnošću, porijeklo i sjeme vatre, naprotiv, Zemlja se u našem iskustvu pojavljuje kao najnepokretnija i najstabilnija svih elemenata. Stoga, čestice od kojih se sastoji moraju imati najstabilnije baze. Od sva četiri tijela, kocka posjeduje ovo svojstvo u najvećoj mjeri. Stoga nećemo narušiti vjerodostojnost ako česticama zemlje pripišemo kubni oblik. Slično, sa druga dva elementa ćemo povezati čestice sa srednjim svojstvima. Ikosaedar, kao najstrožiji, predstavlja česticu vode, oktaedar - česticu vazduha.

Peti poliedar - dodekaedar - utjelovio je "sve što postoji", simbolizirao je cijeli svijet i bio je poštovan kao najvažniji.

Vidimo kako se princip vjerovatnoće kombinira kod Platona s korištenjem podataka iz svakodnevnog iskustva. Zanimljivo je da se Platon gotovo i ne dotiče drugih, čisto spekulativnih, motiva (na primjer, onih povezanih s teorijom proporcija), koji su odigrali odlučujuću ulogu u izgradnji njegovog kosmološkog koncepta i koji bi također mogli utjecati na neke aspekte njegovog teorija strukture materije.

Istina, sam Timej, koji u ovom slučaju nastupa kao profesor koji drži predavanje o strukturi svijeta, po svemu sudeći, predstavnik je pitagorejske škole. Međutim, još uvijek nije jasno da li je Timej postojao kao istorijska ličnost ili je bio izmišljeni lik kojeg je Platon izmislio kako svog uobičajenog junaka Sokrata ne bi učinio autorom kosmoloških i fizičkih teorija, jer se to ne bi previše uklapalo u slika potonjeg.

Platon je "uvjerljivo" sistematizovao sliku svijeta. Ovo je bio jedan od prvih pokušaja da se sama ideja sistematizacije uvede u nauku, što se pokazalo vrlo plodonosnim. To je pomoglo da se jedno područje znanja odvoji od drugog, čineći naučno istraživanje fokusiranijim.