Površina romba je proizvod dijagonala. Četiri formule za izračunavanje površine romba

Romb je poseban slučaj paralelograma. To je ravna četvorougaona figura u kojoj su sve strane jednake. Ovo svojstvo određuje da rombovi imaju paralelne suprotne strane i jednake suprotne uglove. Dijagonale romba se sijeku pod pravim uglom, tačka njihovog presjeka je u sredini svake dijagonale, a uglovi iz kojih izlaze podijeljeni su na pola. To jest, one su dijagonale romba su simetrale uglova. Na osnovu navedenih definicija i navedenih svojstava rombova, njihova površina se može odrediti na različite načine.

1. Ako su poznate obje dijagonale romba AC i BD, tada se površina romba može odrediti kao polovina proizvoda dijagonala.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

gdje su AC, BD dužine dijagonala romba.

Da biste razumjeli zašto je to tako, možete mentalno upisati pravougaonik u romb na takav način da su njegove strane okomite na dijagonale romba. Postaje očito da će površina romba biti jednaka polovini površine pravokutnika upisanog na ovaj način u romb, čija će dužina i širina odgovarati veličini dijagonala romba.

2. Po analogiji sa paralelepipedom, površina romba se može naći kao proizvod njegove stranice, po visini okomice sa suprotne strane spuštene na datu stranu.

S = a ∙ h

gdje je a stranica romba;
h je visina okomice spuštene na datu stranu.

3. Površina romba je također jednaka kvadratu njegove stranice pomnoženoj sa sinusom ugla α.

S = a2 ∙ grijeh α

gdje je a stranica romba;
α je ugao između stranica.

4. Također, površina romba se može naći kroz njegovu stranu i polumjer kružnice upisane u nju.

S=2 ∙ a ∙ r

gdje je a stranica romba;
r je poluprečnik kružnice upisane u romb.

Zanimljivosti
Reč romb potiče od starogrčkog rombusa, što znači „tambura“. U to vrijeme tambure su zaista imale dijamantski oblik, a ne okrugli, kako smo ih navikli vidjeti u današnje vrijeme. Od tada se javlja i naziv kartaške boje "tambura". U heraldici se vrlo široko koriste rombovi raznih vrsta.

Romb je posebna figura u geometriji. Zbog svojih posebnih svojstava, ne postoji jedna, već nekoliko formula koje izračunavaju površinu romba. Koja su to svojstva i koje su najčešće formule za pronalaženje površine ove figure? Hajde da to shvatimo.

Koja geometrijska figura se zove romb

Prije nego što saznate koja je površina romba, vrijedi znati o kakvoj se figuri radi.

Od vremena Euklidove geometrije, romb se naziva simetričnim četvorougao, čije su sve četiri strane jednake po dužini i paralelne u parovima.

Poreklo termina

Ime ove ličnosti je u većinu modernih jezika došlo iz grčkog, posredstvom latinskog. "Prethodnik" riječi "romb" bila je grčka imenica ῥόμβος (tambura). Iako su stanovnici dvadesetog veka, navikli na okrugle tambure, teško ih je zamisliti u drugačijem obliku, ali kod Helena ovi muzički instrumenti tradicionalno su se izrađivali ne u okruglom, već u obliku dijamanta.

U većini modernih jezika koristi se ovaj matematički izraz, kao i na latinskom: rombus. Međutim, na engleskom se dijamanti ponekad nazivaju dijamant (dijamant ili dijamant). Ova figura dobila je takav nadimak zbog svog posebnog oblika, koji podsjeća na dragi kamen. U pravilu se sličan izraz ne koristi za sve rombove, već samo za one kod kojih je ugao presjeka njegove dvije strane šezdeset ili četrdeset pet stepeni.

Prvi put se ova figura pominje u spisima grčkog matematičara koji je živeo u prvom veku nove ere - Herona Aleksandrijskog.

Koja su svojstva ove geometrijske figure

Da biste pronašli površinu romba, prvo morate znati koje karakteristike ima dati geometrijski lik.

Pod kojim uslovima je paralelogram romb?

Kao što znate, svaki romb je paralelogram, ali nije svaki paralelogram romb. Da bi se tačno utvrdilo da je prikazana figura zaista romb, a ne jednostavan paralelogram, ona mora odgovarati jednoj od tri glavne karakteristike koje razlikuju romb. Ili sva tri odjednom.

1. Dijagonale paralelograma seku se pod uglom od devedeset stepeni.
2. Dijagonale dijele uglove na dva dijela, djelujući kao njihove simetrale.
3. Ne samo paralelne, već i susjedne stranice imaju istu dužinu. Ovo je, inače, jedna od glavnih razlika između romba i paralelograma, jer druga figura ima samo paralelne stranice koje su iste dužine, ali ne i susjedne.

Pod kojim uslovima je romb kvadrat?

Prema svojim svojstvima, u nekim slučajevima, romb može istovremeno postati kvadrat. Da biste vizualno potvrdili ovu izjavu, dovoljno je samo rotirati kvadrat u bilo kojem smjeru za četrdeset pet stupnjeva. Dobivena figura će biti romb, čiji je svaki ugl jednak devedeset stepeni.

Također, da biste potvrdili da je kvadrat romb, možete uporediti znakove ovih figura: u oba slučaja sve strane su jednake, a dijagonale su simetrale i sijeku se pod uglom od devedeset stepeni.

Kako pronaći površinu romba koristeći njegove dijagonale

U modernom svijetu, na Internetu možete pronaći gotovo sve materijale za obavljanje potrebnih proračuna. Dakle, postoji mnogo resursa opremljenih programima za automatsko izračunavanje površine određene figure. Štoviše, ako (kao u slučaju romba) postoji nekoliko formula za to, tada je moguće odabrati koja će biti najpogodnija za korištenje. Međutim, prije svega, sami morate biti u mogućnosti izračunati površinu romba bez pomoći računala i kretati se po formulama. Ima ih mnogo za romb, ali najpoznatija od njih su četiri.

Jedan od najlakših i najčešćih načina da saznate površinu ove figure je ako imate informacije o dužini njegovih dijagonala. Ako problem ima ove podatke, u ovom slučaju možete primijeniti sljedeću formulu da pronađete površinu: S = KM x LN / 2 (KM i LN su dijagonale KLMN romba).

Ispravnost ove formule možete provjeriti u praksi. Recimo da KLMN romb ima dužinu jedne od svojih dijagonala KM - 10 cm, a druge LN - 8 cm. Zatim ove podatke zamjenjujemo u gornju formulu i dobivamo sljedeći rezultat: S = 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Formula za izračunavanje površine paralelograma

Postoji još jedna formula. Kao što je gore spomenuto u definiciji romba, on nije samo četverougao, već i paralelogram, i ima sve karakteristike ove figure. U ovom slučaju, da biste pronašli njegovu površinu, preporučljivo je koristiti formulu koja se koristi za paralelogram: S \u003d KL x Z. U ovom slučaju, KL je dužina stranice paralelograma (romba), a Z je dužina visine povučene na ovu stranu.

U nekim problemima dužina stranice nije data, ali je poznat obim romba. Budući da je formula za pronalaženje gore navedena, može se koristiti i za pronalaženje dužine stranice. Dakle, obim figure je 10 cm. Dužina stranice se može naći tako da se obimna formula obrne i podijeli 10 sa 4. Rezultat će biti 2,5 cm - ovo je željena dužina stranice romba.

Sada vrijedi pokušati zamijeniti ovaj broj u formulu, znajući da je dužina visine povučene na stranu također 2,5 cm. Sada pokušajmo staviti ove vrijednosti u gornju formulu za površinu od \u200b\ u200bparalelogram. Ispada da je površina romba S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Drugi načini za izračunavanje površine romba

Oni koji su već savladali sinuse i kosinuse mogu koristiti formule koje ih sadrže da pronađu površinu romba. Klasičan primjer je sljedeća formula: S = KM 2 x Sin KLM. U ovom slučaju, površina figure jednaka je proizvodu dviju strana romba, pomnoženom sa sinusom ugla između njih. A pošto su u rombu sve strane iste, lakše je jednu stranu odmah pretvoriti u kvadrat, kao što je prikazano u formuli.

Ovu šemu provjeravamo u praksi, i to ne samo na romb, već na kvadrat, u kojem su, kao što znate, svi uglovi pravi, što znači da su jednaki devedeset stepeni. Pretpostavimo da je jedna od stranica 15 cm. Također je poznato da je sinus ugla od 90 ° jednak jedan. Zatim, prema formuli, S = 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 = 255 cm 2.

Pored gore navedenog, u nekim se slučajevima koristi još jedna formula, koristeći sinus za određivanje površine romba: S = 4 x R 2 / Sin KLM. U ovoj verziji koristi se polumjer kružnice upisane u romb. Podiže se na stepen kvadrata i množi sa četiri. I cijeli rezultat je podijeljen sa sinusom ugla koji se nalazi uz upisanu figuru.

Kao primjer, radi jednostavnosti proračuna, uzmimo opet kvadrat (sinus njegovog ugla uvijek će biti jednak jedan). Poluprečnik kruga upisanog u njega je 4,4 cm. Tada će se površina ​​romba izračunati na sljedeći način: S = 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2

Gore navedene formule za pronalaženje polumjera romba daleko su od jedine takve vrste, ali ih je najlakše razumjeti i izvršiti proračune.

Šta je Rhombus? Romb je paralelogram čije su sve strane jednake.

Romb, lik na ravni, četvorougao sa jednakim stranicama. Romb je poseban slučaj PARALELOGRAMA, u kojem su ili dvije susjedne strane jednake, ili se dijagonale sijeku pod pravim uglom, ili dijagonala siječe ugao popola. Romb sa pravim uglovima naziva se kvadrat.

Klasična formula za površinu romba je izračunavanje vrijednosti kroz visinu. Površina romba jednaka je umnošku stranice i visine povučene na tu stranu.

1. Površina romba jednaka je umnošku stranice i visine povučene na ovu stranu:

\[ S = a \cdot h \]

2. Ako je poznata stranica romba (sve strane romba su jednake) i ugao između stranica, tada se površina može naći pomoću sljedeće formule:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Površina romba je također jednaka poluproizvodu dijagonala, odnosno:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Ako je poznat polumjer r kružnice upisane u romb i stranica romba a, tada se njegova površina izračunava po formuli:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Rhombus Properties

Na slici iznad, \(ABCD \) je dijamant, \(AC = DB = CD = AD \) . Pošto je romb paralelogram, on ima sva svojstva paralelograma, ali postoje i svojstva koja su jedinstvena za romb.

Krug se može upisati u bilo koji romb. Središte kružnice upisane u romb je presjek njegovih dijagonala. Radijus kruga jednako polovini visine romba:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Rhombus Properties

Dijagonale romba su okomite;

Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova.

Znakovi romba

Paralelogram čije se dijagonale seku pod pravim uglom je romb;

Paralelogram čije su dijagonale simetrale njegovih uglova je romb.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene da bi se izvršili proračuni!

- ovo je paralelogram, u kojem su sve strane jednake, onda za njega vrijede sve iste formule kao i za paralelogram, uključujući formulu za pronalaženje površine kroz proizvod visine i stranice.

Područje romba se može naći i poznavanjem njegovih dijagonala. Dijagonale dijele romb na četiri apsolutno identična pravokutna trougla. Ako ih sortiramo tako da dobijemo pravougaonik, tada će njegova dužina i širina biti jednake jednoj cijeloj dijagonali i polovini druge dijagonale. Stoga se površina romba nalazi množenjem dijagonala romba, smanjenih za dva (kao površina rezultirajućeg pravokutnika).

Ako su dostupni samo kut i strana, onda se možete naoružati dijagonalom kao pomoćnikom i nacrtati je nasuprot poznatom kutu. Zatim će podijeliti romb na dva podudarna trokuta, čije će nam površine ukupno dati površinu romba. Površina svakog od trokuta bit će jednaka polovini umnoška kvadrata stranice i sinusa poznatog ugla, kao površina jednakokračnog trokuta. Pošto postoje dva takva trokuta, koeficijenti se poništavaju, ostavljajući samo stranu drugog stepena i sinus:

Ako je krug upisan unutar romba, tada će se njegov polumjer odnositi na stranu pod uglom od 90 °, što znači da će dvostruki polumjer biti jednak visini romba. Zamjenom umjesto visine h=2r u prethodnoj formuli, dobijamo površinu S=ha=2ra

Ako uz polumjer upisane kružnice nije data stranica, već ugao, tada morate prvo pronaći stranu crtajući visinu na način da dobijete pravokutni trokut sa datim kutom. Tada se strana a može naći iz trigonometrijskih relacija po formuli . Zamjenom ovog izraza u istu standardnu ​​formulu za područje romba, ispada

Romb (od starogrčkog ῥόμβος i od latinskog rombus "tambura") je paralelogram koji se odlikuje prisustvom stranica iste dužine. U slučaju kada su uglovi 90 stepeni (ili pravi ugao), takva geometrijska figura naziva se kvadrat. Romb je geometrijska figura, neka vrsta četverougla. Može biti i kvadrat i paralelogram.

Poreklo termina

Razgovarajmo malo o povijesti ove figure, što će vam pomoći da malo otkrijemo tajanstvene tajne drevnog svijeta. Nama poznata riječ, koja se često nalazi u školskoj literaturi, „romb“, potiče od starogrčke riječi „tambura“. U staroj Grčkoj, ovi muzički instrumenti su bili napravljeni u obliku romba ili kvadrata (za razliku od modernih uređaja). Sigurno ste primijetili da boja karata - tambura - ima rombični oblik. Formiranje ovog odijela datira iz vremena kada se okrugli dijamanti nisu koristili u svakodnevnom životu. Stoga je romb najstarija istorijska ličnost koju je čovječanstvo izmislilo mnogo prije pojave točka.

Po prvi put, riječ kao što je "romb" upotrijebile su poznate ličnosti kao što su Heron i papa od Aleksandrije.

Rhombus Properties

1. Budući da su stranice romba suprotne jedna drugoj i parno paralelne, romb je nesumnjivo paralelogram (AB || CD, AD || BC).
2. Rombične dijagonale se sijeku pod pravim uglom (AC ⊥ BD), pa su stoga okomite. Prema tome, presjek siječe dijagonale na pola.
3. Simetrale rombičnih uglova su dijagonale romba (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, itd.).
4. Iz identiteta paralelograma proizilazi da je zbir svih kvadrata dijagonala romba broj kvadrata stranice, koji se množi sa 4.

Znakovi romba

Romb je u tim slučajevima paralelogram kada ispunjava sljedeće uslove:

1. Sve strane paralelograma su jednake.
2. Dijagonale romba sijeku pravi ugao, odnosno okomite su jedna na drugu (AC⊥BD). Ovo dokazuje pravilo tri strane (stranice su jednake i nalaze se pod uglom od 90 stepeni).
3. Dijagonale paralelograma podjednako dijele uglove, jer su stranice jednake.

Rhombus area

1. Površina romba jednaka je broju koji je polovina proizvoda svih njegovih dijagonala.
2. Pošto je romb neka vrsta paralelograma, površina romba (S) je broj proizvoda stranice paralelograma i njegove visine (h).
3. Osim toga, površina romba se može izračunati pomoću formule koja je proizvod kvadrata stranice romba i sinusa kuta. Sinus ugla je alfa - ugao između stranica originalnog romba.
4. Formula koja je proizvod dvostrukog ugla alfa i polumjera upisane kružnice (r) smatra se sasvim prihvatljivom za ispravno rješenje.