Ukupna energija formule matematičkog klatna. Harmonične vibracije

Definicija

Matematičko klatno- ovo je poseban slučaj fizičkog klatna čija je masa u jednoj tački.

Obično se matematičkim klatnom smatra mala kuglica (materijalna tačka), koja ima veliku masu, okačena na dugačku nerastegljivu nit (ovjes). Ovo je idealizovan sistem koji oscilira pod uticajem gravitacije. Samo za uglove reda 50-100 je matematičko klatno harmonijski oscilator, odnosno vrši harmonijske oscilacije.

Proučavajući ljuljanje lustera na dugačkom lancu, Galileo je proučavao svojstva matematičkog klatna. Shvatio je da period oscilovanja datog sistema ne zavisi od amplitude pri malim uglovima otklona.

Formula za period oscilovanja matematičkog klatna

Neka tačka ovjesa klatna bude fiksirana. Teret okačen na niti klatna kreće se duž luka kružnice (Sl.1(a)) s ubrzanjem, a na njega djeluje neka povratna sila ($\overline(F)$). Ova sila se mijenja kako se opterećenje kreće. Kao rezultat toga, proračun kretanja postaje složen. Hajde da uvedemo neka pojednostavljenja. Neka klatno ne oscilira u ravni, već opiše konus (slika 1 (b)). Teret se u ovom slučaju kreće u krug. Period oscilacija koji nas zanima poklopit će se s periodom konusnog kretanja tereta. Period okretanja konusnog klatna oko obima jednak je vremenu koje težina potroši na jednom okretu oko obima:

gdje je $L$ obim; $v$ - brzina kretanja tereta. Ako su uglovi odstupanja navoja od vertikale mali (male amplitude oscilacija), tada se pretpostavlja da je povratna sila ($F_1$) usmjerena duž polumjera kružnice koju opisuje opterećenje. Tada je ova sila jednaka centripetalnoj sili:

Razmotrimo slične trouglove: AOB i DBC (slika 1 (b)).

Izjednačavamo prave dijelove izraza (2) i (3), izražavamo brzinu kretanja tereta:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\lijevo(4\desno).\]

Dobivenu brzinu zamjenjujemo u formulu (1), imamo:

\ \

Iz formule (5) vidimo da period matematičkog klatna zavisi samo od dužine njegovog ovjesa (udaljenost od tačke ovjesa do centra gravitacije tereta) i ubrzanja slobodnog pada. Formula (5) za period matematičkog klatna naziva se Hajgensova formula i ispunjava se kada se tačka vešanja klatna ne pomera.

Koristeći zavisnost perioda oscilovanja matematičkog klatna o ubrzanju slobodnog pada, utvrđuje se vrijednost ovog ubrzanja. Da biste to učinili, izmjerite dužinu klatna, s obzirom na veliki broj oscilacija, pronađite period $T$, a zatim izračunajte ubrzanje slobodnog pada.

Primjeri problema sa rješenjem

Primjer 1

Vježbajte. Kao što znate, veličina ubrzanja slobodnog pada ovisi o geografskoj širini. Koliko je ubrzanje slobodnog pada na geografskoj širini Moskve ako je period oscilacije matematičkog klatna dužine $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m T=1 c?\textit()

Rješenje. Kao osnovu za rješavanje problema uzimamo formulu za period matematičkog klatna:

Izrazimo iz (1.1) ubrzanje slobodnog pada:

Izračunajmo željeno ubrzanje:

Odgovori.$g=9,81\frac(m)(s^2)$

Primjer 2

Vježbajte. Koliki će biti period oscilovanja matematičkog klatna ako se tačka njegovog ovjesa kreće okomito naniže 1) konstantnom brzinom? 2) sa ubrzanjem $a$? Dužina niti ovog klatna je $l.$

Rješenje. Hajde da napravimo crtež.

1) Period matematičkog klatna čija se tačka ovjesa ravnomjerno kreće jednak je periodu klatna sa fiksnom tačkom vješanja:

2) Ubrzanje tačke ovjesa klatna se može smatrati pojavom dodatne sile jednake $F=ma$, koja je usmjerena protiv ubrzanja. Odnosno, ako je ubrzanje usmjereno prema gore, onda je dodatna sila usmjerena naniže, što znači da se dodaje sili gravitacije ($mg$). Ako se tačka ovjesa pomiče ubrzanjem naniže, tada se dodatna sila oduzima od sile gravitacije.

Period matematičkog klatna koje oscilira i za koji se tačka ovjesa kreće ubrzano, nalazimo kao:

Odgovori. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

(lat. amplituda- magnituda) - ovo je najveće odstupanje oscilirajućeg tijela od ravnotežnog položaja.

Za klatno, ovo je maksimalna udaljenost na kojoj se lopta kreće od svog ravnotežnog položaja (slika ispod). Za oscilacije sa malim amplitudama, ovo rastojanje se može uzeti kao dužina luka 01 ili 02, kao i dužine ovih segmenata.

Amplituda oscilacije se mjeri u jedinicama dužine - metrima, centimetrima, itd. Na grafu oscilovanja, amplituda je definirana kao maksimalna (modulo) ordinata sinusoidne krive, (vidi sliku ispod).

Period oscilovanja.

Period oscilacije- ovo je najmanji vremenski period nakon kojeg se sistem, praveći oscilacije, ponovo vraća u isto stanje u kojem je bio u početnom trenutku, proizvoljno odabrano.

Drugim riječima, period oscilacije ( T) je vrijeme za koje se odvija jedna potpuna oscilacija. Na primjer, na slici ispod, ovo je vrijeme potrebno da se težina klatna pomakne od krajnje desne tačke kroz tačku ravnoteže O do krajnje lijeve tačke i nazad kroz tačku O opet krajnje desno.

Za puni period oscilacije, dakle, tijelo prelazi put jednak četiri amplitude. Period oscilovanja se meri u jedinicama vremena - sekundama, minutima, itd. Period oscilovanja se može odrediti iz dobro poznatog grafika oscilovanja, (vidi sliku ispod).

Koncept „perioda oscilovanja“, striktno govoreći, vrijedi samo kada se vrijednosti oscilirajuće veličine tačno ponove nakon određenog vremenskog perioda, odnosno za harmonijske oscilacije. Međutim, ovaj koncept se također primjenjuje na slučajeve približno ponavljajućih veličina, na primjer, for prigušene oscilacije.

Frekvencija oscilovanja.

Frekvencija oscilovanja je broj oscilacija u jedinici vremena, na primjer, u 1 s.

SI jedinica frekvencije je imenovana hertz(Hz) u čast njemačkog fizičara G. Herca (1857-1894). Ako je frekvencija oscilacija ( v) je jednako 1 Hz, onda to znači da se za svaku sekundu napravi jedna oscilacija. Učestalost i period oscilacija povezani su relacijama:

U teoriji oscilacija, koncept se također koristi ciklično, ili kružna frekvencija ω . To je povezano sa normalnom frekvencijom v i period oscilovanja T omjeri:

.

Ciklična frekvencija je broj oscilacija po 2π sekundi.

Kao konkretan primjer tijela koje rotira oko ose, razmotrite kretanje klatna.

Fizičko klatno je kruto tijelo s horizontalnom osom rotacije oko koje oscilira pod djelovanjem svoje težine (sl. 119).

Položaj klatna je u potpunosti određen kutom njegovog odstupanja od ravnotežnog položaja, pa je za određivanje zakona kretanja klatna dovoljno pronaći ovisnost ovog ugla o vremenu.

Vrsta jednadžbe:

naziva se jednačina (zakon) kretanja klatna. Zavisi od početnih uslova, tj. od ugla i ugaone brzine Dakle,

Granični slučaj fizičkog klatna je matematičko klatno koje predstavlja (kao što je ranije pomenuto - Poglavlje 2, § 3) materijalnu tačku povezanu sa horizontalnom osom oko koje se rotira krutim bestežinskim štapom (Sl. 120). Udaljenost materijalne tačke od ose rotacije naziva se dužina matematičkog klatna.

Jednačine gibanja fizičkih i matematičkih klatna

Sistem koordinatnih osa biramo tako da ravan xy prolazi kroz težište tela C i poklapa se sa ravninom zamaha klatna, kao što je prikazano na crtežu (sl. 119). Usmjeravamo os okomitu na ravan crteža na nas. Zatim, na osnovu rezultata prethodnog odeljka, zapisujemo jednačinu kretanja fizičkog klatna u obliku:

gdje označava moment inercije klatna oko njegove ose rotacije i

Stoga možete napisati:

Aktivna sila koja djeluje na klatno je njegova težina, čiji će moment u odnosu na os povećanja težine biti:

gdje je udaljenost od ose rotacije klatna do njegovog centra mase C.

Stoga dolazimo do sljedeće jednačine gibanja fizičkog klatna:

Budući da je matematičko klatno poseban slučaj fizičkog, gore napisana diferencijalna jednačina vrijedi i za matematičko klatno. Ako je dužina matematičkog klatna jednaka i njegovoj težini, tada je njegov moment inercije u odnosu na os rotacije jednak

Budući da je udaljenost centra gravitacije matematičkog klatna od ose jednaka konačnoj diferencijalnoj jednadžbi gibanja matematičkog klatna može se zapisati kao:

Smanjena dužina fizičkog klatna

Upoređujući jednačine (16.8) i (16.9), možemo zaključiti da ako su parametri fizičkog i matematičkog klatna povezani relacijom

tada su zakoni kretanja fizičkog i matematičkog klatna isti (pod istim početnim uslovima).

Posljednja relacija označava dužinu koju matematičko klatno mora imati da bi se kretalo na isti način kao i odgovarajuće fizičko klatno. Ova dužina se naziva redukovana dužina fizičkog klatna. Značenje ovog koncepta leži u činjenici da se proučavanje kretanja fizičkog klatna može zamijeniti proučavanjem kretanja matematičkog klatna, što je najjednostavnija mehanička shema.

Prvi integral jednadžbe kretanja klatna

Jednadžbe gibanja fizičkog i matematičkog klatna imaju isti oblik, pa će jednačina njihovog gibanja biti

Pošto će jedina sila koja se uzima u obzir u ovoj jednačini biti sila gravitacije koja pripada potencijalnom polju sila, tada se primjenjuje zakon održanja mehaničke energije.

Potonje se može dobiti jednostavnim trikom, samo pomnožite jednačinu (16.10) do tada

Integracijom ove jednačine dobijamo

Određivanjem integracione konstante C iz početnih uslova, nalazimo

Rješavajući posljednju jednačinu dobijamo

Ova relacija je prvi integral diferencijalne jednadžbe (16.10).

Određivanje reakcija oslonca fizičkih i matematičkih klatna

Prvi integral jednadžbi kretanja nam omogućava da odredimo reakcije oslonca klatna. Kao što je navedeno u prethodnom paragrafu, reakcije nosača se određuju iz jednačina (16.5). U slučaju fizičkog klatna, komponente aktivne sile duž koordinatnih osa i njeni momenti u odnosu na osi će biti:

Koordinate centra mase određene su formulama:

Tada jednadžbe za određivanje reakcija nosača imaju oblik:

Centrifugalni momenti inercije tijela i razmak između oslonaca moraju biti poznati prema uvjetima zadatka. Kutno ubrzanje in i ugaona brzina w određene su jednadžbama (16.9) i (16.4) u obliku:

Dakle, jednadžbe (16.12) u potpunosti određuju komponente reakcija oslonca fizičkog klatna.

Jednačine (16.12) se dodatno pojednostavljuju ako uzmemo u obzir matematičko klatno. Zaista, pošto se materijalna tačka matematičkog klatna nalazi u ravni, onda Osim toga, pošto je jedna tačka fiksna, onda se jednačine (16.12) pretvaraju u jednačine oblika:

Iz jednadžbi (16.13) pomoću jednadžbe (16.9) proizlazi da je reakcija oslonca usmjerena duž navoja I (sl. 120). Ovo posljednje je očigledan rezultat. Dakle, projektujući komponente jednakosti (16.13) na pravac navoja, naći ćemo jednačinu za određivanje reakcije nosača oblika (Sl. 120):

Zamjenjujući vrijednost ovdje i uzimajući u obzir da pišemo:

Posljednja relacija određuje dinamičku reakciju matematičkog klatna. Imajte na umu da će njegova statična reakcija biti

Kvalitativno proučavanje prirode kretanja klatna

Prvi integral jednadžbe kretanja klatna omogućava nam da izvršimo kvalitativnu studiju prirode njegovog kretanja. Naime, zapisujemo ovaj integral (16.11) u obliku:

Tokom pokreta, radikalni izraz mora biti ili pozitivan ili nestati u nekim tačkama. Pretpostavimo da su početni uslovi takvi da

U ovom slučaju, radikalni izraz nigdje ne nestaje. Prema tome, kada se kreće, klatno će prolaziti kroz sve vrijednosti ugla, a kutna brzina klatna ima isti predznak, koji je određen smjerom početne kutne brzine, ili će kut ili povećati sve vrijeme ili smanjivati ​​cijelo vrijeme, tj. klatno će se rotirati na jednu stranu.

Smjerovi kretanja će odgovarati jednom ili drugom znaku u izrazu (16.11). Neophodan uslov za realizaciju takvog kretanja je prisustvo početne ugaone brzine, pošto je iz nejednakosti (16.14) jasno da ako je onda za bilo koji početni ugao devijacije nemoguće dobiti takvo kretanje klatna.

Neka su sada početni uslovi takvi da

U ovom slučaju postoje dvije takve vrijednosti ugla pod kojim radikalni izraz nestaje. Neka odgovaraju uglovima definisanim jednakošću

I bit će negdje u rasponu promjene od 0 do . Dalje, očigledno je da kada

radikalni izraz (16.11) će biti pozitivan, a ako je proizvoljno mali, biće negativan.

Stoga, kada se klatno kreće, njegov ugao se mijenja u rasponu:

Na , ugaona brzina klatna nestaje i ugao počinje da se smanjuje na . U tom slučaju promijenit će se predznak ugaone brzine ili predznak ispred radikala u izrazu (16.11). Kada dostigne vrednost, ugaona brzina klatna ponovo nestaje i ugao ponovo počinje da raste do vrednosti

Dakle, klatno će oscilirati

Amplituda oscilacije klatna

Kada klatno oscilira, maksimalna vrijednost njegovog odstupanja od vertikale naziva se amplituda oscilacije. Jednaka je kojoj se određuje iz jednakosti

Kao što slijedi iz posljednje formule, amplituda oscilacije ovisi o početnim podacima o glavnim karakteristikama klatna ili njegovoj smanjenoj dužini.

U posebnom slučaju, kada se klatno odbije od ravnotežnog položaja i pusti bez početne brzine, tada će biti jednako , dakle, amplituda ne ovisi o smanjenoj dužini.

Jednačina kretanja klatna u konačnom obliku

Neka je početna brzina klatna jednaka nuli, tada će prvi integral njegove jednadžbe gibanja biti:

Integracijom ove jednačine nalazimo

Vrijeme ćemo računati od položaja klatna, što odgovara tada

Transformiramo integrand koristeći formulu:

tada dobijamo:

Rezultirajući integral naziva se eliptički integral prve vrste. Ne može se izraziti u terminima konačnog broja elementarnih funkcija.

Inverzija eliptičkog integrala (16.15) u odnosu na njegovu gornju granicu predstavlja jednačinu kretanja klatna:

Ovo će biti dobro proučena Jacobijeva eliptična funkcija.

Period klatna

Vrijeme jedne potpune oscilacije klatna naziva se njegovim periodom oscilovanja. Označimo ga sa T. Pošto je vrijeme kretanja klatna iz pozicije u poziciju isto kao i vrijeme kretanja od tada je T određeno formulom:

Vršimo promjenu varijabli postavljanjem

Prilikom promjene unutar raspona od 0 do , promijenit će se od 0 do . dalje,

i stoga

Posljednji integral se naziva potpuni eliptički integral prve vrste (njegove vrijednosti su date u posebnim tabelama).

Na , integrand teži jedinstvu i .

Približne formule za male oscilacije klatna

U slučaju kada oscilacije klatna imaju malu amplitudu (praktično ne bi trebalo da prelazi 20°), možemo staviti

Tada diferencijalna jednadžba kretanja klatna ima oblik:

Koliki je period oscilovanja? Koja je to veličina, kakvo fizičko značenje ima i kako je izračunati? U ovom članku ćemo se pozabaviti ovim pitanjima, razmotriti različite formule pomoću kojih se može izračunati period oscilacija, a također ćemo saznati kakav odnos postoji između takvih fizičkih veličina kao što su period i frekvencija oscilacija tijela/sistema.

Definicija i fizičko značenje

Period oscilovanja je vremenski period u kojem tijelo ili sistem napravi jednu oscilaciju (nužno potpunu). Paralelno, možemo primijetiti parametar na kojem se oscilacija može smatrati završenom. Uloga takvog stanja je povratak tijela u prvobitno stanje (u prvobitnu koordinatu). Analogija s periodom funkcije je vrlo dobro nacrtana. Inače, pogrešno je misliti da se to odvija isključivo u običnoj i višoj matematici. Kao što znate, ove dvije nauke su neraskidivo povezane. A period funkcija se može sresti ne samo pri rješavanju trigonometrijskih jednačina, već iu raznim granama fizike, naime, riječ je o mehanici, optici i drugim. Kada se period oscilovanja prenosi sa matematike na fiziku, on se mora shvatiti jednostavno kao fizička veličina (a ne kao funkcija) koja ima direktnu zavisnost od vremena koje prolazi.

Koje su fluktuacije?

Oscilacije se dijele na harmonijske i anharmoničke, kao i na periodične i neperiodične. Logično bi bilo pretpostaviti da se u slučaju harmonijskih oscilacija dešavaju prema nekoj harmonijskoj funkciji. Može biti ili sinus ili kosinus. U ovom slučaju, koeficijenti kompresije-rastezanje i povećanje-smanjenje također se mogu pokazati u slučaju. Takođe, vibracije su prigušene. Odnosno, kada na sistem djeluje određena sila, koja postepeno "usporava" same oscilacije. U tom slučaju period postaje kraći, a učestalost oscilacija se stalno povećava. Najjednostavniji eksperiment s klatnom vrlo dobro pokazuje takav fizički aksiom. Može biti opružnog, kao i matematičkog. Nije bitno. Inače, period oscilovanja u takvim sistemima će biti određen različitim formulama. Ali više o tome kasnije. Sada dajemo primjere.

Iskustvo sa klatnom

Možete prvo uzeti bilo koje klatno, neće biti razlike. Zakoni fizike su zakoni fizike, da se u svakom slučaju poštuju. Ali iz nekog razloga, matematičko klatno mi se više sviđa. Ako neko ne zna šta je to: to je lopta na nerastavljivoj niti koja je pričvršćena za vodoravnu šipku pričvršćenu za noge (ili elemente koji igraju svoju ulogu - da održavaju sistem u ravnoteži). Loptu je najbolje uzeti od metala, kako bi doživljaj bio jasniji.

Dakle, ako takav sistem izbacite iz ravnoteže, primijenite neku silu na loptu (drugim riječima, gurnite je), tada će lopta početi da se ljulja na niti, prateći određenu putanju. S vremenom možete primijetiti da se putanja duž koje lopta prolazi smanjuje. U isto vrijeme, lopta počinje sve brže i brže juriti naprijed-nazad. Ovo ukazuje da se frekvencija oscilovanja povećava. Ali vrijeme potrebno da se loptica vrati u prvobitni položaj se smanjuje. Ali vrijeme jedne potpune oscilacije, kako smo ranije saznali, naziva se period. Ako se jedna vrijednost smanjuje, a druga povećava, onda govore o obrnutoj proporcionalnosti. Tako smo došli do prvog trenutka na osnovu kojeg se grade formule za određivanje perioda oscilacija. Ako uzmemo opružno klatno za testiranje, onda će se zakon tamo poštovati u malo drugačijem obliku. Da bi bio što jasnije predstavljen, sistem pokrećemo u vertikalnoj ravni. Da bi bilo jasnije, prvo je valjalo reći šta je opružno klatno. Iz naziva je jasno da u njegovom dizajnu mora biti prisutna opruga. I zaista jeste. Opet imamo horizontalnu ravan na nosačima, na koju je okačena opruga određene dužine i krutosti. Na njega je, zauzvrat, okačen uteg. To može biti cilindar, kocka ili neka druga figura. Možda čak i neka stavka treće strane. U svakom slučaju, kada se sistem izvuče iz ravnoteže, on će početi da vrši prigušene oscilacije. Povećanje frekvencije se najjasnije vidi u vertikalnoj ravni, bez ikakvog odstupanja. Na ovom iskustvu možete završiti.

Tako smo u njihovom toku saznali da su period i frekvencija oscilacija dvije fizičke veličine koje imaju inverzni odnos.

Označavanje količina i dimenzija

Obično se period oscilovanja označava latiničnim slovom T. Mnogo rjeđe, može se označiti drugačije. Frekvencija je označena slovom µ (“Mu”). Kao što smo rekli na samom početku, period nije ništa drugo do vrijeme tokom kojeg se u sistemu dešava potpuna oscilacija. Tada će dimenzija perioda biti sekunda. A budući da su period i frekvencija obrnuto proporcionalni, dimenzija frekvencije će biti jedinica podijeljena sa sekundom. U zapisu zadataka sve će izgledati ovako: T (s), µ (1/s).

Formula za matematičko klatno. Zadatak #1

Kao iu slučaju eksperimenata, odlučio sam prije svega da se pozabavim matematičkim klatnom. Nećemo ulaziti u izvođenje formule u detalje, budući da takav zadatak nije prvobitno postavljen. Da, i sam zaključak je glomazan. Ali hajde da se upoznamo sa samim formulama, saznamo koje količine one uključuju. Dakle, formula za period oscilacije za matematičko klatno je sljedeća:

Gdje je l dužina niti, n = 3,14, a g je ubrzanje gravitacije (9,8 m / s ^ 2). Formula ne bi trebala uzrokovati poteškoće. Stoga, bez dodatnih pitanja, odmah ćemo pristupiti rješavanju problema određivanja perioda oscilacije matematičkog klatna. Metalna kugla težine 10 grama okačena je na nerastezljivi navoj dužine 20 centimetara. Izračunajte period oscilovanja sistema, uzimajući ga za matematičko klatno. Rješenje je vrlo jednostavno. Kao i u svim problemima u fizici, potrebno ga je maksimalno pojednostaviti odbacivanjem nepotrebnih riječi. Oni su uključeni u kontekst kako bi se zbunilo ono odlučujuće, ali u stvari nemaju nikakvu težinu. U većini slučajeva, naravno. Ovdje je moguće isključiti trenutak sa „neproširivom niti“. Ova fraza ne bi trebala dovesti do stupora. A pošto imamo matematičko klatno, ne bi trebalo da nas zanima masa tereta. Odnosno, riječi o 10 grama su također jednostavno osmišljene da zbune učenika. Ali znamo da u formuli nema mase, pa mirne savjesti možemo pristupiti rješenju. Dakle, uzimamo formulu i jednostavno zamjenjujemo vrijednosti u njoj, jer je potrebno odrediti period sistema. Pošto nisu navedeni dodatni uslovi, zaokružit ćemo vrijednosti na 3. decimalu, kao što je uobičajeno. Množenjem i dijeljenjem vrijednosti dobijamo da je period oscilacije 0,886 sekundi. Problem riješen.

Formula za opružno klatno. Zadatak #2

Formule klatna imaju zajednički dio, odnosno 2n. Ova vrijednost je prisutna u dvije formule odjednom, ali se razlikuju u korijenskom izrazu. Ako je u zadatku koji se odnosi na period opružnog klatna naznačena masa tereta, onda je nemoguće izbjeći proračune uz njegovu upotrebu, kao što je bio slučaj sa matematičkim klatnom. Ali ne treba se plašiti. Ovako izgleda formula perioda za opružno klatno:

U njemu je m masa tereta okačenog na oprugu, k je koeficijent krutosti opruge. U zadatku se može dati vrijednost koeficijenta. Ali ako se u formuli matematičkog klatna baš i ne razjasnite - uostalom, 2 od 4 vrijednosti su konstante - onda se ovdje dodaje treći parametar, koji se može promijeniti. A na izlazu imamo 3 varijable: period (učestalost) oscilacija, koeficijent krutosti opruge, masu ovjesnog tereta. Zadatak se može usmjeriti na pronalaženje bilo kojeg od ovih parametara. Ponovo traženje menstruacije bilo bi previše lako, pa ćemo malo promijeniti uslov. Nađite krutost opruge ako je vrijeme punog zamaha 4 sekunde, a težina klatna opruge 200 grama.

Za rješavanje bilo kojeg fizičkog problema bilo bi dobro prvo napraviti crtež i napisati formule. Oni su ovdje pola bitke. Nakon što smo napisali formulu, potrebno je izraziti koeficijent krutosti. Nalazi se ispod našeg korijena, tako da kvadriramo obje strane jednadžbe. Da biste se riješili razlomka, pomnožite dijelove sa k. Ostavimo sada samo koeficijent na lijevoj strani jednačine, odnosno podijelimo dijelove sa T^2. U principu, problem bi mogao biti malo komplikovaniji postavljanjem ne perioda u brojevima, već učestalosti. U svakom slučaju, prilikom izračunavanja i zaokruživanja (složili smo se da zaokružimo na 3. decimalu) ispada da je k = 0,157 N/m.

Period slobodnih oscilacija. Formula slobodnog perioda

Pod formulom za period slobodnih oscilacija podrazumijevaju se one formule koje smo ispitivali u dva prethodna zadatka. Oni također čine jednadžbu slobodnih oscilacija, ali tu je već riječ o pomacima i koordinatama, a ovo pitanje pripada drugom članku.

1) Prije preuzimanja zadatka, zapišite formulu koja je s njim povezana.

2) Najjednostavniji zadaci ne zahtijevaju crteže, ali u izuzetnim slučajevima će ih trebati uraditi.

3) Pokušajte se riješiti korijena i nazivnika ako je moguće. Jednačina napisana u liniji koja nema nazivnik je mnogo zgodnija i lakša za rješavanje.

Period oscilovanja fizičkog klatna zavisi od mnogih okolnosti: od veličine i oblika tela, od udaljenosti između težišta i tačke vešanja i od raspodele mase tela u odnosu na ovu tačku; stoga je izračunavanje perioda suspendovanog tijela prilično težak zadatak. Situacija je jednostavnija za matematičko klatno. Iz posmatranja takvih klatna mogu se ustanoviti sljedeći jednostavni zakoni.

1. Ako se, uz održavanje iste dužine klatna (udaljenost od tačke ovjesa do težišta tereta), ovjese različita opterećenja, tada će period oscilovanja biti isti, iako su mase tereta jako razlikuju. Period matematičkog klatna ne zavisi od mase tereta.

2. Ako se pri pokretanju klatna skrene na različite (ali ne prevelike) uglove, onda će oscilirati sa istim periodom, ali sa različitim amplitudama. Sve dok amplitude nisu prevelike, oscilacije su po svom obliku dovoljno bliske harmonijskim (§ 5) i period matematičkog klatna ne zavisi od amplitude oscilacija. Ovo svojstvo se naziva izohronizam (od grčkih riječi "isos" - jednak, "chronos" - vrijeme).

Ovu činjenicu je prvi put utvrdio Galileo 1655. godine, navodno pod sljedećim okolnostima. Galileo je u katedrali u Pizi posmatrao ljuljanje lustera na dugačkom lancu, koji je gurnut kada se zapali. U toku službe amplituda zamaha je postepeno bledela (§ 11), odnosno amplituda oscilacija se smanjivala, ali je period ostao isti. Galileo je koristio svoj puls kao indikaciju vremena.

Sada izvodimo formulu za period oscilovanja matematičkog klatna.

Rice. 16. Oscilacije klatna u ravni (a) i kretanje duž konusa (b)

Kada se klatno zanjiha, teret se kreće ubrzano po luku (slika 16, a) pod dejstvom povratne sile, koja se menja tokom kretanja. Proračun kretanja tijela pod djelovanjem nestalne sile je prilično komplikovan. Stoga, radi jednostavnosti, postupit ćemo na sljedeći način.

Učinimo da klatno ne oscilira u jednoj ravni, već opišemo konus tako da se teret kreće kružno (slika 16, b). Ovo kretanje se može postići dodavanjem dvije nezavisne vibracije: jedne u ravnini crteža, a druge u okomitoj ravni. Očigledno, periodi obe ove ravninske oscilacije su isti, budući da se ni jedna ravan oscilovanja ne razlikuje od bilo koje druge. Shodno tome, period složenog kretanja - rotacije klatna duž konusa - biće isti kao i period ljuljanja vodene ravni. Ovaj zaključak se može lako ilustrirati direktnim iskustvom, uzimajući dva identična klatna i govoreći jednom od njih da se njiše u ravni, a drugom da rotira duž konusa.

Ali period okretanja "konusnog" klatna jednak je dužini kruga opisanog teretom, podijeljenom sa brzinom:

Ako je ugao odstupanja od vertikale mali (male amplitude), onda možemo pretpostaviti da je sila vraćanja usmjerena duž polumjera kružnice, tj. jednaka centripetalnoj sili:

S druge strane, iz sličnosti trokuta slijedi da . Od , pa odavde

Izjednačavajući oba izraza jedan s drugim, dobijamo brzinu cirkulacije

Konačno, zamjenjujući ovo u izraz perioda, nalazimo

Dakle, period matematičkog klatna zavisi samo od ubrzanja slobodnog pada i od dužine klatna, odnosno udaljenosti od tačke vešanja do centra gravitacije tereta. Iz dobijene formule proizilazi da period klatna ne zavisi od njegove mase i od amplitude (pod uslovom da je dovoljno mala). Drugim riječima, proračunom smo dobili one osnovne zakone koji su ranije utvrđeni posmatranjem.

Ali naše teorijsko izvođenje nam daje više: omogućava nam da uspostavimo kvantitativni odnos između perioda klatna, njegove dužine i ubrzanja slobodnog pada. Period matematičkog klatna je proporcionalan kvadratnom korijenu omjera dužine klatna i ubrzanja uslijed gravitacije. Koeficijent proporcionalnosti je .

Veoma precizan način određivanja ovog ubrzanja zasniva se na zavisnosti perioda klatna od ubrzanja slobodnog pada. Mjerenjem dužine klatna i određivanjem perioda iz velikog broja oscilacija možemo izračunati koristeći dobijenu formulu. Ova metoda se široko koristi u praksi.

Poznato je (vidjeti tom I, §53) da ubrzanje slobodnog pada zavisi od geografske širine mjesta (na polu i na ekvatoru). Zapažanja perioda ljuljanja određenog referentnog klatna omogućavaju proučavanje distribucije ubrzanja slobodnog pada po geografskoj širini. Ova metoda je toliko precizna da se uz njenu pomoć mogu otkriti još suptilnije razlike u značenju na površini zemlje. Ispada da su čak i na istoj paraleli vrijednosti različite u različitim točkama na površini zemlje. Ove anomalije u distribuciji gravitacionog ubrzanja povezane su sa neujednačenom gustinom zemljine kore. Koriste se za proučavanje raspodjele gustoće, posebno za otkrivanje pojave bilo kakvih minerala u debljini zemljine kore. Opsežne gravimetrijske promene, koje su omogućile da se proceni pojava gustih masa, izvršene su u SSSR-u u oblasti takozvane Kurske magnetne anomalije (videti tom II, § 130) pod vođstvom sovjetskog fizičara Petra Petroviča. Lazarev. U kombinaciji sa podacima o anomaliji Zemljinog magnetnog polja, ovi gravimetrijski podaci omogućili su da se utvrdi distribucija pojave gvozdenih masa, koje određuju Kurske magnetne i gravitacione anomalije.