Cifra koja se ponavlja u beskonačnoj decimali. Beskonačni periodični razlomci

Činjenica da su mnogi kvadratni korijeni iracionalni brojevi, ne umanjuje njihov značaj, posebno se broj $\sqrt2$ vrlo često koristi u raznim inženjerskim i naučnim proračunima. Ovaj broj se može izračunati sa tačnošću koja je neophodna u svakom konkretnom slučaju. Ovaj broj možete dobiti sa onoliko decimalnih mjesta za koliko imate strpljenja.

Na primjer, broj $\sqrt2$ može se odrediti na šest decimalnih mjesta: $\sqrt2=1.414214$. Ova vrijednost se ne razlikuje mnogo od prave vrijednosti, budući da $1,414214 \puta 1,414214=2,000001237796$. Ovaj odgovor se razlikuje od 2 za nešto više od milionitog dela. Stoga se vrijednost $\sqrt2$, jednaka $1,414214$, smatra sasvim prihvatljivom za rješavanje većine praktičnih problema. U slučaju kada je potrebna veća preciznost, nije teško dobiti onoliko značajnih cifara nakon decimalnog zareza koliko je potrebno u ovom slučaju.

Međutim, ako pokažete rijetku tvrdoglavost i pokušate se izvući Kvadratni korijen od broja $\sqrt2$ dok ne postignete tačan rezultat, nikada nećete završiti svoj posao. To je beskrajan proces. Bez obzira na to koliko decimalnih mjesta dobijete, uvijek će ih biti nekoliko više.

Ova činjenica vas može zadiviti koliko i pretvaranje $\frac13$ u beskonačnu decimalnu vrijednost $0.333333333…$ i tako beskonačno ili pretvaranje $\frac17$ u $0.142857142857142857…$ i tako beskonačno. Na prvi pogled može izgledati da su ovi beskonačni i iracionalni kvadratni korijeni fenomeni istog reda, ali to uopće nije tako. Na kraju krajeva, ovi beskonačni razlomci imaju razlomački ekvivalent, dok $\sqrt2$ nema takav ekvivalent. A zašto, tačno? Činjenica je da su decimalni ekvivalenti $\frac13$ i $\frac17$, kao i beskonačan broj drugih razlomaka, periodični beskonačni razlomci.

Istovremeno, decimalni ekvivalent $\sqrt2$ je neperiodični razlomak. Ova izjava vrijedi i za svaki iracionalni broj.

Problem je u tome što svaka decimala koja je aproksimacija kvadratnog korijena od 2 jest neperiodični razlomak. Bez obzira koliko napredujemo u proračunima, svaki razlomak koji dobijemo biće neperiodičan.

Zamislite razlomak sa ogromnim brojem neperiodičnih cifara iza decimalnog zareza. Ako se odjednom nakon milionitih cifara cijeli niz decimalnih mjesta ponovi, onda decimalni- periodična i za nju postoji ekvivalent u obliku omjera cijelih brojeva. Ako razlomak sa ogromnim brojem (milijarde ili milione) neperiodičnih decimalnih mjesta u nekom trenutku ima beskonačan niz ponavljajućih cifara, na primjer $…55555555555…$, to također znači da je ovaj razlomak periodičan i da postoji ekvivalent za to u obliku omjera cijelih brojeva.

Međutim, u slučaju njihovih decimalnih ekvivalenata su potpuno neperiodični i ne mogu postati periodični.

Naravno, možete postaviti sljedeće pitanje: „A ko može sa sigurnošću znati i reći šta se događa s razlomkom, recimo, nakon znaka triliona? Ko može garantovati da razlomak neće postati periodičan? Postoje načini da se nepobitno dokaže da su iracionalni brojevi neperiodični, ali takvi dokazi zahtijevaju složeni matematički aparat. Ali ako bi se odjednom pokazalo da iracionalan broj postaje periodični razlomak, to bi značilo potpuni kolaps temelja matematičkih nauka. A u stvari, to je teško moguće. Ovo nije samo za vas da bacate zglobove s jedne na drugu stranu, ovdje postoji složena matematička teorija.

Ovaj članak je o decimale. Ovdje ćemo se pozabaviti decimalnim zapisom razlomaka, uvesti pojam decimalnog razlomka i dati primjere decimalnih razlomaka. Dalje, hajde da razgovaramo o znamenkama decimalnih razlomaka, dajemo imena znamenki. Nakon toga ćemo se fokusirati na beskonačne decimalne razlomke, recimo na periodične i neperiodične razlomke. Zatim navodimo glavne radnje s decimalnim razlomcima. U zaključku utvrđujemo položaj decimalnih razlomaka na koordinatnoj zraci.

Navigacija po stranici.

Decimalni zapis razlomka broja

Čitanje decimala

Recimo nekoliko riječi o pravilima za čitanje decimalnih razlomaka.

Decimalni razlomci, koji odgovaraju ispravnim običnim razlomcima, čitaju se na isti način kao i ovi obični razlomci, samo se prethodno dodaje "nula cijeli". Na primjer, decimalni razlomak 0,12 odgovara običnom razlomku 12/100 (čita se „dvanaest stotinki“), stoga se 0,12 čita kao „nulta tačka dvanaest stotinki“.

Decimalni razlomci, koji odgovaraju mješovitim brojevima, čitaju se na potpuno isti način kao i ovi miješani brojevi. Na primjer, decimalni razlomak 56,002 odgovara mješovitom broju, stoga se decimalni razlomak 56,002 čita kao "pedeset šest zareze dvije hiljaditinke".

Mjesta u decimalama

U zapisu decimalnih razlomaka, kao i u zapisu prirodnih brojeva, vrijednost svake cifre zavisi od njenog položaja. Zaista, broj 3 u decimali 0,3 znači tri desetine, u decimali 0,0003 - tri desethiljaditinke, a u decimali 30,000,152 - tri desetine hiljada. Dakle, možemo razgovarati o cifre u decimalama, kao i o ciframa u prirodnim brojevima.

Nazivi cifara u decimalnom razlomku do decimalnog zareza potpuno se poklapaju sa nazivima cifara u prirodnim brojevima. A nazivi cifara u decimalnom razlomku nakon decimalnog zareza vidljivi su iz sljedeće tabele.

Na primjer, u decimalnom razlomku 37.051, broj 3 je na mjestu desetica, 7 je na mjestu jedinica, 0 je na desetom mjestu, 5 je na stotom mjestu, 1 je na hiljaditom mjestu.

Cifre u decimalnom razlomku također se razlikuju po starješini. Ako se krećemo s cifre na cifru s lijeva na desno u decimalnom zapisu, tada ćemo se kretati od senior to junior ranks. Na primjer, cifra stotine je starija od cifre desetine, a cifra milionitih delova je mlađa od cifre stotinke. U ovom konačnom decimalnom razlomku možemo govoriti o najznačajnijim i najmanje značajnim znamenkama. Na primjer, u decimalnom obliku 604,9387 senior (najviši) cifra je cifra stotine, i junior (najniži)- desetohiljadito mjesto.

Za decimalne razlomke dolazi do proširenja u znamenke. Analogno je proširenju cifara prirodnih brojeva. Na primjer, decimalna ekspanzija od 45,6072 je: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A svojstva sabiranja iz proširenja decimalnog razlomka u znamenke omogućavaju vam da pređete na druge prikaze ovog decimalnog razlomka, na primjer, 45,6072=45+0,6072, ili 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ili 45,6072=0,0072 .

Kraj decimala

Do sada smo govorili samo o decimalnim razlomcima u čijem zapisu postoji konačan broj cifara iza decimalnog zareza. Takvi razlomci se nazivaju konačni decimalni razlomci.

Definicija.

Kraj decimala- To su decimalni razlomci, čiji zapisi sadrže konačan broj znakova (cifara).

Evo nekoliko primjera završnih decimala: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Međutim, ne može se svaki uobičajeni razlomak predstaviti kao konačni decimalni razlomak. Na primjer, razlomak 5/13 ne može se zamijeniti jednakim razlomkom s jednim od nazivnika 10, 100, ..., stoga se ne može pretvoriti u konačni decimalni razlomak. Više ćemo o tome govoriti u teorijskom dijelu pretvaranja običnih razlomaka u decimalne razlomke.

Beskonačne decimale: periodični razlomci i neperiodični razlomci

Pisanjem decimalnog razlomka nakon decimalnog zareza možete dozvoliti mogućnost beskonačnog broja cifara. U ovom slučaju dolazimo do razmatranja takozvanih beskonačnih decimalnih razlomaka.

Definicija.

Beskrajne decimale- To su decimalni razlomci u čijem zapisu postoji beskonačan broj cifara.

Jasno je da beskonačne decimalne razlomke ne možemo zapisati u cijelosti, stoga su u svom zapisu ograničeni samo na određeni konačan broj cifara iza decimalne točke i stavljaju elipsu koja označava beskonačno kontinuirani niz cifara. Evo nekoliko primjera beskonačnih decimalnih razlomaka: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Ako pažljivo pogledate posljednja dva beskrajna decimalna razlomka, onda je u razlomku 2.111111111 ... jasno vidljiv beskonačno ponavljajući broj 1, a u razlomku 69.74152152152 ..., počevši od treće decimale, ponavljajuća grupa brojeva 1, 5 i 2 je jasno vidljiv. Takvi beskonačni decimalni razlomci nazivaju se periodični.

Definicija.

Periodične decimale(ili jednostavno periodične frakcije) su beskonačni decimalni razlomci, u čijem zapisu se, počevši od određenog decimalnog mjesta, nalazi neka cifra ili grupa cifara, koja se naziva period razlomka.

Na primjer, period periodičnog razlomka 2,111111111… je broj 1, a period razlomka 69,74152152152… je grupa brojeva poput 152.

Za beskonačne periodične decimalne razlomke usvojena je posebna oznaka. Radi kratkoće, dogovorili smo se da točku napišemo jednom, stavljajući je u zagrade. Na primjer, periodični razlomak 2,111111111… zapisuje se kao 2,(1) , a periodični razlomak 69,74152152152… je zapisan kao 69,74(152) .

Vrijedi napomenuti da za isti periodični decimalni razlomak možete odrediti različite periode. Na primjer, periodična decimala 0,73333… može se smatrati razlomkom 0,7(3) sa periodom od 3, kao i razlomkom 0,7(33) sa periodom od 33, i tako dalje 0,7(333), 0,7 (3333 ), ... Periodični razlomak 0,73333 ... možete pogledati i ovako: 0,733(3), ili ovako 0,73(333), itd. Ovdje, da bismo izbjegli dvosmislenost i nedosljednosti, pristajemo da period decimalnog razlomka smatramo najkraćim od svih mogućih nizova cifara koje se ponavljaju, a počevši od najbliže pozicije decimalnoj zarezi. Odnosno, period decimalnog razlomka 0,73333… će se smatrati nizom od jedne cifre 3, a periodičnost počinje od druge pozicije nakon decimalnog zareza, odnosno 0,73333…=0,7(3) . Drugi primjer: periodični razlomak 4,7412121212… ima period od 12, periodičnost počinje od treće cifre nakon decimalnog zareza, odnosno 4,7412121212…=4,74(12) .

Beskonačni decimalni periodični razlomci se dobijaju pretvaranjem u decimalne razlomke običnih razlomaka čiji imenioci sadrže proste faktore koji nisu 2 i 5.

Ovdje je vrijedno spomenuti periodične razlomke sa periodom od 9. Evo primjera takvih razlomaka: 6.43(9) , 27, (9) . Ovi razlomci su još jedna oznaka za periodične razlomke s periodom 0, a uobičajeno je da se zamjenjuju periodičnim razlomcima s periodom 0. Da biste to učinili, period 9 se zamjenjuje periodom 0, a vrijednost sljedeće najviše cifre se povećava za jedan. Na primjer, razlomak s periodom 9 oblika 7.24(9) zamjenjuje se periodičnim razlomkom s periodom 0 oblika 7.25(0) ili jednakim konačnim decimalnim razlomkom od 7.25. Drugi primjer: 4,(9)=5,(0)=5 . Jednakost razlomka s periodom od 9 i njegovog odgovarajućeg razlomka s periodom od 0 lako se uspostavlja nakon zamjene ovih decimalnih razlomaka njihovim jednakim običnim razlomcima.

Na kraju, pogledajmo izbliza beskonačne decimale, koje nemaju beskonačno ponavljajući niz cifara. Zovu se neperiodične.

Definicija.

Neponavljajuće decimale(ili jednostavno neperiodični razlomci) su beskonačne decimale bez tačke.

Ponekad neperiodični razlomci imaju oblik sličan onom periodičnih razlomaka, na primjer, 8.02002000200002 ... je neperiodični razlomak. U tim slučajevima treba biti posebno oprezan da primijetite razliku.

Imajte na umu da se neperiodični razlomci ne pretvaraju u obične razlomke, beskonačni neperiodični decimalni razlomci predstavljaju iracionalne brojeve.

Operacije sa decimalama

Jedna od radnji sa decimalima je poređenje, a definisane su i četiri osnovne aritmetike operacije sa decimalama: sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Razmotrite odvojeno svaku od radnji s decimalnim razlomcima.

Decimalno poređenje u suštini zasnovan na poređenju običnih razlomaka koji odgovaraju upoređenim decimalnim razlomcima. Međutim, pretvaranje decimalnih razlomaka u obične je prilično naporna operacija, a beskonačni razlomci koji se ne ponavljaju ne mogu se predstaviti kao obični razlomak, pa je zgodno koristiti pobitno poređenje decimalnih razlomaka. Pobitno poređenje decimala je slično poređenju prirodnih brojeva. Za detaljnije informacije, preporučujemo da proučite materijal članka usporedbu decimalnih razlomaka, pravila, primjere, rješenja.

Pređimo na sljedeći korak - množenje decimala. Množenje konačnih decimalnih razlomaka vrši se slično oduzimanju decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja množenja kolonom prirodnih brojeva. U slučaju periodičnih razlomaka, množenje se može svesti na množenje običnih razlomaka. Zauzvrat, množenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka nakon njihovog zaokruživanja svodi se na množenje konačnih decimalnih razlomaka. Preporučujemo dalje proučavanje materijala članka množenje decimalnih razlomaka, pravila, primjere, rješenja.

Decimale na koordinatnom snopu

Postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka i decimala.

Hajde da shvatimo kako se konstruišu tačke na koordinatnoj zraci koja odgovara datom decimalnom razlomku.

Konačne decimalne razlomke i beskonačne periodične decimalne razlomke možemo zamijeniti običnim razlomcima jednakim njima, a zatim konstruirati odgovarajuće obične razlomke na koordinatnoj zraci. Na primjer, decimalni razlomak 1,4 odgovara običnom razlomku 14/10, stoga je tačka s koordinatom 1,4 uklonjena iz ishodišta u pozitivnom smjeru za 14 segmenata jednakih desetini jednog segmenta.

Decimalni razlomci se mogu označiti na koordinatnoj gredi, počevši od proširenja ovog decimalnog razlomka u znamenke. Na primjer, recimo da trebamo izgraditi tačku sa koordinatom 16.3007 , budući da je 16.3007=16+0.3+0.0007 , onda možemo doći do ove tačke uzastopnim polaganjem 16 jediničnih segmenata od početka koordinata, 3 segmenta, dužine od kojih je jednaka desetini jedinice, i 7 segmenata, čija je dužina jednaka desetom hiljaditom dijelu jediničnog segmenta.

Ova metoda konstruisanja decimalnih brojeva na koordinatnom snopu omogućava vam da se približite koliko god želite tački koja odgovara beskonačnom decimalnom razlomku.

Ponekad je moguće precizno iscrtati tačku koja odgovara beskonačnoj decimali. Na primjer, , tada ovaj beskonačni decimalni razlomak 1,41421... odgovara tački koordinatnog zraka, udaljenoj od početka za dužinu dijagonale kvadrata sa stranicom od 1 jediničnog segmenta.

Obrnuti proces dobijanja decimalnog razlomka koji odgovara datoj tački na koordinatnoj gredi je tzv. decimalno mjerenje segmenta. Da vidimo kako se to radi.

Neka naš zadatak bude da dođemo od početka do date tačke na koordinatnoj liniji (ili da joj se beskonačno približimo ako je nemoguće doći do nje). Sa decimalnim mjerenjem segmenta, možemo sekvencijalno odgoditi bilo koji broj jediničnih segmenata od početka, zatim segmente čija je dužina jednaka desetini jednog segmenta, zatim segmente čija je dužina jednaka stotom dijelu jednog segmenta, itd. . Zapisivanjem broja iscrtanih segmenata svake dužine, dobijamo decimalni razlomak koji odgovara datoj tački na koordinatnoj zraci.

Na primjer, da biste došli do tačke M na gornjoj slici, potrebno je izdvojiti 1 jedinični segment i 4 segmenta, čija je dužina jednaka desetini jedinice. Dakle, tačka M odgovara decimalnom razlomku 1.4.

Jasno je da tačke koordinatnog snopa, koje se ne mogu dostići tokom decimalnog merenja, odgovaraju beskonačnim decimalnim razlomcima.

Bibliografija.

• Matematika: studije. za 5 ćelija. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Već u osnovnoj školi učenici se suočavaju sa razlomcima. A onda se pojavljuju u svakoj temi. Nemoguće je zaboraviti radnje sa ovim brojevima. Stoga morate znati sve informacije o običnim i decimalnim razlomcima. Ovi koncepti su jednostavni, glavna stvar je razumjeti sve po redu.

Zašto su razlomci potrebni?

Svijet oko nas sastoji se od cijelih objekata. Dakle, nema potrebe za dionicama. Ali svakodnevni život stalno tjera ljude da rade s dijelovima predmeta i stvari.

Na primjer, čokolada se sastoji od nekoliko kriški. Razmotrite situaciju u kojoj je njegova pločica formirana od dvanaest pravokutnika. Ako ga podijelite na dva, dobit ćete 6 dijelova. Biće dobro podeljen na tri. Ali petorica neće moći dati cijeli broj kriški čokolade.

Usput, ove kriške su već razlomci. A njihova daljnja podjela dovodi do pojave složenijih brojeva.

Šta je "razlomak"?

Ovo je broj koji se sastoji od dijelova jednog. Izvana izgleda kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom crtom. Ova karakteristika se naziva razlomkom. Broj napisan na vrhu (lijevo) naziva se brojilac. Onaj dole (desno) je imenilac.

U stvari, ispostavilo se da je razlomak znak dijeljenja. To jest, brojilac se može nazvati dividenda, a imenilac djelitelj.

Šta su razlomci?

U matematici postoje samo dvije vrste njih: obični i decimalni razlomci. S prvima se školarci upoznaju u osnovnim razredima, nazivajući ih jednostavno “razlomcima”. Drugi uči u 5. razredu. Tada se pojavljuju ova imena.

Obični razlomci su svi oni koji su zapisani kao dva broja odvojena crtom. Na primjer, 4/7. Decimala je broj u kojem razlomak ima oznaku položaja i odvojen je od cijelog broja zarezom. Na primjer, 4.7. Učenicima treba biti jasno da su dva navedena primjera potpuno različiti brojevi.

Svaki prosti razlomak se može napisati kao decimalni. Ova izjava je gotovo uvijek istinita i obrnuto. Postoje pravila koja vam omogućavaju da zapišete decimalni razlomak kao običan razlomak.

Koje podvrste imaju ove vrste frakcija?

Bolje je početi hronološkim redom, jer se proučavaju. Obični razlomci su prvi. Među njima se može razlikovati 5 podvrsta.

Tačno. Njegov brojilac je uvijek manji od nazivnika.

Pogrešno. Njegov brojilac je veći ili jednak nazivniku.

Smanjivo / nesvodivo. Može biti ispravno ili pogrešno. Još jedna stvar je važna, da li brojilac i imenilac imaju zajedničke faktore. Ako postoje, onda bi trebalo da podijele oba dijela razlomka, odnosno da ga smanje.

Miješano. Cijeli broj se dodjeljuje svom uobičajenom ispravnom (netačnom) razlomku. I uvijek stoji na lijevoj strani.

Kompozitni. Formira se od dvije frakcije podijeljene jedna na drugu. Odnosno, ima tri razlomka odjednom.

Decimale imaju samo dvije podvrste:

konačni, odnosno onaj u kojem je razlomak ograničen (ima kraj);

beskonačan - broj čije se cifre iza decimalnog zareza ne završavaju (mogu se pisati beskonačno).

Kako pretvoriti decimalni u običan?

Ako je ovo konačan broj, onda se primjenjuje asocijacija zasnovana na pravilu - kako čujem, tako i pišem. Odnosno, morate ga ispravno pročitati i zapisati, ali bez zareza, ali s razlomkom.

Kao nagoveštaj o traženom nazivniku, zapamtite da je to uvek jedan i nekoliko nula. Potonjih treba napisati onoliko koliko je cifara u razlomku dotičnog broja.

Kako pretvoriti decimalne razlomke u obične ako im cijeli dio nedostaje, odnosno jednak nuli? Na primjer, 0,9 ili 0,05. Nakon primjene navedenog pravila, ispada da trebate napisati nula cijelih brojeva. Ali to nije naznačeno. Ostaje zapisati samo razlomke. Za prvi broj imenilac će biti 10, za drugi - 100. To jest, navedeni primjeri će imati brojeve kao odgovore: 9/10, 5/100. Štaviše, pokazalo se da je ovo posljednje moguće smanjiti za 5. Stoga, rezultat za njega mora biti napisan 1/20.

Kako od decimale napraviti običan razlomak ako je njegov cijeli broj različit od nule? Na primjer, 5,23 ili 13,00108. Oba primjera čitaju cijeli broj i zapisuju njegovu vrijednost. U prvom slučaju, ovo je 5, u drugom 13. Zatim morate prijeći na razlomak. S njima je potrebno izvršiti istu operaciju. Prvi broj ima 23/100, drugi ima 108/100000. Drugu vrijednost treba ponovo smanjiti. Odgovor je mješoviti razlomci: 5 23/100 i 13 27/25000.

Kako pretvoriti beskonačnu decimalu u običan razlomak?

Ako nije periodično, onda se takva operacija ne može izvesti. Ova činjenica je zbog činjenice da se svaki decimalni razlomak uvijek pretvara u konačni ili periodični.

Jedina stvar koja se može učiniti s takvim razlomkom je zaokružiti ga. Ali tada će decimala biti približno jednaka toj beskonačnosti. Već se može pretvoriti u običnu. Ali obrnuti proces: pretvaranje u decimalni - nikada neće dati početnu vrijednost. To jest, beskonačni neperiodični razlomci se ne prevode u obične razlomke. Ovo se mora zapamtiti.

Kako napisati beskonačan periodični razlomak u obliku običnog?

U ovim brojevima, jedna ili više cifara se uvijek pojavljuju iza decimalnog zareza, koje se ponavljaju. Zovu se periodi. Na primjer, 0,3(3). Ovdje "3" u periodu. Oni su klasifikovani kao racionalni, jer se mogu pretvoriti u obične razlomke.

Oni koji su se susreli sa periodičnim razlomcima znaju da oni mogu biti čisti ili mješoviti. U prvom slučaju tačka počinje odmah od zareza. U drugom, razlomak počinje bilo kojim brojevima, a zatim počinje ponavljanje.

Pravilo po kojem trebate napisati beskonačnu decimalu u obliku običnog razlomka bit će različito za ove dvije vrste brojeva. Prilično je lako zapisati čiste periodične razlomke kao obične razlomke. Kao i kod konačnih, potrebno ih je pretvoriti: upišite period u brojilac, a broj 9 će biti imenilac, ponavljajući onoliko puta koliko ima cifara u periodu.

Na primjer, 0,(5). Broj nema cijeli broj, tako da morate odmah prijeći na razlomak. U brojilac upiši 5, a u nazivnik 9. To jest, odgovor će biti razlomak 5/9.

Pravilo o tome kako napisati uobičajeni decimalni razlomak koji je mješoviti razlomak.

Pogledajte dužinu perioda. Toliko 9 će imati imenilac.

Zapišite imenilac: prvo devetke, zatim nule.

Da biste odredili brojilac, morate napisati razliku dva broja. Sve cifre iza decimalnog zareza će se smanjiti, zajedno sa tačkom. Može se oduzeti - bez tačke.

Na primjer, 0,5(8) - zapišite periodični decimalni razlomak kao običan razlomak. Razlomak ispred tačke je jednocifreni. Dakle, nula će biti jedan. Takođe postoji samo jedna cifra u periodu - 8. To jest, postoji samo jedna devetka. Odnosno, potrebno je da u imenilac upišete 90.

Da biste odredili brojilac od 58, trebate oduzeti 5. Ispada 53. Na primjer, morat ćete napisati 53/90 kao odgovor.

Kako se obični razlomci pretvaraju u decimale?

Najjednostavnija opcija je broj čiji je imenilac broj 10, 100 i tako dalje. Tada se nazivnik jednostavno odbacuje, a između razlomka i cijelog broja stavlja se zarez.

Postoje situacije kada se imenilac lako pretvara u 10, 100 itd. Na primjer, brojevi 5, 20, 25. Dovoljno ih je pomnožiti sa 2, 5 i 4, respektivno. Samo je potrebno pomnožiti ne samo imenilac, već i brojnik istim brojem.

Za sve ostale slučajeve dobro će doći jednostavno pravilo: podijelite brojilac sa nazivnikom. U ovom slučaju možete dobiti dva odgovora: konačni ili periodični decimalni razlomak.

Operacije sa običnim razlomcima

Sabiranje i oduzimanje

Učenici ih upoznaju ranije od ostalih. I u početku razlomci imaju iste nazivnike, a zatim različite. Opća pravila se mogu svesti na takav plan.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika.

Napišite dodatne faktore svim običnim razlomcima.

Pomnožite brojioce i nazivnike faktorima koji su za njih definisani.

Dodajte (oduzmite) brojioce razlomaka, a zajednički imenilac ostavite nepromijenjen.

Ako je brojnik minusa manji od oduzetog, onda morate saznati imamo li mješoviti broj ili pravi razlomak.

U prvom slučaju, cijeli broj treba uzeti jedan. Dodajte imenilac brojiocu razlomka. I onda uradite oduzimanje.

U drugom - potrebno je primijeniti pravilo oduzimanja sa manjeg broja na veći. Odnosno, oduzmite modul minuenda od modula oduzetog i stavite znak "-" kao odgovor.

Pažljivo pogledajte rezultat sabiranja (oduzimanja). Ako dobijete nepravilan razlomak, onda bi trebalo odabrati cijeli dio. Odnosno, podijelite brojilac sa nazivnikom.

Množenje i dijeljenje

Za njihovu implementaciju, razlomke nije potrebno svesti na zajednički nazivnik. To olakšava poduzimanje radnje. Ali i dalje moraju poštovati pravila.

Prilikom množenja običnih razlomaka potrebno je uzeti u obzir brojeve u brojiocima i nazivnicima. Ako bilo koji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor, onda se mogu smanjiti.

Pomnožite brojioce.

Pomnožite nazivnike.

Ako dobijete razlomak koji se može reducirati, onda bi on trebao biti ponovo pojednostavljen.

Prilikom dijeljenja prvo morate zamijeniti dijeljenje množenjem, a djelitelj (drugi razlomak) recipročnim (zamijeniti brojilac i imenilac).

Zatim nastavite kao kod množenja (počevši od tačke 1).

U zadacima gdje trebate pomnožiti (dijeliti) cijelim brojem, potonji bi trebao biti zapisan kao nepravilan razlomak. To jest, sa nazivnikom 1. Zatim nastavite kako je gore opisano.



Operacije sa decimalama

Sabiranje i oduzimanje

Naravno, uvijek možete pretvoriti decimalu u običan razlomak. I postupajte po već opisanom planu. Ali ponekad je zgodnije djelovati bez ovog prijevoda. Tada će pravila za njihovo sabiranje i oduzimanje biti potpuno ista.

Izjednačite broj cifara u razlomku broja, odnosno iza decimalnog zareza. Dodijelite mu broj nula koji nedostaje.

Napišite razlomke tako da zarez bude ispod zareza.

Dodajte (oduzmite) kao prirodne brojeve.

Uklonite zarez.

Množenje i dijeljenje

Važno je da ovdje ne morate dodavati nule. Razlomke treba ostaviti onako kako su dati u primjeru. I onda po planu.

Za množenje morate napisati razlomke jedan ispod drugog, ne obraćajući pažnju na zareze.

Množi se kao prirodni brojevi.

Stavite zarez u odgovor, računajući od desnog kraja odgovora onoliko cifara koliko ih ima u razlomcima oba faktora.

Da biste podijelili, prvo morate pretvoriti djelitelj: učiniti ga prirodnim brojem. To jest, pomnožite ga sa 10, 100, itd., ovisno o tome koliko je cifara u razlomku djelitelja.

Pomnožite dividendu istim brojem.

Podijelite decimalu prirodnim brojem.

Stavite zarez u odgovor u trenutku kada se podjela cijelog dijela završi.



Što ako postoje obje vrste razlomaka u jednom primjeru?

Da, u matematici često postoje primjeri u kojima morate izvršiti operacije nad običnim i decimalnim razlomcima. Postoje dva moguća rješenja za ove probleme. Potrebno je objektivno odmjeriti brojeve i odabrati najbolju.

Prvi način: predstavljanje običnih decimala

Pogodno je ako se prilikom dijeljenja ili pretvaranja dobiju konačni razlomci. Ako barem jedan broj daje periodični dio, tada je ova tehnika zabranjena. Stoga, čak i ako ne volite raditi s običnim razlomcima, morat ćete ih prebrojati.

Drugi način: zapišite decimalne razlomke kao obične

Ova tehnika je zgodna ako u dijelu nakon decimalnog zareza ima 1-2 znamenke. Ako ih ima više, može se pojaviti vrlo veliki obični razlomak, a decimalni unosi će vam omogućiti da brže i lakše izračunate zadatak. Stoga je uvijek potrebno trezveno procijeniti zadatak i odabrati najjednostavniji način rješenja.

Sjećate se kako sam u prvoj lekciji o decimalnim razlomcima rekao da postoje brojčani razlomci koji se ne mogu predstaviti kao decimale (pogledajte lekciju „Decimalni razlomci“)? Također smo naučili kako razložiti nazivnike razlomaka da bismo provjerili postoje li drugi brojevi osim 2 i 5.

Dakle: lagao sam. A danas ćemo naučiti kako prevesti apsolutno bilo koji brojčani razlomak u decimalu. Istovremeno ćemo se upoznati s cijelom klasom razlomaka sa beskonačnim značajnim dijelom.

Ponavljajuća decimala je svaka decimala koja ima:

1. Značajni dio se sastoji od beskonačnog broja cifara;
2. U određenim intervalima ponavljaju se brojevi u značajnom dijelu.

Skup ponovljenih cifara koji čine značajan dio naziva se periodični dio razlomka, a broj cifara u ovom skupu je period razlomka. Preostali segment značajnog dijela, koji se ne ponavlja, naziva se neperiodični dio.

Budući da postoji mnogo definicija, vrijedno je detaljno razmotriti nekoliko ovih razlomaka:

Ova frakcija se najčešće javlja u problemima. Neperiodični dio: 0; periodični dio: 3; dužina perioda: 1.

Neperiodični dio: 0,58; periodični dio: 3; dužina perioda: ponovo 1.

Neperiodični dio: 1; periodični dio: 54; dužina perioda: 2.

Neperiodični dio: 0; periodični dio: 641025; dužina perioda: 6. Radi praktičnosti, dijelovi koji se ponavljaju odvojeni su jedan od drugog razmakom - u ovom rješenju to nije potrebno.

Neperiodični dio: 3066; periodični dio: 6; dužina perioda: 1.

Kao što vidite, definicija periodičnog razlomka zasniva se na konceptu značajan dio broja. Stoga, ako ste zaboravili šta je, preporučujem da to ponovite - pogledajte lekciju "".

Prijelaz na periodičnu decimalu

Razmotrimo običan razlomak oblika a/b. Razložimo njegov nazivnik na jednostavne faktore. Postoje dvije opcije:

1. U ekspanziji su prisutni samo faktori 2 i 5. Ovi razlomci se lako svode na decimale - pogledajte lekciju "Decimalni razlomci". Nas to ne zanima;
2. Postoji još nešto u proširenju osim 2 i 5. U ovom slučaju, razlomak se ne može predstaviti kao decimala, ali se može pretvoriti u periodičnu decimalu.

Da biste postavili periodični decimalni razlomak, morate pronaći njegov periodični i neperiodični dio. Kako? Pretvorite razlomak u nepravilan, a zatim podijelite brojilac sa nazivnikom "uglom".

Pritom će se dogoditi sljedeće:

1. Prvo podijelite cijeli dio ako postoji;
2. Može biti nekoliko brojeva iza decimalnog zareza;
3. Nakon nekog vremena brojevi će početi ponovi.

To je sve! Cifre koje se ponavljaju nakon decimalnog zareza označavaju se periodičnim dijelom, a ono što je ispred - neperiodično.

Zadatak. Pretvorite obične razlomke u periodične decimale:

Svi razlomci bez celobrojnog dela, tako da jednostavno podelimo brojilac sa nazivnikom sa "uglom":

Kao što vidite, ostaci se ponavljaju. Zapišimo razlomak u "ispravnom" obliku: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultat je razlomak: 0,5833 ... = 0,58(3).

Pišemo u normalnom obliku: 4,0909 ... = 4, (09).

Dobijamo razlomak: 0,4141 ... = 0, (41).

Prijelaz s periodične decimalne na obične

Razmotrimo periodičnu decimalu X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je prenijeti na klasičnu "dvokatnicu". Da biste to učinili, slijedite četiri jednostavna koraka:

1. Pronađite period razlomka, tj. izbroji koliko je cifara u periodičnom dijelu. Neka je broj k;
2. Pronađite vrijednost izraza X · 10 k . Ovo je ekvivalentno pomicanju decimalnog zareza za punu tačku udesno - pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje decimalnih razlomaka";
3. Od rezultujućeg broja oduzmite originalni izraz. U ovom slučaju, periodični dio je „sagorio“ i ostaje običan razlomak;
4. Pronađite X u rezultirajućoj jednadžbi. Svi decimalni razlomci se pretvaraju u obične.

Zadatak. Pretvorite u običan nepravilan razlomak broja:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Rad sa prvim razlomkom: X = 9, (6) = 9,666 ...

Zagrade sadrže samo jednu cifru, tako da je period k = 1. Zatim ovaj razlomak pomnožimo sa 10 k = 10 1 = 10. Imamo:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Oduzmite originalni razlomak i riješite jednačinu:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

A sada da se pozabavimo drugim razlomkom. Dakle, X = 32, (39) = 32,393939 ...

Period k = 2, pa sve pomnožimo sa 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Ponovo oduzmite prvobitni razlomak i riješite jednačinu:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Idemo do trećeg razlomka: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Šema je ista, pa ću samo dati proračune:

Period k = 1 ⇒ pomnožiti sve sa 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Konačno, posljednji razlomak: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Opet, radi pogodnosti, periodični dijelovi su odvojeni jedan od drugog razmacima. Imamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10,000X = 10,000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Poznato je da ako je imenilac P nesvodljivi razlomak u svom kanonskom proširenju ima prost faktor koji nije jednak 2 i 5, onda se ovaj razlomak ne može predstaviti kao konačni decimalni razlomak. Ako pokušamo u ovom slučaju da originalni nesvodljivi razlomak zapišemo kao decimalu, dijeleći brojilac sa nazivnikom, tada se proces dijeljenja ne može završiti, jer u slučaju njegovog završetka nakon konačnog broja koraka, dobili bismo konačni decimalni razlomak u količniku, što je u suprotnosti s prethodno dokazanom teoremom. Dakle, u ovom slučaju decimalni zapis za pozitivan racionalni broj je a= je predstavljen kao beskonačan razlomak.

Na primjer, razlomak = 0,3636... . Lako je vidjeti da se ostaci pri dijeljenju 4 sa 11 periodično ponavljaju, pa će se decimalna mjesta periodično ponavljati, tj. ispostavilo se beskonačna periodična decimala, koji se može zapisati kao 0,(36).

Povremeno ponavljajući brojevi 3 i 6 čine tačku. Može se ispostaviti da između zareza i početka prve tačke ima nekoliko znamenki. Ovi brojevi čine prethodni period. Na primjer,

0,1931818... Proces dijeljenja 17 sa 88 je beskonačan. Brojevi 1, 9, 3 čine pred-period; 1, 8 - tačka. Primjeri koje smo razmatrali odražavaju obrazac, tj. bilo koji pozitivan racionalni broj može biti predstavljen ili konačnim ili beskonačnim periodičnim decimalnim razlomkom.

Teorema 1. Neka je običan razlomak nesvodljiv i u kanonskom proširenju nazivnika n postoji prosti faktor različit od 2 i 5. Tada se obični razlomak može predstaviti beskonačnim periodičnim decimalnim razlomkom.

Dokaz. Već znamo da je proces dijeljenja prirodnog broja m na prirodan broj n biće beskrajan. Pokažimo da će to biti periodično. Zaista, prilikom podjele m na n ostaci će biti manji n, one. brojevi oblika 1, 2, ..., ( n- 1), što pokazuje da je broj različitih ostataka konačan pa će se, počevši od određenog koraka, neki ostatak ponoviti, što će za sobom povući ponavljanje decimalnih mjesta količnika, a beskonačni decimalni razlomak postaje periodičan.

Postoje još dvije teoreme.

Teorema 2. Ako proširenje nazivnika nesvodivog razlomka u proste faktore ne uključuje brojeve 2 i 5, onda kada se ovaj razlomak pretvori u beskonačni decimalni razlomak, dobiće se čisti periodični razlomak, tj. Razlomak čiji period počinje odmah nakon decimalnog zareza.

Teorema 3. Ako proširenje nazivnika uključuje faktore 2 (ili 5) ili oba, tada će beskonačni periodični razlomak biti pomiješan, tj. između zareza i početka perioda nalaziće se nekoliko cifara (pred-period), odnosno onoliko koliko je najveći od eksponenata faktora 2 i 5.

Teoreme 2 i 3 su pozvane da dokažu čitaocu same.

28. Načini prelaska iz beskonačne periodike
decimalni razlomci u obične razlomke

Neka postoji periodični razlomak a= 0,(4), tj. 0,4444... .

Hajde da se množimo a do 10, dobijamo

10a= 4.444…4…Þ 10 a = 4 + 0,444….

One. deset a = 4 + a, dobili smo jednačinu za a, rješavajući to, dobijamo: 9 a= 4 Þ a = .

Imajte na umu da je 4 i brojnik rezultujućeg razlomka i period razlomka 0,(4).

pravilo pretvaranje u obični razlomak čistog periodičnog razlomka formulira se na sljedeći način: brojilac razlomka je jednak periodu, a nazivnik se sastoji od broja devetki koliko ima cifara u periodu razlomka.

Dokažimo sada ovo pravilo za razlomak čiji se period sastoji od P

a= . Hajde da se množimo a dana 10 n, dobijamo:

10n × a = = + 0, ;

10n × a = + a;

(10n – 1) a = Þ a == .

Dakle, prethodno formulirano pravilo je dokazano za bilo koji čisti periodični razlomak.

Neka je sada dat razlomak a= 0,605(43) - mješoviti periodični. Hajde da se množimo a za 10 sa indikatorom koliko je cifara u predperiodu, tj. sa 10 3 , dobijamo

10 3 × a= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × a = 605 + = 605 + = = ,

one. 10 3 × a= .

pravilo pretvaranje u obični razlomak mješovitog periodičnog razlomka formulira se na sljedeći način: brojilac razlomka jednak je razlici između broja napisanog ciframa prije početka druge faze i broja zapisanog ciframa prije početka prve period, imenilac se sastoji od broja devetki koliko ima cifara u periodu i tolikog broja nula koliko cifara ima pre početka prve tačke.

Dokažimo sada ovo pravilo za razlomak čiji se predperiod sastoji od P cifre i period od to cifre. Neka postoji periodični razlomak

Označite in= ; r= ,

With= ; onda With=u × 10k + r.

Hajde da se množimo a za 10 sa takvim eksponentom koliko je cifara u predperiodu, tj. dana 10 n, dobijamo:

a×10 n = + .

Uzimajući u obzir gore uvedenu notaciju, pišemo:

a× 10n= in+ .

Dakle, gore formulirano pravilo je dokazano za bilo koji mješoviti periodični razlomak.

Svaki beskonačan periodični decimalni razlomak je oblik pisanja nekog racionalnog broja.

Radi uniformnosti, ponekad se konačna decimala takođe smatra beskonačnom periodičnom decimalom sa periodom "nula". Na primjer, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3.000... .

Sada sljedeća izjava postaje istinita: svaki racionalni broj može biti (i, osim toga, na jedinstven način) izražen beskonačnim decimalnim periodičnim razlomkom, a bilo koji beskonačni periodični decimalni razlomak izražava tačno jedan racionalni broj (periodični decimalni razlomci s periodom od 9 se ne razmatraju).