Pravila za operacije s racionalnim brojevima. Zbrajanje pozitivnih racionalnih brojeva
Lekcija 4
STEPEN SA PRIRODNIM POKAZATELJOM
Ciljevi: promovirati formiranje računskih vještina i sposobnosti, akumulaciju znanja o diplomama na osnovu računarskog iskustva; Naučite kako pisati velike i male brojeve koristeći stepen 10.
Tokom nastave
I. Aktuelizacija osnovnih znanja.
Nastavnik analizira rezultate testnog rada, svaki učenik dobija preporuke za izradu individualnog plana za ispravljanje računskih vještina i sposobnosti.
Zatim se od učenika traži da izvrše proračune i pročitaju imena poznatih matematičara koji su doprinijeli izgradnji teorije stupnjeva:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
Ključ:
Uz pomoć kompjutera ili epiprojektora na platno se projektuju portreti naučnika Diofanta, Renea Dekarta, Simona Stevina. Pozivaju se studenti da, ako žele, pripreme istorijske podatke o životu i radu ovih matematičara.
II. Formiranje novih koncepata i metoda djelovanja.
Učenici u svoje sveske zapisuju sljedeće izraze:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
a uslovi
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
n množitelji
5. a∙ a∙ … ∙ a;
n množitelji
Studenti se pozivaju da odgovore na pitanje: „Kako ovi zapisi biti kompaktnije predstavljeni da postanu „vidljivi““?
Zatim nastavnik vodi razgovor na novu temu, upoznaje učenike sa pojmom prvog stepena broja. Učenici mogu pripremiti dramatizaciju drevne indijske legende o izumitelju šaha Sethu i kralju Šeramu. Potrebno je završiti razgovor pričom o upotrebi stepena 10 pri pisanju velikih i malih količina i, ponudivši učenicima nekoliko priručnika iz fizike, tehnologije, astronomije, dati im priliku da pronađu primjere takvih veličina. u knjigama.
III. Formiranje vještina i sposobnosti.
1. Rješenje vježbi br. 40 d), e), f); 51.
Tokom rješavanja, učenici zaključuju da je korisno zapamtiti: eksponent s negativnom bazom je pozitivan ako je eksponent paran, a negativan ako je eksponent neparan.
2. Rješenje vježbi br. 41, 47.
IV. Rezimirajući.
Nastavnik komentariše i ocjenjuje rad učenika na času.
Zadaća: klauzula 1.3, br. 42, 43, 52; opciono: pripremiti poruke o Diofantu, Descartesu, Stevinu.
Istorijat
Diofant- starogrčki matematičar iz Aleksandrije (III vek). Sačuvan je dio njegove matematičke rasprave "Aritmetika" (6 knjiga od 13), gdje su data rješenja zadataka, od kojih većina vodi do tzv. "Diofantovih jednačina", čije se rješenje traži u racionalnom pozitivni brojevi (Diofant nema negativnih brojeva).
Za označavanje nepoznatog i njegovih stupnjeva (do šestog), znak jednakosti Diofant je koristio skraćeni zapis odgovarajućih riječi. Naučnici su takođe otkrili arapski tekst još 4 knjige Diofantove aritmetike. Diofantovi spisi bili su polazište za istraživanja P. Fermata, L. Eulera, K. Gausa i drugih.
Descartes René (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Francuski filozof i matematičar, potiče iz stare plemićke porodice. Školovao se u jezuitskoj školi La Flèche u Anžuu. Na početku Tridesetogodišnjeg rata služio je vojsku koju je napustio 1621. godine; nakon nekoliko godina putovanja preselio se u Holandiju (1629), gdje je proveo dvadeset godina u usamljeničkim naučnim studijama. Godine 1649., na poziv švedske kraljice, preselio se u Stokholm, ali je ubrzo umro.
Descartes je postavio temelje analitičke geometrije i uveo mnoge moderne algebarske notacije. Descartes je uvelike poboljšao notaciju uvođenjem opšteprihvaćenih znakova za varijable.
(X, at,z…) i koeficijenti ( a, b, With…), kao i zapis stepena ( X 4 , a 5 …). Pisanje Descartesovih formula gotovo se ne razlikuje od modernog.
U analitičkoj geometriji, glavno dostignuće Descartesa bila je metoda koordinata koju je stvorio.
Stevin Simon (1548-1620) je holandski naučnik i inženjer. Od 1583. predavao je na Univerzitetu u Lajdenu, 1600. je organizovao inženjersku školu na Univerzitetu u Lajdenu, gdje je držao predavanja iz matematike. Stevinova desetina (1585) bavi se decimalnim sistemom i decimalnim razlomcima koje je Simon Stevin uveo u Evropu.
Tada je a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Dodavanje nule ne mijenja broj, a zbir suprotnih brojeva je nula.
Dakle, za bilo koji racionalni broj imamo: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Množenje racionalnih brojeva takođe ima komutativna i asocijativna svojstva. Drugim riječima, ako su a, b i c bilo koji racionalni brojevi, onda ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Množenjem sa 1 se ne mijenja racionalan broj, ali je proizvod broja i njegove recipročne vrijednosti 1.
Dakle, za bilo koji racionalni broj a imamo:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12 + a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Odabravši prikladan redoslijed izračunavanja, pronađite vrijednost izraza:
1191. Formulirajte riječima komutativno svojstvo množenja ab = ba i provjerite da li ima:
1192. Formulirajte riječima asocijativno svojstvo množenja a(bc)=(ab)c i provjerite:
1193. Odabirom prikladnog redoslijeda izračunavanja, pronađite vrijednost izraza:
1194. Koliki će biti broj (pozitivan ili negativan) ako pomnožite:
a) jedan negativan broj i dva pozitivna broja;
b) dva negativna i jedan pozitivan broj;
c) 7 negativnih i nekoliko pozitivnih brojeva;
d) 20 negativnih i nekoliko pozitivnih? Napravite zaključak.
1195. Odredi znak proizvoda:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha i Maxim okupili su se u teretani (Sl. 91, a). Ispostavilo se da svaki od dječaka poznaje još samo dvojicu. ko zna koga? (Ivica grafa znači "mi se poznajemo.")
b) Braća i sestre iz iste porodice šetaju dvorištem. Koje od ove djece su dječaci, a koje djevojčice (Sl. 91, b)? (Tačkaste ivice grafikona znače - "Ja sam sestra", a pune - "Ja sam brat".)
1205. Izračunaj:
1206. Uporedi:
a) 2 3 i 3 2 ; b) (-2) 3 i (-3) 2; c) 1 3 i 1 2 ; d) (-1) 3 i (-1) 2.
1207. Zaokruži 5,2853 na hiljaditinke; prije stotinke; do desetinki; do jedinica.
1208. Riješite problem:
1) Motociklista sustiže biciklistu. Sada između njih 23,4 km. Brzina motocikliste je 3,6 puta veća od brzine bicikliste. Nađite brzine bicikliste i motocikliste ako je poznato da će motociklista prestići biciklistu za nekoliko sati.
2) Auto sustiže autobus. Sada između njih 18 km. Brzina autobusa je brzina automobila. Pronađite brzine autobusa i automobila ako je poznato da će automobil prestići autobus za nekoliko sati.
1209. Pronađite vrijednost izraza:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Provjerite svoje proračune sa kalkulator.
1210. Odabravši prikladan redoslijed izračunavanja, pronađite vrijednost izraza: 
1211. Pojednostavite izraz:
1212. Pronađite vrijednost izraza:
1213. Uradite sljedeće:
1214. Učenici su dobili zadatak da sakupe 2,5 tone starog metala. Prikupili su 3,2 tone starog metala. U kom procentu su učenici izvršili zadatak, a u kom procentu preterali?
1215. Automobil je prešao 240 km. Od toga je 180 km hodala seoskim putem, a ostatak puta - autoputem. Potrošnja benzina na svakih 10 km seoskog puta iznosila je 1,6 litara, a na autoputu - 25% manje. Koliko je litara benzina u prosjeku potrošeno na svakih 10 km putovanja?
1216. Napuštajući selo, biciklista je primijetio pješaka koji je išao u istom smjeru mostom i sustigao ga je za 12 minuta. Nađi brzinu pješaka ako je brzina bicikliste 15 km/h, a udaljenost od sela do mosta 1 km 800 m?
1217. Uradite sljedeće:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Kao što znate, ljudi su se postepeno upoznavali s racionalnim brojevima. U početku, prilikom brojanja objekata, nastali su prirodni brojevi. U početku ih je bilo malo. Dakle, donedavno su starosjedioci ostrva u Torres prolazu (koji razdvaja Novu Gvineju od Australije) u svom jeziku imali samo dva broja: "urapun" (jedan) i "okaza" (dva). Ostrvljani su tako mislili: “okaza-urapun” (tri), “okaza-okaza” (četiri) itd. Sve brojeve, počevši od sedam, starosjedioci su nazivali riječju koja znači “mnogo”.
Naučnici vjeruju da se riječ za sto pojavila prije više od 7.000 godina, za hiljadu - prije 6.000 godina, a prije 5.000 godina u starom Egiptu i starom Babilonu imena se pojavljuju za ogromne brojeve - do milion. Ali dugo vremena se prirodni niz brojeva smatrao konačnim: ljudi su mislili da postoji najveći broj.
Najveći starogrčki matematičar i fizičar Arhimed (287-212 pne) smislio je način da opiše ogromne brojeve. Najveći broj koji je Arhimed znao imenovati bio je toliko velik da bi za njegovo digitalno snimanje bila potrebna traka dvije hiljade puta duža od udaljenosti od Zemlje do Sunca.
Ali još uvijek nisu znali kako da zapišu tako ogromne brojeve. Ovo je postalo moguće tek nakon indijskih matematičara u 6. veku. izmišljen je broj nula i počeo je označavati odsustvo jedinica u ciframa decimalnog zapisa broja.
Prilikom dijeljenja plijena i kasnije prilikom mjerenja količina, iu drugim sličnim slučajevima, ljudi su se susreli s potrebom da se uvedu "razbijeni brojevi" - obični razlomci. Radnje na razlomcima su se u srednjem vijeku smatrale najtežim područjem matematike. Nemci su do sada za osobu koja se nalazi u teškoj situaciji govorila da je „pao u frakcije“.
Da bi se olakšao rad sa razlomcima, izmišljene su decimale. razlomci. U Evropi ih je u X585 uveo holandski matematičar i inženjer Simon Stevin.
Negativni brojevi su se pojavili kasnije od razlomaka. Dugo su se takvi brojevi smatrali "nepostojećim", "lažnim", prvenstveno zbog činjenice da je prihvaćeno tumačenje pozitivnih i negativnih brojeva "imovina - dug" dovelo do zbunjenosti: možete dodati ili oduzeti "imovinu" ili “dugovi”, ali kako razumjeti radnu ili privatnu “vlasništvo” i “dug”?
Međutim, uprkos takvim sumnjama i nedoumicama, pravila za množenje i dijeljenje pozitivnih i negativnih brojeva predložena su u 3. stoljeću. grčkog matematičara Diofanta (u obliku: „Oduzeto, pomnoženo sa dodanim, daje oduzeti; oduzeto oduzetim daje sabrano“ itd.), a kasnije je to isto izrazio indijski matematičar Bhaskara (XII vek) pravila u konceptima “imovina”, “dug” (“Proizvod dvije imovine ili dva duga je imovina; proizvod imovine i duga je dug.” Isto pravilo vrijedi i za diobu).
Utvrđeno je da su svojstva radnji na negativne brojeve ista kao i na pozitivne (na primjer, sabiranje i množenje imaju komutativno svojstvo). I konačno, od početka prošlog stoljeća negativni brojevi su se izjednačili s pozitivnim.
Kasnije su se u matematici pojavili novi brojevi - iracionalni, kompleksni i drugi. O njima ćete učiti u srednjoj školi.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Udžbenik za srednju školu
Knjige i udžbenici po kalendarskom planu za matematiku 6. razred preuzmite, pomozite učeniku online
Slika. Aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima.
Tekst:
Pravila za operacije sa racionalnim brojevima:
. kod sabiranja brojeva sa istim predznacima potrebno je sabrati njihove module i staviti njihov zajednički predznak ispred zbira;
. pri sabiranju dva broja sa različitim predznacima od broja sa velikim modulom, broj sa manjim modulom se oduzima i ispred rezultujuće razlike stavlja se predznak broja sa većim modulom;
. kada oduzimate jedan broj od drugog, morate dodati suprotan broj onom koji se oduzima: a - b \u003d a + (-b)
. kada se množe dva broja s istim predznacima, njihovi se moduli množe i ispred rezultirajućeg proizvoda stavlja se znak plus;
. kada se množe dva broja s različitim predznacima, njihovi moduli se množe i ispred rezultirajućeg proizvoda stavlja se znak minus;
. kod dijeljenja brojeva sa istim predznacima, modul dividende se dijeli sa modulom djelitelja i ispred rezultirajućeg količnika stavlja se znak plus;
. kod dijeljenja brojeva s različitim predznacima, modul dividende se dijeli sa modulom djelitelja i ispred rezultirajućeg količnika stavlja se znak minus;
. Dijeljenje i množenje nule sa bilo kojim brojem koji nije nula rezultira nulom:
. ne možete podijeliti sa nulom.
REALNI BROJEVI II
§ 36 Radnje na racionalne brojeve
Kao što znate, dva razlomka m / n i k / l su jednaki, odnosno predstavljaju isti racionalni broj ako i samo ako ml = nk .
Na primjer, 1 / 3 = 2 / 6 jer je 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 jer (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5 pošto je 0 5 = 1 0 itd.
Očigledno, za bilo koji cijeli broj r , nije jednako 0,
: m / n = m r / n r
Ovo proizilazi iz očigledne jednakosti t (P r ) = P (t r ). Stoga se svaki racionalni broj može predstaviti kao omjer dva broja na beskonačan broj načina. Na primjer,
5 \u003d 5 / 1 \u003d -10 / -2 \u003d 15 / 3, itd.,
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 itd.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 itd.
U skupu svih racionalnih brojeva, operacije sabiranja, množenja, oduzimanja i dijeljenja (osim dijeljenja nulom) su izvodljive. Prisjetite se kako su ove radnje definirane.
Zbir dva racionalna broja m / n i k / l određuje se formulom:
Proizvod dva racionalna broja m / n i k / l određuje se formulom:
m / n k / l = mk / nl (2)
Budući da isti racionalni broj dozvoljava nekoliko unosa (na primjer, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) bilo bi potrebno pokazati da zbir i proizvod racionalnih brojeva ne zavise od toga kako su članovi ili faktori su zapisani. Na primjer,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
itd. Međutim, razmatranje ovih pitanja je van okvira našeg programa.
Prilikom sabiranja i množenja racionalnih brojeva poštuju se sljedeći osnovni zakoni:
1) komutativno(ili komutativni) zakon sabiranja
m / n + k / l = k / l + m / n
2) asocijativni(ili asocijativni) zakon sabiranja:
( m / n + k / l ) + str / q = m / n + ( k / l + str / q )
3) komutativno(ili komutativni) zakon množenja:
m / n k / l = k / l m / n
4) asocijativni(ili asocijativni) zakon množenja:
( m / n k / l ) str / q = m / n ( k / l str / q )
5) distributivni(ili distributivni) zakon množenja u odnosu na sabiranje:
( m / n + k / l ) str / q = m / n str / q + k / l str / q
Zbrajanje i množenje su osnovne algebarske operacije. Što se tiče oduzimanja i dijeljenja, ove operacije su definirane kao inverzne sabiranja i množenja.
Razlika između dva racionalna broja m / n i k / l ovaj broj se zove X , koji zajedno sa k / l daje m / n . Drugim riječima, razlika m / n - k / l
k / l + x = m / n
Može se dokazati da takva jednadžba uvijek ima korijen i, osim toga, samo jedan:
Dakle razlika između dva broja m / n i k / l nalazi se prema formuli:
Ako brojevi m / n i k / l su jednake jedna drugoj, onda njihova razlika nestaje; ako ti brojevi nisu jednaki jedan drugom, onda je njihova razlika ili pozitivna ili negativna. At m / n - k / l > 0 reci broj m / n više broja k / l ; ako m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n manje od broja k / l .
Količnik dijeljenja racionalnog broja m / n na racionalan broj k / l ovaj broj se zove X, koji u proizvodu sa k / l daje m / n . Drugim riječima, privatno m / n : k / l definisan kao koren jednačine
k / l X = m / n .
Ako a k / l =/= 0, onda ova jednadžba ima jedan korijen
X = ml / nk
Ako k / l = 0, onda ova jednadžba ili nema korijena (za m / n =/= 0), ili ima beskonačno mnogo korijena (za m / n = 0). U želji da operaciju dijeljenja učinimo jedinstveno izvodljivim, slažemo se da uopće ne razmatramo dijeljenje nulom. Dakle, dijeljenje racionalnog broja m / n na racionalan broj k / l uvijek definiran osim ako k / l =/= 0. U ovom slučaju
m / n : k / l = ml / nk
Vježbe
295. Izračunajte na najracionalniji način i naznačite koji zakoni djelovanja se moraju koristiti u ovom slučaju;
a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16).
b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10
Ujak Vanja radnja drame. „Ujka Ivane. Odnos prema profesoru drugih
Mali Tsakhes, nadimak Zinnober
Maikov, Apolon Nikolajevič - kratka biografija