Matematika je nauka koja gradi svijet. I naučnik i običan čovek - niko ne može bez toga. Najprije se mala djeca uče da broje, zatim zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele, do srednje škole na scenu stupaju slovne oznake, au starijoj se više ne mogu bez njih.

Ali danas ćemo govoriti o tome na čemu se zasniva sva poznata matematika. O zajednici brojeva zvanoj "granice sekvence".

Šta su sekvence i gdje je njihova granica?

Značenje riječi "sekvenca" nije teško protumačiti. Ovo je takva konstrukcija stvari, gdje se neko ili nešto nalazi u određenom redoslijedu ili redu. Na primjer, red za karte za zoološki vrt je niz. A može biti samo jedan! Ako, na primjer, pogledate red do trgovine, ovo je jedna sekvenca. A ako jedna osoba iznenada napusti ovaj red, onda je ovo drugi red, drugi redosled.

Riječ "ograničenje" se također lako tumači - ovo je kraj nečega. Međutim, u matematici, granice nizova su one vrijednosti na brojevnoj liniji kojima niz brojeva teži. Zašto se trudi i ne završava? Jednostavno je, brojevna prava nema kraja, a većina nizova, poput zraka, ima samo početak i izgleda ovako:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Stoga je definicija niza funkcija prirodnog argumenta. Jednostavnije rečeno, to je niz članova nekog skupa.

Kako se gradi niz brojeva?

Najjednostavniji primjer niza brojeva može izgledati ovako: 1, 2, 3, 4, …n…

U većini slučajeva, u praktične svrhe, nizovi se grade od brojeva, a svaki sljedeći član niza, označimo ga sa X, ima svoje ime. Na primjer:

x 1 - prvi član niza;

x 2 - drugi član niza;

x 3 - treći član;

x n je n-ti član.

U praktičnim metodama, slijed je dat općom formulom u kojoj postoji neka varijabla. Na primjer:

X n \u003d 3n, tada će sama serija brojeva izgledati ovako:

Vrijedno je zapamtiti da u općoj notaciji nizova možete koristiti bilo koja latinična slova, a ne samo X. Na primjer: y, z, k, itd.

Aritmetička progresija kao dio nizova

Prije nego što potražimo granice nizova, savjetuje se dublje ući u sam koncept takvog brojevnog niza, s kojim se svako susreo dok je bio u srednjoj klasi. Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je razlika između susjednih članova konstantna.

Zadatak: „Neka je 1 = 15, a korak napredovanja niza brojeva d = 4. Napravite prva 4 člana ovog reda"

Rješenje: a 1 = 15 (po uslovu) je prvi član progresije (brojanog niza).

i 2 = 15+4=19 je drugi član progresije.

a 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 je treći član.

a 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 je četvrti član.

Međutim, ovom metodom je teško postići velike vrijednosti, na primjer, do 125. . Posebno za takve slučajeve izvedena je formula prikladna za praksu: a n \u003d a 1 + d (n-1). U ovom slučaju, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) = 511.

Tipovi sekvenci

Većina sekvenci je beskonačna, vrijedi ih pamtiti cijeli život. Postoje dvije zanimljive vrste brojevnih serija. Prvi je dan formulom a n =(-1) n . Matematičari se često pozivaju na ove bljeskajuće sekvence. Zašto? Provjerimo njegove brojeve.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, itd. Sa ovim primjerom postaje jasno da se brojevi u nizovima lako mogu ponoviti.

faktorski niz. Lako je pretpostaviti da u formuli postoji faktorijel koji definira niz. Na primjer: i n = (n+1)!

Tada će redoslijed izgledati ovako:

i 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

i 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, itd.

Niz zadan aritmetičkom progresijom naziva se beskonačno opadajući ako se nejednakost -1 promatra za sve njegove članove

i 3 \u003d - 1/8, itd.

Postoji čak i niz koji se sastoji od istog broja. Dakle, i n \u003d 6 se sastoji od beskonačnog broja šestica.

Određivanje granice niza

Ograničenja sekvenci odavno postoje u matematici. Naravno, oni zaslužuju vlastiti kompetentan dizajn. Dakle, vrijeme je da naučite definiciju granica sekvence. Prvo, detaljno razmotrite ograničenje za linearnu funkciju:

1. Sva ograničenja su skraćena kao lim.
2. Granični unos se sastoji od skraćenice lim, neke varijable koja teži određenom broju, nuli ili beskonačnosti, kao i same funkcije.

Lako je razumjeti da se definicija granice niza može formulirati na sljedeći način: to je određeni broj kojem se svi članovi niza beskonačno približavaju. Jednostavan primjer: i x = 4x+1. Tada će sama sekvenca izgledati ovako.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Dakle, ovaj niz će se neograničeno povećavati, što znači da je njegova granica jednaka beskonačnosti kao x→∞, a to treba napisati na sljedeći način:

Ako uzmemo sličan niz, ali x teži 1, dobićemo:

A niz brojeva će biti ovakav: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, itd. Svaki put morate zamijeniti broj sve bliže jedan (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iz ove serije se može vidjeti da je granica funkcije pet.

Iz ovog dijela vrijedi se sjetiti što je granica numeričkog niza, definicija i način rješavanja jednostavnih zadataka.

Opća notacija za granicu nizova

Nakon analize granice numeričkog niza, njegove definicije i primjera, možemo prijeći na složeniju temu. Apsolutno sve granice sekvenci mogu se formulisati jednom formulom, koja se obično analizira u prvom semestru.

Dakle, šta znači ovaj skup slova, modula i znakova nejednakosti?

∀ je univerzalni kvantifikator koji zamjenjuje izraze „za sve“, „za sve“ itd.

∃ je kvantifikator postojanja, u ovom slučaju to znači da postoji neka vrijednost N koja pripada skupu prirodnih brojeva.

Dugačak okomiti štap iza N znači da je dati skup N "takav". U praksi to može značiti "takav taj", "tako onaj" itd.

Da biste konsolidirali materijal, pročitajte formulu naglas.

Neizvjesnost i sigurnost granice

Metoda pronalaženja granice nizova, o kojoj je gore bilo riječi, iako jednostavna za korištenje, nije toliko racionalna u praksi. Pokušajte pronaći ograničenje za ovu funkciju:

Ako zamijenimo različite vrijednosti x (svaki put povećavajući: 10, 100, 1000, itd.), onda ćemo dobiti ∞ u brojniku, ali i ∞ u nazivniku. Ispada prilično čudan razlomak:

Ali da li je zaista tako? Izračunavanje granice numeričkog niza u ovom slučaju izgleda dovoljno lako. Moglo bi se ostaviti sve kako jeste, jer je odgovor gotov, i primljen je pod razumnim uslovima, ali postoji drugi način posebno za takve slučajeve.

Prvo, pronađimo najviši stepen u brojiocu razlomka - to je 1, budući da se x može predstaviti kao x 1.

Sada pronađimo najviši stepen u nazivniku. Takođe 1.

Podelite i brojilac i imenilac promenljivom do najvišeg stepena. U ovom slučaju dijelimo razlomak sa x 1.

Zatim, hajde da pronađemo kojoj vrednosti teži svaki termin koji sadrži varijablu. U ovom slučaju se uzimaju u obzir razlomci. Kako je x→∞, vrijednost svakog od razlomaka teži nuli. Prilikom izrade pisanog rada, vrijedi napraviti sljedeće fusnote:

Dobija se sljedeći izraz:

Naravno, razlomci koji sadrže x nisu postali nule! Ali njihova vrijednost je toliko mala da je sasvim dozvoljeno ne uzeti je u obzir u proračunima. U stvari, x nikada neće biti jednako 0 u ovom slučaju, jer ne možete dijeliti sa nulom.

Šta je komšiluk?

Pretpostavimo da profesor ima na raspolaganju složeni niz, dat, očigledno, ništa manje složenom formulom. Profesor je pronašao odgovor, ali da li odgovara? Na kraju krajeva, svi ljudi griješe.

Auguste Cauchy je smislio sjajan način da dokaže granice sekvenci. Njegova metoda se zvala operacija susjedstva.

Pretpostavimo da postoji neka tačka a čije je susjedstvo u oba smjera na realnoj pravoj jednako ε ("epsilon"). Pošto je zadnja varijabla udaljenost, njena vrijednost je uvijek pozitivna.

Sada postavimo neki niz x n i pretpostavimo da je deseti član niza (x 10) uključen u okolinu a. Kako tu činjenicu napisati matematičkim jezikom?

Pretpostavimo da je x 10 desno od tačke a, a zatim rastojanje x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Sada je vrijeme da u praksi objasnimo gore spomenutu formulu. Pošteno je određeni broj nazvati krajnjom točkom niza ako nejednakost ε>0 vrijedi za bilo koju njegovu granicu, a čitavo susjedstvo ima svoj prirodni broj N, tako da će svi članovi niza s većim brojevima biti unutar niza |x n - a|< ε.

Sa takvim znanjem, lako je riješiti granice niza, dokazati ili opovrgnuti gotov odgovor.

Teoreme

Teoreme o granicama nizova su važna komponenta teorije, bez koje je praksa nemoguća. Postoje samo četiri glavne teoreme, pamteći koje, možete značajno olakšati proces rješavanja ili dokazivanja:

1. Jedinstvenost granice niza. Bilo koji niz može imati samo jedno ograničenje ili ga uopće ne imati. Isti primjer sa redom koji može imati samo jedan kraj.
2. Ako niz brojeva ima ograničenje, tada je niz ovih brojeva ograničen.
3. Granica zbira (razlike, proizvoda) sekvenci jednaka je zbiru (razlike, proizvoda) njihovih granica.
4. Granica količnika dva niza jednaka je količniku granica ako i samo ako nazivnik ne nestane.

Sequence Proof

Ponekad je potrebno riješiti inverzni problem, dokazati datu granicu numeričkog niza. Pogledajmo primjer.

Dokažite da je granica niza datog formulom jednaka nuli.

Prema gornjem pravilu, za bilo koji niz vrijedi nejednakost |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Izrazimo n u terminima "epsilon" kako bismo pokazali postojanje određenog broja i dokazali postojanje granice niza.

U ovoj fazi, važno je podsjetiti da su "epsilon" i "en" pozitivni brojevi i nisu jednaki nuli. Sada možete nastaviti dalje transformacije koristeći znanje o nejednakostima stečeno u srednjoj školi.

Otuda ispada da je n > -3 + 1/ε. Budući da je vrijedno zapamtiti da govorimo o prirodnim brojevima, rezultat se može zaokružiti stavljanjem u uglaste zagrade. Tako je dokazano da je za bilo koju vrijednost “epsilon” susjedstva tačke a = 0 pronađena vrijednost takva da je početna nejednakost zadovoljena. Iz ovoga možemo sa sigurnošću tvrditi da je broj a granica datog niza. Q.E.D.

S tako zgodnom metodom možete dokazati granicu numeričkog niza, ma koliko to na prvi pogled izgledalo komplicirano. Glavna stvar je ne paničariti pri pogledu na zadatak.

Ili on možda ne postoji?

Postojanje granice sekvence nije neophodno u praksi. Lako je pronaći takve nizove brojeva kojima zaista nema kraja. Na primjer, isti flešer x n = (-1) n . Očigledno je da niz koji se sastoji od samo dvije cifre koje se ciklično ponavljaju ne može imati ograničenje.

Ista priča se ponavlja sa nizovima koji se sastoje od jednog broja, razlomka, koji u toku izračunavanja imaju nesigurnost bilo kojeg reda (0/0, ∞/∞, ∞/0, itd.). Međutim, treba imati na umu da postoji i pogrešan proračun. Ponekad će vam ponovna provjera vlastitog rješenja pomoći da pronađete granicu sukcesije.

monotoni niz

Iznad smo razmotrili nekoliko primjera nizova, metode za njihovo rješavanje, a sada pokušajmo uzeti konkretniji slučaj i nazvati ga "monoton niz".

Definicija: pošteno je bilo koji niz nazvati monotono rastućim ako zadovoljava strogu nejednakost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Uz ova dva uslova, postoje i slične nestroge nejednakosti. Prema tome, x n ≤ x n +1 (neopadajuća sekvenca) i x n ≥ x n +1 (neopadajuća sekvenca).

Ali to je lakše razumjeti na primjerima.

Niz dat formulom x n \u003d 2 + n formira sljedeće serije brojeva: 4, 5, 6, itd. Ovo je monotono rastući niz.

A ako uzmemo x n \u003d 1 / n, onda ćemo dobiti niz: 1/3, ¼, 1/5, itd. Ovo je monotono opadajući niz.

Granica konvergentnog i ograničenog niza

Ograničeni niz je niz koji ima ograničenje. Konvergentni niz je niz brojeva koji ima beskonačno malu granicu.

Dakle, granica ograničenog niza je bilo koji realan ili kompleksan broj. Zapamtite da može postojati samo jedno ograničenje.

Granica konvergentnog niza je beskonačno mala veličina (realna ili kompleksna). Ako nacrtate dijagram sekvence, tada će se u određenom trenutku on, takoreći, konvergirati, težiti da se pretvori u određenu vrijednost. Otuda i naziv - konvergentni niz.

Granica monotone sekvence

Takav niz može, ali i ne mora imati ograničenje. Prvo, korisno je razumjeti kada je, odavde možete početi s dokazivanjem odsustva ograničenja.

Među monotonim nizovima razlikuju se konvergentne i divergentne. Konvergentan - ovo je niz koji je formiran skupom x i ima realnu ili kompleksnu granicu u ovom skupu. Divergentan - niz koji nema ograničenja u svom skupu (ni realan ni složen).

Štaviše, niz konvergira ako se njegove gornje i donje granice konvergiraju u geometrijskom prikazu.

Granica konvergentnog niza u mnogim slučajevima može biti jednaka nuli, budući da svaki infinitezimalni niz ima poznatu granicu (nulu).

Koji god konvergentni niz da uzmete, svi su oni ograničeni, ali daleko od toga da se svi ograničeni nizovi konvergiraju.

Zbir, razlika, proizvod dva konvergentna niza je takođe konvergentan niz. Međutim, količnik također može konvergirati ako je definiran!

Razne akcije s ograničenjima

Granice nizova su iste značajne (u većini slučajeva) vrijednosti kao brojevi i brojevi: 1, 2, 15, 24, 362, itd. Ispada da se neke operacije mogu izvoditi s ograničenjima.

Prvo, baš kao i cifre i brojevi, granice bilo kojeg niza mogu se dodavati i oduzimati. Na osnovu treće teoreme o granicama nizova, tačna je sljedeća jednakost: granica zbira nizova jednaka je zbiru njihovih granica.

Drugo, na osnovu četvrte teoreme o granicama nizova, tačna je sljedeća jednakost: granica proizvoda n-tog broja nizova jednaka je proizvodu njihovih granica. Isto važi i za deljenje: granica količnika dva niza jednaka je količniku njihovih granica, pod uslovom da granica nije jednaka nuli. Uostalom, ako je granica nizova jednaka nuli, tada će se ispostaviti podjela nulom, što je nemoguće.

Svojstva vrijednosti sekvence

Čini se da je granica numeričkog niza već detaljno analizirana, ali fraze kao što su „beskonačno mali“ i „beskonačno veliki“ brojevi spominju se više puta. Očigledno, ako postoji niz 1/x, gdje je x→∞, onda je takav razlomak beskonačno mali, a ako isti niz, ali granica teži nuli (x→0), tada razlomak postaje beskonačno velika vrijednost . I takve vrijednosti imaju svoje karakteristike. Svojstva granice niza koji imaju proizvoljne male ili velike vrijednosti su kako slijedi:

1. Zbir bilo kojeg broja proizvoljno malih količina također će biti mala količina.
2. Zbir bilo kojeg broja velikih vrijednosti će biti beskonačno velika vrijednost.
3. Proizvod proizvoljno malih količina je beskonačno mali.
4. Proizvod proizvoljno velikih brojeva je beskonačno velika količina.
5. Ako originalni niz teži beskonačnom broju, onda će njegova recipročna vrijednost biti beskonačno mala i težiti nuli.

U stvari, izračunavanje granice niza nije tako težak zadatak ako poznajete jednostavan algoritam. Ali granice sekvenci su tema koja zahtijeva maksimalnu pažnju i upornost. Naravno, dovoljno je jednostavno shvatiti suštinu rješenja ovakvih izraza. Počevši od malog, vremenom možete dostići velike visine.

Date su izjave glavnih teorema i svojstava numeričkih nizova s ​​ograničenjima. Sadrži definiciju niza i njegove granice. Razmatraju se aritmetičke operacije sa nizovima, svojstva vezana za nejednakosti, kriterijumi konvergencije, svojstva beskonačno malih i beskonačno velikih nizova.

Sadržaj

Svojstva konačnih granica nizova

Osnovna svojstva

Tačka a je granica niza ako i samo ako je izvan bilo koje okoline ove tačke konačan broj elemenata sekvence ili prazan skup.

Ako broj a nije granica niza, onda postoji takva okolina tačke a, izvan koje postoji beskonačan broj elemenata niza.

Teorem jedinstvenosti za ograničenje niza brojeva. Ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.

Ako niz ima konačan limit, onda ga ograničeno.

Ako svaki element niza jednak je istom broju C : , onda ovaj niz ima granicu jednaku broju C .

Ako sekvenca dodati, ispustiti ili promijeniti prvih m elemenata, onda to neće uticati na njegovu konvergenciju.

Dokazi osnovnih svojstava dato na stranici
Osnovna svojstva konačnih granica nizova >>> .

Aritmetika sa granicama

Neka postoje konačne granice i nizovi i . I neka je C konstanta, odnosno dati broj. Onda
;
;
;
, ako .
U slučaju količnika, pretpostavlja se da je za sve n .

Ako onda .

Dokaz aritmetičkih svojstava dato na stranici
Aritmetička svojstva konačnih granica nizova >>> .

Svojstva povezana s nejednakostima

Ako elementi niza, počevši od nekog broja, zadovoljavaju nejednakost , tada granica a ovog niza također zadovoljava nejednakost .

Ako elementi niza, počevši od nekog broja, pripadaju zatvorenom intervalu (segmentu), tada ovom intervalu pripada i granica a: .

Ako i i elementi nizova, počevši od nekog broja, zadovoljavaju nejednakost , tada .

Ako i, počevši od nekog broja, , onda .
Konkretno, ako, počevši od nekog broja, , Onda
ako onda ;
ako onda .

Ako i , onda .

Neka i . Ako a < b , tada postoji prirodan broj N takav da je za sve n > N nejednakost je zadovoljena.

Dokazi svojstava vezanih za nejednakosti dato na stranici
Svojstva granica niza vezanih za >>> nejednakosti.

Infinitezimalni i infinitezimalni nizovi

Infinitezimalni niz

Infinitezimalni niz je niz čija je granica nula:
.

Zbir i razlika konačan broj infinitezimalnih nizova je infinitezimalni niz.

Proizvod ograničenog niza na infinitezimalni je infinitezimalni niz.

Proizvod konačnog broja infinitezimalni nizovi je infinitezimalni niz.

Da bi niz imao ograničenje a , potrebno je i dovoljno da je , gdje je infinitezimalni niz.

Dokaz svojstava infinitezimalnih nizova dato na stranici
Beskonačno mali nizovi - definicija i svojstva >>> .

Beskonačno veliki niz

Beskonačno veliki niz je niz koji ima beskonačno veliku granicu. To jest, ako za bilo koji pozitivan broj postoji takav prirodan broj N , ovisno o , da je za sve prirodne brojeve nejednakost
.
U ovom slučaju napišite
.
Ili u .
Kažu da teži beskonačnosti.

Ako , počevši od nekog broja N , onda
.
Ako onda
.

Ako su nizovi beskonačno veliki, onda počevši od nekog broja N, definira se niz koji je beskonačno mali. Ako su beskonačno mali niz sa elementima koji nisu nula, onda je niz beskonačno velik.

Ako je niz beskonačno velik i niz je ograničen, onda
.

Ako su apsolutne vrijednosti elemenata niza odozdo ograničene pozitivnim brojem (), i beskonačno su male s elementima koji nisu nula, tada
.

U detaljima definicija beskonačno velikog niza s primjerima dato na stranici
Definicija beskonačno velikog niza >>> .
Dokazi za svojstva beskonačno velikih nizova dato na stranici
Svojstva beskonačno velikih nizova >>> .

Kriterijumi konvergencije sekvenci

Monotoni nizovi

Strogo rastući niz je niz za sve elemente za koje vrijede sljedeće nejednakosti:
.

Slične nejednakosti definiraju i druge monotone nizove.

Strogo opadajuća sekvenca:
.
Neopadajući niz:
.
Redoslijed bez povećanja:
.

Iz toga slijedi da je striktno rastući niz također neopadajući. Strogo opadajuća sekvenca također nije rastuća.

Monotoni niz je neopadajući ili nerastući niz.

Monotoni niz je ograničen na barem jednoj strani . Neopadajući niz je ograničen odozdo: . Nerastući niz je ograničen odozgo: .

Weierstrassova teorema. Da bi neopadajući (nerastući) niz imao konačnu granicu, potrebno je i dovoljno da bude ograničen odozgo (odozdo). Ovdje je M neki broj.

Budući da je svaki neopadajući (nerastući) niz ograničen odozdo (od gore), Weierstrassova teorema se može preformulisati na sljedeći način:

Da bi monotoni niz imao konačan limit, potrebno je i dovoljno da bude ograničen: .

Monotoni neograničeni niz ima beskonačnu granicu, jednaku za neopadajuće i nerastuće sekvence.

Dokaz Weierstrassove teoreme dato na stranici
Weierstrassov teorem o granici monotonog niza >>> .

Cauchyjev kriterij za konvergenciju niza

Cauchy stanje
Konzistentnost zadovoljava Cauchy stanje, ako za bilo koji postoji prirodan broj takav da za sve prirodne brojeve n i m koji zadovoljavaju uvjet , nejednakost
.

Osnovni niz je niz koji zadovoljava Cauchy uslov.

Cauchyjev kriterij za konvergenciju niza. Da bi niz imao konačan limit, potrebno je i dovoljno da zadovolji Cauchyjev uslov.

Dokaz Cauchyjevog kriterija konvergencije dato na stranici
Cauchyjev kriterij konvergencije za niz >>> .

Podsekvence

Bolzano-Weierstrassova teorema. Iz bilo kojeg ograničenog niza može se razlikovati konvergentni podniz. I iz bilo kojeg neograničenog niza - beskonačno veliki podniz koji konvergira na ili na .

Dokaz Bolzano-Weierstrassove teoreme dato na stranici
Bolzano–Weierstrassova teorema >>> .

Definicije, teoreme i svojstva podnizova i parcijalnih ograničenja razmatraju se na stranici
Podsekvence i parcijalne granice sekvenci >>>.

Reference:
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
V.A. Zorich. Matematička analiza. Dio 1. Moskva, 1997.
V.A. Iljin, E.G. Pozniak. Osnove matematičke analize. Dio 1. Moskva, 2005.

Vidi također:

Xn su elementi ili članovi niza, n je član niza. Ako je funkcija f(n) data analitički, odnosno formulom, tada se xn=f(n) naziva formulom člana niza.

Broj a se naziva granicom niza (xn) ako za bilo koje ε>0 postoji broj n=n(ε) počevši od nejednakosti |xn-a |

Primjer 2. Dokažite da pod uslovima iz primjera 1 broj a=1 nije granica niza iz prethodnog primjera. Rješenje. Pojednostavite uobičajeni termin niza ponovo. Uzmite ε=1 (ovo je bilo koji broj >

Problemi direktnog izračunavanja granice niza su prilično monotoni. Svi oni sadrže omjere polinoma u odnosu na n ili iracionalne izraze u odnosu na te polinome. Kada počnete rješavati, izvadite zagrade (znak radikala) komponente koja je u najvećem stepenu. Pretpostavimo da će za brojnik originalnog izraza to dovesti do pojave faktora a^p, a za nazivnik b^q. Očigledno, svi preostali članovi imaju oblik C / (n-k) i teže nuli kada je n>

Prvi način izračunavanja granice niza zasniva se na njegovoj definiciji. Istina, treba imati na umu da ne daje načine za direktno traženje granice, već vam samo omogućava da dokažete da je neki broj a (ili nije) granica Primjer 1. Dokažite da je niz (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) ima granicu a=3. Dokazati primjenom definicije obrnutim redoslijedom. Odnosno, s desna na lijevo. Prvo provjerite da li je moguće pojednostaviti formulu za xn.hn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/(n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2).Uz nejednakost |(3n+1)/(n+2)-3|0 možete pronaći bilo koji prirodni broj nε veći od -2+ 5/ε.

Primjer 2. Dokažite da pod uslovima iz primjera 1 broj a=1 nije granica niza iz prethodnog primjera. Rješenje. Pojednostavite uobičajeni termin niza ponovo. Uzmite ε=1 (ovo je bilo koji broj >0) Zapišite konačnu nejednakost opšte definicije |(3n+1)/(n+2)-1|

Problemi direktnog izračunavanja granice niza su prilično monotoni. Svi oni sadrže omjere polinoma u odnosu na n ili iracionalne izraze u odnosu na te polinome. Kada počnete rješavati, izvadite zagrade (znak radikala) komponente koja je u najvećem stepenu. Pretpostavimo da će za brojnik originalnog izraza to dovesti do pojave faktora a^p, a za nazivnik b^q. Očigledno, svi preostali članovi imaju oblik C/(n-k) i teže nuli za n>k (n teži beskonačnosti). Zatim zapišite odgovor: 0 ako je pq.

Ukažimo na netradicionalan način pronalaženja granice niza i beskonačnih suma. Koristićemo funkcionalne nizove (njihovi članovi funkcije definisani na nekom intervalu (a,b)) Primer 3. Naći zbir oblika 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Rješenje. Bilo koji broj a^0=1. Stavite 1=exp(0) i razmotrite niz funkcija (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Numerički niz.
Kako ?

U ovoj lekciji naučit ćemo mnogo zanimljivih stvari iz života članova velike zajednice koja se zove Vkontakte numeričke sekvence. Tema koja se razmatra ne odnosi se samo na tok matematičke analize, već se dotiče i osnova diskretna matematika. Osim toga, materijal će biti potreban za razvoj drugih dijelova tornja, posebno tokom studije numeričke serije i funkcionalni redovi. Možete otrcano reći da je ovo važno, možete umirujuće reći da je jednostavno, možete reći puno više dežurnih fraza, ali danas je prva, neobično lijena školska sedmica, tako da mi je strašno lomljivo da sastavim prvi pasus =) Već sam sačuvao fajl u svom srcu i spremio se za spavanje, odjednom... ideja o iskrenom priznanju je obasjala glavu, što je neverovatno olakšalo dušu i nateralo na dalje kuckanje prstima po tastaturi.

Krenimo od ljetnih uspomena i zavirimo u ovaj fascinantan i pozitivan svijet nove društvene mreže:

Koncept numeričkog niza

Prvo, razmislimo o samoj riječi: šta je niz? Dosljednost je kada se nešto nalazi iza nečega. Na primjer, slijed radnji, slijed godišnjih doba. Ili kada se neko nalazi iza nekoga. Na primjer, niz ljudi u redu, niz slonova na stazi do pojila.

Odmah da razjasnimo karakteristične karakteristike niza. prvo, članovi niza se nalaze striktno određenim redosledom. Dakle, ako su dvije osobe u redu zamijenjene, onda će to već biti drugi podsekvenca. Drugo, svakome član sekvence možete dodijeliti serijski broj:

Isto je i sa brojevima. Neka svakome prirodna vrijednost po nekom pravilu mapiran na pravi broj. Tada kažemo da je zadan numerički niz.

Da, u matematičkim problemima, za razliku od životnih situacija, niz gotovo uvijek sadrži beskonačno mnogo brojevi.

pri čemu:
pozvao prvi član sekvence;
– drugi član sekvence;
– treći član sekvence;
…
– nth ili zajednički član sekvence;
…

U praksi se obično daje redoslijed formula uobičajenog pojma, na primjer:
je niz pozitivnih parnih brojeva:

Dakle, zapis jedinstveno određuje sve članove niza - ovo je pravilo (formula) prema kojem se prirodne vrijednosti brojevi se poklapaju. Stoga se niz često ukratko označava zajedničkim članom, a umjesto "x" mogu se koristiti druga latinična slova, na primjer:

Niz pozitivnih neparnih brojeva:

Još jedan uobičajeni niz:

Kao što su, vjerovatno, mnogi primijetili, varijabla "en" igra ulogu svojevrsnog brojača.

U stvari, bavili smo se numeričkim nizovima još u srednjoj školi. Podsjetimo se aritmetička progresija. Definiciju neću prepisivati, dotaknimo se same suštine konkretnim primjerom. Neka je prvi pojam i korak aritmetička progresija. onda:
je drugi termin ove progresije;
je treći član ove progresije;
- četvrti;
- peti;
…
I, očigledno, pita se n-ti član ponavljajuća formula

Bilješka : u rekurzivnoj formuli, svaki sljedeći termin je izražen u terminima prethodnog pojma ili čak u terminima cijelog skupa prethodnih pojmova.

Dobijena formula je od male koristi u praksi - da biste dobili, recimo, do , morate proći kroz sve prethodne pojmove. A u matematici se izvodi prikladniji izraz za n-ti član aritmetičke progresije: . u našem slučaju:

Zamijenite prirodne brojeve u formuli i provjerite ispravnost numeričkog niza koji je gore konstruiran.

Slični proračuni se mogu napraviti za geometrijska progresija, čiji je n-ti član dan formulom , gdje je prvi član , i je nazivnik progresije. U matan zadacima, prvi član je često jednak jedan.

progresija postavlja sekvencu ;
progresija postavlja sekvencu;
progresija postavlja sekvencu ;
progresija postavlja sekvencu .

Nadam se da svi znaju da je -1 na neparan stepen -1, a na parni stepen jedan.

Progresija se zove beskonačno opadajuća, ako (poslednja dva slučaja).

Dodajmo dva nova prijatelja na našu listu, od kojih je jedan upravo pokucao na matricu monitora:

Niz u matematičkom žargonu naziva se "flašer":

Na ovaj način, članovi sekvence se mogu ponavljati. Dakle, u razmatranom primjeru, niz se sastoji od dva beskonačno naizmjenična broja.

Da li se dešava da se niz sastoji od istih brojeva? Naravno. Na primjer, postavlja beskonačan broj "trojki". Za estete postoji slučaj kada se "en" još uvijek formalno pojavljuje u formuli:

Pozovimo jednostavnu djevojku na ples:

Šta se dešava kada se "en" poveća do beskonačnosti? Očigledno je da će uslovi niza beskonačno blizu pristup nuli. Ovo je granica ovog niza, koja se piše na sljedeći način:

Ako je granica niza nula, onda se on poziva infinitezimal.

U teoriji matematičke analize dat je stroga definicija granice sekvence kroz takozvano naselje ipsilon. Sljedeći članak će biti posvećen ovoj definiciji, ali za sada analizirajmo njeno značenje:

Opišimo članove niza i susjedstvo simetrično u odnosu na nulu (limit) na realnoj pravoj:


Sada držite plavo susjedstvo rubovima dlanova i počnite ga smanjivati, povlačeći ga do granice (crvena tačka). Broj je granica niza ako ZA BILO KOJI unaprijed odabrano susjedstvo (proizvoljno mali) unutra će biti beskonačno mnogočlanovi niza, i VAN nje - samo final broj članova (ili nijedan). To jest, susjedstvo ipsilona može biti mikroskopsko, pa čak i manje, ali "beskonačni rep" niza prije ili kasnije mora u potpunosti uđite u ovo područje.

Niz je također beskonačno mali: s tom razlikom što njegovi članovi ne skaču naprijed-nazad, već se granici približavaju isključivo s desne strane.

Naravno, granica može biti jednaka bilo kojem drugom konačnom broju, elementarni primjer:

Ovdje razlomak teži nuli, i prema tome, granica je jednaka "dva".

Ako sekvenca postoji konačna granica, onda se zove konvergirajući(posebno, infinitezimal na ). inače - divergentan, dok su moguće dvije opcije: ili granica uopće ne postoji, ili je beskonačna. U potonjem slučaju, sekvenca se zove beskonačno velika. Hajdemo galopirati kroz primjere iz prvog pasusa:

Sekvence su beskonačno velika, dok se njihovi članovi neprestano kreću prema "plus beskonačnosti":

Aritmetička progresija s prvim članom i korakom je također beskonačno velika:

Usput, svaka aritmetička progresija također se razlikuje, osim u slučaju s nultim korakom - kada se beskonačno dodaje određenom broju. Granica takvog niza postoji i poklapa se sa prvim članom.

Sekvence imaju sličnu sudbinu:

Svaka beskonačno opadajuća geometrijska progresija, kao što naziv implicira, beskrajno mali:

Ako je nazivnik geometrijska progresija, tada je niz beskonačno velik A:

Ako je, na primjer, , onda uopće nema ograničenja, jer članovi neumorno skaču ili na „plus beskonačnost“, pa na „minus beskonačnost“. A zdrav razum i matanove teoreme sugeriraju da ako nešto teži negdje, onda je ovo cijenjeno mjesto jedinstveno.

Nakon malog otkrića postaje jasno da je za neobuzdano bacanje kriv bljeskalica, koja se, usput rečeno, sama razilazi.
Zaista, za niz je lako izabrati -komšiluk, koji, recimo, drži samo broj -1. Kao rezultat toga, beskonačan broj članova niza („plus jedan”) će ostati izvan datog susjedstva. Ali po definiciji, "beskonačni rep" niza od određenog trenutka (prirodni broj) mora u potpunosti unesite BILO KOJI kvart svoje granice. Zaključak: nema ograničenja.

Faktorski je beskonačno velika redoslijed:

Štaviše, raste naglo, pa je to broj koji ima više od 100 cifara (cifara)! Zašto baš 70? Traži milost moj inženjerski kalkulator.

S kontrolnim udarcem sve je malo složenije, a tek smo došli do praktičnog dijela predavanja u kojem ćemo analizirati borbene primjere:

Ali sada je potrebno moći riješiti granice funkcija, barem na nivou dvije osnovne lekcije: Ograničenja. Primjeri rješenja i Izvanredne granice. Zato što će mnoge metode rješenja biti slične. Ali, prije svega, analizirajmo fundamentalne razlike između granice niza i granice funkcije:

U granici niza, "dinamička" varijabla "en" može težiti samo do "plus beskonačnosti"– u pravcu povećanja prirodnih brojeva .
U granicama funkcije, "x" se može usmjeriti bilo gdje - na "plus/minus beskonačnost" ili na proizvoljan realan broj.

Subsequence diskretno(diskontinuirano), odnosno sastoji se od zasebnih izolovanih članova. Jedan, dva, tri, četiri, pet, zeko je izašao u šetnju. Argument funkcije karakterizira kontinuitet, odnosno "x" glatko, bez incidenta, teži jednoj ili drugoj vrijednosti. I, shodno tome, vrijednosti funkcije će se također kontinuirano približavati svojoj granici.

Zbog diskretnost unutar sekvenci postoje njihove vlastite brendirane stvari, kao što su faktorijali, bljeskalice, progresije itd. A sada ću pokušati analizirati granice koje su karakteristične za sekvence.

Počnimo s progresijama:

Primjer 1

Pronađite granicu niza

Rješenje: nešto slično beskonačno opadajućoj geometrijskoj progresiji, ali da li je to zaista? Radi jasnoće, pišemo prvih nekoliko pojmova:

Od , govorimo o sumačlanovi beskonačno opadajuće geometrijske progresije, koja se izračunava po formuli .

Donošenje odluke:

Koristimo formulu za sumu beskonačno opadajuće geometrijske progresije: . U ovom slučaju: - prvi član, - imenilac progresije.

Primjer 2

Napišite prva četiri člana niza i pronađite njegovu granicu

Ovo je "uradi sam" primjer. Da biste uklonili nesigurnost u brojiocu, morat ćete primijeniti formulu za zbir prvih članova aritmetičke progresije:
, gdje je prvi, a n-ti član progresije.

Budući da 'en' uvijek teži 'plus beskonačnosti' unutar sekvenci, nije iznenađujuće da je neodređenost jedna od najpopularnijih.
I mnogi primjeri su riješeni na potpuno isti način kao i granice funkcija!

Ili možda nešto komplikovanije ? Pogledajte primjer br. 3 članka Metode rješavanja ograničenja.

Sa formalne tačke gledišta, razlika će biti samo u jednom slovu - tu je "x", a ovdje "en".
Prijem je isti - brojilac i imenilac moraju biti podijeljeni sa "en" u najvećem stepenu.

Takođe, unutar sekvenci, nesigurnost je prilično česta. Možete naučiti kako riješiti ograničenja kao iz Primjera br. 11-13 istog članka.

Da biste se suočili s ograničenjem, pogledajte primjer #7 lekcije Izvanredne granice(druga izuzetna granica vrijedi i za diskretni slučaj). Rješenje će opet biti kao kopija s razlikom u jednom slovu.

Sljedeća četiri primjera (br. 3-6) su također „dvolična“, ali su u praksi, iz nekog razloga, tipičnija za granice nizova nego za granice funkcija:

Primjer 3

Pronađite granicu niza

Rješenje: prvo kompletno rješenje, a zatim komentari korak po korak:

(1) U brojiocu koristimo formulu dva puta.

(2) Dajemo slične članove u brojiocu.

(3) Da bismo eliminisali nesigurnost, dijelimo brojilac i imenilac sa ("en" u najvećem stepenu).

Kao što vidite, ništa komplikovano.

Primjer 4

Pronađite granicu niza

Ovo je primjer rješenja uradi sam, skraćene formule za množenje pomoći.

Unutar s demonstrativna nizovi koriste sličnu metodu dijeljenja brojnika i nazivnika:

Primjer 5

Pronađite granicu niza

Rješenje uradimo to na isti način:

Usput rečeno, sličan teorem vrijedi i za funkcije: proizvod ograničene funkcije na infinitezimalnu funkciju je infinitezimalna funkcija.

Primjer 9

Pronađite granicu niza

Ograničenje redosleda brojeva je granica niza elemenata brojevnog prostora. Brojevni prostor je metrički prostor u kojem je udaljenost definirana kao modul razlike između elemenata. Dakle, broj se zove granica sekvence, ako za bilo koji postoji broj ovisno o takvom da nejednakost vrijedi za bilo .

Koncept granice niza realnih brojeva formuliran je prilično jednostavno, a u slučaju kompleksnih brojeva, postojanje granice niza je ekvivalentno postojanju granica odgovarajućih nizova realnih i imaginarnih dijelova kompleksa. brojevi.

Granica (brojanog niza) je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Svaki realni broj može se predstaviti kao granica niza aproksimacija željenoj vrijednosti. Brojevni sistem obezbjeđuje takav slijed preciziranja. Cjelobrojni iracionalni brojevi su opisani periodičnim nizovima aproksimacija, dok su iracionalni brojevi opisani neperiodičnim nizovima aproksimacija.

U numeričkim metodama, gdje se koristi reprezentacija brojeva sa konačnim brojem predznaka, izbor sistema aproksimacija igra posebnu ulogu. Kriterijum za kvalitet sistema aproksimacija je stopa konvergencije. U tom pogledu, efikasne su reprezentacije brojeva u obliku kontinuiranih razlomaka.

Definicija

Broj je pozvan granica numeričkog niza, ako je niz beskonačno mali, tj. svi njegovi elementi, počevši od nekog, manji su od bilo kojeg pozitivnog broja uzetog unaprijed.

U slučaju da numerički niz ima ograničenje u obliku realnog broja, on se zove konvergirajući na ovaj broj. U suprotnom, sekvenca se poziva divergentan . Ako je, osim toga, neograničen, onda se pretpostavlja da je njegova granica jednaka beskonačnosti.

Osim toga, ako svi elementi neograničenog niza, počevši od nekog broja, imaju pozitivan predznak, onda kažemo da je granica takvog niza jednaka plus beskonačnost .

Ako elementi neograničenog niza, počevši od nekog broja, imaju negativan predznak, onda kažu da je granica takvog niza jednaka minus beskonačnost .

Ova definicija ima neizbježan nedostatak: objašnjava šta je granica, ali ne daje način za njeno izračunavanje, niti informacije o njenom postojanju. Sve se ovo izvodi iz svojstava dolje dokazane granice.