Ovaj video tutorijal je napravljen za učenike 10. razreda. Uz to će moći da proučavaju temu „Pretvaranje proizvoda trigonometrijskih izraza u zbrojeve“. Materijal za obuku prati smiren muški glas. Uz to možete voditi zanimljiv i informativan čas u školi. Zahvaljujući ilustracijama i definicijama koje su jasno prikazane na ekranu, učenici će moći brzo i efikasno da razumeju ovu temu.

Uprkos činjenici da se trigonometrija, kao nauka, pojavila davno, ona do danas nije izgubila na važnosti. U raznim naukama pojavljuju se zadaci u čijem rješavanju će se školarci morati suočiti s ovim područjem. Iz tog razloga, oni moraju biti u stanju da se bave primjerima različite složenosti, razmatraju funkcije koje sadrže sinuse, kosinuse, tangente i kotangense, itd.

Budući da trigonometrija sadrži ogroman broj formula, bez kojih bi pojednostavljivanje jednog ili drugog izraza trajalo mnogo vremena. Stoga je veoma važno zapamtiti i razumjeti ove formule. Ako razumijete način na koji su izvedeni, lako ćete ih zapamtiti i primijeniti u praksi. Da bi dugo ostali u sjećanju, potrebno ih je u praksi ojačati. Zbog toga je neophodno da učitelji kod kuće postave veliki broj trigonometrijskih izraza i jednačina za školarce.

Ovaj video su napravili profesionalci. Ima konzistentnu strukturu, nema suvišnih i nepotrebnih informacija koje odstupaju od nastavnog plana i programa.

Školarci već znaju kako da konvertuju trigonometrijske jednačine zbira u proizvode. Kako izvršiti obrnuti proces ako je potrebno? Ponekad će biti potrebno pojednostaviti ovaj ili onaj izraz.

Razmatranje počinje primjerom. Zapisuje se proizvod sinusa nekog t i kosinusa iste vrijednosti. Ovaj izraz se pretvara kroz razlomak, gdje u brojiocu vidimo zbir sinusa zbira argumenata i razlike podijeljen sa 2.

Umnožak sinusa nekog s i sinusa od t transformira se na sličan način.

Kako bi se ovi izrazi fiksirali u praksi, predlaže se rješavanje nekih primjera. U prvom od njih se predlaže pronaći numerički odgovor za izraz, koji je proizvod sinusa od 2x i kosinusa od 9x. Prilikom rješavanja ovog primjera koristi se prethodno proučavana formula. Ekran prikazuje detaljno rješenje primjera, također pokazuje koja se formula koristi.

Zatim se razmatra još jedan primjer, gdje se predlaže pretvaranje proizvoda u zbroj. Svi proračuni i objašnjenja prikazani su na desnoj strani. Nije tako teško shvatiti kako je ovaj primjer riješen, jer spiker sve detaljno komentariše.

Treći primjer predlaže pojednostavljenje izraza koji se sastoji od proizvoda tri sinusa određenog stepena. Prilikom pojednostavljenja koristi se formula za pretvaranje proizvoda sinusa u zbroj. Prilikom rješavanja ovog primjera skreće se pažnja na činjenicu da je kosinusna funkcija parna funkcija. Dakle, znakovi su ispravno definisani. Prikazuje se odgovor. Rješenje je prilično obimno, međutim, ako ga razmotrite korak po korak, onda neće ostati ništa neshvatljivo.

Četvrti primjer sadrži trigonometrijsku jednadžbu, pri rješavanju koje je potrebno koristiti proučavane formule, kako u ovoj lekciji, tako i u prethodnim video zapisima.

Kao što je već spomenuto, uz pomoć ove prezentacije možete održati zanimljiv čas za učenike desetog razreda. I nastavnici i školarci mogu preuzeti materijal. Pomoću njega možete vizuelno pokazati učeniku postupno rješenje primjera, na koje će se učenici sresti, kako tokom domaće zadaće, tako i na samostalnom i testnom radu u školi.

TUMAČENJE TEKSTA:

Pretvaranje proizvoda trigonometrijskih izraza u zbrojeve

Već znate da se svaka matematička formula u praksi primjenjuje s desna na lijevo i s lijeva na desno. Stoga, primjenom formule u suprotnom smjeru, možemo pretvoriti proizvod trigonometrijske funkcije u zbir.

Razmotrimo primjer:

iz formule za pretvaranje zbira sinusa argumenata es i te u proizvod sin( s +t) + sin( s - t) = 2 sin s cos t

možete dobiti drugu formulu:

grijeh s cos t= (Proizvod sinusa argumenata es i kosinusa argumenta te jednak je polovini zbira sinusa zbira argumenata es i te i sinusa razlike argumenata es i te, i razlika se uzima tako da se ugao ispod predznaka kosinusa oduzme od argumenta ispod predznaka sinusa.)

grijeh( s +t) + sin( s - t) = 2 sin s cos t

grijeh s cos t =

Slično, iz formule za pretvaranje zbira kosinusa argumenata es i te u proizvod cos ( s+t)+ cos( s - t) =2 cos s cos t dobijamo

cos s cos t= (proizvod kosinusa argumenata es i te jednak je polovini zbira kosinusa zbira ovih argumenata i kosinusa njihove razlike).

I iz formule za pretvaranje razlike između kosinusa argumenata es i te u proizvod cos ( s+t) - cos( s - t) = - 2sin s grijeh t imamo

grijeh s grijeh t= (proizvod sinusa argumenata es i te jednak je polurazlici kosinusa razlike ovih argumenata i kosinusa njihovog zbira).

Razmotrite primjere.

PRIMJER 1. Pretvorite proizvod u zbir sin2x cos9x.

Rješenje. Prilikom rješavanja koristit ćemo formulu sin s cos t= , gdje je s= 2x, t=9x. Onda pišemo

sin2xcos 9x = = ( s obzirom na to

grijeh(-y) = -grijehy, dobijamo) \u003d (polu-razlika sinusa od jedanaest x i sinusa od sedam x).

Odgovor: sin2x cos9x =.

PRIMJER 2. Pretvorite proizvod u zbir cos (2x - y) cos (x + 4y) (proizvod kosinusa argumenta dva x minus y kosinusom argumenta x plus četiri y).

Rješenje. Prilikom rješavanja koristit ćemo formulu cos s cos t= , gdje je s= (2x-y), t=(x+4y). Onda

cos(2x - y) cos(x + 4y) = = otvorite zagrade = , izvršite proračune i dobijete

= (pola zbroja kosinusa argumenta tri x plus tri y i kosinusa argumenta x minus pet y).

PRIMJER 3 Pojednostavite izraz sin20°sin40° sin80°.

Rješenje. Primijenite formulu: sin s grijeh t= .

sin 20°sin 40° sin 80°= ∙ sin 80°= ∙ sin 80°=

(uzimamo u obzir da je kosinus parna funkcija, što znači da

= ∙ sin 80° Pošto je cos60°=

= ∙ sin 80°= ∙) ∙ sin 80°=

(imajte na umu da je sin 80°= sin(90° - 10°)= cos10°, pa dobijamo to)

= ∙) ∙ cos10° = otvorene zagrade = ∙ cos10° - ∙ cos10°

(primjenjujemo formulu cos s cos t =)

= ∙ - ∙ cos10°= ∙() - ∙ cos10°=

otvorite zagrade

(zapamti to =)

Odgovor: sin20°sin40° sin80° = .

PRIMJER 4. Riješite jednačinu 2 sin2x cos9x - sin11x \u003d 0.

Transformiramo lijevu stranu jednadžbe koristeći formulu

grijeh s cos t= , gdje je s=2x, a t=9x dobijamo:

2 ∙ - sin11x = sin11x = .

Dakle, ova jednačina je ekvivalentna jednačini = 0 (minus sinus od sedam x jednako je nuli). Dakle, = πn, odakle je h = , .

Ključ uspjeha sa zbrajanjem leži u našoj sposobnosti da transformiramo jedan zbir u drugi – bilo da pojednostavimo original ili da nas približimo cilju. A učenjem nekoliko osnovnih pravila transformacije i vježbanjem njihove primjene, lako možete savladati ovu sposobnost.

Neka je K neki konačan skup cijelih brojeva. Sume nad elementima iz K mogu se transformirati na osnovu tri jednostavna pravila:

Distributivni zakon vam omogućava da unosite i ispisujete konstante ispod predznaka i izvan njega. Asocijativni zakon vam omogućava da jedan zbir podijelite na dva ili spojite dva zbira u jedan. Komutativni zakon kaže da se uslovi sume mogu preurediti bilo kojim željenim redosledom; ovdje je neka permutacija skupa svih cijelih brojeva. Na primjer, ako i ako onda ova tri zakona to navode

Gaussov trik iz Ch. 1 može se posmatrati kao jedna od primjena ova tri osnovna zakona. Pretpostavimo da želimo

izračunati zbir opšte aritmetičke progresije

Prema komutativnom zakonu, zamjenom k ​​sa dobijamo

Ove dvije jednadžbe se mogu dodati korištenjem zakona kombinacije:

A sada primjenjujemo distributivni zakon i izračunavamo trivijalni zbir:

Dijelimo sa 2, nalazimo to

Desna strana se može zapamtiti kao prosjek prvog i posljednjeg pojma, odnosno pomnoženog sa brojem pojmova, tj.

Važno je imati na umu da se funkcija u općem obliku zakona pomaka (2.17) smatra permutacijom svih cijelih brojeva. Drugim riječima, za svaki cijeli broj mora postojati tačno jedan cijeli broj k, takav da . U suprotnom, komutativni zakon se ne može ispuniti – pr. 3 je dobar primjer. Konverzije tipa iz c, ili gdje je c cjelobrojna konstanta, uvijek su permutacije, tako da su u redu.

Međutim, može se malo ublažiti ograničenje na permutaciju: dovoljno je da postoji tačno jedan cijeli broj k, tako da kada je element indeksnog skupa K. mjesto jednakosti jer slično ne učestvuje u zbiru. Tako se, na primjer, može tvrditi da

jer postoji tačno jedan k takav da je kada je paran.

Iversonova notacija, koja vam omogućava da dobijete 0 ili 1 kao vrijednosti logičkih izraza unutar određene formule, može se koristiti u kombinaciji s distributivnim, asocijativnim i komutativnim zakonima kako bi se otkrila dodatna svojstva zbroja. Evo, na primjer, važno pravilo za kombiniranje različitih skupova indeksa: ako su neki skupovi cijelih brojeva, onda

Ovo slijedi iz općih formula

Obično se pravilo (2.20) koristi ili za uniju dva skoro disjunktna ​​skupa indeksa, kao u slučaju

ili da odaberete poseban član zbira, kao u slučaju

Takva operacija izdvajanja pojma čini osnovu metode redukcije, koja često omogućava izračunavanje jedne ili druge sume u zatvorenom obliku. Suština ove metode je da počnete od iznosa koji treba izračunati i označite ga

(Dizajnirajte i osvojite.) Zatim ga prepisujemo na dva načina, izdvajajući i posljednji i prvi termin:

Sada možemo uzeti posljednji zbir i pokušati ga izraziti u terminima Ako je pokušaj uspješan, dobićemo jednačinu čije će rješenje biti željeni zbir.

Upotrijebimo, na primjer, ovaj pristup da pronađemo zbir opće geometrijske progresije

U skladu sa općom šemom smanjenja (2.24), zbir se prepisuje kao

a zbir na desnoj strani jednak je distributivnom zakonu. Dakle, i, rješavajući ovu jednačinu u odnosu na, dobijamo

(Za x = 1, ovaj zbir je, naravno, jednostavno jednak. Desna strana ove formule može se zapamtiti kao razlika između prvog ulaznog i prvog nezbirnog člana, podijeljena razlikom 1 i nazivnikom progresija.

Ovo je sve bilo prilično jednostavno, pa hajde da isprobamo metodu smanjenja na malo teži iznos,

U desetom razredu učenici će polagati dio algebre kao što je trigonometrija. Proučavat će se kroz veliki broj lekcija.

Sama trigonometrija, kao nauka, pojavila se prije više od dva milenijuma. Pošto obične algebarske operacije ne bi bile dovoljne za izražavanje trigonometrijskih funkcija, naučnici su morali da uvedu novu notaciju. Ova nauka proučava odnos između stranica trougla i njegovih uglova. U mnogim geometrijskim, algebarskim problemima postaje neophodno baviti se ovom oblasti. Problemi u fizici ponekad dovode do trigonometrijskih funkcija.

Školarci su već proučavali osnovne trigonometrijske funkcije, naučili kako graditi svoje grafove, pretvarati ih, osnovne formule u trigonometriji, koristiti tablicu vrijednosti argumenata koji se često nalaze u trigonometriji itd. Dok su proučavali ovaj video tutorijal, već su se nosili s velikim brojem trigonometrijskih izraza i jednačina.

U nekim primjerima postaje potrebno pretvoriti formulu zbira trigonometrijske funkcije u proizvod. Ovom akcijom možete skratiti i pojednostaviti ogromne izraze, riješiti jednačine, sisteme jednačina i tako dalje.

Video "Pretvaranje zbira trigonometrijskih funkcija u proizvode" odličan je popratni materijal pri proučavanju ove teme. Nastavnici mogu koristiti primjere koji su dati u izvoru, definicijama i formulama. Multimedijalni fajl je odličnog kvaliteta. Može se igrati tokom časa. Ovo će pomoći učenicima da se koncentrišu na predmet koji se proučava.

Na početku video lekcije spiker kaže da će na ekranu biti prikazane neke formule suma koje će pomoći u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Prije svega, razmatra se zbir sinusa. Prvi izraz je zbir sinusa zbira dva argumenata i sinusa razlike istih argumenata. Svaki pojam je potpisan prema ranije proučavanim formulama. Prikazuju se na desnoj strani ekrana kako bi podsjetili učenike.

Uz punu notaciju, otvaranje zagrada i pojednostavljivanje, dobijamo proizvod. Varijable se zamjenjuju. X-ti je zbir argumenata, y-ti je razlika. Zamjenom u rezultirajući izraz dobijamo prvu formulu za pretvaranje suma u produkte u trigonometriji.

Da bi učenici zapamtili formulu, nije dovoljno pokazati kako da je dobiju. Potrebno je pokušati riješiti primjerom. Dat je zbir sinusa nekih vrijednosti. Pretvoreno formulom u proizvod.

Druga formula, čiji će prijem biti prikazan korak po korak, je razlika sinusa. Kako ne biste radili dodatne prethodne korake, možete koristiti već dobijenu formulu za iznos. Mora se imati na umu da je sinus neparna funkcija. Ako razliku zapišemo kao zbir i zamijenimo minus u formuli iz zbira, dobićemo novo pravilo za pretvaranje razlike u proizvod.

Primjer je dat na isti način. Najavljivač detaljno prepričava svoju odluku.

Zbir i razlika kosinusa sa primjerima dati su istim redoslijedom. Prethodno proučavane formule se koriste na sličan način, daje se zamjena i prikazuje se rezultat. Prilikom izvođenja formule razlike, možete pribjeći činjenici da je kosinus parna funkcija.

Prilikom rješavanja jednadžbe, lijeva strana se pretvara u proizvod. Kao što znate, biće jednako nuli kada će i neki faktori biti jednaki nuli. Stoga će pretvaranje u proizvod biti vrlo korisno.

Konačno, dat je još jedan primjer, složeniji. Školarcima možete reći pravi smjer i oni će se sami nositi s primjerom, ako razumiju princip u cjelini.

Snimanje videa će biti vrlo korisno za školarce koji uče kod kuće. Pomoću njega možete naučiti važne formule bez kojih će rješenje trigonometrijskih jednadžbi biti teško, a ponekad i nemoguće.

TUMAČENJE TEKSTA:

Pretvaranje zbira trigonometrijskih funkcija u proizvode

Danas ćemo pogledati još nekoliko trigonometrijskih formula koje omogućavaju faktorizaciju sume (razlike) sinusa ili kosinusa. Ove formule će vam dobro doći pri rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Prva formula je ZBI SINUSA.

Razmotrimo izraz sin(s + t) + sin(s - t) , gdje su s i t argumenti trigonometrijskih funkcija.

Primjenjujemo već poznate formule za sinus zbroja i sinus razlike:

sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y,

zatim izraz sin( s +t) će izgledati kao grijeh s cos t+ cos s grijeh t

i izraz sin(s - t) će biti u obliku sin s cos t- cos s grijeh t,

onda dobijamo:

grijeh( s +t) + sin( s - t) = (grijeh s cos t+ cos s grijeh t) + (grijeh s cos t- cos s grijeh t)

Otvorene zagrade:

grijeh s cos t+ cos s grijeh t+ sin s cos t- cos s grijeh t

radi kalkulacije:

cos s grijeh t- cos s grijeh t=0

grijeh s cos t+ sin s cos t= 2 sin s cos t.

grijeh( s +t) + sin( s - t) = (grijeh s cos t+ cos s grijeh t) + (grijeh s cos t- cos s grijeh t)=grijeh s cos t+ cos s grijeh t+ sin s cos t- cos s grijeh t=2sin s cos t.

Dakle, dobijamo da je izraz sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin s cos t.

Hajde da uvedemo nove varijable x=s +t i y=s- t.

Dodajmo ove jednakosti pojam po član, dobićemo

x + y= s +t + s- t.

x + y= 2s

Hajde da nađemo vrednosts

s= .

U drugom slučaju oduzimamo ove jednakosti član po član i dobijamo

X - at= s +t- (s - t)

X - at= s +t- s + t

x - y= 2t

Hajde da nađemo vrednostt

U izrazu sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin s cos t

zamijeniti s i t na novim varijablama koje smo uveli:

s +tzamijeniti sa x

s- t zamijeni sa at

sna

tna.

tada dobijamo:

sinh + sinu = 2 sincos

(zbir sinusa dva argumenta jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih argumenata i kosinusa njihove polurazlike).

sin 7x + sin3x \u003d 2 sin cos \u003d 2 sin5x cos2x.

Druga formula je RAZLIKA SINESA.

Da bismo mogli primijeniti već izvedenu formulu za zbir sinusa dva argumenta sinh + sinu = 2 sincos

Iskoristimo činjenicu da je sinus neparna funkcija, tj. - sinu = sin (- y),

sinh - sinu \u003d sinh + sin (- y)

Sada primjenjujemo formulu za zbir sinusa, dobijamo

2 sin cos = 2 sin cos.

sin x - sin y = sin x + sin (- y) \u003d 2 sin cos = 2 sin cos.

Dakle, dobili smo formulu za razliku sinusa:

sinh - sinu \u003d 2 sin cos (razlika između sinusa dva argumenta jednaka je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih argumenata i kosinusa njihovog poluzbira).

Primjer. Pojednostavite izraz sin 77° - sin 17°.

sin 77° - sin 17° =2 sin cos = 2 sin cos 47º.

(pošto je sin 30º= , tada)= 2 ∙ ∙ cos = cos.

Treća formula je ZBIR KOSINUSA.

Za izraz cos (s + t) + cos (s - t) primjenjujemo formule koje su nam već poznate za kosinus zbira i kosinus razlike:

cos (x - y) \u003d cos x cos y + sin x sin y,

Zamjenjujemo vrijednosti iz formula u izraz cos (s + t) + cos (s - t) i dobijamo:

cos ( s+t)+ cos( s - t) = cos s cos t-greh s grijeh t+ cos s cos t+ sin s grijeh t=2 cos s cos t

pa zato ( s+t)+ cos( s - t) =2 cos s cos t

Hajde da uvedemo nove varijable x=s +t i y=s - t. Kao u izvođenju formule ZBI SINUSA.

s +tzamijeniti sa x

s- t zamijeni sa at

sna

tna.

I dobijamo formulu za zbir kosinusa

cos x + cosu = 2 cos cos

(zbir kosinusa dva argumenta jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbira ovih argumenata i kosinusa njihove polurazlike).

Primjer. Pojednostavite izraz cos(x + 2y) + cos(3x - 2y).

cos(x+2y) + cos(3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos (- x + 2y) = 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (a pošto cos (- t) = trošak, onda) \u003d

2cos2x cos(x - 2y).

Četvrta formula je RAZLIKA KOSINUSA.

Za izraz cos (s + t) - cos (s - t) primjenjujemo formule koje su nam već poznate kosinus zbira i kosinus razlike:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y, dobijamo

cos ( s+t) - cos( s - t) = cos s cos t-greh s grijeh t- cos s cos t-greh s grijeh t= - 2sin s grijeh t. Hajde da uvedemo nove varijable X= s +t i at= s - t, znači, s= i t =. Zamjena uvedenih oznaka u formulu:

cos ( s+t) - cos( s - t) = - 2sin s grijeh t, dobijamo formulu za razliku kosinusa:

cosh - cosu = -2sin sin (razlika između kosinusa dva argumenta jednaka je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih argumenata i sinusa njihove polurazlike, uzetog sa predznakom minus).

Primjer. Pojednostavite izraz cos - cos.

cos - cos = - 2sin sin = -2 sin sin (jer sin = , tada)=

2 ∙ ∙ sin = - sin.

PRIMJER 1. Riješite jednačinu cos6x + cos2x = 0.

Rješenje. Pretvaranje sume kosinusa u proizvod pomoću formule:

(cos x + cosu = 2 cos cos,

dobijamo 2cos4x cos2x \u003d 0. Ova se jednadžba pretvara u pravu jednakost ako

PRIMJER 2. Riješite jednačinu sin7x + sin3x - sin5x = 0.

Rješenje. Za zbir prvog i drugog člana primjenjujemo formulu zbroj sinusa

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x = 0

2 sincos - sin5x = 0

sin5x(2 cos2x - 1) = 0.

sin5x = 0 ili 2 cos2x - 1 = 0,

Rješenje jednačine sint = a je prihvaćeno za a=0:

sint = 0 pri t = πk,

onda dobijamo

x = , (pi en podijeljen sa pet)

Koristeći tabelarne kosinusne vrijednosti i definirajući rješenje jednadžbe trošak = a, gdje je (| a | 1) pisanje u opštem obliku:

t = arccos a+ 2πk

druga jednadžba cos2x= ima sljedeća rješenja

2x \u003d arccos + 2πn,

(plus minus pi sa šest plus pi en).

u ovom slučaju, koordinate njegovih tačaka treba da budu date racionalnim izrazima u promenljivoj t? Odgovor na ovo pitanje zavisi od jednačine krive. Ako obje strane jednačine sadrže polinome po x i y stepena koji nije veći od drugog, tada je uvijek moguće postaviti tačke krivulje koristeći racionalne funkcije jedne varijable (primjeri su u zadatku 21.11). Ako je kriva data jednadžbom stepena većeg od 2, tada je, po pravilu, nemoguće odrediti koordinate njenih tačaka racionalnim funkcijama: to je već slučaj za krivulju x3 + y3 = 1.

Problem 21.11. Navedite, koristeći racionalne funkcije, koordinate tačaka sljedećih krivulja:

a) elipsu sa jednačinom x2 + 4y2 = 1;

b) hiperbole sa jednačinom xy = 1;

c) hiperbole sa jednačinom x2 − y2 = 1.

Upute. b) Ako je x = t, onda je y = 1/t. c) Faktorizirajte lijevu stranu.

Problem 21.12. a) Dajte pet rješenja jednačine x2 + y2 = 1 u pozitivnim racionalnim brojevima.

b) Navedite pet rješenja jednačine a2 + b2 = c2 u prirodnim brojevima.

§ 22. Transformacija proizvoda u zbir i zbira u proizvod

Zapisujemo jednu ispod druge formule za sinus zbroja i sinus razlike:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

Sabiranjem ovih formula dobijamo sin(α+β)+sin(α−β) = 2 sin α cos β, ili

sin α cos β = 1 2 (sin(α + β) + sin(α − β)).

Učinivši isto sa formulama za kosinus zbira i razlike, dobijamo:

cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β; cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sin α sin β,

odakle dolaze ove formule:

cos α cos β = 1 2 (cos(α − β) + cos(α + β))

sin α sin β = 1 2 (cos(α − β) − cos(α + β))

Dobili smo formule koje nam omogućavaju da prijeđemo od proizvoda trigonometrijskih funkcija na njihov zbir. Naučimo sada kako napraviti prijelaz u drugom smjeru: od zbira do proizvoda.

Razmotrite, na primjer, formulu

2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β).

Na desnoj strani ove formule α + β označavamo sa x, a α − β sa y. Sabiranjem i oduzimanjem jednakosti α + β = x i α − β = y, nalazimo da je α = (x + y)/2, β = (x − y)/2. Zamjenom ovih izraza na lijevoj strani formule i čitanjem formule s desna na lijevo, konačno dobijamo:

sin x + sin y = 2 sin x + y cosx − y . 2 2

Zamjenom u formulu upravo dobivenu −y umjesto y,

sin x − sin y = 2 sin x − y cosx + y . 2 2

Ako obradimo formule za cos α cos β i za sin α sin β na isti način kao što smo radili s formulom za sin α cos β, dobićemo ovo:

(obratite pažnju na znak minus u drugoj formuli).

Problem 22.1. Dokažite ove formule.

Formule za pretvaranje zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod mogu se dobiti i geometrijski. U samom

U stvari, vektor smo ostavili po strani od početka koordinata

Imaju dužinu 1 i oblik-

ležajevi sa pozitivnim smjerom ose

uglovi apscisa α i β; neka

(sl. 22.1). Onda, očigledno

OA = (cos α; sin α),

OB = (cos β; sin β),

= (cos α + cos β; sin α + sin β).

S druge strane, pošto je OA = OB = 1, paralelogram OACB je romb. Dakle, OC je simetrala ugla AOB,

odakle BOC =

α−2

I za jednakokraki trougao OBC

Pošto vektor

čini ugao β +

Poređenje dva izraza za vektorske koordinate

cos α + cos β = 2 cos

sinα + sinβ = 2 sin

prema našim formulama.

Problem 22.2. Dokažite identitete:

a) sin(α + β) sin(α − β) + sin(β + γ) sin(β − γ) +

Sin(γ + α) sin(γ − α) = 0;

b) 4 sin α sin(π/3 − α) sin(π/3 + α) = sin 3α;

c) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Problem 22.3. Uz pretpostavku da je α + β + γ = π, dokazati jednakosti:

b) sin α + sin β + sin γ = 4 cos

c) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Problem 22.4. Neka uglovi α, β, γ leže redom u trouglu suprotnim stranama a, b, c. Dokažite formule:

			α−2β					α−2β

Ove formule se nazivaju formule Regiomontana, ili teorema tangenti.

Problem 22.5. a) Uz pretpostavku da je α + β + γ + δ = π, dokazati identitet:

sin α sin γ + sin β sin δ = sin(α + β) sin(β + γ).

b) Četvorougao ABCD je upisan u krug. Dokazati da je AB·CD+BC·AD = AC·BD (u upisanom četvorouglu, zbir proizvoda suprotnih strana jednak je proizvodu dijagonala - Ptolomejev teorem).

Formule kojima smo se bavili u ovom paragrafu koriste se u radiotehnici. Pretpostavimo da trebamo prenijeti glas spikera preko radija na frekvenciji od, recimo, 300 . Na tako niskim frekvencijama, radio prenos je nemoguć: frekvencije radio talasa koji se koriste za emitovanje mogu se meriti u milionima. Talasi

takve frekvencije se koriste ovako. Dok spiker šuti, emituju se samo visokofrekventni radio talasi ω (frekvencija nosioca – vidi grafikon na slici 22.2 a).

Ovim signalom se ne prenose nikakve informacije. Neka sada spiker počne da proizvodi zvukove frekvencije η (η je mnogo manja od ω); tada u eter ide signal u = (A sin ηt) sin ωt. Primjer grafikona je prikazan na sl. 22.2 b. Možemo reći da sama amplituda oscilacija visoke frekvencije ω trpi oscilacije sa niskom frekvencijom η. Kako kažu, visokofrekventni signal je moduliran signalom niske frekvencije (sve ovo je samo gruba skica onoga što se zapravo događa u prijemniku).

Transformirajmo izraz za modulirani signal:

u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos(ω − η)t −A 2 cos(ω + η)t.

Kao što vidite, naš modulirani signal nije ništa drugo nego zbir signala sa frekvencijama ω + η i ω − η. Dakle, kada kažu da radio stanica emituje na frekvenciji, recimo, ω = 10, onda moramo imati na umu da zapravo u eter ne idu samo radio talasi frekvencije ω, već i talasi svih frekvencija iz intervala [ω − η; ω + η] gdje je η maksimalna frekvencija korisnog signala koji emituje radio stanica. To znači da noseće frekvencije različitih radio stanica ne mogu biti preblizu jedna drugoj: ako su segmenti [ω − η; ω + η] će se preklapati, tada će radio stanice ometati jedna drugu.

Druga primjena formula iz ovog paragrafa je izračunavanje zbira kosinusa ili sinusa brojeva koji čine aritmetiku.

tična progresija (u fizici se takvi proračuni koriste u proučavanju fenomena difrakcije).

Pretpostavimo da trebamo pojednostaviti izraz

cosα + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h).

Za početak ćemo ovaj problem riješiti geometrijski, a zatim ćemo pokazati kako se naše formule mogu primijeniti na njega. Razmotrimo sljedeće vektore: a0 = (cos α; sin α), a1 = (cos(α + h); sin(α + h)), . . . , a10 = (cos(α + 10h); sin(α + 10h)). Očigledno, željeni zbir je apscisa vektora a0 + a1 + . . . + a10 . Nađimo ovaj zbir vektora.

Da biste to učinili, odvojite OA1 = a0 od početka, A1 A2 = a1 od tačke A1, itd. (Sl.22.3). Tada je a0 + a1 + . . . + a10 = OA11 .

Rice. 22.3. OA1 = a0 , A1 A2 = a1 ,. . . , A10 A11 = a10 .

Da bismo pronašli koordinate vektora OA, nalazimo njegovu dužinu i ugao nagiba prema x-osi. Da biste to učinili, imajte na umu da svaki od segmenata OA1 , A1 A2 ,. . . ima dužinu 1 i rotira se u odnosu na prethodni za isti ugao h radijana. Dakle, tačke O, A1 , A2 , . . . , A11 leže na istoj kružnici. Njegov centar Z je tačka presjeka simetrala okomite na segmente OA1 i A1 A2. Ako su F Z i GZ ove okomice, onda je F ZG = h, tako da je F ZA1 = h / 2 i polumjer kružnice R F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin (h / 2) ( podsjetimo da su dužine od -

rezovi OA1 i A1 A2 su jednaki jedan). Pošto je očigledno OZA1 = = A1 ZA2 = . . . = A10 ZA11 = h, zatim OZA11 = 11h, a iz jednakokrakog trougla OZA11 imamo

OA11		OZA11

Da biste pronašli ugao nagiba vektora OA11 prema x-osi, zamijenite

imajte na umu da je centralni ugao A1 ZA11 = 10h, tako da je upisani

ugao A11 OA1 , na osnovu luka A1 A11 , jednak je 10h/2 = 5h, a A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5h. To je,

OA11 = (OA11 cos(α + 5h); OA11 sin(α + 5h)) =
	sin 11h cos(α + 5h)	sin 11h sin(α + 5h)

Upoređujući dva unosa za koordinate vektora OA11, dobijamo formule:

cosα + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h) =

	sin 11h cos(α + 5h)
sinα + sin(α + h) + sin(α + 2h) + . . . + sin(α + 10h) =
			sin 11h sin(α + 5h)

Prva od ovih formula je ono čemu smo težili, druga se pokazala kao nusproizvod.

Kao što vidite, kalkulacije su se pokazale prilično dugima. Osim toga, pedantni čitalac može primijetiti da se crtež na slici 22.3 dobija samo za dovoljno malo h, a za veliko h izlomljena linija OA1 · · · A10 A11 može obići cijeli krug, i to više puta, tako da crtež će biti drugačiji. U stvari, naša formula je tačna za sve α i h (osim ako je nazivnik sin(h/2) nula; ali ovo drugo je moguće samo ako je h = 2πn za neki cijeli broj n, i tada je bez ikakve formule jasno da je zbir je jednak

− sinα + m −

Zamijenivši ovo u našu formulu, vidimo da je zbir jednak

α + 2

Sinα + 10 + 2

h − sinα + 9 + 2

ako otvorite zagrade, tada će se svi pojmovi smanjiti, osim za

ion − sin α −							h , a zbir će biti
	sin(α + (10 + 2 1 )h) − sin(α − h 2 )							2 sin 11 2h cos(α + 5h)

(pretvorili smo zbir u proizvod). Smanjujući dvojke u brojniku i nazivniku, dobijamo istu formulu koju smo pronašli geometrijski.

Naš drugi proračun je kraći i jednostavniji od prvog, ali manje prirodan. Kada se upoznamo sa kompleksnim brojevima, naučit ćemo kako pronaći takve zbrojeve na najprirodniji (iako ne i najkraći) način.