Kod prigušenih oscilacija, koeficijent prigušenja. Faktor prigušenja

U stvarnosti, slobodne oscilacije nastaju pod dejstvom sila otpora. Disipativne sile dovode do smanjenja amplitude oscilacija. Oscilacije čija amplituda s vremenom postaje sve manja kao rezultat gubitka energije nazivaju se prigušene.

Prigušene mehaničke oscilacije

DEFINICIJA

Fizička veličina koja karakterizira brzinu prigušenja oscilacija naziva se faktor prigušenja. Koeficijent slabljenja može se označiti na različite načine: itd. Pod uslovom da su sile trenja proporcionalne brzini tela:

gdje je - generalizirani koeficijent trenja, koeficijent prigušenja se smatra jednakim:

gdje je masa tijela koje oscilira.

Diferencijalna jednadžba oscilacija u prisustvu prigušenja imat će oblik:

je ciklična frekvencija slobodnih oscilacija sistema u odsustvu trenja.

Jednačina prigušenih oscilacija:

gdje je frekvencija prigušenih oscilacija, je amplituda prigušenih oscilacija. je konstantna vrijednost koja ovisi o izboru vremenske referentne točke.

Koeficijent prigušenja može se definirati kao recipročna vrijednost vremena () za koje se amplitude (A) smanjuju za e puta:

gdje je vrijeme opuštanja. Odnosno, možete napisati:

Period prigušenih oscilacija je jednak:

sa neznatnim otporom sredine, ako je nejednakost zadovoljena: period oscilovanja se može izračunati pomoću formule:

Kako se faktor prigušenja povećava, period oscilovanja se povećava. Treba napomenuti da se koncept perioda prigušenih oscilacija ne poklapa sa konceptom neprigušenih oscilacija, budući da se sistem u prisustvu prigušenja nikada ne vraća u prvobitno stanje. Period prigušenih oscilacija je minimalni vremenski period tokom kojeg sistem dvaput prođe ravnotežni položaj u istom smjeru.

Sa povećanjem koeficijenta prigušenja oscilacija, frekvencija oscilacija opada. Ako je , tada će frekvencija prigušenih oscilacija postati jednaka nuli, dok se period povećava do beskonačnosti. Takve oscilacije gube svoju periodičnost i nazivaju se aperiodične. Kada je koeficijent prigušenja jednak prirodnoj frekvenciji oscilacija, parametri sistema se nazivaju kritičnim.

Koeficijent prigušenja oscilacija povezan je sa logaritamskim dekrementom prigušenja () izrazom:

Prigušene električne oscilacije

Bilo koji električni krug koji postoji u stvarnosti ima aktivni otpor, stoga se energija pohranjena u njemu tijekom vremena troši na ovaj otpor, budući da se zagrijava.

U ovom slučaju, koeficijent slabljenja za električni krug se izračunava kao:

gdje je R otpor, L je induktivnost kola.

Frekvencija u elektromagnetskom kolu je predstavljena formulom:

Za RLC kolo, kritični otpor () na kojem oscilacije postaju aperiodične je otpor jednak:

nalaze se na

Jedinice omjera prigušenja

Osnovna jedinica mjerenja koeficijenta slabljenja u SI sistemu je:

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Vježbajte	Koliki je koeficijent prigušenja ako je amplituda oscilacija klatna za vrijeme t=10 s. smanjuje za 4 puta?
Rješenje	Zapišimo jednačinu prigušenih oscilacija klatna: Prema jednoj od definicija koeficijenta prigušenja: Uradimo proračune:
Odgovori

PRIMJER 2

Vježbajte	Oscilatorno kolo se sastoji od induktora L, kondenzatora C i otpora R (slika 1). Nakon kojeg broja punih oscilacija (N) će se amplituda struje u kolu smanjiti za faktor e?
Rješenje	Uvodimo sljedeću notaciju: - početna vrijednost amplitude jačine struje, - amplituda jačine struje kroz N oscilacija, tada možemo napisati:

1.21. RASPADNE, PRISILNE OSCILACIJE

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija i njeno rješenje. Koeficijent slabljenja. logaritamski dectraka za prigušivanje.Q faktortjelesni sistem.aperiodični proces. Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija i njeno rješenje.Amplituda i faza prisilnih oscilacija. Proces uspostavljanja oscilacija. Rezonantni slučaj.Samooscilacije.

Prigušenje oscilacija je postepeno smanjenje amplitude oscilacija tokom vremena, zbog gubitka energije oscilatornog sistema.

Prirodne vibracije bez prigušenja su idealizacija. Razlozi blijeđenja mogu biti različiti. U mehaničkom sistemu, vibracije su prigušene prisustvom trenja. Kada se potroši sva energija pohranjena u oscilirajućem sistemu, oscilacije će prestati. Dakle, amplituda prigušene oscilacije smanjuje se dok ne postane nula.

Prigušene oscilacije, kao i prirodne, u sistemima koji su po prirodi različiti, mogu se posmatrati sa jedne tačke gledišta – zajedničkih karakteristika. Međutim, takve karakteristike kao što su amplituda i period zahtijevaju redefiniranje, dok druge zahtijevaju dodatke i pojašnjenja u poređenju sa istim karakteristikama za prirodne neprigušene oscilacije. Opći znaci i koncepti prigušenih oscilacija su sljedeći:

Diferencijalna jednačina se mora dobiti uzimajući u obzir smanjenje energije vibracija u procesu oscilacija.

Jednačina oscilovanja je rješenje diferencijalne jednadžbe.

Amplituda prigušenih oscilacija zavisi od vremena.

Frekvencija i period zavise od stepena prigušenja oscilacija.

Faza i početna faza imaju isto značenje kao i za neprigušene oscilacije.

Mehaničke prigušene oscilacije.

mehanički sistem : opružno klatno podložno silama trenja.

Sile koje djeluju na klatno :

Elastična sila., gdje je k koeficijent krutosti opruge, h je pomak klatna iz ravnotežnog položaja.

Sila otpora. Razmotrimo silu otpora proporcionalnu brzini v kretanja (takva zavisnost je tipična za veliku klasu otpornih sila): . Znak minus pokazuje da je smjer sile otpora suprotan smjeru brzine tijela. Koeficijent otpora r je numerički jednak sili otpora koja se javlja pri jediničnoj brzini tijela:

Zakon kretanja opružno klatno je drugi Newtonov zakon:

m a = F ex. + F otpor.

S obzirom na to i , pišemo drugi Newtonov zakon u obliku:

. (21.1)

Podijelimo sve članove jednačine sa m, pomjerimo ih sve na desnu stranu, dobivamo diferencijalna jednadžba prigušene oscilacije:

Označimo , gdje β – faktor prigušenja , , gdje ω 0 je frekvencija neprigušenih slobodnih oscilacija u odsustvu gubitaka energije u oscilatornom sistemu.

U novoj notaciji, diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija ima oblik:

. (21.2)

Ovo je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda.

Ova linearna diferencijalna jednadžba se rješava promjenom varijabli. Funkciju x, ovisno o vremenu t, predstavljamo u obliku:

.

Nađimo prvi i drugi vremenski izvod ove funkcije, s obzirom da je funkcija z također funkcija vremena:

, .

Zamijenite izraze u diferencijalnoj jednadžbi:

Donosimo slične članove u jednadžbu i smanjujemo svaki član za , dobivamo jednačinu:

.

Označimo količinu .

Rješenje jednadžbe su funkcije , .

Vraćajući se na varijablu x, dobijamo formule za jednadžbe prigušenih oscilacija:

Na ovaj način , jednadžba prigušenih oscilacija je rješenje diferencijalne jednadžbe (21.2):

Prigušena frekvencija oscilacija :

(dakle, samo pravi korijen ima fizičko značenje).

Period prigušenih oscilacija :

(21.5)

Značenje koje je stavljeno u koncept perioda za neprigušene oscilacije nije pogodno za prigušene oscilacije, jer se oscilatorni sistem nikada ne vraća u prvobitno stanje zbog gubitka oscilatorne energije. U prisustvu trenja, oscilacije su sporije: .

Period prigušenih oscilacija naziva se minimalni vremenski interval za koji sistem prođe dvostruko ravnotežni položaj u istom smjeru.

Za mehanički sistem opružnog klatna imamo:

, .

Amplituda prigušenih oscilacija :

Za opružno klatno.

Amplituda prigušenih oscilacija nije konstantna vrijednost, već se mijenja s vremenom što je brže što je koeficijent β veći. Stoga se definicija amplitude, data ranije za neprigušene slobodne oscilacije, mora promijeniti za prigušene oscilacije.

Za mala prigušenja amplituda prigušenih oscilacija naziva se najvećim odstupanjem od ravnotežnog položaja za period.

Grafovi krive pomaka u odnosu na vrijeme i amplituda u odnosu na vrijeme prikazane su na slikama 21.1 i 21.2.

Slika 21.1 - Ovisnost pomaka o vremenu za prigušene oscilacije.

Slika 21.2 - Zavisnosti amplitude od vremena za prigušene oscilacije

Karakteristike prigušenih oscilacija.

1. Faktor slabljenja β .

Promjena amplitude prigušenih oscilacija događa se prema eksponencijalnom zakonu:

Neka se amplituda oscilacije smanji za “e” puta tokom vremena τ („e” je osnova prirodnog logaritma, e ≈ 2,718). Tada, s jedne strane, , a sa druge strane, obojivši amplitude A zat. (t) i A at. (t+τ), imamo . Ove relacije impliciraju βτ = 1, dakle .

Vremenski interval τ , za koji se amplituda smanjuje za “e” puta, naziva se vrijeme relaksacije.

Faktor slabljenja β je vrijednost obrnuto proporcionalna vremenu relaksacije.

2. Dekrement logaritamskog prigušenja δ - fizička veličina brojčano jednaka prirodnom logaritmu omjera dvije uzastopne amplitude razdvojene u vremenu periodom.

Ako je slabljenje malo, tj. vrijednost β je mala, tada se amplituda neznatno mijenja tokom perioda, a logaritamski dekrement se može definirati na sljedeći način:

,

gdje je A na. (t) i A at. (t + NT) - amplitude oscilacija u trenutku e i nakon N perioda, tj. u vremenu (t + NT).

3. Faktor kvaliteta Q oscilatorni sistem je bezdimenzionalna fizička veličina jednaka proizvodu vrijednosti (2π) νa odnosa energije W(t) sistema u proizvoljnom trenutku i gubitka energije tokom jednog perioda prigušenih oscilacija:

.

Pošto je energija proporcionalna kvadratu amplitude, onda

Za male vrijednosti logaritamskog dekrementa δ, faktor kvaliteta oscilatornog sistema je jednak

,

gdje je N e broj oscilacija, tokom kojih se amplituda smanjuje za “e” puta.

Dakle, faktor kvaliteta opružnog klatna je: Što je veći faktor kvaliteta oscilatornog sistema, manje je slabljenje, to će periodični proces u takvom sistemu duže trajati. Faktor kvaliteta oscilatornog sistema - bezdimenzionalna veličina koja karakteriše disipaciju energije u vremenu.

4. Sa povećanjem koeficijenta β, frekvencija prigušenih oscilacija opada, a period raste. Kod ω 0 = β, frekvencija prigušenih oscilacija postaje jednaka nuli ω zat. = 0, i T zat. = ∞. U tom slučaju oscilacije gube svoj periodični karakter i nazivaju se aperiodično.

Kod ω 0 = β, sistemski parametri odgovorni za smanjenje energije vibracija poprimaju vrijednosti tzv. kritičan . Za opružno klatno, uslov ω 0 = β biće zapisan kao:, odakle nalazimo vrednost koeficijent kritičnog otpora:

.

Rice. 21.3. Zavisnost amplitude aperiodičnih oscilacija o vremenu

Prisilne vibracije.

Sve realne oscilacije su prigušene. Da bi se prave oscilacije dešavale dovoljno dugo, potrebno je periodično obnavljati energiju oscilatornog sistema djelovanjem na njega vanjskom silom koja se periodično mijenja.

Razmotrimo fenomen oscilacija ako je eksterno (tjeranje) sila varira s vremenom u skladu sa harmonijskim zakonom. U tom slučaju će se pojaviti oscilacije u sistemima, čija će priroda, u jednom ili drugom stepenu, ponoviti prirodu pokretačke sile. Takve fluktuacije se nazivaju prisiljen .

Opšti znaci prisilnih mehaničkih vibracija.

1. Razmotrimo prisilne mehaničke oscilacije opružnog klatna na koje djeluje vanjski (uvjerljiv ) periodična sila . Sile koje djeluju na klatno, kada se jednom izvuče iz ravnoteže, razvijaju se u samom oscilatornom sistemu. To su sila elastičnosti i sila otpora.

Zakon kretanja (Drugi Newtonov zakon) zapisuje se na sljedeći način:

(21.6)

Podijelite obje strane jednadžbe sa m, uzmite u obzir da , i dobijete diferencijalna jednadžba prisilne vibracije:

Označiti ( β – faktor prigušenja ), (ω 0 je frekvencija neprigušenih slobodnih oscilacija), sila koja djeluje po jedinici mase. U ovim notacijama diferencijalna jednadžba prisilne oscilacije će imati oblik:

(21.7)

Ovo je diferencijalna jednadžba drugog reda s desnom stranom različitom od nule. Rješenje takve jednačine je zbir dva rješenja

.

je opšte rješenje homogene diferencijalne jednadžbe, tj. diferencijalna jednadžba bez desne strane kada je jednaka nuli. Znamo takvo rješenje - ovo je jednadžba prigušenih oscilacija, zapisana do konstante, čija je vrijednost određena početnim uslovima oscilatornog sistema:

Ranije smo raspravljali da se rješenje može napisati u terminima sinusnih funkcija.

Ako posmatramo proces oscilacija klatna nakon dovoljno dugog vremenskog perioda Δt nakon uključivanja pogonske sile (slika 21.2), tada će prigušene oscilacije u sistemu praktično prestati. I tada će rješenje diferencijalne jednadžbe sa desnom stranom biti rješenje.

Rješenje je posebno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe, tj. jednačine sa desnom stranom. Iz teorije diferencijalnih jednadžbi poznato je da će s promjenom desne strane prema harmonijskom zakonu rješenje biti harmonijska funkcija (sin ili cos) sa frekvencijom promjene koja odgovara frekvenciji promjene Ω desne strane:

gdje je A ampl. – amplituda prisilnih oscilacija, φ 0 – fazni pomak , one. fazna razlika između faze pokretačke sile i faze prinudnih oscilacija. I amplituda A ampl. , a fazni pomak φ 0 zavise od parametara sistema (β, ω 0) i od frekvencije pokretačke sile Ω.

Period prisilnih oscilacija jednaki (21.9)

Raspored prisilnih oscilacija na slici 4.1.

Fig.21.3. Raspored prisilnih oscilacija

Stalne prisilne oscilacije su također harmonijske.

Zavisnosti amplitude prisilnih oscilacija i faznog pomaka o frekvenciji vanjskog djelovanja. Rezonancija.

1. Vratimo se mehaničkom sistemu opružnog klatna na koji djeluje vanjska sila koja se mijenja po harmonijskom zakonu. Za takav sistem, diferencijalna jednadžba i njeno rješenje imaju oblik:

, .

Analizirajmo ovisnost amplitude oscilacije i faznog pomaka o frekvenciji vanjske pokretačke sile, za to ćemo pronaći prvi i drugi izvod x i zamijeniti ih u diferencijalnu jednadžbu.

Koristimo metodu vektorskog dijagrama. Iz jednačine se može vidjeti da bi zbir tri zamaha na lijevoj strani jednačine (slika 4.1) trebao biti jednak zamahu na desnoj strani. Vektorski dijagram je napravljen za proizvoljno vrijeme t. Iz toga se može utvrditi.

Slika 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Uzimajući u obzir vrijednost , ,, dobijamo formule za φ 0 i A ampl. mehanički sistem:

,

.

2. Istražujemo zavisnost amplitude prisilnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile i veličine sile otpora u oscilirajućem mehaničkom sistemu, koristeći ove podatke konstruišemo graf . Rezultati istraživanja prikazani su na slici 21.5, oni pokazuju da je pri određenoj frekvenciji pokretačka sila amplituda oscilacija naglo raste. I ovo povećanje je veće, što je manji koeficijent slabljenja β. Na , amplituda oscilacija postaje beskonačno velika.

Fenomen naglog povećanja amplitude prisilne oscilacije na frekvenciji pokretačke sile jednakoj se zove rezonancija.

(21.12)

Krive na slici 21.5 odražavaju odnos i zovu se amplitudske rezonantne krive .

Slika 21.5 – Grafikoni zavisnosti amplitude prinudnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile.

Amplituda rezonantnih oscilacija će imati oblik:

Prisilne vibracije su neprigušeni fluktuacije. Neizbježni gubici energije zbog trenja kompenziraju se snabdijevanjem energijom iz vanjskog izvora periodično djelujuće sile. Postoje sistemi u kojima neprigušene oscilacije nastaju ne zbog periodičnog vanjskog utjecaja, već kao rezultat sposobnosti takvih sistema da reguliraju protok energije iz stalnog izvora. Takvi sistemi se nazivaju samooscilirajući, a proces neprigušenih oscilacija u takvim sistemima je samooscilacije.

U samooscilatornom sistemu mogu se razlikovati tri karakteristična elementa - oscilatorni sistem, izvor energije i uređaj za povratnu spregu između oscilatornog sistema i izvora. Kao oscilatorni sistem, može se koristiti bilo koji mehanički sistem sposoban da izvodi sopstvene prigušene oscilacije (na primer, klatno zidnog sata).

Izvor energije može biti energija deformacije opruge ili potencijalna energija tereta u gravitacionom polju. Uređaj povratne sprege je mehanizam kojim autooscilatorni sistem reguliše protok energije iz izvora. Na sl. 21.6 prikazuje dijagram interakcije različitih elemenata samooscilirajućeg sistema.

Primjer mehaničkog samooscilirajućeg sistema je sat sa sidro pomeriti (sl. 21.7.). Točak za trčanje sa kosim zubima čvrsto je pričvršćen na nazubljeni bubanj, kroz koji se baca lanac sa utegom. Na gornjem kraju klatna učvršćeno je sidro (sidro) sa dvije ploče od tvrdog materijala savijene duž luka kružnice sa središtem na osi klatna. U ručnom satu težinu zamjenjuje opruga, a klatno zamjenjuje balansir - ručni kotač pričvršćen za spiralnu oprugu.

Slika 21.7. Satni mehanizam sa klatnom.

Balanser izvodi torzijske vibracije oko svoje ose. Oscilatorni sistem u satu je klatno ili balans. Izvor energije je podignuta težina ili namotana opruga. Uređaj za povratnu informaciju je sidro koje omogućava pogonskom točku da okrene jedan zub u jednom poluciklusu.

Povratna informacija se postiže interakcijom sidra i kotača. Sa svakim oscilacijom klatna, zub putnog točka gura sidrenu vilicu u smjeru kretanja klatna, prenoseći joj određeni dio energije, čime se nadoknađuju gubici energije uslijed trenja. Tako se potencijalna energija utega (ili uvrnute opruge) postepeno, u odvojenim dijelovima, prenosi na klatno.

Mehanički samooscilatorni sistemi su rasprostranjeni u životu oko nas iu tehnologiji. Samooscilacije izvode parne mašine, motori sa unutrašnjim sagorevanjem, električna zvona, žice gudačkih muzičkih instrumenata, vazdušni stubovi u cevima duvačkih instrumenata, glasne žice pri govoru ili pevanju itd.

Kada čitate ovaj odjeljak, imajte to na umu fluktuacije različite fizičke prirode opisuju se sa jedinstvenog matematičkog stajališta. Ovdje je potrebno jasno razumjeti koncepte kao što su harmonijska oscilacija, faza, fazna razlika, amplituda, frekvencija, period oscilovanja.

Mora se imati na umu da u svakom realnom oscilatornom sistemu postoje otpori sredine, tj. oscilacije će biti prigušene. Za karakterizaciju prigušenja oscilacija uveden je koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja.

Ako se vibracije stvaraju pod djelovanjem vanjske, periodično promjenjive sile, tada se takve vibracije nazivaju prisilnim. Biće nezaustavljivi. Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pokretačke sile. Kada se frekvencija prisilnih oscilacija približi frekvenciji prirodnih oscilacija, amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Ova pojava se zove rezonancija.

Okrećući se proučavanju elektromagnetnih valova, morate to jasno razumjetielektromagnetni talasje elektromagnetno polje koje se širi u svemiru. Najjednostavniji sistem koji emituje elektromagnetne talase je električni dipol. Ako dipol vrši harmonijske oscilacije, onda zrači monokromatski val.

Tabela formula: Oscilacije i talasi

Fizički zakoni, formule, varijable	Formule oscilacija i talasa
Jednačina harmonične vibracije: gdje je x pomak (odstupanje) oscilirajuće vrijednosti od ravnotežnog položaja; A - amplituda; ω - kružna (ciklična) frekvencija; α - početna faza; (ωt+α) - faza.
Odnos između perioda i kružne frekvencije:
Učestalost:
Odnos kružne frekvencije prema frekvenciji:
Periodi prirodnih oscilacija 1) opružno klatno: gdje je k krutost opruge; 2) matematičko klatno: gdje je l dužina klatna, g - ubrzanje slobodnog pada; 3) oscilatorno kolo: gdje je L induktivnost kola, C je kapacitet kondenzatora.
Frekvencija prirodnih vibracija:
Sabiranje oscilacija iste frekvencije i smjera: 1) amplituda rezultujuće oscilacije gdje su A 1 i A 2 amplitude komponentnih oscilacija, α 1 i α 2 - početna faza komponenti oscilacija; 2) početna faza rezultujuće oscilacije
Jednačina prigušenih oscilacija: e \u003d 2,71 ... - baza prirodnih logaritama.
Amplituda prigušenih oscilacija: gdje je A 0 - amplituda u početno vrijeme; β - faktor prigušenja;
Faktor slabljenja: oscilirajuće tijelo gdje je r koeficijent otpora medija, m - tjelesna težina; oscilatorno kolo gdje je R aktivni otpor, L je induktivnost kola.
Frekvencija prigušenih oscilacija ω:
Period prigušenih oscilacija T:
Logaritamski dekrement prigušenja:
Odnos između logaritamskog dekrementa χ i faktora prigušenja β:

OPĆE INFORMACIJE

fluktuacije nazivaju se pokreti ili procesi koji se odlikuju određenim ponavljanjem u vremenu. Fluktuacije se nazivaju besplatno, ako se izvode na račun prvobitno saopštene energije uz naknadno odsustvo vanjskih utjecaja na oscilatorni sistem. Najjednostavniji tip vibracija su harmonijske vibracije- fluktuacije u kojima se oscilirajuća vrijednost mijenja u vremenu prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija ima oblik

gdje je oscilirajuća vrijednost, je ciklična frekvencija.

je rješenje ove jednačine. Ovdje - amplituda, - početna faza.

Faza oscilovanja.

Amplituda - maksimalna vrijednost fluktuirajuće veličine.

Period oscilovanja je vremenski period nakon kojeg se kretanje tijela ponavlja. Faza oscilovanja za period dobija prirast. . , je broj vibracija.

Frekvencija oscilovanja je broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena. . . Mjeri se u hercima (Hz).

Ciklična frekvencija je broj oscilacija u sekundi. . Jedinica mjerenja.

Faza oscilovanja je vrijednost pod predznakom kosinusa i karakterizira stanje oscilatornog sistema u bilo kojem trenutku.

Početna faza - faza oscilacija u početnom trenutku vremena. Faza i početna faza se mjere u radijanima ().

Slobodne prigušene vibracije– oscilacije čija se amplituda, zbog gubitaka energije u realnom oscilatornom sistemu, vremenom smanjuje. Najjednostavniji mehanizam za smanjenje energije vibracija je njeno pretvaranje u toplotu usled trenja u mehaničkim oscilatornim sistemima, kao i omskih gubitaka i zračenja elektromagnetne energije u električnim oscilatornim sistemima.

Diferencijalna jednadžba slobodnih prigušenih oscilacija ima oblik

, (1)

Rješenje jednačine (1) u slučaju malog prigušenja (d 2<< ) имеет вид

Vremenski interval tokom kojeg se amplituda smanjuje u e puta, zove se vrijeme opuštanja.

Prigušenje narušava periodičnost oscilacija, tako da prigušene oscilacije nisu periodične. Međutim, ako je slabljenje malo, onda se uslovno može koristiti koncept perioda kao vremenski interval između dva uzastopna maksimuma (ili minimuma) oscilirajuće veličine. Tada se period prigušenih oscilacija izračunava po formuli

.

Ako a A(t) i A(t+T) su amplitude dvije uzastopne oscilacije koje odgovaraju vremenima koja se razlikuju za period, tada je omjer

pozvao dekrement prigušenja, i njegov logaritam

– logaritamski dekrement prigušenja.

Vrijednost N e je broj oscilacija napravljenih tokom smanjenja amplitude u e jednom. Logaritamski dekrement prigušenja je konstantna vrijednost za dati oscilatorni sistem.

Za karakterizaciju oscilatornog sistema koristi se koncept faktor kvaliteta Q, što je za male vrijednosti logaritamskog dekrementa jednako

.

Sve realne harmonijske oscilacije nastaju pod uticajem sila otpora, za prevazilaženje kojih telo troši deo svoje energije, usled čega se amplituda oscilovanja smanjuje vremenom, tj. oscilacije su prigušene.

Zamislimo graf prigušene oscilacije:

Izvođenje diferencijalne jednadžbe prigušene oscilacije. Na tijelo, osim sile elastičnosti, djeluje i sila otpora:

gdje r je koeficijent otpora.

Prema drugom Newtonovom zakonu možemo napisati:

.

Podijelimo sa masom m, dobićemo:

.

Uvodimo notaciju: ,

gdje je β koeficijent slabljenja.

Dobili smo diferencijalnu jednačinu prigušene oscilacije:

.

Rješenje jednadžbe bitno zavisi od predznaka razlike,

gdje ω - kružna frekvencija prigušenih oscilacija, ω 0 - kružna frekvencija sopstvenih oscilacija sistema (bez prigušenja).

Za ω>0, rješenje diferencijalne jednadžbe će biti kako slijedi:

.

Amplituda prigušenih oscilacija u bilo kom trenutku t definirana je jednakošću:

gdje A 0 je početna amplituda prikazana na grafikonu (vidi sliku 3).

Period T prigušene oscilacije određuju se formulom:

.

Brzina opadanja (brzina smanjenja amplitude) određena je vrijednošću koeficijenta prigušenja β : više β , brže se smanjuje amplituda.

Da bi se okarakterisala brzina prigušenja, uveden je koncept dekrement slabljenje.

Smanjenje prigušenja je omjer dvije susjedne amplitude razdvojene periodom:

U praksi, stepen slabljenja karakteriše logaritamski dekrement slabljenje λ , jednak:

Izvedemo formulu koja povezuje logaritamski dekrement prigušenja λ sa faktorom prigušenja β i period oscilovanja T .

posljedično:

Izvedemo dimenziju koeficijenta prigušenja

.

Prisilne vibracije. Prisilne vibracije nazivaju se vibracije koje se javljaju u sistemu kada su izložene vanjskoj sili koja se mijenja prema periodičnom zakonu.

Neka sila djeluje na sistem:

gdje F0 – maksimalna vrijednost,

ω - kružna frekvencija oscilacija vanjske sile.

Sila koja djeluje na sistem je sila otpora i sila elastičnosti.

Uzimajući u obzir sve četiri sile, na osnovu drugog Newtonovog zakona pišemo:

.

Podijelite obje strane jednačine sa m , dobijamo:

.

Hajde da uvedemo notaciju:

Dobili smo diferencijalnu jednadžbu prisilnih oscilacija:

.

Zamislite graf prisilnih oscilacija:

U početku se amplituda oscilacija povećava, a zatim postaje konstantna. ALI .

Za stabilne prisilne oscilacije:

(vidi sliku 4)

Rezonancija. Ako a ω 0 i β su dati za sistem, zatim amplituda ALI prisilne oscilacije imaju maksimalnu vrijednost na nekoj specifičnoj frekvenciji pokretačke sile, tzv rezonantan . Postizanje maksimalne amplitude prinudnih oscilacija za datu ω 0 i β pozvao rezonancija .

Rezonantna kružna frekvencija je data sa:

i rezonantna amplituda:

.

Ako nema otpora (β=0) , tada se amplituda neograničeno povećava.

Predstavimo na grafovima zavisnost amplitude prisilnih oscilacija od kružne frekvencije pokretačke sile ω pri različitim vrijednostima koeficijenta prigušenja:

Prema obliku rezonantne krive, rezonanca može biti oštra β→0 , glupo - at β→1 . (Vidi sliku 5).

Prema mehanizmu pobude, rezonancija se klasificira na:

Mechanical; akustični; elektromagnetski; paramagnetski; nuklearno magnetno.

Pojava rezonantnih pojava u organizmu može biti i korisna i štetna. Na primjer, percepcija zvuka temelji se na akustičkoj rezonanciji, infrazvuk može uzrokovati rupturu tkiva unutrašnjih organa.

Samooscilacije. Kod prigušenih oscilacija, energija sistema se troši na savladavanje otpora medija. Ako se ovaj gubitak energije nadoknadi, tada će oscilacije postati neprigušene. Ova energija koju sistem izgubi može se nadoknaditi na račun izvora energije izvana, ili se to može učiniti na način da sam oscilirajući sistem kontroliše vanjski utjecaj.

Trajne oscilacije koje se javljaju u sistemu zbog izvora energije koji nema oscilatorna svojstva nazivaju se samooscilacije , dok sami sistemi samooscilirajući .

Klasičan primjer samooscilacija su satovi: namotana opruga; podignuta težina je izvor energije; sidro - regulator napajanja iz izvora; klatno ili ravnoteža - oscilatorni sistem.

Amplituda i frekvencija samooscilacija zavise od svojstava samog samooscilacionog sistema.