Razlozi gubljenja korijena pri rješavanju jednačina. Strani korijeni jednadžbe, odstranjivanje stranih korijena

Osnovne metode rješavanja jednačina

Šta je rješenje jednačine?

Transformacija identiteta. Main

vrste identičnih transformacija.

strani koren. Gubitak korijena.

Rješenje jednadžbe je proces koji se uglavnom sastoji od zamjene date jednadžbe drugom jednačinom koja joj je ekvivalentna . Takva zamjena se zovetransformacija identiteta . Glavne transformacije identiteta su sljedeće:

1.

Zamjena jednog izraza drugim, identično jednakim njemu. Na primjer, jednadžba (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 se može zamijeniti sljedećim ekvivalentom:9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

Prijenos članova jednadžbe s jedne strane na drugu sa suprotnim predznacima. Dakle, u prethodnoj jednačini možemo prenijeti sve njene članove s desne strane na lijevu stranu sa znakom “-”: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x- 10 = 0, nakon čega dobijamo:9 x 2 – 3 x- 6 = 0 .

3.

Množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim izrazom (brojem) koji nije nula. Ovo je veoma važno, jernova jednačina možda neće biti ekvivalentna prethodnoj ako izraz kojim množimo ili dijelimo može biti jednak nuli.

PRIMJER Jednačinax- 1 = 0 ima jedan korijenx= 1.

Množenje obje strane sax- 3 , dobijamo jednačinu

( x- 1)( x- 3) = 0, koji ima dva korijena:x= 1 ix = 3.

Posljednja vrijednost nije korijen date jednadžbe

x- 1 = 0. Ovo je tzvvanjski korijen .

Suprotno tome, podjela može dovesti dogubitak korijena . Dakle

u našem slučaju, akox- 1 )( x- 3 ) = 0 je original

jednadžba, zatim korijenx= 3 će biti izgubljeno u diviziji

obe strane jednačinex- 3 .

U posljednjoj jednadžbi (stavka 2), možemo podijeliti sve njene članove sa 3 (ne nula!) i konačno dobiti:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

Možepodići obje strane jednačine na neparan stepen iliizvući neparan korijen sa obje strane jednačine . Mora se imati na umu da:

a) erekcijačak stepen može rezultiratido sticanja stranih korijena ;

b)pogrešno ekstrakcijačak i root može dovesti dogubitak korijena .

PRIMJERI. Jednačina 7x = 35 ima jedan korijenx = 5 .

Kvadratom obe strane ove jednačine dobijamo

jednadžba:

49 x 2 = 1225 .

ima dva korijena:x = 5 ix = – 5. Zadnja vrijednost

je strani korijen.

Pogrešno uzimajući kvadratni korijen oba

dijelovi jednačine 49x 2 = 1225 rezultata u 7x = 35,

i gubimo korijenx = – 5.

Tačno uzimanje kvadratnog korijena vodi do

jednadžba: | 7x | = 35, a dakle dva slučaja:

1) 7 x = 35, ondax = 5 ; 2) – 7 x = 35, ondax = – 5 .

Stoga, naispravan izdvajanje kvadrata

korijena ne gubimo korijene jednadžbe.

Šta značiu pravu ekstrakt korijena? Evo nas

sa veoma važnim konceptomaritmetički korijen

(cm. ).

ZUBI. Zubi kralježnjaka po svojoj građi i razvoju potpuno su slični plakoidnim ljuskama koje prekrivaju cijelu kožu ajkule. Budući da je cijela usna šupljina, a dijelom i ždrijela, obložena ektodermalnim epitelom, tipičan je plakoid ... ...

TUBERKULOZA PLUĆA- TUBERKULOZA PLUĆA. Sadržaj: I. Patološka anatomija ............... 110 II. Klasifikacija plućne tuberkuloze.... 124 III. Klinika .................... 128 IV. Dijagnoza .................. 160 V. Prognoza ................. 190 VI. Liječenje… Velika medicinska enciklopedija

TROVANJE- TROVANJE. Trovanje se podrazumijeva kao „poremećaj životinjskih funkcija. organizmi uzrokovani egzogenim ili endogenim, hemijski ili fizikalno-hemijski aktivnim supstancama koje su po kvaliteti, količini ili koncentraciji strane ... ... Velika medicinska enciklopedija

Kvržice mahunarki- Paleontološki podaci ukazuju da su najstarije mahunarke koje su imale kvržice bile neke biljke iz grupe Eucaesalpinioideae. U modernim vrstama mahunarki pronađene su nodule ... Biološka enciklopedija

Spisak epizoda animirane serije "Luntik"- U ovom članku nedostaju linkovi na izvore informacija. Informacije moraju biti provjerljive, u suprotnom mogu biti ispitane i uklonjene. Možete... Wikipedia

BILJKE I OKOLIŠ- Život biljke, kao i svakog drugog živog organizma, složen je skup međusobno povezanih procesa; najznačajniji od njih, kao što je poznato, je izmjena supstanci sa okolinom. Životna sredina je izvor iz kojeg ... ... Biološka enciklopedija

Spisak epizoda serije "Luntik"- Glavni članak: Avanture Luntika i njegovih prijatelja Sadržaj 1 Broj epizoda 2 Spisak epizoda animirane serije Luntik i njegovi prijatelji ... Wikipedia

Bolesti voćaka- Voćke bi, zbog stalne brige osobe, trebale dostići mnogo stariju životnu dob od svojih neobrađenih srodnika, da nije suprotstavljenih uticaja mnogih uslova same kulture, odnosno zahtjeva koje mi postavljamo... .. .

sječa šume- V. šume, odnosno vađenje šumskog prihoda u obliku drveta i kore, može se vršiti na dva načina: kopanjem ili čupanjem cijelih stabala, odnosno stabala zajedno sa korijenjem, ili odvojeno, u dijelovima, prvo padaju , ili su uklonjeni iz ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

novčić- (poljski grosz, od njemačkog Groschen, od latinskog grossus (dēnārius) "debeo denar") kovanica raznih zemalja i vremena. Sadržaj 1 Izgled penija ... Wikipedia

US coins- 20 St. Gaudens dolara je najljepši i najskuplji američki novčić.Američki novac kovan u kovnici SAD-a. Izdaje se od 1792. ... Wikipedia

Knjige

• Glavni uzroci gubitka kose kod žena, Alexey Michman, Šest od deset žena pati od problema gubitka kose u nekom trenutku svog života. Do gubitka kose može doći iz više razloga kao što su nasljedstvo, hormonske promjene u… Kategorija:

§ 1. IZGUBLJENI I STRANI KORIJENI U RJEŠAVANJU JEDNAČINA (PREMA PRIMJERIMA)

REFERENTNI MATERIJAL

1. U dvije teoreme iz odjeljka 3 poglavlja VII, rečeno je koje radnje na jednačine ne narušavaju njihovu ekvivalenciju.

2. Razmotrimo sada takve operacije nad jednačinama koje mogu dovesti do nove jednačine koja nije ekvivalentna originalnoj jednačini. Umjesto općih razmatranja, ograničavamo se na razmatranje samo konkretnih primjera.

3. Primjer 1. Data je jednačina. Otvorimo zagrade u ovoj jednačini, pomjerimo sve članove na lijevu stranu i riješimo kvadratnu jednačinu. Njegovi koreni su

Ako oba dijela jednačine smanjimo zajedničkim faktorom, onda ćemo dobiti jednačinu koja nije ekvivalentna izvornoj, jer ima samo jedan korijen

Dakle, smanjenje obje strane jednadžbe faktorom koji sadrži nepoznatu može dovesti do gubitka korijena jednadžbe.

4. Primjer 2. Dana je jednadžba.Ova jednadžba ima jedan korijen.Kvadriramo oba dijela ove jednačine, dobijamo Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo dva korijena:

Vidimo da nova jednadžba nije ekvivalentna originalnoj jednadžbi. Korijen je korijen jednačine koji, nakon kvadriranja oba dijela, vodi do jednačine

5. Strani korijeni se također mogu pojaviti kada se obje strane jednačine pomnože faktorom koji sadrži nepoznatu, ako ovaj faktor nestane za realne vrijednosti x.

Primjer 3. Ako pomnožimo oba dijela jednačine sa tada dobijamo novu jednačinu koja, nakon prijenosa člana s desne strane na lijevu i faktoringa, daje jednačinu odakle je bilo

Korijen ne zadovoljava jednačinu koja ima jedan korijen

Iz ovoga zaključujemo: pri kvadriranju oba dijela jednadžbe (općenito, na paran stepen), kao i pri množenju faktorom koji sadrži nepoznato i nestaje na stvarnim vrijednostima nepoznatog, mogu se pojaviti strani korijeni.

Sva razmatranja koja su ovdje izražena u vezi s gubitkom i pojavom stranih korijena jednadžbe jednako se primjenjuju na sve jednačine (algebarske, trigonometrijske, itd.).

6. Jednačina se naziva algebarskom ako se nad nepoznatom izvode samo algebarske operacije - sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, podizanje na stepen i vađenje korijena s prirodnim eksponentom (štaviše, broj takvih operacija je konačan).

Tako, na primjer, jednadžbe

su algebarske, a jednačine

Tema trigonometrijskih jednadžbi počinje školskim predavanjem, koje se gradi u formi heurističkog razgovora. Na predavanju se razmatra teorijski materijal i primjeri rješavanja svih tipičnih zadataka prema planu:

• Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.
• Osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.
• Homogene jednadžbe.

U narednim časovima počinje samostalan razvoj vještina, zasnovan na primjeni principa zajedničke aktivnosti nastavnika i učenika. Prvo se učenicima postavljaju ciljevi, tj. utvrđuje se ko ne želi da zna više od onoga što zahteva državni standard, a ko je spreman da uradi više.

Konačna dijagnostika se kreira uzimajući u obzir diferencijaciju nivoa, što omogućava studentima da svjesno odrede minimum znanja koji je neophodan za dobijanje ocjene „3“. Na osnovu toga se biraju materijali na više nivoa za dijagnostikovanje znanja učenika. Takav rad omogućava individualni pristup učenicima, uključivanje svih u aktivnosti svjesnog učenja, formiranje vještina samoorganizacije i samoučenja, te osiguravanje prijelaza na aktivno, samostalno razmišljanje.

Seminar se održava nakon odrađenih osnovnih vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina. Nekoliko časova prije seminara studentima se postavljaju pitanja koja će se na njemu razmatrati.

Seminar se sastoji iz tri dijela.

1. U uvodnom dijelu razmatra se sav teorijski materijal, uključujući i uvod u probleme koji će se pojaviti pri rješavanju složenih jednačina.

2. U drugom dijelu razmatramo rješenje jednačina oblika:

• i cosx + bsinx = c.
• a(sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• jednačine se rješavaju snižavanjem stepena.

U ovim jednačinama koriste se univerzalna zamjena, formule za redukciju stepena i metoda pomoćnog argumenta.

3. Treći dio se bavi problemima gubitka korijena i sticanja stranih korijena. Pokazuje kako odabrati korijene.

Učenici rade u grupama. Za rješavanje primjera pozivaju se dobro obučeni momci koji mogu pokazati i objasniti gradivo.

Seminar je osmišljen za dobro pripremljenog studenta, jer. bavi se pitanjima koja su donekle izvan okvira programskog materijala. Uključuje jednadžbe složenijeg oblika, a posebna pažnja je posvećena problemima koji se javljaju pri rješavanju složenih trigonometrijskih jednačina.

Seminar je održan za učenike 10-11 razreda. Svaki učenik je imao priliku da proširi i produbi svoja znanja o ovoj temi, da uporedi nivo svog znanja ne samo sa zahtjevima za maturanta, već i sa zahtjevima kandidata za V.U.Z.

SEMINAR

Tema:"Rješenje trigonometrijskih jednadžbi"

Ciljevi:

• Generalizirati znanje o rješavanju trigonometrijskih jednačina svih vrsta.
• Fokus na probleme: gubitak korijena; strani korijeni; odabir korijena.

TOKOM NASTAVE.

I. UVOD

1. Osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

• Faktorizacija.
• Uvođenje nove varijable.
• Funkcionalno-grafička metoda.

2. Neke vrste trigonometrijskih jednačina.

• Jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe s obzirom na cos x = t, sin x = t.

Asin 2x + Bcosx + C = 0; Akos 2x + Bsinx + C = 0.

Oni se rješavaju uvođenjem nove varijable.

• Homogene jednačine prvog i drugog stepena

Jednačina prvog stepena: Asinx + Bcosx = 0 podijeljeno sa cos x, dobijamo Atg x + B = 0

Jednačina drugog stepena: Asin 2 x + Bsinx cosx + Scos 2 x = 0 podijeljeno sa cos 2 x, dobijamo Atg 2 x + Btgx + C = 0

Rješavaju se metodom faktorizacije i metodom uvođenja nove varijable.

Primjenjuju se sve metode.

• Vraćanje:

jedan). Acos2x + Bcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2x = C.

Oni se rješavaju metodom faktorizacije.

2). Asin2x + Bsin2x = C; Asin2x + Bcos 2x = C.

• Jednačina tipa: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Sveden na kvadrat u odnosu na t = sinx + cosx; sin2x \u003d t 2 - 1.

3. Formule.

x + 2n; Potvrda je potrebna!

• Smanjenje: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 - cos 2x): 2
• Metoda pomoćnog argumenta.

Zamenimo Acosx + Bsinx sa Csin (x + ), gde je sin = a/C; cos=w/c;

je pomoćni argument.

4. Pravila.

• Vidio sam kvadrat - niži stepen.
• Vidio sam posao - napravi iznos.
• Vidio sam iznos - uradi posao.

5. Gubitak korijena, višak korijena.

• Gubitak korijena: podijeliti sa g(x); opasne formule (univerzalna zamjena). Ove operacije sužavaju domen definicije.

• Dodatni korijeni: podići na ravnomjernu snagu; pomnožimo sa g (x) (oslobađamo se imenioca). Ovim operacijama proširujemo domen definicije.

II. Primjeri trigonometrijskih jednadžbi

1. Jednačine oblika Asinx + Bcosx = C

1) Univerzalna zamjena.O.D.Z. x je bilo koji.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x /2 + n;

u = – 1/3.

tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + k, k Z.

pregled: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.

x \u003d / 2 + n, n e Z. Je korijen jednadžbe.

odgovor: x = arctg (-1/3) + k, k Z. x \u003d / 2 + n, n Z.

2) Funkcionalno-grafička metoda. O.D.Z. x je bilo koji.

sinx - cosx = 1
sinx = cosx + 1.

Napravimo grafove funkcija: y = sinx, y = cosx + 1.

odgovor: x \u003d / 2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Uvođenje pomoćnog argumenta. O.D.Z.: x - bilo koji.

8 cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, jer (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, onda postoji takav da je sin = 8/17,

cos \u003d 15/17, zatim sin cosx + sinx cos \u003d 1; = arcsin 8/17.

odgovor: x = /2 + 2n - , x = /2 + 2n - arcsin 8/17, n Z.

2. Snižavanje: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

jedan). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z .: x - bilo koji.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x=0, cos3x=0, cosx=0.

odgovor: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

At

k = 1 i m = 0 k = 4 i m = 1.

serijski meč.

3. Redukcija na homogeno. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x - bilo koji.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x - 5 sin 2 x - 5 cos 2 x \u003d 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) ne može se podijeliti sa cos 2 x, jer gubimo korijene.
cos 2 x = 0 zadovoljava jednačinu.
cosx ( 3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
x \u003d / 2 + k, k Z. tgx \u003d -1/3, x \u003d - / 6 + n, n Z.

odgovor: x \u003d / 2 + k, k Z. , x \u003d - / 6 + n, n Z

4. Jednadžba oblika: A (sinx + cosx) + B sin2x + C \u003d 0.

jedan). 4 + 2sin2x - 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x je bilo koji.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 - 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 - 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 \u003d S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(-/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 \u003d (–1) k arcsin (1/2 O 2) + k, k Z.

odgovor: x \u003d (-1) k arcsin (1/22) - / 4 + k, k Z.

5. Faktorizacija.

1) cos 2 x - 2 cosx \u003d 4 sinx - sin2x
cosx(cosx - 2) = 2 sinx (2 - cosx),
(cosx - 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, nema korijena.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

odgovor: x = arctg(1/2) + n, nZ.

III. Problemi koji nastaju pri rješavanju trigonometrijskih jednačina

1. Gubitak korijena: podijeliti sa g(x); koristiti opasne formule.

1) Pronađite grešku.

1 - cosx = sinx * sinx / 2,
1 - cosx \u003d 2sin 2 x / 2 formule.
2 sin 2 x / 2 \u003d 2 sinx / 2 * cosx / 2 * sinx / 2 podijeljeno sa 2 sin 2 x / 2,
1 = cosx/2
x / 2 \u003d 2n, x \u003d 4n, n "Z.
Izgubljeni korijeni sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Prava odluka: 2sin 2 x / 2 (1 - cosx / 2) \u003d 0.

sin 2 x/2 = 0 x = 2k, kZ.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Strani korijeni: oslobodite se nazivnika; podignuta na jednaku snagu.

jedan). (sin4x - sin2x - cos3x + 2sinx - 1) : (2sin2x - 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx - cos3x + 2sinx - 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx - 1) = 0

jedan). cos3x + 1 = 0 x \u003d / 3 + 2n / 3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x \u003d / 3 + 2n / 3 1.n=0 sin2/3 = 3/2 ne zadovoljavaju. O.D.Z. 2.n=1 sin2=0 zadovoljiti O.D.Z. 3.n=2 sin2/3 = -3/2 zadovoljiti O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1. k = 0 sin2/6 = 3/2 ne zadovoljavaju O.D.Z. 2. k = 1 sin2*5/6 = -3/2 zadovoljiti O.D.Z.

odgovor: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z.t = 5 sin3x = 0