Prava linija je cilj hiperbole. Hiperbola i njena kanonska jednadžba

Zanimanje 10 . Krive drugog reda.

10.1. Elipsa. Kanonska jednadžba. Poluosovina, ekscentricitet, graf.

10.2. Hiperbola. Kanonska jednadžba. Poluosi, ekscentricitet, asimptote, graf.

10.3. Parabola. Kanonska jednadžba. Parabola parametar, graf.

Krivulje drugog reda u ravni nazivaju se linije, čija implicitna specifikacija ima oblik:

gdje
- dati realne brojeve,
- koordinate tačaka krive. Najvažnije linije među krivuljama drugog reda su elipsa, hiperbola, parabola.

10.1. Elipsa. Kanonska jednadžba. Poluosovina, ekscentricitet, graf.

Definicija elipse.Elipsa je ravna kriva čiji zbir udaljenosti od dvije fiksne tačke
avionom do bilo koje tačke

(oni.). bodova
nazivaju fokusi elipse.

Kanonska jednadžba elipse:
. (2)

(ili osovina
) prolazi kroz žarišta
, a ishodište je tačka - nalazi se u centru segmenta
(Sl. 1). Elipsa (2) je simetrična u odnosu na koordinatne ose i ishodište (centar elipse). Trajno
,
pozvao poluose elipse.

Ako je elipsa data jednačinom (2), tada se žarišta elipse nalaze na sljedeći način.

1) Prvo određujemo gdje leže žarišta: žarišta leže na koordinatnoj osi na kojoj se nalaze glavne poluosi.

2) Zatim se izračunava žižna daljina (udaljenost od žarišta do ishodišta).

At
fokusi leže na osi
;
;
.

ekscentričnost elipsa se zove vrijednost: (u
);(u
).

Ellipse je uvijek
. Ekscentricitet je karakteristika kompresije elipse.

Ako se elipsa (2) pomakne tako da centar elipse bude u tački

,
, tada jednačina rezultirajuće elipse ima oblik

10.2. Hiperbola. Kanonska jednadžba. Poluosi, ekscentricitet, asimptote, graf.

Definicija hiperbole.Hiperbola je ravna kriva u kojoj je apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima od dvije fiksne tačke
avionom do bilo koje tačke
ova kriva je konstanta nezavisna od tačke
(oni.). bodova
koji se nazivaju fokusi hiperbole.

Kanonska jednadžba hiperbole:
ili
. (3)

Takva jednačina se dobija ako je koordinatna osa
(ili osovina
) prolazi kroz žarišta
, a ishodište je tačka - nalazi se u centru segmenta
. Hiperbole (3) su simetrične u odnosu na koordinatne ose i ishodište. Trajno
,
pozvao poluosi hiperbole.

Fokusi hiperbole nalaze se na sljedeći način.

Na hiperbolu
fokusi leže na osi
:
(Sl. 2.a).

Na hiperbolu
fokusi leže na osi
:
(Sl. 2.b)

Evo - žižna daljina (udaljenost od žarišta do ishodišta). Izračunava se po formuli:
.

ekscentričnost hiperbola se zove vrijednost:

(za
);(za
).

Hiperbola je uvek bila
.

Asimptote hiperbola(3) su dvije prave:
. Obje grane hiperbole približavaju se asimptotama neograničeno kao .

Konstrukciju grafa hiperbole treba izvesti na sljedeći način: prvo duž poluosi
gradimo pomoćni pravougaonik sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osa; zatim povlačimo prave linije kroz suprotne vrhove ovog pravougaonika, to su asimptote hiperbole; na kraju, prikazujemo grane hiperbole, one dodiruju sredine odgovarajućih stranica pomoćnog pravokutnika i približavaju se rastom na asimptote (slika 2).

Ako se hiperbole (3) pomaknu tako da njihov centar pada na tačku
, a poluose će ostati paralelne sa osama
,
, tada se jednadžba rezultirajućih hiperbola može zapisati u obliku

,
.

10.3. Parabola. Kanonska jednadžba. Parabola parametar, graf.

Definicija parabole.Parabola je ravna kriva u kojoj je za bilo koju tačku
ova kriva je udaljenost od
na fiksnu tačku ravan (nazvana fokusom parabole) jednaka je udaljenosti od
na fiksnu liniju u avionu(naziva se direktrisa parabole) .

Kanonska parabola jednadžba:
, (4)

gdje je konstanta tzv parametar parabole.

Dot
parabola (4) se naziva vrh parabole. Osa
je osa simetrije. Fokus parabole (4) je u tački
, jednadžba direktrisa
. Parabola dijagrama (4) sa vrijednostima
i
prikazano na sl. 3.a i 3.b, respektivno.

Jednačina
takođe definiše parabolu u ravni
, koji u poređenju sa parabolom (4) ima ose
,
zamenili mesta.

Ako se parabola (4) pomakne tako da njen vrh udari u tačku
, a osa simetrije će ostati paralelna sa osom
, tada jednadžba rezultirajuće parabole ima oblik

Pređimo na primjere.

Primjer 1. Kriva drugog reda je data jednadžbom
. Dajte ime ovoj krivulji. Pronađite njegove žarište i ekscentričnost. Nacrtajte krivu i njena žarišta u ravni
.

Rješenje. Ova kriva je elipsa sa središtem u tački
i osovinske osovine
. To se lako može provjeriti zamjenom
. Ova transformacija znači kretanje iz datog kartezijanskog koordinatnog sistema
na novi kartezijanski koordinatni sistem
, čije osovine
paralelno sa osama
,
. Ova transformacija koordinata naziva se pomak sistema.
upravo . U novom koordinatnom sistemu
jednačina krive se pretvara u kanonsku jednačinu elipse
, njegov grafikon je prikazan na sl. četiri.

Hajde da nađemo trikove.
, dakle trikovi
elipse koja se nalazi na osi
.. U koordinatnom sistemu
:
. Jer
, u starom koordinatnom sistemu
fokusi imaju koordinate.

Primjer 2. Navedite naziv krive drugog reda i navedite njen graf.

Rješenje. Pune kvadrate biramo po terminima koji sadrže varijable i .

Sada se jednačina krivulje može prepisati kao:

Dakle, data kriva je elipsa sa središtem u tački
i osovinske osovine
. Dobijene informacije nam omogućavaju da nacrtamo njegov grafikon.

Primjer 3. Dajte ime i nacrtajte linijski grafikon
.

Rješenje. . Ovo je kanonska jednadžba elipse sa središtem u tački
i osovinske osovine
.

Zbog,
, zaključujemo: data jednačina definira na ravni
donja polovina elipse (slika 5).

Primjer 4. Navedite naziv krive drugog reda
. Nađi njene trikove, ekscentričnost. Dajte graf ove krive.

- kanonska jednadžba hiperbole sa poluosama
.

Žižna daljina.

Znak minus je ispred pojma sa , dakle trikovi
hiperbole leže na osi
:. Grane hiperbole nalaze se iznad i ispod ose
.

je ekscentricitet hiperbole.

Asimptote hiperbole: .

Konstrukcija grafa ove hiperbole izvodi se u skladu sa gornjim postupkom: gradimo pomoćni pravougaonik, crtamo asimptote hiperbole, crtamo grane hiperbole (vidi sliku 2.b).

Primjer 5. Otkrijte oblik krivulje date jednadžbom
i zacrtaj.

- hiperbola sa središtem u tački
i pola osovine.

Jer , zaključujemo: data jednadžba određuje dio hiperbole koji leži desno od prave
. Bolje je nacrtati hiperbolu u pomoćnom koordinatnom sistemu
dobijeno iz koordinatnog sistema
smjena
, a zatim debelom linijom odaberite željeni dio hiperbole

Primjer 6. Pronađite vrstu krive i nacrtajte njen graf.

Rješenje. Odaberite cijeli kvadrat prema pojmovima s promjenljivom :

Prepišimo jednačinu krive.

Ovo je jednadžba parabole sa vrhom u tački
. Transformacijom pomaka, jednadžba parabole se svodi na kanonski oblik
, iz čega se vidi da je parametar parabole. Focus parabole u sistemu
ima koordinate
,, i u sistemu
(prema transformaciji pomaka). Grafikon parabole je prikazan na sl. 7.

Zadaća.

1. Nacrtajte elipse date jednadžbama:
Pronađite njihove poluosi, žarišnu daljinu, ekscentricitet i na eliptičnim grafovima označite lokacije njihovih žarišta.

2. Nacrtajte hiperbole date jednadžbama:
Pronađite njihove poluose, žarišnu daljinu, ekscentricitet i na grafovima hiperbola označite lokaciju njihovih žarišta. Napišite jednadžbe za asimptote datih hiperbola.

3. Nacrtaj parabole date jednadžbama:
. Pronađite njihov parametar, žarišnu daljinu i označite lokaciju fokusa na grafovima parabole.

4. Jednačina
definira dio krive 2. reda. Pronađite kanonsku jednačinu ove krive, zapišite njeno ime, izgradite njen graf i na njemu odaberite onaj dio krive koji odgovara izvornoj jednačini.

Hiperbola je lokus tačaka za koje je razlika u udaljenostima od dvije fiksne tačke ravni, koje se nazivaju fokusi, konstanta; naznačena razlika uzima se u apsolutnoj vrijednosti i obično se označava sa 2a.Žarišta hiperbole su označena slovima F 1 i F 2, rastojanje između njih je kroz 2s. Po definiciji hiperbole 2a

Neka je data hiperbola. Ako su ose kartezijanskog pravougaonog koordinatnog sistema odabrane tako da se žarišta date hiperbole nalaze na osi apscise simetrično u odnosu na ishodište, tada u ovom koordinatnom sistemu jednačina hiperbole ima oblik

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

gdje je b \u003d √ (c 2 - a 2). Jednačina oblika (I) naziva se kanonska jednačina hiperbole.Uz naznačen izbor koordinatnog sistema, koordinatne ose su ose simetrije hiperbole, a ishodište koordinata je njen centar simetrije (sl. 18). Osi simetrije hiperbole se nazivaju jednostavno njene ose, centar simetrije je centar hiperbole. Hiperbola prelazi jednu od svojih osa; tačke preseka nazivaju se vrhovi hiperbole. Na sl. 18 Vrhovi hiperbole su tačke A" i A.

Pravougaonik sa stranicama 2a i 2b, koji se nalazi simetrično oko osi hiperbole i dodiruje je na vrhovima, naziva se glavnim pravougaonikom hiperbole.

Segmenti dužine 2a i 2b koji spajaju sredine stranica glavnog pravougaonika hiperbole nazivaju se i njegovim osama. Dijagonale glavnog pravougaonika (produženog beskonačno) su asimptote hiperbole; njihove jednadžbe su:

y = b/a x, y = - b/a x

Jednačina

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

definira hiperbolu simetričnu oko koordinatnih osa sa žarištima na y-osi; jednačina (2), kao i jednačina (1), naziva se kanonska jednačina hiperbole; u ovom slučaju, konstantna razlika u udaljenostima od proizvoljne tačke hiperbole do žarišta jednaka je 2b.

Dvije hiperbole koje su definirane jednadžbama

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

u istom koordinatnom sistemu nazivaju se konjugati.

Hiperbola s jednakim polukrakama (a \u003d b) naziva se jednakostranična,; njegova kanonska jednadžba je

x 2 - y 2 \u003d a 2 ili - x 2 + y 2 \u003d a 2.

gdje je a udaljenost od centra hiperbole do njenog vrha, naziva se ekscentricitet hiperbole. Očigledno, za bilo koju hiperbolu ε > 1. Ako je M(x; y) proizvoljna tačka hiperbole, tada se segmenti F 1 M i F 2 M (vidi sliku 18) nazivaju fokalni poluprečniki tačke M. Fokalni radijusi tačaka desne grane hiperbole su izračunate formule

r 1 = εx + a, r 2 \u003d εx - a,

žarišne radijuse tačaka lijeve grane - prema formulama

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

Ako je hiperbola data jednadžbom (1), tada su linije definirane jednadžbama

x = -a/ε, x = a/ε

se zovu njegovi direktori (vidi sliku 18). Ako je hiperbola data jednadžbom (2), tada su direktrise određene jednadžbama

x = -b/ε, x = b/ε

Svaka direktrisa ima sljedeće svojstvo: ako je r udaljenost od proizvoljne tačke hiperbole do nekog fokusa, d je udaljenost od iste tačke do jednostrane direktrise s ovim fokusom, tada je omjer r/d konstanta vrijednost jednaka ekscentricitetu hiperbole:

515. Sastavite jednačinu hiperbole, čija su žarišta locirana na osi apscise simetrično u odnosu na ishodište, uz to znajući da:

1) njegove ose 2a = 10 i 2b = 8;

2) rastojanje između fokusa 2s = 10 i ose 2b = 8;

3) rastojanje između fokusa 2s = 6 i ekscentriciteta ε = 3/2;

4) osa 2a = 16 i ekscentricitet ε = 5/4;

5) jednačine asimptota y = ±4/3x i rastojanja između žarišta 2c = 20;

6) rastojanje između direktrisa je 22 2/13, a rastojanje između fokusa je 2c = 26; 39

7) rastojanje između direktrisa je 32/5 i ose 2b = 6;

8) rastojanje između direktrisa je 8/3, a ekscentricitet ε = 3/2;

9) jednačine asimptote y = ± 3/4 x i rastojanje između direktrisa je 12 4/5.

516. Napiši jednačinu hiperbole čija su žarišta locirana na y-osi simetrično u odnosu na ishodište, uz to znajući da:

1) njegove poluose a = 6, b = 18 (slovo a označava poluosu hiperbole koja se nalazi na osi apscise);

2) rastojanje između fokusa 2s = 10 i ekscititeta ε = 5/3; oh ja. 12

3) jednačine asimptota y = ±12/5x i rastojanje između vrhova je 48;

4) rastojanje između direktrisa je 7 1/7, a ekscentricitet ε = 7/5;

5) jednačine asimptote y = ± 4/3x i rastojanje između direktrisa je 6 2/5.

517. Odredi poluose a i b svake od sljedećih hiperbola:

1) x 2 /9 - y 2 /4 \u003d 1; 2) x 2 /16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 \u003d 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Data je hiperbola 16x 2 - 9y 2 = 144. Nađi: 1) poluose a i b; 2) trikovi; 3) ekscentričnost; 4) jednačine asimptota; 5) direktrisne jednačine.

519. Zadana je hiperbola 16x 2 - 9y 2 = -144. Naći: 1) poluose a i b; 2) trikovi; 3) ekscentričnost; 4) jednačine asimptota; 5) direktrisne jednačine.

520. Izračunaj površinu trokuta koji čine asimptote hiperbole x 2 /4 - y 2 /9 = 1 i prave 9x + 2y - 24 = 0.

521. Odredi koje su prave određene sljedećim jednačinama:

1) y \u003d + 2 / 3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4 / 3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Zadata je tačka M 1 (l0; - √5) na hiperboli - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Sastaviti jednačine pravih na kojima leže žarišne polumjere tačke M 1.

523. Pazeći da tačka M 1 (-5; 9/4) leži na guilerball x 2 /16 - y 2 /9 = 1, odredite žarišne polumjere tačke M 1 .

524. Ekscentricitet hiperbole ε = 2, fokalni polumjer njene tačke M, povučen iz nekog fokusa, je 16. Izračunajte rastojanje od tačke M do jednostrane direktrise sa ovim fokusom.

525. Ekscentricitet hiperbole ε = 3, udaljenost od tačke M hiperbole do direktrise je 4. Izračunajte rastojanje od tačke M do fokusa, jednostrano sa ovom direktrisom.

526. Ekscentricitet hiperbole ε = 2, centar joj je na početku, jedan od fokusa je F(12; 0). Izračunajte udaljenost od tačke M 1 hiperbole sa apscisom jednakom 13 do direktrise koja odgovara datom fokusu.

527. Ekscentricitet hiperbole ε = 3/2, njeno središte leži u nultu, jedna od direktrisa je data jednačinom x = -8. Izračunajte udaljenost od tačke M 1 hiperbole sa apscisom jednakom 10 do fokusa koji odgovara datoj direktrisi.

528. Odrediti tačke hiperbole - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, čija je udaljenost od desnog fokusa 4,5.

529. Odrediti tačke hiperbole x 2 /9 - y 2 /16 = 1, čija je udaljenost od lijevog fokusa 7.

530. Kroz lijevi fokus hiperbole x 2 /144 - y 2 /25 = 1 povučena je okomica na njenu osu u kojoj se nalaze vrhovi. Odrediti udaljenosti od žarišta do tačaka presjeka ove okomice sa hiperbolom.

531. Koristeći jedan šestar, konstruisati žarišta hiperbole x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (pod pretpostavkom da su prikazane koordinatne ose i data jedinica razmjera).

532. Napišite jednačinu hiperbole, čije žarište leži na osi x simetrično oko ishodišta, ako je dato:

1) tačke M 1 (6; -1) i M 2 (-8; 2√2) hiperbole;

2) tačka M 1 (-5; 3) hiperbole i ekscentricitet ε = √2;

3) tačka M 1 (9/2;-l) hiperbole i jednačina asimptota y = ± 2,3x;

4) tačka M 1 (-3; 5.2) hiperbole i jednačine direktrisa x = ± 4/3;

5) jednadžbe asimptote y = ±-3/4x i jednačine direktrise x = ± 16/5

533. Odrediti ekscentricitet jednakostranične hiperbole.

534. Odrediti ekscentricitet hiperbole ako je segment između njenih vrhova vidljiv iz žarišta konjugirane hiperbole pod uglom od 60°.

535. Žarišta hiperbole se poklapaju sa žarištima elipse x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Napišite jednačinu hiperbole ako je njen ekscentricitet ε = 2.

536. Napišite jednačinu za hiperbolu čija žarišta leže u vrhovima elipse x 2 /100 + y 2 /64 = 1, a direktrise prolaze kroz fokuse ove elipse.

537. Dokazati da je udaljenost od fokusa hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 do njene asimptote jednaka b.

538. Dokazati da je proizvod udaljenosti od bilo koje tačke hiperbole x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 do njene dvije asimptote konstantna vrijednost jednaka a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Dokaži da je površina paralelograma ograničena asimptotama hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i pravim linijama povučenim kroz bilo koju njegovu tačku paralelnu asimptotama konstantna vrijednost jednaka do ab/2.

540. Sastavite jednačinu hiperbole ako su poznate njene poluose a i b, centar C (x 0; y 0) i žarišta se nalaze na pravoj liniji: 1) paralelno sa osom Ox; 2) paralelno sa Oy osom.

541. Utvrdite da svaka od sljedećih jednadžbi definira hiperbolu i pronađite koordinate njenog centra C, poluosu, ekscentricitet, jednadžbe asimptote i jednačine direktrise:

1) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 54y - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Odredi koje su prave određene sljedećim jednačinama:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7- 3 / 2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4y - 12).

Nacrtajte ove linije na crtežu.

543. Napišite jednačinu hiperbole, znajući da:

1) rastojanje između njegovih vrhova je 24, a fokusi su F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) žarišta su F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) i rastojanje između direktrisa je 3,6;

3) ugao između asimptota je 90°, a fokusi su F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Napišite jednačinu hiperbole ako su poznati njen ekscentricitet ε = 5/4, fokus F (5; 0) i jednačina odgovarajuće direktrise 5x - 16 = 0.

545. Napišite jednačinu hiperbole ako je poznat njen ekscentricitet e - fokus F (0; 13) i jednačinu odgovarajuće direktrise 13y - 144 = 0.

546. Tačka A (-3; - 5) leži na hiperboli čiji je fokus F (-2; -3), a odgovarajuća direktrisa je data jednadžbom x + 1 = 0. Napišite jednačinu za ovu hiperbolu .

547. Napišite jednačinu hiperbole ako su poznati njen ekscentricitet ε = √5, fokus F(2;-3) i jednačina odgovarajuće direktrise Zx - y + 3 = 0.

548. Tačka M 1 (1; 2) leži na hiperboli čiji je fokus F(-2; 2), a odgovarajuća direktrisa je data jednačinom 2x - y - 1 = 0. Napišite jednačinu za to hiperbola.

549. Zadana je jednačina jednakostranične hiperbole x 2 - y 2 = a 2. Pronađite njegovu jednačinu u novom sistemu, uzimajući njegove asimptote kao koordinatne ose.

550. Utvrdivši da svaka od sljedećih jednačina definiše hiperbolu, za svaku od njih pronađite centar, poluose, jednačine asimptote i nacrtajte ih na crtežu: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Nađite tačke preseka prave 2x - y - 10 = 0 i hiperbole x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Nađite tačke preseka prave 4x - 3y - 16 = 0 i hiperbole x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Nađite tačke preseka prave 2x - y + 1 = 0 i hiperbole x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. U sljedećim slučajevima odredite kako se prava nalazi u odnosu na hiperbolu: da li se siječe, dodiruje ili prolazi van nje:

1) x - y - 3 = 0, x 2 / 12 - y 2 / 3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 = 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. Odredi za koje vrijednosti m prava linija y = 5/2x + m

1) seče hiperbolu x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) dodirne je;

3) prolazi izvan ove hiperbole.

556. Izvedite uvjet pod kojim prava y = kx + m dodiruje hiperbolu x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1.

557. Sastaviti jednadžbu tangente na hiperbolu x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 u njenoj tački Af, (*,; #i).

558. Dokazati da su tangente na hiperbolu povučene na krajevima istog prečnika paralelne.

559. Sastavite jednadžbe tangenti na hiperbolu x 2 /20 - y 2 /5 = 1, okomito na pravu 4x + Zy - 7 \u003d 0.

560. Sastaviti jednačine tangenti na hiperbolu x 2 /16 - y 2 /64 = 1, paralelno sa pravom 10x - 3y + 9 = 0.

561. Nacrtaj tangente na hiperbolu x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 paralelno pravoj 2x + 4y - 5 = 0 i izračunaj udaljenost d između njih.

562. Na hiperboli x 2 /24- y 2 /18 = 1 pronađite tačku M 1 najbližu pravoj Zx + 2y + 1 = O i izračunajte rastojanje d od tačke M x do ove prave.

563. Sastaviti jednadžbu tangenti na hiperbolu x 2 - y 2 = 16, povučenu iz tačke A (- 1; -7).

564. Iz tačke C (1; -10) povučene su tangente na hiperbolu x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Napišite jednačinu tetive koja povezuje dodirne tačke.

565. Iz tačke P (1; -5) povučene su tangente na hiperbolu x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Izračunajte rastojanje d od tačke P do tetive hiperbole koja spaja dodirne tačke.

566. Hiperbola prolazi kroz tačku A(√6; 3) i dodiruje pravu 9x + 2y - 15 == 0. Napišite jednačinu za ovu hiperbolu, pod uslovom da se njene ose poklapaju sa koordinatnim osa.

567. Napiši jednačinu tangente hiperbole na dvije prave: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, pod uslovom da se njene ose poklapaju sa koordinatnim osa.

568. Uvjerite se da su presječne točke elipse x 2 /3 - y 2 /5 = 1 i hiperbole x 2 /12 - y 2 /3 = 1 vrhovi pravougaonika, nacrtajte jednadžbe njegovih stranica .

569. Date su hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i neke njene tangente: P - tačka preseka tangente sa osom Ox, Q - projekcija dodirne tačke na istu osa. Dokazati da je OP OQ = a 2 .

570. Dokazati da se žarišta hiperbole nalaze na suprotnim stranama bilo koje njene tangente.

571. Dokazati da je proizvod udaljenosti od žarišta do bilo koje tangente na hiperbolu x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 konstanta jednaka b 2 .

572. Prava 2x - y - 4 == 0 dodiruje hiperbolu čiji su fokusi u tačkama F 1 (-3; 0) i F 2 (3; 0). Napišite jednačinu za ovu hiperbolu.

573. Sastavite jednačinu hiperbole čija se žarišta nalaze na osi apscise simetrično u odnosu na ishodište, ako su jednačina tangente na hiperbolu 15x + 16y - 36 = 0 i rastojanje između njenih vrhova 2a = 8 poznato.

574. Dokazati da prava tangenta na hiperbolu u nekoj tački M čini jednake uglove sa žarišnim poluprečnikima F 1 M, F 2 M i prolazi unutar ugla F 1 MF 2 . X^

575. Iz desnog fokusa hiperbole x 2 /5 - y 2 /4 = 1 pod uglom α(π

576. Dokazati da se elipsa i hiperbola zajedničkih žarišta sijeku pod pravim uglom.

577. Koeficijent ravnomjerne kompresije ravnine na osu Ox je 4/3. Odrediti jednačinu prave u koju se hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1 transformiše tokom ove kompresije. Vidi zadatak 509.

578. Koeficijent ravnomjerne kompresije ravnine na osu Oy je 4/5. Odrediti jednačinu prave u koju se hiperbola x 2 /25 - y 2 /9 = 1 transformiše tokom ove kompresije.

579. Nađite jednadžbu prave u koju se transformira hiperbola x 2 - y 2 = 9 s dva uzastopna ravnomjerna kompresija ravnine na koordinatne osi, ako su koeficijenti ravnomjerne kompresije ravnine na osi Ox i Oy jednake su 2/3 i 5/3.

580. Odrediti koeficijent q ujednačene kompresije ravni na osu Ox, pri čemu se hiperbola - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 pretvara u hiperbolu x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Odrediti koeficijent q ujednačene kompresije ravni na osu Oy, pri čemu se hiperbola x 2 /4 - y 2 /9 = 1 pretvara u hiperbolu x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Odrediti koeficijente q 1 i q 2 dva uzastopna ravnomjerna kompresija ravni na ose Ox i Oy, pri čemu se hiperbola x 2 /49 - y 2 /16 = 1 transformira u hiperbolu x 2 /25 - y 2 /64 = 1.

Hiperbola je skup tačaka u ravni čija je razlika udaljenosti od dvije date tačke, žarišta, konstanta i jednaka .

Slično elipsi, postavljamo žarišta u tačke , (vidi sliku 1).

Rice. jedan

Iz slike se može vidjeti da može biti padeža i title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}

Poznato je da je u trokutu razlika dviju strana manja od treće strane, pa, na primjer, sa dobijamo:

Oba dijela donosimo na kvadrat i nakon daljnjih transformacija nalazimo:

gdje . Hiperbolička jednačina (1) je kanonska jednadžba hiperbole.

Hiperbola je simetrična oko koordinatnih osa, pa je, što se tiče elipse, dovoljno da se njen graf nacrta u prvoj četvrtini, gde je:

Raspon vrijednosti za prvi kvartal.

Kada imamo jedan od vrhova hiperbole . Drugi vrh. Ako , onda iz (1) - nema pravih korijena. Kažemo da su i imaginarni vrhovi hiperbole. Iz omjera ispada da za dovoljno velike vrijednosti postoji mjesto za najbližu jednakost title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}

Oblik i karakteristike hiperbole

Jednačinom (1) istražujemo oblik i položaj hiperbole.

Varijable i unesite jednačinu (1) u paru stepena. Prema tome, ako tačka pripada hiperboli, tada i tačke pripadaju hiperboli. To znači da je lik simetričan oko osi i , i točke , koja se naziva središte hiperbole.
Nađimo tačke preseka sa koordinatnim osa. Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo da hiperbola siječe osu u tačkama . Stavljanjem dobijamo jednačinu koja nema rješenja. To znači da hiperbola ne siječe osu. Tačke se nazivaju vrhovi hiperbole. Segment = i naziva se realna osa hiperbole, a segment je imaginarna osa hiperbole. Brojevi i nazivaju se realnom i imaginarnom poluosi hiperbole. Pravougaonik koji stvaraju osi naziva se glavni pravougaonik hiperbole.
Iz jednačine (1) ispada da je , odnosno . To znači da se sve tačke hiperbole nalaze desno od prave (desna grana hiperbole) i levo od prave (lijeva grana hiperbole).
Uzmimo tačku u prvom kvadrantu na hiperboli, to jest, i stoga . Od 0" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}

Asimptote hiperbole

Postoje dvije asimptote hiperbole. Nađimo asimptotu grane hiperbole u prvoj četvrtini, a zatim koristimo simetriju. Razmotrite poen u prvoj četvrtini, tj. U ovom slučaju , , tada asimptota ima oblik: , gdje

Dakle, linija je asimptota funkcije . Prema tome, zbog simetrije, asimptote hiperbole su prave linije.

Na osnovu utvrđenih karakteristika konstruišemo granu hiperbole, koja se nalazi u prvoj četvrtini, i koristimo simetriju:

Rice. 2

U slučaju kada , odnosno hiperbola je opisana jednadžbom . U ovoj hiperboli, asimptote, koje su simetrale koordinatnih uglova.

Primjeri zadataka za građenje hiperbole

Primjer 1

Zadatak

Naći ose, vrhove, fokuse, ekscentricitet i jednačine asimptota hiperbole. Konstruirajte hiperbolu i njene asimptote.

Rješenje

Svodimo jednadžbu hiperbole na kanonski oblik:

Uspoređujući ovu jednačinu sa kanonskom jednačinom (1), nalazimo , , . Vrhovi , fokusi i . Ekscentričnost ; asmptote; Gradimo parabolu. (vidi sliku 3)

Napišite jednačinu hiperbole:

Rješenje

Nakon što smo napisali jednadžbu asimptote u obliku, nalazimo omjer poluosi hiperbole . Po uslovu problema, slijedi da . Stoga se problem sveo na rješavanje sistema jednačina:

Zamjenom u drugu jednačinu sistema dobijamo:

gdje . Sada nalazimo.

Dakle, hiperbola ima sljedeću jednačinu:

Odgovori

Hiperbola i njena kanonska jednadžba ažurirano: 17. juna 2017. od: Scientific Articles.Ru

Definicija . Hiperbola je lokus tačaka, razlika između svake od dvije date tačke, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost

Uzmimo koordinatni sistem tako da žarišta leže na osi apscisa, a početak koordinata dijeli segment F 1 F 2 na pola (slika 30). Označimo F 1 F 2 = 2c. Tada je F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 su žarišni radijusi hiperbole.

Prema definiciji hiperbole, r 1 - r 2 = const.

Označimo ga sa 2a

Tada je r 2 - r 1 = ±2a pa:

=> kanonska jednadžba hiperbole

Pošto je jednadžba hiperbole x i y u parnim potencijama, onda ako tačka M 0 (x 0; y 0) leži na hiperboli, tada su tačke M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Prema tome, hiperbola je simetrična oko obe koordinatne ose.

Kada je y = 0 x 2 = a 2 x = ± a. Vrhovi hiperbole će biti tačke A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).

. Zbog simetrije, studija se izvodi u prvom kvartalu

1) at
y ima imaginarnu vrijednost, stoga su tačke hiperbole sa apscisama
ne postoji

2) na x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) pripada hiperboli

3) za x > a; y > 0. Štaviše, sa neograničenim povećanjem x, grana hiperbole ide u beskonačnost.

Iz toga slijedi da je hiperbola kriva koja se sastoji od dvije beskonačne grane.

P 6. Asimptote hiperbole

Razmotrite zajedno sa jednačinom
jednačina prave linije

To kriva će ležati ispod prave linije (slika 31). Razmotrite tačke N (x, Y) i M (x, y) čije su apscise iste, a Y - y \u003d MN. Razmotrimo dužinu segmenta MN

Hajde da nađemo

Dakle, ako se tačka M, krećući se duž hiperbole u prvoj četvrtini, udalji u beskonačnost, tada je njena udaljenost od prave linije
opada i teži nuli.

Zbog simetrije, prava linija ima isto svojstvo.
.

Definicija. Direktne linije na koje
kriva se neograničeno približava nazivaju se asimptote.

I
dakle, jednadžba asimptota hiperbole
.

Asimptote hiperbole nalaze se duž dijagonala pravougaonika čija je jedna strana paralelna sa x-osi i jednaka je 2a, a druga paralelna sa y-osom i jednaka je 2b, a centar leži na početku (slika 32).

P 7. Ekscentricitet i direktrise hiperbole

r 2 – r 1 = ± 2a znak + se odnosi na desnu granu hiperbole

znak - odnosi se na lijevu granu hiperbole

Definicija. Ekscentricitet hiperbole je omjer udaljenosti između žarišta ove hiperbole i udaljenosti između njenih vrhova.

. Pošto je c > a, ε > 1

Fokalne radijuse hiperbole izražavamo u terminima ekscentriciteta:

Definicija . Pozovimo linije
, okomito na žižnu os hiperbole i smješteno na udaljenostiod njegovog centra direktrisom hiperbole koja odgovara desnom i lijevom žarištu.

T
kao za hiperbolu
prema tome, direktrise hiperbole se nalaze između njenih vrhova (slika 33). Pokažimo da je omjer udaljenosti bilo koje točke hiperbole do fokusa i odgovarajuće direktrise konstantan i jednak ε.

P. 8 Parabola i njena jednadžba

O
definicija. Parabola je lokus tačaka koje su jednako udaljene od date tačke, koja se zove fokus, i od date prave, koja se zove direktrisa.

Da bismo sastavili jednadžbu parabole, uzmimo x-osu kao pravu liniju koja prolazi kroz fokus F 1 okomito na direktrisu i razmotrimo x-os usmjerenu od direktrise do fokusa. Za početak koordinata uzimamo sredinu O segmenta od tačke F do date prave, čiju dužinu označavamo sa p (slika 34). Količina p će se zvati parametrom parabole. Koordinatna tačka fokusa
.

Neka je M(x, y) proizvoljna tačka parabole.

Po definiciji

at 2 = 2px je kanonska jednadžba parabole

Da bismo odredili vrstu parabole, transformiramo njenu jednačinu
ovo implicira . Dakle, vrh parabole je u početku, a osa simetrije parabole je x. Jednačina y 2 = -2px s pozitivnim p reducira se na jednačinu y 2 = 2px zamjenom x sa -x i njen graf izgleda ovako (slika 35).

At
jednadžba x 2 \u003d 2py je jednadžba parabole s vrhom u tački O (0; 0) čije su grane usmjerene prema gore.

X
2 \u003d -2ru - jednadžba parabole sa središtem u ishodištu je simetrična oko y-ose, čije su grane usmjerene prema dolje (slika 36).

Parabola ima jednu os simetrije.

Ako je x na prvi stepen, a y na drugi stepen, tada je os simetrije x.

Ako je x na drugi stepen, a y na prvi stepen, tada je osa simetrije y-osa.

Napomena 1. Jednačina direktrisa parabole ima oblik
.

Napomena 2. Pošto za parabolu , ondaε parabola je 1.ε = 1 .

Zdravo, dragi studenti Univerziteta Argemony! Želim vam dobrodošlicu na još jedno predavanje o magiji funkcija i integrala.

Danas ćemo pričati o hiperboli. Počnimo jednostavno. Najjednostavniji oblik hiperbole je:

Ova funkcija, za razliku od prave linije u svojim standardnim oblicima, ima singularnost. Kao što znamo, nazivnik razlomka ne može biti jednak nuli, jer se ne može podijeliti sa nulom.
x ≠ 0
Iz ovoga zaključujemo da je domen definicije cijela realna prava, osim tačke 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Ako x teži 0 s desne strane (napisano ovako: x->0+), tj. postaje vrlo, vrlo mali, ali i dalje pozitivan, tada y postaje vrlo, vrlo velik pozitivan (y->+∞).
Ako x teži 0 s lijeve strane (x->0-), tj. postane vrlo, vrlo mali u apsolutnoj vrijednosti, ali ostaje negativan, tada će y također biti negativan, ali u apsolutnoj vrijednosti će biti vrlo velik (y->-∞).
Ako x teži plus beskonačnosti (x->+∞), tj. postaje veoma veliki pozitivan broj, tada će y postajati sve manji pozitivni broj, tj. će težiti 0, ostajući pozitivno cijelo vrijeme (y->0+).
Ako x teži minus beskonačnosti (x->-∞), tj. postane veliki modul, ali negativan broj, tada će y također uvijek biti negativan broj, ali mali modul (y->0-).

Y, kao i x, ne može poprimiti vrijednost 0. Samo teži nuli. Dakle, skup vrijednosti je isti kao i domen definicije: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Na osnovu ovih razmatranja, možemo shematski nacrtati graf funkcije

Vidi se da se hiperbola sastoji od dva dela: jedan je u 1. koordinatnom uglu, gde su vrednosti x i y pozitivne, a drugi deo je u trećem koordinatnom uglu, gde su vrednosti x i y su negativni.
Ako se pomaknemo od -∞ do +∞, onda vidimo da se naša funkcija smanjuje od 0 do -∞, zatim dolazi do oštrog skoka (od -∞ do +∞) i počinje druga grana funkcije, koja također opada, ali od +∞ do 0. To jest, ova hiperbola je opadajuća.

Ako samo malo promijenite funkciju: koristite minus magiju,

(1")

Tada funkcija čudesno prelazi iz 1. i 3. četvrtine u 2. i 4. četvrtinu i postaje rastuća.

Podsjetimo da je funkcija povećanje, ako su za dvije vrijednosti x 1 i x 2 takve da je x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
I funkcija će biti opadanje ako je f(x 1) > f(x 2) za iste vrijednosti x.

Grane hiperbole približavaju se osi, ali ih nikada ne prelaze. Takve linije, kojima se graf funkcije približava, ali nikada ne prelazi, nazivaju se asimptota ovu funkciju.
Za našu funkciju (1), asimptote su prave x=0 (OY osa, vertikalna asimptota) i y=0 (OX osa, horizontalna asimptota).

Hajde da sada malo zakomplikujemo najjednostavniju hiperbolu i vidimo šta se dešava sa grafom funkcije.

(2)

Samo smo dodali konstantu "a" u nazivnik. Dodavanje nekog broja nazivniku kao termina na x znači pomicanje cijele "hiperboličke konstrukcije" (zajedno s vertikalnom asimptotom) za (-a) pozicije udesno ako je a negativan broj, i za (-a) pozicije na lijevo ako je a pozitivan broj.

Na lijevom grafikonu, negativna konstanta se dodaje x (a<0, значит, -a>0), zbog čega se grafikon pomera udesno, a na desnom grafikonu pozitivna konstanta (a>0), zbog čega se grafikon pomera ulevo.

A kakva magija može uticati na prenošenje "hiperboličke konstrukcije" gore ili dole? Dodavanje konstantnog člana razlomku.

(3)

Sada će cijela naša funkcija (i grane i horizontalna asimptota) ići gore na b pozicija ako je b pozitivan broj, i ići dolje na b pozicije ako je b negativan broj.

Imajte na umu da se asimptote kreću zajedno sa hiperbolom, tj. hiperbola (obe njene grane) i obe njene asimptote moraju se nužno smatrati neodvojivom konstrukcijom koja se kreće kao jedna levo, desno, gore ili dole. Vrlo je prijatan osjećaj kada možete učiniti da se cijela funkcija kreće u bilo kojem smjeru samo dodavanjem nekog broja. Zašto ne magiju, koju vrlo lako možete savladati i po svom nahođenju usmjeriti u pravom smjeru?
Usput, na ovaj način možete kontrolirati kretanje bilo koje funkcije. U narednim lekcijama ćemo učvrstiti ovu vještinu.

Prije nego što vam dam domaći zadatak, želim da vam skrenem pažnju na ovu funkciju

(4)

Donja grana hiperbole se kreće nagore od 3. koordinatnog ugla ka drugom, do ugla gde je vrednost y pozitivna, tj. ova grana se reflektuje simetrično oko ose OX. I sada dobijamo parnu funkciju.

Šta znači "ravnomjerna funkcija"? Funkcija se poziva čak, ako je uslov ispunjen: f(-x)=f(x)
Funkcija se poziva odd, ako je uslov ispunjen: f(-x)=-f(x)
U našem slučaju

(5)

Svaka parna funkcija je simetrična u odnosu na osu OY, tj. pergament sa crtežom grafikona može se presavijati duž ose OY, a dva dela grafikona će se tačno poklapati.

Kao što vidite, ova funkcija također ima dvije asimptote - horizontalnu i vertikalnu. Za razliku od gore navedenih funkcija, ova funkcija raste na jednom dijelu, a opada na drugom.

Pokušajmo sada voditi ovaj graf dodavanjem konstanti.

(6)

Podsjetimo da dodavanje konstante kao termina na "x" uzrokuje da se cijeli graf (zajedno sa vertikalnom asimptotom) kreće horizontalno, duž horizontalne asimptote (lijevo ili desno, ovisno o predznaku ove konstante).

(7)

A dodavanje konstante b kao pojma razlomku uzrokuje da se graf pomjera gore ili dolje. Sve je vrlo jednostavno!

Sada pokušajte sami eksperimentirati s ovom magijom.

Domaći zadatak 1.

Svako uzima dvije funkcije za svoje eksperimente: (3) i (7).
a = prva cifra vašeg LD-a
b=druga cifra vašeg LD-a
Pokušajte doći do magije ovih funkcija, počevši od najjednostavnije hiperbole, kao što sam učinio u lekciji, i postepeno dodajući svoje konstante. Funkcija (7) se već može modelirati na osnovu konačnog oblika funkcije (3). Navedite domene definicije, skup vrijednosti, asimptote. Kako se ponašaju funkcije: smanjenje, povećanje. Čak i čudno. Općenito, pokušajte provesti isto istraživanje kao što je bilo u lekciji. Možda ćete naći još nešto što sam zaboravio spomenuti.

Inače, obje grane najjednostavnije hiperbole (1) su simetrične u odnosu na simetralu 2 i 4 koordinatnih uglova. Sada zamislite da je hiperbola počela da se okreće oko ove ose. Dobijamo baš tako lijepu figuru, koja se može koristiti.

Zadatak 2. Gdje se ova cifra može koristiti? Pokušajte nacrtati figuru rotacije za funkciju (4) oko njene ose simetrije i razgovarajte gdje se takva figura može koristiti.

Sjećate li se kako smo na kraju posljednje lekcije dobili ravnu liniju sa izbijenom tačkom? I evo posljednjeg zadatak 3.
Napravite graf za ovu funkciju:

(8)

Koeficijenti a, b su isti kao u zadatku 1.
c=3. znamenka vašeg LD-a ili a-b ako je vaš LD dvocifren.
Mali savjet: prvo, razlomak dobiven nakon zamjene brojeva mora biti pojednostavljen, a zatim ćete dobiti uobičajenu hiperbolu, koju trebate izgraditi, ali na kraju morate uzeti u obzir domenu izvornog izraza.