Pravougaoni koordinatni sistem na ravni i u prostoru. 3D koordinate

2D koordinatni sistem

Dot P ima koordinate (5,2).

Moderni kartezijanski koordinatni sistem u dvije dimenzije (također poznat kao pravougaoni koordinatni sistem) date sa dve ose pod pravim uglom jedna prema drugoj. Ravan u kojoj se nalaze ose ponekad se naziva xy ravni. Horizontalna os je označena kao x(os apscisa), okomito kao y(y-osa). U trodimenzionalnom prostoru, treća osa se dodaje na dvije, okomito na xy-ravan- osa z. Sve tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu čine tzv Kartezijanski prostor.

Točka sjecišta gdje se ose sastaju se naziva porijeklo i označava se kao Oh Shodno tome, os x može se označiti kao vol, a y osa je kao Oh. Prave linije povučene paralelno sa svakom osom na udaljenosti od jednog segmenta (jedinice dužine) počevši od početne forme koordinatna mreža.

Tačka u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu data je sa dva broja koja definiraju udaljenost od ose Oy(apscisa ili x-koordinata) i od ose Oh(y-koordinata ili y-koordinata) respektivno. Dakle, koordinate formiraju uređeni par (torku) brojeva (x, y). U trodimenzionalnom prostoru dodaje se još jedna z-koordinata (udaljenost tačke od xy ravni) i formira se uređena trojka koordinata (x, y, z).

Izbor slova x, y, z proizlazi iz opšteg pravila za imenovanje nepoznatih veličina drugom polovinom latinice. Slova njegove prve polovine koriste se za imenovanje poznatih količina.

Strelice na osi odražavaju da se u tom smjeru protežu do beskonačnosti.

Presjek dvije ose stvara četiri kvadranta na koordinatnoj ravni, koji su označeni rimskim brojevima I, II, III i IV. Obično je redoslijed numeriranja kvadranata u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, počevši od gore desno (tj. gdje su apscisa i ordinata pozitivni brojevi). Vrijednost koju apscise i ordinate dobijaju u svakom kvadrantu može se sažeti u sljedećoj tabeli:

Kvadrant	x	y
I	> 0	> 0
II	<0	> 0
III	<0	<0
IV	> 0	<0

Trodimenzionalni i n-dimenzionalni koordinatni sistem

Na ovoj slici tačka P ima koordinate (5,0,2), a tačka Q ima koordinate (-5, -5,10)

Koordinate u 3D prostoru čine trojku (x, y, z).

Koordinate x, y, z za 3D Dekartov sistem mogu se shvatiti kao udaljenosti od tačke do odgovarajućih ravni: yz, xz i xy.

Trodimenzionalni kartezijanski koordinatni sistem je veoma popularan, jer odgovara uobičajenim pojmovima prostornih dimenzija - visine, širine i dužine (odnosno tri dimenzije). No, ovisno o području primjene i karakteristikama matematičkog aparata, značenje ove tri ose može biti potpuno drugačije.

Koriste se i koordinatni sistemi viših dimenzija (na primjer, 4-dimenzionalni sistem za prikaz prostor-vremena u specijalnoj relativnosti).

Kartezijanski koordinatni sistem u apstraktu n-dimenzionalan prostor je generalizacija gore navedenih odredbi i ima n osi (svaka po mjerenju) koje su međusobno okomite. Prema tome, položaj tačke u takvom prostoru će biti određen nizom od n koordinate, ili nth.

Jednadžba prave linije u (planimetrija) u kanonskom

formu, parametarsku i opštu formu.

Ove jednačine se nazivaju kanonske jednadžbe prave u svemiru.

može biti jednak nuli, što znači da je brojnik odgovarajućeg razlomka također jednak nuli.

Ako u (1) uvedemo parametar t

x − x 0 l y − y 0 m z − z 0 n

tada se jednačine prave mogu zapisati u obliku

Uvođenjem koordinatnog sistema na ravni ili u trodimenzionalni prostor, otvara se jedinstvena prilika da se geometrijski oblici i njihova svojstva opisuju pomoću jednačina i nejednačina. Ovo ima drugo ime - metode algebre.

Ovaj članak će vam pomoći da shvatite zadatak pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sistema i određivanje koordinata tačaka. Vizuelnija i detaljnija slika dostupna je u grafičkim ilustracijama.

Za uvođenje koordinatnog sistema na ravan potrebno je nacrtati dvije okomite prave na ravni. Izaberi pozitivnog smjera, označeno strelicom. Mora izabrati skala. Tačka presjeka pravih zvaće se slovo O. Ona se smatra referentna tačka. Ovo se zove pravougaoni koordinatni sistem na površini.

Zovu se linije sa ishodištem O koje imaju pravac i razmeru koordinatna linija ili koordinatna osa.

Pravougaoni koordinatni sistem je označen O x y . Koordinatne ose se nazivaju O x i O y, respektivno apscisa i y-osa.

Slika pravougaonog koordinatnog sistema na ravni.

Osa apscisa i ordinata imaju istu jedinicu promjene i razmjera, što je prikazano crticom na početku koordinatnih osa. Standardni smjer je O x s lijeva na desno, a O y odozdo prema gore. Ponekad se koristi alternativna rotacija pod potrebnim uglom.

Pravougaoni koordinatni sistem naziva se kartezijanskim u čast njegovog otkrića Rene Descartesa. Naziv često možete pronaći kao pravougaoni Kartezijanski koordinatni sistem.

Trodimenzionalni euklidski prostor ima sličan sistem, samo što se ne sastoji od dvije, već od tri ose O x, O y, O z. To su tri međusobno okomite prave, gdje O z ima ime applique axis.

U pravcu koordinatnih ose dele se na desni i levi pravougaoni koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora.

Koordinatne ose se seku u tački O, koja se naziva ishodište. Svaka os ima pozitivan smjer, što je označeno strelicama na osi. Ako se, kada se O x okrene u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90 °, njegov pozitivni smjer poklapa s pozitivnim O y, onda je to primjenjivo za pozitivni smjer O z. Takav sistem se razmatra u pravu. Drugim riječima, ako uporedimo smjer X sa palcem, onda je kažiprst odgovoran za Y, a srednji za Z.

Slično se formira i lijevi koordinatni sistem. Oba sistema se ne mogu kombinovati, jer se odgovarajuće ose neće poklapati.

Za početak, ostavimo tačku M na koordinatnoj osi O x. Bilo koji realni broj x M jednak je jedinoj tački M koja se nalazi na datoj pravoj. Ako se tačka nalazi na koordinatnoj liniji na udaljenosti od 2 od početka u pozitivnom smjeru, tada je jednaka 2, ako je - 3, tada je odgovarajuća udaljenost 3. Nula je ishodište koordinatnih linija.

Drugim riječima, svaka tačka M koja se nalazi na O x jednaka je realnom broju x M . Ovaj realni broj je nula ako je tačka M locirana u ishodištu, odnosno na preseku O x i O y. Broj dužine segmenta je uvijek pozitivan ako se tačka ukloni u pozitivnom smjeru i obrnuto.

Poziva se dostupan broj x M koordinata tačka M na datoj koordinatnoj liniji.

Uzmimo tačku kao projekciju tačke M x na O x, a kao projekciju tačke M y na O y. To znači da se prave prave okomite na ose O x i O y mogu povući kroz tačku M, gde dobijamo odgovarajuće presečne tačke M x i M y .

Tada tačka M x na O x osi ima odgovarajući broj x M , a M y na O y - y M . Na koordinatnim osama to izgleda ovako:

Svaka tačka M na datoj ravni u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu ima jedan odgovarajući par brojeva (x M , y M), koji se naziva svojim koordinate. Abscisa M je x M , ordinata M je y M .

Obrnuti iskaz se također smatra istinitim: svaki uređeni par (x M , y M) ima odgovarajuću tačku datu u ravni.

Definicija tačke M u trodimenzionalnom prostoru. Neka postoje M x , M y , M z , koji su projekcije tačke M na odgovarajuće ose O x, O y, O z. Tada će vrijednosti ovih tačaka na osi O x, O u, O z poprimiti vrijednosti x M , y M , z M . Hajde da ga predstavimo na koordinatnim linijama.

Da biste dobili projekcije tačke M, morate dodati okomite linije O x, O y, O z da biste nastavili i prikazali u obliku ravnina koje prolaze kroz M. Dakle, ravni se sijeku u M x , M y , M z

Svaka tačka trodimenzionalnog prostora ima svoje podatke (x M , y M , z M) koji imaju naziv koordinate tačke M , x M , y M , z M - ovo su brojevi koji se zovu apscisa, ordinata i applique data tačka M . Za ovaj sud važi i obrnuti iskaz: svaka uređena trojka realnih brojeva (x M , y M , z M) u datom pravougaonom koordinatnom sistemu ima jednu odgovarajuću tačku M trodimenzionalnog prostora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ako uvedemo koordinatni sistem na ravni ili u trodimenzionalni prostor, tada ćemo moći da opišemo geometrijske oblike i njihova svojstva pomoću jednačina i nejednačina, odnosno moći ćemo da koristimo metode algebre. Stoga je koncept koordinatnog sistema veoma važan.

U ovom članku ćemo pokazati kako se pravougaoni Dekartov koordinatni sistem postavlja na ravan i u trodimenzionalni prostor i saznaćemo kako se određuju koordinate tačaka. Radi jasnoće predstavljamo grafičke ilustracije.

Navigacija po stranici.

Pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni.

Uvodimo pravougaoni koordinatni sistem na ravni.

Da bismo to učinili, nacrtamo dvije međusobno okomite linije na ravnini, izaberemo na svakoj od njih pozitivnog smjera, označavajući ga strelicom, i odaberite na svakom od njih skala(jedinica dužine). Tačku preseka ovih linija označavamo slovom O i razmotrićemo je referentna tačka. Dakle, dobili smo pravougaoni koordinatni sistem na površini.

Poziva se svaka od linija sa odabranim ishodištem O, smjerom i razmjerom koordinatna linija ili koordinatna osa.

Pravougaoni koordinatni sistem na ravni obično se označava sa Oxy, gde su Ox i Oy njegove koordinatne ose. Osa Ox se zove x-osa, a osa Oy je y-osa.

Sada se dogovorimo oko slike pravougaonog koordinatnog sistema na ravni.

Obično se jedinica dužine na osovinama Ox i Oy bira da bude ista i iscrtava se iz ishodišta koordinata na svakoj koordinatnoj osi u pozitivnom smjeru (označeno crticom na koordinatnim osa, a jedinica je napisana pored to), os apscise je usmjerena udesno, a os y je gore. Sve ostale opcije za smjer koordinatnih osa svode se na zvučnu (os Ox - desno, Oy osa - gore) rotacijom koordinatnog sistema pod nekim uglom u odnosu na ishodište i gledanjem na njega s druge strane avion (ako je potrebno).

Pravougaoni koordinatni sistem se često naziva kartezijanskim, jer ga je prvi put u ravan uveo Rene Descartes. Još češće, pravougaoni koordinatni sistem se naziva pravougaonim Dekartovim koordinatnim sistemom, stavljajući sve zajedno.

Pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru.

Slično, pravougaoni koordinatni sistem Oxyz postavljen je u trodimenzionalni euklidski prostor, ali se ne uzimaju dvije, već tri međusobno okomite prave. Drugim riječima, koordinatna osa Oz dodaje se koordinatnim osama Ox i Oy, što se naziva aplicirana osovina.

U zavisnosti od smjera koordinatnih osa, u trodimenzionalnom prostoru razlikuju se desni i lijevi pravougaoni koordinatni sistemi.

Ako gledate iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraći zaokret iz pozitivnog smjera ose Ox u pozitivnom smjeru ose Oy odvija se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva u pravu.

Ako se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraća rotacija iz pozitivnog smjera ose Ox prema pozitivnom smjeru ose Oy odvija se u smjeru kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva lijevo.

Koordinate tačke u kartezijanskom koordinatnom sistemu na ravni.

Prvo, razmotrite koordinatnu pravu Ox i uzmite neku tačku M na njoj.

Svaki realan broj odgovara jedinstvenoj tački M na ovoj koordinatnoj liniji. Na primjer, točka koja se nalazi na koordinatnoj liniji na udaljenosti od početka u pozitivnom smjeru odgovara broju , a broj -3 odgovara tački koja se nalazi na udaljenosti od 3 od ishodišta u negativnom smjeru. Broj 0 odgovara ishodištu.

S druge strane, svaka tačka M na koordinatnoj liniji Ox odgovara realnom broju . Ovaj realni broj je nula ako se tačka M poklapa sa ishodištem (tačka O). Ovaj realni broj je pozitivan i jednak je dužini segmenta OM u datoj skali, ako se tačka M udalji od početka u pozitivnom pravcu. Ovaj realni broj je negativan i jednak je dužini segmenta OM sa predznakom minus ako se tačka M udalji od početka u negativnom smjeru.

Broj je pozvan koordinata tačke M na koordinatnoj liniji.

Sada razmotrite ravan sa uvedenim pravougaonim Kartezijanskim koordinatnim sistemom. Označavamo proizvoljnu tačku M na ovoj ravni.

Neka je projekcija tačke M na pravu Ox, a neka je projekcija tačke M na koordinatnu liniju Oy (ako je potrebno, pogledajte članak). Odnosno, ako kroz tačku M povučemo linije koje su okomite na koordinatne ose Ox i Oy, tada su tačke preseka ovih linija sa linijama Ox i Oy, respektivno, tačke i .

Neka tačka na koordinatnoj osi Ox odgovara broju, a tačka na osi Oy broju.

Svaka tačka M ravni u datom pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu odgovara jednom uređenom paru realnih brojeva, tzv. koordinate tačke M na površini. Koordinata se zove tačka apscise M, a - ordinatna tačka M.

Tačan je i suprotan iskaz: svaki uređeni par realnih brojeva odgovara tački M ravni u datom koordinatnom sistemu.

Koordinate tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru.

Pokažimo kako se koordinate tačke M određuju u pravougaonom koordinatnom sistemu datom u trodimenzionalnom prostoru.

Neka i budu projekcije tačke M na koordinatne ose Ox , Oy i Oz respektivno. Neka ove točke na koordinatnim osama Ox , Oy i Oz odgovaraju realnim brojevima i .

U prethodnim poglavljima razmatrane su tehnike konstruisanja crteža u ravni XY. Položaj bilo koje tačke u ovom koordinatnom sistemu karakteriziraju dvije vrijednosti - apscisa i ordinata. Za izvođenje konstrukcija u trodimenzionalnom prostoru ovim koordinatama se dodaje treća vrijednost, koja određuje volumen određenog proizvoda. Govorimo o Z koordinati, koja daje volumen ravnim objektima. Mogućnost pravilnog postavljanja koordinata trodimenzionalnih objekata doprinosi ispravnom modeliranju prostornih detalja. Za ove svrhe AutoCAD ima tri tipa referentnih sistema: trodimenzionalne kartezijanske, cilindrične i sferne koordinate.

CARTSTIAN COORDINATE

Za označavanje položaja tačke u trodimenzionalnom prostoru pomoću kartezijanskih koordinata potrebno je vrijednostima njenih koordinata na XY ravni dodati treću vrijednost, koordinatu Z. Na primjer, na sl. 10.4 prikazana je tačka čije su koordinate u ravni XY 13,19, a duž ose Z - 11 jedinica.

Prilikom unosa koordinata u ovaj sistem, prvo se navodi X koordinata, zatim Y odvojena zarezom, a tek onda Z. Na primjer: 13,19,11. Ako je brojčana vrijednost koordinate razlomka, tada je potrebno razdvojiti cijeli broj i razlomak tačkom. Također, razmaci između brojeva i zareza nisu dozvoljeni.

Bilješka. Ako je vrednost Z izostavljena prilikom unosa 3D koordinata, AutoCAD će je automatski postaviti na podrazumevanu vrednost zabeleženu u sistemskoj varijabli ELEVATION koja se zove elevacija.

Prilikom kreiranja trodimenzionalnih objekata koriste se koncepti elevacije (nivo XY ravni) i visine. Visina je određena Z-koordinatom XY ravni na kojoj je objekat izgrađen. Jasno je da ako je elevacija nula (podrazumevana vrednost), onda se nivo objekta (njegova ravan) poklapa sa ravninom XY. Sa pozitivnom elevacijom, objekat je iznad ravni XY, a sa negativnom elevacijom je ispod. Što se tiče visine trodimenzionalnih objekata, ona određuje udaljenost za koju se objekat pomiče u odnosu na elevaciju.

Obično se uređivanju parametara elevacije i visine pribjegava kada je potrebno konstruirati nekoliko tačaka za koje Z koordinata ima istu vrijednost. Pojednostavljenje konstrukcija je zbog činjenice da će u ovom slučaju biti dovoljno da se za svaku takvu tačku unesu samo dvije vrijednosti koje određuju njen položaj u ravnini XY.

Kao što je već napomenuto, trenutna vrijednost elevacije se pohranjuje pod imenom sistemske varijable ELEVATION, a visina se pohranjuje pod varijablu THICKNEES. Da biste promijenili vrijednost oba parametra koja su dodijeljena novokreiranim objektima, potrebno je izvršiti naredbu Elev i odgovoriti na sljedeća pitanja:

Komanda: Elev
Odredite novu zadanu elevaciju<0.0000>: <Ввод нового значения возвышения>
Odredite novu zadanu debljinu<0.0000>: <Ввод нового значения высоты>

Također treba napomenuti da se vrijednost visine objekta može mijenjati iz palete Svojstva (Properties).

CILINDRIČNE KOORDINATE

Položaj tačke u cilindričnim koordinatama također je određen sa tri veličine, ali jedna od njih je ugaona.

Kao što znate, kružni cilindar se formira rotacijom generatrike 2-3 (slika 10.5a) oko kruga, opisujući ugao od 360 °. Upravo je ovaj princip stavljen u koncept cilindričnih koordinata. Prilikom određivanja položaja tačke, prvo morate odrediti polumjer cilindra (0-1), zatim kut rotacije generatrike (1-2) i, na kraju, visinu cilindra (2-3) . Na primjer, tačka prikazana na sl. 10.36, izgrađen je u odnosu na trenutni UCS nakon unosa 23 na komandnoj liniji<55,12. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей, запятая перед этим значком не ставится, а после величины угла – должна вводиться обязательно. Таким образом, в цилиндрической системе координат положение точки определяется в следующем порядке: радиус – угол – образующая.

Treba obratiti pažnju na pravilo znakova. Što se tiče linearnih koordinata, ovdje je sve jednostavno - smjer osi određuje pozitivne vrijednosti reference. U ovom slučaju, pozitivan smjer Z-ose može se kontrolirati pravilom desne ruke. Ovo pravilo je kako slijedi. Ako je palac desne ruke poravnat sa X osom, a kažiprst sa Y osom, tada će preostali prsti u savijenom položaju pokazivati ​​pozitivan smjer Z ose (Sl. 10.56).

Da biste odredili pozitivan smjer rotacije oko bilo koje ose, morate slijediti sljedeće pravilo. Ako postavite posmatrača sa strane pozitivnog smjera ose, tada će se pozitivni smjer očitavanja uglova poklopiti s kretanjem u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 10.4). Dakle, da biste unijeli smjer ugla u smjeru kazaljke na satu, vrijednost ugla se mora unijeti sa predznakom minus.

SFERIČNE KOORDINATE

Položaj točke u sfernim koordinatama također je određen sa tri veličine, od kojih je jedna linearna, a druge dvije ugaone.

Kao što znate, sferna površina je lokus tačaka u prostoru jednako udaljenih od jedne tačke - centra lopte. Stoga, da bi se odredio položaj tačke koja se nalazi na površini kugle (slika 10.7a), dovoljno je naznačiti poluprečnik kruga čija rotacija formira kuglu (0-1), zatim ugao nastao rotacijom kruga oko Z ose (1-2), i konačno, ugao nastao rotacijom kruga oko X-ose (2-3). Na primjer, tačka prikazana na sl. 10.76, izgrađen je u odnosu na trenutni UCS nakon unosa 25 na komandnoj liniji<55<27. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей. Таким образом, в сферической системе координат положение точки определяется в следующем порядке:

POINT FILTERI

Koordinatni filteri tačaka su još jedan način za unos koordinata u 3D prostor, s posebnom karakteristikom koja ovisi o koordinatama prethodno unesenih objekata. Drugim riječima, da biste dodijelili koordinate na ovaj način, morate se zakačiti na čvorove postojećih objekata kako biste automatski izdvojili koordinate koje ste naručili iz njih.

Bilješka. Određivanje koordinata u 3D prostoru filtriranjem tačaka može biti efikasno samo kada se koriste načini snimanja objekata.

Uređeni sistem od dve ili tri ose koje se seku okomite jedna na drugu sa zajedničkim ishodištem (poreklom) i zajedničkom jedinicom dužine naziva se pravougaoni Dekartov koordinatni sistem .

Opšti kartezijanski koordinatni sistem (afini koordinatni sistem) također može uključivati ​​ne nužno okomite ose. U čast francuskog matematičara Renea Descartesa (1596-1662) nazvan je takav koordinatni sistem u kojem se za sve ose računa zajednička jedinica dužine, a ose su ravne.

Pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni ima dvije ose pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru - tri osovine. Svaka tačka na ravni ili u prostoru određena je uređenim skupom koordinata - brojeva u skladu sa jediničnom dužinom koordinatnog sistema.

Imajte na umu da, kao što slijedi iz definicije, postoji kartezijanski koordinatni sistem na pravoj liniji, odnosno u jednoj dimenziji. Uvođenje Dekartovih koordinata na pravu je jedan od načina na koji se bilo kojoj tački na pravoj liniji pripisuje dobro definiran realni broj, odnosno koordinata.

Metoda koordinata, koja je nastala u djelima Renéa Descartesa, označila je revolucionarno restrukturiranje cjelokupne matematike. Postalo je moguće tumačiti algebarske jednadžbe (ili nejednačine) u obliku geometrijskih slika (grafova) i, obrnuto, tražiti rješenje geometrijskih problema koristeći analitičke formule, sisteme jednadžbi. Da, nejednakost z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy i nalazi se iznad ove ravni za 3 jedinice.

Uz pomoć kartezijanskog koordinatnog sistema, pripadnost tačke datoj krivoj odgovara činjenici da su brojevi x i y zadovoljiti neku jednačinu. Dakle, koordinate tačke kružnice sa centrom u datoj tački ( a; b) zadovoljavaju jednačinu (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni

Dvije okomite ose na ravni sa zajedničkim ishodištem i istom mjernom jedinicom Dekartov koordinatni sistem na ravni . Jedna od ovih osa se naziva osa Ox, ili x-osa , drugi - osovina Oy, ili y-osa . Ove ose se još nazivaju i koordinatne ose. Označiti sa Mx i My odnosno projekcija proizvoljne tačke M na osovini Ox i Oy. Kako doći do projekcija? Prođite kroz tačku M Ox. Ova linija siječe osu Ox u tački Mx. Prođite kroz tačku M prava linija okomita na osu Oy. Ova linija siječe osu Oy u tački My. Ovo je prikazano na donjoj slici.

x i y bodova M zvaćemo respektivno veličine usmerenih segmenata OMx i OMy. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata se računaju kao x = x0 - 0 i y = y0 - 0 . Kartezijanske koordinate x i y bodova M apscisa i ordinate . Činjenica da je tačka M ima koordinate x i y, označava se kako slijedi: M(x, y) .

Koordinatne ose dijele ravan na četiri kvadrant , čija je numeracija prikazana na donjoj slici. Također označava raspored znakova za koordinate tačaka, ovisno o njihovoj lokaciji u jednom ili drugom kvadrantu.

Pored kartezijanskih pravougaonih koordinata u ravni, često se razmatra i polarni koordinatni sistem. O načinu prelaska iz jednog koordinatnog sistema u drugi - u lekciji polarni koordinatni sistem .

Pravougaoni kartezijanski koordinatni sistem u prostoru

Kartezijanske koordinate u prostoru uvode se u potpunoj analogiji sa kartezijanskim koordinatama na ravni.

Tri međusobno okomite ose u prostoru (koordinatne ose) sa zajedničkim ishodištem O i isti oblik jedinice skale Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem u prostoru .

Jedna od ovih osa se naziva osa Ox, ili x-osa , drugi - osovina Oy, ili y-osa , treća - os Oz, ili aplicirana osovina . Neka Mx, My Mz- projekcije proizvoljne tačke M razmaci na osi Ox , Oy i Oz respektivno.

Prođite kroz tačku M OxOx u tački Mx. Prođite kroz tačku M ravan okomitu na osu Oy. Ova ravan seče osu Oy u tački My. Prođite kroz tačku M ravan okomitu na osu Oz. Ova ravan seče osu Oz u tački Mz.

Kartezijanske pravokutne koordinate x , y i z bodova M zvaćemo respektivno veličine usmerenih segmenata OMx, OMy i OMz. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata se računaju kao x = x0 - 0 , y = y0 - 0 i z = z0 - 0 .

Kartezijanske koordinate x , y i z bodova M su imenovani u skladu s tim apscisa , ordinate i applique .

Uzete u parovima, koordinatne ose se nalaze u koordinatnim ravnima xOy , yOz i zOx .

Problemi oko tačaka u Dekartovom koordinatnom sistemu

Primjer 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Pronađite koordinate projekcija ovih tačaka na x-osu.

Rješenje. Kao što slijedi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na x-osu nalazi se na samoj x-osi, tj. Ox, i stoga ima apscisu jednaku apscisi same tačke i ordinatu (koordinatu na osi Oy, koju x-osa seče u tački 0), jednako nuli. Tako dobijamo sljedeće koordinate ovih tačaka na x-osi:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Primjer 2 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Pronađite koordinate projekcija ovih tačaka na y-osu.

Rješenje. Kao što slijedi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na y-os nalazi se na samoj y-osi, tj. Oy, pa stoga ima ordinatu jednaku ordinati same tačke i apscisu (koordinatu na osi Ox, koju y-osa seče u tački 0), jednako nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate ovih tačaka na y-osi:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Primjer 3 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox, imaće istu apscisu kao i data tačka, a ordinatu jednaku po apsolutnoj vrednosti ordinati date tačke, a suprotna joj predznaka. Tako dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Ox :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Sami riješite probleme na Dekartovom koordinatnom sistemu, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 4 Odredite u kojim kvadrantima (četvrtine, figura sa kvadrantima - na kraju pasusa "Pravougaoni Kartezijanski koordinatni sistem na ravni") se tačka može locirati M(x; y) , ako

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Primjer 5 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Pronađite koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Oy .

Nastavljamo da zajedno rješavamo probleme

Primjer 6 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Pronađite koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Oy .

Rješenje. Rotirajte za 180 stepeni oko ose Oy usmjeren segment od ose Oy do ove tačke. Na slici, na kojoj su označeni kvadranti ravni, vidimo da je tačka simetrična datoj u odnosu na osu Oy, imaće istu ordinatu kao i data tačka, a apscisu jednaku apsolutnoj vrednosti apscisi date tačke, a suprotnu joj predznaku. Tako dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Primjer 7 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Pronađite koordinate tačaka koje su simetrične ovim tačkama u odnosu na ishodište.

Rješenje. Rotiramo za 180 stepeni oko početka usmerenog segmenta koji ide od početka do date tačke. Na slici, na kojoj su označeni kvadranti ravnine, vidimo da će tačka simetrična datoj u odnosu na početak koordinata imati apscisu i ordinatu jednaku apsolutnoj vrijednosti apscisi i ordinati date tačke , ali suprotnog znaka od njih. Tako dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične ovim tačkama u odnosu na ishodište:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Primjer 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Pronađite koordinate projekcija ovih tačaka:

1) u avionu Oxy ;

2) do aviona Oxz ;

3) do aviona Oyz ;

4) na osi apscise;

5) na y-osi;

6) na osi aplikacije.

1) Projekcija tačke na ravan Oxy nalazi se na samoj ovoj ravni, pa stoga ima apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati date tačke, a aplikat jednak nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate projekcija ovih tačaka na Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projekcija tačke na ravan Oxz koji se nalazi na samoj ovoj ravni, pa stoga ima apscisu i aplikaciju jednaku apscisi i aplikati date tačke, a ordinatu jednaku nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate projekcija ovih tačaka na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Projekcija tačke na ravan Oyz nalazi na samoj ovoj ravni, pa stoga ima ordinatu i aplikat jednaku ordinati i aplikati date tačke, a apscisu jednaku nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate projekcija ovih tačaka na Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Kao što slijedi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija tačke na x-osu nalazi se na samoj x-osi, odnosno osi Ox, i stoga ima apscisu jednaku apscisi same tačke, a ordinata i aplikacija projekcije jednake su nuli (pošto ordinatna i apliktivna osa sijeku apscisu u tački 0). Dobijamo sljedeće koordinate projekcija ovih tačaka na x-osu:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Projekcija tačke na y-osu nalazi se na samoj y-osi, tj. Oy, pa stoga ima ordinatu jednaku ordinati same tačke, a apscisa i aplikata projekcije jednake su nuli (pošto apscisa i aplikirana osa sijeku os ordinate u tački 0). Dobijamo sljedeće koordinate projekcija ovih tačaka na y-osu:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Projekcija tačke na aplikativnoj osi nalazi se na samoj aplikativnoj osi, odnosno osi Oz, i stoga ima aplikaciju jednaku aplikaciji same tačke, a apscisa i ordinata projekcije jednake su nuli (pošto apscisa i ordinatna osa sijeku aplikantnu osu u tački 0). Dobijamo sljedeće koordinate projekcija ovih tačaka na aplikativnoj osi:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Primjer 9 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu u prostoru

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Pronađite koordinate tačaka koje su simetrične ovim tačkama u odnosu na:

1) avion Oxy ;

2) avion Oxz ;

3) avion Oyz ;

4) apscisa osa;

5) y-osa;

6) osovina aplikacije;

7) ishodište koordinata.

1) "Pomaknite" tačku na drugoj strani ose Oxy Oxy, imat će apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati date tačke, i aplikaciju jednaku po veličini aplikati date tačke, ali joj suprotan znak. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih podacima u odnosu na ravan Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Pomaknite" tačku na drugoj strani ose Oxz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor, vidimo da je tačka simetrična datoj u odnosu na osu Oxz, imaće apscisu i aplikaciju jednaku apscisi i aplikati date tačke, i ordinatu jednaku po veličini ordinati date tačke, ali suprotnu po predznaku. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih podacima u odnosu na ravan Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Pomaknite" tačku na drugoj strani ose Oyz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor, vidimo da je tačka simetrična datoj u odnosu na osu Oyz, imaće ordinatu i aplikat jednaku ordinati i aplikatu date tačke, i apscisu jednaku po veličini apscisi date tačke, ali suprotnu joj predznaku. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih podacima u odnosu na ravan Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Po analogiji sa simetričnim tačkama na ravni i tačkama u prostoru simetričnim podacima u odnosu na ravni, napominjemo da u slučaju simetrije oko neke ose kartezijanskog koordinatnog sistema u prostoru, koordinata na osi oko koje je postavljena simetrija će zadržati svoj predznak, a koordinate na druge dvije ose po apsolutnoj vrijednosti će biti iste kao koordinate date tačke, ali suprotne po predznaku.

4) Apscisa će zadržati svoj predznak, dok će ordinata i aplikacija promijeniti predznak. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične sa podacima o x-osi:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata će zadržati svoj predznak, dok će apscisa i aplikacija promijeniti predznake. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične sa podacima o y-osi:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikacija zadržava svoj predznak, a apscisa i ordinata mijenjaju predznake. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične sa podacima o aplikativnoj osi:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Po analogiji sa simetrijom u slučaju tačaka na ravni, u slučaju simetrije oko ishodišta, sve koordinate tačke simetrične datoj bit će po apsolutnoj vrijednosti jednake koordinatama date tačke, ali suprotne u znak njima. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka koje su simetrične podacima u odnosu na ishodište.