Dokaz udaljenosti između paralelnih pravih. Problemi sa linijom u prostoru

S ovim online kalkulator možete pronaći rastojanje između pravih linija u prostoru. Dato detaljno rješenje sa objašnjenjima. Da biste izračunali razmak između linija u prostoru, postavite vrstu jednadžbe linija ("kanonska" ili "parametrijska"), unesite koeficijente jednadžbi linija u ćelije i kliknite na dugme "Riješi".

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Udaljenost između linija u prostoru - teorija, primjeri i rješenja

Neka je zadan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxyz L 1 i L 2:

.

(1)

,

(2)

Gdje M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − tačke koje leže na pravim linijama L 1 i L 2, a q 1 ={m 1 , str 1 , l 1) i q 2 ={m 2 , str 2 , l 2 ) – vektori pravca pravih linija L 1 i L 2, respektivno.

Prave (1) i (2) u prostoru mogu se poklapati, biti paralelne, seći ili seku. Ako se linije u prostoru sijeku ili poklapaju, tada je udaljenost između njih nula. Razmotrićemo dva slučaja. Prvi je da su prave paralelne, a drugi da se prave seku. Ostalo su uobičajeni slučajevi. Ako pri izračunavanju udaljenosti između paralelnih linija dobijemo udaljenost jednaku nuli, onda to znači da se ove linije poklapaju. Ako je razmak između linija koje se sijeku nula, tada se te prave sijeku.

1. Udaljenost između paralelnih pravih u prostoru

Pogledajmo dvije metode za izračunavanje udaljenosti između linija.

Metoda 1. Iz tačke M 1 ravno L 1 nacrtati avion α , okomito na pravu L 2. Pronalaženje tačke M 3 (x 3 , y 3 , y 3) ravni preseci α i ravno L 3. U suštini nalazimo projekciju tačke M 1 ravno L 2. Kako pronaći projekciju tačke na pravu, pogledajte. Zatim izračunavamo udaljenost između tačaka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Primjer 1. Pronađite razmak između linija L 1 i L 2:

Pravo L 2 prolazi kroz tačku M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Zamjenjivanje vrijednosti m 2 , str 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 u (5) dobijamo:

Nađimo tačku preseka prave L 2 i avion α , za ovo ćemo izgraditi parametarska jednačina ravno L 2 .

Za pronalaženje točke presjeka prave L 2 i avion α , zamijenite vrijednosti varijabli x, y, z od (7) do (6):

Zamjena rezultirajuće vrijednosti t u (7), dobijamo tačku preseka prave linije L 2 i avion α :

Ostaje pronaći udaljenost između tačaka M 1 i M 3:

L 1 i L 2 jednako d=7.2506.

Metoda 2. Pronađite rastojanje između linija L 1 i L 2 (jednačine (1) i (2)). Prvo provjeravamo paralelnost pravih L 1 i L 2. Ako su vektori smjera pravih linija L 1 i L 2 su kolinearne, tj. ako postoji broj λ takav da je jednakost q 1 =λ q 2, zatim pravo L 1 i L 2 su paralelne.

Ova metoda izračunavanja udaljenosti između paralelni vektori zasniva se na konceptu vektorskog proizvoda vektora. Poznato je da je norma vektorskog proizvoda vektora i q 1 daje površinu paralelograma formiranog od ovih vektora (slika 2). Kada saznate površinu paralelograma, možete pronaći vrh paralelograma d, dijeleći površinu osnovom q 1 paralelogram.

q 1:

.

Udaljenost između linija L 1 i L 2 jednako:

,

,

Primjer 2. Riješimo primjer 1 koristeći metodu 2. Nađi rastojanje između linija

Pravo L 2 prolazi kroz tačku M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) i ima vektor smjera

q 2 ={m 2 , str 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Vektori q 1 i q 2 su kolinearna. Stoga pravo L 1 i L 2 su paralelne. Za izračunavanje udaljenosti između paralelnih linija koristimo vektorski proizvod vektora.

Konstruirajmo vektor =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Izračunajmo vektorski proizvod vektora i q 1 . Da bismo to učinili, kreiramo matricu 3×3, čiji su prvi red bazni vektori i, j, k, a preostale linije su ispunjene elementima vektora i q 1:

Dakle, rezultat vektorskog proizvoda vektora i q 1 će biti vektor:

Odgovor: Udaljenost između linija L 1 i L 2 jednako d=7.25061.

2. Udaljenost između linija koje se ukrštaju u prostoru

Neka je zadan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxyz i neka su prave date u ovom koordinatnom sistemu L 1 i L 2 (jednačine (1) i (2)).

Pustite pravo L 1 i L 2 nisu paralelne (o paralelnim pravima smo govorili u prethodnom paragrafu). Za pronalaženje udaljenosti između linija L 1 i L 2 morate izgraditi paralelne ravni α 1 i α 2 tako da bude pravo L 1 je ležao u avionu α 1 a ravno L 2 - u avionu α 2. Zatim razmak između linija L 1 i L 2 je jednako udaljenosti između ravnina L 1 i L 2 (sl. 3).

Gdje n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − vektor normale ravni α 1 . Za avion α 1 prošao kroz pravu liniju L 1, normalni vektor n 1 mora biti ortogonalno na vektor smjera q 1 ravno L 1, tj. skalarni proizvod ovih vektora mora biti jednaka nuli:

Rješavanje sistema linearnih jednačina (27)−(29), sa tri jednačine i četiri nepoznate A 1 , B 1 , C 1 , D 1, i zamjena u jednačinu

Avioni α 1 i α 2 su paralelni, dakle, rezultirajući normalni vektori n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) i n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) ove ravni su kolinearne. Ako ovi vektori nisu jednaki, onda možemo pomnožiti (31) sa određenim brojem tako da rezultirajući normalni vektor n 2 koincidira sa normalnim vektorom jednačine (30).

Zatim udaljenost između paralelne ravni izračunato po formuli:

(33)

Rješenje. L 1 prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) i ima vektor smjera q 1 ={m 1 , str 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Pravo L 2 prolazi kroz tačku M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) i ima vektor smjera q 2 ={m 2 , str 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Hajde da napravimo avion α 1 prolazi kroz liniju L 1, paralelno sa pravom linijom L 2 .

Od aviona α 1 prolazi kroz liniju L 1, tada također prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) i normalni vektor n 1 ={m 1 , str 1 , l 1) avion α 1 okomito na vektor smjera q 1 ravno L 1 . Tada jednačina ravni mora zadovoljiti uslov:

Od aviona α 1 mora biti paralelan sa pravom L 2, tada mora biti ispunjen sljedeći uslov:

Hajde da predstavimo ove jednačine u matričnom obliku:

(40)

Rešimo sistem linearnih jednačina (40) u odnosu na A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Ova video lekcija će biti korisna za one koji žele samostalno proučavati temu „Udaljenost od tačke do prave. Udaljenost između paralelnih linija." Tokom lekcije naučićete kako izračunati udaljenost od tačke do prave. Zatim će nastavnik dati definiciju udaljenosti između paralelnih pravih.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa konceptom "razdaljina" općenito. Takođe preciziramo ovaj koncept u slučaju obračuna udaljenosti između dvije tačke, tačke i prave, paralelne prave

Pogledajmo sliku 1. Na njoj su prikazane 2 tačke A i B. Udaljenost između dvije tačke A i B je odsječak sa krajevima na date bodove, odnosno segment AB

Rice. 1. AB - rastojanje između tačaka

Važno je napomenuti da se udaljenost ne može smatrati krivom ili slomljena linija spajanje dve tačke. Razdaljina- ovo je najkraći put od jedne do druge tačke. To je segment AB koji je najmanji od svih mogućih pravih koji spajaju tačke A i B

Razmotrite sliku 2, koja prikazuje pravu liniju A, i tačku A koja ne pripada ovoj pravoj. Udaljenost od tačke A na pravu linijuće biti dužina okomite AN.

Rice. 2. AN - udaljenost između tačke i prave

Važno je napomenuti da AN jeste najkraća udaljenost, budući da je u trouglu AMN ovaj segment krak, a proizvoljan drugi segment koji povezuje tačku A i pravu A(V u ovom slučaju- ovo je AM) će biti hipotenuza. Kao što znate, katet je uvijek manji od hipotenuze

Oznaka udaljenosti:

Hajde da razmotrimo paralelne linije a i b prikazani na slici 3

Rice. 3. Paralelne prave a i b

Popravimo dvije tačke na pravoj liniji a i ispusti okomice s njih na pravu paralelnu s njom b. Hajde da dokažemo da ako,

Nacrtajmo segment AM radi praktičnosti dokaza. Razmotrimo rezultirajuće trouglove AVM i ANM. Od , i , onda . Isto tako, . Ovi pravokutni trouglovi () imaju zajedničku stranicu AM. To je hipotenuza u oba trougla. Uglovi AMN i AMB su unutrašnji ukršteni uglovi sa paralelnim pravim AB i NM i sekantom AM. Prema poznatoj imovini, .

Iz svega navedenog proizilazi da . Iz jednakosti trouglova slijedi da je AN = BM

Dakle, dokazali smo da su na slici 3 segmenti AN i BM jednaki. To znači da rastojanje između paralelnih linija je dužina njihove zajedničke okomice, a izbor okomice može biti proizvoljan. dakle,

Vrijedi i obrnuto: skup tačaka koje su na istoj udaljenosti od određene prave formira pravu paralelnu datoj.

Učvrstimo svoje znanje i riješimo nekoliko problema

Primjer 1: Zadatak 272 iz udžbenika “Geometrija 7-9”. Autor - Atanasyan L.S.

U jednakostraničnom trouglu ABC povučena je simetrala AD. Udaljenost od tačke D do prave AC je 6 cm. Nađite udaljenost od tačke A do prave BC

Rice. 4. Crtež na primjer 1

Rješenje:

Jednakostranični trougao je trougao sa tri jednake strane(i stoga sa tri jednakih uglova, odnosno po 60 0). Jednakostranični trougao je poseban slučaj jednakokračnog trougla, stoga se sva svojstva svojstvena jednakokračnom trokutu primjenjuju i na jednakostranični trokut. Dakle, AD nije samo simetrala, već i visina, dakle AD ⊥BC

Pošto je rastojanje od tačke D do prave AC dužina okomice povučene od tačke D do prave AC, onda je DH ovo rastojanje. Razmotrimo trougao I. U njemu je ugao H = 90 0, pošto je DH okomit na AC (po definiciji udaljenosti od tačke do prave). Osim toga, u ovom trokutu krak DH leži nasuprot kuta, pa AD = (cm) (Po svojstvu)

Udaljenost od tačke A do prave BC je dužina okomice spuštene na pravu BC. Prema dokazanom AD ⊥BC, to znači .

Odgovor: 12 cm.

Primjer 2: Zadatak 277 iz udžbenika “Geometrija 7-9”. Autor - Atanasyan L.S.

Razmak između paralelnih pravih a i b je 3 cm, a razmak između paralelnih pravih a i c je 5 cm

Rješenje:

Rice. 5. Crtež na primjer 2 (prvi slučaj)

Budući da je , tada = 5 - 3 = 2 (cm).

Međutim, ovaj odgovor je nepotpun. Postoji još jedna opcija za lociranje pravih linija na ravni:

Rice. 6. Crtež na primjer 2 (drugi slučaj)

U ovom slučaju .

1. Pojedinačna kolekcija digitalni obrazovnih resursa ().
2. Nastavnik matematike ().

1. Br. 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. uredio Tikhonov A. N. Geometrija 7-9. M.: Prosvetljenje. 2010
2. Zbir hipotenuze SE i kraka SC pravougaonog trougla SKE je jednaka 31 cm, a njihova razlika je 3 cm
3. Na osnovu AB jednakokraki trougao ABC se uzima u tački M, jednako udaljenoj od strana. Dokazati da je CM visina trougla ABC
4. Dokažite da sve tačke ravni koje se nalaze na jednoj strani date prave i jednako udaljene od nje leže na pravoj paralelnoj datoj

Razdaljina

od tačke do linije

Udaljenost između paralelnih linija

Geometrija, 7. razred

Udžbeniku L.S. Atanasyana

nastavnik matematike najviše kategorije

Opštinska obrazovna ustanova "Osnovna srednja škola Upshinskaya"

Oršanski okrug Republike Mari El

Okomita dužina povučen od tačke do prave, pozvao razdaljina od ove tačke do ravno.

AN ⏊ A

M є a, M se razlikuje od N

Perpendicular , nacrtano od tačke do prave, manje bilo koji skloni , povučen od iste tačke do ove prave.

AM – sklon, povučen od tačke A do prave a

AN AM

AN - skloni

AN AN

AN AK

AK - skloni

Udaljenost od tačke do linije

M

Udaljenost od tačke M do prave c je...

N

Udaljenost od tačke N do prave c je...

With

Udaljenost od tačke K do prave c je...

K

Udaljenost od tačke F do prave c je...

F

Udaljenost od tačke do linije

AN ⏊ A

AN= 5,2 cm

VC ⏊ A

VC= 2,8 cm

Teorema.

Sve tačke svake od dve paralelne prave su jednako udaljene od druge prave

Dato: a ǁ b

A ê a, B ê a,

Dokažite: udaljenosti od tačaka A i B do prave a su jednake.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

Dokazati: AH = BK

Δ ANK = ΔVKA(Zašto?)

Iz jednakosti trouglova slijedi AN = BK

Udaljenost od proizvoljna tačka jedna od paralelnih pravih na drugu liniju naziva se rastojanje između ovih pravih.

Obratna teorema.

Sve tačke ravni koje se nalaze na jednoj strani date prave i jednako udaljene od nje leže na pravoj paralelnoj datoj.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

AH = BK

Dokazati: AB ǁ b

Δ ANK = ΔKVA(Zašto?)

Iz jednakosti trouglova slijedi … , ali to su formirani unutrašnji poprečni uglovi … , znači AB ǁ NK

Kolika je udaljenost između pravih b i c, ako je udaljenost između pravih A i b je jednako 4, a između linija A i c je jednako 5?

A ǁ b ǁ c

Kolika je udaljenost između pravih b i a, ako je udaljenost između pravih b i c 7, a između pravih A i c je jednako 2?

Kolika je udaljenost između linija A i c, ako je rastojanje između linija b i c 10, i između linija b I a jednako 6?

Koliki je skup svih tačaka u ravni koje su jednako udaljene od dvije date paralelne prave?

A ǁ b

Odgovor: Prava koja je paralelna sa ovim pravima i nalazi se na njoj jednake udaljenosti od njih.

Koliki je skup svih tačaka ravni na kojoj se nalazi datoj udaljenosti sa ove linije?

Odgovor: Dvije prave paralelne sa datom pravom i smještene na datoj udaljenosti duž različite strane od nje.

Ovaj članak se fokusira na pronalaženje udaljenosti između linija koje se ukrštaju koristeći koordinatnu metodu. Prvo je data definicija udaljenosti između linija koje se seku. Zatim se dobija algoritam koji omogućava pronalaženje udaljenosti između linija koje se ukrštaju. U zaključku, detaljno je analizirano rješenje primjera.

Navigacija po stranici.

Udaljenost između linija koje se ukrštaju - definicija.

Prije nego što damo definiciju udaljenosti između kosih linija, podsjetimo se definicije kosih linija i dokažemo teoremu vezanu za kosim linijama.

Definicija.

- ovo je rastojanje između jedne od linija koje se seku i ravni paralelne s njom koja prolazi kroz drugu pravu.

Zauzvrat, udaljenost između prave i ravni paralelne s njom je udaljenost od neke tačke na pravoj liniji do ravni. Tada vrijedi sljedeća formulacija definicije udaljenosti između linija koje se ukrštaju.

Definicija.

Udaljenost između linija ukrštanja je rastojanje od određene tačke jedne od linija koje se seku do ravni koja prolazi kroz drugu pravu paralelnu sa prvom pravom.

Razmotrimo linije ukrštanja a i b. Označimo određenu tačku M 1 na pravoj a, povučemo ravan paralelnu pravoj a kroz pravu b i iz tačke M 1 spustimo okomitu M 1 H 1 na ravan. Dužina okomice M 1 H 1 je rastojanje između linija ukrštanja a i b.

Pronalaženje udaljenosti između linija koje se ukrštaju - teorija, primjeri, rješenja.

Prilikom pronalaženja udaljenosti između linija koje se ukrštaju, glavna poteškoća je često vidjeti ili konstruirati segment čija je dužina jednaka željenoj udaljenosti. Ako se konstruira takav segment, tada se, ovisno o uvjetima problema, njegova dužina može pronaći pomoću Pitagorine teoreme, znakova jednakosti ili sličnosti trokuta itd. To je ono što radimo kada nalazimo rastojanje između linija koje se seku na časovima geometrije u 10.-11. razredu.

Ako u trodimenzionalni prostor Uvodi se Oxyz i u njemu su date linije a i b koje se seku, a onda nam koordinatna metoda omogućava da se nosimo sa zadatkom izračunavanja udaljenosti između datih linija koje se sijeku. Pogledajmo to detaljno.

Neka je ravan koja prolazi kroz pravu b, paralelna pravoj a. Tada je traženo rastojanje između linija ukrštanja a i b, po definiciji, jednako udaljenosti od neke tačke M 1 koja leži na pravoj a do ravni. Dakle, ako odredimo koordinate određene tačke M 1 koja leži na pravoj a, i dobijemo normalnu jednačinu ravnine u obliku, tada možemo izračunati udaljenost od tačke na ravan pomoću formule (ova formula je dobijena u članku pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni). I ova udaljenost je jednaka potrebnoj udaljenosti između linija ukrštanja.

Sada u detalje.

Problem se svodi na dobijanje koordinata tačke M 1 koja leži na pravoj a i pronalaženje normalna jednačina avion

Nema poteškoća u određivanju koordinata tačke M 1 ako dobro poznajete osnovne tipove jednadžbi prave u prostoru. Ali vrijedi se detaljnije zadržati na dobivanju jednadžbe ravnine.

Ako odredimo koordinate određene tačke M 2 kroz koju ravnina prolazi, a također dobijemo normalni vektor ravnine u obliku , onda možemo zapisati opštu jednačinu ravni kao .

Kao tačku M 2 možete uzeti bilo koju tačku koja leži na pravoj b, pošto ravan prolazi kroz pravu b. Dakle, koordinate tačke M 2 se mogu smatrati pronađenim.

Sve što je ostalo je da dobijete koordinate normalni vektor avion Hajde da to uradimo.

Ravan prolazi kroz pravu b i paralelna je pravoj a. Posljedično, vektor normale ravni je okomit i na vektor smjera prave a (označimo ga) i vektor smjera prave b (označimo ga). Tada možemo uzeti i kao vektor, odnosno, . Odredivši koordinate i vektore pravca pravih a i b i izračunao , naći ćemo koordinate vektora normale ravni.

Tako da imamo opšta jednačina avion: .

Ostaje samo da se opšta jednadžba ravnine dovede u normalni oblik i izračuna potrebnu udaljenost između linija ukrštanja a i b koristeći formulu.

dakle, da biste pronašli rastojanje između ukrštanja linija a i b potrebno vam je:

Pogledajmo rješenje primjera.

Primjer.

U trodimenzionalnom prostoru u pravougaoni sistem koordinate Oxyz, date su dvije prave linije a i b koje se seku. Određena je prava linija a