Vektor pravca l bilo koji vektor različit od nule ( m, n) paralelno sa ovom pravom.

Pusti poentu M 1 (x 1 , y 1) i vektor smjera ( m, n), zatim jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku M 1 u smjeru vektora ima oblik: . Ova jednačina se zove kanonska jednačina ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Tražićemo jednadžbu željene prave linije u obliku: Ax+By+C= 0. Napišimo kanonsku jednačinu prave, transformirajmo je. Get x + y - 3 = 0

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke

Neka su date dvije tačke na ravni M 1 (x 1 , y 1) i M 2 (x 2, y 2), tada jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke ima oblik: . Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednačina prave linije iz tačke i nagiba

Ako je opšta jednačina prave linije Ah + Wu + C= 0 dovesti do oblika: i označiti , tada se rezultirajuća jednačina naziva jednačina prave linije sa faktor nagiba k.

Jednačina prave linije u segmentima

Ako je u općoj jednadžbi prava Ah + Wu + C= 0 koeficijent OD¹ 0, onda, dijeljenjem sa C, dobijamo: ili , gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent a je koordinata tačke preseka prave sa osom Oh, a b- koordinata tačke preseka prave sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije X – at+ 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima. A = -1, B = 1, C = 1, onda a = -1, b= 1. Jednačina prave linije u segmentima će imati oblik .

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednačina visine ima oblik: Ax+By+C= 0 ili y = kx + b.

k= . Onda y= . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: gdje b= 17. Ukupno: .

Odgovor: 3 x + 2y – 34 = 0.

Praktična lekcija №7

Naziv klase: Krive drugog reda.

Svrha lekcije: Naučite kako napraviti krivulje 2. reda, izgraditi ih.

Priprema za nastavu: Ponovi teorijski materijal na temu "Krive 2. reda"

književnost:

1. Dadayan A.A. "Matematika", 2004

Zadatak za lekciju:

Redosled lekcije:

1. Dobijte dozvolu za rad
2. Završite zadatke
3. Odgovorite na sigurnosna pitanja.

1. Naziv, svrha lekcije, zadatak;
2. Završen zadatak;
3. Odgovori na kontrolna pitanja.

Kontrolna pitanja za ofset:

1. Definirajte krivulje drugog reda (krug, elipsa, hiperbola, parabola), zapišite njihove kanonske jednačine.
2. Kako se zove ekscentricitet elipse ili hiperbole? Kako ga pronaći?
3. Napišite jednačinu jednakostranične hiperbole

DODATAK

obim je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od jedne tačke, koja se naziva središte.

Neka središte kruga bude tačka O(a; b), i udaljenost do bilo koje tačke M(x;y) krug je jednak R. Zatim ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – kanonska jednadžba kružnice sa centrom O(a; b) i radijus R.

Primjer. Odredite koordinate centra i poluprečnik kruga ako je njegova jednadžba data kao: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Da bismo pronašli koordinate centra i polumjera kruga, ova jednadžba se mora svesti na kanonski oblik. Da biste to učinili, odaberite puni kvadrati:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Odavde nalazimo koordinate centra O(2; -5/4); radijus R = 11/4.

Elipsa skup tačaka u ravni se naziva, zbir udaljenosti od svake od njih do dvije date tačke (zvane žarišta) je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.

Fokusi su označeni slovima F 1 , F With, zbir udaljenosti od bilo koje tačke elipse do žarišta je 2 a (2a > 2c), a- velika poluos; b- mala poluosa.

Kanonska jednadžba elipse je: , gdje a, b i c međusobno povezani jednakostima: a 2 - b 2 \u003d c 2 (ili b 2 - a 2 = c 2).

Oblik elipse određen je karakteristikom koja je omjer žižne daljine i dužine glavne ose i naziva se ekscentricitet. ili .

Jer po definiciji 2 a> 2c, tada je ekscentricitet uvijek izražen pravilan razlomak, tj. .

Primjer. Napišite jednačinu za elipsu ako su njena žarišta F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), a glavna osa je 2.

Jednačina elipse ima oblik: .

Udaljenost između fokusa: 2 c= , dakle, a 2 – b 2 = c 2 = . Po uslovu 2 a= 2, dakle a = 1, b= Željena jednačina elipse će imati oblik: .

Hiperbola koji se naziva skup tačaka u ravni, razlika u udaljenosti od svake od njih do dve date tačke, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrednost, manja od udaljenosti između žarišta.

Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik: ili , gdje a, b i c povezane jednakošću a 2 + b 2 = c 2 . Hiperbola je simetrična u odnosu na sredinu segmenta koji povezuje žarišta i u odnosu na koordinatne ose. Fokusi su označeni slovima F 1 , F 2 , udaljenost između žarišta - 2 With, razlika u udaljenostima od bilo koje tačke hiperbole do žarišta je 2 a (2a < 2c). Osa 2 a naziva se realna os hiperbole, os 2 b je imaginarna osa hiperbole. Hiperbola ima dvije asimptote čije su jednačine

Ekscentricitet hiperbole je omjer udaljenosti između žarišta i dužine realne ose: ili. Jer po definiciji 2 a < 2c, tada se ekscentricitet hiperbole uvijek izražava kao nepravilan razlomak, tj. .

Ako je dužina realne ose jednaka dužini imaginarne ose, tj. a = b, ε = , tada se naziva hiperbola equilateral.

Primjer. Napišite kanonsku jednadžbu hiperbole ako je njen ekscentricitet 2 i žarišta se poklapaju sa žarištima elipse s jednačinom

Pronalaženje žižne daljine c 2 = 25 – 9 = 16.

Za hiperbolu: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Zatim - željena jednačina hiperbole.

parabola je skup tačaka u ravni jednako udaljenoj od dati poen, koja se zove fokus, i data prava linija, nazvana direktrisa.

Fokus parabole je označen slovom F, direktor - d, udaljenost od fokusa do direktrise je R.

Kanonska jednadžba parabole, čiji je fokus smješten na x-osi, je:

y 2 = 2px ili y 2 = -2px

x = -str/2, x = str/2

Kanonska jednadžba parabole čiji je fokus na y-osi je:

X 2 = 2py ili X 2 = -2py

Jednačine direktrise, respektivno at = -str/2, at = str/2

Primjer. Na paraboli at 2 = 8X pronaći tačku čija je udaljenost od direktrise 4.

Iz jednačine parabole to dobijamo R = 4. r=x + str/2 = 4; posljedično:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Tačke pretrage: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Vježba #8

Naziv klase: Akcije su završene kompleksni brojevi u algebarskom obliku. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva.

Svrha lekcije: Naučite kako raditi na kompleksnim brojevima.

Priprema za nastavu: Ponoviti teorijski materijal na temu "Kompleksni brojevi".

književnost:

1. Grigoriev V.P., Dubinski Yu.A. „Elementi višu matematiku“, 2008

Zadatak za lekciju:

1. Izračunati:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)( i 72 – i 34);

šta je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno je da ih bilo koja ravna linija ima beskonačan broj (kao i usmjeravajućih vektora), a svi normalni vektori prave će biti kolinearni (kosmjerni ili ne - nije bitno).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima smjera:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaoni sistem koordinate, tada je vektor normalni vektor date linije.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale jednostavno „uklanjaju“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Ortogonalnost ovih vektora ćemo provjeriti koristeći tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće napisati jednačinu prave, znajući jednu tačku i normalan vektor? Ako je normalni vektor poznat, tada je i pravac najravnije linije jedinstveno određen - ovo je "kruta struktura" sa uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Rješenje: Koristite formulu:

Dobija se opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednačine: - da, zaista, originalni vektor se dobija iz uslova (ili vektor treba da bude kolinearan sa originalnim vektorom).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava jednačinu:

Prava jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednadžba tačna, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvlačimo vektor smjera prave linije:

odgovor:

Na crtežu je situacija sljedeća:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za nezavisna odluka:

Napišite jednačinu prave linije kojoj je data tačka i normalni vektor. Pronađite vektor smjera prave linije.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važne vrste jednačine prave na ravni

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave linije u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednačina se ne mogu predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član nula i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, jedna "tehnička" vrsta jednačine. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Zašto je to zgodno? Jednačina prave linije u segmentima omogućava vam da brzo pronađete tačke preseka prave linije sa koordinatne ose, što je veoma važno u nekim problemima više matematike.

Pronađite tačku preseka prave sa osom. Resetujemo “y” i jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom je tačka u kojoj prava seče y-osu.

Radnje koje sam upravo detaljno objasnio izvode se usmeno.

Zadata ravna linija. Sastaviti jednačinu prave u segmentima i odrediti tačke preseka grafika sa koordinatnim osa.

Rješenje: Dovedemo jednačinu u oblik . Prvo pomjerimo slobodni termin na desna strana:

Da bismo dobili jedinicu s desne strane, svaki član jednačine podijelimo sa -11:

Izrađujemo razlomke trospratne:

Točke presjeka prave linije s koordinatnim osa su izašle na površinu:

odgovor:

Ostaje pričvrstiti ravnalo i nacrtati ravnu liniju.

Lako je vidjeti da je ova prava linija jedinstveno određena crvenim i zelenim segmentima, pa otuda i naziv - "jednačina prave linije u segmentima".

Naravno, tačke nije tako teško pronaći iz jednačine, ali je problem ipak koristan. Razmatrani algoritam će biti neophodan za pronalaženje tačaka preseka ravnine sa koordinatnim osama, da se jednačina drugog reda dovede u kanonski oblik i u nekim drugim problemima. Stoga, nekoliko pravih linija za nezavisno rješenje:

Sastaviti jednadžbu prave u segmentima i odrediti tačke njenog preseka sa koordinatnim osa.

Rešenja i odgovori na kraju. Ne zaboravite da ako želite, možete nacrtati sve.

Kako napisati parametarske jednačine za pravu liniju?

Parametarske jednačine prave su relevantnije za prave u prostoru, ali bez njih će naš apstrakt ostati bez roditelja.

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i vektor pravca ove prave, tada su parametarske jednačine ove prave date sistemom:

Sastaviti parametarske jednadžbe prave linije po tački i vektora smjera

Rješenje je završilo prije nego što je moglo početi:

Parametar "te" može uzeti bilo koju vrijednost od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost", a svaka vrijednost parametra odgovara određenoj tački ravni. Na primjer, ako , onda dobivamo poen .

Inverzni problem: kako provjeriti da li tačka uvjeta pripada datoj liniji?

Zamenimo koordinate tačke u dobijene parametarske jednadžbe:

Iz obje jednačine slijedi da je , odnosno sistem je konzistentan i ima jedinstveno rješenje.

Razmotrimo značajnije zadatke:

Sastaviti parametarske jednačine prave linije

Rješenje: Po uslovu, prava je data u opštem obliku. Da biste sastavili parametarske jednačine prave, morate znati njen usmjeravajući vektor i neku tačku koja pripada ovoj pravoj liniji.

Nađimo vektor smjera:

Sada morate pronaći neku tačku koja pripada pravoj (bilo koja će učiniti), u tu svrhu je zgodno prepisati opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Postavlja, naravno, poentu

Sastavljamo parametarske jednadžbe prave linije:

I na kraju, mali kreativni zadatak za nezavisno rešenje.

Sastaviti parametarske jednačine prave ako su poznata tačka koja joj pripada i vektor normale

Zadatak se može završiti jedini način. Jedna od verzija rješenja i odgovor na kraju.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Pronađite nagib:

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i nagibu:

odgovor:

Primjer 4: Rješenje: Sastavićemo jednačinu prave linije prema formuli:

odgovor:

Primjer 6: Rješenje: Koristite formulu:

Odgovori: (y-osa)

Primjer 8: Rješenje: Napravimo jednačinu prave na dvije tačke:

Pomnožite obje strane sa -4:

I podijelite sa 5:

Odgovori:

Primjer 10: Rješenje: Koristite formulu:

Smanjujemo za -2:

Vektor smjera direktno:
Odgovori:

Primjer 12:
a) Rješenje: Hajde da transformišemo jednačinu:

Na ovaj način:

Odgovori:

b) Rješenje: Hajde da transformišemo jednačinu:

Na ovaj način:

Odgovori:

Primjer 15: Rješenje: Prvo, pišemo opštu jednačinu prave date tačke i normalni vektor :

Pomnožite sa 12:

Pomnožimo sa još 2 tako da se nakon otvaranja druge zagrade riješite razlomka:

Vektor smjera direktno:
Sastavljamo parametarske jednačine prave po tački i vektor smjera :
Odgovori:

Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni.
Međusobni raspored linija. Ugao između linija

Nastavljamo da razmatramo ove beskonačno-beskonačne linije.

Kako pronaći udaljenost od tačke do prave?
Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?
Kako pronaći ugao između dvije prave?

Međusobni raspored dvije prave linije

Razmotrimo dvije prave date jednadžbama u opštem obliku:

Slučaj kada sala peva u horu. Dvije linije mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj tački: .

Molim vas zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se dešavati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, to jest, postoji toliki broj "lambda" da vrijede jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove prave poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali .

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti na varijablama NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednačine slijedi da je , a iz druge jednačine: , što znači da je sistem nekonzistentan (nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora. Ali postoji civilizovaniji paket:

Saznajte relativni položaj linija:

Rješenje se zasniva na proučavanju usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je jednakost tačna:

Na ovaj način,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Koeficijent proporcionalnosti "lambda" se može naći direktno omjerom kolinearnih vektora smjera. Međutim, moguće je i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se poklapaju.

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Nepoznatu pravu liniju označiti slovom . Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "de".

Izvlačimo vektor smjera iz jednačine:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni.

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu sa pravom if

Najkraći put je na kraju.

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistema linearne jednačine

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijsko značenje sistemi dviju linearnih jednadžbi sa dvije nepoznate su dvije (najčešće) prave linije koje se seku u ravni.

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati date linije i saznati tačku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafičku metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina sa dvije jednačine, dvije nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje uočljivi nedostaci. Ne, nije poenta u tome da sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi tačan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina.

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj akcionog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme, a ja ću se više puta fokusirati na to.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednadžbu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

odgovor:

Rasklopimo geometrijsku skicu:

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i koristeći skalarni proizvod vektora, zaključujemo da su linije zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Pronađite tačku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Udaljenost od tačke do linije

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "p", na primjer: - udaljenost od tačke "m" do prave linije "d".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo ubaciti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

odgovor:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Kako konstruisati tačku simetričnu u odnosu na pravu liniju?

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, odredit ću algoritam rješenja sa srednji rezultati:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

U geometriji se ugao između dvije prave uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. A takvim se smatra njegov „zeleni“ susjed ili suprotno orijentirani kutak „maline“.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći uglove lako može ispostaviti negativan rezultat i ne bi trebalo da vas iznenadi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao obavezno označite njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu) strelicom.

Na osnovu prethodno navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod usmjeravajućih vektora pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Ugao između linija nalazimo po formuli:

Korišćenjem inverzna funkcija lako pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka:

odgovor:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Postoji i treće rješenje. Ideja je izračunati ugao između vektora smjera linija:

Ovdje ne govorimo o orijentiranom kutu, već „samo o kutu“, odnosno rezultat će sigurno biti pozitivan. Kvaka je u tome što se to može dogoditi tupi ugao(ne onaj koji želite). U ovom slučaju, morat ćete rezervirati da je ugao između linija manji ugao i oduzeti rezultirajući arc kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Pronađite ugao između linija.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pokušajte to riješiti na dva načina.

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje: Pronađite vektor smjera prave linije:

Sastavit ćemo jednadžbu željene prave linije koristeći vektor tačke i smjera

Napomena: ovdje se prva jednačina sistema množi sa 5, a zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednačine.
odgovor:

Zanimanje 9 . Ravan i linija u prostoru.

9.1. Opšta jednačina ravnine. Normalni vektor.

9.3. Udaljenost od tačke do ravni. Međusobni raspored dvije ravni, prave i ravni dvije prave u prostoru.

9.1. Opšta jednačina ravnine. Normalni vektor.

Opća jednadžba ravni u prostoru ima oblik gdje
- numeričke koeficijente,
- koordinate proizvoljna tačka avioni.

Ova jednačina se dobija rješavanjem sljedećeg problema.

Zadatak 1. Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku
okomito na vektor
.

Rješenje. Označite željenu ravan kroz
. Koristimo sljedeći lanac zaključaka:

Primećujemo potpunu analogiju između opšte jednačine prave linije na ravni
i opšta jednačina ravni u prostoru.

Iz rješenja zadatka se vidi da se iz opšte jednačine ravni odmah može pronaći vektor
okomito na ravan. Ovaj vektor se zove normalno(ili normalni vektor) do aviona. Na primjer, iz opće jednačine ravnine
(u ovoj jednačini) dobijamo takav normalni vektor
. Koeficijent nema posebno semantičko opterećenje; s obzirom na njega, može se reći samo kada
ravan prolazi kroz ishodište
, i kada
ne prolazi kroz ishodište. Također treba napomenuti da je jednadžba
postavlja u prostor
avion sa normalnim
, što pokazuje da data ravan ide paralelno sa osom
. To je ista jednadžba
na površini
definiše liniju.

Slično, jednačina
u svemiru
predstavlja opštu jednačinu koordinatne ravni
. Normala na ovu ravan je vektor
- jedinični vektor pozitivnog smjera ose
.

Prilikom pronalaženja jednadžbi ravni često se koristi uslov ortogonalnosti dva vektora (kao što je urađeno u zadatku 1) i uslov komplanarnosti tri vektora.

Primjer 1. Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke.

Rješenje. Prvo, uvjerite se da date tri tačke ne leže na istoj pravoj (ako te tačke leže na istoj pravoj, onda postoji beskonačno mnogo ravnina koje sadrže date tačke). Nađimo vektore. Njihove koordinate nisu proporcionalne. Dakle, bodovi
ne leže na pravoj liniji i kroz njih prolazi samo jedna ravan. Pronađite ovu ravan koju označavamo
, dva načina.

1) - komplanarno
mješoviti proizvod vektora
nula

Opšta jednačina ravnine
.

2)
- vektor normale na ravan
, jer po definiciji unakrsnog proizvoda okomito na vektore
, paralelno
. Dalje razmišljanje ponavlja rješenje Zadatka 1.

Opšta jednačina ravnine
.

Primjer 2. Pronađite jednadžbu ravnine
prolazeći kroz tačku
paralelno sa ravninom
:
.

Rješenje.
:- ravan normalni vektor
. Isti vektor služi kao vektor normale na ravan
. Ostaje da ponovimo rješenje zadatka 1.

Opšta jednačina ravnine
.

Primjer 3.Pronađi diedarski ugao, ispod kojeg se sijeku ravnine
i
.

:
,
:
.

Rješenje. Diedarski ugao (tupi ili oštri) između ravnina jednak je kutu između njihovih normala.

:,
:.

- tupi ugao,

. Oštri diedralni ugao između
i
jednaki
.

9.2. Prava linija u prostoru
:kanonske, parametarske jednadžbe.

jedan). pravo u svemir
može se definisati kao linija preseka dve ravni. Dakle, sistem dvije ravni jednadžbe
,

(1)

definira liniju u prostoru
pod uslovom da su normalni
,
ove ravni nisu paralelne. Ako a i
su paralelne, zatim ravni
,
su ili paralelne ili iste. U oba slučaja, sistem (1) više neće dati pravu liniju.

Komentar. Podešavanje direktnog sistema (1) nije baš zgodno, jer iz nje se ne vidi ni pravac ni bilo koja od tačaka na ovoj pravoj liniji. Ove informacije se mogu dobiti iz sistema (1) samo dodatnim proračunima.

Poželjnije u smislu date napomene su kanonske i parametarske jednačine prave linije u
.

2). Kanonske jednadžbe prave u prostoru
izgleda kao

. (2)

Evo
- dati brojevi imaju sljedeće geometrijsko značenje:
- koordinate fiksne tačke
na pravoj liniji;

- koordinate vektora smjera ravno.

- koordinate proizvoljne tačke na pravoj liniji.

Parametarske jednadžbe prave linije u
izgleda kao

(3)

Geometrijsko značenje veličina
i količine
isto kao gore.

Jednačine (2), (3) se dobijaju rješavanjem prostorne varijante zadaci 2 od lekcije 8.

Komentar.Prava linija na ravni ima normalu, koji, kao i vektor usmjeravanja prave linije, omogućava postavljanje smjera ove prave linije. Za pravu liniju u prostoru, normalni vektor nema smisla, jer postoji beskonačno mnogo vektora okomitih na prostornu liniju sa različitim pravcima, a jedan dati vektor okomit na ovu pravu ne daje jednoznačan odgovor o njegovom pravcu.

Primjer 4. Naći kanonske jednačine prave
, definisan kao presek dve ravni
:
i
:
.

Sistem jednačina
definiše pravu liniju
u svemiru, jer normalnih vektora na ravni
i
, a ovo su vektori
i
nisu paralelne. Nađimo dvije fiksne tačke
na pravoj liniji
.

1. Zamijenite vrijednost u sistem
, dobijamo

.

Geometrijski smisao tačke
: ovo je tačka preseka linije
sa avionom
.

2. Zamijenite vrijednost u sistem
, dobijamo

.

Dot
, je tačka presjeka prave
sa avionom
.

3. - vektor pravca pravca
.

4. vektorske koordinate
proporcionalan

. Ovo je kanonska jednadžba linije
.

5. Napomena. Vektor pravca pravca
može se naći pomoću vektora
i
. Da biste to učinili, morate izračunati unakrsni proizvod.

Vector okomito na vektore i
istovremeno. shodno tome, paralelno sa pravom linijom
i služi drugima (u poređenju sa vektorom ) kao vektor smjera ove linije. Između ostalog:
, što takođe ukazuje na paralelizam vektora ravno
. Ovim pristupom, kanonske jednadžbe prave linije
dobijaju se nakon provođenja tačaka 1., 4. i 5. navedene odluke. Samo će se odgovor već pojaviti u obrascu
.

Primjer 5. Naći parametarske jednačine prave
prolazeći kroz tačku
okomito na ravan
:
.

Rješenje.
- vektor normale na ravan
. Ovaj vektor je paralelan pravoj
i stoga je njegov usmjeravajući vektor. shodno tome,

Primjer 6. Naći kanonske i parametarske jednačine prave
prolazeći kroz tačku
paralelno sa pravom linijom
:
.

Rješenje.
- vektor pravca pravca
. Isti vektor je vektor smjera željene linije
. shodno tome,

vektorske koordinate
proporcionalan

- kanonske jednačine prave


- parametarske jednačine prave
.

9.3. Udaljenost od tačke do ravni. Međusobni raspored dvije ravni, prave i ravni, dvije prave u prostoru.

Razdaljina sa tačke
na ravan se nalazi po formuli
.

Većina korisne informacije o relativnom položaju dvije ravni, prave i ravni, dvije linije u prostoru mogu se izdvojiti iz vektora smjera linija i normala na ravnine.

Primjer 8. Pronađite udaljenost sa tačke
do aviona
.

Rješenje. .

Primjer 9. Na kojoj vrijednosti parametra avion
:
paralelno sa ravninom
:
?

Rješenje. Ravnine su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori kolinearni
i
, tj. treba biti
. Ova dvostruka jednakost ne vrijedi ni za jednu , jer
. Dakle, avioni
i
nije paralelno za sve vrijednosti parametara .

Primjer 10. Na kojim vrijednostima parametara
ravno
:
leži u avionu
:
?

Prema kanonskim jednačinama prave linije
zapisujemo njegove parametarske jednačine

.

sve tačke linije
zadovoljiti jednačinu ravni

odgovor:
.

Ovaj problem možete riješiti na drugačiji način.
- vektor pravca pravca
i
je fiksna tačka ove linije.
- vektor normale na ravan
. Zatim gradimo takav lanac rezonovanja.

Primjer 11. Saznajte relativni položaj dvije linije

:
i
:
.

Rješenje. Prave u prostoru mogu da se seku, mogu da se seku u jednoj tački, mogu biti paralelne, mogu se poklapati. Otkrijmo koji je od navedena četiri slučaja realizovan u ovom primjeru.

Iz jednadžbe
zaključujemo: i
.

Iz jednadžbe
izlaz:
i
.

.

Ako je ravno
i
seku se ili su paralelni ili se poklapaju, zatim trojka vektora
- komplanarno. Šta ako ravno
i
seku, zatim trojka vektora
-nekomplanarni. Nađimo mješoviti proizvod ova tri vektora.

trojka
- nekoplanarna

ravno
i
križanje.

Primeri dati u lekcijama 8, 9 jasno pokazuju snagu vektorskih metoda i izuzetnu ulogu uslova: kolinearnost dva vektora; ortogonalnost dva vektora; komplanarnost tri vektora u pronalaženju jednačina pravih i ravni.

Zadaća.

1. Naći opštu jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke.

2. Naći kanonske i parametarske jednačine prave linije, koja je presek ravnina.

3. Pronađite tačku preseka prave koja prolazi kroz tačku
okomito na ravan
, sa ovim avionom.

Koncept njegovog usmjeravajućeg vektora usko je povezan s konceptom prave linije. Često je u problemima zgodnije uzeti u obzir umjesto same direktne linije. Kao dio ovaj materijal analiziraćemo šta je usmeravajući vektor prave u prostoru i na ravni i reći za šta se može koristiti.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U prvom pasusu formuliramo definiciju i prikazujemo osnovne pojmove na ilustracijama, dopunjujući ih konkretnim primjerima vodeći vektor. Zatim ćemo vidjeti kako vektori linije i smjera međusobno djeluju u pravokutnom koordinatnom sistemu i kako možemo izračunati koordinate ovog vektora ako znamo jednačinu prave. Sva pravila će, kao i uvijek, biti ilustrovana primjerima rješenja problema.

Da bismo razumjeli ovu temu, moramo imati dobru predstavu o tome što je prava linija općenito i kako se može postaviti u prostoru i na ravni. Osim toga, važno je podsjetiti se na prethodno proučavan koncept vektora. O tome smo već pisali u posebnom članku. Ako je potrebno, pronađite i ponovo pročitajte ove članke.

Hajde da formulišemo šta je vektor pravca.

Definicija 1

vodeći vektor Prava linija je svaki vektor različit od nule koji je postavljen na datu pravu ili na pravu paralelnu s njom.

Ispostavilo se da svaka linija ima beskonačan skup vodeći vektori. Štaviše, svi će oni biti kolinearni na osnovu izražene definicije, jer leže na jednoj ili drugoj pravoj paralelnoj s njom. Ispada da ako je a → usmjeravajući vektor prave a , onda možemo označiti drugi usmjeravajući vektor kao t · a → za bilo koju vrijednost t koja odgovara realnom broju.

Također iz gornje definicije možemo zaključiti da će se vektori smjera dvije paralelne prave poklopiti: ako su prave a i a 1 paralelne, tada će vektor a → biti smjer i za a i za a 1 .

Treći zaključak slijedi iz definicije: ako imamo vektor smjera prave a , onda će on biti okomit na bilo koji normalni vektor iste prave.

Dajemo primjer vektora smjera: u pravokutnom koordinatnom sistemu za ose O x , O y i O z vektori smjera će biti i → , j → i k → .

Kako izračunati koordinate vektora smjera iz pravolinijskih jednačina

Recimo da imamo neku pravu liniju sa vektorima pravca, koja leži u pravougaonom koordinatnom sistemu. Prvo ćemo razmotriti slučaj sa stanom Kartezijanski sistem O x y , a zatim sa sistemom O x y z koji se nalazi u trodimenzionalnom prostoru.

1. Prava linija u O x y može se opisati pomoću jednačine prave linije u ravni. U ovom slučaju, koordinate vektora smjera će odgovarati vektorima smjera originalne linije. A ako znamo jednačinu prave, kako izračunati koordinate njenog vektora smjera? To je lako učiniti ako imamo posla s kanonskom ili parametarskom jednadžbom.

Recimo da imamo kanonski slučaj jednačine koja izgleda kao x - x 1 a x = y - y 1 a y . Uz nju se na ravan postavlja prava linija sa usmjeravajućim vektorom a → = (a x, a y).

Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo uzeti brojeve iz nazivnika kanonske jednadžbe prave.

Dajemo primjer zadatka.

Primjer 1

U pravougaonom koordinatnom sistemu data je prava linija koja se može opisati jednačinom x - 1 4 = y + 1 2 - 3 . Izračunajte koordinate jednog od vektora smjera linije.

Rješenje

Iz jednačine možemo odmah uzeti koordinate vektora smjera. Uzimamo brojeve u nazivnicima i zapisujemo: 4, - 3. Ovo će biti odgovor koji nam treba.

odgovor: 4 , - 3 .

Ako je prava linija opisana jednadžbom parametarskog tipa, onda moramo pogledati koeficijente parametra. Oni će odgovarati koordinatama vektora smjera koji nam je potreban.

Primjer 2

Imamo pravu liniju koja se može opisati pomoću sistema parametarskih jednačina x = - 1 y = 7 - 5 · λ , dok je λ ∈ R . Pronađite koordinate vektora smjera.

Rješenje

Prvo, prepišimo ove parametarske jednačine u obliku x = - 1 + 0 · λ y = 7 - 5 · λ . Pogledajmo omjere. Obavijestit će nas željene koordinate vektor smjera – a → = (0 , 5) . S obzirom da će svi vektori smjera jedne prave linije biti kolinearni, možemo ih postaviti u obliku t a → ili 0 , - 5 t , gdje t može biti bilo koji pravi broj. O tome kako izvoditi radnje s vektorima u koordinatama pisali smo u zasebnom članku.

odgovor: 0 , - 5 t , t ∈ R , t ≠ 0

Pogledajmo sada slučaj kako pronaći koordinate vektora ako je prava data opštom jednačinom oblika A x + B y + C = 0 . Ako je A = 0, onda se originalna jednadžba može prepisati kao B y + C = 0. Definira ravnu liniju koja će biti paralelna s x-osi. Dakle, kao njegov vektor smjera možemo uzeti koordinatni vektor i → = 1 , 0 .

A ako je B = 0, onda možemo napisati jednadžbu ravne linije kao A x + C = 0. Prava linija koju opisuje bit će paralelna y-osi, stoga će njen koordinatni vektor j → = 0, 1 također biti usmjeravajući. Hajde da razmotrimo konkretan problem.

Primjer 3

Imamo pravu liniju datu opštom jednačinom x - 2 = 0 . Pronađite koordinate bilo kojeg vektora smjera.

Rješenje

U pravougaonom koordinatnom sistemu, originalna jednačina će odgovarati pravoj liniji paralelnoj sa y-osom. Dakle, možemo uzeti koordinatni vektor j → = (0 , 1) . On će je voditi.

odgovor: (0 , 1)

Ali šta ako nijedan od koeficijenata u A x + B y + C = 0 nije jednak 0? Tada možemo koristiti nekoliko različitih načina.

1. Možemo prepisati osnovnu jednačinu tako da ona postane kanonska. Tada se koordinate vektora mogu uzeti iz njegovih vrijednosti.

2. Možete zasebno izračunati početnu i krajnju tačku vektora smjera. Da biste to učinili, bit će potrebno uzeti koordinate bilo koje dvije nepodudarne točke izvorne linije.

3. Treći način je izračunavanje koordinata bilo kojeg vektora koji će biti okomit na vektor normale ove prave n → = A , B .

Najjednostavniji je prvi pristup. Ilustrujmo to primjerom problema.

Primjer 4

Na avionu je prava linija dato jednačinom 3 x + 2 y - 10 = 0 . Zapišite koordinate bilo kojeg vektora smjera.

Rješenje

Prepišimo originalnu jednačinu u kanonskom obliku. Prvo prenosimo sve pojmove s lijeve strane, osim 3 x, na desnu stranu sa suprotan znak. Moći ćemo:

3x + 2y - 10 = 0 ⇔ 3x = - 2y + 10

Transformiramo rezultirajuću jednakost i dobijemo:

3 x = - 2 y + 10 ⇔ 3 x = - 2 (y - 5) ⇔ x - 2 = y - 5 3

Odavde već možemo izvesti koordinate vektora pravca koji su nam potrebni: -2, 3

Odgovor: -2, 3

To opšti pogled lako je smanjiti takve vrste jednadžbi kao što su jednadžba ravne linije u segmentima x a + y b = 1 i jednadžba ravne linije s nagibom y = k x + b, pa ako ste ih sreli u zadatku pronalaženja koordinata vektora pravca, onda možete koristiti i ovaj pristup.

Definicija 2

Vektor a → = (a x , a y , a z) je pravac za pravu liniju izražen sa:

1) kanonska jednadžba prave u prostoru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

2) parametarska jednačina linija u prostoru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Dakle, da biste izračunali koordinate vektora smjera, trebate uzeti brojeve iz nazivnika ili koeficijenata parametra u odgovarajućoj jednadžbi.

Hajde da razmotrimo konkretan problem.

Primjer 5

Prava linija u prostoru data je jednadžbom oblika x - 1 4 = y + 1 2 0 = z - 3 . Navedite koje će koordinate imati vektor smjera ove linije.

Rješenje

U kanonskoj jednadžbi, potrebni brojevi su odmah vidljivi u nazivnicima. Ispostavilo se da će odgovor biti vektor sa koordinatama 4, 0, -3. Koordinate svih vektora pravca date prave mogu se zapisati kao 4 · t , 0 , - 3 · t pod uslovom da je t realan broj.

Odgovor: 4 t , 0 , - 3 t , t ∈ R , t ≠ 0

Primjer 6

Izračunajte koordinate bilo kojeg vektora smjera za pravu koja je definirana u prostoru koristeći parametarsku jednačinu x = 2 y = 1 + 2 · λ z = - 4 - λ .

Rješenje

Prepišimo ove jednačine u obliku x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = - 4 - 1 · λ .

Iz ovog zapisa možemo izdvojiti koordinate vektora koji su nam potrebni - to će biti koeficijenti ispred parametra.

Odgovor: 0, 2, - 1

Hajde da razmotrimo još jedan slučaj. Kako izračunati tražene koordinate ako je prava data jednadžbom dvije ravnine koje se sijeku oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0?

Postoje dva načina. Ovu jednačinu možete napisati u parametarskom obliku, gdje će željene koordinate biti vidljive. Ali možete koristiti drugi način. Hajde da to objasnimo.

Podsjetimo da je takav normalan ravan vektor. Po definiciji, on će ležati na pravoj liniji okomitoj na prvobitnu ravan. To znači da će svaki usmjeravajući vektor prave linije koji se nalazi u njoj biti okomit na bilo koji njen normalni vektor.

Usmjeravajući vektor prave linije formiran presjekom dvije ravnine A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 bit će okomit na vektore normale n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) i n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) . Odnosno, kao vodeći vektor možemo uzeti proizvod vektora n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) i n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 - ovo je usmjeravajući vektor prave linije duž koje se seku prvobitne ravni.

Hajde da riješimo problem koji koristi ovaj pristup.

Primjer 7

Zapišite koordinate vektora smjera prave linije izražene pomoću jednačine x + 2 y + 3 z - 1 = 0 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 .

Rješenje

Uzmite proizvod dva vektora normalne ravni x + 2 y + 3 z - 1 = 0 i 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 . Imaju sljedeće koordinate: 1 , 2 , 3 i 2 , 4 , - 4 .

Moći ćemo:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 - 4 = i → 2 (- 4) + j → 3 2 + k → 1 4 - - k → 2 2 - i → 3 4 - j → 1 (- 4) = - 20 i → + 10 j → + 0 k →

Ispada da je vektor n 1 → × n 2 → = - 20 i → + 10 j → + 0 k → ⇔ n 1 → × n 2 → = - 20 , 10 , 0 - ovo je vektor smjera koji nam je potreban ravno .

odgovor: - 20 , 10 , 0

Na kraju članka napominjemo da je sposobnost izračunavanja vektora smjera korisna za rješavanje mnogih problema, kao što je poređenje dvije prave, dokazivanje njihove paralelnosti i okomitosti, izračunavanje ugla između linija koje se sijeku ili ukrštaju itd.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jednačina prave linije na ravni.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Prava linija na ravni je jedna od najjednostavnijih geometrijski oblici, poznato vam iz nižim razredima, a danas ćemo naučiti kako se nositi s njim koristeći metode analitičke geometrije. Za savladavanje materijala potrebno je biti u stanju izgraditi ravnu liniju; znati koja jednačina definira pravu liniju, posebno pravu liniju koja prolazi kroz ishodište i prave linije paralelne sa koordinatnim osa. Ove informacije možete pronaći u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, kreirao sam ga za matan, ali odjeljak o linearna funkcija pokazao se vrlo uspješnim i detaljnim. Zato, dragi čajnici, prvo se zagrijte tamo. Osim toga, morate imati osnovno znanje o vektori inače će razumijevanje materijala biti nepotpuno.

Na ovu lekciju razmotrićemo načine na koje možete napisati jednačinu prave linije u ravni. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako se čini vrlo jednostavnim), jer ću ih snabdjeti elementarnim i važne činjenice, tehnike, što će biti potrebno u budućnosti, uključujući i druge sekcije više matematike.

• Kako napisati jednačinu prave sa nagibom?
• Kako ?
• Kako pronaći vektor smjera po opštoj jednadžbi prave?
• Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

i počinjemo:

Jednačina linije sa nagibom

Poznati "školski" oblik jednačine prave se zove jednadžba prave linije sa nagibom. Na primjer, ako je ravna linija data jednadžbom, tada je njen nagib: . Razmotrite geometrijsko značenje dati koeficijent i kako njegova vrijednost utječe na lokaciju linije:

U toku geometrije se dokazuje da nagib prave je tangenta ugla između pozitivnog smjera osei zadata linija: , a ugao je „odvrnut“ u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Da ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam uglove za samo dvije ravne linije. Uzmite u obzir "crvenu" pravu liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: (ugao "alfa" je označen zelenim lukom). Za "plavu" liniju sa nagibom, jednakost je tačna (ugao "beta" je označen smeđim lukom). A ako je poznat tangent ugla, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i ugao koristeći inverznu funkciju - arc tangenta. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili kalkulator u ruci. Na ovaj način, nagib karakteriše stepen nagiba prave linije prema x-osi.

Istovremeno, moguće je sledećim slučajevima:

1) Ako je nagib negativan: , tada linija, grubo govoreći, ide od vrha do dna. Primjeri su "plave" i "grimizne" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: , tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri su "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib jednak nuli: , tada jednačina poprima oblik , a odgovarajuća prava je paralelna sa osom. Primjer je "žuta" linija.

4) Za porodicu pravih linija paralelnih sa osom (nema primera na crtežu, osim same ose), nagib ne postoji (tangenta od 90 stepeni nije definisana).

Što je veći modul nagiba, to je linijski graf strmiji.

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, prava linija ima strmiji nagib. Podsjećam da modul omogućava ignorisanje znaka, samo nas zanima apsolutne vrijednosti ugaoni koeficijenti.

Zauzvrat, prava linija je strmija od pravih linija. .

Obrnuto: što je manji nagib po modulu, prava je ravna.

Za ravne linije nejednakost je tačna, dakle, prava linija je više od krošnje. Dječji tobogan, kako ne bi zasadili modrice i izbočine.

Zašto je ovo potrebno?

Produžite svoje muke Poznavanje gore navedenih činjenica omogućava vam da odmah vidite svoje greške, posebno greške pri crtanju grafikona - ako je crtež ispao "jasno da nešto nije u redu". Poželjno je da vi odmah bilo je jasno da je, na primjer, prava linija vrlo strma i ide odozdo prema gore, a prava linija je vrlo ravna, blizu ose i ide odozgo prema dolje.

AT geometrijski problemičesto se pojavljuje nekoliko linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Notacija: ravne linije su označene malim sa latiničnim slovima: . Popularna opcija je označavanje istog slova prirodnim indeksima. Na primjer, pet linija koje smo upravo razmatrali mogu se označiti sa .

Pošto je svaka prava linija jednoznačno određena sa dvije tačke, može se označiti ovim tačkama: itd. Zapis sasvim očigledno implicira da tačke pripadaju pravoj.

Vrijeme je da se malo opustimo:

Kako napisati jednačinu prave sa nagibom?

Ako je poznata tačka koja pripada određenoj pravoj i nagib ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Primjer 1

Sastavite jednačinu prave linije sa nagibom ako je poznato da tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Rješenje: Jednačinu prave linije ćemo sastaviti prema formuli . AT ovaj slučaj:

Odgovori:

Ispitivanje izvedeno elementarno. Prvo, pogledamo rezultirajuću jednadžbu i uvjerimo se da je naš nagib na svom mjestu. Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti datu jednačinu. Ubacimo ih u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Zaključak: Jednačina pronađena ispravno.

Zamršeniji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 2

Napišite jednadžbu prave ako je poznato da je njen nagibni ugao u odnosu na pozitivan smjer ose , a tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, ponovo pročitajte teorijski materijal. Tačnije, praktičnije, nedostaju mi ​​mnogi dokazi.

zvonio poslednji poziv, matura je zamrla, a ispred kapije matična školačekamo, zapravo, analitičku geometriju. Šale su gotove... Možda je tek počelo =)

Nostalgično mašemo ručkom poznatom i upoznajemo se s opštom jednačinom prave linije. Pošto je u analitičkoj geometriji u upotrebi upravo ovo:

Opća jednačina prave linije ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednaki nuli, jer jednačina gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i vežemo jednadžbu sa nagibom. Prvo, pomjerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Pojam sa "x" mora se staviti na prvo mjesto:

U principu, jednadžba već ima oblik, ali prema pravilima matematičke etikete, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Promjena znakova:

Zapamtite ovu tehničku karakteristiku! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednadžba prave linije će se skoro uvijek dati opšti oblik. Pa, ako je potrebno, lako ga je dovesti u "školski" oblik s nagibom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s y-osi).

Zapitajmo se šta dosta znate graditi pravu liniju? Dva poena. Ali o ovom slučaju iz djetinjstva kasnije, sada drži pravilo strelice. Svaka prava linija ima dobro definisan nagib, na koji se lako "prilagodi" vektor.

Vektor koji je paralelan pravoj naziva se vektor smjera te prave.. Očigledno, svaka prava linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi će biti kolinearni (ko-usmjereni ili ne - nije bitno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan da se napravi prava linija, vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu tačku ravni. Stoga je dodatno potrebno znati neku tačku koja pripada pravoj.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor smjera?

Ako je poznata određena tačka koja pripada pravoj i usmjeravajući vektor ove prave, tada se jednačina ove linije može sastaviti po formuli:

Ponekad se zove kanonska jednadžba linije .

Šta raditi kada jedna od koordinata je nula, u nastavku ćemo pogledati praktične primjere. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti nula, jer nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor smjera

Rješenje: Jednačinu prave linije ćemo sastaviti prema formuli. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije, oslobađamo se razlomaka:

I dovodimo jednačinu u opći oblik:

Odgovori:

Crtanje u takvim primjerima, u pravilu, nije potrebno, već radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu tačku, originalni vektor pravca (može se odložiti iz bilo koje tačke na ravni) i konstruisanu liniju. Usput, u mnogim slučajevima, konstrukcija ravne linije najpogodnije se izvodi pomoću jednadžbe nagiba. Našu jednadžbu je lako pretvoriti u oblik i bez ikakvih problema pokupiti još jednu tačku za izgradnju prave linije.

Kao što je napomenuto na početku odjeljka, linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera da odaberemo, rezultat će uvijek biti ista pravolinijska jednadžba.

Sastavimo jednačinu prave linije sa tačkom i usmjeravajućim vektorom:

Rastavljanje proporcije:

Podijelite obje strane sa -2 i dobijete poznatu jednačinu:

Oni koji žele mogu na sličan način testirati vektore ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada da se odlučimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera po opštoj jednadžbi prave?

Veoma jednostavno:

Ako je prava linija data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor vektor pravca ove prave.

Primjeri pronalaženja vektora smjera pravih linija:

Naredba vam omogućava da pronađete samo jedan vektor smjera iz bezbroj ali ne treba nam više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednadžba specificira ravnu liniju koja je paralelna sa osom, a koordinate rezultirajućeg vektora upravljanja se prikladno dijele sa -2, dobivajući upravo osnovni vektor kao upravljački vektor. Logično.

Slično, jednačina definira ravnu liniju paralelnu osi, a dijeleći koordinate vektora sa 5, dobijamo ort kao vektor smjera.

Sada izvršimo provjeri primjer 3. Primjer je krenuo gore, pa vas podsjećam da smo u njemu napravili jednadžbu prave koristeći tačku i vektor smjera

Prvo, prema jednadžbi prave, vraćamo njen usmjeravajući vektor: - sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima može se pokazati da je kolinearan originalnom vektoru, a to je obično lako vidjeti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti jednačinu . Zamjenjujemo ih u jednačinu:

Dobijena je tačna jednakost, čime smo veoma zadovoljni.

Zaključak: Posao je ispravno završen.

Primjer 4

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor smjera

Ovo je "uradi sam" primjer. Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Vrlo je poželjno izvršiti provjeru prema upravo razmatranom algoritmu. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je praviti greške tamo gde se one mogu 100% izbeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, vrlo je jednostavno učiniti:

Primjer 5

Rješenje: Formula je nevažeća jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obliku , a ostatak se kotrlja po dubokoj kolotečini:

Odgovori:

Ispitivanje:

1) Vratite vektor smjera prave linije:
– rezultirajući vektor je kolinearan s originalnim vektorom smjera.

2) Zamijenite koordinate tačke u jednačini:

Dobija se tačna jednakost

Zaključak: posao obavljen korektno

Postavlja se pitanje zašto se zamarati formulom ako postoji univerzalna verzija koja će ionako funkcionirati? Dva su razloga. Prvo, formula razlomaka mnogo bolje zapamtiti. I drugo, nedostatak univerzalne formule je to značajno povećan rizik od zabune prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor pravca.

Ovo je "uradi sam" primjer.

Vratimo se na sveprisutne dvije tačke:

Kako napisati jednačinu prave date dvije tačke?

Ako su poznate dvije tačke, onda se jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke može sastaviti pomoću formule:

U stvari, ovo je neka vrsta formule, a evo i zašto: ako su poznate dvije tačke, tada će vektor biti vektor smjera ove prave. Na lekciji Vektori za lutke smatrali smo najjednostavniji zadatak– kako pronaći koordinate vektora iz dvije tačke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca:

Bilješka : točke se mogu "zamijeniti" i koristiti formulu . Takva odluka bi bila ravnopravna.

Primjer 7

Napišite jednačinu prave iz dvije tačke .

Rješenje: Koristite formulu:

Češljamo nazivnike:

I promiješaj špil:

Sada je vrijeme da se riješite razlomci brojeva. U ovom slučaju morate oba dijela pomnožiti sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovori:

Ispitivanje je očigledno - koordinate početnih tačaka moraju zadovoljiti rezultirajuću jednadžbu:

1) Zamijenite koordinate tačke:

Prava jednakost.

2) Zamijenite koordinate tačke:

Prava jednakost.

Zaključak: jednadžba prave linije je tačna.

Ako a najmanje jedan bodova ne zadovoljava jednačinu, potražite grešku.

Vrijedi napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer izgraditi liniju i vidjeti pripadaju li joj točke , nije tako lako.

Napomenut ću nekoliko tehničkih tačaka rješenja. Možda je u ovom problemu korisnije koristiti formulu ogledala i za iste tačke napravi jednačinu:

Ima manje razlomaka. Ako želite, možete dovršiti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednačina.

Druga stvar je pogledati konačni odgovor i vidjeti može li se dodatno pojednostaviti? Na primjer, ako se dobije jednačina, preporučljivo je smanjiti je za dva: - jednačina će postaviti istu pravu liniju. Međutim, ovo je već tema razgovora međusobni raspored pravih linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7, za svaki slučaj, provjerio sam da li su SVI koeficijenti jednačine djeljivi sa 2, 3 ili 7. Mada, najčešće se takve redukcije vrše prilikom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke .

Ovo je primjer nezavisnog rješenja, koje će vam samo omogućiti da bolje razumijete i razradite tehniku ​​proračuna.

Slično kao u prethodnom paragrafu: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora pravca) nestaje, onda ga prepisujemo kao . I opet, primijetite kako je počela izgledati nespretno i zbunjeno. Ne vidim puno smisla u dovođenju praktični primjeri, pošto smo takav problem već zaista riješili (vidi br. 5, 6).

Pravolinijski normalni vektor (normalni vektor)

šta je normalno? Jednostavno rečeno, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno je da ih bilo koja ravna linija ima beskonačan broj (kao i usmjeravajućih vektora), a svi normalni vektori prave će biti kolinearni (kosmjerni ili ne - nije bitno).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima smjera:

Ako je prava linija data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave linije.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno „ukloniti“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Ortogonalnost ovih vektora ćemo provjeriti koristeći tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće napisati jednačinu prave, znajući jednu tačku i normalan vektor? Čini se da je moguće. Ako je normalni vektor poznat, tada je i pravac najravnije linije jedinstveno određen - ovo je "kruta struktura" sa uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Ovdje je sve prošlo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Takav je naš normalni vektor. Sviđa mi se. I postovanje =)

Primjer 9

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Rješenje: Koristite formulu:

Dobija se opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednačine: - da, zaista, originalni vektor se dobija iz uslova (ili vektor treba da bude kolinearan sa originalnim vektorom).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava jednačinu:

Prava jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednadžba tačna, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvlačimo vektor smjera prave linije:

Odgovori:

Na crtežu je situacija sljedeća:

Za potrebe obuke sličan zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 10

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važnim vrstama jednadžbi prave u ravni.

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave linije u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednačina se ne mogu predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član nula i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, jedna "tehnička" vrsta jednačine. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Zašto je to zgodno? Jednadžba prave linije u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka presjeka prave linije s koordinatnim osama, što je vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Pronađite tačku preseka prave sa osom. Resetujemo “y” i jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom je tačka u kojoj prava seče y-osu.