Rješenje sistema dvije linearne nejednačine. Sistemi linearnih nejednačina

Pogledajmo primjere kako riješiti sistem linearnih nejednačina.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Da bi se riješio sistem, potrebna je svaka od njegovih sastavnih nejednakosti. Samo je odluka donesena da se zapiše ne odvojeno, već zajedno, kombinirajući ih vitičastom zagradom.

U svakoj od nejednakosti sistema prenosimo nepoznanice na jednu stranu, poznate na drugu sa suprotnim predznakom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Nakon pojednostavljenja, oba dijela nejednakosti moraju se podijeliti brojem ispred x. Prvu nejednakost dijelimo pozitivnim brojem, tako da se predznak nejednakosti ne mijenja. Drugu nejednakost dijelimo negativnim brojem, tako da znak nejednakosti mora biti obrnut:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Rješenje nejednačina označavamo na brojevnim pravima:

Kao odgovor zapisujemo sjecište rješenja, odnosno dio gdje je sjenčanje na obje linije.

Odgovor: x∈[-2;1).

Riješimo se razlomka u prvoj nejednakosti. Da bismo to učinili, množimo oba dijela član po član najmanjim zajedničkim nazivnikom 2. Kada se pomnoži sa pozitivnim brojem, predznak nejednakosti se ne mijenja.

Otvorite zagrade u drugoj nejednakosti. Proizvod zbira i razlike dva izraza jednak je razlici kvadrata ovih izraza. Na desnoj strani je kvadrat razlike između ova dva izraza.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Nepoznate prenosimo na jednu stranu, poznate na drugu sa suprotnim predznakom i pojednostavljujemo:

Podijelite obje strane nejednakosti brojem ispred x. U prvoj nejednakosti dijelimo negativnim brojem, pa je predznak nejednakosti obrnut. U drugom, dijelimo pozitivnim brojem, znak nejednakosti se ne mijenja:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obe nejednakosti su označene „manje od“ (nije bitno da je jedan znak striktno „manji od“, drugi nije strog, „manji od ili jednak“). Ne možemo označiti oba rješenja, već koristimo pravilo "". Najmanji je 1, pa se sistem svodi na nejednakost

Njegovo rješenje označavamo na brojevnoj pravoj:

Odgovor: x∈(-∞;1].

Otvaramo zagrade. U prvoj nejednakosti - . Jednaka je zbiru kubova ovih izraza.

U drugom - proizvod zbira i razlike dva izraza, koji je jednak razlici kvadrata. Budući da se ispred zagrada nalazi znak minus, bolje ih je otvoriti u dvije faze: prvo koristiti formulu, a tek onda otvoriti zagrade, mijenjajući predznak svakog člana u suprotan.

Nepoznate prenosimo na jednu stranu, poznate na drugu sa suprotnim predznakom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Oba su veća od znakova. Koristeći pravilo „više od više“, sistem nejednakosti svodimo na jednu nejednakost. Veći od dva broja je 5, dakle

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Rješenje nejednačine označavamo na brojevnoj pravoj i zapisujemo odgovor:

Odgovor: x∈(5;∞).

Budući da se sistemi linearnih nejednačina u algebri javljaju ne samo kao samostalni zadaci, već i u toku rješavanja raznih vrsta jednačina, nejednačina itd., važno je na vrijeme naučiti ovu temu.

Sljedeći put ćemo razmotriti primjere rješavanja sistema linearnih nejednačina u posebnim slučajevima kada jedna od nejednačina nema rješenja ili je bilo koji broj njeno rješenje.

Rubrika: |

vidi također Grafičko rješavanje problema linearnog programiranja, Kanonski oblik problema linearnog programiranja

Sistem ograničenja za takav problem sastoji se od nejednakosti u dvije varijable:
a ciljna funkcija ima oblik F = C 1 x + C 2 y, koji treba maksimizirati.

Odgovorimo na pitanje: koji parovi brojeva ( x; y) da li su rješenja sistema nejednačina, tj. da li zadovoljavaju svaku od nejednačina istovremeno? Drugim riječima, šta znači grafički riješiti sistem?
Prvo morate razumjeti šta je rješenje jedne linearne nejednakosti sa dvije nepoznanice.
Riješiti linearnu nejednakost s dvije nepoznanice znači odrediti sve parove vrijednosti nepoznanica za koje je nejednakost zadovoljena.
Na primjer, nejednakost 3 x – 5y≥ 42 zadovoljavaju parove ( x , y) : (100, 2); (3, –10) itd. Problem je pronaći sve takve parove.
Razmotrite dvije nejednakosti: sjekira + by≤ c, sjekira + by≥ c. Pravo sjekira + by = c dijeli ravan na dvije poluravnine tako da koordinate tačaka jedne od njih zadovoljavaju nejednakost sjekira + by >c, i druga nejednakost sjekira + +by <c.
Zaista, uzmite tačku sa koordinatama x = x 0; zatim tačka koja leži na pravoj liniji i ima apscisu x 0 , ima ordinatu

Neka za određenost a<0, b>0, c>0. Sve tačke sa apscisom x 0 iznad P(npr. tačka M), imaju y M>y 0 , i sve tačke ispod tačke P, sa apscisom x 0 , imaju yN<y 0 . Zbog x 0 je proizvoljna tačka, tada će uvijek postojati tačke na jednoj strani prave za koje sjekira+ by > c, formirajući poluravninu, a s druge strane tačke za koje sjekira + by< c.

Slika 1

Znak nejednakosti u poluravni ovisi o brojevima a, b , c.
Ovo podrazumeva sledeću metodu za grafičko rešavanje sistema linearnih nejednačina u dve varijable. Za rješavanje sistema potrebno je:

1. Za svaku nejednačinu zapišite jednačinu koja odgovara datoj nejednakosti.
2. Konstruirajte linije koje su grafovi funkcija zadanih jednadžbama.
3. Za svaku pravu liniju odredite poluravninu koja je data nejednakošću. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu tačku koja ne leži na pravoj liniji, zamijenite njene koordinate u nejednakosti. ako je nejednakost tačna, tada je poluravnina koja sadrži odabranu tačku rješenje izvorne nejednakosti. Ako je nejednakost pogrešna, tada je poluravnina s druge strane prave skup rješenja ove nejednakosti.
4. Da bi se riješio sistem nejednačina, potrebno je pronaći površinu presjeka svih poluravni koje su rješenje svake nejednakosti u sistemu.

Ovo područje može ispasti prazno, tada sistem nejednakosti nema rješenja, on je nekonzistentan. U suprotnom, sistem se kaže da je konzistentan.
Rješenja mogu biti konačan broj i beskonačan skup. Područje može biti zatvoreni poligon ili može biti neograničeno.

Pogledajmo tri relevantna primjera.

Primjer 1. Grafički riješite sistem:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

• razmotriti jednačine x+y–1=0 i –2x–2y+5=0 koje odgovaraju nejednačinama;
• konstruirajmo prave linije date ovim jednadžbama.

Slika 2

Definirajmo poluravnine date nejednačinama. Uzmite proizvoljnu tačku, neka (0; 0). Razmislite x+ y– 1 0, zamjenjujemo tačku (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. dakle, u poluravni gdje leži tačka (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, tj. poluravnina koja leži ispod prave je rješenje prve nejednačine. Zamjenom ove tačke (0; 0) u drugu dobijamo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. u poluravni u kojoj leži tačka (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, a nas su pitali gdje je -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, dakle, u drugoj poluravni - u onoj iznad prave.
Pronađite presjek ove dvije poluravnine. Prave su paralelne, pa se ravni nigde ne seku, što znači da sistem ovih nejednačina nema rešenja, on je nekonzistentan.

Primjer 2. Naći grafički rješenja sistema nejednačina:

Slika 3
1. Zapišite jednačine koje odgovaraju nejednačinama i konstruirajte prave.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Odabravši tačku (0; 0), odredimo predznake nejednakosti u poluravni:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2y– 2 ≤ 0 u poluravni ispod prave;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. y –x– 1 ≤ 0 u poluravni ispod prave;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. y+ 2 ≥ 0 u poluravni iznad prave.
3. Presjek ove tri poluravne će biti površina koja je trokut. Nije teško pronaći vrhove regiona kao tačke preseka odgovarajućih linija


Na ovaj način, ALI(–3; –2), AT(0; 1), OD(6; –2).

Razmotrimo još jedan primjer u kojem rezultujuća domena rješenja sistema nije ograničena.

Definicija 1 . skup tačaka u prostoru R n , čije koordinate zadovoljavaju jednačinu a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, se zove ( n - 1 )-dimenzionalna hiperravan u n-dimenzionalni prostor.

Teorema 1. Hiperravan dijeli sav prostor na dva poluprostora. Poluprostor je konveksan skup.

Presjek konačnog broja poluprostora je konveksan skup.

Teorema 2 . Rješavanje linearne nejednakosti sa n nepoznato

a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b

je jedan od poluprostora na koji je cijeli prostor podijeljen hiperravninom

a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+a n x n= b.

Razmotrite sistem iz m linearne nejednakosti sa n nepoznato.

Rješenje svake nejednakosti sistema je određeni poluprostor. Rješenje sistema će biti presjek svih poluprostora. Ovaj skup će biti zatvoren i konveksan.

Rješavanje sistema linearnih nejednačina

sa dvije varijable

Neka je sistem dat m linearne nejednakosti u dvije varijable.

Rješenje svake nejednačine će biti jedna od poluravnina na koje je cijela ravan podijeljena odgovarajućom linijom. Rešenje sistema će biti presek ovih poluravni. Ovaj problem se može riješiti grafički na ravni X 1 0 X 2 .

37. Predstavljanje konveksnog poliedra

Definicija 1. Zatvoreno konveksan ograničeno postavljanje R n ima konačan broj kutne tačke, naziva se konveksna n-dimenzionalni poliedar.

Definicija 2 . Zatvoreni konveksni neograničeni skup R n , koji ima konačan broj kutnih tačaka, naziva se konveksna poliedarska oblast.

Definicija 3 . Mnogo ALIR n se naziva ograničenim ako postoji n-dimenzionalna lopta koja sadrži ovaj set.

Definicija 4. Konveksna linearna kombinacija tačaka je izraz gdje je t i , .

Teorema (teorema reprezentacije za konveksni poliedar). Bilo koja tačka konveksnog poliedra može se predstaviti kao konveksna linearna kombinacija njegovih kutnih tačaka.

38. Područje dopuštenih rješenja sistema jednačina i nejednačina.

Neka je sistem dat m linearne jednačine i nejednačine sa n nepoznato.

Definicija 1 . Dot R n se naziva mogućim rješenjem sistema ako njegove koordinate zadovoljavaju jednačine i nejednakosti sistema. Ukupnost svih mogućih rješenja naziva se domenom mogućih rješenja (ROA) sistema.

Definicija 2. Moguće rješenje čije koordinate nisu negativne naziva se dopušteno rješenje sistema. Skup svih dopuštenih rješenja naziva se područje dopuštenih rješenja (DDR) sistema.

Teorema 1 . ODE je zatvoren, konveksan, ograničen (ili neograničen) podskup u R n.

Teorema 2. Dozvoljeno rješenje sistema je referenca ako i samo ako je ova tačka ugaona tačka ODS-a.

Teorema 3 (teorema o predstavljanju ODT-a). Ako je ODE ograničen skup, tada se svako dopušteno rješenje može predstaviti kao konveksna linearna kombinacija kutnih tačaka ODE-a (u obliku konveksne linearne kombinacije rješenja potpore sistema).

Teorema 4 (teorema o postojanju potpornog rješenja sistema). Ako sistem ima barem jedno dopušteno rješenje (ODR), tada među dopuštenim rješenjima postoji barem jedno referentno rješenje.

Postoje samo "X" i samo apscisa osa, sada se dodaju "Y" i polje aktivnosti se širi na cijelu koordinatnu ravan. Dalje u tekstu, izraz "linearna nejednakost" shvata se u dvodimenzionalnom smislu, što će postati jasno za nekoliko sekundi.

Pored analitičke geometrije, materijal je relevantan za niz problema matematičke analize, ekonomskog i matematičkog modeliranja, pa preporučujem da ovo predavanje proučite sa punom ozbiljnošću.

Linearne nejednakosti

Postoje dvije vrste linearnih nejednakosti:

1) Strogo nejednakosti: .

2) Nije strogo nejednakosti: .

Koje je geometrijsko značenje ovih nejednakosti? Ako linearna jednadžba definira pravu liniju, onda linearna nejednakost definira poluravni.

Da biste razumjeli donje informacije, morate znati vrste linija na ravni i biti u stanju da pravite linije. Ako imate poteškoća u ovom dijelu, pročitajte pomoć Grafovi i svojstva funkcija– pasus o linearnoj funkciji.

Počnimo s najjednostavnijim linearnim nejednačinama. Plavi san svakog gubitnika je koordinatna ravan na kojoj nema ama baš ničega:

Kao što znate, apscisa je data jednadžbom - "y" je uvijek (za bilo koju vrijednost "x") jednako nuli

Razmotrimo nejednakost. Kako to neformalno shvatiti? "Y" je uvijek (za bilo koju vrijednost "x") pozitivan. Očigledno je da ova nejednakost određuje gornju poluravninu, jer se tu nalaze sve tačke sa pozitivnim "igrama".

U slučaju da nejednakost nije stroga, na gornju poluravninu dodatno osa je dodana.

Slično: nejednakost je zadovoljena sa svim tačkama donje poluravnine, nestroga nejednakost odgovara donjoj poluravni + osi .

Sa y-osom, ista prozaična priča:

– nejednakost definira desnu poluravninu;
– nejednakost definira desnu poluravninu, uključujući y-osu;
– nejednakost definira lijevu poluravninu;
– nejednakost definira lijevu poluravninu, uključujući y-os.

U drugom koraku razmatramo nejednakosti u kojima nedostaje jedna od varijabli.

Nedostaje "y":

Ili nedostaje "x":

Ove nejednakosti se mogu rješavati na dva načina. razmotrite oba pristupa. Usput, prisjetimo se i konsolidirajmo školske radnje s nejednakostima o kojima je već bilo riječi u lekciji Opseg funkcije.

Primjer 1

Riješite linearne nejednačine:

Šta znači riješiti linearnu nejednačinu?

Riješiti linearnu nejednačinu znači pronaći poluravninu, čije tačke zadovoljavaju datu nejednakost (plus sama prava, ako nejednakost nije stroga). Rješenje, obično, grafički.

Pogodnije je odmah izvršiti crtež, a zatim sve komentirati:

a) Riješite nejednačinu

Prvi metod

Metoda je vrlo slična priči s koordinatnim osama, o kojoj smo gore govorili. Ideja je transformirati nejednakost - ostaviti jednu varijablu na lijevoj strani bez ikakvih konstanti, u ovom slučaju, varijabla x.

pravilo: U nejednakosti se članovi prenose iz dijela u dio sa promjenom predznaka, dok je predznak same nejednakosti se ne mijenja(na primjer, ako je postojao znak “manje od”, onda će ostati “manje”).

Prenosimo "pet" na desnu stranu sa promjenom predznaka:

pravilo POZITIVNO se ne mijenja.

Sada nacrtajte ravnu liniju (isprekidana plava linija). Prava linija je isprekidana zbog nejednakosti strog, a tačke koje pripadaju ovoj pravoj sigurno neće biti uključene u rješenje.

Šta je značenje nejednakosti? "X" je uvijek (za bilo koju vrijednost "y") manji od . Očigledno, ovu tvrdnju zadovoljavaju sve tačke lijeve poluravni. Ova poluravnina, u principu, može se zasjeniti, ali ću se ograničiti na male plave strelice kako ne bih pretvorio crtež u umjetničku paletu.

Metod dva

Ovo je univerzalan način. ČITAJTE VEOMA PAŽLJIVO!

Prvo nacrtajte ravnu liniju. Usput, radi jasnoće, preporučljivo je predstaviti jednačinu u obliku .

Sada odaberite bilo koju tačku ravnine, ne pripada pravoj liniji. U većini slučajeva, najukusnija tačka, naravno. Zamijenite koordinate ove tačke u nejednakost:

Primljeno pogrešna nejednakost(jednostavno rečeno, to ne može biti), što znači da tačka ne zadovoljava nejednakost .

Ključno pravilo našeg zadatka:
ne zadovoljava nejednakost, dakle SVE tačke date poluravni ne zadovoljavaju na ovu nejednakost.
– Ako bilo koja tačka poluravni (ne pripada pravoj) zadovoljava nejednakost, dakle SVE tačke date poluravni zadovoljiti na ovu nejednakost.

Možete testirati: bilo koja tačka desno od prave neće zadovoljiti nejednakost .

Kakav je zaključak iz eksperimenta sa tačkom? Nema se kuda, nejednakost je zadovoljena svim tačkama druge - lijeve poluravnine (možete i provjeriti).

b) Riješite nejednačinu

Prvi metod

Transformirajmo nejednakost:

pravilo: Obje strane nejednakosti se mogu pomnožiti (podijeliti). NEGATIVNO broj, dok je znak nejednakosti CHANGING na suprotno (na primjer, ako je postojao znak "veće ili jednako", tada će postati "manje ili jednako").

Pomnožite obje strane nejednakosti sa:

Nacrtajmo pravu liniju (crvena boja), štaviše, nacrtajmo punu liniju, jer imamo nejednakost nestrog, a linija svakako pripada rješenju.

Nakon analize rezultirajuće nejednakosti dolazimo do zaključka da je njeno rješenje donja poluravnina (+ sama prava).

Odgovarajuća poluravan je šrafirana ili označena strelicama.

Metod dva

Hajde da nacrtamo pravu liniju. Odaberimo proizvoljnu tačku ravnine (koja ne pripada pravoj liniji), na primjer, i zamijenimo njene koordinate u našu nejednakost:

Primljeno ispraviti nejednakost, tada tačka zadovoljava nejednakost , i općenito, SVE tačke donje poluravnine zadovoljavaju ovu nejednakost.

Ovdje eksperimentalnom tačkom „pogodimo“ željenu poluravninu.

Rješenje problema je označeno crvenom ravnom linijom i crvenim strelicama.

Lično mi se više sviđa prvo rješenje, jer je drugo formalnije.

Primjer 2

Riješite linearne nejednačine:

Ovo je "uradi sam" primjer. Pokušajte riješiti problem na dva načina (usput, ovo je dobar način da provjerite rješenje). U odgovoru na kraju lekcije biće samo završni crtež.

Mislim da ćete nakon svih radnji urađenih u primjerima morati da ih oženite, neće biti teško riješiti najjednostavniju nejednakost, poput itd.

Prelazimo na razmatranje trećeg, opšteg slučaja, kada su obe varijable prisutne u nejednakosti:

Alternativno, slobodni izraz "ce" može biti nula.

Primjer 3

Pronađite poluravnine koje odgovaraju sljedećim nejednačinama:

Rješenje: Ovo koristi univerzalnu metodu zamjene bodova.

a) Konstruirajmo jednačinu prave linije, a liniju treba povući isprekidanom linijom, pošto je nejednakost stroga i sama prava linija neće biti uključena u rješenje.

Odaberemo eksperimentalnu tačku ravnine koja ne pripada datoj pravoj, na primjer, i zamijenimo njene koordinate u našu nejednakost:

Primljeno pogrešna nejednakost, pa tačka i SVE tačke ove poluravnine ne zadovoljavaju nejednakost . Rješenje nejednakosti bit će još jedna poluravnina, divimo se plavoj munji:

b) Rešimo nejednačinu. Prvo nacrtajmo pravu liniju. To je lako učiniti, imamo kanonsku direktnu proporcionalnost. Linija je povučena puna, jer nejednakost nije stroga.

Biramo proizvoljnu tačku ravni koja ne pripada pravoj. Htio bih ponovo koristiti porijeklo, ali, nažalost, sada nije prikladno. Zbog toga ćete morati da radite sa drugom devojkom. Isplativije je uzeti tačku s malim vrijednostima koordinata, na primjer, . Zamijenite njegove koordinate u našu nejednakost:

Primljeno ispraviti nejednakost, pa tačka i sve tačke date poluravni zadovoljavaju nejednakost . Željena poluravnina je označena crvenim strelicama. Osim toga, rješenje uključuje i samu liniju.

Primjer 4

Pronađite poluravnine koje odgovaraju nejednačinama:

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje, grubi uzorak dorade i odgovor na kraju lekcije.

Pogledajmo obrnuti problem:

Primjer 5

a) Zadana je prava linija. Definiraj poluravni u kojoj se nalazi tačka, dok sama prava mora biti uključena u rješenje.

b) Zadana je prava linija. Definiraj poluravan u kojoj se nalazi tačka. Sama linija nije uključena u rješenje.

Rješenje: ovdje nema potrebe za crtežom i rješenje će biti analitičko. ništa teško:

a) Sastavite pomoćni polinom i izračunajte njegovu vrijednost u tački:
. Dakle, željena nejednakost će biti sa predznakom "manje od". Po uslovu, linija je uključena u rješenje, tako da nejednakost neće biti stroga:

b) Sastavite polinom i izračunajte njegovu vrijednost u tački:
. Dakle, željena nejednakost će biti sa predznakom "veće od". Po uslovu, prava nije uključena u rješenje, stoga će nejednakost biti stroga: .

Odgovori:

Kreativan primjer za samostalno učenje:

Primjer 6

Zadate bodove i pravac. Među navedenim tačkama pronađite one koje zajedno sa ishodištem leže na istoj strani date prave.

Mali savjet: prvo morate napisati nejednakost koja definira poluravninu u kojoj se nalazi ishodište. Analitičko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Sistemi linearnih nejednačina

Sistem linearnih nejednakosti je, kao što razumete, sistem sastavljen od nekoliko nejednakosti. Lol, pa, dao sam definiciju =) Jež je jež, nož je nož. Ali istina je - ispalo je jednostavno i pristupačno! Ne, ozbiljno, ne želim da dajem neke primere uopšteno, pa da odmah pređemo na hitna pitanja:

Šta znači riješiti sistem linearnih nejednačina?

Riješiti sistem linearnih nejednačina- ovo znači naći skup tačaka u ravni koji zadovoljavaju svakome sistemska nejednakost.

Kao najjednostavniji primjer, razmotrite sisteme nejednačina koji određuju koordinatne četvrti pravokutnog koordinatnog sistema („crtanje dvojke“ je na samom početku lekcije):

Sistem nejednakosti definira prvu koordinatnu četvrtinu (gore desno). Koordinate bilo koje tačke prve četvrtine, na primjer, itd. zadovoljiti svakome nejednakost ovog sistema.

Slično:
– sistem nejednakosti definiše drugu koordinatnu četvrtinu (gore lijevo);
– sistem nejednakosti definiše treću koordinatnu četvrtinu (dole levo);
– sistem nejednakosti definiše četvrtu koordinatnu četvrtinu (dole desno).

Sistem linearnih nejednačina možda nema rješenja, odnosno biti nekompatibilno. Opet, najjednostavniji primjer: . Sasvim je očigledno da "x" ne može biti više od tri i manje od dva u isto vrijeme.

Rješenje sistema nejednačina može biti prava linija, na primjer: . Labud, rak, bez štuke, vuče kola u dva različita pravca. Da, stvari su još uvijek tu - rješenje za ovaj sistem je prava linija.

Ali najčešći slučaj, kada je rješenje sistema neko ravninsko područje. Područje odlučivanja možda neograničeno(na primjer, koordinatne četvrti) ili ograničeno. Ograničena domena rješenja se zove sistem rješenja poligona.

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih nejednačina

U praksi, u većini slučajeva, morate da se nosite sa nestriktnim nejednakostima, pa će oni plesati ostatak lekcije.

Rješenje: činjenica da ima previše nejednakosti ne bi trebala biti zastrašujuća. Koliko nejednakosti može biti u sistemu? Da, koliko god želiš. Glavna stvar je pridržavati se racionalnog algoritma za izgradnju područja rješenja:

1) Prvo se bavimo najjednostavnijim nejednačinama. Nejednakosti definiraju prvu koordinatnu četvrtinu, uključujući i granicu koordinatnih osa. Već mnogo lakše, jer se područje pretraživanja značajno suzilo. Na crtežu odmah označavamo odgovarajuće poluravnine strelicama (crvena i plava strelica)

2) Druga najjednostavnija nejednakost - ovdje nema "y". Prvo, gradimo samu liniju, a drugo, nakon transformacije nejednakosti u oblik, odmah postaje jasno da su svi "xes" manji od 6. Odgovarajuću poluravninu označavamo zelenim strelicama. Pa, područje pretraživanja postalo je još manje - takav pravougaonik koji nije ograničen odozgo.

3) U posljednjem koraku rješavamo nejednakosti “sa punom municijom”: . Algoritam rješenja detaljno smo razmatrali u prethodnom dijelu. Ukratko: prvo gradimo pravu liniju, a zatim uz pomoć eksperimentalne tačke nalazimo potrebnu poluravninu.

Ustanite djeco, stanite u krug:


Područje rješenja sistema je poligon, na crtežu je zaokružen grimiznom linijom i zasjenjen. Malo sam pretjerao =) U bilježnici je dovoljno ili zasjeniti područje rješenja, ili ga hrabrije ocrtati jednostavnom olovkom.

Bilo koja tačka ovog poligona zadovoljava SVAKU nejednakost sistema (zainteresovano, možete provjeriti).

Odgovori: rješenje sistema je poligon.

Kada pravite čistu kopiju, bilo bi dobro da detaljno opišete na kojim tačkama ste gradili prave linije (pogledajte lekciju Grafovi i svojstva funkcija), i kako su određene poluravnine (vidi prvi paragraf ove lekcije). Međutim, u praksi će vam u većini slučajeva biti pripisan samo ispravan crtež. Sami proračuni se mogu izvršiti na nacrtu ili čak usmeno.

Pored poligona rješenja sistema, u praksi, iako rjeđe, postoji otvorena površina. Pokušajte sami raščlaniti sljedeći primjer. Iako, tačnosti radi, ovdje nema mučenja - algoritam izgradnje je isti, samo će se pokazati da područje nije ograničeno.

Primjer 8

Riješite sistem

Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Najvjerovatnije ćete imati druge slovne oznake za vrhove rezultirajućeg područja. Ovo nije važno, glavna stvar je pravilno pronaći vrhove i pravilno izgraditi područje.

Nije neuobičajeno kada se u zadacima zahteva ne samo konstruisanje domena rešenja sistema, već i pronalaženje koordinata vrhova domena. U prethodna dva primjera koordinate ovih tačaka su bile očigledne, ali u praksi je sve daleko od leda:

Primjer 9

Riješite sistem i pronađite koordinate vrhova rezultirajuće površine

Rješenje: na crtežu ćemo prikazati područje rješenja ovog sistema. Nejednakost postavlja lijevu poluravninu sa y-osom i ovdje više nema besplatnih. Nakon proračuna na čistom/nacrtu ili dubokom misaonom procesu, dobijamo sljedeće područje odlučivanja: