Riješite matricu na tri načina. Cramerovo pravilo

Razmotrite sistem linearne jednačine sa mnogo varijabli:

gdje je aij - koeficijenti na nepoznatom hi; bi slobodni članovi;

indeksi: i = 1,2,3…m- određuju broj jednačine i j = 1,2,3...n- broj nepoznate.

Definicija: Rješenje sistema jednadžbi (5) je skup od n brojeva (x10, x20, .... xn0), kada se zamijene u sistem, sve jednačine se pretvaraju u prave numeričke identitete.

Definicija: Sistem jednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje. zglobni sistem naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje (x10, x20,….xn0), a neodređenim ako postoji nekoliko takvih rješenja.

Definicija: Sistem se naziva nekonzistentnim ako nema rješenja.

Definicija: Tabele sastavljene od numeričkih koeficijenata (aij) i slobodnih termina (bi) sistema jednačina (5) nazivaju se sistemska matrica (A) i proširena matrica (A1), koje se označavaju kao:

Definicija: Matrica sistema A, koja ima nejednak broj redova i kolona (n?m), naziva se pravougaona. Ako je broj redaka i stupaca isti (n=m), tada se matrica naziva kvadratnom.

Ako je broj nepoznatih u sistemu jednak broju jednačina (n=m), onda sistem ima kvadratna matrica n-ti red.

Izdvojimo k-proizvoljne redove i k-proizvoljne stupce (km, kn) u matrici A.

Definicija: Determinanta k-reda, sastavljena od elemenata matrice A, koja se nalazi na presjeku odabranih redova i kolona, naziva se minor k-reda matrice A.

Razmotrimo sve moguće minore matrice A. Ako su svi minori (k + 1) reda jednaki nuli, a barem jedan od minora k reda nije jednak nuli, onda se kaže da matrica ima rang jednako k.

Definicija: Poziva se rang matrice A najveća narudžba nenulti minor ove matrice. Rang matrice se označava sa r(A).

Definicija: Bilo koji minor matrice različit od nule čiji je redoslijed jednak rangu matrice se nazivaju osnovnim.

Definicija: Ako se za dvije matrice A i B njihovi rangovi poklapaju r(A) = r(B), onda se ove matrice nazivaju ekvivalentne i označavaju se A B.

Rang matrice se neće promijeniti od elementarnih, ekvivalentnih transformacija, koje uključuju:

1. Zamjena redova kolonama, a kolona odgovarajućim redovima;
2. Permutacija redova ili kolona na mjestima;
3. Precrtavanje redova ili kolona čiji su svi elementi jednaki nuli;
4. Množenje ili dijeljenje reda ili stupca brojem koji nije nula;
5. Sabiranje ili oduzimanje elemenata jednog reda ili kolone od drugog, pomnoženo bilo kojim brojem.

Prilikom određivanja ranga matrice koristite ekvivalentne transformacije, uz pomoć kojih se originalna matrica svodi na stepenastu (trokutastu) matricu.

AT stepenasta matrica nulti elementi nalaze se ispod glavne dijagonale, a prvi nenulti element svakog njegovog reda, počevši od drugog, nalazi se desno od prvog različitog od nule elementa prethodnog reda.

Imajte na umu da je rang matrice jednak je broju različiti od nule redovi stepenaste matrice.

Na primjer, matrica A= - stepenastog tipa a njen rang je jednak broju nenultih redova matrice r(A)=3. Zaista, svi minori 4. reda sa nultim elementima iz 4. reda su jednaki nuli, a minori 3. reda su različiti od nule. Za provjeru izračunavamo determinantu minora prva 3 reda i 3 kolone:

Bilo koja matrica se može svesti na matricu koraka nuliranjem elemenata matrice ispod glavne dijagonale koristeći elementarne operacije.

Vratimo se proučavanju i rješavanju sistema linearnih jednačina (5).

Važnu ulogu u proučavanju sistema linearnih jednačina igra Kronecker-Capeli teorema. Hajde da formulišemo ovu teoremu.

Kronecker-Capelli teorem: Sistem linearnih jednačina je konzistentan ako i samo ako je rang sistemske matrice A jednak rangu proširene matrice A1, tj. r(A)=r(A1). U slučaju kompatibilnosti, sistem je definitivan ako je rang matrice sistema jednak broju nepoznatih, tj. r(A)=r(A1)=n i nedefinisan ako je ovaj rang manje od broja nepoznato, tj. r(A)= r(A1)

Primjer. Istražite sistem linearnih jednačina:

Odredimo rangove sistemske matrice A i proširene matrice A1. Da bismo to učinili, sastavimo proširenu matricu A1 i svedemo je na stepenasti oblik.

Kada konvertujete matricu, uradite sledeće:

2) oduzmite od 3 i 4 reda 1. red pomnožen sa 4;
3) pomnožite 4. red sa (-1) i zamenite sa 2. redom;
4) dodati 3 i 4 reda sa 2. redom pomnoženim sa 5, odnosno 4;
5) oduzmite 3. red od 4. reda i precrtajte 4. red sa nula elemenata.

Kao rezultat izvršenih radnji, dobili smo stepenastu matricu sa tri reda različita od nule kako u matrici sistema (do linije) tako iu proširenoj matrici. Odatle se vidi da je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice i jednak 3, ali manji od broja nepoznatih (n=4).

Odgovor: jer r(A)=r(A1)=3

Zbog činjenice da je zgodno odrediti rang matrica svođenjem na stepenasti oblik, razmotrit ćemo metodu za rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode.

Gaussova metoda

Suština Gaussove metode leži u sukcesivnom uklanjanju nepoznatih. t redukcijom na stepenasti oblik proširene matrice A1, koja uključuje sistemsku matricu A do prave. U ovom slučaju se istovremeno određuju rangovi matrica A, A1 i proučava se sistem po Kronecker-Capelli teorema. U posljednjoj fazi rješava se sistem jednadžbi stepenastog tipa, vršeći zamjene odozdo prema gore pronađenih vrijednosti nepoznanica.

Razmotrimo primjenu Gaussove metode i Kronecker-Capelijeve teoreme na primjeru.

Primjer. Riješite sistem Gaussovom metodom:

Odredimo rangove sistemske matrice A i proširene matrice A1. Da bismo to učinili, sastavimo proširenu matricu A1 i svedemo je na stepenasti oblik. Prilikom bacanja uradite sljedeće:

1) oduzmite 1. red od 2. reda;
2) oduzeti od 3. reda 1. red, pomnožen sa 2;
3) podijelite 2. red sa (-2), a 3. red pomnožite sa (-1) i zamijenite ih.

Dobili smo matricu koraka, u kojoj je broj redova jednak 3, a matrica sistema (pre linije) takođe nema nula ponora. Prema tome, rangovi sistemske matrice i proširene matrice su 3 i jednaki su broju nepoznatih, tj. r(A)=r(A1)=n=3.. Prema Kronecker-Capelli teoremi, sistem je konzistentan i definisan, ima jedinstveno rješenje.

Kao rezultat transformacije matrice A1, nuliranjem koeficijenata za nepoznate, one su sukcesivno isključene iz jednačina i dobijen je stepenasti (trokutasti) sistem jednačina:

Krećući se uzastopno odozdo prema gore, zamjenjujući rješenje (x3=1) iz treće jednačine u drugu, a rješenja (x2=1, x3=1) iz druge i treće jednačine u prvu, dobijamo rješenje sistem jednačina: x1=1,x2=1, x3=1.

Provjerite: -(!) Odgovor: (x1=1,x2=1,x3=1).

Jordan-Gaussova metoda

Ovaj sistem se može riješiti poboljšanom Jordan-Gaussovom metodom, koja se sastoji u tome da se matrica sistema A u proširenoj matrici (do prave) svede na matricu identiteta: E = sa jednom dijagonalnom i nultom vandijagonalnim elementima i odmah dobiti rješenje sistema bez dodatnih zamjena.

Rešimo gornji sistem Jordan-Gaussovom metodom. Da bismo to učinili, rezultujuću matricu koraka transformiramo u jednu na sljedeći način:

1) oduzmite 2. red od 1. reda;
2) sa 1. redom dodati 3. red, pomnožen sa 3;
3) od 2. reda oduzmite 3. red, pomnoženo sa 4.

Originalni sistem jednadžbi sveden je na sistem:, koji određuje rješenje.

osnovne operacije sa matricama

Neka su date dvije matrice: A= B=.

1. Matrice su jednake A=B ako su njihovi istoimeni elementi jednaki: aij=bij
2. Zbir (razlika) matrica (A ± B) je matrica definirana jednakošću:

Prilikom sabiranja (oduzimanja) matrica, njihovi istoimeni elementi se sabiraju (oduzimaju).

3. Proizvod broja k matricom A je matrica definirana jednakošću:

Kada se matrica pomnoži sa brojem, svi elementi matrice se pomnože s tim brojem.

4. Proizvod matrica AB je matrica definirana jednakošću:

Prilikom množenja matrica, elementi redova prve matrice se množe sa elementima stupaca druge matrice i zbrajaju, a element matrice proizvoda u i-tom redu i j-tom stupcu jednak je zbir proizvoda odgovarajućih elemenata i-tog reda prve matrice i j-te kolone druge matrice.

Kod množenja matrica, u opštem slučaju, ne važi komutativni zakon, tj. AB?VA.

5. Transpozicija matrice A je radnja koja dovodi do zamjene redova stupcima, a stupaca odgovarajućim redovima.

Matrica AT= naziva se transponovana matrica za matricu A=.

Ako determinanta matrice A nije jednaka nuli (D?0), onda se takva matrica naziva nesingularnom. Za bilo koju nesingularnu matricu A postoji inverzna matrica A-1, za koju vrijedi jednakost: A-1 A= A A-1=E, gdje je E=- matrica identiteta.

6. Inverzija matrice A je takva radnja u kojoj se dobije inverzna matrica A-1

Prilikom invertiranja matrice A izvode se sljedeće radnje.

Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije izvedene s matricama. Matematička matrica - tabela elemenata. O stolu gdje m linije i n kolone, kažu da ova matrica ima dimenziju m na n.

Opšti izgled matrice:

Za matrična rješenja morate razumjeti šta je matrica i znati njene glavne parametre. Glavni elementi matrice:

Glavna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 11, a 22 ..... a mn.
Bočna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 1n ,a 2n-1 …..a m1.

Glavne vrste matrica:

Kvadrat - takva matrica, gdje je broj redova = broj stupaca ( m=n).
Nula - gdje su svi elementi matrice = 0.
Transponovana matrica - matrica AT, koji je dobiven iz originalne matrice A zamjenom redova kolonama.
Pojedinačni - svi elementi glavne dijagonale = 1, svi ostali = 0.
Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži s originalnom matricom, rezultira matricom identiteta.

Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, tada je matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične.

Metode rješavanja matrica.

Gotovo sve metode matričnog rješenja treba pronaći njegovu odrednicu n reda i većina njih je prilično glomazna. Za pronalaženje determinante 2. i 3. reda postoje i drugi, racionalniji načini.

Pronalaženje determinanti 2. reda.

Za izračunavanje determinante matrice ALI 2. reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale:

Metode za pronalaženje determinanti 3. reda.

Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda.

Pojednostavljeno pravilo trougla kao jedno od metode matričnog rješenja, može se predstaviti na sljedeći način:

Drugim riječima, proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani linijama uzima se sa znakom "+"; također, za 2. odrednicu - odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi:

At rješavanje matrica po Sarrusovom pravilu, desno od determinante, dodaju se prve 2 kolone i proizvodi odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne uzimaju se sa znakom "+"; i produkti odgovarajućih elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-":

Proširenje determinante u red ili stupac pri rješavanju matrica.

Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa. Obično izaberite red/kolona u kojoj/to ima nule. Red ili stupac na kojem se vrši dekompozicija će biti označen strelicom.

Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica.

At rješavanje matrica svođenjem determinante u trokutasti oblik funkcioniraju ovako: korištenjem najjednostavnijih transformacija na redovima ili stupcima, determinanta postaje trokutasta i tada će njena vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka umnošku elemenata koji stoje na glavnoj dijagonali.

Laplaceov teorem za rješavanje matrica.

Prilikom rješavanja matrica korištenjem Laplaceove teoreme potrebno je direktno poznavati samu teoremu. Laplaceov teorem: Neka Δ je determinanta n-th red. Odabiremo bilo koju k redovi (ili kolone), predviđeni k≤ n - 1. U ovom slučaju, zbir proizvoda svih maloljetnika k red koji se nalazi u odabranom k redova (kolona), njihovi algebarski dodaci će biti jednaki determinanti.

Rješenje inverzne matrice.

Redoslijed radnji za inverzna matrična rješenja:

Saznajte da li je data matrica kvadratna. U slučaju negativnog odgovora, postaje jasno da za njega ne može postojati inverzna matrica.
Računamo algebarske sabirke.
Sastavljamo savezničku (međusobnu, pridruženu) matricu C.
Sastavljamo inverznu matricu od algebarskih sabiranja: svi elementi pridružene matrice C podijeliti sa determinantom početne matrice. Rezultirajuća matrica će biti željena inverzna matrica u odnosu na datu.
Provjeravamo obavljeni posao: množimo matricu početne i rezultirajuće matrice, rezultat bi trebao biti matrica identiteta.

Rješenje matričnih sistema.

Za rješenja matričnih sistema najčešće se koristi Gaussova metoda.

Gaussova metoda je standardna metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) i sastoji se u tome da se varijable sukcesivno eliminišu, odnosno da se uz pomoć elementarnih promjena sistem jednačina dovodi u ekvivalentan sistem trokutasti oblik i iz njega, uzastopno, počevši od posljednjeg (po broju), pronaći svaki element sistema.

Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat za pronalaženje matričnih rješenja. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja ili je sistem nekompatibilan, onda se ne može riješiti korištenjem Cramerovog pravila i matrične metode.

Gaussova metoda također podrazumijeva direktne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobivanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnuto (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) poteze. Kretanje naprijed je Gaussova metoda, a obrnuto je Gauss-Jordan metoda. Gauss-Jordan metoda se razlikuje od Gaussove metode samo po redoslijedu eliminacije varijabli.

(ponekad se ova metoda naziva i matrična metoda ili metoda inverzne matrice) zahtijeva prethodno upoznavanje sa konceptom kao što je matrična notacija SLAE. Metoda inverzne matrice je dizajnirana za rješavanje onih sistema linearnih algebarskih jednadžbi za koje je determinanta sistemske matrice različito od nule. Naravno, ovo implicira da je matrica sistema kvadratna (koncept determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština metode inverzne matrice može se izraziti u tri tačke:

Zapišite tri matrice: sistemsku matricu $A$, matricu nepoznatih $X$, matricu slobodnih termina $B$.
Nađi inverzna matrica$A^(-1)$.
Koristeći jednakost $X=A^(-1)\cdot B$ dobiti rješenje zadate SLAE.

Bilo koji SLAE može biti upisan matrični oblik kao $A\cdot X=B$, gdje je $A$ matrica sistema, $B$ je matrica slobodnih termina, $X$ je matrica nepoznatih. Neka postoji matrica $A^(-1)$. Pomnožite obje strane jednakosti $A\cdot X=B$ sa matricom $A^(-1)$ s lijeve strane:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Pošto je $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ je matrica identiteta), onda gore napisana jednakost postaje:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Pošto je $E\cdot X=X$, onda:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Primjer #1

Riješite SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ koristeći inverznu matricu.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \end(niz)\desno). $$

Nađimo inverznu matricu prema matrici sistema, tj. izračunaj $A^(-1)$. AT primjer #2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Sada zamenimo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednačinu $X=A^(-1)\cdot B$. Onda ćemo izvršiti množenje matrice

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(niz)\desno)\cdot \left(\početak(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(niz)\desno)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(niz) (c) 309\\ -206 \end(niz)\desno)=\left( \begin(niz) (c) -3\\ 2\end(niz)\desno). $$

Tako smo dobili $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\ desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Odgovori: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Primjer #2

Riješite SLAE $ \levo\(\begin(poravnano) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(poravnano)\desno .$ metodom inverzne matrice.

Zapišimo matricu sistema $A$, matricu slobodnih termina $B$ i matricu nepoznatih $X$.

$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) -1\\0\\6\end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(niz)\desno). $$

Sada je vrijeme da pronađemo inverznu matricu sistemske matrice, tj. pronađite $A^(-1)$. AT primjer #3 na stranici posvećenoj pronalaženju inverznih matrica, inverzna matrica je već pronađena. Iskoristimo gotov rezultat i napišemo $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\kraj (niz)\desno). $$

Sada zamjenjujemo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednakost $X=A^(-1)\cdot B$, nakon čega izvršavamo množenje matrice na desnoj strani ove jednakosti.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (c) -1\\0\ \6\end(niz)\desno)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(niz)\desno)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 0\\-104\\234\end(niz)\right)=\left( \begin(niz) (c) 0\\-4\\9\end(niz)\desno) $$

Tako smo dobili $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(niz)\desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Jednačine uopšte, linearne algebarske jednačine i njihovi sistemi, kao i metode za njihovo rešavanje, zauzimaju posebno mesto u matematici, teorijskoj i primenjenoj.

To je zbog činjenice da se velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih, pa čak i pedagoških problema može opisati i riješiti korištenjem raznih jednačina i njihovih sistema. U posljednje vrijeme matematičko modeliranje je steklo posebnu popularnost među istraživačima, naučnicima i praktičarima u gotovo svim predmetnim oblastima, što se objašnjava njegovim očiglednim prednostima u odnosu na druge dobro poznate i dokazane metode za proučavanje objekata različite prirode, posebno tzv. sistemima. Postoji veliki broj različitih definicija matematičkog modela koje su naučnici davali u različito vrijeme, ali po našem mišljenju, najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model je ideja izražena jednadžbom. Dakle, sposobnost sastavljanja i rješavanja jednačina i njihovih sistema je sastavna karakteristika savremenog specijaliste.

Za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina najčešće se koriste metode: Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.

Metoda matričnog rješenja - metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina sa determinantom različitom od nule korištenjem inverzne matrice.

Ako zapišemo koeficijente za nepoznate vrijednosti xi u matricu A, prikupimo nepoznate vrijednosti u kolonu X vektor, a slobodne članove u vektor stupca B, tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi može zapisati u oblik sljedeće matrične jednačine A X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U ovom slučaju rješenje sistema jednačina se može naći na sljedeći način X = A-jedan · B, gdje A-1 - inverzna matrica.

Metoda rješenja matrice je sljedeća.

Neka je zadan sistem linearnih jednadžbi sa n nepoznato:

Može se prepisati u matričnom obliku: SJEKIRA = B, gdje A- glavna matrica sistema, B i X- kolone slobodnih članova i rješenja sistema, odnosno:

Pomnožite ovu matričnu jednačinu na lijevoj strani A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (SJEKIRA) = A -1 B

Jer A -1 A = E, dobijamo X= A -1 B. Desna strana ove jednačine će dati kolonu rješenja originalnog sistema. Uslov za primenljivost ove metode (kao i opšte postojanje rešenja nehomogenog sistema linearnih jednačina sa brojem jednačina jednakim broju nepoznatih) je nedegenerisanost matrice. A. Neophodan i dovoljan uslov za to je da je determinanta matrice A: det A≠ 0.

Za homogeni sistem linearnih jednačina, odnosno kada je vektor B = 0 , zapravo suprotno pravilo: sistem SJEKIRA = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholmova alternativa.

Primjer rješenja nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina.

Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljena od koeficijenata nepoznatih sistema linearnih algebarskih jednadžbi, nije jednaka nuli.

Sljedeći korak je izračunavanje algebarskih komplemenata za elemente matrice koje se sastoje od koeficijenata nepoznatih. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.