Rešiti sistem jednačina kalkulatorom matrične metode. Matrična metoda online

Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih zove sistem forme

gdje aij i b i (i=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi j je broj nepoznate na kojoj stoji ovaj koeficijent.

Koeficijenti za nepoznate biće zapisani u obliku matrice , koje ćemo nazvati sistemska matrica.

Brojevi na desnoj strani jednadžbe b 1 ,…,b m pozvao besplatni članovi.

Agregat n brojevi c 1 ,…,c n pozvao odluka ovog sistema, ako svaka jednadžba sistema postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.

Naš zadatak će biti da pronađemo rješenja za sistem. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:

Zove se sistem linearnih jednačina koji ima barem jedno rješenje joint. Inače, tj. ako sistem nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.

Razmotrite načine za pronalaženje rješenja za sistem.

MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

Matrice omogućavaju da se ukratko zapiše sistem linearnih jednačina. Neka je zadan sistem od 3 jednadžbe sa tri nepoznate:

Razmotrimo matricu sistema i matrične kolone nepoznatih i slobodnih članova

Hajde da pronađemo proizvod

one. kao rezultat proizvoda, dobijamo leve strane jednadžbi ovog sistema. Zatim, koristeći definiciju matrične jednakosti, ovaj sistem se može zapisati kao

ili kraće A∙X=B.

Evo matrice A i B poznati su i matrica X nepoznato. Treba je pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sistema. Ova jednačina se zove matrična jednačina.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednačina rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani matricom A-1, inverzno od matrice A: . Zbog A -1 A = E i E∙X=X, tada dobijamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može naći samo za kvadratne matrice, metoda matrice može riješiti samo one sisteme u kojima broj jednačina je isti kao i broj nepoznatih. Međutim, matrična notacija sistema je moguća i u slučaju kada broj jednačina nije jednak broju nepoznatih, tada je matrica A nije kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sistema u obliku X = A -1 B.

Primjeri. Rješavanje sistema jednačina.

CRAMEROVO PRAVILO

Razmotrimo sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sistema, tj. sastavljen od koeficijenata na nepoznatim,

pozvao sistemska determinanta.

Sastavljamo još tri determinante na sljedeći način: zamjenjujemo sukcesivno 1, 2 i 3 stupca u odrednici D kolonom slobodnih članova

Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.

Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i

Dokaz. Dakle, razmotrite sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožite 1. jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednačina - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednačine:

Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Po teoremi o proširenju determinante u smislu elemenata 1. stupca

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako uočiti

Dakle, dobijamo jednakost: .

Shodno tome, .

Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teoreme.

Dakle, primjećujemo da ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sistema jednaka nuli, onda sistem ili ima beskonačan skup rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilno.

Primjeri. Riješite sistem jednačina

GAUSSOVA METODA

Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sistema u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznanica, a determinanta sistema mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i pogodna je za sisteme s bilo kojim brojem jednačina. Sastoji se u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz jednačina sistema.

Razmotrimo ponovo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate:

Prvu jednačinu ostavljamo nepromijenjenom, a iz 2. i 3. isključujemo članove koji sadrže x 1. Da bismo to učinili, drugu jednačinu podijelimo sa a 21 i pomnoži sa - a 11, a zatim saberite sa 1. jednačinom. Slično, dijelimo treću jednačinu na a 31 i pomnoži sa - a 11, a zatim ga dodajte prvom. Kao rezultat, originalni sistem će poprimiti oblik:

Sada, iz posljednje jednačine, eliminiramo pojam koji sadrži x2. Da biste to učinili, podijelite treću jednačinu sa , pomnožite sa i dodajte je drugoj. Tada ćemo imati sistem jednačina:

Stoga je iz posljednje jednačine lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednačine x2 i konačno od 1. - x 1.

Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.

Često, umjesto pisanja novog sistema jednačina, oni se ograničavaju na ispisivanje proširene matrice sistema:

a zatim ga dovedite u trouglasti ili dijagonalni oblik koristeći elementarne transformacije.

To elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:

permutacija redova ili kolona;
množenje niza brojem koji nije nula;
dodajući u jedan red druge redove.

primjeri: Riješite sisteme jednačina Gaussovom metodom.

Dakle, sistem ima beskonačan broj rješenja.

Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije izvedene s matricama. Matematička matrica - tabela elemenata. O stolu gdje m linije i n kolone, kažu da ova matrica ima dimenziju m na n.

Opšti izgled matrice:

Za matrična rješenja morate razumjeti šta je matrica i znati njene glavne parametre. Glavni elementi matrice:

Glavna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 11, a 22 ..... a mn.
Bočna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 1n ,a 2n-1 …..a m1.

Glavne vrste matrica:

Kvadrat - takva matrica, gdje je broj redova = broj stupaca ( m=n).
Nula - gdje su svi elementi matrice = 0.
Transponovana matrica - matrica AT, koji je dobiven iz originalne matrice A zamjenom redova kolonama.
Pojedinačni - svi elementi glavne dijagonale = 1, svi ostali = 0.
Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži s originalnom matricom, rezultira matricom identiteta.

Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, tada je matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične.

Metode rješavanja matrica.

Gotovo sve metode matričnog rješenja treba pronaći njegovu odrednicu n reda i većina njih je prilično glomazna. Za pronalaženje determinante 2. i 3. reda postoje i drugi, racionalniji načini.

Pronalaženje determinanti 2. reda.

Za izračunavanje determinante matrice ALI 2. reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale:

Metode za pronalaženje determinanti 3. reda.

Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda.

Pojednostavljeno pravilo trougla kao jedno od metode matričnog rješenja, može se predstaviti na sljedeći način:

Drugim riječima, proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani linijama uzima se sa znakom "+"; također, za 2. odrednicu - odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi:

At rješavanje matrica po Sarrusovom pravilu, desno od determinante, dodaju se prve 2 kolone i proizvodi odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne uzimaju se sa znakom "+"; i produkti odgovarajućih elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-":

Proširenje determinante u red ili stupac pri rješavanju matrica.

Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa. Obično izaberite red/kolona u kojoj/to ima nule. Red ili stupac na kojem se vrši dekompozicija će biti označen strelicom.

Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica.

At rješavanje matrica svođenjem determinante u trokutasti oblik funkcioniraju ovako: korištenjem najjednostavnijih transformacija na redovima ili stupcima, determinanta postaje trokutasta i tada će njena vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka umnošku elemenata koji stoje na glavnoj dijagonali.

Laplaceov teorem za rješavanje matrica.

Prilikom rješavanja matrica korištenjem Laplaceove teoreme potrebno je direktno poznavati samu teoremu. Laplaceov teorem: Neka Δ je determinanta n-th red. Odabiremo bilo koju k redovi (ili kolone), predviđeni k≤ n - 1. U ovom slučaju, zbir proizvoda svih maloljetnika k red koji se nalazi u odabranom k redova (kolona), njihovi algebarski dodaci će biti jednaki determinanti.

Rješenje inverzne matrice.

Redoslijed radnji za inverzna matrična rješenja:

Saznajte da li je data matrica kvadratna. U slučaju negativnog odgovora, postaje jasno da za njega ne može postojati inverzna matrica.
Računamo algebarske sabirke.
Sastavljamo savezničku (međusobnu, pridruženu) matricu C.
Sastavljamo inverznu matricu od algebarskih sabiranja: svi elementi pridružene matrice C podijeliti sa determinantom početne matrice. Rezultirajuća matrica će biti željena inverzna matrica u odnosu na datu.
Provjeravamo obavljeni posao: množimo matricu početne i rezultirajuće matrice, rezultat bi trebao biti matrica identiteta.

Rješenje matričnih sistema.

Za rješenja matričnih sistema najčešće se koristi Gaussova metoda.

Gaussova metoda je standardna metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) i sastoji se u tome da se varijable sukcesivno eliminišu, odnosno da se uz pomoć elementarnih promjena sistem jednačina dovodi u ekvivalentan sistem trokutasti oblik i iz njega, uzastopno, počevši od posljednjeg (po broju), pronaći svaki element sistema.

Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat za pronalaženje matričnih rješenja. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja ili je sistem nekompatibilan, onda se ne može riješiti korištenjem Cramerovog pravila i matrične metode.

Gaussova metoda također podrazumijeva direktne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobivanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnuto (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) poteze. Kretanje naprijed je Gaussova metoda, a obrnuto je Gauss-Jordan metoda. Gauss-Jordan metoda se razlikuje od Gaussove metode samo po redoslijedu eliminacije varijabli.

Jednačine uopšte, linearne algebarske jednačine i njihovi sistemi, kao i metode za njihovo rešavanje, zauzimaju posebno mesto u matematici, teorijskoj i primenjenoj.

To je zbog činjenice da se velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih, pa čak i pedagoških problema može opisati i riješiti korištenjem raznih jednačina i njihovih sistema. U posljednje vrijeme matematičko modeliranje je steklo posebnu popularnost među istraživačima, naučnicima i praktičarima u gotovo svim predmetnim oblastima, što se objašnjava njegovim očiglednim prednostima u odnosu na druge dobro poznate i dokazane metode za proučavanje objekata različite prirode, posebno tzv. sistemima. Postoji veliki broj različitih definicija matematičkog modela koje su naučnici davali u različito vrijeme, ali po našem mišljenju, najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model je ideja izražena jednadžbom. Dakle, sposobnost sastavljanja i rješavanja jednačina i njihovih sistema je sastavna karakteristika savremenog specijaliste.

Za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina najčešće se koriste metode: Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.

Metoda matričnog rješenja - metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina sa determinantom različitom od nule korištenjem inverzne matrice.

Ako koeficijente za nepoznate vrijednosti xi ispišemo u matricu A, sakupimo nepoznate vrijednosti u kolonu X vektor, a slobodne članove u vektor stupca B, tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi može zapisati u oblik sljedeće matrične jednačine A X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U ovom slučaju rješenje sistema jednačina se može naći na sljedeći način X = A-jedan · B, gdje A-1 - inverzna matrica.

Metoda rješenja matrice je sljedeća.

Neka je zadan sistem linearnih jednadžbi sa n nepoznato:

Može se prepisati u matričnom obliku: SJEKIRA = B, gdje A- glavna matrica sistema, B i X- kolone slobodnih članova i rješenja sistema, odnosno:

Pomnožite ovu matričnu jednačinu na lijevoj strani A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (SJEKIRA) = A -1 B

Jer A -1 A = E, dobijamo X= A -1 B. Desna strana ove jednačine će dati kolonu rješenja originalnog sistema. Uslov za primenljivost ove metode (kao i opšte postojanje rešenja nehomogenog sistema linearnih jednačina sa brojem jednačina jednakim broju nepoznatih) je nedegenerisanost matrice. A. Neophodan i dovoljan uslov za to je da je determinanta matrice A: det A≠ 0.

Za homogeni sistem linearnih jednačina, odnosno kada je vektor B = 0 , zapravo suprotno pravilo: sistem SJEKIRA = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholmova alternativa.

Primjer rješenja nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina.

Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljena od koeficijenata nepoznatih sistema linearnih algebarskih jednačina, nije jednaka nuli.

Sljedeći korak je izračunavanje algebarskih komplemenata za elemente matrice koje se sastoje od koeficijenata nepoznatih. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Matrična metoda omogućava pronalaženje rješenja za SLAE (sistem linearnih algebarskih jednačina) bilo koje složenosti. Cijeli proces rješavanja SLAE svodi se na dva glavna koraka:

Određivanje inverzne matrice na osnovu glavne matrice:

Množenje rezultirajuće inverzne matrice vektorom stupaca rješenja.

Pretpostavimo da nam je dat SLAE sljedećeg oblika:

\[\left\(\begin(matrica) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrica)\desno.\]

Počnimo rješavati ovu jednačinu ispisivanjem matrice sistema:

Matrica sa desne strane:

Definirajmo inverznu matricu. Možete pronaći matricu 2. reda na sljedeći način: 1 - sama matrica mora biti nesingularna; 2 - njegovi elementi koji se nalaze na glavnoj dijagonali se zamjenjuju, a za elemente sekundarne dijagonale vršimo promjenu predznaka u suprotno, nakon čega dobijene elemente dijelimo matričnom determinantom. Dobijamo:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ početak(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matrice se smatraju jednakim ako su im odgovarajući elementi jednaki. Kao rezultat, imamo sljedeći odgovor SLAE rješenja:

Gdje mogu riješiti sistem jednačina koristeći matričnu metodu na mreži?

Sistem jednačina možete riješiti na našoj web stranici. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete naučiti kako riješiti jednačinu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi.

Ovaj online kalkulator rješava sistem linearnih jednačina koristeći matričnu metodu. Dato je vrlo detaljno rješenje. Da biste riješili sistem linearnih jednačina, odaberite broj varijabli. Odaberite metodu za izračunavanje inverzne matrice. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na dugme "Izračunaj".

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora otkucati kao a/b, gdje su a i b cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

Razmotrimo sljedeći sistem linearnih jednačina:

Uzimajući u obzir definiciju inverzne matrice, imamo A −1 A=E, gdje E je matrica identiteta. Stoga se (4) može zapisati na sljedeći način:

Dakle, da bi se riješio sistem linearnih jednačina (1) (ili (2)), dovoljno je pomnožiti inverzno na A matrica po vektoru ograničenja b.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina matričnom metodom

Primjer 1. Riješite sljedeći sistem linearnih jednadžbi koristeći matričnu metodu:

Nađimo inverznu matricu A Jordan-Gaussovom metodom. Na desnoj strani matrice A napišite matricu identiteta:

Isključimo elemente 1. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte redove 2,3 sa redom 1, pomnožene sa -1/3, -1/3, respektivno:

Isključimo elemente 2. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 3 sa linijom 2 pomnožen sa -24/51:

Isključimo elemente 2. kolone matrice iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 1 sa redom 2, pomnoženo sa -3/17:

Odvojite desnu stranu matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna od A :

Matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: ax=b, gdje

Izračunati sve algebarske komplemente matrice A: