Sistemi linearnih nejednačina i konveksni skupovi tačaka.

Rješavanje nejednakosti s dvije varijable, pa čak i više sistemi nejednačina sa dvije varijable, čini se kao pravi izazov. Međutim, postoji jednostavan algoritam koji pomaže da se lako i bez napora rješavaju naizgled vrlo složeni problemi ove vrste. Pokušajmo to shvatiti.

Pretpostavimo da imamo nejednakost s dvije varijable jednog od sljedećih tipova:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Da biste prikazali skup rješenja takve nejednakosti na koordinatnoj ravni, postupite na sljedeći način:

1. Gradimo graf funkcije y = f(x), koji ravan dijeli na dva područja.

2. Biramo bilo koje od dobijenih područja i razmatramo proizvoljnu tačku u njemu. Provjeravamo zadovoljivost originalne nejednakosti za ovu tačku. Ako se kao rezultat provjere dobije ispravna numerička nejednakost, onda zaključujemo da je izvorna nejednakost zadovoljena u cijeloj oblasti kojoj odabrana tačka pripada. Dakle, skup rješenja nejednakosti je površina kojoj pripada odabrana tačka. Ako se kao rezultat provjere dobije pogrešna numerička nejednakost, tada će skup rješenja nejednakosti biti druga regija kojoj odabrana tačka ne pripada.

3. Ako je nejednakost striktna, onda granice regije, odnosno tačke grafa funkcije y = f(x), nisu uključene u skup rješenja i granica je prikazana isprekidanom linijom. Ako nejednakost nije stroga, tada su granice regije, odnosno tačke grafa funkcije y = f(x), uključene u skup rješenja ove nejednakosti, a granica je u ovom slučaju prikazan kao puna linija.
Pogledajmo sada nekoliko problema na ovu temu.

Zadatak 1.

Koji skup tačaka je dat nejednakosti x · y ≤ 4?

Rješenje.

1) Gradimo graf jednačine x · y = 4. Da bismo to učinili, prvo je transformiramo. Očigledno je da je x in ovaj slučaj ne prelazi na 0, jer bismo inače imali 0 · y = 4, što nije tačno. Dakle, našu jednačinu možemo podijeliti sa x. Dobijamo: y = 4/x. Graf ove funkcije je hiperbola. Ona dijeli cijelu ravan na dva područja: onu između dvije grane hiperbole i onu izvan njih.

2) Biramo proizvoljnu tačku iz prve regije, neka je to tačka (4; 2).
Provjera nejednakosti: 4 2 ≤ 4 je netačno.

To znači da tačke ovog regiona ne zadovoljavaju prvobitnu nejednakost. Tada možemo zaključiti da će skup rješenja nejednakosti biti druga regija kojoj odabrana tačka ne pripada.

3) Kako nejednakost nije stroga, granične tačke, odnosno tačke grafika funkcije y = 4/x, crtamo punom linijom.

Obojimo skup tačaka koji definira izvornu nejednakost žutom bojom (Sl. 1).

Zadatak 2.

Nacrtajte područje definirano na koordinatnoj ravni od strane sistema
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Rješenje.

Za početak gradimo grafove sljedećih funkcija (sl. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - prava linija

x 2 + y 2 \u003d 9 je krug.

1) y > x 2 + 2.

Uzimamo tačku (0; 5), koja se nalazi iznad grafika funkcije.
Provjera nejednakosti: 5 > 0 2 + 2 je tačna.

Dakle, sve tačke koje leže iznad date parabole y = x 2 + 2 zadovoljavaju prvu nejednakost sistema. Obojimo ih u žuto.

2) y + x > 1.

Uzimamo tačku (0; 3), koja leži iznad grafika funkcije.
Provjera nejednakosti: 3 + 0 > 1 je tačna.

Dakle, sve tačke koje leže iznad prave y + x = 1 zadovoljavaju drugu nejednakost sistema. Obojimo ih u zeleno.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Uzimamo tačku (0; -4), koja se nalazi izvan kruga x 2 + y 2 = 9.
Provjera nejednakosti: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 je pogrešna.

Dakle, sve tačke koje leže izvan kruga x 2 + y 2 = 9, ne zadovoljavaju treću nejednakost sistema. Tada možemo zaključiti da sve tačke koje leže unutar kruga x 2 + y 2 = 9 zadovoljavaju treću nejednakost sistema. Obojimo ih ljubičastim sjenčanjem.

Ne zaboravite da ako je nejednakost stroga, onda odgovarajuću graničnu liniju treba nacrtati isprekidanom linijom. Dobijamo sljedeću sliku (sl. 3).

(sl. 4).

Zadatak 3.

Nacrtajte područje definirano na koordinatnoj ravni od strane sistema:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Rješenje.

Za početak gradimo grafikone sljedećih funkcija:

x 2 + y 2 \u003d 16 - krug,

x \u003d -y - ravno

x 2 + y 2 \u003d 4 - krug (sl. 5).

Sada se bavimo svakom nejednakošću posebno.

1) x2 + y2 ≤ 16.

Uzimamo tačku (0; 0), koja leži unutar kruga x 2 + y 2 = 16.
Provjera nejednakosti: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 je tačna.

Dakle, sve tačke koje leže unutar kruga x 2 + y 2 = 16 zadovoljavaju prvu nejednakost sistema.
Obojimo ih u crveno.

Uzimamo tačku (1; 1), koja se nalazi iznad grafika funkcije.
Provjeravamo nejednakost: 1 ≥ -1 - tačno.

Dakle, sve tačke koje leže iznad prave x = -y zadovoljavaju drugu nejednakost sistema. Obojimo ih u plavo.

3) x2 + y2 ≥ 4.

Uzimamo tačku (0; 5), koja se nalazi izvan kruga x 2 + y 2 = 4.
Provjeravamo nejednakost: 0 2 + 5 2 ≥ 4 je tačna.

Dakle, sve tačke izvan kruga x 2 + y 2 = 4 zadovoljavaju treću nejednakost sistema. Obojimo ih u plavo.

U ovom problemu sve nejednakosti nisu striktne, što znači da sve granice povlačimo punom linijom. Dobijamo sljedeću sliku (sl. 6).

Područje od interesa je područje gdje se sva tri obojena područja sijeku. (slika 7).

Imate bilo kakvih pitanja? Niste sigurni kako riješiti sistem nejednakosti sa dvije varijable?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

, nastavnik matematike, MOU "Osnovna gimnazija Upshinski"

Grafičko rješenje nejednakostisa dvije varijable

Često je potrebno prikazati na koordinatnoj ravni skup rješenja nejednakosti u dvije varijable. Podsjetimo da je rješenje nejednakosti s dvije varijable par vrijednosti ovih varijabli koje datu nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost.

Primjer 1

Uzmite u obzir nejednakost

Par varijabilnih vrijednosti (-1; 1) pretvara ovu nejednakost u

ispravna numerička nejednakost 2< 8, и является решением неравенства. Пара значений (2; 1) приводит к неверному числовому неравенству 11 < 8, и не является ре­шением данного неравенства.

Uz pomoć primjera, razmotrimo kako je skup rješenja nejednakosti s dvije varijable prikazan na koordinatnoj ravni.

Primjer 2

Predstavimo na koordinatnoj ravni skup rješenjakrunisanje 2g+ Zx< 6.

Prvo, povucimo liniju

Ona dijeli skup svih tačaka koordinatne ravni na tačke iznad nje i tačke ispod nje.

Uzmite iz svake regije kontrolni punkt , na primjer A (1; 1) i B (1; 3)

Koordinate tačaka ALI zadovoljiti ovu nejednakost 2g+ Zx< 6, т. е. 2 1 + 3 1 < 6.

Koordinate tačaka AT ne zadovoljavaju ovu nejednakost 2∙3 + 3∙1< 6.

Pošto ova nejednakost može promijeniti predznak na pravoj 2g+ Zx = 6, tada je nejednakost zadovoljena skupom tačaka regije u kojoj se nalazi tačka A. Zasjeniti ovo područje.

Dakle, prikazali smo skup rješenja nejednakosti 2g+ Zx< 6.

Primjer 3

Nacrtaj skup rješenja nejednačine x2 + 2x + y2- 4y + 1 > 0na koordinatnoj ravni.

Konstruirajmo prvo graf jednadžbe x2 + 2x + y2 - 4y + 1 = 0. U ovoj jednačini biramo kružnicu: (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 4, ili ( x + 1) 2 + ( y - 2)2 = 22.

Ovo je jednadžba kružnice sa centrom u tački 0 (-1; 2) i radijusom R = 2. Konstruirajmo ovu kružnicu.

Pošto je ova nejednakost stroga i tačke koje leže na samoj kružnici ne zadovoljavaju nejednakost, konstruišemo kružnicu isprekidanom linijom.

Lako je provjeriti da li su koordinate centra O krugovi ne zadovoljavaju ovu nejednakost. Izraz x2 + 2x + y2 - 4g+ 1 mijenja svoj predznak na konstruiranoj kružnici. Tada nejednakost zadovoljavaju tačke koje se nalaze izvan kruga. Ove tačke su zasjenjene.

Primjer 4

Predstavimo na koordinatnoj ravni skup rješenja nejednačine

(y - x2) (y- x - 3)< 0.

Prvo crtamo jednačinu (y - x2) (y- x - 3) = 0. To je parabola at= x2 i pravo y = x+ 3. Konstruirajmo ove linije i primijetimo da je promjena predznaka izraza (y - x2) (y- x - 3) se javlja samo na ovim linijama. Za tačku A (0; 5) definišemo predznak ovog izraza: - 3) > 0 (tj. ova nejednakost nije zadovoljena). Sada je lako označiti skup tačaka za koje je ova nejednakost zadovoljena (ova područja su zasjenjena).

Nejednakost su dva broja ili matematička izraza povezana jednim od znakova: > (više, u slučaju strogih nejednakosti),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

nejednakost je linearno pod istim uslovima kao i jednačina: sadrži varijable samo do prvog stepena i ne sadrži proizvode varijabli.

Rješenje linearnih nejednačina i sistema linearnih nejednačina neraskidivo je povezano s njihovim geometrijskim značenjem: rješenje linearne nejednačine je određena poluravnina, na koju je cijela ravan podijeljena pravom linijom, čija je jednačina data kao linearnu nejednakost. Ova poluravan, au slučaju sistema linearnih nejednačina, dio ravni omeđen sa nekoliko pravih, mora se naći na crtežu.

Mnogi ekonomski problemi svode se na rješavanje sistema linearnih nejednakosti sa velikim brojem varijabli, posebno na probleme linearnog programiranja u kojima se traži da se pronađe maksimum ili minimum funkcije.

Rješavanje sistema linearnih nejednačina sa bilo kojim brojem nepoznanica

Hajde da prvo analiziramo linearne nejednakosti u ravni. Razmotrimo jednu nejednakost sa dvije varijable i :

,

gdje su koeficijenti varijabli (neki brojevi), je slobodni termin (takođe neki broj).

Jedna nejednačina sa dvije nepoznanice, poput jednačine, ima beskonačan broj rješenja. Rješenje ove nejednakosti je par brojeva koji zadovoljavaju ovu nejednakost. Geometrijski, skup rješenja nejednakosti prikazan je kao poluravnina omeđena pravom linijom

,

koju ćemo nazvati graničnom linijom.

Korak 1. Konstruirajte pravu liniju koja ograničava skup rješenja linearne nejednačine

Da biste to učinili, morate znati bilo koje dvije tačke ove prave. Nađimo tačke preseka sa koordinatnim osa. Ordinata raskrsnice A je nula (slika 1). Numeričke vrijednosti na osi na ovoj slici odnose se na primjer 1, koji ćemo analizirati odmah nakon ove teorijske digresije.

Apscisu pronalazimo rješavajući kao sistem jednačinu prave sa jednadžbom ose.

Nađimo sjecište sa osom:

Zamjenom vrijednosti u prvu jednačinu dobijamo

Gdje .

Tako smo pronašli apscisu tačke A .

Nađimo koordinate tačke preseka sa osom.

Tačka apscise B jednako nuli. Rešimo jednadžbu granične linije sa jednadžbom koordinatne ose:

,

dakle koordinate tačke B: .

Korak 2. Nacrtajte liniju koja ograničava skup rješenja nejednakosti. Poznavanje poena A i B presek granične linije sa koordinatnim osa, možemo nacrtati ovu liniju. Prava linija (ponovo slika 1) dijeli cijelu ravan na dva dijela koja leže desno i lijevo (iznad i ispod) ove prave linije.

Korak 3. Odredite koja od poluravnina je rješenje ove nejednakosti. Da bismo to učinili, moramo zamijeniti ishodište koordinata (0; 0) u ovu nejednačinu. Ako koordinate ishodišta zadovoljavaju nejednakost, tada je rješenje nejednakosti poluravnina u kojoj se nalazi ishodište. Ako koordinate ne zadovoljavaju nejednakost, tada je rješenje nejednakosti poluravnina koja ne sadrži ishodište. Poluravninu rješenja nejednačine označit ćemo potezima od prave linije unutar poluravnine, kao na slici 1.

Ako riješimo sistem linearnih nejednačina, tada se svaki korak izvodi za svaku od nejednakosti sistema.

Primjer 1 Riješite nejednakost

Rješenje. Hajde da nacrtamo pravu liniju

Zamjenom prave u jednačinu dobijamo, a zamjenom dobijemo. Dakle, koordinate tačaka preseka sa osama će biti A(3; 0) , B(0; 2) . Nacrtajte pravu liniju kroz ove tačke (opet, slika 1).

Biramo poluravninu rješenja nejednakosti. Da bismo to učinili, zamjenjujemo koordinate početka (0; 0) u nejednakost:

dobijamo , tj. koordinate ishodišta zadovoljavaju ovu nejednakost. Prema tome, rješenje nejednačine je poluravnina koja sadrži ishodište, odnosno lijevu (ili donju) poluravninu.

Da je ova nejednakost stroga, odnosno imala bi oblik

tada tačke granične linije ne bi bile rješenje, jer ne zadovoljavaju nejednakost.

Sada razmotrite sistem linearnih nejednakosti sa dvije nepoznanice:

Svaka od nejednakosti ovog sistema na ravni definiše poluravninu. Sistem linearnih nejednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema rješenja. Rješenje sistema linearnih nejednakosti je bilo koji par brojeva () koji zadovoljava sve nejednakosti ovog sistema.

Geometrijski, rješenje sistema linearnih nejednačina je skup tačaka koje zadovoljavaju sve nejednakosti sistema, odnosno zajednički dio rezultirajućih poluravni. Dakle, geometrijski, u opštem slučaju, rješenje se može prikazati kao određeni poligon, u posebnom slučaju može biti prava, segment, pa čak i tačka. Ako je sistem linearnih nejednakosti nekonzistentan, onda ne postoji nijedna tačka na ravni koja zadovoljava sve nejednakosti sistema.

Primjer 2

Rješenje. Dakle, potrebno je pronaći poligon rješenja ovog sistema nejednačina. Konstruirajmo graničnu liniju za prvu nejednačinu, odnosno pravu, i graničnu liniju za drugu nejednačinu, odnosno pravu.

To radimo korak po korak, kao što je pokazano u teorijskoj referenci i u primjeru 1, pogotovo jer je u primjeru 1 izgrađena granična linija za nejednakost, koja je prva u ovom sistemu.

Poluravnine rješenja koje odgovaraju nejednačinama ovog sistema zasjenjene su prema unutra na slici 2. Zajednički dio poluravni rješenja je otvoreni ugao ABC. To znači da je skup tačaka u ravni koje čine otvoreni ugao ABC, je rješenje i prve i druge nejednačine sistema, odnosno rješenje je sistema dvije linearne nejednačine. Drugim riječima, koordinate bilo koje tačke iz ovog skupa zadovoljavaju obje nejednakosti sistema.

Primjer 3 Riješiti sistem linearnih nejednačina

Rješenje. Konstruirajmo granične linije koje odgovaraju nejednačinama sistema. To radimo slijedeći korake date u teorijskoj pozadini za svaku nejednakost. Sada definiramo poluravnine rješenja za svaku nejednačinu (slika 3).

Poluravnine rješenja koje odgovaraju nejednačinama datog sistema su zasjenjene prema unutra. Presjek poluravni rješenja prikazan je, kao što je prikazano na slici, u obliku četverokuta ABCE. Otkrili smo da je poligon rješenja sistema linearnih nejednačina sa dvije varijable četverougao ABCE .

Sve što je gore opisano o sistemima linearnih nejednačina sa dve nepoznate važi i za sistem nejednakosti sa bilo kojim brojem nepoznanica, sa jedinom razlikom što je rešenje nejednačine sa n nepoznato će biti totalitet n brojevi () koji zadovoljavaju sve nejednakosti, a umjesto granične linije bit će granična hiperravan n-dimenzionalni prostor. Rješenje će biti poliedar rješenja (simplex) omeđen hiperravnima.

Postoje samo "X" i samo apscisa osa, sada se dodaju "Y" i polje aktivnosti se širi na cijelu koordinatnu ravan. Dalje u tekstu, izraz "linearna nejednakost" shvata se u dvodimenzionalnom smislu, što će postati jasno za nekoliko sekundi.

Pored analitičke geometrije, materijal je relevantan za niz problema matematičke analize, ekonomskog i matematičkog modeliranja, pa preporučujem da ovo predavanje proučite sa punom ozbiljnošću.

Linearne nejednakosti

Postoje dvije vrste linearnih nejednakosti:

1) Strogo nejednakosti: .

2) Nije strogo nejednakosti: .

Koje je geometrijsko značenje ovih nejednakosti? Ako linearna jednadžba definira pravu liniju, onda linearna nejednakost definira poluravni.

Da biste razumjeli donje informacije, morate znati vrste linija na ravni i biti u stanju da pravite linije. Ako imate poteškoća u ovom dijelu, pročitajte pomoć Grafovi i svojstva funkcija– pasus o linearnoj funkciji.

Počnimo s najjednostavnijim linearnim nejednačinama. Plavi san svakog gubitnika je koordinatna ravan na kojoj nema ama baš ničega:

Kao što znate, apscisa je data jednadžbom - "y" je uvijek (za bilo koju vrijednost "x") jednako nuli

Razmotrimo nejednakost. Kako to neformalno shvatiti? "Y" je uvijek (za bilo koju vrijednost "x") pozitivan. Očigledno je da ova nejednakost određuje gornju poluravninu, jer se tu nalaze sve tačke sa pozitivnim "igrama".

U slučaju da nejednakost nije stroga, na gornju poluravninu dodatno osa je dodana.

Slično: nejednakost je zadovoljena sa svim tačkama donje poluravnine, nestroga nejednakost odgovara donjoj poluravni + osi .

Sa y-osom, ista prozaična priča:

– nejednakost definira desnu poluravninu;
– nejednakost definira desnu poluravninu, uključujući y-osu;
– nejednakost definira lijevu poluravninu;
– nejednakost definira lijevu poluravninu, uključujući y-os.

U drugom koraku razmatramo nejednakosti u kojima nedostaje jedna od varijabli.

Nedostaje "y":

Ili nedostaje "X":

Ove nejednakosti se mogu rješavati na dva načina. razmotrite oba pristupa. Usput, prisjetimo se i konsolidirajmo školske radnje s nejednakostima o kojima je već bilo riječi u lekciji Opseg funkcije.

Primjer 1

Riješite linearne nejednačine:

Šta znači riješiti linearnu nejednačinu?

Riješiti linearnu nejednačinu znači pronaći poluravninu, čije tačke zadovoljavaju datu nejednakost (plus sama prava, ako nejednakost nije stroga). Rješenje, obično, grafički.

Pogodnije je odmah izvršiti crtež, a zatim sve komentirati:

a) Riješite nejednačinu

Prvi metod

Metoda je vrlo slična priči s koordinatnim osama, o kojoj smo gore govorili. Ideja je transformirati nejednakost - ostaviti jednu varijablu na lijevoj strani bez ikakvih konstanti, u ovom slučaju, varijabla x.

pravilo: U nejednakosti se članovi prenose iz dijela u dio sa promjenom predznaka, dok je predznak same nejednakosti se ne mijenja(na primjer, ako je postojao znak “manje od”, onda će ostati “manje”).

Prenosimo "pet" na desnu stranu sa promjenom predznaka:

pravilo POZITIVNO se ne mijenja.

Sada nacrtajte ravnu liniju (isprekidana plava linija). Prava linija je isprekidana zbog nejednakosti strog, a tačke koje pripadaju ovoj pravoj sigurno neće biti uključene u rješenje.

Šta je značenje nejednakosti? "X" je uvijek (za bilo koju vrijednost "y") manji od . Očigledno, ovu tvrdnju zadovoljavaju sve tačke lijeve poluravni. Ova poluravnina, u principu, može se zasjeniti, ali ću se ograničiti na male plave strelice kako ne bih pretvorio crtež u umjetničku paletu.

Metod dva

Ovo je univerzalan način. ČITAJTE VEOMA PAŽLJIVO!

Prvo nacrtajte ravnu liniju. Usput, radi jasnoće, preporučljivo je predstaviti jednačinu u obliku .

Sada odaberite bilo koju tačku ravnine, ne pripada pravoj liniji. U većini slučajeva, najukusnija tačka, naravno. Zamijenite koordinate ove tačke u nejednakost:

Primljeno pogrešna nejednakost(jednostavno rečeno, to ne može biti), što znači da tačka ne zadovoljava nejednakost .

Ključno pravilo našeg zadatka:
ne zadovoljava nejednakost, dakle SVE tačke date poluravni ne zadovoljavaju na ovu nejednakost.
– Ako bilo koja tačka poluravni (ne pripada pravoj) zadovoljava nejednakost, dakle SVE tačke date poluravni zadovoljiti na ovu nejednakost.

Možete testirati: bilo koja tačka desno od prave neće zadovoljiti nejednakost .

Kakav je zaključak iz eksperimenta sa tačkom? Nema se kuda, nejednakost je zadovoljena svim tačkama druge - lijeve poluravnine (možete i provjeriti).

b) Riješite nejednačinu

Prvi metod

Transformirajmo nejednakost:

pravilo: Obje strane nejednakosti se mogu pomnožiti (podijeliti). NEGATIVNO broj, dok je znak nejednakosti CHANGING na suprotno (na primjer, ako je postojao znak "veće ili jednako", tada će postati "manje ili jednako").

Pomnožite obje strane nejednakosti sa:

Nacrtajmo pravu liniju (crvena boja), štaviše, nacrtajmo punu liniju, jer imamo nejednakost nestrog, a linija svakako pripada rješenju.

Nakon analize rezultirajuće nejednakosti dolazimo do zaključka da je njeno rješenje donja poluravnina (+ sama prava).

Odgovarajuća poluravan je šrafirana ili označena strelicama.

Metod dva

Hajde da nacrtamo pravu liniju. Odaberimo proizvoljnu tačku ravnine (koja ne pripada pravoj liniji), na primjer, i zamijenimo njene koordinate u našu nejednakost:

Primljeno ispraviti nejednakost, tada tačka zadovoljava nejednakost , i općenito, SVE tačke donje poluravnine zadovoljavaju ovu nejednakost.

Ovdje eksperimentalnom tačkom „pogodimo“ željenu poluravninu.

Rješenje problema je označeno crvenom ravnom linijom i crvenim strelicama.

Lično mi se više sviđa prvo rješenje, jer je drugo formalnije.

Primjer 2

Riješite linearne nejednačine:

Ovo je "uradi sam" primjer. Pokušajte riješiti problem na dva načina (usput, ovo je dobar način da provjerite rješenje). U odgovoru na kraju lekcije biće samo završni crtež.

Mislim da ćete nakon svih radnji urađenih u primjerima morati da ih oženite, neće biti teško riješiti najjednostavniju nejednakost, poput itd.

Prelazimo na razmatranje trećeg, opšteg slučaja, kada su obe varijable prisutne u nejednakosti:

Alternativno, slobodni izraz "ce" može biti nula.

Primjer 3

Pronađite poluravnine koje odgovaraju sljedećim nejednačinama:

Rješenje: Ovo koristi univerzalnu metodu zamjene bodova.

a) Konstruirajmo jednačinu prave linije, a liniju treba povući isprekidanom linijom, pošto je nejednakost stroga i sama prava linija neće biti uključena u rješenje.

Odaberemo eksperimentalnu tačku ravnine koja ne pripada datoj pravoj, na primjer, i zamijenimo njene koordinate u našu nejednakost:

Primljeno pogrešna nejednakost, pa tačka i SVE tačke ove poluravnine ne zadovoljavaju nejednakost . Rješenje nejednakosti bit će još jedna poluravnina, divimo se plavoj munji:

b) Rešimo nejednačinu. Prvo nacrtajmo pravu liniju. To je lako učiniti, imamo kanonsku direktnu proporcionalnost. Linija je povučena puna, jer nejednakost nije stroga.

Biramo proizvoljnu tačku ravni koja ne pripada pravoj. Htio bih ponovo koristiti porijeklo, ali, nažalost, sada nije prikladno. Zbog toga ćete morati da radite sa drugom devojkom. Isplativije je uzeti tačku s malim vrijednostima koordinata, na primjer, . Zamijenite njegove koordinate u našu nejednakost:

Primljeno ispraviti nejednakost, pa tačka i sve tačke date poluravni zadovoljavaju nejednakost . Željena poluravnina je označena crvenim strelicama. Osim toga, rješenje uključuje i samu liniju.

Primjer 4

Pronađite poluravnine koje odgovaraju nejednačinama:

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje, grubi uzorak dorade i odgovor na kraju lekcije.

Pogledajmo obrnuti problem:

Primjer 5

a) Zadana je prava linija. Definiraj poluravni u kojoj se nalazi tačka, dok sama prava mora biti uključena u rješenje.

b) Zadana je prava linija. Definiraj poluravan u kojoj se nalazi tačka. Sama linija nije uključena u rješenje.

Rješenje: ovdje nema potrebe za crtežom i rješenje će biti analitičko. ništa teško:

a) Sastavite pomoćni polinom i izračunaj njegovu vrijednost u tački:
. Dakle, željena nejednakost će biti sa predznakom "manje od". Po uslovu, linija je uključena u rješenje, tako da nejednakost neće biti stroga:

b) Sastavite polinom i izračunajte njegovu vrijednost u tački:
. Dakle, željena nejednakost će biti sa predznakom "veće od". Po uslovu, prava nije uključena u rješenje, stoga će nejednakost biti stroga: .

Odgovori:

Kreativan primjer za samostalno učenje:

Primjer 6

Zadate bodove i pravac. Među navedenim tačkama pronađite one koje zajedno sa ishodištem leže na istoj strani date prave.

Mali savjet: prvo morate napisati nejednakost koja definira poluravninu u kojoj se nalazi ishodište. Analitičko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Sistemi linearnih nejednačina

Sistem linearnih nejednakosti je, kao što razumete, sistem sastavljen od nekoliko nejednakosti. Lol, pa, dao sam definiciju =) Jež je jež, nož je nož. Ali istina je - ispalo je jednostavno i pristupačno! Ne, ozbiljno, ne želim da dajem neke primere uopšteno, pa da odmah pređemo na hitna pitanja:

Šta znači riješiti sistem linearnih nejednačina?

Riješiti sistem linearnih nejednačina- ovo znači pronaći skup tačaka u ravni koji zadovoljavaju svakome sistemska nejednakost.

Kao najjednostavniji primjer, razmotrite sisteme nejednačina koji određuju koordinatne četvrtine pravokutnog koordinatnog sistema („crtanje dvojke“ je na samom početku lekcije):

Sistem nejednakosti definira prvu koordinatnu četvrtinu (gore desno). Koordinate bilo koje tačke prve četvrtine, na primjer, itd. zadovoljiti svakome nejednakost ovog sistema.

Slično:
– sistem nejednakosti definiše drugu koordinatnu četvrtinu (gore lijevo);
– sistem nejednakosti definiše treću koordinatnu četvrtinu (dole levo);
– sistem nejednakosti definiše četvrtu koordinatnu četvrtinu (dole desno).

Sistem linearnih nejednačina možda nema rješenja, odnosno biti nekompatibilno. Opet, najjednostavniji primjer: . Sasvim je očigledno da "x" ne može biti više od tri i manje od dva u isto vrijeme.

Rješenje sistema nejednačina može biti prava linija, na primjer: . Labud, rak, bez štuke, vuče kola u dva različita pravca. Da, stvari su još uvijek tu - rješenje za ovaj sistem je prava linija.

Ali najčešći slučaj, kada je rješenje sistema neko ravninsko područje. Područje odlučivanja možda neograničeno(na primjer, koordinatne četvrti) ili ograničeno. Ograničena domena rješenja se zove sistem rješenja poligona.

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih nejednačina

U praksi, u većini slučajeva, morate da se nosite sa nestriktnim nejednakostima, pa će oni plesati ostatak lekcije.

Rješenje: činjenica da ima previše nejednakosti ne bi trebala biti zastrašujuća. Koliko nejednakosti može biti u sistemu? Da, koliko god želiš. Glavna stvar je pridržavati se racionalnog algoritma za izgradnju područja rješenja:

1) Prvo se bavimo najjednostavnijim nejednačinama. Nejednakosti definiraju prvu koordinatnu četvrtinu, uključujući i granicu koordinatnih osa. Već mnogo lakše, jer se područje pretraživanja značajno suzilo. Na crtežu odmah označavamo odgovarajuće poluravnine strelicama (crvena i plava strelica)

2) Druga najjednostavnija nejednakost - ovdje nema "y". Prvo, gradimo samu liniju, a drugo, nakon transformacije nejednakosti u oblik, odmah postaje jasno da su svi "xes" manji od 6. Odgovarajuću poluravninu označavamo zelenim strelicama. Pa, područje pretraživanja postalo je još manje - takav pravougaonik koji nije ograničen odozgo.

3) U posljednjem koraku rješavamo nejednakosti “sa punom municijom”: . Algoritam rješenja detaljno smo razmatrali u prethodnom dijelu. Ukratko: prvo gradimo pravu liniju, a zatim uz pomoć eksperimentalne tačke nalazimo potrebnu poluravninu.

Ustanite djeco, stanite u krug:


Područje rješenja sistema je poligon, na crtežu je zaokružen grimiznom linijom i zasjenjen. Malo sam pretjerao =) U bilježnici je dovoljno ili zasjeniti područje rješenja, ili ga hrabrije ocrtati jednostavnom olovkom.

Bilo koja tačka ovog poligona zadovoljava SVAKU nejednakost sistema (zainteresovano, možete provjeriti).

Odgovori: rješenje sistema je poligon.

Kada pravite čistu kopiju, bilo bi dobro da detaljno opišete na kojim tačkama ste gradili prave linije (pogledajte lekciju Grafovi i svojstva funkcija), i kako su određene poluravnine (vidi prvi paragraf ove lekcije). Međutim, u praksi će vam u većini slučajeva biti pripisan samo ispravan crtež. Sami proračuni se mogu izvršiti na nacrtu ili čak usmeno.

Pored poligona rješenja sistema, u praksi, iako rjeđe, postoji otvorena površina. Pokušajte sami raščlaniti sljedeći primjer. Iako, tačnosti radi, ovdje nema mučenja - algoritam izgradnje je isti, samo će se pokazati da područje nije ograničeno.

Primjer 8

Riješite sistem

Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Najvjerovatnije ćete imati druge slovne oznake za vrhove rezultirajućeg područja. Ovo nije važno, glavna stvar je pravilno pronaći vrhove i pravilno izgraditi područje.

Nije neuobičajeno kada se u zadacima zahteva ne samo konstruisanje domena rešenja sistema, već i pronalaženje koordinata vrhova domena. U prethodna dva primjera koordinate ovih tačaka su bile očigledne, ali u praksi je sve daleko od leda:

Primjer 9

Riješite sistem i pronađite koordinate vrhova rezultirajuće površine

Rješenje: na crtežu ćemo prikazati područje rješenja ovog sistema. Nejednakost postavlja lijevu poluravninu sa y-osom i ovdje više nema besplatnih. Nakon proračuna na čistom/nacrtu ili dubokom misaonom procesu, dobijamo sljedeće područje odlučivanja:

Graf linearne ili kvadratne nejednakosti gradi se na isti način kao što se gradi graf bilo koje funkcije (jednačine). Razlika je u tome što nejednakost podrazumijeva višestruka rješenja, tako da graf nejednakosti nije samo tačka na brojevnoj pravoj ili prava na koordinatnoj ravni. Uz pomoć matematičkih operacija i znaka nejednakosti možete odrediti skup rješenja nejednakosti.

Koraci

Grafički prikaz linearne nejednakosti na brojevnoj pravoj

1. Riješite nejednakost. Da biste to učinili, izolirajte varijablu koristeći iste algebarske trikove koje koristite za rješavanje bilo koje jednačine. Zapamtite da kada množite ili dijelite nejednakost negativnim brojem (ili članom), obrnite znak nejednakosti.

   • Na primjer, s obzirom na nejednakost 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Da biste izolovali promenljivu, oduzmite 9 od obe strane nejednakosti, a zatim podelite obe strane sa 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Nejednakost mora imati samo jednu varijablu. Ako nejednakost ima dvije varijable, bolje je nacrtati graf na koordinatnoj ravni.

2. Nacrtaj brojevnu pravu. Na brojevnoj liniji označite pronađenu vrijednost (varijabla može biti manja, veća ili jednaka ovoj vrijednosti). Nacrtajte brojevnu liniju odgovarajuće dužine (duga ili kratka).

   • Na primjer, ako ste to izračunali y > 1 (\displaystyle y>1), označite vrijednost 1 na brojevnoj liniji.

3. Nacrtajte krug koji predstavlja pronađenu vrijednost. Ako je varijabla manja od ( < {\displaystyle <} ) ili više ( > (\displaystyle >)) ove vrijednosti, krug nije popunjen jer skup rješenja ne uključuje ovu vrijednost. Ako je varijabla manja ili jednaka ( ≤ (\displaystyle \leq )) ili veće ili jednako ( ≥ (\displaystyle\geq )) na ovu vrijednost, krug se popunjava jer skup rješenja uključuje ovu vrijednost.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), na brojevnoj pravoj nacrtajte otvoreni krug u tački 1 jer 1 nije u skupu rješenja.

4. Na brojevnoj liniji osjenčite područje koje definira skup rješenja. Ako je varijabla veća od pronađene vrijednosti, zasjenite područje desno od nje, jer skup rješenja uključuje sve vrijednosti koje su veće od pronađene vrijednosti. Ako je varijabla manja od pronađene vrijednosti, zasjenite područje lijevo od nje, jer skup rješenja uključuje sve vrijednosti koje su manje od pronađene vrijednosti.

   • Na primjer, s obzirom na nejednakost y > 1 (\displaystyle y>1), na brojevnoj liniji zasjeniti područje desno od 1 jer skup rješenja uključuje sve vrijednosti veće od 1.

   Grafički prikaz linearne nejednakosti na koordinatnoj ravni

   1. Riješite nejednačinu (nađite vrijednost y (\displaystyle y)). Da biste dobili linearnu jednačinu, izolirajte varijablu na lijevoj strani koristeći poznate algebarske metode. Varijabla bi trebala ostati na desnoj strani x (\displaystyle x) a možda i neka konstanta.

      • Na primjer, s obzirom na nejednakost 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Za izolaciju varijable y (\displaystyle y), oduzmi 9 od obje strane nejednakosti, a zatim obje strane podijeli sa 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Nacrtajte linearnu jednačinu na koordinatnoj ravni. nacrtajte graf kao što crtate bilo koju linearnu jednačinu. Nacrtajte tačku preseka sa Y-osom, a zatim iscrtajte druge tačke koristeći nagib.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) nacrtajte jednačinu y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Tačka preseka sa Y-osom ima koordinate , a nagib je 3 (ili 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Dakle, prvo nacrtajte tačku sa koordinatama (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); tačka iznad tačke preseka sa y-osom ima koordinate (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); tačka ispod tačke preseka sa y-osom ima koordinate (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Nacrtajte pravu liniju. Ako je nejednakost stroga (uključuje znak < {\displaystyle <} ili > (\displaystyle >)), nacrtajte isprekidanu liniju, jer skup rješenja ne uključuje vrijednosti koje leže na liniji. Ako nejednakost nije stroga (uključuje znak ≤ (\displaystyle \leq ) ili ≥ (\displaystyle\geq )), nacrtajte punu liniju, jer skup rješenja uključuje vrijednosti koje leže na liniji.

      • Na primjer, u slučaju nejednakosti y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) nacrtajte isprekidanu liniju, jer skup rješenja ne uključuje vrijednosti koje leže na liniji.

   4. Zasenčite odgovarajuće područje. Ako nejednakost ima oblik y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), popunite područje iznad linije. Ako nejednakost ima oblik y< m x + b {\displaystyle y, popunite područje ispod crte.

      • Na primjer, u slučaju nejednakosti y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) zasjeniti područje iznad linije.

   Grafički prikaz kvadratne nejednakosti na koordinatnoj ravni

   1. Odredite da je ova nejednakost kvadratna. Kvadratna nejednakost ima oblik a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Ponekad nejednakost ne sadrži varijablu prvog reda ( x (\displaystyle x)) i/ili slobodni termin (konstanta), ali mora uključivati ​​varijablu drugog reda ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Varijable x (\displaystyle x) i y (\displaystyle y) moraju biti izolirane na različitim stranama nejednakosti.

      • Na primjer, trebate nacrtati nejednakost y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Nacrtajte graf na koordinatnoj ravni. Da biste to učinili, pretvorite nejednačinu u jednadžbu i napravite graf, kao što gradite graf bilo koje kvadratne jednadžbe. Zapamtite da je graf kvadratne jednadžbe parabola.

      • Na primjer, u slučaju nejednakosti y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y nacrtati kvadratnu jednačinu y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Vrh parabole je u tački (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), a parabola siječe x-osu u tačkama (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) i (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).