Koliko cjelobrojnih rješenja ima trigonometrijska nejednačina? Trigonometrijske nejednačine i metode za njihovo rješavanje

U ovoj lekciji ćemo naučiti sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva, kao i pravila za njihovo sabiranje i oduzimanje.

Podsjetimo da su cijeli brojevi svi pozitivni i negativni brojevi, kao i broj 0. Na primjer, sledeće brojeve su cijeli brojevi:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Pozitivni brojevi su laki i. Nažalost, isto se ne može reći za negativne brojeve, koji mnoge početnike zbunjuju svojim minusima ispred svakog broja. Kao što praksa pokazuje, greške napravljene zbog negativni brojevi, najviše uznemiri studente.

Sadržaj lekcije

Primjeri sabiranja i oduzimanja cijelih brojeva

Prva stvar koju biste trebali naučiti je sabirati i oduzimati cijele brojeve koristeći koordinatnu liniju. Uopšte nije potrebno crtati koordinatnu liniju. Dovoljno je to zamisliti u svojim mislima i vidjeti gdje se nalaze negativni brojevi, a gdje pozitivni.

Razmotrimo najjednostavniji izraz: 1 + 3. Vrijednost ovog izraza je 4:

Ovaj primjer se može razumjeti korištenjem koordinatne linije. Da biste to učinili, od tačke na kojoj se nalazi broj 1, morate se pomaknuti tri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 4. Na slici možete vidjeti kako se to događa:

Znak plus u izrazu 1 + 3 nam govori da se trebamo kretati udesno u smjeru povećanja brojeva.

Primjer 2. Nađimo vrijednost izraza 1 − 3.

Vrijednost ovog izraza je −2

Ovaj primjer se opet može razumjeti koristeći koordinatnu liniju. Da biste to učinili, od tačke na kojoj se nalazi broj 1, morate se pomaknuti ulijevo za tri koraka. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi negativni broj −2. Na slici možete vidjeti kako se to dešava:

Znak minus u izrazu 1 − 3 nam govori da se trebamo kretati ulijevo u smjeru opadanja brojeva.

Općenito, morate zapamtiti da ako se izvrši dodavanje, onda se morate pomaknuti udesno u smjeru povećanja. Ako se vrši oduzimanje, tada se morate pomaknuti ulijevo u smjeru smanjenja.

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza −2 + 4

Vrijednost ovog izraza je 2

Ovaj primjer se opet može razumjeti koristeći koordinatnu liniju. Da biste to učinili, od tačke u kojoj se nalazi negativni broj −2, morate se pomaknuti četiri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi pozitivan broj 2.

Vidi se da smo se od tačke u kojoj se nalazi negativan broj −2 pomaknuli na desnu stranu za četiri koraka, i završili na tački gdje se nalazi pozitivan broj 2.

Znak plus u izrazu −2 + 4 nam govori da se trebamo kretati udesno u smjeru povećanja brojeva.

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza −1 − 3

Vrijednost ovog izraza je −4

Ovaj primjer se opet može riješiti korištenjem koordinatnog pravca. Da biste to učinili, od tačke u kojoj se nalazi negativni broj −1, morate se pomaknuti ulijevo za tri koraka. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi negativni broj −4

Može se vidjeti da smo se pomaknuli od tačke u kojoj se nalazi negativni broj −1 lijeva strana tri koraka, i završio na tački gdje se nalazi negativni broj −4.

Znak minus u izrazu −1 − 3 nam govori da se trebamo pomaknuti ulijevo u smjeru opadanja brojeva.

Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza −2 + 2

Vrijednost ovog izraza je 0

Ovaj primjer se može riješiti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od tačke u kojoj se nalazi negativni broj −2, morate se pomaknuti u desna dva koraka. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 0

Vidi se da smo se od tačke u kojoj se nalazi negativni broj −2 pomaknuli na desnu stranu za dva koraka i završili u tački gdje se nalazi broj 0.

Znak plus u izrazu −2 + 2 nam govori da se trebamo kretati udesno u smjeru povećanja brojeva.

Pravila za sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva

Za dodavanje ili oduzimanje cijelih brojeva uopće nije potrebno svaki put zamišljati koordinatnu liniju, a još manje je crtati. Pogodnije je koristiti gotova pravila.

Prilikom primjene pravila treba obratiti pažnju na predznak operacije i predznake brojeva koje treba dodati ili oduzeti. Ovo će odrediti koje pravilo primijeniti.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza −2 + 5

Ovdje se pozitivan broj dodaje negativnom broju. Drugim riječima, brojevi se dodaju sa različiti znakovi. −2 je negativan broj, a 5 je pozitivan broj. U takvim slučajevima važi sledeće pravilo:

Da biste sabrali brojeve sa različitim predznacima, potrebno je da od većeg modula oduzmete manji modul, a pre dobijenog odgovora stavite znak broja čiji je modul veći.

Dakle, da vidimo koji je modul veći:

Modul broja 5 je veći od modula broja −2. Pravilo zahtijeva oduzimanje manjeg od većeg modula. Dakle, od 5 moramo oduzeti 2, a prije dobivenog odgovora staviti znak broja čiji je modul veći.

Broj 5 ima veći modul, pa će znak ovog broja biti u odgovoru. Odnosno, odgovor će biti pozitivan:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Obično se piše kraće: −2 + 5 = 3

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 3 + (−2)

Ovdje se, kao iu prethodnom primjeru, dodaju brojevi s različitim predznacima. 3 je pozitivan broj, a −2 je negativan broj. Imajte na umu da je −2 zatvoreno u zagrade kako bi izraz bio jasniji. Ovaj izraz je mnogo lakši za razumjeti od izraza 3+−2.

Dakle, primijenimo pravilo za sabiranje brojeva s različitim predznacima. Kao iu prethodnom primjeru, od većeg modula oduzimamo manji modul i prije odgovora stavljamo znak broja čiji je modul veći:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Modul broja 3 je veći od modula broja −2, pa smo od 3 oduzeli 2, a ispred dobijenog odgovora stavili smo znak broja čiji je modul veći. Broj 3 ima veći modul, zbog čega je znak ovog broja uključen u odgovor. Odnosno, odgovor je pozitivan.

Obično se piše kraće 3 + (−2) = 1

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 3 − 7

U ovom izrazu iz manji broj više se odbija. U tom slučaju vrijedi sljedeće pravilo:

Da biste od manjeg broja oduzeli veći broj, potrebno je više oduzmite manje i stavite minus ispred rezultirajućeg odgovora.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Postoji mala kvaka u ovom izrazu. Podsjetimo da se znak jednakosti (=) stavlja između veličina i izraza kada su međusobno jednaki.

Vrijednost izraza 3 − 7, kako smo saznali, je −4. To znači da sve transformacije koje ćemo izvesti u ovom izrazu moraju biti jednake −4

Ali vidimo da u drugoj fazi postoji izraz 7 − 3, koji nije jednak −4.

Da biste ispravili ovu situaciju, morate staviti izraz 7 − 3 u zagrade i staviti minus ispred ove zagrade:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

U ovom slučaju, jednakost će se poštovati u svakoj fazi:

Nakon što je izraz izračunat, zagrade se mogu ukloniti, što smo i uradili.

Dakle, da budemo precizniji, rješenje bi trebalo izgledati ovako:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Ovo pravilo se može napisati pomoću varijabli. To će izgledati ovako:

a − b = − (b − a)

Veliki broj zagrada i znakova operacije može zakomplikovati rješenje naizgled jednostavnog problema, pa je preporučljivije naučiti kako ukratko napisati takve primjere, na primjer 3 − 7 = − 4.

U stvari, sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva ne svodi se na ništa više od zbrajanja. To znači da ako trebate oduzimati brojeve, ovu operaciju možete zamijeniti sabiranjem.

Dakle, hajde da se upoznamo sa novim pravilom:

Oduzimanje jednog broja od drugog znači dodavanje minusa broja koji je suprotan broju koji se oduzima.

Na primjer, razmotrite najjednostavniji izraz 5 − 3. On početnim fazama studirajući matematiku, stavili smo znak jednakosti i zapisali odgovor:

Ali sada napredujemo u našem proučavanju, tako da se moramo prilagoditi novim pravilima. Novo pravilo kaže da oduzimanje jednog broja od drugog znači dodavanje u minus isti broj kao i oduzeti.

Pokušajmo razumjeti ovo pravilo koristeći primjer izraza 5 − 3. Minuend u ovom izrazu je 5, a oduzetak je 3. Pravilo kaže da da biste oduzeli 3 od 5, morate na 5 dodati broj koji je suprotan od 3. Suprotno od broja 3 je −3 . Napišimo novi izraz:

A mi već znamo kako pronaći značenje za takve izraze. Ovo je zbrajanje brojeva s različitim predznacima, koje smo ranije pogledali. Za sabiranje brojeva s različitim predznacima oduzimamo manji modul od većeg modula, a prije dobivenog odgovora stavljamo znak broja čiji je modul veći:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Modul broja 5 je veći od modula broja −3. Dakle, od 5 smo oduzeli 3 i dobili 2. Broj 5 ima veći modul, pa smo u odgovor stavili znak ovog broja. Odnosno, odgovor je pozitivan.

U početku, nisu svi u stanju brzo zamijeniti oduzimanje sa sabiranjem. To je zato što se pozitivni brojevi pišu bez znaka plus.

Na primjer, u izrazu 3 − 1, znak minus koji označava oduzimanje je znak operacije i ne odnosi se na jedan. Jedinica u u ovom slučaju je pozitivan broj, i ima svoj znak plus, ali ga ne vidimo, jer se plus ne piše ispred pozitivnih brojeva.

Stoga, radi jasnoće, ovaj izraz se može napisati na sljedeći način:

(+3) − (+1)

Radi praktičnosti, brojevi s vlastitim znakovima stavljeni su u zagrade. U ovom slučaju, zamjena oduzimanja sa sabiranjem je mnogo lakša.

U izrazu (+3) − (+1), broj koji se oduzima je (+1), a suprotni broj je (−1).

Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem i umjesto oduzimanja (+1) upišemo suprotan broj (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Daljnji proračuni neće biti teški.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Na prvi pogled može izgledati da nema smisla u ovim dodatnim pokretima ako možete koristiti staru dobru metodu da stavite znak jednakosti i odmah zapišete odgovor 2. Zapravo, ovo pravilo će nam pomoći više puta.

Rješimo prethodni primjer 3 − 7 koristeći pravilo oduzimanja. Prvo, smanjimo izraz na na jasan način, dodjeljujući svakom broju svoje znake.

Tri ima znak plus jer je pozitivan broj. Znak minus koji označava oduzimanje ne odnosi se na sedam. Sedam ima znak plus jer je pozitivan broj:

Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Daljnji proračun nije težak:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza −4 − 5

Opet imamo operaciju oduzimanja. Ova operacija se mora zamijeniti dodavanjem. Minuendu (−4) dodajemo broj nasuprot oduzetom (+5). Suprotan broj za oduzimanje (+5) je broj (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Došli smo u situaciju da moramo sabrati negativne brojeve. U takvim slučajevima važi sledeće pravilo:

Da biste dodali negativne brojeve, morate dodati njihove module i staviti minus ispred rezultirajućeg odgovora.

Dakle, hajde da saberemo module brojeva, kako to pravilo nalaže, i stavimo minus ispred rezultirajućeg odgovora:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Upis sa modulima mora biti stavljen u zagrade, a ispred ovih zagrada mora se staviti znak minus. Na ovaj način ćemo dati minus koji bi se trebao pojaviti prije odgovora:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

ili još kraće:

−4 − 5 = −9

Primjer 8. Pronađite vrijednost izraza −3 − 5 − 7 − 9

Hajde da dovedemo izraz do jasnog oblika. Ovdje su svi brojevi osim −3 pozitivni, tako da će imati predznake plus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem. Svi minusi, osim minusa ispred tri, će se promijeniti u pluse, a svi pozitivni brojevi će se promijeniti u suprotno:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Sada primijenimo pravilo za sabiranje negativnih brojeva. Da biste dodali negativne brojeve, morate dodati njihove module i staviti minus ispred rezultirajućeg odgovora:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Rješenje ovog primjera može se ukratko napisati:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

ili još kraće:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Primjer 9. Pronađite vrijednost izraza −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Dovedemo izraz u jasan oblik:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Ovdje postoje dvije operacije: sabiranje i oduzimanje. Sabiranje ostavljamo nepromijenjenim, a oduzimanje zamjenjujemo sabiranjem:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Posmatrajući, svaku radnju ćemo izvoditi redom, na osnovu prethodno naučenih pravila. Unosi sa modulima se mogu preskočiti:

Prva akcija:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Druga radnja:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Treća akcija:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Četvrta akcija:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Dakle, vrijednost izraza −10 + 6 − 15 + 11 − 7 je −15

Bilješka. Uopšte nije neophodno da se izraz dovede u razumljivi oblik stavljanjem brojeva u zagrade. Kada dođe do navikavanja na negativne brojeve, ovaj korak se može preskočiti jer je dugotrajan i može biti zbunjujući.

Dakle, da biste zbrajali i oduzimali cijele brojeve, morate zapamtiti sljedeća pravila:

Pridružite se našoj nova grupa VKontakte i počnite primati obavještenja o novim lekcijama

U ovom članku ćemo se pozabaviti zbrajanje brojeva sa različitim predznacima. Ovdje ćemo dati pravilo za sabiranje pozitivnih i negativnih brojeva, te razmotriti primjere primjene ovog pravila pri sabiranju brojeva s različitim predznacima.

Navigacija po stranici.

Pravilo za sabiranje brojeva sa različitim predznacima

Primjeri sabiranja brojeva s različitim predznacima

Hajde da razmotrimo primjeri sabiranja brojeva sa različitim predznacima prema pravilu iz prethodnog stava. Počnimo s jednostavnim primjerom.

Primjer.

Dodajte brojeve −5 i 2.

Rješenje.

Moramo da saberemo brojeve sa različitim predznacima. Pratimo sve korake propisane pravilom za sabiranje pozitivnih i negativnih brojeva.

Prvo, nalazimo module termina koji su jednaki 5 i 2, respektivno.

Modul broja −5 je veći od modula broja 2, pa zapamtite znak minus.

Ostaje staviti zapamćeni znak minus ispred rezultirajućeg broja, dobijamo -3. Time je dovršeno sabiranje brojeva s različitim predznacima.

odgovor:

(−5)+2=−3 .

Saviti racionalni brojevi sa različitim predznacima koji nisu cijeli brojevi, treba ih prikazati u obliku obične frakcije(možete raditi i sa decimale, ako je zgodno). Pogledajmo ovu tačku kada rješavamo sljedeći primjer.

Primjer.

Dodajte pozitivan broj i negativan broj −1,25.

Rješenje.

Hajde da predstavimo brojeve u obrascu obične frakcije, za ovo hajde da uradimo prelazak sa mješovitog broja na nepravilan razlomak: , I pretvoriti decimalni razlomak u običan razlomak : .

Sada možete koristiti pravilo za sabiranje brojeva s različitim predznacima.

Moduli brojeva koji se dodaju su 17/8 i 5/4. Radi lakšeg izvođenja dalje radnje, Dovedemo razlomke na zajednički imenilac, kao rezultat imamo 17/8 i 10/8.

Sada moramo da uradimo upoređivanje razlomaka 17/8 i 10/8. Od 17>10, onda . Dakle, pojam sa znakom plus ima veći modul, pa zapamtite znak plus.

Sada oduzimamo manji od većeg modula, odnosno izvodimo oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima : .

Ostaje samo da stavimo zapamćeni znak plus ispred rezultirajućeg broja, dobijamo , ali - ovo je broj 7/8.

U ovom materijalu ćemo vam reći kako pravilno izvršiti dodavanje negativnih i pozitivan broj. Prvo ćemo dati osnovno pravilo za takvo sabiranje, a zatim ćemo pokazati kako se ono primjenjuje u rješavanju zadataka.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovno pravilo za sabiranje pozitivnih i negativnih brojeva

Ranije smo rekli da se pozitivan broj može smatrati prihodom, a negativan gubitkom. Da biste saznali iznos prihoda i rashoda, potrebno je pogledati module ovih brojeva. Ako se na kraju pokaže da naši rashodi premašuju naše prihode, onda ćemo nakon njihovog međusobnog obračuna ostati dužni, a ako naprotiv, onda ćemo ostati u plusu. Ako su troškovi jednaki prihodima, onda ćemo imati nulti saldo.

Koristeći gornje rezonovanje, možemo izvesti osnovno pravilo za sabiranje brojeva s različitim predznacima.

Definicija 1

Da biste dodali pozitivan broj sa negativnim brojem, morate pronaći njihove module i izvršiti poređenje. Ako su vrijednosti jednake, onda imamo dva pojma koja jesu suprotni brojevi, a njihov zbir će biti nula. Ako nisu jednaki, onda moramo uzeti u obzir da će rezultat imati isti predznak kao i veći broj.

Dakle, sabiranje se u ovom slučaju svodi na oduzimanje manjeg broja od većeg broja. Rezultat ove akcije može biti različit: možemo dobiti ili pozitivan ili negativan broj. Moguć je i nulti rezultat.

Ovo pravilo se primjenjuje na cijele brojeve, racionalne i realne brojeve.

Problemi koji uključuju dodavanje pozitivnog broja negativnom broju

Pogledajmo kako primijeniti gore navedeno pravilo u praksi. Uzmimo prvo jednostavan primjer.

Primjer 1

Izračunajte zbroj 2 + (- 5) .

Rješenje

Slijedimo korake koje smo do sada naučili. Nađimo prvo module originalnih brojeva, koji će biti jednaki 2 i 5. Veći modul je 5, tako da pamtimo minus. Zatim od većeg modula oduzimamo manji i dobijamo: 5 − 2 = 3.

odgovor: (− 5) + 2 = − 3 .

Ako uvjeti problema sadrže racionalne brojeve s različitim predznacima koji nisu cijeli brojevi, tada ih zbog praktičnosti izračunavanja trebate predstaviti u obliku decimala ili običnih razlomaka. Uzmimo ovaj problem i riješimo ga.

Primjer 2

Izračunajte koliko je 2 1 8 + (- 1 , 25).

Rješenje

Prije svega, hajde da prevedemo mješoviti broj u običan razlomak. Ako se ne sjećate kako to učiniti, ponovo pročitajte odgovarajući članak.

Decimalni razlomak ćemo također predstaviti kao običan razlomak: - 1, 25 = - 125 100 = - 5 4.

Nakon toga možete nastaviti s izračunavanjem modula i izračunavanjem rezultata. Nađimo module: oni će biti jednaki 17 8 i 5 4, respektivno. Dobivene razlomke smanjujemo na zajednički imenilac i dobijamo 17 8 i 10 8.

Sljedeći korak je poređenje razlomaka. Pošto je brojilac prvog razlomka veći, onda je 17 8 > 10 8. Ako imamo veći pojam sa znakom plus, onda moramo imati na umu da će rezultat biti pozitivan.

17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8

Već smo ranije napomenuli da će naš rezultat imati znak plus: + 7 8 . S obzirom da nije potrebno pisati plus, mi ćemo bez njega prilikom pisanja odgovora.

Zapišimo cijelo rješenje:

2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8

odgovor: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .

Primjer 3

Nađi čemu je jednak zbir 14 i -14.

Rješenje

Imamo dva identična pojma sa različitim predznacima. To znači da su ti brojevi suprotni jedan drugome, pa će njihov zbir biti jednak 0.

odgovor: 14 + - 14 = 0

Na kraju članka ćemo dodati da je rezultat zbrajanja realnih negativnih brojeva s pozitivnim često bolje napisan u obliku numerički izraz s korijenima, potencijama ili logaritmima, a ne u obliku beskonačnog decimalni. Dakle, ako zbrojimo brojeve n i - 3, onda će odgovor biti n - 3. Count konačni rezultat To nije uvijek potrebno, a možete proći s približnim proračunima. O tome ćemo detaljnije pisati u članku o osnovnim operacijama s realnim brojevima.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter