Sabiranje i množenje vjerovatnoće uslovna vjerovatnoća. Teorema sabiranja za vjerovatnoće nekompatibilnih događaja

Vjerovatnoća događaja A je omjer broja m ishoda testa koji favoriziraju početak događaja A prema ukupnom broju n svih jednako mogućih nekompatibilnih ishoda: P(A)=m/n.

Uslovna vjerovatnoća događaja A (ili vjerojatnost događaja A, pod uvjetom da se dogodio događaj B), je broj P B (A) = P (AB) / P (B), gdje su A i B dva slučajna događaja istog testa .

Zbir konačnog broja događaja naziva se događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od njih. Zbir dva događaja je označen sa A+B.

Pravila sabiranja vjerovatnoće :

zajedničkih događaja A i B:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), gdje je P(A) vjerovatnoća događaja A, P(B) je vjerovatnoća događaja B, P(A+B) ) je vjerovatnoća pojave barem jednog od dva događaja, P(AB) je vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva događaja.
pravilo dodavanja nekompatibilni događaji A i B:
P(A+B) = P(A)+P(B), gdje je P(A) vjerovatnoća događaja A, P(B) je vjerovatnoća događaja B.

Proizvod konačnog broja događaja naziva se događaj koji se sastoji u činjenici da će se svaki od njih dogoditi. Proizvod dva događaja označava se AB.

Pravila množenja vjerovatnoće :

zavisni događaji A i B:
R(AV)= R(A)*R A (V)= R(V)*R V (A), gdje je R A (V) uslovna vjerovatnoća pojave događaja B, ako se događaj A već dogodio, R V (A ) je uslovna vjerovatnoća pojave događaja A, ako se događaj B već dogodio;
pravilo množenja vjerovatnoće nezavisnih događaja A i B:
P(AB) = P(A)*P(B), gdje je P(A) vjerovatnoća događaja A, P(B) je vjerovatnoća događaja B.

Primjeri rješavanja zadataka na temu „Operacije nad događajima. Pravila za sabiranje i množenje vjerovatnoća"

Zadatak 1 . Kutija sadrži 250 sijalica od kojih 100 od 90W, 50 od 60W, 50 od 25W i 50 od 15W. Odredite vjerovatnoću da snaga bilo koje nasumično uzete sijalice neće preći 60 vati.

Rješenje.

A \u003d (snaga sijalice je 90 W), vjerovatnoća P (A) = 100/250 = 0,4;
B \u003d (snaga sijalice je 60W);
C \u003d (snaga sijalice je 25W);
D = (snaga sijalice je 15W).

2. Forma događaja A, B, C, D kompletan sistem , budući da su svi nekompatibilni i jedan od njih će se sigurno pojaviti u ovom eksperimentu (odabir sijalice). Vjerovatnoća pojave jednog od njih je pouzdan događaj, tada je R(A)+R(V)+R(S)+R(D)=1.

3. Događaji (snaga sijalice ne veća od 60W) (tj. manja ili jednaka 60W) i (snaga sijalice veća od 60W) (u ovom slučaju - 90W) su suprotni. Svojstvom suprotnih brojeva P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. S obzirom da je P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), dobijamo P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Zadatak 2 . Vjerovatnoća da prvi strijelac jednim udarcem pogodi metu je 0,7, a drugi strijelac - 0,9. Pronađite vjerovatnoću da
a) metu će pogoditi samo jedan strijelac;
b) metu će pogoditi najmanje jedan strijelac.

Rješenje.
1. Razmotrite sljedeće događaje:
A1 = (prvi strijelac pogađa metu), R(A1)=0,7 od uslova zadatka;
A1 = (prvi strijelac je promašio), dok je R(A1)+R(Ā1) = 1, pošto su A1 i Ā1 suprotni događaji. Dakle R(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (drugi strijelac pogađa metu), R(A2)=0,9 iz uslova zadatka;
A2 = (promašio drugi strijelac), dok je R(Ā2)=1-0,9=0,1.

2. Događaj A=(metu je pogodio samo jedan strijelac) znači da se dogodio jedan od dva nekompatibilna događaja: ili A1A2 ili A1A2.
Prema pravilu sabiranja vjerovatnoća R(A)= R(A1A2) + R(A1A2).

R(A1Ā2)= R(A1)*R(Ā2)= 0,7*0,1=0,07;
R(Ā1A2)= R(Ā1)*R(A2)=0,3*0,9=0,27.
Tada je R(A)= R(A1A2)+R(A±1A2)=0,07+0,27=0,34.

3. Događaj B=(metu je pogodio najmanje jedan strijelac) znači da je ili prvi strijelac pogodio metu, ili drugi strijelac pogodio metu, ili su oba strijelca pogodila metu.

Događaj B̄=(metu nije pogodio nijedan strijelac) je suprotan događaju B, što znači P(B)=1-P(B̄).
Događaj B̄ znači istovremenu pojavu nezavisnih događaja Ā1 i Ā2, dakle P(B̄)=P(Ā1À2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Tada je R(V)=1-R(B̄)=1-0.3=0.7.

Zadatak 3 . Ispitni rad se sastoji od tri pitanja. Vjerovatnoća da će student odgovoriti na prvo pitanje je 0,7; na drugom - 0,9; na trećem - 0,6. Pronađite vjerovatnoću da će učenik, birajući kartu, odgovoriti:
a) sva pitanja
d) najmanje dva pitanja.

Rješenje. 1. Razmotrite sljedeće događaje:
A1 = (učenik je odgovorio na prvo pitanje), R(A1)=0,7 iz uslova zadatka;
A1 = (učenik nije odgovorio na prvo pitanje), dok je P(A1) + P(Ā1) = 1, pošto su A1 i Ā1 suprotni događaji. Dakle R(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (učenik je odgovorio na drugo pitanje), R(A2)=0,9 iz uslova zadatka;
A2 = (učenik nije odgovorio na drugo pitanje), dok je R(Ā2)=1-0,9=0,1;
A3 = (učenik je odgovorio na treće pitanje), R(A3)=0,6 iz uslova zadatka;
A3 = (učenik nije odgovorio na treće pitanje), dok je R(Ā3)=1-0,6=0,4.

2. Događaj A = (učenik je odgovorio na sva pitanja) označava istovremenu pojavu nezavisnih događaja A1, A2 i A3, tj. R(A)= R(A1A2A3) Prema pravilu množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja: R(A1A2A3)= R(A1)*R(A2)*R(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Tada je P(A)=P(A1A2A3)=0,378.

3. Događaj D = (učenik je odgovorio na najmanje dva pitanja) znači da se odgovor daje na bilo koja dva pitanja ili na sva tri, tj. dogodio se jedan od četiri nekompatibilna događaja: ili A1A2À3, ili A1À2A3, ili A1A2A3, ili A1A2A3.
Prema pravilu sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja: P(D)= P(A1A2À3)+ P(A1À2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Prema pravilu množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
R(A1A2À3)= R(A1)*R(A2)*R(À3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
R(A1À2A3)= R(A1)*R(À2)*R(A3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P (A1A2A3) = P (A1) * P (A2) * P (A3) \u003d 0,7 * 0,9 * 0,6 = 0,378.
Tada je R(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Teorema sabiranja

Uzmite u obzir nekompatibilne slučajne događaje.

Poznato je da nekompatibilni slučajni događaji $A$ i $B$ u istom ispitivanju imaju vjerovatnoće $P\left(A\right)$ i $P\left(B\right)$ respektivno. Nađimo vjerovatnoću zbira $A+B$ ovih događaja, odnosno vjerovatnoću pojave barem jednog od njih.

Pretpostavimo da je u ovom testu broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n$. Od ovih, događajima $A$ i $B$ favorizuju $m_(A)$ i $m_(B)$ elementarni događaji, respektivno. Pošto su događaji $A$ i $B$ nekompatibilni, događaj $A+B$ favoriziraju $m_(A) +m_(B)$ elementarni događaji. Imamo $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\lijevo(A\desno)+P\lijevo(B\desno)$.

Teorema 1

Vjerovatnoća zbira dva nespojiva događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća.

Napomena 1

Posljedica 1. Vjerovatnoća zbira bilo kojeg broja nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja.

Posljedica 2. Zbir vjerovatnoća kompletne grupe nekompatibilnih događaja (zbir vjerovatnoća svih elementarnih događaja) jednak je jedan.

Posljedica 3. Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan, jer oni čine potpunu grupu nekompatibilnih događaja.

Primjer 1

Vjerovatnoća da u gradu nikada neće padati kiša neko vrijeme je $p=0,7$. Nađite vjerovatnoću $q$ da će za isto vrijeme u gradu barem jednom padati kiša.

Događaji "neko vreme nikad nije padala kiša u gradu" i "neko vreme je bar jednom pala u gradu" su suprotni. Dakle, $p+q=1$, odakle $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Razmotrite zajedničke slučajne događaje.

Poznato je da zajednički slučajni događaji $A$ i $B$ u istom ispitivanju imaju vjerovatnoće $P\left(A\right)$ i $P\left(B\right)$ respektivno. Nađimo vjerovatnoću zbira $A+B$ ovih događaja, odnosno vjerovatnoću pojave barem jednog od njih.

Pretpostavimo da je u ovom testu broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n$. Od ovih, događajima $A$ i $B$ favorizuju $m_(A)$ i $m_(B)$ elementarni događaji, respektivno. Pošto su događaji $A$ i $B$ zajednički, onda od ukupnog broja $m_(A) +m_(B) $ elementarnih događaja, određeni broj $m_(AB) $ favorizuje oba događaja $A$ i događaj $B$, odnosno njihovo zajedničko pojavljivanje (proizvod događaja $A\cdot B$). Ova količina $m_(AB)$ je unela i $m_(A)$ i $m_(B)$. Dakle, događaj $A+B$ favorizuje $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ elementarni događaji. Imamo: $P\left(A+B\desno)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\lijevo(A\desno)+P\lijevo(B\desno)-P\lijevo(A\cdot B\ desno )$.

Teorema 2

Vjerovatnoća zbira dva zajednička događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja umanjenoj za vjerovatnoću njihovog proizvoda.

Komentar. Ako su događaji $A$ i $B$ nekompatibilni, onda je njihov proizvod $A\cdot B$ nemoguć događaj čija je vjerovatnoća $P\left(A\cdot B\right)=0$. Stoga je formula za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja poseban slučaj formule za sabiranje vjerovatnoća zajedničkih događaja.

Primjer 2

Nađite vjerovatnoću da kada se dvije kockice bace u isto vrijeme, broj 5 se pojavi barem jednom.

Prilikom bacanja dvije kockice u isto vrijeme, broj svih jednako mogućih elementarnih događaja jednak je $n=36$, jer šest cifara drugog kockica može pasti na svaku znamenku prve kocke. Od toga, događaj $A$ - broj 5 bačen na prvom kocku - se dešava 6 puta, događaj $B$ - broj 5 bačen na drugom kocku - takođe se dešava 6 puta. Od svih dvanaest puta, broj 5 se pojavljuje jednom na obje kocke. Dakle, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Teorema množenja vjerovatnoće

Razmotrite nezavisne događaje.

Događaji $A$ i $B$ koji se javljaju u dva uzastopna pokušaja nazivaju se nezavisnim ako vjerovatnoća pojave događaja $B$ ne zavisi od toga da li se događaj $A$ dogodio ili nije.

Na primjer, pretpostavimo da se u urni nalaze 2 bijele i 2 crne kugle. Test je izvlačenje lopte. Događaj $A$ je "bijela lopta je izvučena u prvom pokušaju". Vjerovatnoća $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Nakon prvog testa, lopta je vraćena i izvršen je drugi test. Događaj $B$ -- ``bijela lopta izvučena u drugom pokušaju''. Vjerovatnoća $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Vjerovatnoća $P\left(B\right)$ ne zavisi od toga da li se događaj $A$ dogodio ili ne, stoga su događaji $A$ i $B$ nezavisni.

Poznato je da nezavisni slučajni događaji $A$ i $B$ dva uzastopna pokušaja imaju vjerovatnoće $P\left(A\right)$ i $P\left(B\right)$ respektivno. Nađimo vjerovatnoću proizvoda $A\cdot B$ ovih događaja, odnosno vjerovatnoću njihovog zajedničkog nastupa.

Pretpostavimo da je u prvom pokušaju broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n_(1) $. Od njih, $A$ favoriziraju $m_(1)$ elementarni događaji. Pretpostavimo i da je u drugom testu broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n_(2) $. Od ovih, događaju $B$ favorizuju $m_(2)$ elementarni događaji. Sada razmotrite novi elementarni događaj, koji se sastoji u sukcesivnom pojavljivanju događaja iz prvog i drugog pokušaja. Ukupan broj takvih jednako vjerovatnih elementarnih događaja jednak je $n_(1) \cdot n_(2) $. Pošto su događaji $A$ i $B$ nezavisni, od ovog broja zajedničku pojavu događaja $A$ i događaja $B$ (proizvoda događaja $A\cdot B$) favorizuje $m_( 1) \cdot m_(2) $ događaji . Imamo: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Teorema 3

Verovatnoća proizvoda dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu verovatnoća ovih događaja.

Uzmite u obzir zavisne događaje.

U dva uzastopna ispitivanja dešavaju se događaji $A$ i $B$. Za događaj $B$ se kaže da zavisi od događaja $A$ ako vjerovatnoća pojave događaja $B$ zavisi od toga da li se događaj $A$ dogodio ili ne. Tada se vjerovatnoća događaja $B$, koja je izračunata pod uslovom da se dogodio događaj $A$, naziva uslovnom vjerovatnoćom događaja $B$ pod uslovom $A$ i označava se sa $P\left (B/A\desno)$.

Na primjer, pretpostavimo da se u urni nalaze 2 bijele i 2 crne kugle. Test je izvlačenje lopte. Događaj $A$ je "bijela lopta je izvučena u prvom pokušaju". Vjerovatnoća $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Nakon prvog testa, lopta se ne vraća nazad i izvodi se drugi test. Događaj $B$ -- ``bijela lopta izvučena u drugom pokušaju''. Ako je bijela kugla izvučena u prvom pokušaju, tada je vjerovatnoća $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Ako je crna kugla izvučena u prvom pokušaju, tada je vjerovatnoća $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Dakle, vjerovatnoća događaja $B$ zavisi od toga da li se događaj $A$ desio ili ne, dakle, događaj $B$ zavisi od događaja $A$.

Pretpostavimo da se događaji $A$ i $B$ dešavaju u dva uzastopna ispitivanja. Poznato je da događaj $A$ ima vjerovatnoću pojave $P\left(A\right)$. Takođe je poznato da događaj $B$ zavisi od događaja $A$ i da je njegova uslovna verovatnoća pod uslovom $A$ jednaka $P\left(B/A\right)$.

Teorema 4

Vjerovatnoća proizvoda događaja $A$ i događaja $B$ zavisnog od njega, odnosno vjerovatnoća njihovog zajedničkog pojavljivanja, može se naći po formuli $P\left(A\cdot B\right)= P\left(A\desno)\cdot P\left(B/A\right)$.

Simetrična formula $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ je također važeća, gdje se pretpostavlja da će događaj $A$ zavisi od događaja $ B$.

Za uslove posljednjeg primjera nalazimo vjerovatnoću da će bela lopta biti izvučena u oba pokušaja. Takav događaj je proizvod događaja $A$ i $B$. Njegova vjerovatnoća je $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Sabiranje i množenje vjerovatnoća. Ovaj članak će se fokusirati na rješavanje problema u teoriji vjerovatnoće. Ranije smo već analizirali neke od najjednostavnijih zadataka, za njihovo rješavanje dovoljno je znati i razumjeti formulu (savjetujem vam da je ponovite).

Postoje zadaci koji su malo komplikovaniji, za njihovo rešavanje morate znati i razumeti: pravilo sabiranja verovatnoća, pravilo množenja verovatnoća, pojmovi zavisnih i nezavisnih događaja, suprotnih događaja, zajedničkih i nespojivih događaja. Ne bojte se definicija, sve je jednostavno)).U ovom članku ćemo razmotriti upravo takve zadatke.

Neka važna i jednostavna teorija:

nekompatibilno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu ostalih. Odnosno, može se dogoditi samo jedan određeni događaj, ili drugi.

Klasičan primjer: pri bacanju kocke (kocke) može ispasti samo jedna, ili samo dvije, ili samo tri itd. Svaki od ovih događaja je nekompatibilan s ostalima, a pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog (u jednom testu). Isto je i sa novčićem - gubitak "orla" eliminiše mogućnost gubitka "repova".

To se odnosi i na složenije kombinacije. Na primjer, upaljene su dvije svjetiljke. Svaki od njih može ili ne mora izgorjeti neko vrijeme. Postoje opcije:

Prvi izgori, a drugi izgori
Prvi izgara, a drugi ne izgara
Prvi ne izgara, a drugi izgara
Prvi ne izgara, a drugi izgara.

Sve ove 4 varijante događaja su nespojive - jednostavno ne mogu da se dogode zajedno i nijedna ni sa jednom drugom...

Definicija: Događaji se pozivaju joint ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Primjer: dama će biti uzeta iz špila karata, a pik karta će biti uzeta iz špila karata. Razmatraju se dva događaja. Ovi događaji se međusobno ne isključuju - možete izvući pikovu damu i tako će se desiti oba događaja.

O zbiru vjerovatnoća

Zbir dva događaja A i B naziva se događaj A + B, koji se sastoji u činjenici da će se ili događaj A ili događaj B ili oba desiti u isto vrijeme.

Ako se dogodi nekompatibilno događaja A i B, tada je vjerovatnoća zbira ovih događaja jednaka zbroju vjerovatnoća događaja:

primjer kocke:

Bacamo kocku. Kolika je vjerovatnoća da dobijete broj manji od četiri?

Brojevi manji od četiri su 1,2,3. Znamo da je vjerovatnoća dobijanja 1 1/6, 2 je 1/6, a 3 je 1/6. Ovo su nekompatibilni događaji. Možemo primijeniti pravilo sabiranja. Vjerovatnoća da dobijete broj manji od četiri je:

Zaista, ako polazimo od koncepta klasične vjerovatnoće: tada je broj mogućih ishoda 6 (broj svih strana kocke), broj povoljnih ishoda je 3 (jedan, dva ili tri). Željena vjerovatnoća je 3 do 6 ili 3/6 = 0,5.

* Vjerovatnoća zbira dva zajednička događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja bez uzimanja u obzir njihovog zajedničkog pojavljivanja: P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB )

O množenju vjerovatnoća

Neka se dese dva nekompatibilna događaja A i B, njihove vjerovatnoće su P(A) i P(B). Proizvod dva događaja A i B naziva se takav događaj A B, koji se sastoji u tome da će se ti događaji dogoditi zajedno, odnosno da će se desiti i događaj A i događaj B. Vjerovatnoća takvog događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoće događaja A i B.Izračunato prema formuli:

Kao što ste već primijetili, logički veznik "AND" znači množenje.

Primjer sa istom kockom:Baci kocku dvaput. Kolika je vjerovatnoća bacanja dvije šestice?

Vjerovatnoća da ćete prvi put baciti šesticu je 1/6. Drugi put je također jednako 1/6. Vjerovatnoća da dobijete šesticu i prvi i drugi put jednaka je proizvodu vjerovatnoća:

Jednostavnije rečeno: kada se događaj dogodi u jednom testu, A onda se dogodi drugi (drugi), tada je vjerovatnoća da će se oni dogoditi zajedno jednaka proizvodu vjerovatnoća ovih događaja.

Zadatke smo rješavali kockicama, ali smo koristili samo logičko razmišljanje, nismo koristili formulu proizvoda. U problemima koji se razmatraju u nastavku ne može se bez formula, odnosno lakše i brže će se dobiti rezultat s njima.

Vrijedi spomenuti još jednu nijansu. Prilikom rasuđivanja u rješavanju problema koristi se koncept SIMULTANNOSTI događaja. Događaji se dešavaju SIMULTANO - to ne znači da se dešavaju u jednoj sekundi (u jednom trenutku). To znači da se javljaju u određenom vremenskom periodu (sa jednim testom).

Na primjer:

Dve lampe pregore u roku od godinu dana (može se reći - istovremeno u roku od godinu dana)

Dva automata se pokvare u roku od mesec dana (može se reći - istovremeno u roku od mesec dana)

Kocka se baca tri puta (bodovi ispadaju u isto vrijeme, što znači u jednom testu)

Biatlonac pravi pet udaraca. Događaji (pogoci) se dešavaju tokom jednog testa.

Događaji A i B su nezavisni ako vjerovatnoća bilo kojeg od njih ne zavisi od pojave ili nenastupanja drugog događaja.

Razmotrite zadatke:

Dvije fabrike proizvode isto staklo za farove za automobile. Prva fabrika proizvodi 35% ovih naočara, druga - 65%. Prva fabrika proizvodi 4% neispravnih stakala, a druga 2%. Pronađite vjerovatnoću da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno.

Prva fabrika proizvodi 0,35 proizvoda (čaše). Verovatnoća kupovine neispravnog stakla iz prve fabrike je 0,04.

Druga fabrika proizvodi 0,65 čaša. Verovatnoća kupovine neispravnog stakla iz druge fabrike je 0,02.

Vjerovatnoća da je staklo kupljeno u prvoj fabrici I da će istovremeno biti neispravno je 0,35∙0,04 = 0,0140.

Vjerovatnoća da je staklo kupljeno u drugoj fabrici I da će istovremeno biti neispravno je 0,65∙0,02 = 0,0130.

Kupovina neispravnog stakla u prodavnici podrazumijeva da je ono (neispravno staklo) kupljeno ILI od prve fabrike ILI od druge. Ovo su nekompatibilni događaji, odnosno dodajemo rezultirajuće vjerovatnoće:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Odgovor: 0,027

Ako velemajstor A. igra bijelog, tada pobjeđuje velemajstora B. sa vjerovatnoćom 0,62. Ako A. igra crno, onda A. pobjeđuje B. sa vjerovatnoćom od 0,2. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj igri mijenjaju boju figura. Pronađite vjerovatnoću da A. pobijedi oba puta.

Šanse za pobjedu u prvoj i drugoj utakmici su nezavisne jedna od druge. Kaže se da velemajstor mora pobijediti oba puta, odnosno pobijediti prvi put I istovremeno pobijediti drugi put. U slučaju kada se nezavisni događaji moraju dogoditi zajedno, vjerovatnoće ovih događaja se množe, odnosno koristi se pravilo množenja.

Verovatnoća nastanka ovih događaja biće jednaka 0,62∙0,2 = 0,124.

Odgovor: 0,124

Na ispitu iz geometrije student dobija jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje s upisanim krugom je 0,3. Vjerovatnoća da je ovo pitanje paralelograma je 0,25. Nema pitanja vezanih za ove dvije teme u isto vrijeme. Odrediti vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Odnosno, potrebno je pronaći vjerovatnoću da će učenik dobiti pitanje ILI na temu “Upisana kružnica”, ILI na temu “Paralelogram”. U ovom slučaju vjerovatnoće se sumiraju, jer su ovi događaji nekompatibilni i može se dogoditi bilo koji od ovih događaja: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Razdvojeni događaji su događaji koji se ne mogu dogoditi u isto vrijeme.

Odgovor: 0,55

Biatlonac gađa pet puta u mete. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,9. Nađite vjerovatnoću da je biatlonac prva četiri puta pogodio mete, a posljednji promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Pošto biatlonac pogodi metu sa verovatnoćom od 0,9, on promašuje sa verovatnoćom od 1 - 0,9 = 0,1

*Promašaj i pogodak su događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno sa jednim udarcem, zbir vjerovatnoća ovih događaja je 1.

Riječ je o realizaciji nekoliko (nezavisnih) događaja. Ako se dogodi neki događaj i u isto vrijeme se dogodi drugi (naknadni) u isto vrijeme (test), tada se vjerovatnoće ovih događaja množe.

Vjerovatnoća nastanka nezavisnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća.

Dakle, vjerovatnoća događaja „pogodan, pogodio, pogodio, pogodio, promašio“ jednaka je 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Zaokružujući na stotinke, dobijamo 0,07

Odgovor: 0.07

Prodavnica ima dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan sa vjerovatnoćom od 0,07, bez obzira na drugi automat. Pronađite vjerovatnoću da je barem jedan automat uslužan.

Pronađite vjerovatnoću da su oba automata neispravna.

Ovi događaji su nezavisni, pa će vjerovatnoća biti jednaka proizvodu vjerovatnoća ovih događaja: 0,07∙0,07 = 0,0049.

To znači da će vjerovatnoća da oba automata rade ili da će jedan od njih biti jednaka 1 - 0,0049 = 0,9951.

* Oba su servisna, a neko potpuno - ispunjava uslov "bar jedan".

Može se predstaviti vjerovatnoće svih (nezavisnih) događaja za testiranje:

1. “neispravan-neispravan” 0,07∙0,07 = 0,0049

2. “Dobar-Neispravan” 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "Neispravan-Neispravan" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. “zdravo-zdravo” 0,93∙0,93 = 0,8649

Da bi se utvrdila vjerovatnoća da je barem jedan automat u dobrom stanju, potrebno je sabrati vjerovatnoće nezavisnih događaja 2,3 i 4: određeni događaj Događajem se naziva događaj koji će se sigurno dogoditi kao rezultat nekog iskustva. Događaj se zove nemoguće ako se to nikada ne dogodi kao rezultat iskustva.

Na primjer, ako se jedna loptica nasumično izvuče iz kutije koja sadrži samo crvene i zelene kuglice, tada je pojava bijele kuglice među izvučenim kuglicama nemoguć događaj. Pojava crvenih i pojava zelenih kuglica čine kompletnu grupu događaja.

definicija: Događaji se zovu podjednako moguće , ako nema razloga vjerovati da će se jedan od njih pojaviti kao rezultat eksperimenta s većom vjerovatnoćom.

U gornjem primjeru, pojava crvenih i zelenih loptica su podjednako vjerovatni događaji ako kutija sadrži isti broj crvenih i zelenih loptica. Ako u kutiji ima više crvenih loptica nego zelenih, onda je manja vjerovatnoća pojavljivanja zelene lopte od pojave crvene.

U nastavku ćemo razmotriti više problema u kojima se koristi zbir i proizvod vjerovatnoća događaja, nemojte to propustiti!

To je sve. Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Marija Ivanovna grdi Vasju:
Petrove, zašto juče nisi bio u školi?!
Moja mama mi je juče oprala pantalone.
- Pa šta?
- A ja sam prolazio pored kuće i vidio da tvoji visi. Mislio sam da nećeš doći.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

At Za procjenu vjerovatnoće pojave bilo kojeg slučajnog događaja, vrlo je važno unaprijed imati dobru ideju da li vjerovatnoća () pojave događaja od interesa za nas zavisi od toga kako se razvijaju drugi događaji.

U slučaju klasične sheme, kada su svi ishodi jednako vjerojatni, već možemo sami procijeniti vrijednosti vjerovatnoće pojedinačnog događaja koji nas zanima. To možemo učiniti čak i ako je događaj složena zbirka nekoliko elementarnih ishoda. A ako se nekoliko slučajnih događaja dogodi istovremeno ili uzastopno? Kako to utiče na vjerovatnoću događaja koji nas zanima?

Ako bacim kockicu nekoliko puta i želim da dobijem šesticu, a uvek nemam sreće, da li to znači da treba da povećam svoju opkladu jer, prema teoriji verovatnoće, uskoro ću imati sreće? Avaj, teorija vjerovatnoće ne govori ništa o tome. Bez kockica, bez karata, bez novčića ne mogu da se setim šta su nam pokazali prošli put. Uopšte im je svejedno da li prvi ili deseti put danas iskušavam svoju sudbinu. Svaki put kada ponovo kotrljam, znam samo jedno: i ovog puta je vjerovatnoća da ću ponovo baciti "šesticu" jedna šestina. Naravno, to ne znači da broj koji mi treba nikada neće ispasti. To samo znači da su moj gubitak nakon prvog bacanja i nakon svakog drugog bacanja nezavisni događaji.

Događaji A i B se nazivaju nezavisni, ako implementacija jednog od njih ni na koji način ne utiče na vjerovatnoću drugog događaja. Na primjer, vjerovatnoća pogađanja mete s prvim od dva pištolja ne zavise od toga da li je drugi top pogodio metu, tako da su događaji "prvi top pogodio metu" i "drugi top pogodio metu" nezavisni.

Ako su dva događaja A i B nezavisna, a vjerovatnoća svakog od njih je poznata, tada se vjerovatnoća istovremene pojave događaja A i događaja B (označeno sa AB) može izračunati korištenjem sljedeće teoreme.

Teorema množenja vjerovatnoće za nezavisne događaje

P(AB) = P(A)*P(B)- vjerovatnoća simultano dva nezavisni događaji je rad vjerovatnoće ovih događaja.

Primjer.Vjerovatnoće pogađanja mete pri gađanju prvog i drugog topova su jednake: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Odredite vjerovatnoću da pogodite jednim rafalom od oba pištolja istovremeno.

Rješenje: Kao što smo već vidjeli, događaji A (pogodan prvim pištoljem) i B (pogodan drugim pištoljem) su nezavisni, tj. P (AB) = P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 = 0,56.

Šta se dešava s našim procjenama ako početni događaji nisu nezavisni? Promenimo malo prethodni primer.

Primjer.Dva strijelca na takmičenju gađaju mete, a ako jedan od njih gađa precizno, onda protivnik počinje da se nervira, a rezultati mu se pogoršavaju. Kako ovu svakodnevnu situaciju pretvoriti u matematički problem i zacrtati načine za njegovo rješavanje? Intuitivno je jasno da je potrebno nekako razdvojiti dva scenarija, sastaviti, zapravo, dva scenarija, dva različita zadatka. U prvom slučaju, ako protivnik promaši, scenario će biti povoljan za nervoznog sportistu i njegova preciznost će biti veća. U drugom slučaju, ako je protivnik pristojno realizovao svoju šansu, vjerovatnoća da će pogoditi metu za drugog sportaša se smanjuje.

Da bismo razdvojili moguće scenarije (oni se često nazivaju hipotezama) razvoja događaja, često ćemo koristiti shemu "stabla vjerovatnoće". Ovaj dijagram je po značenju sličan stablu odlučivanja, s kojim ste vjerovatno već imali posla. Svaka grana je zaseban scenario, samo što sada ima svoje značenje tzv uslovno vjerovatnoće (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Ova šema je vrlo pogodna za analizu uzastopnih slučajnih događaja.

Ostaje da razjasnimo još jedno važno pitanje: gdje su početne vrijednosti vjerojatnosti stvarne situacije ? Uostalom, teorija vjerovatnoće ne funkcionira s istim novčićima i kockicama, zar ne? Obično se ove procjene uzimaju iz statistike, a kada statistika nije dostupna, mi provodimo vlastito istraživanje. I često moramo započeti ne prikupljanjem podataka, već pitanjem koje informacije su nam općenito potrebne.

Primjer.U gradu od 100.000 stanovnika, pretpostavimo da trebamo procijeniti veličinu tržišta za novi neesencijalni proizvod, kao što je regenerator za kosu za kosu. Razmotrimo šemu "drvo vjerovatnoća". U ovom slučaju trebamo približno procijeniti vrijednost vjerovatnoće na svakoj „grani“. Dakle, naše procjene tržišnog kapaciteta:

1) 50% svih stanovnika grada su žene,

2) od svih žena, samo 30% često farba kosu,

3) od njih samo 10% koristi balzame za farbanu kosu,

4) od njih samo 10% može skupiti hrabrost da isproba novi proizvod,

5) 70% njih obično sve kupuje ne od nas, već od naših konkurenata.

Rješenje: Prema zakonu množenja vjerovatnoća, određujemo vjerovatnoću događaja koji nas zanima A = (stanovnik grada kupuje ovaj novi balzam od nas) = 0,00045.

Pomnožite ovu vrijednost vjerovatnoće sa brojem stanovnika grada. Kao rezultat toga, imamo samo 45 potencijalnih kupaca, a s obzirom da jedna bočica ovog proizvoda traje nekoliko mjeseci, trgovina nije baš živa.

Ipak, ima koristi od naših procjena.

Prvo, možemo uporediti prognoze različitih poslovnih ideja, one će imati različite „račve“ na dijagramima, a, naravno, i vrijednosti vjerovatnoće će biti različite.

Drugo, kao što smo već rekli, slučajna varijabla se ne zove slučajna jer ne zavisi ni od čega. Samo ona tačno vrijednost nije poznata unaprijed. Znamo da se prosječan broj kupaca može povećati (na primjer, oglašavanjem novog proizvoda). Tako da ima smisla fokusirati se na one "rašlje" gdje nam distribucija vjerovatnoća ne odgovara posebno, na one faktore na koje možemo utjecati.

Razmotrimo još jedan kvantitativni primjer istraživanja ponašanja potrošača.

Primjer. Prosječno 10.000 ljudi posjeti prehrambenu pijacu dnevno. Verovatnoća da posetilac pijace uđe u mlečni paviljon je 1/2. Poznato je da se u ovom paviljonu u prosjeku dnevno proda 500 kg raznih proizvoda.

Može li se tvrditi da je prosječna kupovina u paviljonu teška samo 100 g?

Diskusija. Naravno da ne. Jasno je da nisu svi koji su ušli u paviljon na kraju nešto kupili.

Kao što je prikazano na dijagramu, da bismo odgovorili na pitanje o prosječnoj kupovnoj težini, moramo pronaći odgovor na pitanje kolika je vjerovatnoća da osoba koja uđe u paviljon tamo nešto kupi. Ukoliko takve podatke ne raspolažemo, a trebaju nam, moraćemo sami da ih pribavimo, nakon što neko vreme posmatramo posetioce paviljona. Pretpostavimo da naša zapažanja pokazuju da samo petina posjetitelja paviljona nešto kupi.

Čim ove procjene dobijemo od nas, zadatak postaje već jednostavan. Od 10.000 ljudi koji su došli na pijacu, 5.000 će otići u paviljon mliječnih proizvoda, kupovina će biti samo 1.000, a prosječna težina kupovine je 500 grama. Zanimljivo je primijetiti da, da bismo izgradili potpunu sliku onoga što se dešava, logika uslovnog "grananja" mora biti definirana u svakoj fazi našeg razmišljanja tako jasno kao da radimo s "konkretnom" situacijom, a ne sa vjerovatnoćama.

Zadaci za samotestiranje

1. Neka postoji električni krug koji se sastoji od n serijski povezanih elemenata, od kojih svaki radi nezavisno od drugih.

Vjerovatnoća p neotkazanja svakog elementa je poznata. Odrediti vjerovatnoću ispravnog rada cijelog dijela kola (događaj A).

2. Student zna 20 od 25 ispitnih pitanja. Odrediti vjerovatnoću da učenik zna tri pitanja koja mu je dao ispitivač.

3. Proizvodnja se sastoji od četiri uzastopne faze, od kojih svaka radi na opremi za koju su vjerovatnoće kvara u narednih mjesec dana p 1 , p 2 , p 3 i p 4 . Pronađite vjerovatnoću da za mjesec dana neće doći do obustave proizvodnje zbog kvara opreme.

Osnovni koncepti
Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom ispitivanju. Inače se nazivaju zglob.
Kompletna grupa je skup događaja čija je kombinacija pouzdan događaj.
Suprotnosti su dva jedinstveno moguća događaja koji čine kompletnu grupu.
Događaji se nazivaju zavisnim ako vjerovatnoća nastanka jednog od njih ovisi o nastanku ili nenastupanju drugih događaja.
Događaji se nazivaju nezavisnim ako vjerovatnoća jednog od njih ne zavisi od pojave ili nepostojanja drugih.
Teorema sabiranja za vjerovatnoće nekompatibilnih događaja
P(A+B)=P(A)+P(B),
gdje su A, B nekompatibilni događaji.

Teorema sabiranja za vjerovatnoće zajedničkog događaja
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), gdje su A i B zajednički događaji.

Teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja
,
gdje su A i B nezavisni događaji.
Teorema množenja vjerovatnoća zavisnih događaja
P (AB) \u003d P (A) P A (B),
gdje je P A (B) vjerovatnoća pojave događaja B, pod uslovom da se dogodio događaj A; A i B su zavisni događaji.

Zadatak 1.
Strijelac ispaljuje dva hica u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,8. Napravite kompletnu grupu događaja i pronađite njihove vjerovatnoće. Rješenje.
Test - Dva hica se ispaljuju u metu.
Događaj ALI- oba puta nije uspio.
Događaj AT- udari jednom.
Događaj OD- Dobio sam oba puta.
.

Kontrola: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Zadatak 2.
Prema prognozi meteorologa R(kiša)=0,4; P(vetar)=0,7; P(kiša i vjetar)=0,2. Kolika je vjerovatnoća da će padati kiša ili vjetar? Rješenje. Prema teoremi sabiranja vjerovatnoće i zbog kompatibilnosti predloženih događaja, imamo:
P (kiša ili vjetar ili oboje) = P (kiša) + P (vjetar) - P (kiša i vjetar) = 0,4 + 0,7-0,2 = 0,9.
Zadatak 3.
Na polaznoj stanici postoji 8 naloga za otpremu robe: pet - u zemlji i tri - za izvoz. Kolika je vjerovatnoća da su dvije nasumično odabrane narudžbe za domaću potrošnju? Rješenje. Događaj ALI- prvi red nasumično uzet - unutar zemlje. Događaj AT- drugi je također namijenjen za domaću potrošnju. Moramo pronaći vjerovatnoću. Tada, prema teoremi o množenju vjerovatnoća zavisnih događaja, imamo

Zadatak 4.
Iz serije proizvoda, merchandiser nasumično bira proizvode najvišeg kvaliteta. Vjerovatnoća da će odabrani predmet biti najviše ocjene je 0,8; prvi razred - 0,7; drugi razred - 0,5. Pronađite vjerovatnoću da će od tri nasumično odabrana proizvoda biti:
a) samo dva premijum razreda;
b) svi su različiti. Rješenje. Neka događaj bude proizvod najviše ocjene; događaj - proizvod prvog razreda; događaj - proizvod druge klase.
Prema stanju problema; ; Događaji su nezavisni.
a) Događaj ALI– tada će ovako izgledati samo dva premium proizvoda

b) Događaj AT- sva tri proizvoda su različita - izražavamo to ovako: , zatim .
Zadatak 5.
Vjerojatnosti pogađanja mete pri pucanju iz tri puške su sljedeće: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Pronađite vjerovatnoću najmanje jednog pogotka (događaj ALI) jednom salvom iz svih topova. Rješenje. Vjerojatnost da svaki od topova pogodi metu ne zavisi od rezultata gađanja iz drugih topova, tako da se razmatraju događaji (pogodan prvim pištoljem), (pogodan drugim pištoljem) i (pogodan trećim pištolj) su nezavisni u agregatu.
Vjerovatnoće događaja suprotnih događajima (tj. vjerovatnoće promašaja) su respektivno jednake:

Željena vjerovatnoća
Zadatak 6.
Štamparija raspolaže sa 4 štamparije. Za svaku mašinu, vjerovatnoća da trenutno radi je 0,9. Pronađite vjerovatnoću da barem jedna mašina radi u ovom trenutku (događaj ALI). Rješenje. Događaji “mašina radi” i “mašina ne radi” (trenutno) su suprotni, pa je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan:
Stoga je vjerovatnoća da mašina trenutno ne radi jednaka
Željena vjerovatnoća. Zadatak 7. U čitaonici postoji 6 udžbenika iz teorije vjerovatnoće, od kojih su tri ukoričena. Bibliotekarka je nasumce uzela dva udžbenika. Naći vjerovatnoću da će oba udžbenika biti uvezana.

Rješenje. Razmotrite sljedeće događaje:
A1 - prvi preuzeti udžbenik u povezu;
A2 je drugi ukoričeni udžbenik.
Događaj koji se sastoji u tome da su oba preuzeta udžbenika ukoričena. Događaji A1 i A2 su zavisni, jer vjerovatnoća nastanka događaja A2 zavisi od pojave događaja A1. Za rješavanje ovog problema koristimo teoremu množenja vjerovatnoća zavisnih događaja: .
Vjerovatnoća pojave događaja A1 p(A1) u skladu s klasičnom definicijom vjerovatnoće:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Vjerovatnoća nastanka događaja A2 određena je uslovnom vjerovatnoćom nastanka događaja A2 pod uslovom nastanka događaja A1, tj. (A2)==0,4.
Tada je željena vjerovatnoća nastanka događaja:
P(A)=0,5*0,4=0,2.