Zbrajanje prostih razlomaka. Radnje sa razlomcima

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima
Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Koncept NOO-a
Dovođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako sabrati cijeli broj i razlomak

1 Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate sabrati njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti, na primjer:

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, oduzmite brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite isti, na primjer:

Da biste dodali miješane razlomke, morate posebno dodati njihove cijele dijelove, a zatim dodati njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,

Ako se pri sabiranju razlomaka dobije nepravilan razlomak, iz njega odaberemo cijeli broj i dodamo ga cijelobrojnom dijelu, na primjer:

2 Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Da biste zbrajali ili oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do istog nazivnika, a zatim nastaviti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog od razlomaka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a sa nazivnikom ovog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo šta je LCM.

3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Najmanji zajednički višekratnik dva broja (LCM) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa oba ova broja bez ostatka. Ponekad se LCM može pronaći usmeno, ali češće, posebno kada radite s velikim brojevima, morate pronaći LCM u pisanom obliku, koristeći sljedeći algoritam:

Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, trebate:

1. Rastavite ove brojeve na proste faktore
2. Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao proizvod
3. Odaberite u drugim proširenjima brojeve koji se ne pojavljuju u najvećem proširenju (ili se u njemu pojavljuju manji broj puta) i dodajte ih u proizvod.
4. Pomnožite sve brojeve u proizvodu, to će biti LCM.

Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:

4Svođenje razlomaka na isti nazivnik

Vratimo se na sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, jednak LCM-u oba nazivnika, moramo pomnožiti brojioce ovih razlomaka sa dodatni množitelji. Možete ih pronaći dijeljenjem LCM sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:

Dakle, da biste razlomke doveli do jednog indikatora, prvo morate pronaći LCM (to jest, najmanji broj koji je djeljiv sa oba nazivnika) nazivnika ovih razlomaka, a zatim staviti dodatne faktore na brojioce razlomaka. Možete ih pronaći tako što zajednički imenilac (LCD) podijelite sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim morate pomnožiti brojilac svakog razlomka dodatnim faktorom i staviti LCM kao imenilac.

5Kako sabrati cijeli broj i razlomak

Da biste sabrali cijeli broj i razlomak, potrebno je samo da dodate ovaj broj ispred razlomka i dobijete mješoviti razlomak, na primjer.

Da biste razlomku dodali cijeli broj, dovoljno je izvršiti niz radnji, odnosno izračunavanja.

Na primjer, imate 7 - cijeli broj, trebate ga dodati razlomku 1/2.

Postupamo na sljedeći način:

• Pomnožimo 7 sa imeniocem (2), ispada 14,
• na 14 dodajemo gornji dio (1), ispada 15,
• i zameni imenilac.
• rezultat je 15/2.

Na ovaj jednostavan način možete sabrati cijele brojeve razlomcima.

A da biste odabrali cijeli broj iz razlomka, trebate podijeliti brojilac sa nazivnikom, a ostatak će biti razlomak.

Operacija dodavanja cijelog broja pravilnom razlomku nije teška i ponekad se jednostavno sastoji u formiranju mješovitog razlomka, u kojem se cijeli broj stavlja lijevo od razlomka, na primjer, takav razlomak će se miješati :

Međutim, češće, kada razlomku dodate cijeli broj, dobijete nepravilan razlomak, u kojem je brojilac veći od nazivnika. Ova operacija se izvodi na sljedeći način: cijeli broj se predstavlja kao nepravilan razlomak sa istim nazivnikom kao i razlomak koji se dodaje, a zatim se brojnici oba razlomka jednostavno sabiraju. Na primjer, to će izgledati ovako:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Mislim da je to vrlo jednostavno.

Na primjer, imamo razlomak 1/4 (ovo je isto kao 0,25, odnosno četvrtina cijelog broja).

I ovom tromjesečju možete dodati bilo koji cijeli broj, na primjer 3. Ispada tri i četvrtina:

3.25. Ili se u razlomku izražava ovako: 3 1/4

Ovdje, slijedeći primjer ovog primjera, možete dodati bilo koje razlomke s bilo kojim cijelim brojevima.

Morate podići cijeli broj na razlomak sa nazivnikom 10 (6/10). Zatim dovedite postojeći razlomak na zajednički imenilac 10 (35=610). Pa, izvršite operaciju kao sa običnim razlomcima 610+610=1210 ukupno 12.

To možete učiniti na dva načina.

jedan). Razlomak se može pretvoriti u cijeli broj i dodati. Na primjer, 1/2 je 0,5; 1/4 je 0,25; 2/5 je 0,4 i tako dalje.

Uzimamo cijeli broj 5 kojem trebamo dodati razlomak 4/5. Pretvorimo razlomak: 4/5 je 4 podijeljeno sa 5 i dobijemo 0,8. Dodajte 0,8 prema 5 i dobijete 5,8 ili 5 4/5.

2). Drugi način: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Zbrajanje razlomaka je jednostavna matematička operacija, na primjer, trebate sabrati cijeli broj 3 i razlomak 1/7. Da biste sabrali ova dva broja, morate imati jedan imenilac, tako da morate pomnožiti tri sa sedam i podijeliti sa ovom cifrom, onda dobijete 21/7 + 1/7, imenilac je jedan, saberite 21 i 1, dobijete odgovor 22/7 .

Samo uzmite i dodajte cijeli broj ovom razlomku. Recimo 6+1/2=6 1/2. Pa, ako je ovo decimalni razlomak, onda, na primjer, 6 + 1,2 = 7,2.

Da biste dodali razlomak i cijeli broj, trebate dodati razlomak cijelom broju i zapisati ih kao kompleksni broj, na primjer, kada dodate obični razlomak cijelom broju, dobijamo: 1/2 +3 = 3 1/2; prilikom dodavanja decimalnog razlomka: 0,5 +3 = 3,5.

Razlomak sam po sebi nije cijeli broj, jer ga ne dostiže u količini, pa stoga nema potrebe da se cijeli broj pretvara u ovaj razlomak. Stoga cijeli broj ostaje cijeli broj i u potpunosti pokazuje punu denominaciju, a razlomak mu se dodaje i pokazuje koliko ovom cijelom broju nedostaje prije nego što se doda sljedeća puna tačka.

akademski primjer.

10 + 7/3 = 10 cijelih brojeva i 7/3.

Ako, naravno, postoje cijeli brojevi, onda se oni sabiraju cijelim brojevima.

12 + 5 7/9 = 17 i 7/9.

Šta je cijeli broj, a šta razlomak.

Ako a oba termina su pozitivna, ovaj razlomak treba dodijeliti cijelom broju. Dobićete mešoviti broj. Štaviše, mogu postojati 2 slučaja.

Slučaj 1

• Razlomak je tačan, tj. brojilac je manji od nazivnika. Tada će mješoviti broj dobijen nakon atribucije biti odgovor.

4/9 + 10 = 10 4/9 (deset poena četiri devetine).



Slučaj 2

• Razlomak je netačan, tj. brojilac je veći od nazivnika. Tada je potrebna mala transformacija. Nepravilan razlomak treba pretvoriti u mješoviti broj, drugim riječima, istaknuti cijeli dio. Radi se ovako:



Nakon toga, trebate dodati cijeli broj nepravilnog razlomka cijelom broju i dodati njegov razlomački dio rezultirajućem iznosu. Na isti način se mješovitom broju dodaje cjelina.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 cijelih tri četvrtine).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 cijelih jedna sekunda).

Ako je jedan od uslova ili oba negativan, tada se sabiranje vrši prema pravilima za sabiranje brojeva sa različitim ili identičnim predznacima. Cijeli broj je predstavljen kao omjer ovog broja i 1, a zatim se i brojnik i imenilac množe brojem jednakim nazivniku razlomka kojem se dodaje cijeli broj.

3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (minus 1 cijela četiri petine).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (minus 8 poena jedna trećina).

Komentar.

Nakon upoznavanja s negativnim brojevima, prilikom proučavanja radnji s njima, učenici 6. razreda treba da shvate da je dodavanje pozitivnog cijelog broja negativnom razlomku isto kao i oduzimanje razlomka od prirodnog broja. Ova se radnja, kao što znate, izvodi ovako:



Zapravo, da biste dodali razlomak i cijeli broj, jednostavno trebate jednostavno svesti postojeći cijeli broj na razlomak, a to je jednostavno kao ljuštenje krušaka. Vi samo trebate uzeti nazivnik razlomka (dostupan u primjeru) i učiniti ga nazivnikom cijelog broja tako što ćete ga pomnožiti sa ovim nazivnikom i podijeliti, evo primjera:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

Pronađite brojnik i imenilac. Razlomak se sastoji od dva broja: broj iznad prave se naziva brojilac, a broj ispod prave naziva se imenilac. Imenilac označava ukupan broj delova na koje je celina podeljena, a brojilac je broj takvih delova koji se razmatra.

• Na primjer, u razlomku ½, brojilac je 1, a nazivnik je 2.

Odredite imenilac. Ako dva ili više razlomaka imaju zajednički nazivnik, takvi razlomci imaju isti broj ispod crte, odnosno u ovom slučaju se neka cjelina dijeli na isti broj dijelova. Sabiranje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom je vrlo jednostavno, jer će imenilac ukupnog razlomka biti isti kao i razlomaka koji se sabiraju. Na primjer:

• Razlomci 3/5 i 2/5 imaju zajednički imenilac 5.
• Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju zajednički imenilac 8.

Odredite brojioce. Da biste sabrali razlomke sa zajedničkim nazivnikom, dodajte njihove brojioce i napišite rezultat iznad nazivnika zbrojenih razlomaka.

• Razlomci 3/5 i 2/5 imaju brojioce 3 i 2.
• Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju brojioce 3, 5, 17.

Zbrojite brojioce. U zadatku 3/5 + 2/5 dodajte brojioce 3 + 2 = 5. U zadatku 3/8 + 5/8 + 17/8 dodajte brojioce 3 + 5 + 17 = 25.

Zapišite ukupno. Zapamtite da kada se zbrajaju razlomci sa zajedničkim nazivnikom, on ostaje nepromijenjen - samo se zbrajaju brojnici.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Pretvorite razlomak ako je potrebno. Ponekad se razlomak može napisati kao cijeli broj, a ne kao običan ili decimalni razlomak. Na primjer, razlomak 5/5 lako se pretvara u 1, budući da je svaki razlomak čiji je brojnik jednak nazivniku 1. Zamislite pitu isječenu na tri dijela. Ako pojedete sva tri dijela, onda ćete pojesti cijelu (jednu) pitu.

• Bilo koji obični razlomak se može pretvoriti u decimalu; Da biste to učinili, podijelite brojilac sa nazivnikom. Na primjer, razlomak 5/8 može se napisati ovako: 5 ÷ 8 = 0,625.

Pojednostavite razlomak ako je moguće. Pojednostavljeni razlomak je razlomak čiji brojnik i imenilac nemaju zajednički djelitelj.

• Na primjer, razmotrite razlomak 3/6. Ovdje i brojilac i imenilac imaju zajednički djelitelj jednak 3, odnosno brojilac i imenilac su potpuno djeljivi sa 3. Dakle, razlomak 3/6 se može napisati na sljedeći način: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Ako je potrebno, pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti razlomak (mješoviti broj). Za nepravilan razlomak, brojilac je veći od nazivnika, na primjer, 25/8 (za pravi razlomak brojnik je manji od nazivnika). Nepravilan razlomak se može pretvoriti u mješoviti razlomak, koji se sastoji od cijelog broja (tj. cijelog broja) i razlomka (odnosno, pravilnog razlomaka). Da pretvorite nepravilan razlomak kao što je 25/8 u mješoviti broj, slijedite ove korake:

• Podijelite brojnik nepravilnog razlomka njegovim imeniocem; zapišite nepotpuni količnik (cijeli odgovor). U našem primjeru: 25 ÷ 8 = 3 plus neki ostatak. U ovom slučaju, cijeli odgovor je cijeli dio mješovitog broja.
• Nađi ostatak. U našem primjeru: 8 x 3 = 24; oduzmite rezultat od izvornog brojnika: 25 - 24 \u003d 1, to jest, ostatak je 1. U ovom slučaju, ostatak je brojnik razlomka mješovitog broja.
• Napišite mješoviti razlomak. Imenilac se ne menja (odnosno, jednak je imeniocu nepravilnog razlomka), pa je 25/8 = 3 1/8.

Jedna od najtežih stvari za razumijevanje su različite radnje s jednostavnim razlomcima. To je zbog činjenice da je djeci još uvijek teško razmišljati apstraktno, a razlomci im, zapravo, izgledaju baš tako. Stoga, prilikom izlaganja gradiva, nastavnici često pribjegavaju analogijama i objašnjavaju oduzimanje i sabiranje razlomaka doslovno na prstima. Iako ni jedna lekcija školske matematike ne može bez pravila i definicija.

Osnovni koncepti

Prije nego što se upustite u bilo koju, preporučljivo je naučiti nekoliko osnovnih definicija i pravila. U početku je važno razumjeti šta je razlomak. Pod njim se podrazumijeva broj koji predstavlja jedan ili više razlomaka jedinice. Na primjer, ako isječete veknu na 8 delova i stavite 3 kriške na tanjir, tada će 3/8 biti razlomak. Štaviše, u ovom pisanju to će biti jednostavan razlomak, gdje je broj iznad linije brojilac, a ispod nje imenilac. Ali ako je zapisano kao 0,375, to će već biti decimalni razlomak.

Osim toga, prosti razlomci se dijele na pravilne, nepravilne i mješovite. Prvi uključuje sve one čiji je brojilac manji od nazivnika. Ako je, naprotiv, imenilac manji od brojnika, to će već biti nepravilan razlomak. Ako se ispred ispravnog nalazi cijeli broj, govore o mješovitim brojevima. Dakle, razlomak 1/2 je tačan, ali 7/2 nije. A ako to napišete u ovom obliku: 3 1/2, onda će postati miješano.

Da bismo lakše razumjeli šta je sabiranje razlomaka i kako bismo ga lakše izvršili, važno je zapamtiti i njegovu suštinu u nastavku. Ako se brojnik i imenilac pomnože istim brojem, tada se razlomak neće promijeniti. To je svojstvo koje vam omogućava da izvodite najjednostavnije radnje s običnim i drugim razlomcima. U stvari, to znači da su 1/15 i 3/45, u stvari, isti broj.

Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima

Izvođenje ove radnje obično ne izaziva velike poteškoće. Sabiranje razlomaka u ovom slučaju je vrlo slično sličnoj akciji s cijelim brojevima. Imenilac ostaje nepromenjen, a brojnici se jednostavno sabiraju. Na primjer, ako trebate dodati razlomke 2/7 i 3/7, tada će rješenje školskog problema u bilježnici biti ovako:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Osim toga, takvo sabiranje razlomaka može se objasniti jednostavnim primjerom. Uzmite običnu jabuku i izrežite, na primjer, na 8 dijelova. Odvojite prvo 3 dijela, a zatim im dodajte još 2. I kao rezultat, 5/8 cijele jabuke će ležati u čaši. Sam aritmetički problem je napisan na sledeći način:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Ali često postoje teži zadaci u kojima morate zbrajati, na primjer, 5/9 i 3/5. Tu nastaju prve poteškoće u akcijama sa razlomcima. Uostalom, dodavanje takvih brojeva zahtijevat će dodatno znanje. Sada ćete se morati u potpunosti prisjetiti njihovog glavnog svojstva. Da biste sabrali razlomke iz primjera, prvo ih treba svesti na jedan zajednički nazivnik. Da biste to učinili, samo trebate pomnožiti 9 i 5 među sobom, pomnožiti brojilac "5" sa 5, odnosno "3" sa 9. Dakle, takvi razlomci se već dodaju: 25/45 i 27/45. Sada ostaje samo da saberemo brojioce i dobijemo odgovor 52/45. Na komadu papira primjer bi izgledao ovako:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Ali zbrajanje razlomaka s takvim nazivnicima ne zahtijeva uvijek jednostavno množenje brojeva ispod linije. Prvo potražite najmanji zajednički imenilac. Na primjer, kao za razlomke 2/3 i 5/6. Za njih će ovo biti broj 6. Ali odgovor nije uvijek očigledan. U ovom slučaju vrijedi podsjetiti na pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (skraćeno LCM) dva broja.

Podrazumijeva se kao najmanji zajednički faktor dva cijela broja. Da biste ga pronašli, razložite svaki na proste faktore. Sada napišite one od njih koje se pojavljuju barem jednom u svakom broju. Pomnožite ih i dobijete isti nazivnik. Zapravo, sve izgleda malo jednostavnije.

Na primjer, trebate dodati razlomke 4/15 i 1/6. Dakle, 15 se dobija množenjem jednostavnih brojeva 3 i 5, a šest - dva i tri. To znači da će LCM za njih biti 5 x 3 x 2 \u003d 30. Sada, dijeljenjem 30 sa nazivnikom prvog razlomka, dobijamo faktor za njegov brojnik - 2. A za drugi razlomak to će biti broj 5. Dakle, ostaje da saberemo obične razlomke 8/30 i 5/30 i dobijemo odgovor na 13/30. Sve je krajnje jednostavno. U svoju svesku treba da zapišete ovaj zadatak ovako:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Sabiranje mješovitih brojeva

Sada, znajući sve osnovne trikove u zbrajanju jednostavnih razlomaka, možete se okušati u složenijim primjerima. I to će biti mješoviti brojevi, pod kojima podrazumijevaju razlomak ove vrste: 2 2 / 3. Ovdje se cijeli broj zapisuje prije odgovarajućeg razlomka. I mnogi se zbune kada izvode radnje s takvim brojevima. Zapravo, ovdje vrijede ista pravila.

Da biste zbrojili mješovite brojeve, dodajte cijele dijelove i prave razlomke odvojeno. I onda su ova 2 rezultata već sumirana. U praksi je sve mnogo jednostavnije, samo treba malo vježbati. Na primjer, u zadatku trebate dodati sljedeće mješovite brojeve: 1 1 / 3 i 4 2 / 5 . Da biste to učinili, prvo dodajte 1 i 4 da dobijete 5. Zatim dodajte 1/3 i 2/5 koristeći tehniku ​​najmanjeg zajedničkog nazivnika. Odluka će biti 15.11. I konačni odgovor je 5 11/15. U školskoj svesci ovo će izgledati mnogo kraće:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Dodavanje decimala

Osim običnih razlomaka, postoje i decimale. Inače, mnogo su češći u životu. Na primjer, cijena u trgovini često izgleda ovako: 20,3 rublja. Ovo je isti razlomak. Naravno, ove je mnogo lakše savijati od običnih. U principu, trebate samo dodati 2 obična broja, što je najvažnije, staviti zarez na pravo mjesto. Tu nastaju poteškoće.

Na primjer, trebate dodati takve 2,5 i 0,56. Da biste to učinili ispravno, trebate dodati nulu prvom na kraju i sve će biti u redu.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Važno je znati da se svaki decimalni razlomak može pretvoriti u jednostavan razlomak, ali ne može se svaki prosti razlomak napisati kao decimalni. Dakle, iz našeg primjera, 2,5 = 2 1/2 i 0,56 = 14/25. Ali razlomak poput 1/6 bit će približno jednak 0,16667. Ista situacija će biti i sa drugim sličnim brojevima - 2/7, 1/9 i tako dalje.

Zaključak

Mnogi školarci, ne shvaćajući praktičnu stranu radnji s razlomcima, neoprezno tretiraju ovu temu. Međutim, u višem smislu ovo osnovno znanje će vam omogućiti da kliknete kao orasi na složene primjere s logaritmima i pronalaženje izvoda. I stoga, vrijedi jednom dobro razumjeti radnje s razlomcima, kako kasnije ne biste grickali laktove od ljutnje. Uostalom, malo je vjerovatno da će se profesor u srednjoj školi vratiti ovoj temi koja je već obrađena. Svaki srednjoškolac bi trebao biti u stanju da izvodi takve vježbe.

Sadržaj lekcije

Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima

Sabiranje razlomaka je dvije vrste:

1. Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Počnimo sa sabiranjem razlomaka sa istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je sabrati njihove brojioce, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Sabiramo brojioce, a imenilac ostavljamo nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2 Dodajte razlomke i .

Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobijate jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrojite brojioce, a nazivnik ostavite nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobijate pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, morate sabrati njihove brojioce, a imenilac ostaviti nepromenjen;

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu zbrajati odjednom, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.

Suština ove metode leži u činjenici da se traži prvi (LCM) od nazivnika oba razlomka. Tada se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Tada se brojnici i imenioci razlomaka množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajte razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i zapišemo pronađeni dodatni faktor iznad nje:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte dobro do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pice:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) imenilac može se prikazati i pomoću slike. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim kriškama pice. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Spajanjem ovih delova dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netačan, pa smo u njemu istakli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pica i još jedna šesta pica).

Imajte na umu da smo ovaj primjer oslikali previše detalja. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožite dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i imenioci. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako se na prvim fazama izučavanja matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja te vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Naći LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gornje upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Dodaj:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, on se prenosi u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu

Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:

Imam odgovor

Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je od brojnika prvog razlomka oduzeti brojilac drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojila prvog razlomka potrebno je oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
2. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički imenilac se nalazi po istom principu koji smo koristili pri sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih morate dovesti u isti (zajednički) imenilac.

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM dijelimo sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Imam odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pice izrežete pice, dobijate pice.

Ovo je detaljna verzija rješenja. Dok smo u školi, morali bismo ovaj primjer riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih prvo morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Naći LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa ćemo nastavak premjestiti na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo olakšati. Šta se može učiniti? Možete smanjiti ovu frakciju.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojilac i nazivnik sa (gcd) brojevima 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka sa pronađenim GCD, odnosno sa 10

Imam odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka sa ovim brojem, a imenilac ostaviti nepromijenjen.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Unos se može shvatiti kao da je potrebno pola puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobićete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množilac i množilac zamijene, onda se proizvod neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovine jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobićete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množilac na mjestima, dobićemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Broj koji je pomnožen razlomkom i nazivnik razlomka se rješavaju ako imaju zajednički djelitelj veći od jedan.

Na primjer, izraz se može procijeniti na dva načina.

Prvi način. Pomnožite broj 4 sa brojicom razlomka, a nazivnik razlomka ostavite nepromijenjen:

Drugi način. Četvorka koja se množi i četvorka u nazivniku razlomka može se smanjiti. Ove četvorke možete smanjiti za 4, budući da je najveći zajednički djelitelj za dvije četvorke sama četvorka:

Dobili smo isti rezultat 3. Nakon smanjenja četvorki, na njihovom mjestu se formiraju novi brojevi: dva jedinica. Ali množenjem jedan sa trojkom, a zatim dijeljenjem sa jedan ne mijenja se ništa. Dakle, rješenje se može napisati kraće:

Smanjenje se može izvršiti čak i kada smo odlučili da koristimo prvu metodu, ali u fazi množenja broja 4 i brojila 3 odlučili smo se za smanjenje:

Ali, na primjer, izraz se može izračunati samo na prvi način - pomnožite 7 sa nazivnikom razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

To je zbog činjenice da broj 7 i nazivnik razlomka nemaju zajednički djelitelj veći od jedan, te se, prema tome, ne smanjuju.

Neki učenici greškom skraćuju broj koji se množi i brojilac razlomka. Ne možeš to da uradiš. Na primjer, sljedeći unos nije tačan:

Smanjenje razlomka to implicira i brojilac i imenilacće biti podijeljena istim brojem. U situaciji sa izrazom, dijeljenje se vrši samo u brojiocu, jer je pisanje isto što i pisanje . Vidimo da se dijeljenje vrši samo u brojiocu, a u nazivniku nema dijeljenja.

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza .

Imam odgovor. Poželjno je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine od ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Idemo po pizzu. Zapamtite kako izgleda pica podijeljena na tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pice. Dakle, vrijednost izraza je

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, ali će biti dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD koji smo sada pronašli, to jest, sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati sa veoma zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da možeš. Hajde da predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Šta će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži sa jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

Podjela razlomka brojem

Recimo da imamo pola pice:

Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pica dobiti svaki?

Vidi se da su nakon cijepanja polovine pizze dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.