Složeno interesovanje za ispitne probleme.

Rješavanje zadataka iz matematike na primjenu osnovnih pojmova od interesa.

Zadatke sa procentima uče se rješavati od 5. razreda.

Rješavanje problema ovog tipa usko je povezano s tri algoritma:

pronalaženje procenta od broja
pronalaženje broja po njegovom postotku,
pronalaženje procenta.

Na časovima sa učenicima shvataju da je stoti deo metra centimetar, stoti deo rublje je peni, stoti deo centnera je kilogram. Ljudi su odavno primijetili da su stotinke vrijednosti zgodne praktične aktivnosti. Stoga je za njih skovan poseban naziv - postotak.

Dakle, jedan peni je jedan posto jedne rublje, a jedan centimetar je jedan posto jednog metra.

Jedan posto je stoti dio broja. Matematički znakovi Jedan posto je napisano ovako: 1%.

Definicija jednog procenta može se napisati kao: 1% = 0,01. a

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 itd.

Kako pronaći 1% broja?

Pošto je 1% stoti dio, potrebno je podijeliti broj sa 100. Dijeljenje sa 100 može se zamijeniti množenjem sa 0,01. Stoga, da biste pronašli 1% datog broja, morate ga pomnožiti sa 0,01. A ako trebate pronaći 5% broja, onda pomnožite dati broj za 0,05 itd.

Primjer. Pronađite: 25% od 120.

25% = 0,25;
120 . 0,25 = 30.

Pravilo 1. Da biste pronašli određeni broj procenata nekog broja, potrebno je da zapišete procente decimalni, a zatim pomnožite broj sa tom decimalom.

Primjer. Tokar je okrenuo 40 dijelova za sat vremena. Koristeći rezač od jačeg čelika, počeo je okretati još 10 dijelova na sat. Za koji procenat se povećala produktivnost rada?

Da bismo riješili ovaj problem, moramo saznati koliko posto je 10 dijelova od 40. Da bismo to učinili, prvo pronađemo koji je dio broja 10 od broja 40. Znamo da trebamo podijeliti 10 sa 40. Ispada out 0.25. Zapišimo to u postocima - 25%.

Odgovor: Produktivnost strugača povećana je za 25%.

Pravilo 2. Da biste pronašli koliko posto je jedan broj od drugog, trebate prvi broj podijeliti drugim i rezultujući razlomak napisati kao postotak.

Primjer. Sa planiranim ciljem od 60 vozila dnevno, fabrika je proizvela 66 vozila. U kom procentu je fabrika ispunila plan?

66: 60 \u003d 1.1 - ovaj dio čine proizvedeni automobili od broja automobila prema planu. Zapišimo u postocima = 110%.

Odgovor: 110%.

Primjer. Bronza je legura kalaja i bakra. Koliki postotak legure čini bakar u komadu bronze, koji se sastoji od 6 kg kalaja i 34 kg bakra?

6+ 34 \u003d 40 (kg) - masa cijele legure.
34: 40 = 0,85 = 85 (%) - legura je bakar.

Odgovor: 85%.

Primjer. Slončić je izgubio 20% u proleće, zatim dobio 30% ljeti, ponovo izgubio 20% u jesen i 10% zimi. Je li njegova težina ostala ista ove godine? Ako se promijeni, za koji postotak i u kom smjeru?

100 - 20 = 80 (%) - nakon proljeća.
80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - nakon ljeta.
104-104. 0,2 = 83,2 (%) - nakon jeseni.
83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - nakon zime.

Odgovor: izgubio na težini za 8,48%.

Primjer. Ostavili smo za skladištenje 20 kg ogrozda, čije bobice sadrže 99% vode. Sadržaj vode u bobicama smanjen je na 98%. Koliko će ogrozd biti rezultat?

100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0,01 - prvi udio suhe tvari u ogrozda.
dvadeset . 0,01 \u003d 0,2 (kg) - suha tvar.
100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0,02 - udio suhe tvari u ogrozda nakon skladištenja.
0,2: 0,02 \u003d 10 (kg) - postali su ogrozd.

Odgovor: 10 kg.

Primjer. Šta se dešava sa cijenom proizvoda ako se prvo poveća za 25%, a zatim snizi za 25%?

Neka cijena proizvoda bude x rubalja, tada nakon povećanja proizvod košta 125% prethodne cijene, tj. 1,25x, a nakon smanjenja od 25% njegova vrijednost je 75% ili 0,75 od uvećane cijene, tj.

0,75 .1,25x = 0,9375x,

tada je cijena robe pala za 6,25%.

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Odgovor: Originalna cijena proizvoda je smanjena za 6,25%.

Pravilo 3. Pronaći postotak dva broja A i B, trebate pomnožiti omjer ovih brojeva sa 100%, odnosno izračunati (A: B). 100%.

Primjer. Pronađite broj ako je 15% od njega 30.

15% = 0,15;
30: 0,15 = 200.

x je dati broj;
0,15 . x = 300;
x = 200.

Odgovor: 200.

Primjer. Sirovi pamuk proizvodi 24% vlakana. Koliko sirovog pamuka treba uzeti da se dobije 480 kg vlakana?

Zapišimo 24% kao decimalni razlomak od 0,24 i dobijemo problem nalaženja broja iz njegovog poznatog dijela (razlomka).
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Odgovor: 2 t.

Primjer. Koliko kg vrganja treba ubrati da bi se dobio 1 kg sušenih gljiva ako pri preradi svježih gljiva ostane 50% njihove mase, a tokom sušenja 10% mase prerađenih gljiva?

1 kg sušenih gljiva je 10% ili 0,01 dio prerađenih, tj.
1 kg: 0,1=10 kg prerađenih gljiva, što je 50% ili 0,5 ubranih gljiva, tj.
10 kg: 0,05=20 kg.

Odgovor: 20 kg.

Primjer. Svježe gljive su sadržavale 90% vode po težini, a suhe 12%. Koliko će se suhih gljiva dobiti od 22 kg svježih?

22. 0,1 = 2,2 (kg) - pečurke po težini u svježim gljivama; (0,1 je 10% suve materije);
2,2: 0,88 \u003d 2,5 (kg) - suhe gljive dobivene iz svježih (količina suhe tvari se nije promijenila, ali se promijenila postotak u gljivama i sada je 2,2 kg 88% ili 0,88 suvih gljiva).

Odgovor: 2,5 kg.

Pravilo 4. Da biste pronašli broj s obzirom na njegove procente, trebate izraziti procente kao razlomak, a zatim podijeliti vrijednost procenta ovim razlomkom.

U problemima za bankovne obračune obično se nalaze prosta i složena kamata. Koja je razlika između rasta proste i složene kamate? Sa jednostavnim rastom, procenat se izračunava svaki put na osnovu početna vrijednost, a kod kompleksnog rasta računa se iz prethodne vrijednosti. Kod jednostavnog rasta, 100% je početni iznos, a kod složenog rasta, 100% je svaki put novo i jednako je prethodnoj vrijednosti.

Primjer. Banka isplaćuje prihod od 4% mjesečno od iznosa depozita. Na račun je stavljeno 300 hiljada rubalja, prihod se obračunava svakog mjeseca. Izračunajte vrijednost doprinosa nakon 3 mjeseca.

100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - učešće povećanja depozita u odnosu na prethodni mjesec.
300 . 1,04 \u003d 312 (hiljadu rubalja) - iznos doprinosa nakon 1 mjeseca.
312 . 1,04 \u003d 324,48 (hiljadu rubalja) - iznos doprinosa nakon 2 mjeseca.
324.48. 1,04 = 337,4592 (hiljada r) = 337 459,2 (r) - vrijednost doprinosa nakon 3 mjeseca.

Ili možete zamijeniti paragrafe 2-4 jednim, ponavljajući koncept diplome s djecom: 300.1.043 = 337.4592 (hiljadu rubalja) = 337.459,2 (r) - iznos doprinosa nakon 3 mjeseca.

Odgovor: 337.459,2 rubalja

Primjer. Vasja je pročitao u novinama da su u posljednja 3 mjeseca cijene hrane porasle u prosjeku za 10% mjesečno. Za koliko posto su cijene porasle za 3 mjeseca?

Primjer. Novac uložen u akcije poznate kompanije donosi 20% prihoda godišnje. Za koliko godina će se investicija udvostručiti?

Razmotrimo sličan plan zadataka koristeći konkretne primjere.

Primjer. (Opcija 1 br. 16. OGE-2016. Matematika. Tipični test zadaci_ur. Yashchenko_2016 -80s)

Sportska radnja provodi promociju. Svaki džemper košta 400 rubalja. Prilikom kupovine dva džempera - 75% popusta na drugi džemper. Koliko ću rubalja morati da platim za kupovinu dva džempera tokom promotivnog perioda?

Prema stanju problema, ispada da se prvi džemper kupuje za 100% originalne cijene, a drugi za 100 - 75 = 25 (%), tj. ukupno, kupac mora platiti 100 + 25 = 125 (%) prvobitne cijene. Rješenje se tada može razmatrati na tri načina.

1 način.

Prihvatamo 400 rubalja kao 100%. Tada 1% sadrži 400: 100 = 4 (rublje) i 125%
četiri . 125 = 500 (rubalji)

2 way.

Procenat broja nalazi se množenjem broja sa razlomkom koji odgovara procentu, ili množenjem broja sa datim procentom i dijeljenjem sa 100.
400 . 1,25 = 500 ili 400. 125/100 = 500.

3 way.

Primjena svojstva proporcije:
400 rub. - 100 %
x rub. - 125%, dobijamo x = 125. 400 / 100 = 500 (rubalji)

Odgovor: 500 rubalja.

Primjer. (Opcija 4 br. 16. OGE-2016. Matematika. Tipični test zadaci_ur. Yashchenko_2016 -80s)

Prosječna težina dječaka istog uzrasta kao i Gosha je 57 kg. Gošina težina je 150% prosječne težine. Koliko kilograma ima Gosha?

Slično kao u gornjem primjeru, možete napraviti proporciju:

57 kg - 100%
x kg - 150%, dobijamo x \u003d 57. 150 / 100 = 85,5 (kg)

Odgovor: 85,5 kg.

Primjer. (Opcija 7 br. 16. OGE-2016. Matematika. Tipični test zadaci_ur. Yashchenko_2016 - 80-e)

Nakon sniženja TV-a, njegova nova cijena je bila 0,52 cijene starog. Za koliko posto je cijena smanjena kao rezultat sniženja?

1 način.

Hajde da prvo pronađemo udio smanjenja cijene. Ako se prvobitna cijena uzme kao 1, tada je 1 - 0,52 = 0,48 udio smanjenja cijene. Tada dobijamo 0,48. 100% = 48%. One. cijena je smanjena za 48% kao rezultat smanjenja.

2 way.

Ako se početni trošak uzme kao A, onda će nakon smanjenja, nova cijena televizora biti 0,52A, tj. smanjit će se za A - 0,52A = 0,48A.

Napravimo proporciju:
A - 100%
0,48A - x%, dobijamo x = 0,48A. 100 / A = 48 (%).

Odgovor: cijena je smanjena za 48% kao rezultat sniženja.

Primjer. (Opcija 9 br. 16. OGE-2016. Matematika. Tipični test zadaci_ur. Yashchenko_2016 - 80-e)

Proizvod na prodaji smanjen je za 15%, dok je počeo koštati 680 rubalja. Koliko je artikal koštao prije prodaje?

Prije pada cijene, proizvod je vrijedio 100%. Cijena proizvoda nakon prodaje smanjena je za 15%, tj. postao 100 - 15 = 85 (%), u rubljama je ova vrijednost jednaka 680 rubalja.

1 način.

680: 85 = 8 (rubalji) - u 1%
osam. 100 \u003d 800 (rubalji) - trošak robe prije prodaje.

2 way.

Ovo je problem pronalaženja broja po procentu, rješava se dijeljenjem broja s postotkom koji mu odgovara i pretvaranjem rezultujućeg razlomka u postotak, množenjem sa 100, ili dijeljenjem s razlomkom koji se dobije pretvaranjem iz postotaka .
680:85. 100 \u003d 800 (rubalji) ili 680: 0,85 \u003d 800 (rublja)

3 way.

Sa proporcijom:
680 rub. - 85%
x rub. - 100%, dobijamo x = 680. 100 / 85 = 800 (rubalji)

Odgovor: 800 rubalja koštala je roba prije prodaje.

Rješavanje zadataka za mješavine i legure, korištenjem pojmova "procenat", "koncentracija", "% rastvora".

Većina jednostavni zadaci ovog tipa prikazani su u nastavku.

Primjer. Koliko kg soli u 10 kg slane vode ako je postotak soli 15%.

deset . 0,15 = 1,5 (kg) soli.

Odgovor: 1,5 kg.

Procenat supstance u rastvoru (npr. 15%), koji se ponekad naziva i % rastvor (npr. 15% rastvor soli).

Primjer. Legura sadrži 10 kg kalaja i 15 kg cinka. Koliki je postotak kalaja i cinka u leguri?

Procenat supstance u leguri je deo koji predstavlja težinu datu supstancu od težine cele legure.

10 + 15 = 25 (kg) - legura;
10:25 ujutro 100% = 40% - procenat kalaja u leguri;
15:25. 100% = 60% - procenat cinka u leguri.

Odgovor: 40%, 60%.

U zadacima ove vrste, koncept "koncentracije" je glavni. Šta je?

Razmotrimo, na primjer, otopinu kiseline u vodi.

Neka posuda sadrži 10 litara otopine koja se sastoji od 3 litre kiseline i 7 litara vode. Tada je relativni (u odnosu na cjelokupni volumen) sadržaj kiseline u otopini jednak. Ovaj broj određuje koncentraciju kiseline u otopini. Ponekad govore o postotku kiseline u otopini. U datom primjeru, postotak će biti sljedeći: . Kao što vidite, prijelaz iz koncentracije u postotak i obrnuto je vrlo jednostavan.

Dakle, neka mješavina mase M sadrži neku supstancu mase m.

koncentracija date supstance u smeši (leguri) je količina;
procenat date supstance se naziva c × 100%;

Iz posljednje formule proizlazi da za poznate koncentracije tvari i ukupna tezina smjese (legure) masa date tvari je određena formulom m=c×M.

Problemi na mješavinama (legurama) mogu se podijeliti u dvije vrste:

Na primjer, date su dvije smjese (legure) s masama m1 i m2 i koncentracijama neke tvari u njima jednakim c1 odnosno c2. Smjese (legure) se dreniraju (tape). Potrebno je odrediti masu ove tvari u novoj smjesi (leguri) i njezinu novu koncentraciju. Jasno je da je u novoj smjesi (leguri) masa date tvari jednaka c1m1+c2m2, a koncentracija.
Daje se određena zapremina mešavine (legure) i iz te zapremine počinju da izlivaju (odstranjuju) određenu količinu mešavine (legure), a zatim dodaju (dodaju) istu ili drugu količinu mešavine (legure) sa istom koncentracijom ove supstance ili sa različitom koncentracijom. Ova operacija se izvodi nekoliko puta.

Prilikom rješavanja ovakvih problema potrebno je uspostaviti kontrolu nad količinom date tvari i njenom koncentracijom pri svakoj oseci, kao i pri svakom dodavanju smjese. Kao rezultat takve kontrole, dobijamo razlučujuću jednačinu. Razmotrimo konkretne zadatke.

Ako je masena koncentracija tvari u spoju P%, onda to znači da je masa ove tvari P% mase cijelog spoja.

Primjer. Koncentracija srebra u leguri od 300 g je 87%. To znači da je čisto srebro u leguri 261 g.

300 . 0,87 = 261 (g).

U ovom primjeru, koncentracija tvari je izražena u postocima.

Omjer volumena čiste komponente u otopini i ukupnog volumena smjese naziva se volumetrijska koncentracija ove komponente.

Zbir koncentracija svih komponenti koje čine smjesu je 1.

Ako je postotak tvari poznat, tada se njena koncentracija nalazi po formuli:
K \u003d P / 100%,
gdje je K koncentracija tvari;
P je postotak supstance (u procentima).

Primjer. (Opcija 8 br. 22. OGE-2016. Matematika. Tipični test zadaci_ur. Yashchenko_2016 - 80-e)

Svježe voće sadrži 75% vode, dok sušeno voće sadrži 25%. Koliko je svježeg voća potrebno za pripremu 45 kg sušenog voća?

Ako svježe voće sadrži 75% vode, tada će suhe tvari biti 100 - 75 = 25 (%), a sušene - 25%, tada će suhe tvari u njima biti 100 - 25 = 75 (%).

Prilikom rješavanja problema možete koristiti tabelu:

Svježe voće x 25% = 0,25 0,25. X

Sušeno voće 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Jer masa suve materije za sveže i sušeno voće se ne menja, dobijamo jednačinu:

0,25 . x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - potrebno je svježe voće.

Odgovor: 135 kg.

Primjer. (Opcija 8 br. 11. Jedinstveni državni ispit-2016. Matematika. Tipični. Test. Zadaci. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Mešanje 70% i 60% rastvora kiseline i dodavanje 2 kg čista voda, primio 50% rastvor kiseline. Ako bi se umjesto 2 kg vode dodalo 2 kg 90%-tnog rastvora iste kiseline, onda bi se dobio 70%-tni rastvor kiseline. Koliko je kilograma 70% otopine utrošeno za izradu smjese?

Ukupna težina, kg | Koncentracija suhe tvari | Masa suve materije
I x 70% \u003d 0,7 0,7. X
II u 60% = 0,6 0,6. at
voda 2 - -
I + II + voda x + y + 2 50% \u003d 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0,7 0,7. (x + y + 2)

Koristeći posljednju kolonu iz tabele, sastavit ćemo 2 jednačine:

0.7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) i 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Kombinujući ih u sistem i rešavajući, dobijamo da je x = 3 kg.

Odgovor: 3 kilograma 70% rastvora utrošeno je za dobijanje smeše.

Primjer. (Opcija 2 br. 11. Jedinstveni državni ispit-2016. Matematika. Tipični. Test. Zadaci. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Tri kilograma trešanja koštaju kao pet kilograma trešanja, a tri kilograma trešanja koliko i dva kilograma jagoda. Za koliko je posto kilogram jagoda jeftiniji od kilograma trešanja?

Iz prve rečenice zadatka dobijamo sljedeće jednakosti:

3h = 5v,
3v = 2k.
Iz čega možemo izraziti: h = 5v / 3, k = 3v / 2.

Dakle, možete napraviti proporciju:
5v/3 - 100%
3v / 2 - x%, dobijamo x = (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x = 90% je cijena kilograma jagoda od cijene kilograma trešnje.

Dakle, za 100 - 90 = 10 (%) - kilogram jagoda je jeftiniji od kilograma trešanja.

Odgovor: kilogram jagoda je 10 posto jeftiniji od kilograma trešanja.

Rješavanje problema za "složenu" kamatu, korištenjem koncepta koeficijenta povećanja (smanjenje).

Za uvećanje pozitivan broj I za p posto, trebali biste pomnožiti broj A sa faktorom povećanja K = (1 + 0,01r).

Da biste smanjili pozitivan broj A za p procenata, pomnožite broj A sa faktorom redukcije K = (1 - 0,01p).

Primjer. (Opcija 29 br. 22. OGE-2015. Matematika. Vrsta. opcije ispita: 36 opcija / ur. Jaščenko, 2015. - 224c)

Cijena robe je dva puta smanjena za isti postotak. Za koliko posto se cijena robe smanjivala svaki put ako je njena početna cijena bila 5.000 rubalja, a konačna 4.050 rubalja?

1 način.

Jer cijena robe je smanjena za isti broj %, označimo broj % kao x. Neka se cijena proizvoda snizi za x% prvi i drugi put, pa nakon prvog smanjenja cijena proizvoda postane (100 - x)%.

Hajde da napravimo proporciju
5000 rub. - 100%
at rub. - (100 - x)%, dobijamo y = 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) rubalja - trošak robe nakon prvog smanjenja.

Hajde da komponujemo nova proporcija već po novoj cijeni:
pedeset . (100 - x) rub. - 100%
z rub. - (100 - x)%, dobijamo z = 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rublje - trošak robe nakon drugog smanjenja.

Dobijamo jednačinu 0.5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Nakon što smo ga riješili, dobijamo da je x = 10%.

2 way.

Jer cijena robe je smanjena za isti broj %, označimo broj % kao x, x% = 0,01 x.

Koristeći koncept faktora redukcije, odmah dobijamo jednačinu:
5000 . (1 - 0,01x) 2 = 4050.

Odgovor: cijena robe svaki put je padala za 10%.

Primjer. (Opcija 30 br. 22. OGE-2015. Matematika. Tipične opcije ispita: 36 opcija / priredio Yashchenko, 2015 - 224c)

Cijena robe je dva puta povećana za isti procenat. Za koji procenat se cijena robe povećavala svaki put ako je njena početna cijena bila 3.000 rubalja, a konačna 3.630 rubalja?

Jer cijena dobra povećana za isti broj %, označimo broj % sa x, x % = 0,01 x.

Koristeći koncept faktora uvećanja, odmah dobijamo jednačinu:
3000 . (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Rješavajući to, dobijamo da je x = 10%.

Odgovor: 10% povećanje cijene robe svaki put.

Primjer. (Opcija 4 br. 11. Jedinstveni državni ispit-2016. Matematika. Tipični. Test. Ass. ur. Yashchenko 2016 -56s)

U četvrtak su dionice kompanije poskupjele za određeni broj posto, a u petak su pojeftinile za isto toliko posto. Kao rezultat toga, počeli su da koštaju 9% jeftinije nego na otvaranju trgovanja u četvrtak. Za koliko su posto poskupile akcije kompanije u četvrtak?

Neka akcije kompanije rastu i padaju po ceni za x%, x% = 0,01 x, a početna vrednost akcija je A. Koristeći sve uslove zadatka, dobijamo jednačinu:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A \u003d (1 - 0,09) A,
1 - (0,01 x) 2 = 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x \u003d 0,3,
x = 30%.

Odgovor: Dionice kompanije su u četvrtak porasle 30 posto.

Rješavanje "bankarskih" problema u nova verzija USE-2016 iz matematike.

Primjer. (Opcija 2 br. 17. Jedinstveni državni ispit-2016. Matematika. 50 vrsta. rev. izd. Yashchenko 2016.)

Za 15. januar planirano je uzimanje kredita kod banke na 15 mjeseci. Uslovi za njegovo vraćanje su sledeći:

Poznato je da je osma uplata iznosila 108 hiljada rubalja. Koliko se mora vratiti banci tokom cijelog roka kredita?

Od 2. do 14. plaća se A/15 +0,01A.

Nakon toga iznos duga će biti 1,01A - A / 15 - 0,01A \u003d 14A / 15.

Nakon 2 mjeseca dobijamo: 1.01. 14A/15.

Druga uplata A/15 + 0,01. 14A/15.

Tada je dug nakon druge uplate 13A/15.

Slično, dobijamo da će osma isplata izgledati ovako:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08 A / 15.

A prema uslovu, to je 108 hiljada rubalja. Dakle, možemo napisati i riješiti jednačinu:

1,08A / 15 \u003d 108,

A=1500 (hiljadu rubalja) - početni iznos duga.

2) Da bismo pronašli iznos koji je potrebno vratiti banci tokom cijelog perioda kredita, moramo pronaći iznos svih plaćanja po kreditu.

Zbir svih plaćanja po kreditu će izgledati ovako:

(A / 15 + 0,01A) + (A / 15 + 0,01. 14A / 15) + (A / 15 + 0,01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0,01. A /15) \u003d A + 0,01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01. 120A)/15 = 1,08 A.

Dakle 1.08. 1500 \u003d 1620 (hiljadu rubalja) \u003d 1620000 rubalja mora se vratiti banci tokom cijelog perioda kredita.

Odgovor: 1620000 rubalja.

Primjer. (Opcija 6 br. 17. Jedinstveni državni ispit-2016. Matematika. 50 vrsta. rev. izd. Yashchenko 2016.)

Za 15. januar planirano je uzimanje kredita kod banke na 24 mjeseca. Uslovi za njegovo vraćanje su sledeći:

Svakog 1. u mjesecu dug se povećava za 1% u odnosu na kraj prethodnog mjeseca;
od 2. do 14. svakog mjeseca dio duga se mora platiti;
Svakog 15. dana u mjesecu dug mora biti za isti iznos manji od duga 15. dana u prethodnom mjesecu.

Poznato je da je za prvih 12 mjeseci banci potrebno uplatiti 177,75 hiljada rubalja. Koliko planirate da pozajmite?

1) Neka je A iznos kredita, 1% = 0,01.

Zatim 1,01A duga nakon prvog mjeseca.

Od 2. do 14. plaća se A/24 +0,01A.

Nakon toga, iznos duga će biti 1,01A - A / 24 - 0,01A = A - A / 24 = 23A / 24.

Prema ovoj šemi, dug postaje isti iznos manji od duga 15. dana u prethodnom mjesecu.

Nakon 2 mjeseca dobijamo: 1.01. 23A/24.

Druga uplata A/24 + 0,01. 23A/24.

Tada je dug nakon druge uplate 1,01. 23A/24 - A/24 - 0.01. 23A / 24 = 23A / 24 (1,01 - 0,01) - A / 24 = 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Tako dobijamo da je za prvih 12 meseci potrebno banci uplatiti sledeći iznos:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + ... + A/24 + 0,01. 13A/24 = 12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

A prema stanju, to je 177,375 hiljada rubalja. Dakle, možemo napisati i riješiti jednačinu:
711A / 1200 = 177,75,
A = 300 (hiljadu rubalja) = 300.000 rubalja - planira se uzimanje kredita.

Odgovor: 300.000 rubalja.

Hajde da razgovaramo o zadacima br. 19 ispita

Već dvije godine u drugi dio je dodat zadatak c ekonomski sadržaj, odnosno zadaci za složenu bankarsku kamatu.

Kažu da imamo posla sa „složenom kamatom“ u slučaju kada se određena vrijednost postepeno mijenja. Štaviše, svaka njegova promjena je određeni broj postotaka vrijednosti koju je ta vrijednost imala u prethodnoj fazi.

Na kraju svake faze, vrijednost se mijenja na istu konstantan iznos posto -R%. Onda na krajun -th stage vrijednost neke količineALI , čija je početna vrijednost bila jednakaALI 0 , određuje se formulom:

Uz povećanje i

Kada se smanjuje

Znajući da je godišnja kamatna stopa depozita 12%, naći

ekvivalentnu mjesečnu kamatnu stopu.

Rješenje:

Ako stavimo rublje u banku A, onda za godinu dana dobijamo:A 1 = A 0 (1 +0,12)

Ako se kamata obračunava svaki mjesec po kamatnoj stopiX , zatim prema formuli složene kamate za godinu dana (12 mjeseci)ALI n = A 0 (1 + 0,01x) 12

Izjednačavanjem ovih vrijednosti dobijamo jednačinu čije rješenje će nam omogućiti da odredimo mjesečnu kamatnu stopuA(1+0,12) = A(1+0,01x) 12

1,12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1) 100% ≈ 0,9488792934583046%

Odgovor: Mjesečna kamatna stopa je0.9488792934583046%.

Iz rješenja ovog problema može se vidjeti da mjesečna kamatna stopa nije jednaka godišnjoj stopi podijeljenoj sa 12.

31. decembra 2013. Sergej je uzeo kredit od 9.930.000 rubalja od banke uz 10% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svakog sljedeće godine banka zaračunava kamatu na preostali iznos duga (to jest, povećava dug za 10%), a zatim Sergej prenosi određeni iznos godišnje uplate na banku. Koliki bi trebao biti iznos godišnje uplate da bi Sergej otplatio dug u tri jednaka godišnja plaćanja?

Rješenje:

Neka iznos kredita budea , godišnja uplata je jednakaX rubalja i godišnjim iznosima k % . Zatim se 31. decembra svake godine preostali iznos duga množi sa koeficijentom m =1+ 0,01 k . Nakon prve uplate, iznos dugovanja će biti: a 1 = am - X. Nakon druge uplate, iznos duga

bice:

a 2 = a 1 m - x = (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

Prema tom uslovu, Sergej mora otplatiti kredit u tri otplate u potpunosti, dakle

gdje

Ata = 9930000 ik =10 , dobijamot =1,1 i

Odgovori : 3993 000 rubalja.

Sada kada smo se pozabavili ovim rješenjem predloženim u svim tutorijalima, pogledajmo drugo rješenje.

NekaF = 9,930,000 - iznos kredita,x - željeni iznos godišnje uplate.

Prva godina:

Dužnost:1.1F ;

Plaćanje:X ;

Ostatak:1.1F-x .

druga godina:

Dužnost:1.1(1.1F-x) ;

Plaćanje:X ;

Ostatak:1.1(1.1F-x)-x .

Treća godina:

Dužnost:1.1(1.1F-x)-x );

Plaćanje:X ;

Ostatak: 0, jer su bile samo tri uplate prema uslovu.

Jedina jednačina

1,1(1,1(1,1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F \u003d 3,31x, x \u003d 3993000

Odgovor: 3.993.000 rubalja.

Međutim-1 ! Pod pretpostavkom da kamatna stopa nije lijepih 10%, već strašnih 13,66613%. Šanse da umrete negdje u toku umnožavanja ili poludite s detaljnim rasporedom množitelja za iznos duga za svaku godinu dramatično su se povećale. Dodajmo ovome ne male 3 godine, nego 25. Takvo rješenje neće uspjeti.

Andrey je 31. decembra 2014. godine pozajmio određeni iznos od banke uz 10% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (to jest, povećava dug za 10%), a zatim Andrey prebacuje banci 3.460.600 rubalja. Koliki je iznos Andrej uzeo od banke ako je otplatio dug u tri jednaka plaćanja (tj. za 3 godine)?

Rješenje.

Nekaa - željenu vrijednost,k% - kamatna stopa na kredit,X - godišnje plaćanje. Zatim će se 31. decembra svake godine preostali iznos duga množiti sa koeficijentomm = 1 + 0,01k . Nakon prve uplate iznos duga će biti:a 1 = am - x . Nakon druge uplate iznos duga će biti:

a 2 = a 1 m - x = (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

Nakon treće uplate, iznos preostalog duga:

Prema uslovu, Andrej je otplaćivao dug tri godine,

to jea 3 = 0 , gdje.

Atx = 3 460 600, k% = 10% , dobijamo:m = 1.1 i=8 606 000 (rublje).

Odgovor: 8.606.000 rubalja.

Igor je 31. decembra 2013. uzeo kredit od 100.000 rubalja od banke. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (tj. povećava dug za određenu kamatu), zatim Igor prenosi sljedeću tranšu. Igor je otplatio kredit u dvije tranše, prenijevši prvi put 51.000 rubalja, a drugi 66.600 rubalja. U kom procentu je banka Igoru dala kredit?

Rješenje

Nekak % - željenu stopu na kredit;m = (1 + 0,01 k ) je multiplikator preostalog duga;a = 100.000 - iznos uzet od banke;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 - dimenzije prvog i posljednjeg rovova.

Nakon prve uplate iznos duga će biti:a 1 = ma - x 1 .

Nakon druge uplate iznos duga će biti:a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 – m x 1 – x 2 . po uslovu,a 2 = 0 . Jednačina se prvo mora riješiti zam , naravno, uzimajući samo pozitivan korijen:

100 000m 2 – 51 000 m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.

Tu počinju poteškoće.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Onda.

Odgovor: 11%.

Dana 31. decembra 2013. godine, Maša je pozajmila određeni iznos od banke uz određeni postotak godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (tj. povećava dug za određeni iznos kamate), zatim Masha prenosi sljedeću tranšu. Ako svake godine plaća 2.788.425 rubalja, otplatit će svoj dug za 4 godine. Ako za 4.991.625, onda na 2 godine. U kom procentu je Maša posudila novac od banke?

Rješenje

Nakon dvije godine otplate, iznos uzetog kredita izračunava se po formuli:

Nakon četiri godine otplate, iznos uzetog kredita izračunava se po formuli:

Gdje

onda.

Odgovor: 12,5%.

Dana 31. decembra 2013. Vanya je od banke pozajmila 9.009.000 rubalja uz 20% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (odnosno povećava dug za 20%), a zatim Vanya prenosi uplatu banci. Vanya je otplatio cijeli dug u 3 jednake rate. Koliko bi rubalja manje dao banci kada bi mogao da otplati dug u 2 jednaka plaćanja?

Rješenje

Koristimo rezultat iz zadatka 2.

Željena razlikaX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rubalja.

Odgovor: 1.036,00 rubalja.

1. juna 2013. Vsevolod Jaroslavovič je uzeo 900.000 rubalja na kredit od banke. Šema otplate kredita je sljedeća: 1. dana svakog sljedećeg mjeseca banka naplaćuje 1 posto na preostali iznos duga (tj. povećava dug za 1%), a zatim Vsevolod Yaroslavovich prenosi plaćanje na banka. Šta minimalni iznos mjeseci Vsevolod Yaroslavovich može uzeti kredit tako da mjesečne uplate ne budu veće od 300.000 rubalja?

Moram razumjeti jednostavna istinaŠto je veća otplata kredita, manji je dug. Što manje duga imate, brže ga otplaćujete. Maksimalna mjesečna isplata koju zajmodavac može priuštiti je 300.000 rubalja prema uvjetu. Ako Vsevolod Yaroslavovich plati maksimalnu uplatu, onda će brzo otplatiti dug. Drugim rečima, moći će da podigne kredit na najkraći rok, koliko uslov nalaže.

Pokušajmo riješiti problem na čelu.

Prošlo je mjesec dana. 1. jul 2013: dug (1 + 0,01) 900.000 - 300.000 = 609.000.

Prošlo je mjesec dana. 1. avgust 2013: dug (1+ 0,01) 609.000 - 300.000 = 315.090.

Prošlo je mjesec dana. 1. septembar 2013: dug (1 +0,01) 315.090 - 300.000 = 18.240,9. Prošlo je mjesec dana. 1. oktobar 2013: dug (1 0,01)1.240,9 = 18.423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Odgovor: 4 mjeseca.

Rešimo problem standardnom metodom.

Koristit ću rezultate zadatka 3, uzimajući u obzir sljedeće rezonovanje: nejednakost preostalog dijela duga ima oblika x ≤ 0 .

Nekax - željenu vrijednost,a = 900.000 - Iznos pozajmljen od bankek% = 1% - kamatna stopay=300.000 - mjesečna uplata,m = (1 + 0,01k) – mjesečni multiplikator preostalog duga. Tada, prema već poznatoj formuli, dobijamo nejednakost: ≤0 ;

Dobili smo neugodnu nejednakost, ali istinitu.

Uzimamo cijeli dio broja jer broj uplata ne može biti necijeli broj. Uzimamo najbliži veći cijeli broj, ne možemo uzeti manji (jer će tada postojati dug) i jasno je da rezultirajući logaritam nije cijeli broj. Ispada 4 uplate, 4 mjeseca.

Poljoprivrednik je dobio kredit od banke uz određeni postotak godišnje. Godinu dana kasnije, poljoprivrednik je banci otplatio kredit od cjelokupnog iznosa koji je do tada dugovao banci, a godinu dana kasnije, kao potpunu otplatu kredita, položio je u banku iznos koji je bio 21% veći. od iznosa primljenog kredita. Koliki je postotak godišnjeg kredita u ovoj banci?

Rješenje:

Visina kredita ne utiče na situaciju. Uzmite 4 rublje iz banke (djeljivo sa 4).

Za godinu dana dug prema banci će se tačno povećatiX puta i postaje jednak4x rubalja.

Podijelite na 4 dijela, vratite3x rubalja i ostaćemoX rubalja.

Poznato je da će do kraja naredne godine morati da se plati4 1.21 rubalja.

Poznato je da je iznos duga tokom godine preokrenuo brojX u brojuX 2 .

Pošto je dug u potpunosti otplatio farmer dve godine kasnije,

X 2 \u003d 4 1,21 x \u003d 2 1,1 x \u003d 2,2

KoeficijentX znači da se 100% pretvara u 220% za godinu dana.

A to znači da je godišnji procenat banke: 220% - 100%

odgovor: 120%

Banka je plasirala iznos od 3900 hiljada rubalja uz 50% godišnje. Na kraju svake od prve četiri godine skladištenja, nakon obračuna kamate, deponent je dodatno polagao isti fiksni iznos na račun. Do kraja pete godine nakon obračuna kamate ispostavilo se da je iznos depozita povećan za 725% u odnosu na prvobitni. Koliko je doprinositelj godišnje dodao depozitu?

Rješenje:

Neka fiksni iznos depozitaX rubalja.

Zatim, nakon izvođenja svih operacija, nakon prve godine, iznos na depozitu je postao

Nakon 2 godine

Poslije3 godine

Poslije4 godine

Poslije5 godine

Pošto se do kraja pete godine nakon obračuna kamate pokazalo da je iznos depozita povećan za 725% u odnosu na početni, napravićemo jednačinu:

3900 8,25=3900 1,5 5 + x (1.5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900 5,5=3900 1,5 4 +x(1.5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Odgovor: 210 rubalja.

Banka je prihvatila određeni iznos uz određeni procenat. Godinu dana kasnije sa računa je podignuta četvrtina akumuliranog iznosa. Ali banka je povećala postotak godišnje za 40%. Do kraja naredne godine akumulirani iznos premašio je početni depozit za 1,44 puta. Koliki je postotak novih na godišnjem nivou?

Rješenje:

Situacija se neće promijeniti od iznosa depozita. Stavimo 4 rublje u banku (podeljeno sa 4).

Za godinu dana iznos na računu će se tačno povećatistr puta i postaje jednak4p rubalja.

Podijelite na 4 dijela, ponesite kućistr rubalja, ostaviti u banci3p rubalja.

Poznato je da je do kraja naredne godine banka imala 4 1,44 = 5,76 rubalja.

Dakle, broj3p pretvorio u broj 5,76. Koliko puta se povećao?

Tako je pronađen drugi faktor množenjax jar.

Zanimljivo je da je proizvod oba koeficijenta 1,92:

Iz uslova proizilazi da je drugi koeficijent za 0,4 veći od prvog.

str · x = str ·( str +0,4)=1,92

Već sada se mogu odabrati koeficijenti: 1,2 i 1,6.

Ali nastavljamo, međutim, rješavati jednačinu:

10p (10p+4)=192 neka 10p=k

k (k+4)=192

k =12, tj. p=1,2; a x=1.6

Odgovor: 60%

Danas ćemo malo odstupiti od standardnih logaritama, integrala, trigonometrije, itd., i zajedno ćemo razmotriti važniji zadatak iz Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, koji je direktno vezan za našu zaostalu rusku ekonomiju zasnovanu na resursima. A da budemo precizni, razmotrićemo problem depozita, kamata i kredita. Jer upravo su zadaci sa procentima nedavno dodani u drugi dio jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Odmah ću rezervirati da se za rješavanje ovog problema, prema specifikacijama Jedinstvenog državnog ispita, nude tri primarne točke odjednom, odnosno ispitivači smatraju ovaj zadatak jednim od najtežih.

Istovremeno, da biste riješili bilo koji od ovih zadataka iz Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, trebate znati samo dvije formule, od kojih je svaka sasvim dostupna svakom maturantu, međutim, iz razloga koje ja ne razumijem, ove formule su potpuno ignorisan od strane nastavnika i sastavljača raznih zadataka za pripremu za ispit. Stoga vam danas neću samo reći koje su to formule i kako ih primijeniti, već ću svaku od ovih formula izvući doslovno pred vašim očima, uzimajući kao osnovu zadatke iz otvorene USE banke iz matematike.

Stoga se lekcija pokazala prilično obimnom, prilično sadržajnom, pa se raskomotite i počinjemo.

Stavljanje novca u banku

Pre svega, želeo bih da napravim malu lirsku digresiju vezanu za finansije, banke, kredite i depozite, na osnovu koje ćemo dobiti formule koje ćemo koristiti da rešimo ovaj problem. Dakle, hajde da se malo odmaknemo od ispita, od predstojećih školskih problema i pogledamo u budućnost.

Recimo da ste odrasli i da ćete kupiti stan. Recimo da ćete kupiti ne neki loš stan na periferiji, već kvalitetan stan za 20 miliona rubalja. Istovremeno, pretpostavimo da ste dobili manje-više normalan posao i zarađivali 300 hiljada rubalja mjesečno. U ovom slučaju, za godinu možete uštedjeti oko tri miliona rubalja. Naravno, zarađujući 300 hiljada rubalja mjesečno, za godinu ćete dobiti nešto veći iznos - 3.600.000 - ali neka se ovih 600.000 potroši na hranu, odjeću i druge svakodnevne kućne radosti. Ukupni ulazni podaci su sljedeći: potrebno je zaraditi dvadeset miliona rubalja, dok imamo na raspolaganju samo tri miliona rubalja godišnje. Postavlja se prirodno pitanje: koliko godina treba da izdvojimo tri miliona da bismo dobili ovih istih dvadeset miliona. Smatra se elementarnim:

\[\frac(20)(3)=6,....\do 7\]

Međutim, kao što smo već primijetili, mjesečno zarađujete 300 hiljada rubalja, što znači da ste pametni ljudi i nećete štedjeti novac "ispod jastuka", već ga odnesite u banku. I stoga će se godišnje na te depozite koje donesete u banku obračunavati kamata. Recimo da odaberete pouzdanu, ali u isto vrijeme manje ili više profitabilnu banku, pa će vam depoziti rasti za 15% godišnje. Drugim riječima, možemo reći da će se iznos na vašim računima povećavati za 1,15 puta svake godine. Dozvolite mi da vas podsjetim na formulu:

Hajde da izračunamo koliko će novca biti na vašim računima nakon svake godine:

U prvoj godini, kada tek počnete da štedite novac, neće se akumulirati kamate, odnosno na kraju godine ćete uštedeti tri miliona rubalja:

Na kraju druge godine već će se obračunati kamata na ona tri miliona rubalja koja je ostala od prve godine, tj. moramo pomnožiti sa 1,15. Međutim, tokom druge godine prijavili ste i još tri miliona rubalja. Naravno, ova tri miliona još nije imala kamatu, jer su se do kraja druge godine samo ova tri miliona pojavila na računu:

Dakle, treća godina. Na kraju treće godine na ovaj iznos će se obračunati kamata, odnosno potrebno je cijeli ovaj iznos pomnožiti sa 1,15. I opet, tokom cijele godine vrijedno ste radili i izdvojili tri miliona rubalja:

\[\lijevo(3m\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m\]

Izračunajmo još četvrtu godinu. Opet, cijeli iznos koji smo imali na kraju treće godine pomnožimo sa 1,15, tj. Na cjelokupan iznos će se obračunati kamata. Ovo uključuje kamatu na kamatu. I na ovaj iznos se dodaje još tri miliona, jer ste i vi tokom četvrte godine radili i uštedeli:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m\]

A sada da otvorimo zagrade i vidimo koji iznos ćemo imati do kraja četvrte godine štednje:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \desno)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \desno)= \\& =3m\lijevo(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \desno) \\\end(poravnaj)\]

Kao što vidite, u zagradama imamo elemente geometrijske progresije, odnosno imamo zbir elemenata geometrijske progresije.

Da vas podsjetim da ako je geometrijska progresija data elementom $((b)_(1))$, kao i nazivnikom $q$, onda će se zbir elemenata izračunati prema sljedećoj formuli:

Ova formula mora biti poznata i jasno primijenjena.

Napomena: formula n element zvuči ovako:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Zbog ove diplome mnogi studenti su zbunjeni. Ukupno imamo samo n za iznos n- elementi, i n-ti element ima stepen $n-1$. Drugim riječima, ako sada pokušamo izračunati zbir geometrijske progresije, onda moramo uzeti u obzir sljedeće:

\[\početak(poravnati)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(poravnati)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Izračunajmo brojilac zasebno:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \desno))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\približno 1,75\]

Ukupno, vraćajući se na zbir geometrijske progresije, dobijamo:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Kao rezultat dobijamo da nam se za četiri godine štednje početni iznos neće povećati četiri puta, kao da nismo položili novac u banci, već pet puta, odnosno petnaest miliona. Napišimo to odvojeno:

4 godine → 5 puta

Gledajući unaprijed, reći ću da da smo štedjeli ne četiri godine, već pet godina, onda bi se kao rezultat toga iznos naše štednje povećao za 6,7 puta:

5 godina → 6,7 puta

Drugim riječima, do kraja pete godine na računu bismo imali sljedeći iznos:

Odnosno, do kraja pete godine štednje, uzimajući u obzir kamate na depozit, već bismo dobili preko dvadeset miliona rubalja. Tako bi se ukupna štednja od bankarskih kamata smanjila sa skoro sedam godina na pet godina, odnosno za skoro dvije godine.

Dakle, i pored toga što banka na naše depozite zaračunava prilično nisku kamatu (15%), nakon pet godina ovih istih 15% daje povećanje koje znatno premašuje našu godišnju zaradu. Istovremeno, glavni multiplikativni efekat se javlja poslednjih godina, pa čak iu poslednjoj godini štednje.

Zašto sam sve ovo napisao? Naravno, da vas ne agitiramo da nosite novac u banku. Jer ako zaista želite da povećate svoju ušteđevinu, onda je morate uložiti ne u banku, već u pravi biznis, gde ti isti procenti, odnosno profitabilnost u uslovima ruske privrede, retko padaju ispod 30%, tj. duplo više bankovnih depozita.

Ali ono što je zaista korisno u cijelom ovom razmišljanju je formula koja nam omogućava da kroz iznos godišnjih uplata, kao i kroz kamatu koju banka zaračunava, pronađemo konačan iznos depozita. Pa da napišemo:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Sam po sebi, % se izračunava pomoću sljedeće formule:

I ovu formulu treba znati, kao i osnovnu formulu za iznos doprinosa. A, zauzvrat, glavna formula može značajno smanjiti proračune u onim problemima s procentima gdje je potrebno izračunati doprinos.

Zašto koristiti formule umjesto tabela?

Mnogi će vjerovatno imati pitanje čemu uopće sve te poteškoće, da li je moguće jednostavno svaku godinu napisati na tabli, kao što se radi u mnogim udžbenicima, svake godine posebno izračunati, a zatim izračunati ukupan iznos doprinosa? Naravno, općenito možete zaboraviti na zbir geometrijske progresije i sve brojati koristeći klasične tablete - to se radi u većini kolekcija za pripremu za ispit. Međutim, prvo, obim proračuna se naglo povećava, a drugo, kao rezultat toga, povećava se vjerojatnost greške.

Općenito, korištenje stolova umjesto ove divne formule je isto kao da kopate rovove svojim rukama na gradilištu umjesto da koristite bager koji stoji u blizini i potpuno radi.

Pa, ili ista stvar kao množenje pet sa deset ne koristeći tablicu množenja, već dodavanje pet deset puta zaredom. Međutim, već sam skrenuo pažnju, pa ću još jednom ponoviti najvažniju ideju: ako postoji način da se proračuni pojednostave i skrate, onda je ovo način da se koristi.

Kamate na kredite

Shvatili smo depozite, pa prelazimo na sljedeću temu, odnosno na kamatu na kredite.

Dakle, dok vi štedite, pažljivo planirate budžet, razmišljate o budućem stanu, vaš drug iz razreda, a sada obična nezaposlena osoba, odlučio je živjeti za danas i samo je podigao kredit. Pritom će te i dalje zadirkivati i smijati, kažu, ima kreditni telefon i polovni auto, uzet na kredit, a ti se još voziš podzemnom i koristiš stari telefon na dugme. Naravno, za sva ova jeftina "pokazivanja" vaš bivši kolega će morati skupo da plati. Koliko je skupo - to ćemo sada izračunati.

Prvo, kratak uvod. Recimo da je vaš bivši kolega uzeo dva miliona rubalja na kredit. U isto vrijeme, prema ugovoru, mora plaćati x rubalja mjesečno. Recimo da je uzeo kredit po stopi od 20% godišnje, što u sadašnjim uslovima izgleda sasvim pristojno. Takođe, pretpostavimo da je rok kredita samo tri mjeseca. Pokušajmo sve ove količine povezati u jednu formulu.

Dakle, na samom početku, čim je vaš bivši kolega otišao iz banke, on ima dva miliona u džepu, a ovo je njegov dug. Istovremeno, nije prošla ni godina, ni mjesec, ali ovo je samo početak:

Zatim, nakon mjesec dana, na iznos dugovanja će se obračunati kamata. Kao što već znamo, za obračun kamate dovoljno je pomnožiti prvobitni dug sa koeficijentom, koji se izračunava po sljedećoj formuli:

U našem slučaju govorimo o stopi od 20% godišnje, odnosno možemo napisati:

Ovo je omjer iznosa koji će se naplaćivati godišnje. Međutim, naš kolega nije baš pametan i nije pročitao ugovor, a u stvari je dobio kredit ne 20% godišnje, već 20% mesečno. I do kraja prvog mjeseca na ovaj iznos će se obračunati kamata, koja će se povećati za 1,2 puta. Odmah nakon toga, osoba će morati platiti ugovoreni iznos, odnosno x rubalja mjesečno:

\[\lijevo(2m\cdot 1,2-x\desno)\cdot 1,2-x\]

I opet, naš dječak vrši uplatu u iznosu od $x$ rubalja.

Zatim se do kraja trećeg mjeseca iznos njegovog duga ponovo povećava za 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\desno)\cdot 1,2- x\desno)1,2- x\]

A prema uslovu za tri mjeseca, mora platiti u cijelosti, odnosno nakon posljednje treće uplate iznos duga treba da bude jednak nuli. Ovu jednačinu možemo napisati:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\desno)\cdot 1,2- x\desno)1,2 - x=0\]

Hajde da odlučimo:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \desno) \\\end(poravnati)\]

Pred nama je opet geometrijska progresija, odnosno zbir tri elementa geometrijske progresije. Prepišimo ga uzlaznim redoslijedom elemenata:

Sada moramo pronaći zbir tri elementa geometrijske progresije. napišimo:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(poravnati)\]

Sada pronađimo zbir geometrijske progresije:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Treba podsjetiti da se zbir geometrijske progresije sa takvim parametrima $\left(((b)_(1));q \right)$ izračunava po formuli:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Ovo je formula koju smo upravo koristili. Zamijenite ovu formulu u naš izraz:

Za dalje proračune, moramo saznati koliko je jednako $((1,2)^(3))$. Nažalost, u ovom slučaju više ne možemo slikati kao prošli put u obliku dvostrukog kvadrata, ali možemo izračunati ovako:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Prepisujemo naš izraz:

Ovo je klasičan linearni izraz. Vratimo se na sljedeću formulu:

Zapravo, ako to generaliziramo, dobićemo formulu koja povezuje kamate, kredite, plaćanja i uslove. Formula ide ovako:

Evo je, najvažnije formule današnje video lekcije, uz pomoć koje se razmatra najmanje 80% svih ekonomskih zadataka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike u drugom dijelu.

Najčešće će vam u stvarnim zadacima tražiti uplatu, ili nešto rjeđe kredit, odnosno ukupan iznos duga koji je naš kolega imao na samom početku isplata. U složenijim zadacima od vas će se tražiti da pronađete procenat, ali za vrlo složene, koje ćemo analizirati u posebnoj video lekciji, od vas će se tražiti da pronađete vremenski okvir tokom kojeg, sa datim parametrima kredita i plaćanja, naš nezaposleni kolega iz razreda će moći u potpunosti da otplati banku.

Možda će neko sada pomisliti da sam žestoki protivnik kredita, finansija i bankarskog sistema uopšte. Dakle, ništa slično! Naprotiv, smatram da su kreditni instrumenti veoma korisni i neophodni za našu privredu, ali samo pod uslovom da se kredit uzme za razvoj poslovanja. U ekstremnim slučajevima možete uzeti kredit za kupovinu kuće, odnosno hipoteku ili za hitnu medicinsku pomoć - to je to, jednostavno nema drugih razloga za uzimanje kredita. I svakakvi nezaposleni koji uzimaju kredite da bi kupovali "izmetanje" a pritom uopće ne razmišljaju o posljedicama na kraju i postaju uzrok kriza i problema u našoj privredi.

Vraćajući se na temu današnje lekcije, napominjem da je potrebno znati i ovu formulu koja povezuje kredite, plaćanja i kamatu, kao i iznos geometrijske progresije. Uz pomoć ovih formula rješavaju se stvarni ekonomski problemi sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. E, sad kada sve ovo dobro znate, kada shvatite šta je kredit i zašto ga ne biste trebali uzeti, pređimo na rješavanje stvarnih ekonomskih problema sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Realne zadatke rješavamo sa ispita iz matematike

Primjer #1

Dakle, prvi zadatak je:

Aleksej je 31. decembra 2014. uzeo kredit od 9.282.000 rubalja od banke uz 10% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (to jest, povećava dug za 10%), a zatim Aleksej prebacuje banci X rubalja. Koliki bi trebao biti iznos X da bi Aleksej otplatio dug u četiri jednaka plaćanja (tj. četiri godine)?

Dakle, ovo je problem oko kredita, pa odmah zapisujemo našu formulu:

Znamo zajam - 9.282.000 rubalja.

Sada ćemo se pozabaviti procentima. Govorimo o 10% problema. Stoga ih možemo prevesti:

Možemo napraviti jednačinu:

Dobili smo običnu linearnu jednačinu u odnosu na $x$, iako sa prilično ogromnim koeficijentima. Pokušajmo to riješiti. Prvo, pronađimo izraz $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Sada prepišimo jednačinu:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

To je to, naš problem sa procentima je riješen.

Naravno, ovo je bio samo najjednostavniji zadatak sa procentima sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Na pravom ispitu najvjerovatnije neće biti takvog zadatka. A ako jeste, smatrajte da ste veoma srećni. Pa, za one koji vole da računaju i ne vole da rizikuju, pređimo na sledeće teže zadatke.

Primjer #2

Stepan je 31. decembra 2014. od banke pozajmio 4.004.000 rubalja uz 20% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (tj. povećava dug za 20%), a zatim Stepan plaća banci. Stepan je otplatio ceo dug u 3 jednaka plaćanja. Koliko bi rubalja manje dao banci kada bi mogao da otplati dug u 2 jednaka plaćanja.

Pred nama je problem oko kredita, pa zapisujemo našu formulu:

\[\]\

šta mi znamo? Prvo, znamo ukupni kredit. Znamo i procente. Nađimo omjer:

Što se tiče $n$, morate pažljivo pročitati stanje problema. Odnosno, prvo trebamo izračunati koliko je platio za tri godine, tj. $n=3$, a zatim ponoviti iste korake ali izračunati uplate za dvije godine. Napišimo jednačinu za slučaj kada se isplata plaća za tri godine:

Hajde da riješimo ovu jednačinu. Ali prvo, pronađimo izraz $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Prepisujemo naš izraz:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Ukupno, naša uplata će biti 1900800 rubalja. Međutim, obratite pažnju: u zadatku smo morali pronaći ne mjesečnu uplatu, već koliko bi Stepan ukupno platio za tri jednaka plaćanja, odnosno za cijelo vrijeme korištenja kredita. Stoga se rezultirajuća vrijednost mora ponovo pomnožiti sa tri. izbrojimo:

Ukupno će Stepan platiti 5.702.400 rubalja za tri jednaka plaćanja. Toliko će ga koštati trogodišnje korištenje kredita.

Sada razmislite o drugoj situaciji, kada se Stepan sabrao, spremio i otplatio cijeli kredit ne u tri, već u dvije jednake isplate. Zapisujemo istu formulu:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Ali to nije sve, jer smo sada izračunali samo jednu od dvije uplate, tako da će ukupno Stepan platiti tačno dvostruko više:

Odlično, sada smo blizu konačnog odgovora. Ali obratite pažnju: ni u kom slučaju još nismo dobili konačan odgovor, jer će Stepan za tri godine plaćanja platiti 5.702.400 rubalja, a za dvije godine plaćanja 5.241.600 rubalja, odnosno nešto manje. Koliko manje? Da biste saznali, trebate oduzeti drugi iznos uplate od iznosa prve uplate:

Ukupan konačni odgovor je 460.800 rubalja. Koliko će tačno Stepan uštedjeti ako plati ne tri godine, već dvije.

Kao što vidite, formula koja povezuje kamate, rokove i plaćanja uvelike pojednostavljuje proračune u poređenju sa klasičnim tabelama i, nažalost, iz nepoznatih razloga, tabele se i dalje koriste u većini zbirki problema.

Posebno, skrećem vam pažnju na rok na koji je kredit uzet, kao i na iznos mjesečnih otplata. Činjenica je da ova veza nije direktno vidljiva iz formula koje smo zapisali, ali je njeno razumijevanje neophodno za brzo i efikasno rješavanje stvarnih problema na ispitu. Zapravo, ovaj odnos je vrlo jednostavan: što se kredit duže uzima, to će biti manji iznos u mjesečnim otplatama, ali će se veći iznos akumulirati tokom cijelog perioda korištenja kredita. I obrnuto: što je kraći rok, to je veća mjesečna uplata, ali je niža konačna preplata i manji ukupni trošak kredita.

Naravno, svi ovi iskazi će biti jednaki samo pod uslovom da su iznos kredita i kamatna stopa u oba slučaja isti. Općenito, za sada samo zapamtite ovu činjenicu - koristit će se za rješavanje najtežih problema na ovu temu, ali za sada ćemo analizirati jednostavniji problem, gdje je potrebno samo pronaći ukupan iznos prvobitnog kredita.

Primjer #3

Dakle, još jedan zadatak za pozajmicu i, u kombinaciji, posljednji zadatak u današnjem video tutorijalu.

Vasilij je 31. decembra 2014. godine podigao određeni iznos od banke na kredit sa 13% godišnje. Šema otplate kredita je sljedeća: 31. decembra svake naredne godine banka obračunava kamatu na preostali iznos duga (to jest, povećava dug za 13%), a zatim Vasilij prebacuje banci 5.107.600 rubalja. Koliki je iznos Vasilij pozajmio od banke ako je otplatio dug u dvije jednake rate (na dvije godine)?

Dakle, prije svega, ovaj problem se opet odnosi na kredite, pa zapisujemo našu divnu formulu:

Hajde da vidimo šta znamo iz stanja problema. Prvo, plaćanje - to je 5.107.600 rubalja godišnje. Drugo, procenti, tako da možemo pronaći omjer:

Osim toga, prema stanju problema, Vasilij je uzeo kredit od banke na dvije godine, tj. plaćeno u dvije jednake rate, dakle $n=2$. Zamenimo sve i napomenimo da nam je kredit nepoznat, tj. iznos koji je uzeo, i označimo ga sa $x$. Dobijamo:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Prepišimo našu jednačinu imajući na umu ovu činjenicu:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

To je to, ovo je konačan odgovor. Upravo je taj iznos Vasilij uzeo na kredit na samom početku.

Sada je jasno zašto se u ovom problemu traži da uzmemo kredit na samo dvije godine, jer se ovdje pojavljuju dvocifreni procenti, odnosno 13%, što na kvadrat već daje prilično „brutalan“ broj. Ali to nije granica - u sljedećoj zasebnoj lekciji razmotrit ćemo složenije zadatke, gdje će biti potrebno pronaći rok zajma, a stopa će biti jedan, dva ili tri posto.

Općenito, naučite rješavati probleme za depozite i kredite, pripremite se za ispite i položite ih "odlično". A ako nešto nije jasno u materijalima današnje video lekcije, onda ne oklijevajte - pišite, nazovite, a ja ću vam pokušati pomoći.

Pogledajte i video "Tekstualni zadaci za ispit iz matematike".
Tekstualni zadatak nije samo zadatak za kretanje i rad. Tu su i zadaci za procente, za rastvore, legure i mešavine, za kretanje u krug i pronalaženje prosečne brzine. Reći ćemo o njima.

Počnimo sa problemima u procentima. Već smo se susreli sa ovom temom u zadatku 1. Konkretno, formulisali smo važno pravilo: uzimamo kao vrijednost s kojom upoređujemo.

Izveli smo i korisne formule:

ako se vrijednost poveća za postotak, dobivamo .
ako se vrijednost smanji za postotak, dobivamo .
ako se vrijednost poveća za postotak, a zatim smanji za , dobivamo .

ako se vrijednost udvostruči za postotak, dobijamo
ako se vrijednost udvostruči za postotak, dobijamo

Iskoristimo ih za rješavanje problema.

Za godinu dana u gradskoj četvrti živelo je jedno lice. U godini, kao rezultat izgradnje novih kuća, broj stanovnika je povećan za , a u godini - za u odnosu na godinu. Koliko je ljudi počelo živjeti u kvartalu za godinu dana?

Prema uslovu, godine broj stanovnika se povećao za , odnosno izjednačio se sa ljudima.

I godine broj stanovnika se povećao za , sada u odnosu na godinu. Dobijamo da su godine u naselju počeli da žive stanovnici.

Sljedeći zadatak ponuđen je na probnom ispitu iz matematike u decembru godine. Jednostavan je, ali malo ko ga je savladao.

U ponedeljak su akcije kompanije poskupele za određeni procenat, au utorak su poskupele za isti procenat. Kao rezultat toga, počeli su da koštaju manje nego na otvaranju trgovanja u ponedeljak. Za koliko su posto poskupele akcije kompanije u ponedeljak?

Na prvi pogled se čini da postoji greška u stanju i da se cena akcija uopšte ne bi smela menjati. Uostalom, poskupjeli su i pojeftinili za isti postotak! Ali nemojmo žuriti. Neka dionice koštaju rubalja na otvaranju trgovanja u ponedjeljak. Do ponedeljka uveče su poskupeli i počeli da koštaju. Sada je ova vrijednost već uzeta kao , a do utorka navečer dionice su pale u odnosu na ovu vrijednost. Stavimo podatke u tabelu:

	ponedjeljak ujutro	u ponedeljak uveče	u utorak uveče
Cijena dionice

Prema uslovu, dionice su na kraju pojeftinile za .

Shvatili smo to

Obje strane jednačine dijelimo sa (jer nije jednaka nuli) i primjenjujemo skraćenu formulu množenja na lijevoj strani.

Prema značenju problema, vrijednost je pozitivna.
Razumemo to.

Cijena frižidera u radnji godišnje se smanjuje za isti broj posto u odnosu na prethodnu cijenu. Odredite za koji postotak se cijena hladnjaka smanjivala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, dvije godine kasnije prodan za rublje.

I ovaj problem rješava jedna od formula navedenih na početku članka. Frižider je koštao Rs. Cijena mu je dvostruko smanjena za , i sada je jednaka

Četiri košulje su jeftinije od jakni. Za koliko posto je pet košulja skuplje od jakne?

Neka cena košulje bude, cena jakne. Kao i uvijek, za sto posto uzimamo vrijednost sa kojom upoređujemo, odnosno cijenu jakne. Tada je cijena četiri košulje jednaka cijeni jakne, tj.
.

Cijena jedne majice je upola manja:
,
i cijena pet majica:

Dobili smo da je pet košulja skuplje od jakne.

Odgovor: .

Porodicu čine muž, žena i kćerka studentica. Ako bi se muževljeva plata udvostručila, ukupan prihod porodice bi se povećao za . Ako bi se kćerkina stipendija prepolovila, ukupan prihod porodice bi se smanjio za . Koliki procenat ukupnog porodičnog prihoda čini plata supruge?

Hajde da nacrtamo tabelu. Situacije o kojima se govori u zadatku („ako se povećala muževljeva plata, ako bi se smanjila stipendija kćeri...“) nazvat ćemo „situacija“ i „situacija“.

	muža	supruga	kćer	Ukupan prihod
U stvarnosti
Situacija
Situacija

Ostaje da se zapiše sistem jednačina.

Ali šta vidimo? Dve jednačine i tri nepoznanice! Nećemo moći pronaći, i to posebno. Istina, ne treba nam. Uzmimo prvu jednačinu i oduzmimo zbir sa obe strane. Dobijamo:

To znači da je muževljeva plata dio ukupnog prihoda porodice.

U drugoj jednačini također oduzimamo izraz sa obje strane, pojednostavljujemo i dobijamo to

To znači da se ćerkina stipendija zasniva na ukupnim prihodima porodice. Tada je plata supruge ukupan prihod.

Odgovor: .

Sljedeća vrsta problema su problemi za rješenja, mješavine i legure. Ima ih ne samo u matematici, već i u hemiji. Reći ćemo vam kako ih najlakše riješiti.

Litre vode se dodaju u posudu koja sadrži litre -procentnog vodenog rastvora neke supstance. Koliki je postotak koncentracije dobivene otopine?

Slika pomaže u rješavanju takvih problema. Prikazujmo shematski posudu s otopinom - kao da se tvar i voda u njoj ne miješaju jedna s drugom, već su odvojene jedna od druge, kao u koktelu. A mi ćemo potpisati koliko litara posude sadrže i koliko posto tvari sadrže. Označavamo koncentraciju rezultirajuće otopine.

Prva posuda sadržavala je litar tvari. Druga posuda je sadržavala samo vodu. To znači da u trećoj posudi ima onoliko litara tvari koliko i u prvoj:

Određena količina -procentnog rastvora određene supstance pomešana je sa istom količinom -procentnog rastvora ove supstance. Koliki je postotak koncentracije dobivene otopine?

Neka masa prvog rješenja bude . Masa drugog - također. Rezultat je rješenje s masom . Crtamo sliku.

Dobijamo:

Odgovor: .

Grožđe sadrži vlagu, a grožđice -. Koliko je kilograma grožđa potrebno za proizvodnju kilograma grožđica?

Pažnja! Ako naiđete na problem “o proizvodima”, odnosno onaj gdje se od grožđa dobijaju grožđice, od kajsije se prave kajsije, od hleba se prave krekeri ili se pravi sir od mleka – znajte da je to zapravo problem za rešenja . Grožđe također možemo uvjetno prikazati kao rješenje. Sadrži vodu i "suvu materiju". "Suva materija" je složenog hemijskog sastava, a po ukusu, boji i mirisu mogli smo da shvatimo da je u pitanju grožđe, a ne krompir. Suvo grožđe se dobija kada voda ispari iz grožđa. U isto vrijeme, količina "suhe tvari" ostaje konstantna. Grožđe je sadržavalo vodu, što znači da je bilo “suhe tvari”. U grožđicama voda i "suva materija". Neka kg grožđica ispadne iz kg grožđa. Onda

From from

Napravimo jednačinu:

i pronađite.

Odgovor: .

Postoje dvije legure. Prva legura sadrži nikal, druga - nikal. Od ove dvije legure dobijena je treća legura težine kg koja sadrži nikl. Za koliko kilograma je masa prve legure manja od mase druge legure?

Neka masa prve legure bude x, a masa druge legure y. Rezultat je bila legura s masom .

Napišimo jednostavan sistem jednačina:

Prva jednadžba je masa nastale legure, druga je masa nikla.

Rešavanje, dobijamo to.

Odgovor: .

Miješanjem -procentualnog i -procentnog rastvora kiseline i dodavanjem kg čiste vode dobili smo -procentni rastvor kiseline. Ako bi se umjesto kg vode dodala kg -% otopina iste kiseline, tada bi se dobio -% otopine kiseline. Koliko je kilograma -procentnog rastvora utrošeno za dobijanje smeše?

Neka masa prvog rješenja bude , masa drugog je jednaka . Masa dobijenog rastvora je . Napišimo dvije jednačine za količinu kiseline.

Rešavamo dobijeni sistem. Oba dijela jednadžbe odmah množimo sa , jer je zgodnije raditi s cijelim koeficijentima nego s razlomcima. Proširimo zagrade.

Odgovor: .

Obimni zadaci su se takođe pokazali teškim za mnoge učenike. Oni se rješavaju na gotovo isti način kao i obični problemi za kretanje. Oni također koriste formulu. Ali postoji jedan trik o kojem ćemo vam reći.

Biciklista je napustio tačku kružne staze, a nakon jednog minuta motociklista je krenuo za njim. Nekoliko minuta nakon polaska, prvi put je sustigao biciklistu, a nekoliko minuta nakon toga sustigao ga je i drugi put. Pronađite brzinu motociklista ako je dužina staze km. Odgovor dajte u km/h.

Prvo, pretvorimo minute u sate, jer se brzina mora naći u km/h. Brzine učesnika označavamo sa i . Prvi put je motociklista pretekao biciklistu za nekoliko minuta, odnosno sati nakon starta. Do ovog trenutka biciklista je bio na putu nekoliko minuta, odnosno sat vremena.

Zapišimo ove podatke u tabelu:


biciklista
motociklista

Oboje su prešli istu udaljenost, tj.

Tada je motociklista po drugi put sustigao biciklistu. To se dogodilo za nekoliko minuta, odnosno sat vremena nakon prvog preticanja.

Nacrtajmo drugu tabelu.


biciklista
motociklista

Koje su udaljenosti prevalili? Motociklista je sustigao biciklistu. Tako je vozio još jedan krug. To je tajna ovog zadatka. Jedan krug je dužina staze, jednaka je km. Dobijamo drugu jednačinu:

Rešimo rezultujući sistem.

Razumemo to. Kao odgovor, zapišite brzinu motocikliste.

Odgovor: .

Satovi sa kazaljkama pokazuju sate minute. Nakon koliko minuta će se kazaljka minuta poravnati sa kazaljkom sata po četvrti put?

Ovo je možda najteži zadatak od ispitnih opcija. Naravno, postoji jednostavno rješenje - uzmite sat sa kazaljkama i uvjerite se da se četvrti put kazaljke redaju u satima, tačno u ..
Ali šta ako imate elektronski sat i ne možete eksperimentalno riješiti problem?

U jednom satu kazaljka minuta prelazi jedan krug, a satni dio kruga. Neka su njihove brzine jednake (krugova na sat) i (krugova na sat). Početak - u .. Nađimo vrijeme za koje će minutna kazaljka prvi put sustići kazaljku sata.

Kazaljka minuta će ići još jedan krug, tako da će jednačina biti:

Rešavajući to, dobijamo te sate. Dakle, po prvi put, kazaljke će se poravnati za nekoliko sati. Neka drugi put stignu na vrijeme. Kazaljka minuta će preći razdaljinu, a kazaljka sata, sa minutnom kazaljkom pomicati još jedan krug. Napišimo jednačinu:

Rešavajući to, dobijamo te sate. Dakle, nakon sat vremena, kazaljke će se poravnati po drugi put, nakon još jednog sata - za treći, a nakon još jednog sata - za četvrti.

Dakle, ako je početak bio u ., onda će se po četvrti put strelice poredati
sati.

Odgovor se u potpunosti slaže sa "eksperimentalnim" rješenjem! :-)

Na ispitu iz matematike možete se suočiti i s problemom pronalaženja prosječne brzine. Zapamtite da prosječna brzina nije jednaka aritmetičkoj sredini brzina. Zasnovan je na posebnoj formuli:

,
gdje je prosječna brzina, ukupna udaljenost i ukupno vrijeme.

Kad bi postojala dva dijela staze, onda

Putnik je prešao more na jahti sa prosječnom brzinom od km/h. Letio je nazad sportskim avionom brzinom od km/h. Pronađite prosječnu brzinu putnika za cijelo putovanje. Odgovor dajte u km/h.

Ne znamo koliku je udaljenost prešao putnik. Znamo samo da je ta udaljenost bila ista na putu tamo i nazad. Radi jednostavnosti, ovu udaljenost ćemo uzeti kao (jedno more). Tada je vrijeme koje je putnik plovio na jahti jednako , a vrijeme provedeno na letu jednako . Ukupno vrijeme je .
Prosječna brzina je km/h.

Odgovor: .

Pokažimo još jedan spektakularan trik koji pomaže da se brzo riješi sistem jednačina u zadatku 13.

Andrej i Paša farbaju ogradu za nekoliko sati. Paša i Volodja farbaju istu ogradu u satima, a Volodja i Andrej - u satima. Koliko će sati trebati momcima da ofarbaju ogradu dok njih trojica rade?

Zadatke za rad i produktivnost već smo riješili. Pravila su ista. Jedina razlika je što ovdje rade tri osobe, a bit će i tri varijable. Neka - Andrejin nastup, - Pašin nastup i - Volodjin nastup. Uzet ćemo ogradu, odnosno količinu posla, jer - uostalom, ne možemo ništa reći o njenoj veličini.

	performanse	Posao
Andrew
Pasha
Volodya
Zajedno

Andrej i Paša ofarbali su ogradu za nekoliko sati. Sjećamo se da se učinak povećava kada radimo zajedno. Napišimo jednačinu:

Isto tako,

Onda

.

Možete tražiti , i odvojeno, ali bolje je samo dodati sve tri jednačine. Shvatili smo to

Tako, radeći zajedno, Andrej, Paša i Volodja farbaju jednu osminu ograde za sat vremena. Za nekoliko sati će ofarbati cijelu ogradu.

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Teorija na temu: "Rješavanje problema za interes."

Tip 1: Pretvorite postotke u decimale. postotak  razlomak A%  A podijeljen sa 100 Zadaci: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%.... Popuni tabelu 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Tip 2: Pretvaranje razlomka u postotak. broj  procenti A  A puta 100% Pretvori razlomke u procente: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, tematski zadaci) Spojite razlomke koji izražavaju udjele određene vrijednosti i procente koji im odgovaraju. A.1/4; B) 3/5; C) 0,5; D) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% odgovor: A B C D

Tip 3: Pronalaženje procenta broja. X% od A 1) X% je predstavljen kao decimalni razlomak 2) Broj A se množi sa decimalnim razlomkom. Zadatak je primjer. Za mjesec dana kompanija je proizvela 500 uređaja. 20% proizvedenih uređaja nije prošlo kontrolu kvaliteta. Koliko uređaja nije prošlo kontrolu kvaliteta? Rješenje. Potrebno je pronaći 20% od ukupnog broja proizvedenih uređaja (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 od ukupnog broja proizvedenih uređaja nije prošlo kontrolu kvaliteta.

Tip 4: Pronađite broj prema njegovom postotku. A ovo je X%: 1) X% je predstavljeno kao decimalni razlomak 2) A je podijeljeno decimalnim razlomkom. Zadatak je primjer. Pripremajući se za ispit, student je riješio 38 zadataka iz priručnika za samostalno učenje. Što je 25% od broja svih zadataka u priručniku. Koliko zadataka je sakupljeno u ovom priručniku za samostalno učenje? Rješenje. Ne znamo koliko zadataka ima u priručniku. Ali s druge strane, znamo da je 38 zadataka 25% njihovog ukupnog broja. 25%=0,25 38/0,25 = 152. U ovoj kolekciji postoje 152 problema.

Tip 5: Pronađite postotak dva broja. A i B brojevi. Koliki je % B od A? 1) B / A 2) Pomnožite rezultirajući količnik sa 100% Zadatak je uzorak. U razredu ima 30 učenika. Od njih 15 su djevojke. Koliki je procenat djevojčica u razredu? Rješenje. Da biste saznali koliki je postotak jedan broj od drugog, potreban vam je broj koji želite pronaći, podijeliti s ukupnim brojem i pomnožiti sa 100%. Dakle, 1) 15 / 30 = 0,5 2) 0,5 * 100% = 50% Zadatak je uzorak. Za 1 sat automatska mašina je proizvela 240 delova. Nakon rekonstrukcije ove mašine počeo je da proizvodi 288 istih delova na sat. Za koji procenat se povećala produktivnost mašine? Rješenje. Produktivnost mašine je povećana za 288-240=48 delova na sat. Morate saznati koji je postotak od 240 dijelova 48 dijelova. Da biste saznali koliko je posto broja 48 od broja 240, potrebno je broj 48 podijeliti sa 240 i rezultat pomnožiti sa 100%. 48/240 *100% =20% Odgovor: produktivnost mašine povećana za 20%

Tip 6: Povećajte broj za postotak. Smanjite broj za postotak. A je broj; povećati za X%, onda se povećao za (1 + x / 100) puta. : 1) broj A se množi sa 2) (1 + x / 100). Zadatak je primjer. . Na prošlogodišnjem ispitu iz matematike petice je dobilo 140 srednjoškolaca. Ove godine broj odličnih učenika povećan je za 15%. Koliko je ljudi ove godine dobilo petice na ispitu iz matematike? Rješenje. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - broj; smanjimo za X%, onda se smanjio za (1 - x / 100) puta. : 1) broj A se množi sa 2) (1 - x / 100). Zadatak je primjer. Prije godinu dana školu je završilo 100 djece. I ove godine ima 25% manje diplomaca. Koliko diplomaca ove godine? Rješenje. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Tip 7: Koncentracija rastvora. Zadatak je primjer. Kilogram soli rastvoren je u 9 litara vode. Kolika je koncentracija dobivene otopine? (Masa 1 litre vode je 1 kg) (Petersonove 6 ćelije) Rješenje 1) Masa otopljene tvari je 1 kg 2) Masa cijele otopine 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg je masa vode u otopini (ne brkati s ukupnom masom otopine) 3) 1/10 * 100% = 10% 10% - koncentracija otopine

Tip 8: Procenat metala u leguri. Zadatak - uzorak 1. Postoji komad legure bakra i kalaja ukupne mase 12 kg koji sadrži 45% bakra. Koliko čistog kalaja treba dodati ovom komadu legure da bi nastala legura sadržavala 40% bakra? Rješenje.1)12 . 0,45= 5,4 (kg) - čisti bakar u prvoj leguri; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (kg) - težina nove legure; 3) 13,5- 12= 1,5 (kg) lim. Odgovor: treba vam 1,5 kg lima.

Zadatak - uzorak 2. Postoje dvije legure koje se sastoje od bakra, cinka i kalaja. Poznato je da prva legura sadrži 40% kalaja, a druga - 26% bakra. Procenat cinka u prvoj i drugoj leguri je isti. Otopivši 150 kg prve legure i 250 kg druge, dobijena je nova legura u kojoj se pokazalo 30% cinka. Odredite koliko je kilograma kalaja sadržano u nastaloj novoj leguri. Pošto je postotak cinka u prvoj i drugoj leguri isti, a u trećoj leguri se ispostavilo da je 30%, onda je u prvoj i drugoj legura postotak cinka 30%. 250 * 0,3 \u003d 75 (kg) - cink u drugoj leguri; 250 * 0,26 \u003d 65 (kg) - bakar u drugoj leguri; 250-(75+65)= 110 (kg) kalaja u drugoj leguri; 150 . 0,4= 60 (kg) - kalaj u prvoj leguri; 110 + 60 = 170 (kg) - kalaj u trećoj leguri. Odgovor: 170 kg. 1 legura 2 legura Nova legura (3) Bakar 26% cink 30% 30% 30% kalaj 40% ?kg težina 150kg 250kg 150+250=400

Tip 9: Na "suhu materiju". Gotovo svaki proizvod - jabuke, lubenice, pečurke, krompir, žitarice, kruh, itd. sastoji se od vode i suve materije. Štaviše, i svježa i sušena hrana sadrži vodu. Tokom procesa sušenja isparava samo voda, a masa suve materije se ne menja. A.G. Mordkovich “Matematika 6” Zadatak br. 362 Zadatak je uzorak. Svježa gljiva sadrži 90% vode, a sušena - 15%. Koliko će se sušenih gljiva dobiti od 17 kg svježih? Koliko svježih gljiva treba uzeti da dobijete 3,4 kg sušenih? Rješenje. Napravimo tabelu: Prvi dio zadatka: supstanca Masa supstance (kg) Procenat vode Procenat suve materije Masa suve materije (kg) Svježa gljiva 17kg 90% 10% 17*0,1=1,7 Suha gljiva X kg 15% 85% X * o.85 = 0,85x Budući da masa suhe tvari u suhim i svježim gljivama ostaje nepromijenjena, dobivamo jednačinu: 0,85x = 1,7, x = 1,7: 0,85, x = 2.

2. dio zadatka: Supstanca Masa supstance (kg) Procenat vode Procenat vode Masa suve materije (kg) Svježa gljiva h 90% 10% 0,1h Osušena gljiva 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2 ,89 0,1x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Odgovor: od 17 kg svježih gljiva dobijete 2 kg suhih; da biste dobili 3,4 kg sušenih gljiva, potrebno je uzeti 28,9 kg svježih.