Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Da naučite sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje Svakodnevni život pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješan završetak OGE ili Jedinstveni državni ispit i upis na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Podizanje na stepen je isto matematička operacija poput sabiranja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik vrlo jednostavni primjeri. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Veoma dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno pokriti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni „brojanjem prstom“. Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? Šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku ​​“eksponencijacije”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također ima manje grešaka u proračunima Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: prebrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska tabla kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Usput, zapremine i tečnosti se mere u kubnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine metar i dubinu od jednog metra i pokušajte izbrojati koliko kocki dimenzija metar puta metar će stati u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko ste dobili? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Piše se ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa, da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da bi sami riješili životni problemi, a da vam ne stvaram probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki milion koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sedite i „brojite prstom“, onda ste veoma vredna osoba i... glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa unutra opšti pogled, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši su preci otkrili da im nedostaje prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Ima li još iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnog i negativni brojevi?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? Prvi je jasan: bez obzira koliko pozitivni brojevi Nismo se međusobno množili, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi bili obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne mešaju i odbili da podignu nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo shvatili šta je negativan stepen, uradimo kao u zadnji put: pomnožiti neki normalan broj sa istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen je recipročna vrijednost istog broja pozitivan stepen. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno ovo poseban slučaj može se proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: bilo koji broj podignut na čak stepen- broj je pozitivan. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Stepeni sa racionalni indikator vrlo korisno za pretvaranje izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...stepen sa celim brojem negativan indikator - kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi diploma sa složenim indikatorom, odnosno indikator nije paran pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

IN u ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Smanjujemo razlomke u eksponentima na isti izgled: oba decimalna ili oba regularna. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Drugi važna napomena: ovo pravilo je - samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možemo formulisati sljedeće jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Pre nego što ga rastavite poslednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjajući samo jedan nedostatak koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ima ukupno slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih brojeva).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je prije čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Kalkulator vam pomaže da brzo podignete broj na snagu na mreži. Osnova stepena može biti bilo koji broj (i cijeli i realni). Eksponent također može biti cijeli broj ili realan, a također može biti pozitivan ili negativan. Imajte na umu da je za negativne brojeve povećanje na stepen koji nije cijeli broj nedefinirano, tako da će kalkulator prijaviti grešku ako to pokušate.

Kalkulator stepena

Podigni na snagu

Eksponencijalizacija: 20880

Šta je prirodna snaga broja?

Broj p se naziva n-tim stepenom broja ako je p jednako broju a pomnoženom sam sa sobom n puta: p = a n = a·...·a
n - pozvan eksponent, a broj a je osnovu stepena.

Kako podići broj na prirodni stepen?

Da razumem kako se gradi različiti brojevi za prirodne moći, razmotrite nekoliko primjera:

Primjer 1. Podignite broj tri na četvrti stepen. Odnosno, potrebno je izračunati 3 4
Rješenje: kao što je gore navedeno, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Odgovori: 3 4 = 81 .

Primjer 2. Podignite broj pet na peti stepen. Odnosno, potrebno je izračunati 5 5
Rješenje: slično, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Odgovori: 5 5 = 3125 .

Dakle, da biste broj podigli na prirodni stepen, samo ga trebate pomnožiti sam sa sobom n puta.

Šta je negativan stepen broja?

Negativna snaga -n od a je jedinica podijeljena sa a na stepen n: a -n = .

U ovom slučaju negativna snaga postoji samo za brojeve koji nisu nula, jer bi u suprotnom došlo do dijeljenja nulom.

Kako podići broj na negativan cijeli broj?

Da biste broj koji nije nula povisili na negativan stepen, trebate izračunati vrijednost ovog broja na istu pozitivnu potenciju i podijeliti jedan s rezultatom.

Primjer 1. Podignite broj dva na negativan četvrti stepen. Odnosno, morate izračunati 2 -4

Rješenje: kao što je gore navedeno, 2 -4 = = = 0,0625.

Odgovori: 2 -4 = 0.0625 .

Nastavljajući razgovor o moći broja, logično je shvatiti kako pronaći vrijednost stepena. Ovaj proces se zove eksponencijacija. U ovom članku ćemo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. A prema tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera dizanja brojeva na različite stepene.

Navigacija po stranici.

Šta znači "eksponencijacija"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija- ovo je pronalaženje vrijednosti stepena broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stepena broja a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r su ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se može preformulisati na sljedeći način: "Podići broj 0,5 na stepen 5."

Sada možete ići direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obično primjenjuje u obliku . To jest, kada se broj a podiže na razlomak m/n, prvo se uzima n-ti korijen broja a, nakon čega se rezultirajući rezultat podiže na cijeli broj m.

Pogledajmo rješenja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stepena.

Rješenje.

Pokazaćemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stepena sa frakcijskim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stepena ispod predznaka korijena, a zatim izvlačimo kockasti koren: .

Drugi način. Po definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom i na osnovu svojstava korena, tačne su sledeće jednakosti: . Sada izvlačimo korijen , konačno, podižemo ga na cijeli broj .

Očigledno je da se dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni ili mješoviti broj, u ovim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim podići na stepen.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2.5.

Rješenje.

Napišimo eksponent u obliku običan razlomak(ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Takođe treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stepene prilično radno intenzivan proces (posebno kada se brojilac i imenilac frakcioni indikator stepeni su dovoljni veliki brojevi), koji se obično izvodi pomoću kompjuterske tehnologije.

Da zaključimo ovu poentu, zadržimo se na podizanju broja nula na razlomak. Razlomak stepena nuli oblika dali smo sljedeće značenje: kada imamo , a na nuli do m/n snaga nije definirana. Dakle, nula do razlomka pozitivne moći je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja s iracionalnim eksponentom. Istovremeno, u praktične svrhe Obično je dovoljno dobiti vrijednost stepena do određenog znaka. Odmah da napomenemo da se ova vrijednost u praksi izračunava korištenjem elektronske kompjuterske tehnologije, od povećanja do ir racionalni stepen ručno zahtijeva velika količina glomazne kalkulacije. Ali ipak ćemo opisati u generalni nacrt suštinu akcije.

Da bi se dobila približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost stepena. Ova vrijednost je približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. Što je tačnija decimalna aproksimacija broja na početku, to će se na kraju dobiti tačnija vrijednost stepena.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalni indikator: . Sada dižemo 2 na racionalni stepen 1.17 (suštinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1.17 ≈2.250116. dakle, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo, na primjer, precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, tada ćemo dobiti precizniju vrijednost originalnog eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Tablica potencija sadrži vrijednosti pozitivnih prirodnih brojeva od 1 do 10.

Unos 3 5 glasi "tri na peti stepen." U ovoj notaciji, broj 3 se naziva baza stepena, broj 5 je eksponent, a izraz 3 5 naziva se stepen.

Da biste preuzeli tabelu stepeni, kliknite na sličicu.

Kalkulator stepena

Pozivamo vas da isprobate naš kalkulator moći, koji će vam pomoći da podignete bilo koji broj u moć na mreži.

Korištenje kalkulatora je vrlo jednostavno - unesite broj koji želite podići na stepen, zatim broj - stepen i kliknite na dugme "Izračunaj".

Važno je napomenuti da naš online kalkulator moći se mogu podići na pozitivne i negativne moći. A za vađenje korijena na stranici postoji još jedan kalkulator.

Kako podići broj na stepen.

Pogledajmo proces eksponencijalnosti na primjeru. Pretpostavimo da trebamo podići broj 5 na 3. stepen. U jeziku matematike, 5 je baza, a 3 je eksponent (ili jednostavno stepen). A ovo se može ukratko napisati na sljedeći način:

Eksponencijacija

A da bismo pronašli vrijednost, morat ćemo broj 5 pomnožiti sam sa sobom 3 puta, tj.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Shodno tome, ako želimo da pronađemo vrednost broja 7 na 5 stepen, moramo broj 7 pomnožiti sam sa sobom 5 puta, tj. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Druga stvar je kada treba podići broj na negativnu moć.

Kako podići na negativnu potenciju.

Kada podižete na negativnu potenciju, morate koristiti jednostavno pravilo:

kako podići na negativnu potenciju

Sve je vrlo jednostavno - kada se podigne na negativan stepen, moramo podijeliti jedan po osnovi na stepen bez znaka minus - odnosno na pozitivnu potenciju. Dakle, pronaći vrijednost

Tabela stepena prirodnih brojeva od 1 do 25 u algebri

Prilikom rješavanja raznih matematičkih vježbi često morate podići broj na stepen, uglavnom od 1 do 10. A da bismo brzo pronašli ove vrijednosti, napravili smo tabelu stepena u algebri koju ću objaviti na ovoj stranici.

Prvo, pogledajmo brojeve od 1 do 6. Rezultati ovdje nisu veliki, sve ih možete provjeriti na običnom kalkulatoru.

• 1 i 2 na stepen od 1 do 10

Tabela stepeni

Tablica za moć je nezamjenjiv alat kada trebate podići prirodni broj unutar 10 na stepen veći od dva. Dovoljno je otvoriti tabelu i pronaći broj nasuprot željenoj osnovici stepena i u koloni sa traženim stepenom - to će biti odgovor na primjer. Osim zgodne tablice, na dnu stranice nalaze se primjeri podizanja prirodnih brojeva na stepene do 10. Odabirom tražene kolone sa potencijama željenog broja, lako i jednostavno možete pronaći rješenje, jer su sve potencije raspoređene u rastućem redoslijedu.

Važna nijansa! Tablice ne pokazuju podizanje na nulti stepen, jer je bilo koji broj podignut na nulti stepen jednak jedan: a 0 =1

Tablice množenja, kvadrati i potencije

Vrijeme je za malo matematike. Sjećate li se još koliko je ako se dva pomnoži sa dva?

Ako je neko zaboravio, biće ih četiri. Čini se da se svi sjećaju i znaju tablicu množenja, međutim, otkrio sam velika količina upiti Yandexu poput „tablica množenja” ili čak „preuzmi tablicu množenja”(!). Upravo za ovu kategoriju korisnika, kao i za one naprednije koje već zanimaju kvadrati i moći, postavljam sve ove tabele. Možete čak i preuzeti za svoje zdravlje! dakle:

10 do 2 stepena + 11 do 2 stepena + 12 do 2 stepena + 13 do 2 stepena + 14 do drugog stepena/365

Ostala pitanja iz kategorije

Pomozite mi da odlučim molim vas)

Pročitajte također

rješenja: 3x(na 2. stepen)-48= 3(X na 2. stepen)(x na drugi stepen)-16)=(X-4)(X+4)

5) tri zarez pet. 6) devet zarez dvesta sedam hiljaditih. 2) zapiši broj u obliku običnog razlomka: 1)0.3. 2)0,516. 3)0,88. 4)0,01. 5)0,402. 5)0,038. 6)0.609. 7)0.91.8)0.5.9)0.171.10)0.815.11)0.27.12)0.081.13)0.803

Koliko je 2 na minus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 stepena?

Koliko je 2 na stepen minus 1?

Koliko je 2 na stepen minus 2?

Koliko je stepen 2 na minus 3?

Koliko je 2 na minus 4. stepen?

Koliko je 2 na stepenu minus 5?

Koliko je 2 na minus 6. stepen?

Koliko je 2 na minus 7. stepen?

Koliko je 2 na stepenu minus 8?

Koliko je 2 na minus 9. stepen?

Koliko je 2 na stepenu minus 10?

Negativna snaga n ^(-a) može se izraziti u sljedeći obrazac 1/n^a.

2 na stepen -1 = 1/2, ako je predstavljeno kao decimalni razlomak, tada je 0,5.

2 na potenciju - 2 = 1/4, ili 0,25.

2 na stepen -3= 1/8, ili 0,125.

2 na stepen -4 = 1/16, ili 0,0625.

2 na stepen -5 = 1/32, ili 0,03125.

2 na stepen - 6 = 1/64, ili 0,015625.

2 na stepen - 7 = 1/128, ili 0.

2 na stepen -8 = 1/256, ili 0.

2 na stepen -9 = 1/512, ili 0.

2 na stepen - 10 = 1/1024, ili 0.

Slične proračune za ostale brojeve možete pronaći ovdje: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Negativna snaga broja, na prvi pogled, kompleksna tema u algebri.

U stvari, sve je vrlo jednostavno - matematičkih proračuna sa brojem "2" izvodimo algebarska formula(vidi gore), gdje umjesto “a” zamjenjujemo broj “2”, a umjesto “n” zamjenjujemo stepen broja. Kalkulator će vam pomoći značajno smanjiti vrijeme u proračunima.

Nažalost, uređivač teksta stranice vam ne dozvoljava korištenje matematičkih simbola razlomci i negativne potencije. Ograničimo se na velike alfanumeričke informacije.

Ovo su jednostavni numerički koraci s kojima smo završili.

Negativan stepen broja znači da se taj broj množi sam sa sobom onoliko puta koliko je napisan u stepenu, a zatim se jedinica dijeli s rezultirajućim brojem. za dvoje:

• (-1) stepen je 1/2=0,5;
• (-2) stepen je 1/(2 2)=0,25;
• (-3) stepen je 1/(2 2 2)=0,125;
• (-4) stepen je 1/(2 2 2 2)=0,0625;
• (-5) stepen je 1/(2 2 2 2 2)=0,03125;
• (-6) stepen je 1/(2 2 2 2 2 2)=0,015625;
• (-7) stepen je 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0,078125;
• (-8) stepen je 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) stepen je 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) snaga je 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

U suštini, jednostavno podijelimo svaku prethodnu vrijednost sa 2.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

Drugi stepen znači da se broj dobijen tokom proračuna množi sam sa sobom.

ruski jezik: 15 fraza na temu proljeća

Rano proleće, kasno proleće, prolećno lišće, prolećno sunce, prolećni dan, proleće je došlo, prolećne ptice, hladno proleće, prolećna trava, prolećni povetarac, prolećna kiša, prolećna odeća, prolećne čizme, proleće je crveno, prolećno putovanje.

Pitanje: 5*4 na drugu potenciju -(33 na drugu potenciju: 11) na 2. potenciju: 81 RECI ODGOVOR PO AKCIJI

5*4 na drugu potenciju -(33 na drugu potenciju: 11) na 2. potenciju: 81 RECI ODGOVOR PO AKCIJI

odgovori:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 Drugi stepen znači da je broj koji ispostavilo se da je pomnožen sam sa sobom tokom proračuna.

10 na -2 stepen je koliko.

1. 10 na -2 stepen je isto što i 1/10 na stepen 2, kvadrirate 10 i dobijate 1/100, što je jednako 0,01.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Mračno kažeš? ..heh (iz " Bijelo sunce pustinja")

10 u -2 znači 1 podijeljeno sa 10 u 2, tj. 0,01

0.01 Završio svoje studije!

10 na 2. stepen znači 100

10 na 1. stepen 10

ako se stepen smanji za jedan, tada se rezultat u ovom slučaju smanjuje za 10 puta, stoga će 10 na stepen 0 biti 1 (10/10)

10 na stepen -1 je 1/10

10 na -2 stepen je 1/100 ili 0,01

Nisam razumeo koji stepen 2 ili -2. ako je 2 prije odgovora 100, ako je -2 onda 0,01

100, čudno je kako mislite da je 0,01.

Ovo je 0,01 - Ja sam odgovoran za ispravnost!! ! A cinjenica da su ti napisali 100 je da je 10 na 2 stepen, tako da ne moraš ni sumnjati

Sve ovo je deset na minus drugi stepen

Zar je sve tako teško uveče?

Moć se koristi za pojednostavljenje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje za ovaj prelaz je dato u prvom delu ovog članka). Diplome olakšavaju pisanje dugog ili složeni izrazi ili jednačine; Potencije se također lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenim izrazom ili jednadžbom (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako treba da odlučiš eksponencijalna jednačina(u takvoj jednačini nepoznata je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih problema sa diplomama

Pomnožite bazu eksponenta samu po sebi broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem snage, prepišite stepen kao operaciju množenja, gdje se baza snage množi sama sa sobom. Na primjer, data diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza snage 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo, pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - proces izračunavanja nije tako komplikovan kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Volim ovo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat će se proporcionalno povećavati. U našem primjeru, pomnožite 16 sa 4. Ovako:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Nastavite da množite rezultat prva dva broja sa sljedećim brojem dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, pomnožite prva dva broja, a zatim pomnožite rezultirajući rezultat sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koji stepen. U našem primjeru trebali biste dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na svom kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n))", ili "^". Koristeći ovaj taster podići ćete broj na stepen. Gotovo je nemoguće ručno izračunati stepen s velikim indikatorom (na primjer, stepen 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U Windows 7, standardni kalkulator se može prebaciti u inženjerski način rada; Da biste to učinili, kliknite na “Prikaz” -> “Inženjering”. Da biste se prebacili na normalan način rada, kliknite na “View” -> “Normal”.

   • Provjerite svoj odgovor koristeći pretraživač(Google ili Yandex). Koristeći taster "^" na tastaturi računara, unesite izraz u pretraživač, koji će odmah prikazati tačan odgovor (i možda predložiti slične izraze za proučavanje).

   Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

   1. Možete sabirati i oduzimati stepene samo ako imaju iste baze. Ako trebate zbrajati stepene s istim bazama i eksponentima, tada možete zamijeniti operaciju sabiranja operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Zapamtite da je diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti u obliku 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dakle, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, prebrojite broj sličnih stepeni, a zatim pomnožite taj stepen i ovaj broj. U našem primjeru podignite 4 na peti stepen, a zatim pomnožite rezultirajući rezultat sa 2. Zapamtite da se operacija sabiranja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Prilikom množenja potencija sa istu osnovu njihovi pokazatelji se zbrajaju (baza se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju, samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. dakle, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizuelnog objašnjenja ovog pravila:

      Kada se stepen podiže na stepen, eksponenti se množe. Na primjer, daje se diploma. Pošto se eksponenti množe, onda (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Poenta ovog pravila je da množite po moćima (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebe pet puta. Volim ovo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Pošto je baza ista, eksponenti se jednostavno sabiraju: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Potencija s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (obrnuti stepen). Nije važno ako ne znate šta je recipročna diploma. Ako vam je dat stepen sa negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), upišite ovaj stepen u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojilac) i učinite eksponent pozitivnim. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

      Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Oduzmite eksponent u nazivniku od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). dakle, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Potencija u nazivniku se može napisati na sljedeći način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Zapamtite da je razlomak broj (potencija, izraz) sa negativnim eksponentom.

   4. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite rješavati probleme s eksponentima. Navedeni izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom dijelu. Da biste vidjeli odgovor, jednostavno označite prazan prostor iza znaka jednakosti.

   Rješavanje zadataka s razlomačnim eksponentima

   Potencija s razlomkom eksponenta (na primjer, ) se pretvara u korijensku operaciju. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Ovdje nije bitno koji je broj u nazivniku razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- je četvrti korijen od “x”, tj x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ako je eksponent nepravilan razlomak, onda se takav stepen može razložiti na dva stepena kako bi se pojednostavilo rješenje problema. U tome nema ništa komplikovano - samo zapamtite pravilo množenja snaga. Na primjer, daje se diploma. Pretvorite takav stepen u korijen čiji je stepen jednak nazivniku razlomačnog eksponenta, a zatim podignite ovaj korijen na stepen jednak brojniku razlomnog eksponenta. Da biste to učinili, zapamtite to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). U našem primjeru:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Neki kalkulatori imaju dugme za izračunavanje eksponenta (prvo morate uneti bazu, zatim pritisnuti dugme, a zatim uneti eksponent). Označava se kao ^ ili x^y.
   3. Zapamtite da je bilo koji broj na prvi stepen jednak samom sebi, na primjer, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Štaviše, svaki broj pomnožen ili podijeljen sa jedan jednak je samom sebi, npr. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) I 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Znajte da snaga 0 0 ne postoji (takva snaga nema rješenja). Ako pokušate riješiti takav stepen na kalkulatoru ili na računaru, dobićete grešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj na nultu potenciju 1, na primjer, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. IN višu matematiku, koji radi sa imaginarnim brojevima: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Gdje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta približno jednaka 2,7; a je proizvoljna konstanta. Dokaz ove jednakosti može se naći u bilo kojem udžbeniku više matematike.

   Upozorenja

   • Kako se eksponent povećava, njegova vrijednost se značajno povećava. Dakle, ako vam se odgovor čini pogrešnim, možda je i tačan. Ovo možete provjeriti iscrtavanjem bilo kojeg eksponencijalna funkcija npr. 2 x .