Funkcija snage y x p. Funkcije stepena, njihova svojstva i grafovi

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije snage. Svojstva. Grafovi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 11. razred
Interaktivni priručnik za 9-11 razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Funkcije moći, domena definicije.

Ljudi, u prošloj lekciji smo naučili kako raditi s brojevima s racionalnim eksponentom. U ovoj lekciji ćemo razmotriti funkcije stepena i ograničiti se na slučaj kada je eksponent racionalan.
Razmotrićemo funkcije oblika: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Razmotrimo prvo funkcije čiji je eksponent $\frac(m)(n)>1$.
Neka nam je data specifična funkcija $y=x^2*5$.
Prema definiciji koju smo dali u prošloj lekciji: ako je $x≥0$, tada je domen naše funkcije zraka $(x)$. Hajdemo shematski prikazati naš graf funkcije.

Svojstva funkcije $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se za $$,
b) $(2,10)$,
c) na zraku $$.
Rješenje.
Ljudi, sjećate li se kako smo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu u 10. razredu?
Tako je, koristili smo derivat. Hajde da riješimo naš primjer i ponovimo algoritam za pronalaženje najmanje i najveće vrijednosti.
1. Pronađite izvod date funkcije:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Izvod postoji na cijeloj domeni izvorne funkcije, tada nema kritičnih tačaka. Nađimo stacionarne tačke:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ i $x_2=\sqrt(64)=4$.
Samo jedno rješenje $x_2=4$ pripada datom segmentu.
Napravimo tablicu vrijednosti naše funkcije na krajevima segmenta i u točki ekstrema:
Odgovor: $y_(name)=-862.65$ sa $x=9$; $y_(max)=38.4$ za $x=4$.

Primjer. Riješite jednačinu: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Rješenje. Graf funkcije $y=x^(\frac(4)(3))$ raste, a grafik funkcije $y=24-x$ opada. Ljudi, vi i ja znamo: ako se jedna funkcija povećava, a druga smanjuje, onda se sijeku samo u jednoj tački, odnosno imamo samo jedno rješenje.
Bilješka:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
To jest, za $h=8$ dobili smo tačnu jednakost $16=16$, ovo je rješenje naše jednačine.
Odgovor: $x=8$.

Primjer.
Iscrtajte funkciju: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Rješenje.
Graf naše funkcije se dobija iz grafa funkcije $y=x^(\frac(3)(4))$, pomerajući ga 3 jedinice udesno i 2 jedinice gore.

Primjer. Napišite jednadžbu tangente na pravu $y=x^(-\frac(4)(5))$ u tački $x=1$.
Rješenje. Jednačina tangente određena je formulom koja nam je poznata:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
U našem slučaju $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Nađimo derivat:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Izračunajmo:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Pronađite jednadžbu tangente:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odgovor: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: $y=x^\frac(4)(3)$ na segmentu:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) na zraku $$.
3. Riješite jednačinu: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Grafikujte funkciju: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Napišite jednadžbu tangente na pravu $y=x^(-\frac(3)(7))$ u tački $x=1$.

Funkcije y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - posebne su vrste funkcije snage n = 1, n = 2, n = -1 .

Ako n razlomak broj str/ q sa parnim imeniocem q i neparni brojnik R, zatim vrijednost može imati dva predznaka, a graf ima još jedan dio na dnu x-ose X, a simetrično je u odnosu na gornji dio.

Vidimo graf dvovrijedne funkcije y \u003d ± 2x 1/2, tj. predstavljen parabolom sa horizontalnom osom.

Grafovi funkcija y = xn at n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ovi grafovi prolaze kroz tačku (1; 1).

Kada n = -1 dobijamo hiperbola. At n < - 1 graf funkcije stepena se prvo nalazi iznad hiperbole, tj. između x = 0 i x = 1, a zatim ispod (at x > 1). Ako a n> -1 graf radi obrnuto. Negativne vrijednosti X i frakcijske vrijednosti n slično za pozitivno n.

Svi grafovi se približavaju neograničeno kao x-osi X, kao i na y-osu at a da ne dođe u kontakt sa njima. Zbog njihove sličnosti sa hiperbolom, ovi grafovi se nazivaju hiperbole. n th red.

Dati su referentni podaci o eksponencijalnoj funkciji - osnovna svojstva, grafovi i formule. Razmatraju se sljedeća pitanja: domen definicije, skup vrijednosti, monotonost, inverzna funkcija, izvod, integral, proširenje niza stepena i reprezentacija kompleksnim brojevima.

Definicija

Eksponencijalna funkcija je generalizacija proizvoda n brojeva jednakih a:
y (n) = a n = a a a a,
na skup realnih brojeva x :
y (x) = x.
Ovdje je a fiksni realni broj, koji se zove baza eksponencijalne funkcije.
Poziva se i eksponencijalna funkcija s bazom a eksponencijalna bazi a.

Generalizacija se provodi na sljedeći način.
Za prirodni x = 1, 2, 3,... , eksponencijalna funkcija je proizvod x faktora:
.
Štaviše, ima svojstva (1,5-8) (), koja proizlaze iz pravila za množenje brojeva. Pri nultim i negativnim vrijednostima cijelih brojeva, eksponencijalna funkcija je određena formulama (1.9-10). Za razlomke vrijednosti x = m/n racionalnih brojeva, , određuje se formulom (1.11). Za real, eksponencijalna funkcija je definirana kao granica niza:
,
gdje je proizvoljan niz racionalnih brojeva koji konvergiraju na x : .
Ovom definicijom eksponencijalna funkcija je definirana za sve , i zadovoljava svojstva (1.5-8), kao i za prirodni x .

Rigorozna matematička formulacija definicije eksponencijalne funkcije i dokaz njenih svojstava data je na stranici "Definicija i dokaz svojstava eksponencijalne funkcije".

Svojstva eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija y = a x ima sljedeća svojstva na skupu realnih brojeva ():
(1.1) je definiran i kontinuiran, za , za sve ;
(1.2) kada je ≠ 1 ima mnogo značenja;
(1.3) strogo raste na , strogo opada na ,
je konstantna na ;
(1.4) at ;
at ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge korisne formule
.
Formula za pretvaranje u eksponencijalnu funkciju s različitom bazom snage:

Za b = e , dobijamo izraz eksponencijalne funkcije u terminima eksponenta:

Privatne vrijednosti

, , , , .

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalne funkcije
y (x) = x
za četiri vrijednosti osnove stepena:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 i a = 1/8 . Može se vidjeti da za > 1 eksponencijalna funkcija monotono raste. Što je veća baza stepena a, to je jači rast. At 0 < a < 1 eksponencijalna funkcija je monotono opadajuća. Što je eksponent a manji, to je smanjenje jače.

Uzlazno, silazno

Eksponencijalna funkcija at je strogo monotona, tako da nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tabeli.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domain	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotona	monotono raste	monotono opada
Nule, y= 0	br	br
Tačke preseka sa y-osom, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost eksponencijalne funkcije s bazom stepena a je logaritam bazi a.

Ako onda
.
Ako onda
.

Diferencijacija eksponencijalne funkcije

Da bi se diferencirala eksponencijalna funkcija, njena baza se mora svesti na broj e, primijeniti tablicu izvoda i pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Da biste to učinili, morate koristiti svojstvo logaritama
i formula iz tabele derivacija:
.

Neka je data eksponencijalna funkcija:
.
Donosimo ga u bazu e:

Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu

Onda

Iz tabele derivata imamo (zamijenite varijablu x sa z):
.
Pošto je konstanta, derivacija z u odnosu na x je
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije:
.

Derivat eksponencijalne funkcije

.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Primjer diferenciranja eksponencijalne funkcije

Pronađite izvod funkcije
y= 35 x

Rješenje

Osnovu eksponencijalne funkcije izražavamo brojem e.
3 = e log 3
Onda
.
Uvodimo varijablu
.
Onda

Iz tabele derivata nalazimo:
.
Zbog 5ln 3 je konstanta, onda je derivacija z u odnosu na x:
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije imamo:
.

Odgovori

Integral

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
f (z) = az
gdje je z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Kompleksnu konstantu a izražavamo u terminima modula r i argumenta φ:
a = r e i φ
Onda


.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Uglavnom
φ = φ 0 + 2 pn,
gdje je n cijeli broj. Dakle, funkcija f (z) je takođe dvosmislen. Često se smatra njegovom glavnom važnosti
.

Proširenje u seriji

.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

1. Funkcija snage, njena svojstva i graf;

2. Transformacije:

Paralelni prijenos;

Simetrija oko koordinatnih osa;

Simetrija oko porijekla;

Simetrija oko prave y = x;

Istezanje i skupljanje duž koordinatnih osa.

3. Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i graf, slične transformacije;

4. Logaritamska funkcija, njena svojstva i graf;

5. Trigonometrijska funkcija, njena svojstva i graf, slične transformacije (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funkcija: y = x\n - njena svojstva i graf.

Funkcija snage, njena svojstva i graf

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage, tj. funkcije y = xp, gdje je p dati realni broj.
Svojstva i graf funkcije stepena u suštini zavise od svojstava stepena sa realnim eksponentom, a posebno od vrednosti za koje x i str ima smisla xp. Nastavimo na slično razmatranje različitih slučajeva, ovisno o tome
eksponent str.

1. Indeks p = 2n je paran prirodan broj.

y=x2n, gdje n je prirodan broj i ima sljedeća svojstva:

• domen definicije su svi realni brojevi, tj. skup R;
• skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;
• funkcija y=x2nčak, jer x 2n = (-x) 2n
• funkcija se smanjuje na intervalu x< 0 i povećava se u intervalu x > 0.

Funkcija Graf y=x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y=x4.

2. Indikator p = 2n - 1- neparan prirodni broj

U ovom slučaju, funkcija snage y=x2n-1, gdje je prirodan broj, ima sljedeća svojstva:

• domen definicije - skup R;
• skup vrijednosti - skup R;
• funkcija y=x2n-1čudno jer (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
• funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Funkcija Graf y=x2n-1 y=x3.

3. Indikator p=-2n, gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x-2n=1/x2n ima sljedeća svojstva:

• skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;
• funkcija y = 1/x2nčak, jer 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funkcija raste na intervalu x0.

Grafikon funkcije y = 1/x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x2.

4. Indikator p = -(2n-1), gdje n- prirodni broj.
U ovom slučaju, funkcija snage y=x-(2n-1) ima sljedeća svojstva:

• domen definicije je skup R, osim za x = 0;
• skup vrijednosti - skup R, osim y = 0;
• funkcija y=x-(2n-1)čudno jer (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funkcija se smanjuje na intervalima x< 0 i x > 0.

Funkcija Graf y=x-(2n-1) ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x3.